MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS CURSO DE ESTADÍSTICA ESCUELA AMBIENTAL JAIRO TORRES VELÁSQUEZ
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL: Una variable aleatoria X tiene una distribui!n bino"ial # se onoe o"o una variable aleatoria bino"ial si # s!lo si su distribui!n de $robabilidad est% dada $or:
, É , , !"# $ % & # ' #( #% ) ) )#* & & Con '(N)"ero de *'itos en n + '(,&-&.///&n
Donde en el e'$eri"ento&
Nota: Tecla nCx en Calculadora Calculadora
0a"bi*n&
CONDICIONE1 PARA APLICAR DI10RIBUCIÓN D I10RIBUCIÓN BINOMIAL: -
El experimento se realiza n veces de forma INDEPENDIEN0E/ La $robabilidad de *'ito $ se mantiene onstante para las n veces que se realiza el experimento.
EJEMPLO DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: La probabilia ! "#! #$ pa%i!$&! '! r!%#p!r! ! %i!r&a !$(!r)!a *iral !' ! +,-. Si '! 'ab! "#! /0 p!r'o$a' 1a$ %o$&ra2o !'&a !$(!r)!a. 3C#4l !' la probabilia ! "#!5 a.6 Sobr!*i*a !7a%&a)!$&! #$a p!r'o$a. b.6 Sobr!*i*a$ 'i )#%1o 8 p!r'o$a'. %.6 Sobr!*i*a$ !$&r! 9 ; p!r'o$a'. 1olui!n/
Datos del problema:
-."/012 ."/012 30 4567 45 67 0 890: ;<0 :0 106<4015 106 <40158 8 30 <87 3 530: 0?4017 / 0895@ 0 : +84 =>ABC."/012 D12E5E7@7353 30 F?792 2 106<40151:0
a.)
D = GHG A,CG=A,CGHG A,AACI
Nota: Cuando la probabilidad es puntal [P(!")#$ se utiliza la f%rmula$ pero cuando es acumulada$ se utilizan las tablas de probabilidad acumuladas de la binomial. Es el caso del si&uiente numeral. b.) c.)
D J K LMNOP E?'8,4 A,KAQR DS J J R D J R D T S D J RD J U
('uscado en la tabla de binomial acumulada) ('uscar en tablas)
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD 2IPER3EOM40RICA: Una variable aleatoria X tiene una distribui!n 5i$er6eo"*tria # se onoe o"o una variable aleatoria 5i$er6eo"*tria si # s!lo si su distribui!n de $robabilidad est% dada $or:
W !YW V XV X Y -!"# F! #% B J W J ! W W-!"# F * ! 7 Para '(8&,&-9n on
# on n
Donde&
CONDICIONE1 PARA APLICAR EL MODELO 2IPER3EOM40RICO: -
La selecci%n de la muestra se realiza sin reemplazo. Del total de resultados *$ es posible obtener + ,xitos - * + fracasos. Del total de resultados n$ es posible obtener x ,xitos - nx fracasos.
EJEMPLO DISTRIBUCIÓN TRICO: ?E'"#!)4&i%a)!$&! ob'!r*! !l 'i@#i!$&! !!)plo6 U$ lo&! ! N++ ar&2%#lo' %o$&i!$! /+ !(!%o'o', '! '!l!%%io$a #$a )#!'&ra ! $0 ar&2%#lo' 'i$ r!!)plaFoG, !$&o$%!' 7 !' !l $H)!ro ! ar&2%#lo' !(!%o'o' !$ la )#!'&ra. ?$06. 3C#4l !' la probabilia ! !$%o$&rar ar&2%#lo' !(!%o'o' !$ la )#!'&ra 5
Z
;(,8 De
n(> ?1in ree"$la@o X: N)"ero de de/ No $uede sobre$asar ; ni ta"$oo N
1olui!n/ Para esto se utiliza el modelo como si&ue:
GP \PPGP GP G]P ` =QA_S A,A=QQ \ H\ \ [ \PPH \PPH^ =A_UUAA_>
Nota: /e reemplaz% los datos en el modelo 0iper&eom,trico.
FUNCIÓN MODELO DE PROBABILIDAD POI11ON: Una variable aleatoria X tiene una distribui!n $oisson # se onoe o"o una variable aleatoria $oisson s # s!lo si su distribui!n de $robabilidad est% dada $or:
Ya a b
7 Para '(8&,&-9 on e(-&G,H// Constante
% a c d a -!"# % ef # -!"# %e g* h i
La "edia de la Poisson es:
# desviai!n est%ndar
/
CONDICIONE1 E1PECFICA1 PARA APLICAR EL MODELO POI11ON: -
El n1mero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo (o 2e&i%n o 3rea espec4fica) es independiente del n1mero que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo.
-
La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo mu- corto o en una re&i%n mu- peque5a$ es proporcional a la lon&itud del intervalo de tie mpo o al tama5o de la re&i%n.
-
2ecuerde que espec4fica)
j k
es el n1mero promedio de resultados (Por tiempo o 3rea o re&i%n
EJEMPLO DI10RIBUCIÓN POI11ON: El $H)!ro pro)!io ! par&2%#la' raioa%&i*a' "#! pa'a$ a &ra*K' ! #$ %o$&aor, #ra$&! #$ )ili'!@#$o !&!r)i$ao !$ #$ !7p!ri)!$&o ! labora&orio !' ! -. C#4l !' la probabilia ! "#!: a.6 E$&r!$ 8 par&2%#la' al %o$&aor !$ #$ )ili'!@#$o !&!r)i$ao. b.6 E$&r!$ al )!$o' 9 par&2%#la' al %o$&aor !$ #$ )ili'!@#$o !&!r)i$ao. 1olui!n/ Datos del problema
30 4519i 6 <@ 5 : ;<0 45:58 e /7 @ 7 : 0m<832 l -."/012 j C D12/0372 30 4519i6<@5: e /7@7:0m<832
n
Nota: La 1nica informaci%n que necesitamos para usar el modelo poisson es . a.) b.)
D K =
op\,qGrYs = A,AC (6qu4 se utiliza la f%rmula poisson) Mb
D t S = − D T S D t S = − D J U Nota: 7samos tablas porque es una probabilidad acumulada. \ D t S = − u D?' n = − A,USR = A,IKQ NOP