Unidad 2
Programación Lineal Aplicaciones
1
2.1 Modelo de Transporte El objetivo general es encontrar el mejor plan de distribución, es decir, la cantidad que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos de suministro hasta los puntos de demanda. El “mejor plan” es aquel que minimiza los costos totales de envío, produzca la mayor ganancia u optimice algún objetivo corporativo. corporativo.
Se debe contar con:
i)
Nivell de Nive de ofer ofertta en ca cada da fue fuent nte e y la la can canti tida dad d de de dem deman anda da en cada destino.
ii) Costo de transporte unitario de mercadería desde cada fuente a cada destino. 2
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
También es necesario satisfacer ciertas restricciones:
1. No enviar más de la capacidad especificada desde cada punto de suministro (oferta). 2. Enviar bienes solamente por las rutas válidas. 3. Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes en los puntos de demanda.
3
Gráficamente: Para
m
fuentes y
n
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
destinos
Esquemáticamente se podría ver como se muestra en la siguiente figura Fuentes
Destinos
C11, X11 s1
1
1
d1
s2
2
2
d2
. . .
. . .
sm
m Cmn, Xmn
donde
n
dn
Xij: cantidad transportada desde la fuente i al destino j Cij: Costo del transporte unitario desde la fuente i al destino j 4
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte
m
minimizar
n
Z cij xij i 1 j 1
sa
n
xij si
i=1,2,...,m
j 1 m
xij d j
j=1,2,...,n
i 1
xij o
para toda i y j
El modelo implica que al menos la oferta debe ser igual a la demanda
5
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte Modelo de transporte equilibrado: Oferta = Demanda
n
xij Si
i=1, 2, 3,....,m
j 1 m
xij D j
j=1, 2, 3,....,n
i 1
xij 0
para toda i y j
6
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Aplicaciones del modelo de Transporte
El Modelo de Transporte no sólo es aplicable al movimiento de productos, sino que también, como modelo se puede aplicar a otras áreas tales como: • Planificación de la Producción • Control de Inventarios • Control de Proveedores • Otras
7
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Ejemplo: RPG tiene cuatro plantas ensambladoras en Europa. Están ubicadas en Leipzig, Alemania (1);Nancy, Francia (2); Lieja, Bélgica (3), y Tilburgo, Holanda (4). Las máquinas ensambladoras usadas en estas plantas se producen en Estados Unidos y se embarcan a Europa. Llegaron a los puertos de Amsterdan (1), Amberes (2) y El Havre (3). Los planes de producción del tercer trimestre (julio a septiembre) ya han sido formulados. Los requerimientos (la demanda en destinos) de motores diesel E-4 son los siguientes:
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Planta Cantidad de Motores
(1) Leipzig (2) Nancy (3) Lieja (4) Tilburgo Total
400 900 200 500 2000
La cantidad disponible de máquinas E-4 en los puertos(oferta en orígenes) son:
Puerto
Cantidad de Motores
(1) Amsterdan
500
(2) Amberes
700
(3) El Hevre
800
Total
2000
Los costos ($) de transporte de un motor desde un origen a un destino son:
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Al destino
Desde el origen
1
2
3
4
1
12
13
4
6
2
6
4
10
11
3
10
9
12
4
10
Construcción Construcción del modelo de PL
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
1. Variables de decisión
Xij = número de motores enviados del puerto i a la planta j i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3, 4
2. Función Objetivo
Minimizar Z = 12 X11 + 13 X12 + 4X13 + 6X14 + 6X21 + 4X22 + 10X23 + 11X24 + 10X31 + 9X32 + 12X34 + 4X14
11
3. Restriccion Restricciones: es:
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
1) Oferta: La cantidad de elementos enviados no puede exceder la cantidad disponible X11 + X12 + X13 + X14
500
X21 + X22 + X23 + X24
700
X31 + X32 + X33 + X34
800
2) Demanda: Debe satisfacerse la demanda de cada planta X11 + X21 + X31 400
X12 + X22 + X32 900 X13 + X23 + X33 200 X14 + X24 + X34 500
y de no negatividad
Xij 0 para i=1, 2, 3; j= 1, 2, 3, 4
12
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Solución del Modelo de Transporte
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Algoritmos Específicos 2.1.1 Regla de la esquina noroeste noroeste (MEN) 2.1.2 Método por aproximación de Vogel (MAV) 2.1.3 Método del costo mínimo (MCM) 2.1.4 Método del paso secuencial y 2.1.5 DIMO (método de distribución modificada)
14
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Descripción de los algoritmos La regla de la esquina noroeste, el método de aproximación de Vogel y el método del costo mínimo son alternativas para encontrar una solución inicial factible.
El método del escalón y el DIMO son alternativas para proceder de una solución inicial factible a la óptima.
Por tanto, el primer paso es encontrar una solución inicial factible, que por definición es cualquier distribución de ofertas que satisfaga todas las demandas
15
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Descripción de los algoritmos Una vez obtenida una solución básica factible, el algoritmo procede paso a paso para encontrar un mejor valor para la función objetivo.
La solución óptima es una solución factible de costo mínimo
Para aplicar los algoritmos, primero hay que construir una tabla de transporte.
16
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Tabla Inicial Origen
Destinos 2 3
1
4
n
1
C11
C12
C13
C14
....
C1n
2
C21
C22
C23
C24
....
C2n
3
C31
C32
C33
C34
....
C3n
.. .
....
.....
....
....
.. . .
Cm1
Cm2
Cm3
Cm4
....
Cmn
m
Ofert as
Demanda
17
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Tabla Inicial del Ejemplo Plantas Puertos 1
1
2 12
3 13
4 4
Oferta 6 500 50 0
2
6
4
10
11 700 70 0
3 Demanda
10 400
9 900
12 200
4 500
800 800 2000
18
2.1.1 Regla Regla de la esquina Noroeste
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Se inicia el proceso desde la esquina izquierda superior
Se ubican tantas unidades como sea posible en la ruta Cantidad de Unidades = Mínimo(disponibilidad, demanda) Las siguientes asignaciones se hacen o bien recorriendo hacia la derecha o bien hacia abajo. Las demandas se satisfacen recorriendo sucesivamente de izquierda a derecha y las ofertas se destinan recorriendo de arriba hacia abajo.
19
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Primera asignación
Plantas Puertos 1
1
2 12
3 13
4 4
Oferta 6
400 40 0 2
100 10 0 6
4
10
500 50 0
11 700 70 0
3 Demanda
10 0 400
9 900
12 200
4 500
800 800 2000
20
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Hasta cuarta asignación
Plantas Puertos 1
1
2 12
400 2
3 13
4 4
Oferta 6
100 6
4
10
Demanda
10
9
100 100 0 40 400 0 0 900
12 200
500 50 0
0
700 70 0
700
800 800 2000
11
700 70 0 3
100
4 500
21
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Esquina Noroeste: Solución final factible
Plantas Puertos 1
1
2 12
400 2
3 13
4 4
Oferta 6
100 6
4
10
Demanda
10
9
12
500 50 0
0
700 70 0
0
800 800 2000
11
700 70 0 3
100 10 0
4
100 200 500 0 40 400 0 0 900 200 500
Valor FO: 400*12+100*13+700*4+100*9+200*12+500*4= $14.200
22
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
2.1.2 Método de aproximación de Vogel (MAV) MAV usa información de costos mediante el concepto de costo de oportunidad para determinar una solución inicial factible. Seleccionar en una fila la ruta más barata y la que le sigue. Hacer su diferencia penalidad ), ( penalidad ), que es el costo adicional por enviar una unidad desde el origen actual al segundo destino y no al primero. En nuestro caso, para el puerto1, C13 y C14; Penalidad = 6 - 4
MAV asigna un costo de penalidad por no usar la mejor ruta en esta fila.
23
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Lo anterior se repite para cada fila y cada columna, esto es, determinar todas las penalidades Los pasos iterativos de MAV son los siguientes: 1. Identificar la fila o columna con la máxima penalidad. 2.Colocar la máxima asignación posible a la ruta no usada que tenga menor costo en la
fila o columna seleccionada en el punto 1 (los empates se resuelven arbitrariamente) 3. Reajustar la oferta y demanda en vista de esta asignación. 4. Eliminar la columna en la que haya quedado una demanda 0 (o la fila con oferta 0),
de consideraciones posteriores. 5. Calcular los nuevos costos de penalidad.
24
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
El MAV continúa aplicando aplicando este proceso en forma sucesiva sucesiva hasta que se haya haya obtenido una solución factible.
Los resultados obtenidos se muestran en las siguientes tablas
25
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 0: Cálculo de penalidades
Plantas Puertos 1
1
2 12
3 13
4 4
Oferta
P Pe enalidades 2
6 500 50 0
2
6
4
10
11
2 700 70 0
3 Demanda Penalidades
10
9
12
4
400
900
200
500
4
5
6
2
5 800 800 2000
Paso 1: Identificar máxima penalidad (fila o columna) Calculadas todas las penalidades, la mayor corresponde a la columna 3 (penalidad = 6) 26
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 2: Asignación de unidades (MIN(oferta,demanda) (MIN(oferta,demanda))) Paso 3:Reajuste de oferta y demanda
Plantas Puertos 1
1
2 12
3 13
4 4
Oferta 6
200 2
6
4
300 30 0 10
500 50 0
11 700 70 0
3 Demanda
10 400
9 900
12 0 200
4 500
800 800 2000
27
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 4: Eliminar columna (fila) con demanda (oferta) 0
Plantas Puertos 1
1
2 12
3 13
4 4
Oferta 6
200 20 0 2
6
4
300 30 0 10
500 50 0
11 700 70 0
3 Demanda
10 400
9 900
12 0 200
4 500
800 800 2000
28
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 5: Calcular los nuevos costos de penalidad pen alidad
Plantas Puertos 1
1
2 12
3 13
4 4
Oferta 6
200 20 0 2
6
4
300 30 0 10
Pe Penalidades 6 500 50 0
11
2 700 70 0
3 Demanda Penalidades
10
9
400
900
4
5
12 0 200
4 500
5 800 800 2000
2
29
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Repitiendo los pasos anteriores, finalmente se llega a la siguiente solución
Plantas Puertos 1
1
2 12
3 13
4 4
200 2
6
4
Oferta 6
300 10
10 400
Demanda
9 200
400
900
12
500
0
700
11
700 70 0 3
300
4
200 600 800 0 200 200 500 2000
¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI Costo: 200*4+300*6+700*4+400*10+200*9+200*4 = $12.000
30
2.1.3. Método del Costo Mínimo
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Fundamento Asignar la mayor cantidad de unidades a una ruta disponible de costo mínimo Algoritmo 1.
Dada Dada una una tabla abla de tran transp spo orte rte
2.
Asignar Asignar la may mayor or cant cantida idad d de unidades unidades a la variab variable le (rut (ruta) a) con con el menor menor costo unitario de toda la tabla.
3.
Tacha acharr la la fil fila a o colum olumna na sati satisf sfec echa ha..
4.
Ajus Ajusta tarr of oferta erta y dema demanda nda de tod todas as las las fil filas as y colu columna mnass
5.
Si hay más de una una fila fila o colu columna mna no tach tachada ada repeti repetirr los los punto puntoss 2, 3 y 4
31
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Ejemplo: Aplicar MCM a la tabla de transporte
Plantas Puertos 1
1
2 12
3
4
13
4
Oferta 6 500 50 0
2
6
4
10
11 700 70 0
3
10
Demanda Paso 2
400
9 900
12 200
4 500
800 800 2000
Existen tres rutas costo mínimo. Elijamos la 1_3 Unidades a asignar = MIN(200,400) = 200 32
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 3: Tachar fila o columna (columna 3)
Plantas Puert os 1
1
2 12
3 13
4 4
Ofert a 6
200
2
6
4
300
10
500
11 700
3
10
9
12
4 800
Demanda
Paso 4 Paso 5
400
900
0 200
500
2000
Ajustar ofertas y demandas (fila 1 y columna 3)
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. tachar. Ir a paso 2 33
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_4 (ó 2_2) Unidades = MIN(500,800) = 500 Paso 3: Tachar columna 4 Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 4 Plantas Puert os 1
1
2 12
3 13
4 4
Ofert a 6
200
2
6
4
300
10
500
11 700
3
10
9
12
4 500
Demanda
Paso 5
400
900
0 200
0 500
300
800 2000
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. tachar. Ir a paso 2 34
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 2: Ruta de costo menor -> 2_2 Unidades = MIN(700,900) = 300 Paso 3: Tachar fila2 Paso 4: Tachar ajustar fila 2 y columna 2 Puert os 1
1
2 12
3 13
4 4
Ofert a 6
200
2
6
4
10
10
9
12
Paso 5
400
200 900
0 200
0
700
300
800
4 500
Demanda
500
0
700
3
300
0 500
2000
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. tachar. Ir a paso 2 35
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_2 Unidades = MIN(200,300) = 200 Paso 3: Tachar columna 2 Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 2 Puert os 1
1
2 12
3 13
4 4
Ofert a 6
200
2
6
4
10
10
9
12
200
Demanda
Paso 5
400
200 900
0
700
4 100 500
0 200
500
0
700
3
300
0 500
300
800 2000
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. tachar. Ir a paso 2 36
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_1 Unidades = MIN(400,100) = 100 Paso 3: Tachar fila 3 Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 1 Puert os
1
1
2 12
3 13
4 4
Ofert a 6
200
2
6
4
10
10
Demanda
Paso 5
9
100
200
300 400
200 900
12
0
700
4 100 500
0 200
500
0
700
3
300
0 500
300
0
800 2000
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. tachar. Ir a paso 2 37
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
Paso 2: Ruta de costo menor -> 1_1 Unidades = MIN(300,300) = 300 Paso 3: Tachar fila 1 ó columna 1 (sólo una de ellas) Paso 4: Tachar ajustar fila 1 y columna 1 Puert os
1
1
2 12
3 13
300
2
4 4
Ofert a 6
200
6
4
10
10
Demanda
Paso 5
9
100
200
300 400
200 900
300
500
0
700
0
700
3
0
12
4 100 500
0 200
0 500
300
0
800 2000
Queda sólo una fila sin tachar. Terminar 38
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
2.1 Modelo de Tran Transporte sporte
¿Es solución factible? factible? ¿m + n - 1 = 6? SI Costo: 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4 = $12.000
Comparación de los resultados Método MEN MAV MCM
Rutas 6 6 6
Costo $14.200 $12.000 $12.000
Conclusión Los tres métodos entregan soluciones básicas factibles, pero ninguno asegura que la solución sea óptima.
39