TEMA: MODELO ELASTO-PLÁSTICO DE PLAXIS
TRADUCCIÓN Y REPRODUCCIÓN DE NOTAS DE ANTONIO GENS
DEFORMACIONES
ELASTICIDAD (RECUPERABLES) PLASTICIDAD (NO RECUPERABLES, SUPERFICIE DE FLUENCIA, POTENCIAL PLASTICO) VISCOSIDAD (EN EL TIEMPO)
PROPIEDADES ELÁSTICAS E = MÓDULO DE ELASTICIDAD ν= RELACIÓN DE POISSON
G=MÓDULO DE RIGIDEZ AL ESFUERZO CORTANTE
∆σ ∆ε T E= ,ν = ∆ε L ∆ε L
∆τ G= ∆γ
∆σ
∆γ ∆τ
∆εL
∆τ
∆τ ∆εT ∆σ
∆τ G=
E 2(1 +ν )
PROPIEDADES ELÁSTICAS (CONTINUACIÓN) IK = MÓDULO VOLUMÉTRICO
IK =
∆σ c E = ∆ε v 3 (1 − 2ν )
∆σ ∆εy ∆σ
∆σ
∆εx ∆σ
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD σz
z
ESFUERZOS EN UN ELEMENTO DIFERENCIAL
τyx τzx τ τxy
σy
xz
∆z
τyz
σx τ zy τzx ∆y
x
τxy
τzy τxz τyx
σx τyz
y ∆x
σz
σy
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD Deformaciónes por ∆σx
z
∆σx
∆εz
∆εy y
∆εx x
DEFORMACIONES UNITARIAS SI EL MATERIAL ES ISÓTROPO, EL ELEMENTO DIFERENCIAL SUFRE LAS SIGUIENTES DEFORMACIONES:
[
]
[
]
[
]
1 ε x = σ x −ν (σ y + σ z ) E 1 ε y = σ y −ν (σ x + σ z ) E 1 ε z = σ z −ν (σ x + σ y ) E 1 γ xy = τ XY G
1 τ xz G 1 = τ yz G
γ xz =
γ yz
ANÁLISIS ELASTICO EN DOS DIMENSIONES (εz =γxz=γyz=0): (TALUDES, MUROS DE RETENCION, ZAPATAS CORRIDAS, ETC.)
σx = σy =
E
(1 − 2ν )(1 +ν ) E
(1 − 2ν )(1 +ν )
{(1 −ν )ε
x
+νε y }
{(1 −ν )ε
y
+νε x }
CARGA APLICADA
τ xy = Gγ xy εz =0
ELASTICIDAD LINEAL Y NO LINEAL
EN ELASTICIDAD EXISTE UNA RELACIÓN UNO A UNO ENTRE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES, TAL RELACION PUEDE SER LINEAL O NO LINEAL. UNA DE SUS CARACTERÍSTICAS ES QUE LA APLICACIÓN Y REMOCIÓN DE ESFUERZOS DEJA AL MATERIAL EN SU CONDICION ORIGINAL.
σ
σ D
D
B
B
A
A
O C a) MATERIAL ELÁSTICO
ε
O
C a) MATERIAL REAL
ε
MECANISMO DE DEFORMACIÓN EN MATERIALES ELÁSTICOS, EL MECANISMO DE DEFORMACIÓN DEPENDE DEL INCREMENTO DE ESFUERZO EN MATERIALES PLÁSTICOS (LOS CUALES ESTAN EN EL LÍMITE ELÁSTICO), EL MECANISMO DE DEFORMACIÓN DEPENDE DEL ESFUERZO DIRECTAMENTE. REVERSIBLE = ELÁSTICO IRREVERSIBLE = PLÁSTICO
ELASTICIDAD LINEAL Y PLASTICIDAD PERFECTA σ
Ys = Límite elástico = Esfuerzo de fluencia
Ys
εF εe
ε εe
εp ε
ε = ε e+ ε p
PARA UN ESTADO TRIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS:
{ ε } = { ε e} + { ε p}
ELASTICIDAD LINEAL Y PLASTICIDAD σ
YF = Esfuerzo de falla
YF Ys
εF εp
εe ε
ε ’F
ε
ε = ε e+ ε p
PARA UN ESTADO TRIDIMENSIONAL DE ESFUERZOS:
{ ε } = { ε e} + { ε p}
ELASTICIDAD LINEAL Y PLASTICIDAD CON REBLANDECIMIENTO
UNIDIMENSIONAL
σ REBLANDECIMIENTO
YF Ys ENDURECIMIENTO EL GRADO DE REBLANDECIMIENTO DEPENDE DEL TIPO DE MATERIAL
REGION ELASTICA LINEAL
ε Ys = Esfuerzo de fluencia YF = Esfuerzo de falla
FUNCION DE FLUENCIA CUANDO SE CREA UN MODELO ELASTO-PLASTICO EL PRIMER INGREDIENTE QUE SE NECESITA ES UNA SUPERFICIE DE FLUENCIA QUE INDICA SI LAS DEFORMACIONES QUE ESTAN OCURRIENDO SON ELÁSTICAS O PLÁSTICAS
σ
σy = Esfuerzo de fluencia
σy ε = ε e+ ε p dε dε e dε p = + dt dt dt ε εp
εe
SE DEFINE LA FUNCION DE FLUENCIA ( f ) COMO:
f = σ – σy SI:
f<0 f=0
Deformaciones elásticas Deformaciones plásticas
FUNCION DE FLUENCIA EN 3D
SE DEFINE LA FUNCION DE FLUENCIA ( f ) COMO:
σ2
f{σ} = f(σ1,σ2,σ3) f{σ} = 0
SI:
f{σ} < 0 Estado de esfuerzos elástico f{σ} = 0 Estado de esfuerzos plástico f{σ} > 0 Estado de esfuerzos inadmisible REGION ELÁSTICA
σ1
σ3
TRAYECTORIA DE ESFUERZOS
La superficie de fluencia delimita todos los estados de esfuerzo elásticamente alcanzables. En otro contexto puede verse como un esfuerzo generalizado de preconsolidación.
FUNCION DE FLUENCIA CON PLASTICIDAD PERFECTA f{σ} = 0 ……Superficie en el espacio de esfuerzos 3D (verdadero) σIII
σI
σII
MODELO MOHR-COULOMB, FUNCION DE FLUENCIA PARA LA MAYORIA DE LOS INGENIEROS LA FRASE “RESISTENCIA DE SUELOS” INVOCA LA IMAGEN DEL CRITERIO DE FALLA MOHR-COULOMB
τ
φ
En cualquier plano:
c
Las nociones clásicas de falla Mohr-Coulomb pueden ser reconciliadas con los patrones de respuesta que nosotros modelamos aquí como comportamiento elasto-plástico.
τ ≤ σ tan φ + c Resistencia por fricción
σ
Independiente del esfuerzo normal
MODELO MOHR-COULOMB, FUNCION DE FLUENCIA τ
c
φ
σ
1 (σ 1 − σ 3 ) + 1 (σ 1 + σ 3 )senφ − c cos φ = 0 2 2 σ1 y σ3 esfuerzos principales mayor y menor respectivamente. Función de fluencia: f =
Convención de signos; Positivo: Esfuerzos de tensión, elongación, incremento de volumen. Negativo: Esfuerzos de compresión, contracción, disminución de volumen.
MODELO MOHR-COULOMB EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL, FUNCION DE FLUENCIA f =
1 (σ 1 − σ 3 ) + 1 (σ 1 + σ 3 )senφ − c cos φ 2 2
f < 0 Elasticidad f = 0 Plasticidad f > 0 Inaceptable
POTENCIAL PLÁSTICO Un incremento en las deformaciones plásticas surge si: 1) 2)
El estado de esfuerzos se localiza sobre la superficie de fluencia con f = 0. y El estado de esfuerzos permanece sobre la superficie de fluencia después de un incremento de esfuerzos.
La determinación de la función f nos indica si las deformaciones plásticas están ocurriendo o no, pero esto es sólo una parte. Debemos también determinar la dirección y magnitud de la deformación plástica. -¿Tendremos un cambio de volumen plástico? Y - ¿Una distorsión plástica? Para ello necesitamos otro concepto: Otra función (g)
POTENCIAL PLÁSTICO Se define el potencial plástico tal que:
∂ε p ∂g (σ ) =λ ∂t ∂σ
Donde: g (σ) …. Potencial plástico, y
λ …….. Cofactor (Magnitud de la velocidad de εp). p ∂ ε 1 σ1, ∂t
∂ε ∂g (σ ) ∂t ∂σ p
g (σ )
Recordar que: Las deformaciones plásticas dependen sólo del estado de esfuerzos para el cuál la fluencia está ocurriendo. Tenemos ahora dos funciones, f y g, la pregunta es: ¿De donde sacamos g?
∂ε 2p σ2, ∂t
REGLAS DE FLUJO ASOCIADAS Y NO ASOCIADAS Debe estar claro que se tiene una gran ventaja si, para un material dado, la función de fluencia y el potencial plástico se asume que son los mismos f = g. En consecuencia solamente una función se tiene que establecer para describir la respuesta plástica; también resulta ventajoso para cálculos con elemento finito que: - La solución de las ecuaciones que resultan del análisis es más rápida. - La validez de las predicciones numéricas puede ser más fácil de garantizar.
Pero ¿f = g es una suposición razonable? -Para metales resulta que sí lo es. -Para geomateriales, NO. ¿Dónde está el problema? En la suposición de normalidad de los vectores de deformación plástica para la función de fluencia, lo cual resulta en una mucho más grande dilatación volumétrica plástica que la realmente observada.
MODELO MOHR COULOMB, POTENCIAL PLÁSTICO τ, δγ p
φ
c
τ, δγ p
σ, δεp φ
ψ Ángulo de dilatancia
c
1 (σ 1 − σ 3 ) + 1 (σ 1 + σ 3 )senφ − c cos φ 2 2 1 1 g = (σ 1 − σ 3 ) + (σ 1 + σ 3 )senψ + const. 2 2 f =
σ, δεp
DILATANCIA PLÁSTICA ¿Cómo entender la dilatancia? Ejemplo: ¿Porqué tenemos cambios de volumen cuando aplicamos esfuerzos cortantes? Por simple analogía: (Dientes de cierra trabadas, paquete denso de granos) σ
σ
τ
τ
ψ
ψ
φ = ψ +φi El ángulo de fricción aparente externamente movilizado en planos horizontales (φ) es más grande que el ángulo de fricción resistente de deslizamiento sobre planos inclinados (φi) Resistencia = fricción + dilatancia
CONDICIÓN DE CONSISTENCIA Magnitud del incremento de deformación plástica:
Condición de consistencia: Durante las deformaciones plásticas el estado de esfuerzos debe permanecer sobre la superficie de fluencia.
∂f ∂σ =0 ∂σ ∂t Ecuación final:
σ& = M e (ε& − ε& p )
∂ε p ∂g (σ ) =λ ∂t ∂σ
σ& e
σ&
σ& p f=0
MODELO MOHR COULOMB PARA PRUEBAS EN ELEMENTOS
PRUEBA DE CORTE DIRECTO (DRENADA) σxy σyy
εxy
f = 0 (Def.plást.)
σxy εyy
G=
E 2(1 +ν )
1
f < 0 (Def.elást.) G
εxy εyy
tanψ =
∆ε yy ∆ε xy
tanψ εxy
MODELO MOHR COULOMB PARA PRUEBAS EN ELEMENTOS PRUEBA TRIAXIAL (DRENADA)
σ y −σ x
E=
∆σ y − ∆σ x ∆ε y
= 2G (1 +ν )
E
εv
−εy
ε v = 2ε x − ε y α −εy
1− 2ν
2 senψ tan α = 1 − senψ
MODELO MOHR COULOMB PARA PRUEBAS EN ELEMENTOS PRUEBAS TRIAXIALES A DIFERENTES PRESIONES DE CONFINAMIENTO
σ y −σ x
σ y −σ x 2 1 2
1
εv
−εy
−εy
εv
−εy
1
1
2
2
−εy
σ y 1 + senφ , E = const., φ = const., ψ = const. (c = 0) = σ x 1 − senφ
LIMITACIONES DEL MODELO MOHR-COULOMB DIFICULTAD DE CALIBRACIÓN: Esfuerzo desviador
Deformación axial
LIMITACIONES DEL MODELO MOHR-COULOMB REBLANDECIMIENTO POS-PICO (ARENAS DENSAS): Esfuerzo desviador
No confiar en valores altos de φ ! El reblandecimiento pos-pico puede conducir a una falla progresiva Se recomienda ser conservadores en los valores φ ≤ 35 º
Deformación axial
Dilatancia: ψ
≈ φ − 30o (ψ ≥ 0o )
LIMITACIONES DEL MODELO MOHR-COULOMB LINEARIZACION DE LA ENVOLVENTE DE FALLA: Esfuerzo cortante
Rango de esfuerzos considerado en el laboratorio
c, φ
Esfuerzo normal POSIBLE SOBRESTIMACIÓN DEL FACTOR DE SEGURIDAD EN ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE TALUDES
LIMITACIONES DEL MODELO MOHR-COULOMB Bilinearidad (constantes E y φ). Dilatación ilimitada. Isotropía. Respuesta elástica alejada del estado límite. Etc. Se cuenta con modelos de comportamiento más aproximados: - Hardening Soil Model (arenas) - Soft Soil Model (clay)
RESUMEN DE PARAMETROS DEL MODELO MOHR-COULOMB
E
ν c’
φ ψ
Módulo de Young Relación de Poisson Cohesión efectiva Ángulo de fricción efectiva Ángulo de dilatancia
[kN/m2] [adim.] [kN/m2] [grados] [grados]