SbtumC ,ou"****, rdfn KclcI
Agoes5 Soecfomo
k 6eod..esi"lb@tike Progrw$GHdn Fektrltas llmu & Tekeo+€i KGbupkln
lnstitutTeknatcstBandurrs[ o@Conyright(rrc rght to copy)
KATA PENG${TAR Wata ng Syutur bei AlH, SWf png Mr rnaqieinbn EMimp dasar-eff ffin qara nwgi;h Wai atnt pltlipn ma pqMtupanffi. f.$on ?i dlrffi&n dapt MrTranffi 4i pnfu. yang tuIMk n?sty:$W,dasr nelah waik Wuiarw-pitnl WWn pttg &l* mula bwtf dapt'OnHiptwr WrU &,btpk W lanan. fary Hah bntak nwU*hui malah iri^plufrs angat @i pnfu snn hn kitik urtfi,tkptfiglabn ffib p'tuitan. hn fui ry ppgbdum &n tugtn,ma,ryMuinebh pWn^pciA; FnW mya @i an& agr ept md4asliin itmu nsr dr?tu Wlrrat. Wrttnpn ffiNdi dabrnWtib inihpt WutBrytray S4;aU memfuibnnanfu mlaupn kail bgi pnfu dalian -
Hormat soya Pe'nulls
yang lebih fiada membahagiakan diri, sel-ain memberi guna pada orang lain.
EAFEffi Tsf l{o1. ,
Kata,Fenflantar Daftar I$
BrgraN r
tt
iD464R rOSlgEP
1 I I 6
BAB I'PEIIDAHULI'AII 1.1. fEnggthn UmumTransbrm6l Transformasl 1,2. Fararneter Kmversi 1.3. rengertian.Umum Daturn 1.4. Transbnnasi
BA6a$r IL
a
9
!o
?D
W
10 t6
BAB II }IETODA HELIIERT dAIAM BENTUKMATRIX PEI{YETESAIAI{ COlffO]f
gOAt
x9
3 TMNsiFotRtltAsl HELIIERT
A. TransbrmaslUmum B; Transfurmrel Slstern KoordinatLokal ke Sbtem ProyekslCffi-3") : C. TransformaslDitlam Hltungan Potigon SOAL- SOAL I.ATIHAN
19 a aala.aaaaaa
a.a.
24 25 27 28 33 39
BAB IIT HETODA LAUF LAUF CO! TOH SOAL: TRANSFORMASI SOAL - SOAI. TATIHAN
BAB TY UETODA AFFIT{E
{1 /fil 46
BA€IAN rTt
47
CO]IToH s(}AL : RA}ISTRMASI AFFINE SOAL - SOAL LATIHAN
TONIfERS TOQRDIT{fiT
BAB V KONVERSTKOORDINATGEODETTKi+ PROYEKST 5. I. KONVFRSIKOORDINATGEODETIKE) KOORDINATPROYEKST
urltrrlq-3o
5.2 KONVERSIKOORDINATPROYEKSIUTMfTM-3o Ee K@RDINAT GEODETIK COTITOH SOAL : KONI/ERSI GEODETIK C' PROYEKSI COIITOH SOAL : KONVERSTPROYIKSI E:} GEODETIK SOAL - SOAL TATITIAN BAB \/I I(OT{I'ERSI GEODETIKC+ GEOSENTRII( 6.1. KONV€RSIKOORDINATGEODETIK KC GEOSENTRTK 6.2. KOM{ERSIKOORDIfiATGEOSEHTRTKKE GFODFNK GEOSEI'IIRIK OOilfOH SOAL : l(Olrl\IERSI GFODFIIK + gO$fOH. Stt L : KOMIERSI GEOSEi|TRIK c GEODETTK SOAL - SOAL T.ATIHAN
58 56
s7 59
6o 62 63 63 64 6{ 65 66
r&f. g, 6a 70
BAB VII rONVERSI TOPOSET{TRIK4 GEOSENTRIK OOlfTOlt SOAL 3 KOIif\TERSITOFOSEIfTRIK E SOAL - SOAI I.ATIHAN
BI@Alr w
GEOSAffRIK
7Z
D#ruli slcFr
72 72 76 78 79 82
EAB VIII DATUII SHIFT 1. PET{GERTIA'IDASAR DATLI!{) 2. DATUIfstlIFT (PERGESERANT . COilTOH SOAL : DATI,M:SHIFT , 3. TRAtitSFOR'lASfKOnFORtitEIIRSA - WOLF .
CO'fTOH SOAL : TRANSFORIIASIBURSA. WOLF 4. TRANSFORIiIASIKOI{FORF{ ]tlOtODEHSfCf BADEI(AS
8A6IAN V TRAT{SFORIIASIKOORDINA'TANTAR pt\tA PRotlffigE BAB'ff nmrsroR!|A$ ArrAR rcl$A DASAR 1. PERT{MBAT{GAN 2. TRANSFORIIAS-I PAdAFC}LYEDER -pada U T t{ / T M-3o 3. !3AI{SFORMASI
..a
a aar'aara..taa
86 86 86
a7
lRliNSFORtiiASt GotlT,HAn|}r COffTOH SOAL : IRAT{SFOR}IASI GOTTHARDT
89 89 92 97
MFT.AR ru TATA IITAPIRAN
s4
I-fiTt.JhIcANfiTATRIX
t8
Sisl€nf & Tranrbmapit t
BAG,,.N ' '(OA'SEPDASAR
BAGIAN I
KOITSEP DASAR
(Konsep Dasar Sistem Koordinat & Transformasl Koordinat) Merupakankegiatandalamprofesi Geodesiyangseringdijumpaiadalah:
Untuk dikaji dengan lebih mendalam,dasar kegiatan seperti di atas, akan menjumpaiproblema yang mendekatiserupadan dengandasarpengetahuan sertiapemikiranyang serupapula. tvtiteri kajianini, iebih dikenafdengan "Ttansformasl Koordlnat'. Transformasipeta ini sangatbergunaunfuk:
Mengingatpentingnyatransformasipeta, materi ini dibahas secara khusus, sebagaimanadinyatakan menjadimatakuliahataubagiantersendiri. Sebagai langkahawal pengkajianmateri(transformasi koordinat),berikutini akan disampaikangambaran secaraumumperihaltersebut.1.1.
Penqertian Umum fransformasi Cukup banyakkemungkinan dalammengartikan"transformasi", sehinggauntuk mencegahsalah pengertian, sebaiknyaditegaskan terlebihdahulupengertianistilahtr:ansformasitersebut Transformasi secara umum adalah perubahan suatu bentuk dan ukuran ke bentuk dan ukuran lain, baik secara fisik maupun secara non-fisik. Yangakandibahasdenganlebihlanjutadalahtransformasiberupaperubahannon-fisik,mengingat -paOa yang tengahdipelajariadalah gambaranteknik dari obyek muka bumi yang dititik-beratkan masalahposisi.Dengandemikian, padakoordinattitik. transfOrmasi ditekainkan Sebagai penerapan pengeftlan di atas, maka transformasl yang dimaksudkan di sini adalah perubahan kaordinat obyek dari suatu sistem koordinat lresistem koordinat lain. Berdasarkanpengertianterakhir di atas, dapatlah dibayangkan bahwa mungkin tidak terjadi perubahan bentuk dan ukuran fisik obyek, melainkan pernyataan posisi obyek yang meiiadi herbeda. Mengingattitik merupakanunsurterkecilpembentukobyek, makamungkin saja terjadi perubahan bentuk dan ukurcn obyek sebagaihasil transformasi,tergantungdari metodahansbrmasi yang digunakan. Setiapmetodatransformasi memilikiperbedaan hasiltersendiri(spesifik)mengingatdasarpemikiran danjeniskasusyangberbeda.
Pelengkap[fK
S.7iK
BAGIAN ' KOA'SEPDASAR
Stsfert & Tranfomasl Koodinat Fenfe|esaran l3 Soallrffnn
OBYEK ALAII
@
I Acuansbtem Acuanhttungan Satuanhitungan Diagram l. Terladinya Koordinat Tlul(
Perludigaris-bawahiberikutini, berdasarkandiagram1, bahwadalam mengartikansistem koordinat terdapatbeberapaaspek yang pentingartinya,yaitu :
: ffiffii:gffiffiTeter'dan Untukitu, perluditinjaukembalidasarpengertianSisfem koordinatn. Untuksingkahya,dapatdikatakanbahwa: "Sistem koordinat adalah suatu kesatuan yang dibentuk sedemikan rupa dalam menyatakan letak atau posisi obyek yang tidak tergantung pada obyek lainnya." Sebagai akibatnya,dapat dikatakan bahwa sistem koordinat terdiri dari beberapa komponen pembentukyang bersafudenganaturanatau tata-caratertentu- Pada dasamya,hal pertamayang perludiperhatikanpadasistemkoordinatadalah:
o Besaran c Satuan Bidang acuanhitungan dapatberupabidang datar dan bidang lengkung (baikpermukaanbola ataupunellipsoid)Penempatangans atau bidang referensi koordinat,terdiridari : r Pemyataanlpendefinisian gar's atau bldang referensl koordinat (berikutnya disebutsebagaisumbu) o Letak pusat koordinat r Orientasi/arah"sumbat"koordinat Tata-carapemyataanpasisi obyek, dijabarkandalam: o Besaranyangdigunakan,yaitubesaranuntukJarakdanlatausudut r Satuanskala yang digunakan(mengingat 'panjang"skala sumbu koordinatdapat berbeda) pula Dfmensf posisi r Banyaknyafiumlah)sumbu yang digunakanyang menyatrakan obYek Berdasarkanuraiandi atas, maka terdapatbeberapajenis sistem koordinatyaitu sistem koordinat 2D (bidang)dan 3D (ruang). yangtelah Adapunnamadarijenis sistemkoordinatdapatberbeda,karenaperbedaanaspek-aspek diulasdiatas.
Pelengkap ffK S.f.K
SlsterrS lhanlbrnasl Koufrnat Erydesatan t Soaltatrlnn
BAGIAN ' KOI'SEPDASAR
o Jenis-ienissistemkoordinat:
(tinjauansah.ranyang digunakandalammenyatakankmrdinat obyek)
u
o t r I I
bidangacuanhitunganadalahbidangdatar menempkanafurangaris-lurusantiarobyek besaranyang digunakanadalahbesaransudutdan panJang{arak} menerapkansatugaris-lurus(arahtetap)sebagaiacuansudut ke obyek lain koordinatobyekdinyatakanrelativtefiadap (dari)suatuobyektertentu
r a r r o
bidangacuanhitunganadalahbidangdatar,baik 2D atupun3D menerapkanaturang4ris-lurussebagaisumbu(garisacuan) setiapsumbudiletakkansalingtegaklurus besaranyang digunakanhanyabesaranpaniang fiarak) koordinatobyeksangattergantungpada: r letakpusatsalibsumbu o orientasi(arah) sumbu,dan . selangskala
o o o O
bidangacuanhitunganadalahbidanglengkung(bolaatauellipsoid) sebagaisumbupadapermukaanbidanghitungan menerapkanaturangaris-lengkung salingtegaklurus setiapsumbudiletrakkan besaranyang digunakanhanya besaranjarak sferls lpada bola) atau larak irftsan normaf utama (Wda elltPsolda)
Nama/sebutan sistem koordinat: Padaprinsipnya,namasistemkoordinatini dikaitkandenganjenis yang berbeda.Nama-nama sistemkoordinatberikutini,telahumumdigunakandalammasalahGeodesi. Dalamhal initerdapat2 (dua)modelkoordinatyangdapatdibedakansecarategas,yaitu: 1. Sistemkoordinatrelativ,yaitu: suatuobyekdinyatakanrelativterhadapobyeklainyang
yans rerativ terhadap obyek obyek dinyarakan z. 3if""#i9ffff'ffi.llfr?:X"itu:semua
tefap(dalamhaliniadalahtitikpusatkoordinat). 'kembangan"yang menjadisuatu sistemkoordinatpula, Walaupundemikian,terdapatmodel seperti:
Ukur Tanah), yang merupakan r banyakdigunakanpada pemetaan(surveying/llmu pernyataankoordinatrelativ. pengukuran(sudutdan jarak)padasurveying,menggunakansistem I metoda-metoda koordinatini. r pemyataan koordinat obyek bidikan, dinyatakanrelativ terhadap titik tempat pengamatan. r banyakdigunakanpadapemetaandengansistemproyeksitertentu r arah sumbuY menJadiarah Utara Peta(lltan Grtd,, dapat diorientasikanke arah utarageodetik o MerupakansistemkoordinatCartesian 3D denganrinciansebagaiberikut: r pusotsalibsumbu(pusatellipsoida)diletakkanpadapusat massa bumi o sumbu ke 3 (sbZ) tepat/berimpit dengansumbuputarbumi . sumbu ke 1 (sb X) merupakangaris potong bidang meridian melalui GreenwichdenganEquator . sumbu ke 2 (sb Y) merupakangaris potong bidang meridian90o Timur GreenwichdenganEquator
Peleogkapf,tK S.f.K
Sisfam t Tnnfontasl l(anilnat ftrfp esarar & Sodtatiltan
BAG'AN ' KOTSEPDASAR
. Merupakansistem kdordinatCarlesian 3D dengan rinciansebagai berikut : o puS€tsalib sumbudilebkkan pada tempaipengamatan o sumbu ke 3 (sb Z) tepat/berimpitdengangads nomtatmenujutitik Zenith o sumbu ke 2 (sb.Y). merupakangaris singgungmeridian tlmpat pengamat menuiuutanageodetik. ' sumbu ke 1 (sb X) merupakangaris singgungirisan normal utiamatempat pengamat Merupakansistem koordinatKurvalinter pada permukaan elllpsoid dengan rinolan sebagaiberikut:
: lH:13ffi:1"ffi:13ffifl1?1"'"f#s.ianmeraruiGree .
:
r Besaran koordinat dinyatakansebagai: ' Bujur : "sudut yang dibentukantiarab'rdangmeridianmelalui Greenwich sampai .d.en-gqn brdang meraruititik yang dimaksud, positiv ke fimurddlSOh ' Llntang : "sudut yang dibentukantarabidang/garisnormalmelaluititik yang
r Merupakansistem koordinat Kurualinier pada permukaan bola dengan rincian sebagaiberikut: . badangacuan"mendatiafadalah Equator . bidangacuan"tegaK adalahbHang meridian metalui Greewich o Besaran koordlnat dinyatakansebagai: ' Bufur : "sudut yang dibentukantar:abidangmeridianmelaluiGreenwich Tmpai ,o."lgqn bidang meraruititik yang dimaksud, posiuv ke Timurdd 18O". ' Lintang : "sudut yang dibentukantarabidang/garisnormalmelaluititik sampaidenganEquator,posftiv Re lltan Vd g0o,, fsnglngFt banyatnya ragam slstem hoordlaqt dai bcsar elllpoold yang nungldn dlgune|.qn, maka dqta'n melatutaa transforiast 1rcrlu dimengertl dengan pastt sistem Loordinat yang dlgunehan
SISTEII KOORDINAT2D o
Bidang Datar KoordinatPplar: l r)
c[1rd1 atiau crsrdl o2rd2 atiau crscrd2
Koordinat Carteialu I
XarYa
r Xe, Ye 0 Xc,Yc
llustrasi 1 : SistemKoodinat 2D Datar
PerangkaptfK S.f.K
Koordinat polar, menyatakan posisi titik relativ terhadaptitiklainnya.Parametersudutpadasistem ini, dapatberacuangarissejajarsumbuX ataupun sejajarsumbuY.
Slstcn &Tralllomasl
l(ootdnat
BAG'AN ' KOA'SEPDASAR
@ .
PermukaanLengkung ELUFSOIDA gpris nomal melalulttt
Koordinat Geodetik Koordlnat Astronomik llustrasl 2: Slstem Koodlnat 2D kurvallnler(tengkung)
SISTET KOORDINAT.3D (Perh atikanifustrasr3.) Pengubahankoordinattitik antar sistem koordinatdenganbidangacuan/permukaanhitunganyang sarna,disebutdengan Tnnsformasl KoordlnatPengubahankoordinattitik antrarsistem koordinatdengan bidang acuan hitunganyang berbeda, disebutdengan Konrrerci Koodlnat.
ZL
I
Nomal elllpsoid melalul tldk --+, ---l
F:-:-:: [-_-7
it'
a----.-.i-----..-.-+_.-.---.--..--.--"_.l---_-: a
t tl
llustrasi 3: Sistem Koordinaat 3D Datar
SistemKoordinat Geosentrik,dinyatakandalam : X,Y ,Z
tr Sbtem Koordinat Topoeentrik,dinyatakandalam : T, U , H
Pdengkap ItK S.f.X
Stsilcn,t Tlutfomasl r<@rilnat
BAG'AN ' KOTSEP DASAR
@ @ntoh tnnsformsl koordinat:
'l
Y
-'
,
At
1 t
-l
-tt
\ I
I
'-
1
O(o,olr*- lr--
Ll
----"
t
t I
>:\ x
I I
Lt t
llustrasi 4:
Perubahan Koordinat
llusbasi 4 di btas., memperlihatkanperubahanbesanankoordinatobyek (misal : bangunan)dari posisilama (x,y) ke dalamposisibaru(X,Y). Perubahanpemyataankoordinattitik-titik,sebenamyamerupakanakibat dari perubahan sistem koodlnat , dari sistem pertama (sistemlama) ke sistem lainnya (sistem baru). Hal ini akan berlakuuntukseluruhtitik yang terkandungdalamobyekyang difansformasikan. Terdapat 2 (dua) kemungkinanterjadinyaperubahankoordinat,yaitu : o o 1.2.
Sistemkoordinattetap,tetapiobyekyang berubahtempat Obyektetap,tetapisistemkoordinatyang berubah.
Parameter Transformasi Sepertiyang telah diketahui,bahwaperubahandalam suatu transformasiyang terlihat langsung (lihat Gambardi atas.)adalahterjadinya pergeserandan perputaran.Pada transformasiyang umum,terdapatparameterlainnyayangtidakterlihat,yaitu perbesaranskalasistemkoordinat. Dengandemikianparametertransbrmasiyangharusdiperhatikan adalah: o o o r
Parameter translasi (peryeseran) Parameter rotasi (perputaran) Parameter perbesaran (scaling factor)
Translasi Translasi sistem koordinat,merupakanbesamya pergeseranyang terjadi pada semua titik yang dinyatakandalam sistemkoordinattersebut. Translasiini dapatdiartikanpula sebagai besamyapergeserantitik pusat koordlnat sistemlamake sistembaru. Akibatdari bergesemyapusatkoordinat,makakoordinatseluruhtitikyangdinyatakanterhadap sistemkoordinattersebutakanikutbergeser,denganbesarpergeseran yangsama.
Pdengkap MK S.f-K
Srsftnr& TnnJonlrn.dKprdrnal
BAG'AN ' KO'YSEPDASAR
#
&nF{esaten
E SoalLaliDan
Gambar1. memperlihatkanperubahanpusat koordlnatsistem lama (salib sumbu x,y) ke dalam sistembaru (salibsumbuX,Y) Pergeseran/banslasifransbrmasi dinyatakansebesar aX , AY Besaran hanslasi ini merupakan*besar koodinat titik pusat koodinat lama pada sistem koordlnat baru'. Hal ini akan beraklbatpada koordinattitik yang dinyatakandi dalam sistem koordinatlama (misal titik A) , yaitu xr + Xr dan yr -+ Ye. Secaramathematis,dinyatakansebagai:
)Q=xr+AX Yn=yo+AY Rumusandi atas, digunakanuntgk menghitungkoordinattitik-titikdari sistem lama ke sistem baru. Dalam prakteknya, aX dan AY' dihitung dari beberapatitik yang ada Tltik-titjktersebut dinamakansebagai titlk sekutu (common point).
. Bsbi Parametertransformasiberikutnyaadalah parameterberupa "putaran" salib sumbu lama terhadapsalib sumbu baruGambar2., memperlihatkanputiaransalib sumbu xoy menjadi XOY denganbesar putaran (rotasi) cr. Yang perlu dipefiatikan di sini adalah pusat putaran. Rotasi pada Gambar 2., merupakan rotasi absolut, yaitu rotasi yang dinyatakanpada pusat koordinat. Akibat rotasi absolut ini. makaseluruhobyekyang dinyatakantefiadap sistemkoordinattersebutakan ikut terputar. Secaramathematis,dinyatakansebagai: Xe = xr.Cos o - y1. Sin cr Y1 = !a.Gc ct + xa. Sin cr
(1-2)
Rotasi Dimana: cr = o
besarnya sudut rotasi dari sistem lama ke sistem baru , positiv untuk perputaranberlawanan jarumjam
Perbesaranskala Suatu sistem koordinat, tidak mungkin terlepas dari besamya selang/rentangskala yang digunakan, mengingatsistemkoordinatharusmengandung skala. Selang skala yang berbeda, akan berakibat pada perbedaan pemyataan koordinat titik, sehinggaapabila terdapat 2 (dua) sistem koordinatyang menggunakanselang koordinat berbeda,makadalammenyatakankoordinatsuatutitik akan berbedapula. Gambar3, memperlihatkan2 (dua)salibsumbuyang berimpit,namunmenggunakan setang skalayang berbeda.
PelengkapilK S.f.r(
Ststent & Trarlfotm*l K@tdtnat Peiltpesairln t SoalLadlran
BAGIAN ' KO'VSEPDASAR
-r-r-r 1
Gambar3. Parameter Perbeearan (Scalling Factor) Pemyataanmathematisuntuktitik A adalah: Xl=lxr Yl=xyr Dimana: l" = parameterperbesaran,yaitu perbandinganantaraselangskata sistem lama terhadapselangskala sistembaru Ketiga parameter transformasi ini mungkin bergabung (menyatu) dalam suatu transformasi koordinat. Dglam pnffieknya, besaran parametertrans'formasiini dihitung/didapatkanberdasarkan titiktitlk yary talah dinyatakandalam kedua sisfem tersebuf. Tidk semacamini disebutdengan "Tltik Sekufu" (common point). 1.3.
Penqertian Umum Konversi Telah disinggungdi atas, bahwa koordinatdengan bidang acuan yang berbeda'disebutdengankonversi.perubahan/pengalihan koordinat. Dalam hat ini, terdapatbairyakkemilngkinanyang akandijumpaipadakajianGeodesi,antaralain :
Mengingatmasalahpertamaterseb.utdi atas, merupakanperihalhitung Geodesi,tetapi sering dijumpaidalammasalahtransformasi peta,makaakandiulaspuladalamtuiisanini.
--------)F--r
+ | ."\B --.ql<__.'/__
I I I
Y
F
llustrasi 5 : Konversi Geodetik ke proyeksi peta
ftrelrgkaptfK S.f.K
I I I
Sfsaen,& Tranfoxlnes/ l(oplrdlnat Pwrnhsalan A Soarlrdrtatt
BAG'AN ' KOI'SEPDASAR
i-------,-i{::--:; llustraii 6 : Konverci Geodetik ke Geosenbik
1.4.
TransformasiDatuJn Disampingtransformasidan konversiyang telah disinggungdi atas, terdapat masalah lain yang dapatmenjadiperhatianutamadalam Geodesi,yaitu DATU|L Pengertian datum secarasingkatnyaadalah: " Suatu besaran ataupun ketentuan yang harus ada, di mana besaranldatum tercebut menentukan besaran lainnya, sehlngga dikatakan sebagai acuanlreferensi bagi besaran lainnya" Berhubungdatum merupakanreferensi atau acuan bagi besaran lain, maka dalam masalah geodesl, tldak akan dapat dihitung ataupun dihasilkan suatu besaran, blla datum belumlfidak ditentukannyaterlebih dahulu. Untukini,harapdiingatkembalibidang$idangacuan/referensi padaGeodesidankaitannya,yaitu:
Dalam perihalhitunganbidangdatar (masalahpeta ataupunsurveying),dikenaldengan datum bidang datar, berupa: o L e t a k t i t i k p u s a t s a l i b e u mIbOu{ 0 , 0 ) l E Arah sumbu Y positiv , dan tr Selangskala Dalam pnffiek surueying,ketigahal tersebut,dinyatakansebagai: r Koordlnat titik awal r Sudutjurusan sisi awal , dan r Satuan koordinat (meter) Dalamkawasanluas,di manabumitidaksebagaibidangdatar,makadatumini berupa ellipsoida dlseftai dengan karaHeristik:ellipsoida tersebul Adapun pengertian titik datum Geodesi adafah ketentuan berupa 'pelehkan" ellipsoida yang digunakan, relativ terhadap geoid. Ini berarti bahwaakan ditunjuksuatu titik tertentudan ditentukannyabesaran{esaran dasar yang posisiellipsoidarelativterhadapgeoid,berupabesaranundulasidan defleksl vertikal menyatakan (padatitikdatum),disampingbentukdan besarellipsoidayangdigunakan. padadasamya,bertujuanuntukmengatasimasalahantaralain : Transformasidatum, B o
Pernyataankoordinat obyek muka bumi, bila elllpeoida berbeda/berganti Perubahankoordinat obyek muka bumi, bila tetak ellipolda berganti, baik pusat ellipsoida,maupunarah sumbu karakterbtik ellipsoida.
PENGERTIAII ATAS KOI|SEP DASAR, merupakan syarat utama untuk pelaksanaankeria yang
ffi*frE
PelagkapfK
S.f.K
Slrtrnr & Trutfomasl l(ootdtnaa
TRANSFIORHASI2D
BAG,AN "
Fenyeresalan ti Soaf tatrlnn
BAGIAN N
TRANSFORMASI 2D
Terdapatbeberapametoda bansformasibidang datar 2D yang dapat diterapkan(diaplikasikan). Setiap metoda mempunyaikeistimewaandan kegunaan yang berbeda, sesuai dengan asumsl dasamya.. Rumusantransformasidengan metoda yang berbeda,dapat mengakibathasil akhir yang berbeda,baik dalambentukkoordinattitik hasilhansformasi,maupundalam bentukgeometrikobyek (selaintitik). Dalamtulisanini,metodauntukbansbrmasibidangdataryangakandibahasadalah: o o o
Metoda Helmert Metoda Lauf , dan Metoda Afflne
Setiapmetoda,akan memungkinkanuntukditerapkanmelalui: r
Caranumerik: * Biasa (tanpa"ukuranlebih') €. Least Squarc (dengannukuranlebih") Gara numerik denganbilanganimaiiner hasiltransfonnasimelalui hargapendekatan. Garagrafis : untukmengetahui
r r
Mengingatsetiapmetodatransformasi,berdasarkanpada asumsiyang berbeda,maka metodatransformasi tertentuhanya baik untuk diterapkan pada kmus tertentu (tidak se,muakasus)-
Metodaini ditujukanuntuktransformasikoordinattitik denganan(Xlapan(asumsi): perbesarantetap antarasistemkoordinatlama dengansistemkoordinatbaru) Sebagaiakibatdarianggapandi atas,makametodaini hanyaberlakuuntukhansformasi: antartitik< 15 km')
p,2fito) (umarvono
Keadaanterbaik setiap metoda transformasl koordinat adalah bila trtrfr-dAJroby* (yang akan dltransformasikan)berada"di dalam'laring tltik sekutu. Ya --=={ ; 'r.,
, , t ,.
r:,
a = titiksekutu o = titik obyek X, Y = sistem koordinat"bart x, y = sistem koordinat"lama"
o,j-r
---*-
llustrasi 7 : DistribusiTttik Sekutudan Obyek
10 Pelengkap tfK S.f.K
Srstem & Tranlotmasl K@tfinet
BAG'AN N TRANSTONNAS' N
ffi Padametoda Helmert:
Ya , t t
r> -.|
-
x Gambar4. MetodaHelmert Keteranoan: koordinattitik padasistemkoordinatlama koordinattitikpadasistemkmrdinat baru = Xt, Yt koordinattitik padasistemkoordinat'antara' = parameter/besaran banslasidarisistemkoordinatlama ke baru t,% Untukpenurunanrumus Helmert,dapatditempuh2(dua) cana,yaitu : melakukanhanslasi kemudian rotasiatau sebaliknya. Gambar4., memperlihatkanrotasi .terlebihdahulu. =
XrY
=
X,Y
Rotasi : ( dari x,y ke X,Y ) Misalkan : paqjang vektor dari pusatkoordinatsampaititik obyek adalah D. padasistem x,y : p a d a s i s t e mX ' , Y ' :
atau:
x = Y = X' = Y'=
D Slncr D Coacr D Sln(a+ro) D Gos(a+o)
.........(2-1a)
.......-.(2-rb) .........(2-2a) .(2-2b)
X'= D ( Sin cr Coso + Coscr Sin ro) Y ' = D ( C o s c C o s r o- S i n c rS i n o )
X ' = D S i n q C o s o r+ D C o s a S i n o ) Y ' = D C o s a C o s a -r D S i n c rS i n o ) terakhir: Substitusikan(2-la) dan (2-1b) padapersamaan-persamaan sehingga: X'= x Cc ro + y Sin o Y ' = y C o 6 6 )* x S i n o r= - x S i n o + y C o s o r
.........(2-3a) .........(23b)
Translasi: ( dari X,Y'ke X, Y )
)( = x'+)G I = Y'+Yo Bila :
Go€o = a -Sino = !
t Yo
=Gr =C,
)(= ax f = bx
-by+Gr +ay+Gz
.........(2{a} .........(2-5b)
Apabilatetdapat perbedaanfaffior skaladari sistemkoordinatlama ke baruyang konstan (misal: sebesarl. ), maka rumusHelmerttersebutdapatdinyatakansebagai: 1l Pe{engkaptfK S.f.K
Stsfen, & Ttalllfwnracl Kootilnst
BAG'AN
TRANSFORNAS' 2D "
Fanyrbsarant SoJt d[art
a=leosro X" =Gr
Untukmenghitungnilai I
; i
b=-lSino Yo =Cz
dan
:
digunakan:
I=\pF
.........(2€)
ro = Arc Tan ( -bra ) Rumus (2-6) berlaku untuk semua titik baik titik obyek maupun titik sekutu, Untuk dapat me,pghitungbesaran i , b , Gr dan Cz (sebanyak 4 variabetpada 2 peuamaan),maka dalim aplikasi metoda Helmert,diperlukan mlnimal 2 (dua) titksekutu. Berdasarkankoordinattitik sekutu,dapatdihitung besarantnansformasidi atas. Berikutnyabesaran tersebut(besarantransformasi),digunakanuntukmen-hansformasi-kan titik-btikobyek.
B
Transformasi metoda Helmert dengan ttik sekutu > 2 titik Syaratcukup pada metoda Helmert adalah 2 (dua)titik sekutu,tetapi bila titik sekutuyang akan digunakanlebihdad 2, haruslahmelaluihitunganperataan(adjustment). ,. Berikutini, akan dituliskanpenggunaanLeastSquare untuk hihingantitik sekutu > 2 melaluimatrix dan menggunakan"perataanparametef dengan parameteryang dimaksud adalah parameter (besaran)transformasi. Persamaan(2-5), dapatdinyatakansebagai: -by+Cr-X ax b x + a y + Cz -Y
=Q = Q
Bilapersamaan tersebutditerapkanpada titik A dantitik B ( titikA dan B adalahtitik sekutu) dan dinyatakandalambentukmatrix,makatertulis :
()r'l
-Ye -Ya
1 1
0 0
xAol XsO1
la .lb
I lx^l l-lx"l= I c' I I Yol
O
......tz-rl
L""J L""J
r--aa-J
MatiixX
A.pq-F dimana:
Makix F
= O
A = matrix disain ; tXI = matrix parameter F =matrixkonstanta; O =matrixnol
Pq= Keteranqan:
Ar tA nft
Il]
= lrqt.al -t . Ar.F
...... (2{}
= Transposematrix A = Inverci matrix [At A] t2
FeJenglep lfK S.f.r(
Stsrsnt& rigrlbznasl Koodinat
BAG'AN
TRANSNORNAS' 20 "
@
o
Penyelesalan metoda Helmert-l (cara klasik) Misaldiketahui 2 (dua) titik sekutu A dan B, berupa : Sistem Lama x (m) Y (m)
Titik A B
X1 Xs
Y ('n)
Xe
Ye Ye
Dapatditulisankansebagai: Xe = axr -byr +Cr, X e = 3 X a- b Y e + C r ,
Sistem Baru
x (m)
Y1 Yg
XB
Yr = bXr +dyr +Ce Ye = bXs+aYe+Ce
Darikeempatpersamaandi atas,dapatdihitung : e , b , G1 dan C2 Salahsatucaraadalahbila:
dan:
Axm (m)
AYea (m)
Xg - x,{
Xe-Xr Ye-Ya = (Axm)' + (AyAs)' ,
AYas (m)
AXaa (m)
Y6
Ya
maka :
AX^B.Axae + AYo".Ayas ( drs)2 AYls.AXAB - AX,qB.AyAB ( den)'
.........(2-e)
Cara klasikini merupakancarayang mendasardan dapatdihitungdenganmudah,baik untuk 2 titik sekutu maupun lebih. Bila titik sekutu > 2 titik, sangat dianjurkan menggunakan perhitunganmatrix. AdapunlangkahhitungantransformasiHelmert1 ini,adalahsebagaiberikut:
A. Catapenyeresaiansubs0'firsi(AIJabar): 1 . Gunakan ntmus (2-51,untuk titik sekutu. Akan didapatkan4 (empat) buah persamaan, dengan4 (empat)variableyangtidakdi ketahui,yaitu : d, b, C1 dan C,e. 2. Hitungterlebihdahulubesarana dan b denganntmus (2-9l. Untukini, hitung: O
o r
Pelengkapftx S.f.K
Ax,qe=)G - Xn ;
AYag= Ye - Ye
A X 1 g = X B- X A ; A Y ^ " = Y ' - Y n (dm)2 = (Axag)2+ (Ayee)2
l3
Stsa€n,& Ttstfonnsl l(oodinat Ferrpecaratt E Sodl.aftlart
BAG'AN ''
TRANSNORNAS' 2D
3. HitungbesaranC1 dan Q melalui ntfiius;'2€J, denganrnengguRakan besaran a cianb hasii hitunganlangkah2 diatas. 4. Hitungbesaran o dan f, (biladiperlukandengan rumus (2-6)l . 5. Hitung koordinattitik obyek pada sistem koordinat baru kembali dengan rum.At (2-5), dengan menggunakan besaranhasilhitunganlangkah2 dan 3 diatas.
B. Can penydesaranmdalui hlatix : 1 . Gunakan tumus (2-l unnsktitik sekutu. Perhatikan : urutan pemasukadelemen matrix. Jangan sampl terfrtkar-
2. Matrixffi, denganelemen a , b , G1dan G2 merupakanmatix yang akan $ihitung (ttatrix Panmeter).
3. Hitungmatrix[X] dengan rumus (2-8). 4. Besarani , b , G1dan C2 sesuaidenganyangtertenapadarunrus (2-T). 5. Gunakankembali rumus (2-7) untr.tkmenghitungkoordinattitik obyek, dengan urutan sepefti padapenyusunantitik sekutu.
6. Hasif akhir (koordinatbaaru titik obyek),merupakanelemen matrix F. dituliskan sebagai A.Pq = F.
o
Rumus (2-7) dapat
Penyelesaian metoda Helmert-2 Fitik Berat) Dasarpenyelesaianberikutini masihmerupakancara klasik,tetapi menggunakanbantuantitik lain (disebutsebagaititikberat),denganasumsi(anggapan) : (mengalami)translasidanrotasisamabesar o Setiaptitikmendapatkan jarakantartitikditerapkan o Perbesaran setelahtranslasidan rotasi(berikutnya) Perh atikanilusfrasi berikut. Misalkanterdapat4 (empat)titik. Gambar 5, disampingmemperlihatkan konformitasmetodaHelmert,juga dapatdigunakanuntuk kajian penempan menggunakantitik bantu (titik berat) dalam melakukan bansformasi titikdtik obyek. Titik P . sebaoaititik berat . dengan : o posisipadasistemkoordinatlama : xp, Vp r posisipadasistemkoordinatbaru : Xp , Yp Jarakataupunsudutjurusandari titik P ke titik lain (misaltitik r) : Dpi =
1"dpr
Q'?t = Crp; *
ol
d i m a n a:
Dpi , dpr ,
atau
Dpr =dpl+Adpl
a16U
Cttpi=clpi+Agpl
. .. . (2-{0}
e'il ; pada sistem koordinatbaru crpi ; pada sistem koordinat lama
Adpr dan Acrpr merupakanperubahanjarak dan sudut yang dapat dikatakansebagai diferensiasi dari besaran awal. Oleh karena itu, untuk menentukanbesar perubahan,diterapkan turunan (diferensial)rumusjarak dan zudutjurusanterhadapsetiapkomponennya.
Pe/engrep ilK S.f.X
14
Str6nr & Trrrlfotma'd l(oodlnat
BAG'AN
rut!,Eesatan t Soarf.edtrrt
IRANSFC,iRNAy 2D "
A
!\ (---'
,, t , t
,ta
t t
,
1---
M
Konformitas tetoda Helmert
adp,=t#] dx"+t#] dv.+t*]dr+t#] [a""'I Acrpi=t#] d+ + dy"+ 1."r, J
.........(2-11'
o,, t#] dx,+[#]
dengan: dpr =
(IPi =
r\ltr, I
- xp)2 + (y, - yp)2
ArC Tan
(xi - xp)
.......(2-121
(yr - yp)
= % l(& - xp)z+ (y, - yr)rfn. 2t(^-J)(xi _ +)I = -(x, - xp)/ I(xi - xp)t * (y, - yp)rl* = _(X _ xp)/dpr telah diketahui bahwa : Sin cr", = (X - xp / dpi maka : ) , Nq /axp
Nn / 0*
= - Sin upi
atau : ddpi = - Sin up; dnp Berlakukanhalserupa (anarog) untuk suku yang rainnya,sehingga didapat : - Sln apl A$ - Cos opl dyp + Sin Adpl crp drq + Cos uet Nr
PdengkapflK
S.f.K
15
g*ne nunq,nil t.(oalfnet rutfuhsaront SoalLalilnr
Acrpr= -
cegg4
B,ACTAN t TRANSFORHASil ZL Sinaer +Goscel ^ axP+ -6dven -?r A* -
G,
Sinaer
T
Ur,
Berdasarkanpersamaan(1-10), makadapatdituliskan : Slnapr dlrp + Goeas dlp -Sinapi Drr -Cos an Oh + Al,odpr = 0
coFae, oreopl ff-
Np_ff. '
f-"t", J-l (xr - xpl
5.- + ox.
d"
(yr - yp)
d"
0r-I") oxo- q# dpi
o*+
(xr - xp)
r. dlP
d"
Np -
?
dyt+co=o -'' frer"""""(2-13) (y - ypl
a*
a;l
o,
Nr + Al"'dpi= o
Nt + cD = e ............(2-r4)
dengan: dxp = Xp -xp
i
Ah =Xr-xr
i
dlp = Yp -yp
0h =Yr-yr
.......(2-r5)
Koordinattiti berat,dapatmenggunakanharta/nilairata-ratatitik ikat : Xp d i m a n a:
1
=
I
Xyt
.........(2-161
n = banyaknyatitik sekutu danlatau titik obyek (nyr) (Xi,Y) = koordinattitik rekutu atau titik obyek (tamadan baru) i = titik sekutuatau titik obyek
Dengan demikian,apabila besaran il" dan ayp telah dihitung, berdasarkannilai besaran tersebut,dapat dihitung : d4 dan Oy,, mendapatkankoordinattitik obyek,berupa Xr dan y; ..
PENYELESAIANdalam BENTUK MATRTX oPFRAst,-FEBTAHAP Cara ini merupakanpenjabarancara kombinasidi atas, untuk memudahkanhitungan,dengan pelaksanaansecarabertahap. Tahap | (pertama),merupakantahap hitunganmenghitungparametertransformasi,dengan menggunakan koordinattitiksekutu. 'koreksikoordinaf T{ap ll (kedua)bertujuanmenghitung titik obyek,berdasarkanhasil hitungan tahapl. cara hitunganakanserupa,denganperbedaanpada'matrixkonstanta=residtl. Persamaan 12-141, secamumum,dinyatakansebagai:
Apq - F = O
(2-20)
Dandiselesaikan dalam2 (dua)tahap.
Pelangkap flK S.f.K
t6
Sfsaerte TranfbrmaCt<@rcfrnet turydeg'//an E Soalledian
BAG'AN ''
TRANSFORNAS' 2D
Tahapl:
Unfukmenghtfungpatametertnnsformasi, denganmenggunakan titik-titiksekufu :
Alpq-Fl=Q
e-211
matrixkoefisienparameter1 (berdasarkantitik sekuh.r) matrix Panameter matri;xresidu1. (perhatikan tanda percamaan2.21) matrixnot(nihil)
di mana: A1= [Xl= Fl = O =
Untuk tltik sekutu sebanyak n titik, maka :
,'Ei"i ft*-*ti o",i) "l o"' o"
I i i Al=1ry,-Epi , i,l : i : i : i =l | :
|
v
\ [
I
| Fl=
I
|
i
i
:
:
i
v
i :l
i v
x=lnl Lt,J
i9
2n X 4
4Xl
(r!- xe] m, fr * tPr (vr-Je) a,, _ (xl,-fl E N,
W*'l
d"t'
(xr xpt a,, + It
|
cgpt
I
5;'ln,
"Pz E ur, I (ve;vd a., _ (xz.-j
t:
t: \v di m a n a:
rrp2-
:l
I
znxt
I |
rv ) 7 , 2 , 3 ,. . . . . . . dpr,dpz-....-' 0&, dxz' Nt... 1...
Tahaoll :
I
titik-titiksekutu - jarak titik sekutudari titik beratpadasistemkoordinat lama = koreksl koordinat titik sekutu dari sistemkoordinatlama ke sistem koordinatbaru (fihafrumus(2-15)l
lx] = + [A1r.All-t.Alr.Fi
(2-221
Ittatix A1 diganfrkandengan A2 dan Matrix Fl digantikandengan F2, sehingga:
A2[R
F2 = O
(2-23) DenganelemenmaEix : lt, i2, i3, titik-titikobyek jaraktitik obyekdari titik beratpadasistemkoordinatlama dpn,derz 4x11,0x6d!,t... = koreksi koordinat titik obyek sistemkoordinatlama ke sistem koordinatbaru (lihat susunanmatrixberikut)
FarengfapflK S.f.K
17
SrsferD& TranfionmC t<@tdnat Fenferesataa t Soaf bdfien
(rr - x") dpr
BAGIAN
qGP (rr: xe) drl
Ae-(Yrz-Yd ;(rn-xp) d"o" :
d"i
dpr
0
l"T#
axn+uo#- wn
0
I
q#
axn-(r'cP 6v,,
uP,
0
axn
+frpw"
0
I
{xr-i Xp} dpn (ya- yp)
&z
- (rc{d,
F2=
dpn"
:
v
'RAA'SFORflAS' 2D "
: V
v
v
:
ayo
:
v
v
2nX4 SedangkansetrbpelemenmatrixF2 merupakanfungsidari koreksikoordinattitik obyek, maka dapat puladijabarkan dalambentuk:
F2 = 81.V
Sehingga:
81 .V-A2p(l
= Q
Danharga V adalah:
\/ = + [Bir.Bl]-1 .Blr.A2.[Xl
(2-z4l
Denganelemenmatrixsebagaiberikut:
=[
Vr
oxr
oyt
dxz
}yz
oxi
av']
1X2n xP) : (vr -yp) r(Jpn dpir i (Yn-Yp). (xr -xp) I
(xir
d;-
dr,r'
0
0
0
0
Bl=
: : V
PerenS/rnap tfK S.f.X
0
0
0
==*
0
0
0
==)
(x. - xl') dpz
w
lYlz- Ypl ;(*z- xp) dgi dp,i
0 0
0
0
==)
0
0
==)
0 0 2nX2n
18
Srstsnt& Trnfotmesl l(ndtnat Fdrl,cresahn E Sodbilibn
BAO'AN N TRANSNOANAS' 2D
Qa6 penyeia,*ian Hdmstl tatix :
Wk BAr€f)
1 . Hitungkoordinattftlk berat padasisfem knrdinat lama lrp, ypl dan baru (lG , Yp), dengan rumust(2-l 6), berdasarkannilai/hargatitik-titik sekutu.
2. Hitungdenganrumus (2-15) :
dxp = Xp -rp Olp = Yp -Yp i (2-2r)-Untukini,hitunglah: 3. Susunmatrix Al dan Fl untukmemenuhipersamaan (xr - rp), (yr - yp), dpr ,.........
untuksetiaptitik sekutu
drrr = Xr -Xr i dh = Yr -Yr,....,.... untuksetiaptitiksekutu Hitungmatrix X dengan rumus (2-22). ttntuk ini, hitung:
1. 5. 6. 7. 8. 9.
X = + [AlroAll-t.Atr.ft Hitung: (xn - xp),(y r - yp)' dprr ,.-. --..-. untuksetiaptitik obyek Susunmatrix A2 dan Bl Hitung mabix V dengan ntmus (2-21) dari hasil hitunganlangkah4 dan 5. V = + [BirrB{ l-r. Bir.A2.X Hitungkoordinattitik obyekdenganrumus (2-15) sebagai: )$ =xra 0* ; Y, = yr+ Nt Susunkoordinattitik obyekhasilhitunganterakhir.
TRANSFIf,RMAaI
A"
HELMERT
TransformasiUmum. 1. 2 (dua)titik sekutu Sistem Lama y (m) x (m)
Titik A B I 2
+ I
T
121,622 141,228 175,802 513,520
?
128,066 187,718 120,2d2 192,130
Sistem Baru X (m)
Y (m)
+ 1049422,4OO + 51 089,200 + 1049413,950 + 49 659,300 ? ? ? ?
Transformasikantitik I dan 2 denganmetodaHelmert.!!
Pe{engftapttK S.f.X
l9
St;|grr &TtutfonrrcI Koptdtt ta Frydesalen A Sot ltdrprt
BAG'AN
'RATSFORTIAS' 2D "
i. Penvelesaian aliabar Gunakan rumus(2-9): Titik B
AXre
a '= - 1,5123621 GriX-(a r - b y) Gz?Y-(b x + a y)
AY^o
8,450 - 1429.900
+ 19.606
A
AXra
AYan
315.784 d'rn = 100103.930 b =-0,2S?3991 ; = I 050 003,654 = 50542,139
Gunakanrumus (2€a & b) untukmenghitungkoordinattitik obyekpada sistem koordinatbaru. Dandidapat: -by+Cr X=ax Y=bx +ay+Q ;
x
v
x
Titik I 2
174,1U - 120,262 I 049179,898 513.52C - 192,130 I 047 637,780
Y 51 040,256 5t 278.973
ll. PenvelesaiqF m-qlaluimatrix
'=[ ?],
Siapkanmatrix A, dan F sepertipadarumus (2-7) ( | 121.e2 A= | 141.228 -128.066 | | 187.718 I
128.066 -187.718 't21.622 141.228
1 1 0 0
ro4gazz.aoo] 5108e.2001 1049.[13.95{rl 4e6se.309
Bentuklah Ar dan hitunglah Ar. A r
l.r.sszszeos
lA'Al''
4.aaz62srrr - o.ooosesel
o
i.99292E{5 0.0o0s95901 - 0.0026258 0 I 0.0O059s901 0.862865293 - 2.05650E-17I l{r.002625771 4.OO2625nt 2.06650E-17 l{.000595901 0.862s653J \
=l
Maka:
( X =
I - +.srzssz+a | -0.259t99089 I I | I rosoooa.sse I
s0542.13ej
L (untuk Bentuk matrix A' titikobyek): A'=l
f ,ro.,* 513.52
1zo.mz t 192.13 174.148 s13.s2
oI 0
1 o 0
| -120.262 1 | | -1e2.13 1 I I ll Hitunglah'A'oX . Sebagai hasil akhimya adalah':
r\('\ I x, | lxrl=
| 1o4e17e.8es I lrolzesz.zaol
L
t
I Y'l Y'
I storo.zse I 51278.s73)
?o Henglrqp ttK S.f.K
mGIAN N TRANSFORNAS' 2T'
Srs{en,& fianJonnql K@trfnel Rlrfles;atall S Sodt-adr&r
-
!tl. tlelalui titik berat ! lama: Hitungtitlk bent padasistemkoordinat frtik*kutu) (menggunakan koordinatra,ta-ra,ta xp=131./8
i Ip=
29.&]
Hitung Ar ; Ay , d2 setiaptitik terhadaptitik benat(pada sisfem kwdinat lama) : Dari A B I 2
AY
AX
- 9.80 9.80 42.72 382.10
157.89 157.89 150.09 221.96
d' 2502s.982 2s 025.982 24351.662 195261-055
pada rumus (2-21) ._ Susun maHr A1 (darifitiksekutu), dan Fl seperti -) [- rreur.rooz'l f- o.ootnot - o.9s8o7a1so.19o02 o =l - 0.m6:!09 0.0m3917 1 l; rr=1- 660o.ro5tl 0 Al 158.19603 0 | | lr€e7.2326 1 I 0.06i967 0.s980782 0.006300- o.oomg2o.oomooo 1 L 66oo.6rrsJ ) L Bentuklah Alr dan hitung inverse(A1r. A1)
r|
lArrarf = ll0
12464.94375 -
L0
Trs.876r1
773.87871 48.tt718 0 0
Hitung X.: rumus (2-22) X =
o
001 o.fiX)oz
0
ol o
I
0.500ryJ
(-t*ot.tu*l I 503,1.f.42400 I - 5.6123624 | I
L
o.2s$eerJ
nilaisama: Susunmatrix A2 dan 81 @anffiikobyek),denganbeberapa -) ( o.zTsrna - 0.s6r7e311so.0so1e22 o 1l M= l-o.oootos+-0.0017544 o - o.sozr:sl3441.88s5310 0 | i 0.9616962 I ) o (-- o.oorrsoz-o.ootesc8 o ( o.zTsrns-0.e617e31 o I -0.0017s44 o o Bt = l- o.ooetoga I o 0.8646e62-0.50229$l o I - 0.0011367-o.oo1es6sJ o o L HitungA2X, BtrB{, invetseB{rBl
2l tulqskaptfK
S.f.K
@n
TRANSFORNAS' 2T'
BAG,AN
t
Sts{etttt TtanffiJ
"
& tull'alihan
2. 3 (tga) tliksekutrl Hatrix (melaluiperataan) l. Penyelesalan A B
c t 2 3 1
+ + + + + + +
Y
128.066 + 1O4942,.44 121.Q2 141.?28 + 187.718+ I O49413.95 175.802 + 1#.728 + 1 (X9 24/..95 ? 120-262 174.148 ? 192-130 513.520 ? 67.706 754,.444 ?I 120.99r r z u . t r . l l + 972.78 I
a. Bentukmatrix A dan rumus (7-O) 121.622 141.228 175.W2 -128.066 187.718 135.728
Ar
x
v
x
Trk
51089.20 49 659.30 49 884.95 ? ? ? ?. ..
I
titik sekutu (3) yang diketahui. (lihat
@ua 10 10 10 o1 01 o1
128.066 -187.718 -135.728 121.622 141.228 175.802
p=
[-r**rr.ool 104e413.e5
I | 1 1 0 4 e 2 4 f . e|5 5108e.20| |
+soss.so I +s8&a.esJ
| t
b. Hitung mabix AroA dan ArrF 438.65200 ('t*t*.*t* o -195.38000 1357u.63994 o I'l= I -1e5.380o0 3.00000 438.65200 I 0 438.65200 195.3sooo | \ c. Hitung inverseA'rA d. HitungX, dengan rumus (28), \
'i*'J 'tnu.at*o-l
f*r*rrr.r.l
; A'P=l -resorezre.ozs I I
t
3'l.EO8r30OI
150633.1soJ
4.s124935131 0.2si7r/K971 1050003.7151 50s42.1311 itik obyek / titi berdasarkan A Bentuk matrix e.
A'=
f.
174.14 513.52 7*.44 972.788 -1m-262 -192.13 67-706 120.9Cr
120.262 192.13 67.706 -120.994 174.148 513-52 7il.411'l 972.788
0 0 0 0
1 1 a
1
0 0 0
Hasiltransbrmasiadalah:
Koordinat Baru =
Xt X: )G )q Yt Yz Yr Yl
1049187.361 10/17637.713 10{6582.113 104tt64.C.7t3 51U0.629 s1278.829 50656.24{ 497.19.336
?z Peterl,gkap tfK S.f.X
9stcnf & Trutfolrttast l(@rfinea R4nlasdan ! Soaltatilnn
BAGIAN
#
TRAflSFORilAS' 2D "
ffietoda tiiik berai Langkahhitunganuntuk metodaini tetap sama, meskipunjumlah trtik sekutu rnetebihisyarat minirnal. Berikutini, akan diperlihatmabix-matrixyang penting. *
T'ltik berat P : ,,a,ta-,,arta (menggunakanRoortdinat semuatrtik) & = 62.665 i yp =' 27.911
a
Besaran daegllgnlgsgnalr matrix: Td( A B
Ax 56.957 78.563 113.137 111.483 450.85! 691.ZZS 910.123
c I 2 3 4
d.. ay 5x 6y 155.977 27E0d.937 10{93{r0.7t 51217.27 159.807 31710.353 1M9272.72 49471.58 107.817 2#24.491 10.19069.1! 49749-22 148.173 34383.920 220.U1 251688.848 95.617 487701.470 93.083 836989.020
3zsosdr204;)
0.353571767 {.933107401 166.711812325 {.0os609703 -0.002120394 0 o.411U141 0.897416600178.07400872 0.005039571 4.OO2477fiz 0 o.723924949 o.689878734156.28336706 0.004414281 -0.frx632130 0
Al=
;
F=
€994.866228| 50731s.r6445| sl65.316869 | 7s3768.26qFS I 1400'44136,:)
f- ro+ssss.erzl 50s72.401I s.srzrse I I
)(= |
L
0.2$e3,
MatrlT A2 & A2rX: 0.601218899-0.799084373185.42901547 {.0o4i}09382 4.003242313 0 0.89868s97 -0.438603880501.68600514
[email protected] 0 -0.136917836698.35626326 0.990582408 I -0.000196057 -0.001418449 0 |
f I I = I I
914.87104f.27 I o.o*sroozz 0.101743926 -0.001087378 o.oootrtzrt 0 I
*
ilatrix
0 1 0 1 0 1 0 I
f ***.*l rcrc.*nan |
I i A29X = | I I | L
I
e18454.7218 -10o7.65e314| I 102e033.4e5I -276.es1255 I 1044300.156| 62.21466101)
B :
3l
-0.79908437 0.601218899 0 0 0 0 0 {.004309382 4.00324231 0 0 0 0 0 0 0 0.89868050-0.43860388 0 0 0 0 0 4.00087426 4.A0179132 0 0 0 0 0 0 0 0.990582410-0.13691784 0 -0.00019606-0.00141845 0 0 0 0 0 0 0000 0 0.99481062 -0.0o10879 0 0000 0 0.00011121
sl
,.,L.,,
Petengl
BAG,AN I' TRANSNORNAS'2D
l(oorrsnat Strtattt t Ttutffi Brtehsalan t Soarlrfharl
€. Matrix V
&
Koordlnat baru)
( r*or3.ia) sr 160.882 I | I r 047 14.111 |
srazo.s6z |;
I I t orc 822.66eI I sozz3.srz I t*6zi.ese I I
[=
L
B.
Koordinat Baru
1s62f,.1n)
Xr Yr Xa Yt )G Yr )q Yr
(, *rs72s2) I rt 0,10.620 |
I r _ - | I | |
047637.661 | 51278.737| 0/16582.113I 506s6.106|
I t oesw.rrt I t estt1s.171)
Transformasi Sistem Koordinat Lokal ke Sistem Proyeksi (TU€"} Berikut ini, akan diberikan contoh penempan (aplikasi) transformasi metoda Helmert untuk titik-titik dari koordinatlokalke sistemkoordinattertentu(misal: ke sistemproyeksi mentransformasikan TM:3o). Mengingatbahwaterdapatcukup banyakcara hitunganuntuk Helmert,maka yang akan digunakan adalahmetodaHelmert'Dasar'(ltelmert l). metodaapapunadalah: Sebagaiprlnsip mendasaruntukmelakukantransbrmasidengan Koordlnat
aIDaPun (slstem ttttk ob5roh dari sistem koordl-nt la-'al dtanggap sebagal sistem hoordlnat lokal.
MengingatpadasistemproyeksiTM-3o atau UTM dan sistemproyeksiyang lain terdapatpembagian proyeksi,makacontohdi bawahini hanyabila terdapatdalam zona atau blad yang zona (lembar/blad) akibat dari belumdibahasnyatransbrmasiantarzona proyeksi. sama, Hal ini Contoh : Sistem Lama (Lokall x (m) Y (m)
Titik
TD4} TD-{4 TD45 I 2 3 Keterangan:
+ + + + +
0,000 1802,776 1 005,984 1 655,563 513,716 709,591
0,000 1,248 1 503,462 3,716 675,077 + 1 043,450
+ + + +
Sistem Baru (padaTM-3") X (m)
82017,574 83 820,323 83 025,349
Y (m)
590 662,930 590663,849 689 160,70l
Dapatdilihatbahwajumlahtitik sekutulebihbanyakminimal,sehinggaharusmenggu= misalLeastSquare) nakan hitungperataan(Adjustrnent
?4 PeJenglrap tfK S.f.K
BAG,,f;{ I' TRANSFORNAS' 2D Rllrydesriiarn & Sar/lztrm
€-r llatrix A{ & F (unta*fitiksokutul = (
A{=
o.ooo o.mo I I -1.28 I r aoz.na I I I roos.sel-1s03-462 o o.ooo o.ooo I t.z+e 1802.776 o I o
I t sos.46z i 005.984 L
t'
iiatrir (
& AlrF
Inveel AlrAl
;F=
82017.5i11 83 8m.323 8:l025.349 - 590662930 - 590683.849 - 589160.701
:
o.oooooosts 0.0000000004-000298362 r.o*'tutttn-l rAtrt = I o.ooooooooo0.0000003190-m01598394.000298362 | ; lAt | I I o.ooozsasoz 0.0001598390-692846167o.000o0oooo I o.oootsgS3s {.000298362 0-000000000 0.692846161 \ .:. Matrix X :
o.r*r.r-l
f
-0.00r2orsl
x =|
820r7.573ess4 | | u* 652.s3fl1868j L-
*
llatrix A2 (untuk tltik obyek) z
M=
(- r oss.so I s'tz.zz-I | | L
*
-3.72 675.08 70s.5e 1 043.45 3.72 1 655.56 513.72 675.08 709.59 1 043.45
Koordinat titik obYek Pada TM3" :
Koordinat _ baru
C.
1 1 1 0 0 0
Xr Xz Xi Yr Yz Yr
asszs.rts-l 82 532.093| 82 728./[{18I 5eo66r.204 |
sssseo.ralI
58e620.34sJ
Transformasi Dalamhitungan Poligon Contohberikutini dapatditerapkanpadakasus: hanyatitikakhirdan awal,tanpaadanyasudutjurusan 1. poligonyang 'oari diketahuikoordinaat pofilon pengukuran sistem lokal, untuk dinyatakandalam sistem proyeksitertentu' dan trasit 2.. ke sistemproyeksiuntuk koreksi{
?5 tulqrglaptfX
S.f.r(
BAGNN il 'RA'YSFORTIAS' 2D
t Tanbrmasl l(an&nat Slrlterr '. tutydelrrrarn I SoallrdlPa
Sketsa:
Diketahui:
X t-t
Titik
- 590.662,930 - 590.335,919
82.017,574 92.404,531
TDT.32 TDT.39
H(-)
Y tnt
827,92 828,22
Dataukuran(dengansudutkiri),dapatdilihatpadatabel hitunganpoligon' koodinat lokal firik TDT-32
B
I
234"25',4r
2
10tr12'50"
3
254"03'12"
+
tso276
54025',42"
150,528 + 122438
342"38',3?',
150,184 - ,14,806
+
(deftnitiv) Susunankoordinatlokal dan Koordinat Lokal
t
+ +
z
+
3
+
0,000 153,621 0,000 122,438 27,632
+ + + +
0,000 463,959 150,276 237,UI 381,186
Matrix Al & F (titlk sekutu) z A2=
0.000 0.000 153.621 463.959 0.000 0.000 463.959 153.621
MatrixX: r=
0$ + 150276 + 1il276 + 87565
+ 122,438
Koodinat definitif (TM-3Y (r) X (rn)
Y (m)
x (m)
0,(Xl0
y (m)
Av (m)
+ Xt1.E4l + 143345 + f,El,lE5 + 77,6t2 + 82,773 150,747 + 125989 + {(i959 + 15!.621
560 41', 44"
TDT.32 TDT.39 I
0,000
0f 00'00"
TDT.39
Titik
r (m) 0'0
Ar (m)
S (n)
c[
82017,574 82 4M,531
') o o l; 1 I r )
I 1 0 0
F=l
- 590662,930 - 590335,919
820r7.574-l 8 2 4 0 4 . 513 1 l-5eo662.e3ol [-sso33s.siej
f
r 0.88406073l -0.541312281 l 82017.57r | I
L
- 5eo662.e3oj
Matrix Koordinat Deffnitiv : Xt
x, Koordinat -baru
)G Yr Yz Ys
iBz oe8.e2ol 254.563 | 182
l a z 24s.3€I -l-sso 5:10.077 |
l - 5 e 0 s18.e4rI | - 5 s 0 310.8e6J L
26 Fe{engftaptlK S.f.K
BAG'AN
Stsfettt A ftarzlfonlnrsl K@tdlnat Pqrydesrilan t Soaf l,adDan
1.
TRANSTORHAS' 2D "
Dlketahui: Titik A B
c
Tb-l Tb-2 Blt-5
Bu-2
Koordinat Lama (m)
x
v
120.903 4.472 156.182 31.950 92-281 3.5M 108.01r
234-874 5.382 183.791 2t7.532 153.425 70.762 105.345
Koordinat Baru (m)
x
3 612.619 3 646-100 3 413.936
Y 6s9r.66s 66 190591 66 r2l.m0
a). Hitunglahtitik obyekpadasistemkoordinatbarudenganmenggunakantitik sekutu A dan B t. Melaluipersamaanaljabar 2. Melaluihitunganmatrix b). Hitunglahtitik obyekpadasistemkoordinatbaru denganmenggunakansemua titik sekuhl, melaluihitunganmatrix l. denganhitunganmatrixbiasa(Helmert-1) 2. denganmelaluititikberat (Helmert-2) 2.
Diketahui: Tilik A B c D Tu-1 Tu-2 TB.5 TB-9
Koordinat Lama (m)
x
v
120.903 4.472 r56.!82 241.022 31.950 92.281 3.544 108.01r
234.874 5.382 !83.?91 47.987 2t7.532 153.425 70.762 105.345
Koordinat Baru (m)
X 97 8{n.068 97 858.958 98059.(M5 97 &9.196
Y 15 035552 r5 29l.16l 15 146.485 r5 t89.802
titiksekutu A" B & C titikobyekpadasistemkoordinatbarudenganmenggunakan a). Hitunglah (Helmert-l) 1. denganhitunganmatrixbiasa berat (Helmert-2) 2. denganmelaluititik semuatitik sekutu titikobyekpadasistemkoordinatbarudenganmenggunakan b). Hitunglah 1. denganhitunganmatrixbiasa(Helmert-1) 2. denganmelaluititikberat (Helmert-2)
27 Fedengil€pilK S.f.r(
BAG'AN 'I TRANSFORNAS' 2D
SrsfernE fianfotmasl Koorrtnd Ptc/t}tr,€g€lantl SoalLatilPn
Metodaini ditujukanuntuktransformasititik-titikobyek,dengan titik sekutu yang beriauhanjaraknya (dapat mencapait 80 km). Transformasiuntuktitik yang berjarakjauh, di mana harus diperhitungkanf;aktorkelengkunganbumi yang akan berpengaruhbesar pada hasil transformasitersebut,maka diperlukanfaktor tambahandalam pers€F maannyasebagaifakbr koreksi. pada dasamya,metodaini memberikankoreksipada jarak dalam bentuk penambahansuku persamaan sebagaisuku-koreksi.Semakinbanyaksuku persamaandiperhitungkan,maka semakinjauh jarak antartitik sekutu,denganakibatbahwasemakinbanyakpula titik sekutu yang harus ada sebagaipemenuhansyarat minimal. ,, pada mulanya,transformasiLauf, merupakantransformasiberderajat banyak(misal n), tetapi persamaan berikutini untuktransformasiberderafat2. La.rf bederaiat 2 :
x = a x - b y + c ( x 2- f l
- zdx! + C1
Y = bx + ay + d(xz -lfl + Zcx!
+ G2
(3-1)
persamaandi atras,berlakuuntuk semuajenis titik (titik sekutu maupuntilik obyek),sehinggasetiap akan mempunyai2 (dua)buahpersamaan.Mengingatterdapat 6 (enam)buahvariabel,yaihr a, b, c, d, C1 dan Cz , maia diperlukanminimal 3 (tiga) titik sekutu untukdapat menggunakanpersamaantersebut (3-1),dinyatakandalambentukmatrixuntuksetiaptitik,makadapatdituliskan: Bi6 persamaan
x Y
x
A
F
6xl
2nx6
2nxl
-y x yx
(r'- yt) 2 xy
-?r\ (x' - y')
,']
a b c d Gr C2
(3-2)
dengan: n = banya$umlahtitiksekutu/obyek. Dapatpuladituliskansebagai:
A.X - F = 0
sehingga:
x = 1Ar.A1-t.Ar.F
(3-3)
transformasi Lauf di atas, merupakancara mendasaryang dapat disebutsebagai Modelpenyelesaian ilodel Lauf-1.
o METODALAUF-l
(metoda Dasar)
Pola dan tata-cara hitungantransformasi LauF1, tidak ubahnya seperti pada metoda Helmert I matrix. menggunakan mahix,mengingat: yangakandibahashanyahitungandenganmenggunakan Berikutnya, dan substitusipersamaan. dalampenguraian panjangPenguraian.
Pelengkap lfK S.f.K
TRANSFORNAS' 2D
BAC'AN
Sls{uar E Tranlfotmasl Koordnst P€nlrlestat E SodLadDaa
"
,1. SusunmatrixA danF berdasarkan titiksekutu(selanjutnya disebutdenganmatix A1 danFl) 2nx6
-Vr x1 -Ys
xA Ye
At - l & -t
Vo .e
e^L
tx^t- vfl
2xr yr
2I^ t^_ (xt'- vt')
(xe'-yE ) 2xaye(xrt - yg'z) 2 xa ie
Il
2nxl
Fl=
i
X^ Yr )G :"
(matrixX) denganrumus (3€). 2. Hitungmatrixparameter titik-titikobyek 3. Bentukmatix A2,untuUdari 1. Hitungkoodinat haslltransformasititik obyekdenganrumus(33) :
F2 = A2.X dimana:
(34)
denganelemenmatrixsepertiF hasiltnansformasi, F 2 = matrixkoordinat obyek untuk titik matrix koefisien A2= (hasilhitunganlangkah2. di atas hansformasi X = matrixparameter
o IIETODA LAU F * 2 Selisih Terbagi(bil. Komplexl. TransformasiLauf-2,merupakanpenerapanmathematikdenganbilangankomplex. Rumus(3-1),dinyatakandalambilangankomplex,sebagai:
Z =Azl +Bz+G dimana:
z
= X + iY = x + fY z = A e + id B = a + rb
c
= = = =
= Cr + iC2=
(3$)
koordinathasiltransformast koordinatlama kooefisienvariabelderajat2(kuadrat) kooefisienvariabelderajatl(linier) ;1gtt1tat
terbagi(divideddifferences). masalahdilakukanmelaluiinterpolasiselisih Pemecahan Metodaini baikdigunakanuntuktftik sekutu minimal ,f (empat)titik. Diagram Hitungan SelisihTerbagi Titik Sekutu
z
z
A
Xn + iYa
xr + iYn
B
Xa + iYa
Xe + iya
c
Xc + iYc
D
f,o + iYp
Xc + iyc Xo + iyo
Selisih Terbaoi Ke-1
Ke-2
Ke-3
^a(r)2.,
A" z"
Att't Zt
AF)Z'' tNt Z,
lS')Z.
?9 PelengkaplfK
S.f.K
"
A Sodlrdhatt
Erydesataa danaan' vgr rYqr
TRANSFORNAS' 2D
BAG,AN
S|stcrrrt ftlrfornrrasj r
| .
Ir)
Az,= d'7,,= ^d'2,=
c2)
ZB-^ 4-4 za, - zB
'
L zr=
4,-4
'
A zr=
12)
W 4-
zt
A@2, -A@2, ^t"'Lr\L1= -T
d'a;x'lzr zo-ze
zo-74 zo-4,
(3{)
denganinterpolasidari hargatitik sekuhrpertamadan titik obyekdibansformasikan Setanjutnya, nilaititik sekutupertamaatau titik sekuht (titik terhadap/dari teraktiir.nnii titir oSyek 0 dinyatakan afnir,sepertiberikutiiri : . bila dari A npraran:
Zt = Zs + (Zt-Zo) Afl) Zr + W-Z^l (4:41 6(z) 2, + 14-Zel E,-Zsl E -741Atq Zr +
(3-7al
bila dari D rtotamm:
Zi = Zo + (h-Zo) anl 74 + V-t-zol (&;41
\a-z*t lh-zcl w-z'l6(s) 2, + ( Perhatkanialurpada dlgnm
6tzt 7, + (3-7b)
sefi3lfi terbagl di afals)
Dalam melaksanakanhitungandengan bilangan komplex, perlu diperhatikanoperasi hitungan sebagaiberikut: Pelaksanaan hftungan
= t(XrXz+Y1Y2)+ i(XzYr -XrYz))t(X22+Y22)
1 (satu)harga. Bilatitiksekutusebanyakn, makaselisih didapatkan 1. Hitungselisihterbagihingga terbagibertingkathingga (n-l), dengan rumus (3$) 6iundan,buatlahtabelyang terpisah2 . Yang pertamauntuk x (bilangan 2. Untulimemudahkan bilangankomplex)' nyata) dan ke dua untuk y (mengandung e. nitun! bedakoordinattitik obyektertradapsalah satu.titiksekutu(awalatau akhit). dan jumlahkan 4. Susui rumus(3-Za) atau ie-ZU) berbaris,sesuaidengansuku persmaannya, komplex)bilangan (perhatikan operasi sepertibiasa 5. Hitungkoordinattitik obyekhasiltransformasi6. Lakulianpemeriksaan(checking)denganrumust3-7b) atau sebaliknya-
30 Felengkap ffK S-f.K
BAGIAN N TRANSFORNAS' N
Sts|urnA Trufiolnltasl Kwrdrnet ftny€tesa|ar, & Sodlathan
E ilETODA LAU F - 3 metodamelaluiharyapendekatantitikobyek. Koordinat TransformasiLauf-3berikutini,merupakan titik obyekhasilbansformasiadalah: 7-, =/ao + L74 dimana :
(3{)
= koordinathasiltransbrmasidalam bentukbilangankomplex 4 = )Q + lYl = = pendekatan{sementara) padasistem koordinatbaru + koordinat r(," fYro 4" = = pendekatan (sementara) + harga koordinat koreksi i AYr AZi NQ
Persamaan(3€) berlakuuntuksetiaptitik, dengan AZl sebesar:
LZt = dengan:
LZ'f,-741 - (7..8"-74
t74
(3-e)
= koreksikoordinatpendekatantitik tL74 = koreksikoordinatpendekatantitik C (titiksekutuke 3 = akhir). L?+, AZnAo , AZso = koordinatpendekatanmik A dan B (duatitik sekutupertama)
Berdasarkanrumus(3-8),nilaikoreksikoordinatoendekatantitik sekutuketigaadalah:
L7,6=4,-74"
(3-{0}
harga: Dalammetodaini, masalahutamaadalahbagaimanacaramendapatkan (titik sekutu dan obyek) pendekatan titik titik setiap ts harga titiksekutuketiga, dan F koreksihargapendekatian D koreksihargapendekatansetiaptitik obyekUntukini,dapatditempuh2 (dua)cara,yaitu: 1. Caranumeris 2. Cara grafts Perbedaankedua cara ini adalah pada bagianakhir, yaitu mendapaRankoreksi harga pendekatan setiaptitik obyek. 1. Cara Numerls .l Harga pendekatan setiap titik pada sistem koordinat baru, diperoleh dengan hitungan transformasimetodaHelmert Tnnsformasl, dltakukan dengan menggunakan syarat cukup metoda Helmeft, yaftu dengan2 (dua) tidk s*tttu yang dtptlih. * Hitungkoreksititiksekuh.rketigadari hargapendekatanhasilhitungandi atas, denganrumus (3-{0} atau(3{}. * HitungkoreksisetiapUtikobyekdenganrumus(3'9) a Hitunghasilakhirtransformasidenganrumus(3-8). 2. Gara Grafis .! Harga pendekatan seUap titik pada sistem koordinat baru, diperoleh dengan hitungan transformasimetodaHelmert Ttansformasi, dllakukan dengan menggunakan syant cukup metoda Helmer{- yaftu dengan 2 (dua) tltlk sekutu yang dipilih. * Plot semuatitik berdasarkanhargapendekatandiatas * Hitungjarak vektor(modulus)koreksititiksekutuketiga(titikC) :
3t Palengr@ptfK S-f.K
BAG/AN N TNANSFORNAS' 2D
Srsdtt t Tnnfontwt rloorfrnat PcnFroselatt & SoalLadltm
(3-t1) tt Hitungsudutjurusan(argumen)vektorkoreksidiatas,dengan:
alk ran ffi Arc llzci= f_l
($r2)
€. Hihrngbesarmodurus( lazll ) danargumen( t|z,) ) ke setiaptitik, dengan:
" 1 AZc) =
Inzl=#fpf
l^al
0ton * coa - cocA - a"ce+ tAZcl
(3'13a) (3-{3b}
pada gambar Nilailharga yang tertera pada rumus (3-l3a) dan (3-{3b}' didapaUdiukur di atas, kecuall modulus dan argumen A7'c' hasif ploi (lihat gambar Mrikut)
plot tifik transfonnasi pada sistem koordinat pendekatan(sementara) Hitungkoreksititikobyek (denganrumusdasar):
NG = lo<,lsintazl) ;
AY, = lat
(3-14)
Hitunghasilakhirhansformasidenganrumus{3-8}'
komplex bilangan hitungan Bedakan biasa!! aliabar hitungan dengan
32 Felengkap l|K S.LK
BAG'AN 'I TRANSFORNAST2T'
Knrfrnat StetamAfiaftmzd t Soalbdfnn Punfuh$n
TR.ANBFEIRMAEII
Sistem Lama x (m) Y (m)
Titik
c
+ 160739,032 + + 160740,447 + + 173219,581 +
1 2
+ 171089,6s1 +
A B
+
163859,528 +
34 899,077 22502,203 34 900,876 31 800,256 21 954,000
LA
U F
Sistem Baru Y (m)
X (m)
173219,581 173221,'lO7 160 739,932
34 900,876 22 503,363 34 899,977
A, Transforrnalli Dasar (Lauf-{). Hitunganberikutini, menggunakanpenyeleeaianmatrix*
Uitrix Al dan Fi :
0.000 0.ooo 0.000 0.000 0.000 0.000 _ 7903419038.366 A1 = | - 47872.19? 82547.077 45r??731il.359 - 8254.7.077- 47872.192 7903419038.366 -45222731il.359 48020.343 834.i5.C04 - 4652109550-482 8011234206.853 - 83415.004 48020.343 - 801 1234206.853 -4652109550.482 0.000 0.000
t.
1 0 1 0 1 0
-) (- ,rstr.s26-) o r I l - r * i o 3 . e 2 6l o I F l = l - 7 o s 3 3 . f r| 6 1 | | -Zrr 516.834| o | | zsrsa.sstI
t)
l_-zrzsss.aroJ
Hitungmatrixparameter(matrix
Bentuk matrix A2, untuUdarititik-titikobyek -3?4o239.041 t ( z 906.737 -1G78.9o7-1884349.7599 -1884349-75992 0 322f6239.041 1678.967 966.737 * =I -5743190934'327 1 -3315179679-17o | +ozrs.szs 20521.340 -331517967e'170 0 -zoszr.a+0 -40719.5255743190934.327 f_ Hitung koordinat hasil transformasi titik obyek dengan rumus (3.{) :
I t,l | *' | It J \v.l )
;l
f- noo3.2oc-) | - ssssz.ass I l-aesssz.ttzl
12 = I Yr I = | - ezt42s.4i9|
33 Pelengt
TRA,,SFORTAS' 2D
BAGIAN
Str{ertt Tturtut t & l@rdnal tutydcsp/rllr E Soarlrdrrert
"
Lauf- 2 Titik A B
c I
*
Sistem Baru
Sbtem Lama x (m) Y (m)
Y (m)
X (m)
0,000 - 22571,826 82547,477 - 70 533,576 83 415,004 + 25 338,591 + 1678.967
0,000 - 47 872,192 + 48 020,343 + 966,737
629 103,926 711 576,834 712 559,830
BedaAbeis& Ordinat I (tltik sekutu): AY AX - 47 961.750 - 82472.W 95 872.167 982.99€
ay Antara Ax 82il7.0n 47 872-192 A-+B ffi7.927 95 892.535 B-rC Selisih terbaqi | : /l A
(1)az 7 'Ll-
.-#3 ze -
ze
4
7J
A"
A"
Ax
7 t = 0.999798469 - 0.00120180t 7 r = 0.999798473 - 0.00120180:
,1.35696E{S
Ay 5.319r7E{9
Selisih terbaoi ll : Antare A-+C
t
ay -83415.004
Ax 48020.343
Lzx -2.53158E-i4
Azy 2.75752E-14
Beda Absip & Ordinat 2 { titi.k obvek terhadap sekutu } : Antara A+1 B+1
AD(a-r.AzxB-r ay 1 678.967 - 94 198 348.71 84226.44
Ax 966.737 48 838.92S
Azya-r.Azla-r
163423 383.2
Contoh Pertafian bilangan imaiiner : (zi *a). (zi -ze) = (Ax6. Axn- Ay6. AyB) + i (Ayn- Axn+ NqA- Ayn) Hitunq koordinat titik obJek denoan rumus /&7al : Za
SUKU2 SUKU3 Zr
- 22571.826 - 629 t03.926 1 677.467 968.560 - 0.000 -8.7u72E-ffi - 2f 603.266 - 627/126./159
34 Pelengftap lfK S.f.K
TfiNffSFORTAS' 2I'
BAG,AN
Srsto t t TtzrlrJotrrtutt Kgprdima
"
@
harga/nilai tetapidalammendapatkan metda ini lebihbanyakberupahitungan(numeris), Sebenamya masalahkoreksi,bisadengancaragrafts,dengantujuanmgTqen.nudah atraugrafiscarabaiknumerissepenuhnya iiffiil'p"a; conionJiGi"rt, riraniiueri(ancontohkedua Soalcontoh :
243a3.2U 23 088.760 2426/..902 24719.41
A B
c I
l.
Sistem Baru
Sistem Lama x (m) Y (m)
Titik
Y (m)
X (m).
714a122..W 71€A91_430 7 137566.7s0
60S 443.&40 613261.860 608 730.440
755 080.095 756 313.278 757 873.522 756 286.865
Hitungan koordinat pendekatan,dengan metoda Helmelt dengantitik eekutu (n-l) : ilatrix Ai dan Fl : ( I z+s8s.zu -755080.095 at = | 755080.095 243f,3.2u I zgoaa.zoo-7ffi313.278 l- zsoots.zza 23088.760
I o 1 o
o I [ ,or113.B4ol { l;rr=l7r/8rzl.s6ol I 61 3261.860| L7143 3e1./*!o;
o I r )
Matrix [A1r A1l4 dan Alr Fl : ( I o.ooooooos tnv = I 0.o0o0o0oo | +.otaastt 1 l+.azzazzzs
\t
0.0o000o0o-0-01485111 4.4r28227s1 | ; 0.00@0063 0-47282275 -o.ot+asttt 357663.5898 o.oooooooo| 0.47282275 -0.014851110.00000000357663.5Ss83J
€. mat4x X:
t1o82s(x23etutr.e* | I -sa+otstooo+2-7431 12217o5.7ao1 | 142s1514.2e0) L
(-- t.tttutt*i) X=
I I t
o.oszssot I z+eeet.aso I sssezso.eegl
* Matrix A2 dan F2 (untuk titik C dan titik obvek) : ( I at = I I [-
z+zo+.902 -757873-522 1 757873.5?2 24264..902 zaz'tg.+a1 -756286.865 24719.441 0 zsozoo.oos
I
0l
ll 1)
35 Pelengft4ptfK S-f.K
BAGIAN ''
Srsferne Tnntolrzwl Koordinad Funyefesdar & Soarlrdrut,
il.
IRANSFORNAS' 2D
Koreksiiifrk obYek: t. Kolsks! NuISeds: * Hitunganmodulus& argumentitik C :
r
)c
Titik
c
x
7 137 566.640 7 t/|l| 584.764
608 730.597 607 105.081
1
llihatrumus(g1O))
608 730.440
Y 7 137566.750
AZrlc - 0.157
LzYc 0.110
Gunakanrumus (3-ff ) dan (3-{2) lA&l = 0,1421515 (az") = - 5lo 00' 55" = 305" 07',31,4', * Hitunganjarak, sudut iurusan G dan titik obyek ke 2 titik sekutu awal : ct
DO
G+A C-+B
t-rA 1*rB
t0 560.t14 7 379.738 4731.U7 6159.814
* Hitungan korcksi titlk obyek :
359" 26'38,2" 37 52 49,2 16 26 10,7 91 47 55,0
(lihat rumus (3'13))
laz'l = o'o72
tAZrl = 16o52'(R'7"
Xr = xro * lg,l sintlZr) iYr = Yro* lazrl cos$z,l Xr = 607105.081 + 0,072 sin 15" 52',09,7' = 607105.102 Yr = ? 1/t:}584.764+ 0,072 Cos 16o52'09,7' = 7 143584.833
perbedaanpada haeil hitungan (decimal nilai) ahibat dari perbedaan pembulatandan alat hitung yang digunakan. Contoh-contotrl i itas, dihitung menggunakan EIXGEL. 2. Koreksi Grafie : * Plot koordinatpendekatantitik{itik:
Sketsa hasil plofting pada skala 1 : 10 0o0 'f,6
36 Pelengtra,pltKS.f.K
BAGTAN "
Srstttff&. Ttttbmad Kgoifrnea turydesaian & Sdl-elihan
'RATSFC'RTAS' 2D
= 0,052 l.lZr! = t(4,6$,2)410,5x?,4))x0,'!4215{5 (AZr)= (16o+92+2-38+305P07'31,4')=1f oT'31#' Xr = xro * lAAl slnta4) iYr = Yro + laal c*Oal Xr = 60?t0s.o8t + 0,052Sin 12"07'31,4' = 607 {05.092 Yr = 7llt:l 584.764+ 0,052 Goe 120 07'31,C' = 7llt 584.815
: 4 (emDat)6tik sekuCI Sistem Baru
Sistem Lama y (m) x (m)
Titik
0,000 47 872j92 48 020.343 97156,292 966,737 40719,525
A B
c
D 1 2
Y (m)
X (m)
0,000 - 825/-7,OT7 - 83415,0ot 2143,857 + + 1 678,967 - 70521.W
- 629103,926 - 711 576,834 - 712559,830 -
22571,826 70 533,576 25 338,591 74 565.419
A. Transfornasi Dasar (Lauf -l). 0.000 o.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 - 47872.192 82il7.O77 _ 45?2.1731il-359 - 7903419038.366 -82il7.OT7 - 47872.192 7903419038.366 - 45p"73154.',359 48020.343 83415.004- 4652109550.482 8011234206.853 - 83415.004 48020.343- 8011234206.853-4652109550.482 -443.857 %39148066.153 46247000.596 971ffi.292 86247000.496 9439148066.153 M3.857 971ffi.292
A1 =
lz
*
I 0 1 0 1 0 I 0
( 96o.737 -107g.907 -1g84349.7s992 -3240239'041 I =I 3246239-041 -1884349'75992 0 966.737 1678.967 -574:i19o934'327 1 -3315179679.170 |
[* Hitungkoordinathasiltransformasititik obyekdenganrumus(3-a):
(- ,rs7i.B26l o-) 1l l - 6 2 e 1 0 3 . e 2I 6 0 I l- 7053:1.s75 | r I rr = I -711s26.83+ I o I I zs al8.ser I 1l
l - 7 1 2 5 5 s . 8 3 0I
o |
|
1)
,nses.ctsl
L-628Tr6.e21)
t.l ol 1)
[ *,.] f- rrtor.ete'l
rz=l Y, I= I-627426.,f591 I x' I I - 63367.8s8 I
[ "'J
L-
6sssr,2.117)
37 PelwgkaptK
S.r.X
BAGIAN I' TRANSTORNAS' 2I'
Srsaem& Tmrfomad Kgcrtflnat Pqryde*alaun & Snrfl-afltran
Titik obyek hanya titik 1. 'i. Beda Abeb & Ordinat I (titik sekutul : Antara AX A+B - 47 872.152 95 892.535 B-+C 49135.949 t)-+C
AX - 47 961.7ffi 95 872.167 49Ui.828
AY 82472.W 982.99€ 80 782.90S
Zy
Ax
Ay
82U7.On 8fj7-927 83 858.861
Selisihtgrbaqi | :
7r
AY
a" zr= 0.99979846S -
0.00120180€ 0.999798473 - 0.001201803 0.o(Xtoflxxx 0.99979846€ .0.00120180( $.000000007
N'z"=
d'2"=
o.(Xxnmff)! 0.00(xX)0003
BedaAbelE& Ordinat 2 & Sellsih terbaoi ll : Antara A-+C D-+B
Ay AX 4EO20.34:t 43415.004 145028.4&4 82990.934
Zv
Zr
4l'' 2,=
No 7r=
-2.5{t15EE-11 -2.91888E-1{
AY
AX
6.68061E-i1
-3.87308E-15
3.62801E-i4
-3.O526E-14
S.elitih terbaqi lll : Antara D-+A
*
443.85]
LZx 4.1299E-20
LZy 1.92145E-20
BedaAbsls & Ordlnat 2 ( titik obvgkterhadaosekutu,) : Antara A+1 B--+1 C+1
t
ay
AX
97156.292
ay
Ax 966.737 48838.92S 47053.60€
Azxa-t.Azxe;t
1678.967 -94198348.71 84226.U4 _n.47397f+12 85093.971
Ker.
Azla-1"Azle-t
163423383.2s/d titik B -1.5705/18+13 s/d titik C
Hitunqkoordinattilik obvel! denqanrumus /&7,q1: h SUKU2 SUKU3 SUKU4 21
XY - 22571.82f,, - 629103.926 1677.67 968.560 0.000 0.000 o fi)o 0.000
- 2{ 603.266 - 627.126.459
+
38 Pelqgkap lfK S.f.X
A B
c D I 2 3 4 5
TRATTSFORNA$2D
BAGfAN
SrslctrrE ftanfutngs,l r(wtiltPt : rurfahsatan e Sotrlrdhatf
"
- 48 076.830 9 610.750 24 007.800 - 39 427.820 - 41 614.288 9 9s5.936 13 707.882 - 28 183.472 - 20 508.720
28946225 6A 421.075 - 21 853.520 - 31 853.750 5 028.108 - 21782.363 t7 795.000 49 073.883
-
a22&X5 614308-950 36435106 s64 910.780 600 7lCI331 - 44978367 6276.48 652046.ffi4
2290r.7s6
titik sekutu a). Hitunglahtitik obyek I dan 2 pada sistemkoordinatbaru denganmenggunakan A,BdanG 1: Melaluimatrix(bansformasidasar= Lauf-l) 2. Melaluiselisihterbagi(Lauf-2) koordinatbaru denganmenggunakanvariasititik b). - Hitunglahtitik obyekI dan 2 padasistem Lauf-l dan Lauf-2. dengan atas, di dengan yang n6teoa sekutu, semuatitiksekutu,dengan Lauf-l' c). Hitungsemuatitikobyektitikmenggunakan d). Pelajaridenganseksama,mengapaterjadiperbedaan??? ?.
Diketahui: (Sana dengan soal no l. dl olss)
metodaLauf-3' a). Hitungsemuatitikobyekdengan 3 (tiga)titiksekutuyangberbeda,melalui !!. perbedaan terjadi bi. Ulasiengan baik, meng-apa 4 (empat)titiksekutu. dengan LaufS cobakanlplikasi ' adatah$tik keempat dan bebas dalam "i. pendeiaan ( nnai Xoordinat PemilihannYa) titik keempatyang berbeda ll Gobaian dengan-pemillhan 3.
Diketahui: Titik ITB.1 ITB-2 Bm-8 TBMS ITB{3 1 2 3 4 5
Koordinat Lama 1m1
x 27 085.345 47 850.765 4 8l 1.185 33 712.930 3 487.060 9232.0M l6 717.580 l3 381.130 38 215.864 t2 10/.470
v
Koordinat Baru (m)
x
46 024.500 3s 160.745 76224.500 2 319.535 37 240.930 45 169.M0 26 511.975 - 10 110.545 33 370.060 l 680.000 4l 169.500 14'723.650 33 017.685 20 384.300 6 314.318
Y 143860350 1r3 465.000 57 875"455 118960.170 r0l 980.199
39 PelengdrapilK S.r'K
B:CIAN 't TRANSF{'RTAS' 2D rutfresatu
t SodLalhan
a). Hitunglahtitik obyek4 dan 5 pada sistem koordinatbaru denganmenggunakantitik sekutu ITB-1,ITB-2dan ITB{13. {. denganmelaluitransformasidasar(Lauf-1) 2. denganmelaluiselisihterbagi (Lauf-2) b). Hitunglahtitik obyeksama ( 4 dan 5 ) pada sistem koordinatbaru dengan menggunakan variasi titik sekutuyangberbedadenganpada nomora). di atas. dasar(Lauf-1) transformasi t. dengan.melalui terbagi (Lauf-2) 2. denganmelaluiselisih c). Hitungsemu?titikobyek,dengan Lauf-l !! d). Perhitikan dan petalaridengan seksama perbedaanyang terladi sebagai hasil akhlr dan beriulasanmasalahtersebut!! hitungan tt.'Pertimbangkan
40 NenglapfiK
S.f.K
Silslrrn & Trarnlbmasl K@tdnaf
BAG'AN
TRATSFORflAS' 2D "
tutyuJaseran& SodLitilan
MetodaAffine,merupakanmetodabansformasidenganmemasukkan ketiga unsur bansformasi,yaifu translasi, rctasi dan faktor perteearan. yang diterapkanpadametodaAffine,bersifatumum,yaitubahwa: Faktorperbesanan 'Falctor perbesann sqanJang sumbu x * hldorperbesaran sqpanlbng sumbu v o Mengingathal di atas, maka bentuk titik-titikyang dihansformasikandengan Affine, sebelum dan sesudahnya,dapaUmungkinmemberikanbentukyang berbeda. Ini berartibahwatransformasiAffine tidakdapatdigunakanuntuktransbrmasidengansyant korrtorm.
o TETODA AFFINE- { (metoda Dasar} PersamaandasarFansbrmasi Afhne,berderajatsatuadalahsebagaiberikut:
ax +by+Gt cx +dy+Gz
[=
!=
Sepertijugametodatransformasilainnya,makapersamaandi atas, berlakuuntusetiaptitik. Dapatdilihatbahwa: ) Parametertransformasiadalah : a, b, c, d, C1 dan Cz . ) Parametertersebutsebagai 6 (enam)variabelsebagai dari kedua persamaan,sehingga diperlukanmlnimal3 (tiga)titik sekutu. Bilarumus (4-l) dinyatakandalambentukmakix,untukjumlahtitikbanyak( n buah),maka:
r\
['oi
yrioio
1
o]
l.o_ o1
9l I
l0:0ixoiye0lllbllyAl
l&il"i.g A = I 0 ; o i : : :
i x, i v" i : i:
i : i : | .'. ii ., v i v iv \v 2nX6
di mana:
f"l | ;X = i
I )
lcla | IGl
-r \L",J oxt
fx^) | ; i
l*"1 F = | v" I | : I
| : I LUJ
2nX1
A, B, G, ....... = titik-titiksekutuatautitikobyek a,b,crd,C1,G2.= parametertransformasi
Biladilakukansecarabertahap,seperticontoh sebelumnya, maka: parametertransformasi, Untukmendapatkan matrixtitiksekutuadalahAl dan matrixresiduFl, maka:
x = + [Alr.Ai l-t.Alr.Fl
(+21
Selanjunya, koordinattitik obyek,dihitungdenganmodelyang sama setelahnilai parameterdihitung, dengan:
F2 = A2.X
tffi)
dengan: A2 = matrixkoefisienuntuktitikobyek(sepertijugamatrixA) F2 = matrixkoordinattitik obyekhasiltransformasi X = matrixparameter
Pderl,gkap t{X S.f-K
4t
TR,ANSTORHAS'2T'
BAG,AN
S|.;IEtt & TmtJonrnsl r
'ilnasodt
"
flfatt
Penyelesaianmetoda AfFn+-t (HetodaDesarl koordinat titiksekutupadasistemkoordinatlamadan 1. Bentukmatlx Ai dan F{ berdasarkan baru. (Matix Al dengankomponenkoordinatlama, sedangmabix Fl dengankomponen baru). koordinat a, b, c, 2. HitungpnmeterbansbnnasiAffinedenganrumus(3-2). MabixX ini berkomponen d, Gr dan Ge. koordinat lamatitik-titikobyek. 3. Benfitkmatlx A2 , dengankomponen yang koordinat baru titikobyeksebagaihasilakhir. berkomponen 1. Hitungmatix F2
o TETODA AFFINE- 2 (Koreksi Harga Pendekatan) transformasidasar Affine, dapat dinyatakandalam Sepertijuga pada cara Lauf-3, maka pers€rmaan bentuk determinan (aturan Grammer) dan berdasarkan nilai pendekatan bansfiormasi. Nilai pendekatanini dikoreksiberdasarkanperbandinganluas segi-tlga yang dibentukoleh titik obyek dan titik sekutuketiga. Koreksi nilai pendekatantitik obyek didapat dengan membandingkanluas tersebut terhadap besar koreksititik sekutt ketiga.
A)G =)Q-X-o AY, =Yt-Yro
(H)
di mana: i = titik obyekataupuntitik sekutuketiga Harga pendekatankoordinattitik obyek, merupakanhasil hitungan transformasimetoda Helmert, dengankoreksiabsisataupunordinatsebagaiberikut:
dA=
AXc (4-5)
furyanAL tYt
Selainitu, mengingatgaris dasar keduasegi-tiga adalahgaris yang sama (misalgaris A-B), maka perbandingan luastersebutdapatpuladinyatakansebagaiperbandinganlarak titik ke garis basis. Sehinggarumus (4-5)menjadi: (4{} 5erupaur*tk LY1
di mana: T1,Ts = Tinggi titikobyek(I) dantitiksekutuketiga(C) darigarisA-8. dengancaragrafis. Modelperbandingan terakhirini yangmudahdiaplikasikan
42 tulengkap ilK S.f.r(
TRAilSFORflAS' 2D
BAG,AN
SrstEft &Trrrllftlmesl l(oxndlnat Fenyeresalltr & Soarlrdhatf
"
r ! l
pqggfa9dl PenyelesaianmetodaAffine-2 (HetodaKoreksiHlrya Helmert 1. Hftung koordinat pendekahn pada sistem koordinat baru dengan metoda (menggunakan2 titik sekutu)harga pendekatantitik ke tlga (misal: titik G). denganrumus('|4)' ' z iiiuiiiinlX"t 3. Hitungankorefrsi: a. Hitungluas segi'figa ABI dan luassegi-tiga ABC' b. Hitun! koreksihargl pendekatantitik obyek,d9ngl rumus(61: -.. c. Hitun! koordinattii'f 6nyet padasistemkoordinatbaru.(rumus(44)) a, Plot titik-titik(AB,C,I) padasistemkoordinatsementara/pendekatanb. Buatgaris tegak lurus(J-)garisA-B dari titik C dan l' c. Ukurkeduajarak garistersebut. rumus(4s). .- . d. Hitungkoreksihaiga pendekatantitik obyekdgng.a.n (4-4]' e. Hitun! foorOinattiff iOyef
A' FFIN
TRANAFT]RMAErI
Tatik
Sistem Lama x (m)
0.000 47 872.192 48 020.343 966.737 40 719.525
A B
c 1 2
Y (m)
0.000 82U7.077 83 415.004 1678.967 70 521.340
E
Sistem Baru Y ('n)
X (m)
22 571.826 70 533.576 25 338.591
629 103-926 711576.834 712559.830
A. Transformasi Dagar (Affine - 1)' MatTix Ai da4 Ft :
*
o.ooo
o.ooo
00i 0.000 0.000 100 -82il7.O77 0 0 1 = Al lltatz.tsz 47872.192 -82*7.077 100 -83415.004 001 | +eozo.a+a /+8020.343 {3415.004
f
t00
0
tl
Fi=
0 0
( -nszr.826l szgrm.e26| I - -7053:l.tt6 I I l-7rr 5't6.831|
I zs33s.ssrI (, zrzsse.asoJ
43 Nqgl
S.f.K
BAG,AIT I' TRANSPONNAS' ZO
Srstatt &Trutffrlmei l$otrfnat /furrydem|en & Sor/l-atihan
.:. Hitungmakixpammeter(matrir X) denpanrumus (4-2).
I o.eoezsarzr I
| 0.0fi20r806| X = l -0.0012018031 | 0.999798466 | | - ntr.s26 |
L
*
*
- r29r03.e2'
Bentuk matrir A2, untuUdarititik-titik obyek ( I o o 1678.e67 mo.zs7 I 0 1678.967 =l 966.737 0 0 A2 1 -70521.340 o o |
I t'l F2=l Y.,l= I x' | t'J L
ll
f -- 216m.2GG'] | - eZt/+26.4591 63 367.8s4| | - 6ee56,2.117) L
B. Transformasi Affine - 2 (Koreksi Harga Pendekatan). seperti padacara Lauf-3,berikutini akan diberikancontohuntukhitungankoreksisecaranumerisdan grafis. * Hitunqanharqa pendekatandqnqa4.lnelodaHelmert : (dengan titik sekututitik A A-B) Al=
( o.ssszsa*s'l o I o.ooo I o.ooo f f- 22511.826-) = | {1.0012018081 = x Fr 62e 103.s26 1 0 0.000 o.ooo I | l| 0 I | -zzszt.aze I |
|
9G6.737 -1078.967'
Itoza.e6z
1
e66.737 o
7esz1.u 1 f -+ozrs.szs -zoszt.s+-4071e.525 o
(_
o
1l
I
o I ,
_)
Fz
|
I
I t-
21603.266I 627/126.459I 63367.8e8 | 6ss 562.117 )
* Koreksi koordinat titik sekutu ketiga (tltik C)' dengan rumus ('[4) : l)G = AYc =
0.00M22417 0.000506344
44 Felengr@p[fK S.f.K
BnGIAN'I TRANSrcRNAS'2D
Koodnat
Stslsrlf t Trutbttnasl
@ 1.,KorslsolNqmoris: $ Hltunganfarakaemuasbi untuk hltunganluas :
>q
c
B 9s404.979
A B
ltihatrumus(+5))
2
I
Segi€
96230.€2
1937.009
81416.682
ABG
95877.203
97341.979
13989.295
ABf AB2
Luas 3977001303.3 287113.147 736:'723.2ffi
* Koreksl dan koordinat tftik obyek, dengan rumus (4$) : Tirik
3.04989E{€ 7.82137E47
1 2
x
AY
A)(
- 21 60326G - 6:1367.898
3.t'55U5 E{rI 9.37535 E{;
Y - 627 t028.'159 - 699562.1{7
2. Koleksl Grafis: * Plot semuatitik padasistemkoordinatpendekatan. Sketsa hasil plottlng (pada skala 1 : IN AOO) sbY I
!t,ocnr I I
a
c .1. Koreksititikobyek: AXr = AYr s O,frX)m AXz=AYe -
x
n6k 1 2
0,00Om
- 21 6{13.266 - 63 367.898
,sehingga:
Y - 627 426.459 - 699562.117
: 4 (emDat)titik sekutu Titik
A B
c D I 2
Sistem Lama x (m)
0.000 47 872.192 48 020.343 97156.292 966.737 40719.525
Y (m)
0.000 82U7.O77 83 415.004 443.857 1 678.967 70 521.U0
Sistem Baru X (.) Y (m) 22 571.826 70 533.576 25 338.591 74565.419
629103.926 711576.834 712559.830 $28776.921
soaldenganmetodaAffine-l (metodadasar). Berikutini hanyadiberikancontohpenyelesaian
45 Pd€'',g,cap[tK S.f.K
Stet€nt t Trurformasd XOolilna'
BAG,AN ''
TRANSFORNAS' 2D
)
(- 22srr.B2o-) | - 62erm.s2sI - zosea.szsI =;| -
@ - l). Trans-fiolmasl'Dasar'(Afnne
0.m0
0
0
0 0 47872.192 42U7.OT7 0 0 48020.343 -83415_004 0 0 97156.292 443.857 0 0
0.000 0 47872.192 0 48020.343 0 971ffi-292
Hitungmabixparameter(matrix X): x _
/-
0.000 0 42U7.OT7 0 43d15.004 0 443.857
t 0 I 0 I 0 I 0
| |
I rt | I I )
7ll s76.83fI 253:l8.5erI | l- 712s5e.830 1 74555.4reI I \-- ezon6.s2r)
\
I o.ssszserss I I o.0or20r8m I l _ 0 . @ 1 2 0 1 8 012 I o.seszse*s I
l- #ill3l3l
*
-// Bentuk patrlx A2, untuUdarititik-titikobyek o o mo.zsz 1679.967 I 0 0 966.737 1678.967 A2 =l o o |
r'l
1 0 1 0
,'l
rJ
- zreos.zee-]
I f rz = I Y, | = | - 6zt 426-4{t!) | lxrl l- fi!367.se81 L ". J
L-
r* 56.2.117)
Gunakansoal-ooalpada soal latihanHelmertdan Lauf dengan menggunakantitik sekutu mlnlmal3 titik.
46 Pelengkap ilK S.f.K
K@rdinait Sftrfen E Tnnfbm*l & SoalLadlnn Perzyderallm
BAGIAN
KONy,.ERSIKOORDINAT "'
BAGIAII III
KOIWTRSI
KOORDIITAT
Bahasansemacamini, didasarkanpada suatu kenyataanbahwa posisiobyek alam, walaupunseolah{lah beradapada Udangdatar (untuktinjauanterbatas),tetapitemyataberadapadaruang. Dapatpula dbrtikan bahwa bi{ang permukaan bumi rnerupakan bklang lengkung yang dapat di-'dekaf-i oteh bidang mathematikaberupakulit bola ataupunkulitellipsoida. Mengingatmasalahdi atas, maka bagian bahasan ini disebut dengan koordinat3D, karena posisi pada ruang,walaupunpokok masalahadalahposisi horizontaltitik yang bersangkutanpada bidang. Ini berarti pula bahwa posisititik atau antar titik yang di-hitungterletak paOi Oaeran-yang iuas atau Grjarak jauh, sehinggapermukaanbuml fldak dafi lagidikatakan sebagaibidangdatar. Telahdisinggungpada Bab | (Pendahuluan), bahwayang dimaksudkan dengankonversikoordinatadalah pengubahankoordinatdengansistemyangberbeda,terutamaditinjaudari parameterkoordina[ jarak)menjadi(iarakl, contoh: dari ( o, D ) , menjadi(x,Yf . Parameter(sudut& jarak2) Untukitu,sebaiknyadilihatkembalipengertian antiaralain :
Terdapatbeberapakemungkinanyangakandibahascontohhitungannyadi bawah,yaitu : 1. Konversikoordinatgeodetikke koordinatproyeksi(dan sebaliknya) 2. Konversikoordinatgeodetikke geosentrik(dan sebaliknya) 3. Konversikoordinattoposentrikke geosentrik Sebelumpembahasan memasukipokokmasalahyaitu konversikoordinat,sebaiknyadiulasterlebihdahulu pengertian dasaruntuksistem-sistern koordinatyangdimaksud(sebagaikiiasbalik),agarmudahdimengerii persoalansecaramenyeluruhnya.
Yangdimaksudkan dengansistemkoordinatgeodetiksecaraumumadalahkedudukan(posisi)padakulit ellipsoidayangdinyatakandalambesaransudutdari bidangacuantertentu. Mengingatbidangtersebut berupabidanglengkung(kurvalinier) , maka terdapatbeberapahal pentingyang harus di[erhatikan, karenaakanmempengaruhi nilaikoordinattitikyang bersangkutan. ELUPSOIDA
Besaran koordinat geodetik adalah : Garb normal elliFoit melalua Jtitik
Itferidian Greenwich
-'i*--'-'-;a--* |
."t
..Pz:--l;
EQUATOR
sudut vertikal yang dibenfuk antara bidang equator sampai garis normal melalui titik yang dimaksud, pada bidang normalnya. Positiv (+) ke utara, negativ (-) ke selatan sudut horizontal yang dibentuk antara bidang merftJian melalui Greenwich sampai bidang normal melalui titik yang dimaksud. Sudut ini dapat digambarftan pada bidang equator, positiv 1+; ke fi'mur, negativ (-) ke barat
Koordlnat
Pdurgl
47
BAG,AN
Stston Aftarnlbmlppll K@rdnat Parrydeclrrarzt Soaf Laflran
KOI{IIERSI KOORDINAT "'
geodetikbemilai: Besaran e LintangUtara) r Llntang; -90o < L < +90o (Lintangsetatan I Bujur ; - 180"< B < + l80o (BuiurBarat <+ BujurTimur) dalamtandapcitiv-negativ. arahmataangin,dinyatakan Dalamhitungan, Yano hanrs dlperh,affkanpada s$m kootdinat qeodctik adalah : l. Beearan/ukuran ellipeoida dapat berbedateda (ihat'clclntolruktnn etli'osl.;lkl di bawah) 2. Titik pusat elliisoida Ddum btttt, pada titik pu$at massa bumi, 3. Sbtem koordlnatgeodefilq mqmungklnkan unhtk dilurtulrannya titik{a@m Geodesi ( stiap wilayah atau daerahpng luas, murgHn meneraplcanfrtikdatum Geodesi yang berfuda untuk fundaqkanposnr obyelrmuka bumiyang terbaik).
4. Perbedaanletak dan besar elllpsoida, berakibat pda koodlnat'g sama. untuktitik yang (akan dibahaspadatansformasidatum)-
k yatry berfuda
Titik dalum GeoCeeiadalah: " Titikdi manadidefinisikankedudukanellipsoidaterhadapgeoidyangdinyatakandalam komponen-komponen sebagaibedkut: .:. Undulasi ; yaitu perbedaantinggi (posisi vertikal)titik temebut pada geoid dan ellipsoid, sehingga biasanyadinyatakanberupa ketinggiantitik datum pada kulit ellipsoftJterhadapgeoidnya. * Defleksl Vertikal ; yaitu sudut ruangyang terbentukantaragaris normalellipsoida dengangarisgayaberat. (garisgayaberat= garisnormalgeoid). r Komponen U€ ( €, ) ; merupakankomponendeleksi vertikal untuk arah Utara-Selatan + KomponenT-B ( rl ) ; merupakankomponendefleksivertikaluntukarah " Timur-Barat. Gontoh Besar Ellipooida Nama Mauperhris Elouguer, Delambre Walbeck Everest
Airy
Bessel Clarke Praft Clarke Hayford Helmert Hayford Heiskanen Krasovsky Krasovsky Jeffreys World Geodetic Systems s = jari-jaridi Equator b = iari-iaridi kutub
Tahun 1738 1800 1819 1830 1830 184{ 1858 1863 1880 1906 1907 1910 1926 1936 1940 1948 r984
a (m) 6 397 300 6 375 653 6 376 896 6 377 276.345 6 377 563.396 6 377397,155 6 378 293,645 6 378 245 6 378 249,145 6 378283 6 378 200 6 378 388 6 378 397 6 378210 6 378 245 6 378 099 6 378 137
1tf 216,8 334,0 302,78 300,8017 299,3249U 299,152813 2%,26 295,3 293,4663 297,9 298,3 297,O 297,O 298,6 298,3 297,1 298,257
1= (a-b)/ a 48
FdeagilreplfK S.f.K
K@RD'NAT BAG,lfT N' KONy...ERS'
Srstettt t Tranfomag/ K@trf,lnat Penyelosatan t SodletDalt I
.
.
l.
..'
.
rl
(dktlplkdc3ihen l- Mue!br,1969!
gesann-bcsalan,Dasar pada Sbtem KoordlnatGeqdetrk':l
Eksentristbs(t) Kuadrat :
e z = - i ! ; Lt
=2t-t2
0[-r]
Eksentrisitas(t) Kuadrat : 0il-2)
JariJari Kutub :
(ilr€l
Jarijari Normal elliPsoid :
i-e2sin2L
(il14)
Jari-iari ileridian elliPsoid : 0il-5)
JarlJari Bola Reduksi
(ilr6)
Nilai mathematikaPenting :
7r = 3,14{ 592 653 6 p" = 206 264,80625' (agar diryrhatikan digit decima|
G
Sistemproyeksipeta,secaraprinsipnyadapatdibagiatas beberapabentuk,berdasarkantinjauan. petayang dimaksudadalah: Tinjauanproyeksi 1. Tinjauanbidangproyeksiyangdigunakan 2. Tiniauankedudukanbidangproyeksiterhadapellipsoida 3. Tiniauandistorsi(kesalahanyangdapatdiperhitungkan) eerik'utini hanya akan disinggungproyeksi UTM dan TM-3o sebagaikilas balik, mengingat!"o!" (urM sebagaiproyeksinasionalpeta sistemproyersiini -seAangtelahoicaiingiah seuagaiproyeksinasional. Pertanahan) proyeksi nasional TM-3osebagai Topografi, Baik sistem proyeksiUTM maupun TM-3o,merupakankembangandari sistem proyeksi Transverse garis Mercator6M1, yaitu berawaldari proyeksiMercatordengangaris karakteristiktabung tegak lurus bumiuntuk"mewakili" dipilih Mntukyang iaratAerislf eiiifsoiOa. Ettioaidamerupakan Mengingatkeperluandan kepentinganpenggunaanpeta tersebut"maka UTM di"design"sedemikian rut'un-tuk pdta topogran(skala peta topografiterbesaradalah skala 1 : 25 000). Dengan demikian, berdasarkandistorsiying timouldriuat sistemproyeksiyang masihdapatdibenarkan(dalam toleransi), makazonaproyeksiUTMadalah6" meridianUntuk 1epi1uin peta dengan skala yang lebih.besar (misal peta Pendaftaranpada Pertanahan/ proyeksi Kadastralj,distorsitersebutsudahtertatubesar(di luas toleransi),sehinggadibuatlahsistem TM-3odenganlebarzonaproyeksi3omeridian' hhsrgkap lfX S.f.K
t(ootdrnat 9sfcr, &lM tuiycnsahn C Sodlrdrrett
BAG'AN N' KONV,ERS'KOORD'NAT
Beberapaperbedaanyang perludiketahuiantarakeduasistemproyeksiiniadalah:
r
Zonapmyeksi:
Daftar Zone Proyeksi UTt & TtT-3' Untuk Wilayahlndoneeia Transverse ilercator - 3"
Universal Transverse ]llercator No Zone
o
ller. Batae Timur
Mer. Sentral
Barat
I
930
900
96"
47
ggo
960
1020
48
1050
1020
10go
49
111"
10go
111"
50
117"
114"
1200
51
1230
120"
126"
52
l29"
{26"
1320
53
1350
1320
139"
54
'!4'!"
13go
14g-"
tea Sentral
46.2 47.1 17.2 8.1 8.2 49.1 49.2 50.1 50.2 51.1 51.2 52.1 52.2 53.1 53.2 54.1
94" 30' 9f 30', 100030' 103"30' 106030' l0go 30' fi20 30' 115030' {1go30' 12lo 30' 124" 30', 12f 30' 130"30' 133"30' 136"30' l3go 30'
ter. Batas Barat
Timur
93" 96"
96" ggo 102" 1050 109" 111" 1140 1lt' 1200 123" 126" 129" 132" 135" 139" 141"
glgo 1020 105" l0g" 111" I 140
1lt' 1200 123" 126" 12go 132" 135" 139"
Koordinat titik:
Sistem Proveksi
Koordinat Seiati X tmt
Y tmt
x
Y
UTM Tm-3.' o
NoZone
Koordinat Semu U/Nrmr TlEtmt 10 000 000 + Y 500 00O + X 1 5 0 0 0 0 0+ Y 200 000 + X
Bearan atau hal Lain:
r Konvergenslmeridiandan koreksi kelengkungangarle o Faktor pertresarantitiklgaris /a
G 50 Fdengkap ftK S.f.K
o slsrw
KOORDINAT KONV'.ERSI
BAGjAN
Sls&nf & Tranfionreel l(ntfrnat Pglnvt/cigr/alnt SopllLadhan
"'
tr(x)RDu{AT GE(XIENTRIK (GE(TEITTRICI
Sistemkoordinatgeosentrik,nrerupakansistem untuk menyatakanposrisisetiap titik berdasarkaniarak dari pusat salib sumbu 3D. Posisi titik, sangat dipengaruhioleh ukuran (besarftecil) ellipoida yang digunakan.
zL
ketingrgiandari ellipsoil (hl
Y
o pusotsalibsumbu(pusatellipsoida) diletakkanpadapusat massabumi dengansumbuputarbuml(ellipsoida) o sumbu ke 3 (sb Z) tepauberimpit o sumbu ke 1 (sb X) merupakangaris potongbidangmeridianmelaluiGreenwich dengan EquatorelliPsoida . sumbu ke 2 (sb Y) merupakangaris potongbidang meridian90o T Greenwich dengan Equatorellipeoida nilaikoordinattitik. akandigunakandan menentukan Dengandemikian,besaran-besranellipsoida adalahketinggiantitik di mukabumi,akan dinyatakanterhadappermukaan Hal iang perludiperhatikan ellipsoida.Dapatdilihatbahwasistemkoordinatgeosentrikberkaitanlangsungdengansistemkoordinat geodetik.
G o StSfEM
r . . o
KOORDMAT
IrOPTOSENTRIK (TOFOCEilTRICI
Seperti juga dengan sistem koordinat geosentrik,sistem koordinat toposentrik merupakan sistem koordinatGartesian3D. Yangperludiketahuiuntuksistemkoordinattoposentrikadalah: pusatsalibsumbudiletakkanpadatempat pengamatan/pengukuran dengangarls nomal elllpsotdamenujutitik Zenith sumbu ke 3 (sb He) tepaUberimpit sumbu ke 2 (sb No) rnerupakangaris singgungmeridiantempatpengamatmenujuutarageodetik. sumbu ke 1 (sb Es) merupakangarissinggungirisannormalutamatempatpengamat.
51 Pelengkap ItK S.f.K
BAG,AN
l@ordnat StsftrDe T|dlnffi Soaf LaflPa E tuiyulosalan
KOTTIIERS'KOORT"NAT "I
\ \ \
Gadsnormalellipsoitl melaluiA
\
\ \
--;*+-'Y .l
.ti
________L I I
----->
D REDI'trSI T'KI'RAN Reduksiukuranyang akan dituliskandi bawah,merupakan "t€duksl" dari pengukuranpada muka fisik bumi (lapanganiningga pada bidang proyeksipeta (bidang datar, sehinggamenyatu dengan koreksi tersebut. atasbesaran-besaran Perludi ketrahuibahwa: fisik bumi sudutataupunjarakdi permukaan * Pengukuran ukuranadalahGeoid. * Bidangreferensi(acuan) Bola* Bidanghitungan(bidanglengkung)untukasbonomiadalah Ellipooida. .3. Bidanghitungan(bidanglengkung)uritukgeodesiiadalah * Bidangsajianposisiadalahbidangproyeksipeta(bidangmendatar) Terdapatbeberapaanggapandan hal yang harus diperhatikanuntuk menghubungkanacuan yang tersebut,atas ukuranyangsama. berbeda-beda Dalammelakukanhitungan,terdapatbeberapabesaranreduksi yang bemilai negativ,sehingga tanda untukmereduksibesrantersebutsangatbesarartinyadan rnemerlukanperhatianyang seksama. Untukmemudahkanmasalah,maka reduksiukurandibagi atas : reduksiuntuk sudut dan arah serta reduksiuntukjarak.
astronomiske posisigeodetikadalah: Reduksiposisihasilpengamatan
B = I - qSeco L=O+E, D i m a n a:
L,B o, l.
6,n
(ilr-7)
= posisigeodetik = posisiastronomik = komponendefleksivertikal 5?
Peiengkap ilK
S.f.K
K@RD'NAT BAG'ANM KONr/ERS'
Srslrvne frufiormasl Kootdlnat "
Perlrg/gspirst& Snllatihan
l. Azimuth Astronomb kp Azlmuth G-eodetb PersamaanLaplace:
AzG o, Azf dimana:
AzG Aza n O
= = = =
- q Tano
(lll€)
azimuthgeodetik aimuth astronomik komPonendefleksivertikalT-B lintangasbonomis
2. Reduksi bidlkan ke qa€ oeodetlk Setiapbidikanke suatutarget,untukdapatdinyatakanpada ellipsoida,perludikoreksiagar menjadingaris gedetik' yang berupagarislengkungpada permukaanellipsoida. adalah: Besarkoreksiuntuksetiapbidlkandari suatutitik pengamatian
le = -[4#*I di mana'.
o'] sinzn.
(ilr-e) .............
Aa = azimuthgeodetisatau astronomis = eksentrisitas(1) eltipsoid e' = jari-jarinormaltitikpengamatan N : jarak ke titik targetpadaellipsoiddalam satuankm. Sr= pn besaranradiandalamdetik
3. Re
K. di mana:
Aa et M L1 AH
= = = = =
A, ( etlM ) AH . % Sin Az . cosz Lr
(il-l0)
azimuthgeodetisatau astronomis (1) ellipsoid eksentrisitas jari-jarilengkungmeridiantitikpengamatan lintanggeodetktarget dan titiktarget bedatinggiantaratitik pengamatan
4. Koreksi defleksi ver$kal setiap bidikan tamet pada: target,baikdikoreksikan Koreksiiniharusdikenakanpadasetiappembidikan
lQu = ( 11Gos Az - € Sin Azl Cot Z dimana:
Z
......(lrLlr)
=sudutzenith
5. Reduksi ukuran sudut dari Ellioooidake Bidanq Proveksi UTHrIll3o Berdasarkanmodel proyeksi,syarat "Konform" menyebabkansudut pada ellipsoida d'rjagatetap(besarsama)dalammelakukanprcyeksi,sehingga: OettlpeoiO = Ctproyetsl
(ilr-r2)
53 FelengtcaptfK S.f.K
KOilVERS' KOORD'NAT
8AG'AT'
Srsltrft & Ttutfomad K@rfrnst Fanfddsaian & Sodlrlttatl
"'
walaupundemikian,bentukgarisdari etlipsoidajuga akan.tgbe.saat-proyek-si.lni beekibat akan timbulkoreksisudutuntukmenjadikannya(mengubalt)sebagaigarislurusa. (onve,Ioensi meridian ( v I Koreksiyang harusdiberikanpada garis antara2 (dua)titik akibatPertledaanarah Utara. Mengingat rumus di bawah hanya akan memberilian nilai posiliv atau negativ, sedangfuaO-rari11tikyang bersangkutan(ternaOapsistem proyekgDakan menenlrkan membsar' mengecilnyaizimutr ke suatutitik target,makasebaiknyadibantudengansketsa-
't=
aa sinr-[r I TanL
T= di mana:
xLm't
= = N = = L AB = l(o =
et2
*[+]'
(1+3e'2Cos2L +
ffiry
{t*
l* = A"= a= Y= p=
..... (lll-13)
konvergensimeri
L" =;f di mana:
2
+ Tan-L:
K,
p
(lll-t3a)
lintangpendekatan(dapatsebagai"lintang kakl'l 0,9983243 (sebagaihargapendekatani jari-jaripanjangelliPsoid ordinattitik padasistemproyeksi konstantasatuanradiandalamsatuanderajatatau detik.
b. Kqreksi kelenqkunoano?ris (t - T) pada mulanya,garis geodetik pada ellipsoidaberbenhrklengkung (kurva) dan akan bjntuk yang sama. Untukdinyatakansebagaigaris lurus' maka akan difioyeksikariOen-gan koreksiyangharusdiberikanpadaarahliurusansetiapgaris. te'roa'pat Koreisi ini disebutseUagaikoreksikelengkunganatau (t - n , denganbesaar: A I I I I
Yp = =ilk
( Yr - Yz)(ZXr+ Xa)
o Yzr = -61"
( Yz- Yr)(?& + Xt) f = lg N'll
..... (ilr-l4)
54 Pelcglgkap tfx
S.f.K
KO'YVERS'KOOFo1INAT
BAG'AN
StsGrft & T'tr|nfonrcI XoorTfnat Fenyeresalan & Soc/Latifiialt
"'
l. Reduksi dari bidana mendatartitik oenqamatan ke Geoid Jarak berikut ini dihitung dari ketinggian titik rata-rata (tinggi titik pengamatandan [lik taryet berbeda): SG==Rr= S -u R + Hrrta = jarak mendatarpada
di mana: SG Hrrt
R
(ilr-r5)
= (Hp",tg"n + Hgs"J2 "t"r, = 6 356 797 m. atau = jari'jari bumi
R = Reeuss'
2. Rgduksilarak Ukuranke Eltipsoi{ Reduksi ini digunakanbila ketinggiantitik-tlik (pengamatandan target) dinyatakanterhadap permukaanellipsoida.jarak ukuran,sehingga:
sE=su['-+++- J
(u-r6)
d i m a n a : S E = .Jarakpadaellipsoida S u = Jarakukuranpadabidangdatar H.aa = Ketinggianrata-ratatitik dari ellipsoida .R = Jarijari bumi(sebaiknYaR6"u"")
jaraUpanjangsuatugaris pada bidang proyeksi,terdapatkonstantayang Untukmendapatkan harusdiperhatikan,yaituFalrfor Slrala(faktor perbesann). untuk setiaptitik...Walaupun Faktorperbesaranpada bidangproyeksiberbedanilai/harganya salahsatu titik (biasanya skala nilai faktor digunakan dapat yang berdekatan untuk titik demikian, titiktengahlgaristersebut,akibatperbedaanyang dapat diabaikan' Untukgarisyang panjangfiarakcukupjauh),digunakan faklorskala garis sebagaikonstanta.
D =ksE D = msE di mana :
, atau (lll-17)
= jarak pada bidang proyeksi(bidang datar) D = faktor skab titik dan garis. k, ffi = jarak pada ellipsoida SE
k=
x" [r.
m=
o [t.
x2 I
nR)
wl
(ilr-l8)
faktorperbesaranproyeksi (untukUTM= 0.9996) dengan:$- -: = X,Xr,Xz absistitik , titik-titikujunggaris jarijari bumi(sebaiknyadigunakanR6*o) R=
G 55 Felengk4p ttX S.r.K
BAG,AN'"
S|stsn t Trali/wnrcl K.@lrf,nat rortEesaran t SoelLadhan
KO}'VERSIKOORDNAT
Pembahasanini merupakan ulasan masalah posisi mendatar pada bidang lengkung dan bldang mendatar,sehinggatidak benar-benar3D AdapunkoordinatGeodetikdi sini merupakanposisi mendatar (horizontal)padaruang(pemyataanposisigeodetik3D denganketinggiandari ellipsoida= 0 m). Padakonversikoordinatini, akan dibahashanyakonversikoordinatgeodetikke koordinat proyeksi UTil , atau Tii3", karena kedua proyeksi terserbuthanya berbeda pada faktor perbesaranpada meridiansenbal. Sehinggarumus€lnuntuk UTM atau TM-3o,akan serupa. Selain itu kedua sistem proyeksiini merupakan sistemproyeksinasionaluntukpetatopognafidan petapendaftarantanah.
5.1.
UTU/Til3' KONVERSIKoORPINATGEODETIK+ KOOEDINAT,PRoYEKSI Berikutini merupakanhitungan konversikoordinatdari koordinatgeodetik suatu titik (L,B).untuk dinyatakandalamkoordinatsistem proyeksi UTM/TM€o pcnAdapunsyaratkeduasistemproyeksitersebutadalah"Konfom" (sama bentuk=sudut). Fungsianalitikyang mewakiliproyeksikonbrm dari ellipsoidake bldangproyeksiadalah:
Y+ iX=f1q+ib) dimana:
.....(5-1)
b = B-& Q = Lintangisometriktitik P Bo= Bujurmeridiansentral
*..}} (+#t}"} o =,n{r"n(
di mana :
B= Bo= ttq
bujurgeodetikiltik P bujurgeodetikmeridiansentral lintanggeodetiktitik P lintanggeodetiktitik kaki Pr
Melaluiaplikasihitungandan aturanderet Taylor, memberikanrumuskonversikoordinatsebagai berikut:
56 PelerrgksplfK S.f.r(
BAGNN N' KOMIERS' KOORD'NAT
l
x =,'(fr) Y = (a") di mana I
AB = B-B"
= lq G (ao) s = Eo(Up) + E2Sin 2L + E4Sin 4L + E6sin 6L + ---,s=
a(r-*e"-*"'-T*
Ez= -"(t
f.=
"')
* ffiet) * "t *"t
"(*d*#L"')
f,.=-"(dfi"') (ar) = (ad = (ar) = (ar) = (ae) =
Gatatan :
+ (l("NCosLllp * ir<" N sin L bos L) l2p2 + (]G N CosrL ( (}|n|)-Tan' L)), 6p'
- iil ii ii" ubll' I i +(NmF* tryru- ran2Lllt 24p' -9)) I 12Op-
+ a1((o N CossL ( 14 (Nril) 18 Tan' L
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Rumus (5-3) berlaku di setiaP zone : sudut Satuan b : metrik Satuan G : metrik Satuan N,il = 205264''80625 p : metrik Satuan X,Y Nilai yang didapat (X,Y)merupakankoordinatseiati'
Perhatihn ------,
.(5-4)
-
dengan sebama '
?
|
-
.jrrii,.,:.::i,::l:l
tanda da1r panghat pada setta? sutsu pqrcqgg{+
, ,,,
5.2. Apabila titik Dalam praktek beberapamasalah,sering diperlukanloordi13t geodetiksuatu titik' menyatakannyadalam tersebutdinyatakand;[; sistemproyekJi,maka diperlukanhitunganuntuk sistemkoordinatgeodetik. Fungsianalitikuntukhitungantersebutadalah:
Q+ib = g(Y+iX)
.(56)
rumus konversi Apabilafungsi analitikdi atas diuraikandenganderet Taylor.,dapat memberikan koordinatpr6yeksike dalamkoordinatgeodetiksebagaiberikut:
57 Pe/ern,gl
BAG'AN III KONIERS' KOORDINAT
StstunfA Tm$otm*l K@rfrnat rutydeserdn t Soaltelfltan
L B
k +,(czlxz
.(s)
Bos (,cr'lX
{i mana: I
(cr)
Sec l+
-r
^r
l'lt |G l+ ^" Tan I (cz) = - - 2K"' Nr llr . (ca)
=-t#t+
(cr)
+2ran2u) o"
=**,ffi t't+l'., [+J['-,"*r,J -rzr"n'r-,] e" =sec k #tr
{-. [*J' [' +
Gatatan:
-'r"rr,)
[+J'[t-68ran2t)
-r,
+ 24ran2u]o" [*Jran2Lr
1. NilailhargaLr atau t-", dihitungdenganrumus (llhl3a), yaitu: rr -_oY
Y aA"lG nilai Lr. 2. Nilai/hargaNr dan ltrt dihitungberdasarkan 3. Nilai L dihitungsecaraiterasl, hinggakonstan(dianggapkonstan).
Atau : Dengan metoda pendekatansepertidibawah : 1. Rumusdasar:
! = l_o'+ { [Ez'Sin (2 L"l + Q' Sin (4L"] s Ee'Sin (6 l-o]ltA"' ] ............(5-7) Dengan:
r.o,=*#*
p
n = [fr(2.01 Ao' = [ 1 + 1ntl41+ 1nltA+)|
Ez,= t3(n- (n1g))lZI rS I Er' = - [ t5 (n2- 1n1+;11 F+' = t 35 (n3t4S)l' 48 I
............(ffi)
konstan di iterasihingga 2. Koreksilintang 3. Hitung L berdasarkanharga pendekatanyang tetap. (l-"')
58 Fe{engilrapflK S.LK
BAG,AN N KONI/ERS' KOORD|/NAT
l(ootilnat
Sts{unt& trutffi
Pt{irydos'irdn & SoCLadhan
I.ANGKAH HITUNGAN: o
KONVERSI KOORDINATGEODEflK ke KOORDINAT PROYEKSI Untuk dapat memudahjkanhitungan,berikut ini diberikancontoh berupa langkahdan harga hasil hitunganyangperludiPerhatikan 1. Tentukan bujurmeridiansentnal(BJ yang terdekatdengantitik obyek. (lngat : zone UTM adalah f , sedangkanTlvl3o adalah 30 ) 2. Hitungbeda beda meridiantitik obyek denganmeridiansentral AB - Sesuaikandengan satuan p yang akandigunakan.(misal:detikatau derajat). Dianjurkanmenggunakansatuandetik 3. Hitungkonstantapengali(a.) s/d (41. ferhatikan pangkatdan tandasuku persamaan). Untuk ao: Sukupertama variableG bukan fungsltrigonomebikHitungkoefisien E" s/d E6 Hitungnilai G dan ao \ngat untuk UTM Ko= 0,9996) . Nilai al s/d ac : a. Hitung N dan M titik obyek (satuandetik) b. Gunakannilai p = 2062@1,80625 berangkai secara Dapat dihitung c. (misal i ?2 = at (Sin LnP)) (53) koefisientelah dihitung. bila semua 1. Gunakanrumus ,
KcINVERAI
GEtlDETIK
:+
PRrrYEKETI
Diketahul: Titik TR-25 dengan Hltuno:
| = 4"23' 15,375"LU B = {0f30'28,352' BT pada WGS'84
Koordinatproyeksititik tersebutpada proyeksiUTMdan TM-3' lll
Penvelesaian: Besaranpenting:
* WGS'84: a = 6 378 137 m ; e2 = 0,006694 380 ; e'2 = 0,006739 497 * p" = 206264,80625detik
Besarcn penentu(yang sama): *N = 6378261.9532m * i l = 6 3 3 5 8 1 1 . 6 8 4m 8 Notasi
UTM
B" IG AB (')
106"30' lo5" I O,g9gg 0,9996 | S028.352000 9028.352000| 6367449.146 -16038.50836 16.83220078 -0.021800766 .185165.66537668
Eo E2 E4 E6 G
Tl$-30
59 Fe{eigkep lfK
S.f.X
l(oordfnat SrsGnt&Trurffi tuydosaril, t SoalLatrDan lt-L-:
Nrrti|:'t
(a") (ar) (ar) (ar) (ar) (ac)
x Y N
E
B
BAG'AN II' KONtfrjRSI KOORDTNAT
tl
?
trtlll
ll
I tt-o-
48497t.5901 30.81972946 5.715sE{)6 1.20124E-10 5.62548E-17 4.15ft73E-21
485117.1/|88 30.82897907 5.71721E{6 1.2016E-10 5.62716E-17 4.19799E-21
278 340,019 {85 '87.85{l 10,f85 /fi17.850 778 340.019 Zone 48
111 864.130 485192.'f25 I 985192.425 311 86,1.130
Zone 8.2
KONVERSI KOORDINAT PROYEKSI ke KOORDINAT GEODETIK Untuk dapat memudahjkanhitungan,berikutini diberikancontoh berupalangkahdan harga hasil hitunganyangperludiperhatikan. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. U.
9.
Hitung koordinat sejati titik. atau TM-3o) Hitung\ denganrumus(lll-9a).(lngat:nomorzoneI-JTM Sebaiknyahitungandalamsatuandetik Menglngat : untuk bujur meridiantidak berperandalam koefisien(cr) s/d (cs) atau E5, maka hargaL. dalamiterasihanyadihitung(c2)dan (c1)yangakan mempengaruhi sebaiknya, Hitungkoreksilintang,melaluikoefisien(cz)dan (cr). Lakukaniterasi,denganmelihatapakahkoreksitelahkonstan. nilaiL terakhir. BilatelahdidapatkankoreksihargaL konstan,hitunglah(cr), (cs)dan E5berdasarkan hitungkoreksibujur. i-litungkoefisien(cr) , (cs)dan E5.Selanjutnya Hitung L dan B akhirdenganrumus(5€). (Janganlupa nilai meidian sentnl, berdasarkanzone proyeksi).
KCTNVERSTI PREYEKEII
:+
[3ECIOETIT
Diketahqi: Titik TR-25 dengan
Jrl = l0 485 437.850m f = 778 340.023m pada UTill zone 48
[ J = { 985192.425 m m f= 3118&1.130 pada Tll-3o zone 8.2
Hitunq: Koordinatgeodetiktitiktersebut lt! Penvelesaian:
Besaran Pentins'y'"i%;drSrTrt : ffir PeluglcaptrK S.f.K
; e2 = 0,006 694 380 ; e'2 = 0,006 739 497
BAGiAN
Slrtoln & Tlrfomasl r
KONIERS' KOORo/NAT "'
Hitungan llnhng pendekabn dengan eata f-dua. Hastl akhlr hitungan cara kdua, digunakan sebagai linbng pendekafan unfuk dikorcRsi dengan cara pula,ma. UT]T
Notasi lG B"
0,9996 t059 278 3,10.019 /l85 437.850 0.00167922G386344 1.0000007049454(n 0.0025188296916975 0.0000026435429232 o.00(n0q)000719298
x
Y n Aot
El Ea' E6'
158'10.16fi!369/Bq) 0.076an984940660 0.000083827084105 79.170019136
15t97.13282525930 0.0765881 1559987 0.000383521900171 79.107070431
15810.55777098710 0-07665174713239 0.000383836512946 79.1719639746
15797.82395687480 0"0765900118594.5 0.000383531 321942 79,10901381 11
I 5810.55971582520 0.07665175656123 0.0003838365597SX 79.1719736375
15797.82590025dt0 0.076590021 28122 o.000383531368755 79,1000234670
15810,5s972548810 0.07665175660808 0.000383836560026 79.1719736855
15797.82590991 040 0.07659002132803 0.000383s11368987 79"1090235150
I 5810.55972553610 0.07665175660831 6378262.1931 6335B12.3997 0.0324469303055 -1.96161E-l0 -1.3St96E-16 2.O2028E-24 0.001461757 15795.37467 387028.35897 4023',15,375'LU 10f30'28,359" BT
r 5797.82590995840 0.07659002132.827 6378261.9919 6335811.8001 0,0324370425406 -1.95984E-10 -1.3537E-16 2.O178liE-24 1.53023E-05 15795.37501 387028.352080 4023'15,375'LU 107030'29,352' BT
Iterasi I Lt (detik) Lt (radian) A L (radhn) A L (d€nk) Iterasi 2 Lr (detik) Le (raOan) A L (radian) A L (detik) lterasi 3 [^r (Oet'x) Ls (radian) A L (raOian) A L (detik) fterasi 4 [r (oetix) L. (radian) A L (rad-an) A L (detk)
1ar), (aa)' (ar)' (ar)' (as)' L (d€{tk)
B toeml L B
{rr 864.130 485192.425
15718.716884t433000 0.076206,189959280 0.000381625640588 78.715938816
A L (radan) A L (derk)
N M
0,99$ 106030'
157313a77518506000 0.076267920048288 0.000381c9358311 78.778s85093
Lf (oetit) Lf lraoianl
Iterasi 5 Lo (cetix) L{ (radian)
TM-3O
t/\
G 61 Ferengr€p MK S.f,K
BAG'AN ,I' KONIiERS' KOORDINAT
Koptdnat Sirffir A fianfanwl tuiydesalan A Snr/I-afhan
1.
Diketahui:
Titik TTR{67 dengan:
L = 3013'rO,902' LS B = 105"02' {5,076" BT
; pada WGS'94
Hitunq: Koordinat proyeksititiktersebutpada proyeksi UTMdan TM-3o ill 2.
Dlkptahul:
Titik TDT-1037dengan L = lo40'27,941', LU B = {0go31'06,100, BT ; pada wcs'94 Hituno: a) Koordinat proyeksititiktersebutpada proyeksi UTMdan TM-3o tlt b) Berapakahkonvergenslmeridiantitik tersebut(padamasing-masingproyeksi)? c) Berpakahfiaktorperbesarantitiknya ?? 3.
Diketahul: [J = 910 839,524m J = 284 832,355 m
Titik 1TB-082dengan Hilunq : a) b) c)
4.
Bila koordinatITB-082adalahkoordinat TM-3o. Hitung koordinatgeodetlk titiktersebutbilapadazona47.2 lll Sepertino a). Hltung koordinatgeodetiktitiktersebutbilapadazona 48.1 lll BilafTB{82 padaUTMzona47. Hitung koordinatgeodetiktitiktersebuttll (hitung roda ellipsoida WGS'8/')
Diketahui:
Titik ASS-{82 dengan
| =
5" 32'10,734" LS ,109"10'42,234" BT I = 5'37'44,000' LS B= 109o21',50,701"BT BE
Titik ASS-190 dengan
Hituno: a) b)
; pada WGS'84
JarakantartitikpadaproyeksiTM-3o lll Jarakantartitikpadaellipsoida lll
Anda pasti dapat membuat soal yang serupa, atau membnat veriasi pertanyaan berdasarkan soal di atas
G PelerigdlepttK S.f.r(
6?
t(ootilnat fizrffi -Stsffn8 FenFFlan t SoatLoilhan
KONI/ERS' K@WINAT
BAG'AN "'
Konversiini merupakansalah satu bentukbansformasidari posisititik pada bidangbngkung, untuk dinyatakanpadabidangmendatarpadaruang(3D). Berbedadenganpada Bab V , di mana posisi geodetikdinyatakandari pemukaanelligsoida,pada bab ini posisigeodetikdinyatakandenganketinggiantertentu, sehinggaposlsf geodedk suahr tfUk adalah {L,B,H}. Untuk ini, harap diperhatikandengan seksama bidangbidang datar yang melalui'sustu titik pada muka ellipsoida.Harapdiingatpula bahwabidangnormalsuatutitik di ellipso'tdaadalahbidangdatar yang melalul gads normatellipsoidatitik tersebut (Garis normal ellisoidatidak melaluititik pusatellipsoida,kesualititik padaequator).
6.{.
KONVERSI K.OORDINAT GEODETIK ke GEOSENTRIK
Rumus Hiryonen & toritr
:
X = (N+H) CosL CosB SinB Y=(N+H)postZ = l , N ( 1- e ' ) + H l S i n L dimana:
X,Y,Z = koordinatgeosenbik L, B, H = koordinatgeodetik = jari-jarinormalellipsoida melaluititikobyek N
NormalellipsoUa
J. ta
.b-,",::_)i____
----->'Y
Perhatikan panjangsisrsisr : No.A=N ] No-A = N+HJ Sehingga:
GAe = (N+H) Cos L A-Ae = [N(1-e1+H]SinL
GAe adalahvektorjarak X dan Y A-Ae adalahZ
X = GAe Cos B = (N+H)Cos L Cos B Y = GAe Sin B = (N+H)Cos L Sin B dan = [N(l-e')+HlSinL = A-Ae
63 Pelenglrap [fK S.f.r(
SrsHt &Tranfontwl K@rrfnea ;tnyuresalan A So.rlrdrrat,
AAG'AT N' KON|/ERS' KAC'RT','NAT
RumusBowrlng : : $=
ran-rt+
l=
Tan-t
H=l#l-* di mana:
X,Y,Z = koordinatgeosenbik' L, B, H = koordinatgeodetik g = Lintangreduksi
p
(6-21
= r"n-, kz_]
= Jari-jaritengkung paratet = \fF
KoNveng!
EigooETIK
- y-
=)
GiEITEENTRIK
Diketah$i: Titik TDT-25 dengan:
| = 6049'53,719' LS $= 106050'28,028'BT !l = + 815,563m.
Hitung :
;pada WGS'84
Koordinatgeosentriktitik tersebut lll 1). Berdasarkan WGS'84, maka: = N = N+H N(l-ez1+g=
6378439.095432 6379254.658432 6336554.963321
2). Koordinatgeosentrik: )( = f = I =
Fef€ngilrylfK S"f.X
- 1835067.698 + 6062310.355 753742.067
&
BAGiANN' KOTIrERS'KOORAHAT
l(ppttnaa Stsan efintqzllps, t SoCt-sdtttert Fenfhsalo
qOilfOH
SOAL I KrfNvERsr GisssENTRrK :+ EiEoDEnK
Diketahul: Titik TDT-25 dengan:
Eiturs
f, = - {8:}5067.698 I = + 6062310.355 753712.W1 ; pada WGS'84 I =.
Koordinatgeodetiktitiktersebutllt
t). HitunganB dan penunjang:
2). HitunganL : 3). HitunganH : 4). KoordinatGeodetikTDT-25 : 106" 50'28,028' BT (kuadnn ll) 6049',53,719',LS Keteranqan; Dalammenyatakannilai Bujur(B) : Perhatikankuadransudut, berdasarkannilai X dan Y: m a k a: M i s a l k a:n T a n - r( Y X ) = a , Kuadran I tl Il
Iv
x >0 <0 <0 >0
Nilal It
I
>0 >0 <0 <0
Tan-' >0 <0 >0 <0
Bujur ct
180" + cr {80" - cr *ct
BT BT BB BB
G
65
rurengtqplfK S.r.X
S'.s8rt A r}u'fo'nasl
r(oo.flfnat
KOT{IIERS,'K@R,y/NAT
AAG'AT' "'
Fenpesalm S'soallarttran
1-. Diketahui: Titik AKU{'4 dengan:
L = 3o 13',40,902' LS B = 105002'15,0760BT !f = +822,982 m
Hituno:
;padaWGS'84
KoordinatgeosenUikttik tersebutlll 2. Diketahui: Titik TDT-1037 dengan | = 104!0',27,941'LU $ = 19" 0l'46,100" BB f{= 2 0 9 3 , 5 1 X }m ;padaWGS'M Hitunq: a). Koordinatgeosentriktitik tersebutlll b). Bila titik di atas sebagaititik pertama,dan titik no 1 merupakantitik kedua, hitung jarak vektorruangantiar\a keduatitik titiktersebut.lll 3. Diketahui: Bila titik-titikpadasoal no 1. dan 2. dinyatakanpada ellipsolda Bessel, dengantitik pusatellipsoidapadatitik pusatmassabumi. Hituns: Koordinatgeosentrikkeduatitik tersebut.iii 4. Diketahui: Titik AA.1 BB.3
X rm) + I 835 067.698
753100.877
Y tmt
6 005 067.575 4 872912.000
Z tmt
735 067.650 + 917 234.055
a). hlitungkoordinatgeodetikkeduatitik tersebut (pada byGS'84, ltl b). Hitungkoordinatgeodetikkeduatitik tersebut (pada Eesset) lll
Anda pasti dapat membuat sonl yang serupa, atau membuat variasi pertnnyaan berdasarkan mal di etrs
G 66 Prllertgkap lfK S.r.X
Srstenrtfuanbtmesl Kffinai
BAG'AN
@
KONy€RS' KOORD'NAT "'
Untukkonversijenisini, perhatikanlah:
elllpeoida. Untuk itu, harus diperhatikan rcduksi dan korsksi ukuran.
Garis normaltitik A
Es targEt tarypt{B)
..'
a-a
. ' - i' .i--/'
padasistemkoordinatgeosentrikadalah : X , Y dan Z. , sedangkansumbupada sistem Sumbu-sumbu koordinattoposentrik adalah: Es , No dan He (Easting,Nofthing dan Height). TitikA sebagaititik pengamatan,dinyatakandalamkoordinatgeodetiksebagai (X1,Ya,21) = Az UkuranketitikB: * AzimuthkeB * Jarakmiringke B - S * sudutmiringke B = m Makakoordinattitik B dari titik A adalah:
IHil *"1 =
Koordinatgeosentrik titik B :
[s co" m cas Azl
lS Cosm SinAz I
[s sinm
)
[ = 1'' R(LABA) [*".|. [*^I Lfi:.|LIIJ ll:J Dengankoordinatgeosentriktitik A adalah:
= [r]
(7-11
F_2,
It*o+Ha)cosLacosBal
|(tlo+Ha)GosLrSin Ba I -et)+HnlsinLn Ilno(1 )
Fefeigdop t|X S.f.X
67
Stsbm & Trnfonnsl
lMlnat
KONIiERS' K@RD'NAT
BAG'AN "I
ruryebsarant SoallalflDan Denoan: ?
- Gos Br Cos Br 0
| Sin Le Gos Br = R (LABA) | Sin Lr Cos Br
CosLr
t
CosLr CosBr I
Gos LrqSin Br I Sin Lr )
L = fiaktorperbesaran R = matrixrotasi
KGINVERAI
TOPBSENTRIK
:+
EIECIAENTRIK
Dikgtahui: Titik TD.3l dengan: Bidikan ke TD35 :
5037',02,937',LS | = l105047'20,750'BT ll = + 116,055m.
:pada WGS'84
Az = 139044',18,05" m = 00o42'11,8t" $ = 5674,865m
;padaellipsoida
Hituno; a). KoordinatgeosentriktitikTD-35!!l b). KoordinatgeodetiktitikTEL35lll Penvelesaian:
a) Koordinat geosentrik TD-35 : f)
HitungankoordinatgeosentriktitikTD-31: PadaWGS'84: = N = N+H = N(1-e21+g
6378341.569691 8378457.624691 6335758.582454
KoordinatgeosentrikTD€1 : (\r\
lxl
l - t t z t z : t s . z o lI
LrJ
t-
I Y | = l + 6 1 0 s 3 2 0 . 2 8| 2l
620ls5.6s2j
Matix koordinatrelativke target(titikTD€5):
=t:ir3strr]=[ [;']
- 4:!30.169231 + 3667.27092|
6e.65005J
68 Felengftep lfK S.f.X
BAGTANtil KONIiERSTKOORDINAT
Slgt€nre Tranfomsl l(olorilnat ruryatcsaim e Sosrfrfltaf 3)
Matrix rotasi titikTD3l
[-o.or**u*nto,
= | t
R(L^B^) 4)
:
-0.9622692881445-'2m'*,iToTssl
[email protected]&W 0.957648562981.{ | -0.097886066r*) 0 0.99si97s784s/s
HitungankoordinatTD-35denganrumus 17-21:. Berhubungnilaitaktorperbesarantidakdiketahui,makadinyatakansebagaa: l. = {
f -l
loyl tt-J
[*"1
i..R(LAB^) lFl [".J
f-r..r.*rl
l-tf:.tll L-43t6.rs2J
KoordinatgeosentrikTD-35adalah:
(-rrrorrr-.rrl f t I = l*sroesot'zszl ly | IzJ L- ezrsor.a+rJ b) Koordinat geodetik TD€5 : l). Hitungan B dan penunjang:
-2). Hitungan L : -?). Hitungan H :
4f. Koordinat Geodetik TD-35 :
G
69 Pe{erylrqp l|K S.f.K
Slsterre finbmasl llootdlnet Ferya|ecdar & $dI r-sthar
B,AGIAN
KO'TIIERS'Ko('RT"NAT "'
1. Diketahul: | = B = ]l=
Titik A dengan:
Tltik A B lTB{tg
Bldlkan B ITB{9 A€O.ES
6040',52,935' LS 106015'50,555' BT +125,135 m.
Azimuth
;pada WGS'84
lll (sttdut mirino)
S tmt
2O1-25',4{,03" + {" 09'5:1,26' 15 329,975 168"50'1{,55' + lo 36'oo,sl" 21 050,500 28f 11'00,25" - 0" 52'37.00' 10 97r.335 (semuabesananpadaellipnida)
Hltuno: a). Koordinat geosenbiktitikB, ITB-09dan A€O-ES ttt b). Koordinatgeodetiktitik-titiktersebut lll 2. Diketahul: I = $ = |l=
Titik TTL-054 dengan:
Titik
4009' 15,024" LU 113033'27,931" BT +625,840 m.
Azimuth
Sudut mendatar
;pada WGS'84 m (sudutmirino)
S tmt
Tn-454 242" 18',04,37"
BU{
00 31'40,00'
34 750,880
+ l" 52'17,35'
4 9u,421
168" 50' 11,55.
tTB-59
(semuabesaranpada ellipsoida) Hituno: KoordinatgeodetiktitikITB-59 lll SKETSA: TTL-954
3. Diketahui: Koordinat astrcnomlk titik UN-77 :
hleigkap flK S.f.r(
@= 6053'55,621" LS f, = 106045'52,997"BT T - + 7 1 4 , 7 5 5 m . MSL rl = - 1,063" f = + 0,788' undulasi= + 10,0103
70
BAG,AN N' KOITy.|:FjRS/, KOORDINAT
Stsa€trf& TranfolnalnstK@rdlnst Pernydeitar, E Soallr{frran
Dataukurank-etitit- N0-UN8: Azimuth Tttik uN-77 351"30'52,09"
rll (sudutmirim)
- 1oO2',39,92'
S tmt
62 983,560
NO-t N8 besran adalah data
Hituno:
Koordinatgeodetiktitik UN-77 pada ellipsoidaWGS'84 BesaranukuranpadaellipsoidaWGS'84 !! KoordinatproyeksiTM€otitik No'uN8 !! HitungsudutjurusanUNJT ke NGUNB I! . HitungkoordinatproyeksititikUN-77dari NGUNB lt geodetik proyeksititik !! langsung koordinat UN-TT dari koordinat Hitung 0. !l diatas ulasan hasilhitungan Beri s).
a). b). c). d). e).
Anda pasti dapat membust soal yang serupa' ateu membuet variasi pertanyean berdasarkin mel di atas
G
-.--,{;tiEffiEm
"**.-_-a''
/A E
7L Pelengkap fK
S.f.K
Srr{€me finfiontrcl l(ogtflnrf ruryrrcsalm & Sodl"edilnn
BAGIAN IV
AAG'A'YN DAruN S'{'FT
DATT'U SHIFT
Seperti telah diketahui, bahurapemyataan posisi suahl titik dapat berubah/berbedabila besar ataupunletaketlipsoidaberubah. Halini memerlukanperhatian,karenadapat berakibatmasalah besardan luas,terutamauntukmasalah bataspilayah. Sebelumpemyataanmathematisuntukmasalahdatumshift (Perges€ranDafum),terlebihdahulu akan diulas pengertiandasar pergeserandatum secam umum dan juga bebenapahal yang terkaiL
1. PENGERNAN DASAR Sebelummembahasmasalahinidengan lebih mendalam,makanyasebaiknyadiulas terlebih dahufubeberapapengertianyang berkaitandengan nffitmuPengertianyang mudahuntukmenartikandafumadalahsebagaiberikut: Datumadalah: "sesuafu yang harus dideflnlslkan(dftentukan) dan mentadl dasarbagl semua yang tcrtait baik hitungnn maupun pengukutan " Haltersebutdapatpulaberarti(secaratidaklangsung),bahwa: (referensi) 1. Tanpadatum,setiapukuranobyektidakakanmempunyaiacuan 2. Tanpadatum, semua kegiatanperhitunganmathematistidak dapat dilakukan,sehingga hasilukuranapapuntidakmemilikidasarhitungan. Haitersebutdapatpula berarti(secaratidaklangsung),bahwa: Bila pengertiandatum tersebut diterapkanpada masalah Geodesi, maka perlu ditinjau referensidansemuayangterkait. masalahbidang-bidang A
Bidano Refurensi; Terdapatbeberapapandanganuntuknengawalipembahasanini. Disiniakan diurutkan kegiatandari lapanganhinggadalambentukpeta. berdasarkan D Referensl Ukuran. Pengukurandilakukandi lapangan,berdasarkanbidang horizondan arah titik zenith setempat(tempat pengamatan). Untuk keseragamansemua tempat pengamatan, makageold dipilihmenjadibidangacuanukunan Geoid merupakanbidang tempat kedudukantitik-titik dengan potensial sebesar 0 (nol),atau dalam prakteknyamerupakanbidang yang melaluititik-titikmuka air laut dalamkeadaantanpagangguan(statis).
Pelendry l|K S.f.K
StlFrt
fsryffim
f nfomert r(@tdtrf
t SodLaffiet
t
BAG'AII N DAN'N SH/Fr
Artianlebihlanjutyangberkaibndenganu!..uenadalah I BHang horEon Empat pengarnatan,menrpakanbidang singgungpada titik pengamatan dan tegak lurus brhadap garlr nunal gerid (Uerit
K@t6nr[
Srdurtr&I'utffi
rurycrebr
BAENil N DAruN S"'FT
t SodLr0nr * Koodlnat Blilang Dabr (2D) Tedapatbeberapa jenis (meniadiistilah) : .
i
Koodlnat nhtlv : yaitu koodinat yang dinyatakanterhadap titik hin yang dapatbergantlganti. o Dengan shtom koodlnat Polar : yaib d.enganparamebr stduf dan jank yang dinyatakanbrhadap acuan sudut dan tlik ryal (pc[e) yang tertentu . Acuan ini (sudutatau ianak)dapat bergantiganti. o Dengpnshtem koodlnat Carteclan, yaitu dinyatakandalam bentuk beda absls dan ordinatdari litik tertentu. Koordlnat aboolut : tliasanya dinyatakan dengan mengaplikasikansistenr koordinat Cartesian. Untuk ini, perhatikanlah letaf ffrk pusat srillb sumbu dan ara,hsumbu Y oosruf. o Koordlnat Lokal : yaitudengantitik pusatsalib sumbudan arah sumbu Y positifdibntukan ccrlnDeinng r Koordlnat Wllayah (Nomal), yaitu dengan titik pusat salib sumbu ditentukansemDanang,arah sumbuY positifke arah llhn. o Koordlnat Pmyeksl, yaihr dengan titik pusat salib sumhr dan arah sumbu Y positif yang tbrlerftr, tergantung dari slsbvn prcyelcsl pe|r yangd(1unakan.
.! Koordlnat Bldang Lengkung (2D) Yang harusdiperhatikanpertama-tamaadalah bentukbidanglengkungdari posisi titik tersebut Dalammasalahgeodesi,bentruklengkungyang banyakdigunakan beracuanpada: . Bentukbola , dan . Bentukellipsoida Uniukpemyataanposisititikyang bedauhandengantitik acuan,makadigunakan satuan sudut. r o
Koodlnat astlonom'rs : yaitu koordinattitik hasil pengamatanastronomigeodesi,denganacuanhitunganbola satuan. Koordlnat geodetls : yaitu koordinattitik hasil hitungandari data lapangan denganacuanhitunganelllpsotda.
r.. Koodinat Bidang Datar (3D) Sistem koordinat Gartesian,bila diaplikasi pada ruang (3D), akan berakibat pemyataanposisiantarttik sebagaivektor ruang. Hal ini dapat diaplikasipada 2 yaitu: (dua)modelyangberbecla, r
Koordinat geooentrlk : yaitu sistemkoordinatCartesian3D, denganbidang horizontaladalah btdang Equator bumi.. Titik pusat ditentukanpada pusat massabumi,sedangsumbuZ diletakkanberimpitdengansumbuputar bumi rata-rata. Mengingatfujuanaplikasisistemkoordinatini untuk menyatakanposisititik di mukabumi,makadalampemyataankoordinattitik, ddtft mungkln rqpas dtrt ellipsoldayangdipakai.
r
Koordinat toposontrik ; yaitu sistem koodinat polar dengandasar sumbusumbu Cartesian sebagai acuannya. Posisi relativ antar titik dinyatakan dalam bentukvektor ruang,yang d'ljabarkandalam benfuk : lank mlrlng, sudut mldnghentth dan azlmuth (sudut mendatar). Adapun bidang mendatarpada sistem kmrdinat ini adalah bidang horizon yangtegaklurusterhadapgarisgaya{erat melaluititiktersebul
Fareng$apIK S.r.K
Srrtnm eIlanftmnqgt l(optfitril
BAG'ANN DAruN SH'FT
turyrrcseran t Soctblfian
B. Titik Datum Geodesl Tempatellipsoidayang terbaikunhrksuatr wilayah,dinyatakandenganpenentuan (dituniuimya)Tttk l)atumCeodosl yangtedid dari: o BeearelllPoold r Poolsltltlk Yangdltunfuk geolddenganellipoolda(Undul*l) t PerbedaanOngrgl r Stmpangan(sudut) antara garb nonnal geold dengan garls normal elllPoolda. Terdapatbanyakbear dan bentukellipso'rlayangmungkindipilih(lihat_tu$ianlt), untukbumiyangdisepakatiyaitumelggunakanWGS'84. denganpenyeragaman letak elllpsolda terhadap.,bumi, eenlapdfasianWGS'&4juga berartimenyatakan yaitu padatitikpusatmassabumi(geocenter) r titikpusatellipsoirla r sumbukarakteristikellipsoidaberimpitdenganporosputarbumi rata-rata CIO= GonventlonallnternatlonalOrlgln) (setelahmelaluikesepakatan dalambentuk: Poolsltitik dafirmgeodeel,padamulanyadinyatakan r Lintangdanbujurmeridianasfonomistitik titikdariMeanSeaLevel(Geoid) e Ketinggian letak ellipsoidaterhadapgeoH pada titi! tersebut,dalam Undulael,menyatrakan geoiddanbidangellipsoida) (perbedaan tinggibidang bentukketinggian perbedaan arahtitik zenith DefrekslVertlkal,padatitik datumgeodesi,manyatakan yangdijabarkan dalambesaran: geoiddanellipsoida arahU€ ( E) sudutdefleksivertikal o Simpangan sudutdefleksivertikalarahT-B ( Tl) o Simpangan G. Rangkuman"DATUM" denganhal tersebul Walaupundemikian, Telahdiulasperihaldatumdan kaitannya perlu dibawahini. penjabaran diringkaskan datum secarapraktis DATUT GEODESI Pada prinsipnya,datum geodesi adalah apa saja yang ditentukan (yang harus ada) hitungan.Acuanukurandalamhal initidakdimasukkan. sebagaiacuan Yangharusditinjauadalah: l. Bentuk bldang acuan (rofurensi) 2. BeearlUkuranbentuk acuantersebut 3. Letakbldang acuan Mengingatastro-gd menggunakanbota safuan, dan penggunaanbidangtersebuttelah tertentu,maka fdak perlu diulas kembali. Ini berarti bahwa yang dimaksud dengan datumgeodes, adalah hal yang menyangkutbutirdi atas, yaitu : V bentuk dlplllh adalah ellipsoida V beear elliPoolda V lotak elllPooHa Secarapraktisnya,dinyatakan sebagai ( a, f ) yang menyatakanbentuk dan besar elfipsoidb. a merupaXansumbupaniang dan f menyatakanpegerynganellipsoida.
Farengil(epflK S.LK
$ren ATffiotn'.sl l(oorffi tuDtrrcsJtt t SodLr0trr
BAG/AIIN DAruN SH,FT
bumitelahdiulas,yaituberupa: terhadap Letakellipsoida v pornyataantttk datumgeodesl V pusat elllpooldapadapueatmassabuml V gartEkanktedrdk elllpooldatertadap rumbu putar buml. Dengandemikian.Untukmenyatakantitik datumgeodesi,harusselenglopnyatermasuk besardan benfukellipsokla,sedangdabm geodesicukupdinyatakanbesar,benbk dan lebk ellipsoida.
Pergeserandatum ini, merupakanrnodel Hebklnen{orlts. Telah diketahui pooisi geosentriktitik di muka bumi dalam hubungannyadengan posisi geodetisadalah: QihatBabV0 X=t+(N+HlGoeLCosB Y = Yo+ {N+H}.GooL Sln B Z=4+[N(1-e')+HlSinL Biladinyatakandalarnbentukfungsi: X = )G + X(L,B,H,a,f ) Y = Yo+ Y(LrBrH,a,f) + Z(L,B,H,a,f) Z=4 Bifaparameterdalamfungsitersebutberubahsebesar alL , aY; , A7n, &, aB , aH , M dan df , maka X, Y dan Z akanberubahsebesar:0X, dY dan 07. Dapatdituliskansebagai: 0X = dlL + (AXlAt)dL + (6)(/dB)dB + (a)UaFl)611+ (0N0'a)da + (dNdfl df = 0 0Y = d/o + (aYl61-)dL + (il/AB) dB + (6Yt6l1ldH + (AYlaa)da + (dYldf)df = 0 07 = 04+@zlaLl6y +(1zJ^B)dB+ @vafidH + @zle€)da+()zt^fldt = 0 Bifa posisititik tersebutterhadappusatmassabumi trdak Dnrulr,h, maka dX = dY = AiL= O, sehingga:
aY. = d)L = a Sin B Sin L. (dup) aCosBSinL.(dup) (dBrp) a Cos B Gos L. (dBrp) + a Sin B GoeL. Sin B Sin L. dH CosB GosL. dH Sin B Cos L. da GosB GosL. da - a C o s B C o s L S i n z Ld f - a S i n B G o s L S i n 2 L d f
NaglapflK
S.f.K
dZn =
-a CoaL.(dup) Sin L. dH Sin L. da -a {Sin3L+2SinL}.df
BAG'ATIN DAruN SH'FT
lfootrjttd SIEF t &fi:fur.sl turtdecaq A SoCteif,|an
(lnverse)rumusdiatas : Kebalikan
a.dL = CooB Sin L. at + Sin B Sin L. aYo GoeL. CIZ" + 2 a G o s L S i n Ld f
a Co$ LdB =
Sin B. a)G - CooB. aYo
dH= -GosB GosL.a)G - Sin B Cos L. aYo - Sin L. AZe -da -a Sin2L.df (8-2)
Penlelasan.:
Koordinat setelahtransbrmasi:
L'.= L + dL B'=B+dB H'=H+dH Rumus Hebklnen-torlts
............. (H)
ini, hanyaberlakuuntuk
(tldakterdapt rofasl sumbu ataupun perrbedaanfalctor perbesann)
LANGKAH HITUNGAN: o DATUT SHIFT Terdapat2 (dua)rumusyangpadadasamyasama,tetapi untukdiaplikasikanberbeda.. DalampraKek,rumua (8-l), diterapkanuntuktitik sekufuunhtkmenghitungAXo,AYo,dI+ Bila besran pergesemn tersebut telah dihitung, barulah digunakan untuk menghttung (transbrmasi)titik obyek. 1. 2. 3. 4. 5.
HitungdL, dB, dH darititiksekutu Hitung beclaellipsoida: da dan df. Hifung.A)q, aYo,04, denganrumus(8-l). Gunakanrumus(8-2)denganbesaran L, B tiAX obyek.Hasilhitunganrumus(8-2) : r dL dan dB dalamsahrandetik. r dH dalamsahranmeter. 6. Hitungkoordinattitik obyekdenganrumus (8€)..
T7 Pf,€f,,gl(,,ptfK S.r.X
BAE,ANiV DAruN SH'Fr
Sle{sn & Trurfonttnsil l(mtfrnat Peu,ydesdiarl t Soarlethan
GOHTOII S@AL : Darur*r
SHIFT
KoordinatGeodetikTtitik TRT{13 : Besaran L B H a f
Ellipsolda t 4" 27' 33,055" LS l05o 18,20,716' BT 159"0,15m 6 378 137 m 0.0033528{066
Ellipsoida 2 1"27' 34,59512'LS {05o18'20,21465' BT 159.(X5 m 6377397.155 m 0.0033,0280461
Hitung: Koordinatgeodetiktitik TRT49 pada ellipsoidabaru, bila :diketahuikoordinat geodetik titik TRT{9 padaellipsoidalamaadalah : | = 6045'54,545" $ = 1060 54'45r,f54r' |l= 1 625.94:t
LS BT m
Penvelesalan: 1) Hitunganpenunjangrumus(8-l). = P" dL(') = dB t't = dH(m) da1ml = = df 2l Pergeseran datumpadatitiksekutu: Suku I 2 3 4 5 Jumlah
206 2Af-8063 -1-ilO12 0'50135 72.949 739'845 1.00061E-05
dx
dz
dY
{.97739870B 3.571358648 47.4795569 -1.162572175 -4.079881617 -5.671701773 -19.1980525-5.470531682 57.5221Q72 194.7056594 -711.4432777 0.029994299 o.101527222 0.101527222 -9.923859826 173.4691633 -717.3208051 89.4360968
3) Hitungandenganrumus(8-2) titikTRT49 : Suku 1 2 3 4 5 Jumlah
a coaL dB dH 5.94471126 165.9665352 50.1130743€ 80.84570801 -208.6779738 681.517873i -88.81338371 10.53557238 -15.03/.24057 -739.84€ 0.885516784 -17.057205 12.711138/6i1 320703726/ adL
4l KoreksiTRT49: dL t'l - 0.5516829
dB(') - 1.3911062
dHlmy 3.207
78 Pe/cngkapfiK S.r-K
llef'i/onrcl l$o.f,f,/nat -Srsfctte Fenyuhsalat & Soc/|-afihan
5) KoordinatgeodetikTRT-09,denganrumus(8-3) : -2,855.09668 = l= 384884.0629 = l= 1629.15(Xl37 = fl=
BAGJANN DAruN SH'FT
6o4li' 55,0967' LS {060 54'44,(F2go BT I 629,150 m
3. TRANSFORTIASIKONFORT BURSA- WOLF Model transformasiuntuk 2 (dua) sistem koordinat'geosenhik' yang berbeda, di mana terdapatperbedaanberupa:: 1. posisi titik pusat koodinat 2. orientasisumbu-sumbu (untuksudutkecil)
Keteranqan: 1. x,y,z 2. X,Y,Z 3. t,Yo,a
= koordinattitikpadasistemkoordinatlama = koordinattitik padasistemkoordinatbaru = koordinattitik pusatsistemkoordinatlamaterhadapyang baru (translasi)
Perubahansistemkoordinatdi atas,dapatdinyatakansebagaiberikut: x=)q, padasumbuy = Yo, padasumbuz=4. 1. Translasi: padasumbu 2 . R o t a s i : p a d as u m b u x = 0 x ,p a d a s u m b u y = 0 v , p a d a s u m bzu= 0 2 . 3. Faktor perbesaran : dengannilai perbesaransama sepanjangketigasumbu, untukmempertahankan "konfotm". ( Ix = l.y = trz= I ) FeJengkap ilK
S.f.X
Srstun & Ttr fiormasl r(oolrfnoa tuiplesafan
BAG'ANN DAruN SH/IFT
E Soaf Ladhan
Secaraumum,hansbrmasikoordinattiap titik dinyatakansebagai:
= r R(ez,oY,,',[r] = [i] [i] di mana:
(8-4)
= f;aktorperbesaran l. R (02,0v,0d = matix rotasi
Adapunelemenmatrixrotasiadalah: tisal:
=
R(0r,0v,0x) dengan:
[*i # fi]
rtr = 42 = ftr
CosOzCoo0v Cos 0z Sin 0v Sin 0x + Sin 0z Coc 0x = - Gos 0z Sin OvCoe 0x + Sin 0z Sln 0x
t71 ln lzt
= - Sln 0z Gos et = - Sin Sz Sin OvSin 0x + Gos 0z Coa 0x = Sin 0z Sin 0y Goo gx + Cols0z Sin Or
r!r = Sin Ov lrr =- CG 0v Sin 0x rrr = Cos Ov Coe 0x
(S€)
Metoda Bursa-wolf,mengasumsikan untuk rctasi dengan sudut kecil ( < 10- ) , maka persamaandiatas akanmenjadi: \ f
!1 Rtez,0y,0x) = l-Or LoY
0z t -01
4z I 0x I 1 )
Berdasarkan asumsi fersebud Enaka petsaffi&an trensformas r-*.r*"
;;;ff}
adalah sebagai berikut :
[*l I
( ,
lz \ r|
_gx I I lll |t';;r;xi;;; ' L r
lVl= 1.1*, e,
oz ', -€.'l [..| [r"l
oxll;l.lill
lal L-J
Rumusini berlakuuntuksetiaptitikuntukbesaran ttansformasiyang *',ii'J,iiol?rll Bilabesarantransformasibelum diketahui,makabesarantersebutharusdihitungterlebih dahuluberdasarkankoordinattitik sekutu. Sepertitelah diketahuibahwa,terdapat 7 (tujuh)besaarantransformasiyang dikatakan sebagaiparameter. Unfuksetiaptitik, terjadi 3 (tiga) buah persamaan,sehi-nggaunfuk O"P'"tmenghitungparameter transformasimetodaini, diperlukanminimat g did Ouan tidk s*utn. Berikutini, akan dituliskan 2 (dua) model hitunganmelaluimatirx. Setiap model mempunyaikemudahan dantujuanyangberbeda. Metodapertama,merupakanmodel umum yang dapat sekaligusmenghitungkoreksi koordinat untuk setiap titik, sedang metoda kedua melalui Z tanapai, yar.tu tanap hitunganparameterdan tahaphitungankoordinatakhir. tulangkap [fK S.f.X
Ststsm & Tmfiomlpsl
BAG'ANN DAruN SH'FT
lfootrflrlp|
& so€,lLilhan tury€,€-s€lan i). Persamaan(86i, diiuiiskandenganpersamaanseiragaiberikui:
? tl=f I Io ll.[l R(e.,oy,ox)=[]. -s1 1) 1) Lo
Ie,
, maka:
?"=l+Al"
2r.
Lor
r *l o)
-€x
(8-7) menjadi: Persam'aan
+ i, *][,].^'[l].[,] [i]=[i]F
Atau:
+ i" *][l]+^^[l].[l-l=: [i] f* 8{ MODEL MATRIX : Bila persarnaan(8{) diatas, dinyatakandalambentukmatrixsepertipada perataansimultan, maka
A.[XI - F = 0 Denqan :
(t =10 A
lo Xt
=
[x"
o 1
o yo
x
0 0
v
',
z
7-
Ar,
F=[i-l] ; + r i] oz
oy e,]
Sehinooa:
IXI = (At.A]-t.Ar.F DIMENSI MATRIX: Bentukmatrixdi atas,tertuliskanumumdanberlakuuntuksemuatitik(tunggalataukahjamak) Untukdigunakanpadatitiksebanyakn buah,makadimensimatrixadalahsebagaiberikut: Matrix A B F
m
Dimensi 3nX7 3nX6 3nX{ 7X1
81 Pederl,gkap l|K S.r.X
r(@fdrnat Sls/l?,/n lfrutfonrng, Fenfeiesatan t Sodtritirrat
EAG,ANM DAruN SH/FT
LANGKAH HITUNGAN: O HETODA BURSA- WOLF
transformasi
Bila terdapat beberapatitik yang akan ditransformasikan,dengan panameteryang telah diketahui. l. Gunakanlangsungrumus(8-7). 2. Suku kedua,merupakanhitunganmatrix 3. Hitungan(untukmudahnya)dilakukanuntuksetiaptitik
TRANTFTTRMABI
BURE|A
- WBLF
f
ParametertransformasiBursa-Woifditentukan, sebagaiberikut: }(.' - - 142.006 | l. = 1.000000004 Yo = 28'1.392 10,= - 1.0245' Z"- - 51.000 l0r= 0.7560" = 1.2235" itiiung : Hitung koordinat titik benkut pada sistem koordinat baru y (m)
x (m)
Titik
- 1 B35067.698 6 62 310.355 - 1 873 695.492 + 6 056 866.236
ITB€2 rTB-53 Penyelesaian,: r besaran p = 206 264.8063' f
Matrix rotasi :
i/latrir translasi = (suku1)
Tiuk rTB-52 rTB-53
FdengdraplrK S.f.X
1 4.96692E-06 0.0000036652
X (m) - I 835 237.060 - I 873 865.020
753742.067 700971.685
-0.000003665l s.9317E{6 | 1 )
046') f - rassoss
-142.0061 281.3e2I -sr.o00 ; | -142.0OG I 281.3e2I
-51.omJ
4.96692 E-06 1 -5.9317E-06
Z (m)
Matrix suku 2
6062296.76eI | | - 753784.7527|
=l - ls73z23.oo7 | I 6056852.n2|
L- 701014.4799) (m) Y Z (m) - 75:t 8:t5.756 I06:1 578.186 - 701 065.483 + 6 057 t34.188 ?
82
Srsfern & Traltfottrtpp;lr<@rfrnet Pony@en & Sodfa!flian
BAG,ANN DAruN SHIFr
iTIETODAtsURSA- WOLF
frfrk
rilik
Mengingat dalam soal ini yang diperlukan adalah hitungan parameter dan koordinat bansformasi,makalangsungpadapenyusunankeduamatix yanj diperlukan.
t . .Qulgkalfangsung rumus(8€). (untukWnyustnanmatix) 2. Hati-hatidenganpembentukan mabix F (pngaruhnya aclatahpadahitungantandadafi matrixpanmeter) 3. Hitungparameter yaifu [X] , denganrumus(S-i0). transformasi, 4. Gunakan rumus(8-7)untukmenghitung koordinattitikobyekpadasistemkoordinatbaru.
TRANEFERMASII
BURsi.A
_ wt]LF
2
Koordinattitiksekutu sebagaiberikut: Titik x (m) Y (m) Z (m) X tmt Y tmt Z tm't ITB-52 - 1 835 067.698+ 6 062 310.355 753742.61 - 1 835 237.06( + 6 062 578.186 - 753 835.75€ rrB{t - I 873695.492+ 6 056 866.236 700971.68t - 1 873865-02( + 6 057134.188- 701 065.483 ITB€4 - I 830280.91€+ 6 083 770.65i:t 571 525.23t - 1 83Oz[51.05i + 6 084 039-588 - 571 619.036 Transfomaslkan titik berikut dengan metoda Bursa-Wolf : KoordinattiUkobyekpadasistemkoordinatlama : Titik ASS-22
x (m)
- 1 835 162.937
Y (m)
6 636 723.736
z (m) - 684 543.831
Penveles3ian: + Penyusunan matrix A d a n F :
A--
10 01 00 10 0i 00 10 01 00
0 0 1 0 0 1 0 0 1
-1835067.698 6062310.35s 753742.67 0 6062310.355 1835067.698 -753742.67 0 -753742.67 -1835067.698€062310.355 0 -1873695.492 6056866.236 700971.685 0 6056866.236 1873695./192 -700971.685 0 -700971.685 -1873695.492€056866.236 0 -1830280.916 6083720.653 571525.238 0 60$20.653 -571525.238 1830280.916 0 -571525.238 -1830280.916€o832r0.653 0 -169.362 267.831 -93.689 -169.528 f= 267.952 -93.798 -170.136 268.935 -93.798
[ArA]'1 :: 34483.075719373.2958054241.3ilO9 9.65698E-05{.005569766 4.000753&974.000480415 9373.295805 4845.13602-1214.63406-0.006 17357 {.00.t 618271 4.0{]0207499 -0.000101715 4241 .354{19 1 -1214.634ffi7 2810] 14t59 3.53262E-05 0.0006879140.0001962630.00699521 [ArA1-r= 9.65698E-05{.00031 7357 3.53262E{5 5.23031E-11 -1.83846E-22 -2.2712E-23-2_36942E-23 -0.0055698 {.001618271 0.0006879144.66537E-229.04966E-101.16591E-10 7.7896E-11 {.0007537 4.00O207/t€}9 0.000196263 6.40577E-231.16591E-106.84939E-111.15095E-11 -0,0004B04-0.000101715 0.0003995213.88932E-23 7.7896E-111.15035E-11 6.2344E-11 Pdutgkap tfK S.f.r(
83
Stslsfrf & Trzttomasl l(op'ttrnat ftltydesgilan t Soallr{fian
BAG'ANN DAruN SH'FT
r ffiairlx parameter p(l z :(setelahdinptakan dalamsafuan detikdan X) ==-= l'1r1gsf f|agfl hitungan adatah [)
-t42.006 28t.392 61.000 t.00qnom4 -1.0245' 0.7560' - t.zl35"
lXl =
r Koodinattitik
=====
obyek : :
4.966eE{6 -3.6651eE-o6l {, R = | 4.96692E_06 1 5.e317E-06| ; -5.9317E-06 1.. I [3.6651eE46 tR.K=
J-resusr.srrl 606il6710.8l
| = ! = I z
684sr0.23s5 [ J -1835332.559 +6063940.922 684 632.528
[ -'r ,.u 162.n.7.| Koor= | G8672s.7#l - 684s3.831J [
|
4. TRANSFORIIASIKONFORH HOLODENSKY- BADEKAS Metoda Molodensky-Badekas,menggunakanbantuantitlk bent semua titik yang terlibat, baiktitik sekutumaupuntitik obyek. Koordinattitikberat,(titikc) dinyatakanpadasistemkoordinattamasebagai:
Xx Xc = -Jl-
iYc
=
Xv n
r-.r|-
;4
=
Xz n
(8-11)
Metodaini, dapatdikatakansebagaipengembangan metodaBursa-Wolf-Dalampelaksanaan transformasi,metodaini menggunakantitik berat,sehinggatahapantransformasimendahulukantranslasititik berat. Pada prinsipnya,tidak berbeda dengan metoda Bursa-Wolf,dan sangat berguna untuk hitunganmatrixdenganelemenmatrixyang bemilailebih kecil,sehinggapada saat inversing mabix,tidakterlalusulit. Hal ini, ditunjukkandenganterdapatryapengurangan nilai elemenmatrix A ataupun F denganberkurangsebesar nilaikoordinattitiktengah(titk C).
Febngkap lfK S.f.X
E4
Srsast &Ttalfotrtrpsl
l(otdnat
BAOIANN DAruN SH'FT
ffi
TnansformasiBursa-wolf bila melaluiuntuktitik c (titik berat),menjadi:
.Fri .[-fl Ii] [*] fl[-d+A][_f]
Dengandemikian,matrixA, B dan F :(padaBursa-Wotf), menjadi: f
A =l
I t 0 L0
0 I 0
0 !x-xc 0 iy-yc 1iz-za.
y-yc -(x-xc) 0
('r lx_(x_x") | F =lY-(v-v")l [z_ 1z_rct ) BeRrrcu.rNyA,,
Ferengtap l|K S.f.r(
LTHAT t
-(z-zc) 0 X_xc
METtf,DA
ol
z _zc I -(v -vc) J
Etunsa.-Wct|-F.
85
Slr0n &Trrlt/bnrcI
l(mtdnal
BAONN V ANTARZONA
FraFesahn
BAGIAIT V TRATTST1ORUASIKOORDIIVAT AITTAR ZOITA PROEKSI
I. PERNNBANGAN DASAR Dasarpertimbanganyang harusdisadariuntukdibahasnyamasalahtansformasi koordinatantar zona proyeksiadalah: l.
Mengingatwilayah .lndonesh yang luas denganbatas negan yang panjang,baik di darat maupun di laut jelas bahwa peta Indonesia,terutama peta topografi akan terdiri dari beberapazona prcyeksi peta. 2. Setiap prwinsi memilikibatas wilayahadminisffiiv yang tidak mungkintepat seperti pada teoriproyeksipeta,sehinggamungkin terjadi: r Suatuprovinsiterbagiatas beberapazona proyeksi r Batasprovinsiterletakpadazona yang berbeda 3. Ditinjaudari kebijakanotonomidaerahdan kondisigeografis suatudaerah,maka dimungkin terjadipenggunaansistem pro-veksipeta yang berbeda,sehinggagans batas wilay-ahJkan dinyatakandalambentukkoordinatyangberbeda 4. Perlunyakesepakatandalam menyatakanbatas wilayah secara pasti, agar tidak terdapat perbedaanpendapatmaupunperbedaan acuan. Tinjauansecarateknis,dapatdirincikansebagaiberikut: 1. Setiapzona proyeksimemilikiacuankoordinattersendiri 2. Untukobyek alam yang terdapatpadazona berbedatidak mungkinterlepasdari penggambaransauatu daerahyang diharapkandapat dinyatakandalam lembarybng sam'a. iintuk daenh yang tklak terlalujauh dari tepizona) 3. Pertimbangan distorsidansisi kartografiyang masihmemungkinkanunfukdinyatakandalam lembaryangsama. 4. Di Indonesia,masih lerya-patbanyakpeta topografizaman perangdunia ll yang dinyatakan dalamsistemproyeksi Polyeder (Polyconic). berdasarkan pertimbangan di atas,makasecarateknis,masalahpetrawilayahtersebugmemerlukandan dapatdipecahkandenganbaik(tanpamengabaikan keiungkinai Aistors1. Untuk itu, bahasanberikut akan dibagi atas 2 (dua) bagian besar mengingatsistem proyeksi yangberbeda,yaitu: . r
Pt/urgtryfK
Transformasititik antarzonaPolyeder TransbrmasititikantarzonaUTM atau TM-3o.
S.f.K
86
BAG',,I V AHTARZo,'A
l(optilml SbAD Aftutffi t Sodlrlfian rulyrbsargl
Pengertianzona pada Polyeder,lebih banyak disebut sebagai 'Lembaar Derafat?, adalah baghn proyeksiyang daer$ yarqgdipetakan di mana merrygunakansisbm koodinat yang sama (deagnn sumbu X dan Y yang sama). Sepertitelah diketahuibahwaslstem proyeksipolyeder di Indonesia,setiap lembar derajat mempunyailuasdaerahsebear 20'x 20' Pembaghnlembarderaiattersebut,dinyatakandad rrrrr NtrL tNclcrNEatA , yang obh 'tenara Tanda Waktu" Sunda-Kelapa(Pasar lkan), Jakarta. Belanda ditenfukandi Adapun masalah terpenting titik tersehrt adalah meridian dari Greenwbh, mengingat pembagianlembarderajatdilakukanberdasarkanacuan: ,. r Equator sebagaibatas,sehinggaperalel tengah pertamaadalah x 20' (20' LU atau LS) r Meridianmelalui titik Nol di Jakarta sebagai batas tepi, sehingga merfdlantengahpertamadalah t 20' (20' TatauB Ma) MeridianmelaluititikIUolBahvla adalah: 106048' 27,79" BT eronwlar Waa eillpsotda Aessd) Terdapat 3 (tiga)kemungkinanpersoalanini, yaitu: a). Transformasiantar lembar T-B b) Transformasiantar lembar US c) Transformasiantarlembar T-B & U-S (diagonal)
Leflrb.r@st
yangumumsiFahyaadalahkemungkinan Mengingatpersoalan ketiga(kasusdiagonal),maka transformasibahasan di bawahditujukanuntukmengatasihaltersebut
TRANSFORXASIdari LEIBAR DERATAT I ke 2 ,) PARALELdan MERIDIANTENGAN lembarl : [. , Bo o PAMLEL dan MERIDIANTENGANlembar2 : L'o , B'o Koordinattitik : o Padalembar1 : x. v r Padalembar-2 : X . Y
hrerrgrr4p||X S.f.K
87
StlffnG fianW ,(ontilnJ turyolcsa|an t SoJlrlDryr
pd,A'Ail V ,'IrARZOT/,A
: ..
Blla
L'o di T TARA
X = x+P
-(c)y
Y = y+e"+(c)r
+(p)x +(r)xy
+(F)r -(D{.:f-fl (e-1a)
Bila
L'o di SELATAil equdor
X = x+P +(c)y +(p)x -(Dxy = y + es (cr)x + (p)x, + (D(t'_f) Y
dimana:
P = [A l 1 ., IGl F"' .Xo' Qr= IB I F " ' + t D l ( 1 . ' ) 2 + l r t t D l ( p " ' F + [ 2 ] ( F o ' ) t Qs= -Ou P o t = L o - L o ' = r ( 2 0 x 6 0 ' ) atau O'' X,ot = Bo- Bot = t ( 2 0 r 0 0 " ) atau 0" tA l tBl IC I ID I lrt Jzl Io l IpI Irl t6I
= (N Go e L' ") /p' = (tllp' = (t S tn t'J tlp- 12 = (Y .N S l n 2L,oltlp,lz = 3e2(t-e2l = (a r6 1 i+e 2- 2{ ;/( p"!3 = (l o " Go o L' J/p. = y , 1 1- e ' ) ( p o ' ) tI i p " i ' = (Fo"taltp" = %ltl
(e-21
.........(e{}
N = a(i-etsin2L'o)-* ll = a ( { - et) ( I - e2sin2 L'o) Ftrl3
hlenglapttK
S.r.K
88
Srslrnftffi rur}lrhstb,
BAG'AT{ V AIJTARZOTIA
t<@tdlnri t Sodf-rlhen
titlak berbeda,kecuall pada fakbr Sbtem proyeksi UTM dan TM€o dahm pral
,, , , t t
v. ,o
-f
--___
i+t Y i-----lax , t I
Penlelasan: titikyangakandibansbrmasikan(beradapadazona 2) koordinatsejatititikR padazonabarat(zona1) koordinatsejatititik R pada zona timur (zona2) Roordlnat awal meridiansenbalzona1 (barat),meridiansenbalzona2 (timur) titik sekutupadameridiantepi/bataszona yang terdekat dengantitik R
oR I X,Y 1
X,y
I Bto, Bo tPo
Transformasi Gotthardt
........ (g-il)
dl mana: A.
ax=x-& xo,yo )G , Yo
Ay=y-yo ; = koordinatseiatltitikPo padazonaawal = koordinatselatl titik Po pada zona tuluan
dengan : lx"l = lx.l ; lv"l = |t";
(perhatikantabel pefuedaantansformasi Timur eBant di bawah)
Misal :
titik R adalahtitik obyek, berada pada zona 49.1 akan dibansformasikan ke zona 48.2 (disebelahbarat). Maka: akan bemilai positiv
Fetenskrp tfK S.f.K
S|clanrtW turyrrcstdt
l(ootrlnal t Sorf tc!ftan
BAG|A'I V ANTARZ(NA
Kooniinai geotieiik P" =
Menggunakan rumus gil-f ga)
ABo=.3" (|rrr) atau =l.f,rrrin ( ,<" UfU = Q9996; ,Gr|f*3. = 49999) Untukmonghltung)G, Yo llhat Eaglant t Bab5 Koefislen| ; l (r = l G.A ( - & .A Y + h ,L o -_ -l[aA"lq
B. C.
^P
(es)
f(t = kr.Ax - kz.A'+lql l(. = kr .AY + kz.Ax+ lq
lQ = lG.Ay + &.Ar D.
.........(e-{)
+ lrc
Koeftslenll:
kr =
TlqI
coe'Lo(3-4Tan'LlABo2
kz =
Tkf
sin l- ( 1 + 5 Tan2Lo1lBo
Ti"=t sin L coo2t-o(tl tq =
,b
etr coe2l*} AB" " *L ( { + coo" L ( I + 3l ran2 t-o) ABo!
f
sin l-"coo t-( 1 + e,2cosiL)AB"t
# *
tq =
-26 Tan2Lo) ABos
+
;ft; sin l-ocoot L ( r i3 TanzLo) ^Boa kr = - 2 sin2[.ABo2-(2r3]sin2l-.cG2 l-( 2 -Tanr Lo]ABo' ft. s - 2 SinLaBo -W3tsin t-coe' Lo(1 -zTanzLo+3 ecGoo2[.o;lBo3 -
di manaI
@151Sin l* eos' Lo i2 - 1i Tan2 l-o + z Tana Lo ) aBo6
(e-10)
l-, Bo = koordinatgeodetiktitik sekufuPo = jari-jarinormaltitikPo No = dinyatakandalamsatuan radlan. ABo
Gatatan pentinq : Perhatikan
koefisien kr, ke dan fu. krn , hn dan ksh.
Misalhasilhitungan : Maka :
Unfuk TransfiormasiBarat + Timur kz =-kzh , tq, =-k3h dan ke =-k6h (kz,k
dan k
selaluk&rilraindangm
filAnlgar)
Unfuk Transfiormasifimur + Barat kz =+k2 h , le = +ft.h dan k ( kz, ltt dan k seldusesgai &ryan
Ferengftspflr( S.f.K
= +j.h hiangarn,)
90
,(oprdnaa SirHtt tfr@ turyo/f,'/,'' t SorNllrften
BAGNN V ANrARZo,IA
PTISERAPAIT TRAIISTORUASI
GOTTHARDI
besaranyangperluperhatian Tedapatbeberapa besardalammenerapkan bansbrmasiini padahitungan.
akandidncikandabm 2 (dua)bentuksesuaidengankemungkinan Untukmudahnya, yang ada.
Perbedaanpenerapanunfuk Ti4ur
AB = 3o cnr) atau = lo 30' Gr.t') (*lu rcttv)
maka : Besanan
)G kz,lts dan kc
TRANSFORNASI THUR = BARAT
TRANSFORNASI BARAT + THUR
>0 Sesual haslt hltungan
<0 Kebalikanhail hihngan
(unht<
,$dua
Besaran-besanan tersebutdi atas,dibuat(diafur)sepertitertabel. Mungkinsaja hasil hitungan secaralangsung,tetapimungkinjuga tidak. Modelpembedaantanda sepertidi atas dimaksudkanagar lintangtitik sekutubaik di Selatan ataupundi Utrara,tidak berpengaruhpadakoeftsienhibngan lQ dan lQ.
IANGKAH HIruNGAN: o TRANSFORTASI ANTAR ZONA UTf & TU€O l . Hitungkoordinatsejatititik obyekpadazona awal. 2, Nyatakandan pastikanzona'tetangga'tempatakan dibansbrmasikanblik obyek(zone target) dalam l-' ,Bo' 3. Hitung ffntang titik sekututerdekat(hargapendekatan)denganrumus(lll-i3a) 1. Hitung koordinat proyeksititik sekutu ()L , Yo) pada zona targeL dengan rumusan konversikoordinat. rumuo (53), dengan AB = 3o atau 1,5ofihat BabW. 5. H i t u n g A x = x - n o d a n A y = y - y o , d e n g a n : l & l = l x " l O a n l Y " l = l y . l 6. Hibng koefisienbansbrmasi : lG,lQ 7, INGAT tanda koeflslen kr , l$ dan h (sesuaikandengan petunjuktertabeldi atas) 8. Hitungkoordinattitik obyekpadazonatarget,denganrumus(8-4)
P€,€'rg/f6P rK S.r.K
9t
SFturr efiuilffi ,
fa:
BAG','T V ,0ITARZo'TA
(frfk lfbn)
T R A N E IFBRMAEiI
GiETTHARE}T B^RAT
Koordinatproyeksi
(padaWGS'84)
titik TDT-234 :
f = -297765ft9m I = 718120'.Wtm pada UTt zone 49 Hibno:
; X = - 131857t13m 7180Of.570m ; Y= ; @a Tf8" lone {9.1
Koordinatproyeksititik tersebutpadazonadisebelahbarat tlt
Penveleealan: f ). Lintang 6tik sekuhtterdekat dan penunjanghitungankoordinattitik sekutn:
u(") =
23P8I.8n
AB (rad) 0.052il598778 N" 6378407.85719 lf" 0.0000000081567 1.0067822494609 Norllo
23261.200 0.026t799:t88 6378407.37958 633e|(}9.32723 1.0fJfl782174o740
2). Besaran unfuk koordinattitik sekuhr: :
urit E" Ez q Ec
|
|
6367449.146 -16038.50836 16.83220078 -0.021800766
715{3i1.35n0r597 71M7.29*7177 30.71€2387 8.38(nO€E46 1.1807327E-10 8.1871034E-17 4.0223889E-21 3). Koordinat sefatl titik sekutu: 331 884.027{ 715 828.5t1 34098.6181 2601.949S9
G Ao al a2 a3 a4 a5 t Yo Ax Ay
Tt-3" E" Ez E Ec 7{/t499.86621623 71444.41622960 30.72388759 8.3812168E-00 1.1811543E-10 8.1826510E-17 4.0241645E-21 185927.6104 7116t2.8n.21 wto.1g74 3334.696912
4). Penunjangtransbrmasi : 0.0000000081587 Cosl.oABrlS 0.0000000040784 0.0000000009246 0.0000000004619 StnLABriL 6.5391717064E-17 kr 1.6348811000E-17 -5.1525555765E-17 n -2.5141171969E-17 -4.10/t8862628E{g k3 €.2058179517E{O 1.153p.ef'n71E-10 kf 3.6289885489E-11 -1.73673655a5E{t5 6.968{ft05098E{r5 k5 -1.t8051i89681E{t2 k6 €.89361927@E{3 0.000000008m79'37 K3 0.00000m041058504 0.0000000001172518 K.l 0.m00000m€72010 0.m0xr98096010802 K5 0.00012t3780867043 0.0118319671115{07 KG 0.005008tt768/fi17765
tulengloipflK
S.f.K
9?
Stihnt tTrtrrffi ,Gpldttlt FUfohsaftm t SoJlrlffian
8nE'AN V ANTARZONA
5). Hasilbansbrmasi Tlmur:+ Barat:
x
385939.013 7r8 832.507
mna tB
TRANEFORMASI E.IRAT
1ggw2.2T 7t8 2tt9.294 mno l&2
Y
GiEInI-1ARDT g
fl;;sp
K&llrrarr, cprlbrrdt afas
Dlketahul: Titik TDT-234terletrakpadazona bukan
Hltuno: Koordinat proyeksititik tersebutpadazona di sebelahomur (Wda WGS,|4) lll Penvelesalan: f i. Liniang iitik sekututerdekat dan penunjanghitungankoordinattitik sekutu: Lf(') = 23294.9138 AB (rd) 0.0523598776 6378408.16063 No $3An39.32723 M" 1.0067822973558 N"rtL
23287.7W 0.0261799388 6378407.53089 633At{}9.32723 1.0067821979564
21. Besaranuntukkoordinat titiksekutu: : u r m = = = =,l l Til-3o ------EE" 6367449.146 Ez E Ec
- 16038.50836 16.m22m78 -0.0218oo768
7t5$i5.53$800 715249.3199663 N.7141o4;28 8.390O400E{6 1.18069mE-i0 8.1914884E-17 4.O22:V278E-21
c Ao at a2 a3 a4 a5
Ez E E
714700.61?810 7116.Xt.1127197 30.72377806 8.3835315E{6 1.1811330E-lO 8.1848406E-17 4.0239844E-21
3). Koordinat sefatttitiksekutu: 3iil861.6501 718X8.1187 34077.3629 2603.3883t
FebryteqprK S.r.r(
)G % Ax Ay
165927.0188 7t't873.6761 34055.2554 3335.617906
93
StrtneTnthnrcl l(og,/dt'tr,l turychselrn t Soaflrffian
BAGIANV ,fITARZO}TA
4i. Penunjangffansformasi: 0.0000000081566 CoGLABnL 0.0000(Xn(}m784 0.00000m009251SlnLAB,lG 0.00000qn04620 8.538947trt14E-17 kr 1.6348531673E-17 - 5.15543i19695E-17 n' - 2.5148195656E-17 - 82(F7501tr17E-00 1r3 -4.1048711406E-09 1.48m@87508-10 k4 3.6A90904131E-11 - 6.97ct76a739E.{t5 - 1.73770fft670E{5 ks - l.l8t2t907l0E{2 -5.8952G70a05E{3 1(8 -0.00000000&brBs8 -0.0000@004toarHnt K3 0.00000000011138204r(4 0.0000000008tra900 - 0.m8406882062782 r(5 -0.000157266t09f387 - 0.01r8286!t53l0e$r K6 -0.005907709200n239
5). HasilbansformasiBarat + Tlmun
x
- a7 765rOg 718120'il7
- 131857113 718007.580 zona &.1
Y
zona &
GOilTOll
SOAL lla :
(tltik Sclabn)
TRANE|FBRMASI TIMrlR
:+
EiBTTHARDT BA'RAT
Diketahul: Titik TDT4:} dengankoordinat f,= 3248532,{4m Il -611580.388m ll l= pada UTX zone 48 ll
158634.660m ; X= 6 11 158.784m Y = ; pada TtSo zorro 18.2 ;
Hltuno: Koordinatproyeksititik tersebutpadazona di sebelahtlmur (padaWGS'A) nl Penvelealan: f ). Lintang titik sekututerdekat dan penunjanghitungankoordinattitik sekutu: -19790.4702191 Lf(") = -19819.237868 AB (.ad) 0.05231t98776 0.0261790388 6378333.50832 No 6378333.11r/1 $34$9.32723 M" 633A|.:}9.32723 1.0067705140680 NntrL 1.0067704524129
2). Besaranuntukkoordinat titiksekutu: : UTt | a Er F-. Ef
frfongfuprr( S.r.r(
|
$674.49.148 -16038.50836 16.83220078 4.021800766
ru-g' E" Ea E Er 94
Sb0rSTrtr/hrrrlrpj
l(ootffi
AAG'A'UV ,,ITARZO'IA
Pufohsaran t Soalilr|frrur utt
60E?68.1880890 c €0852r6808t38 Ao 30.76808124 el -7.15417t5E{8 a2 1.191208OE-10a3 -7.0t51964E-17 { +1112215E.21 a5
Tt-3{08160.9071873
{08t00.1510705
n.mgne2
-7.1505735846 1.19162ffiE10 -7.016431E-l7 1.11?g272E-21
3). Koordinatselatl titik sekutu: 31124f5.$9.r -609360.2501 7 [email protected] 220.1379 4). Penunjangfansbrmasi:
)G Y" Ax Ay
t66 217.8098 - 608 308.71a14 7 683.1498 2 84tt.(X26
O.dXXXD0O81712 0.000000004{856 CoELABTNo -0.00m00m07876 SInLABN" {.0m00(nn3$4 6.59407767sE-17 kl 1.6485915364E-17 4.39@203009E-17 n 2.1416111686E-17 -8.2209535197E40 -1.11?Fo24Hig2E{,9 k3 - 12l101057492E-10 - 3.096a928093E-tl k4 -5.qt587t25{4E{5 - 1.25075:}24,:UrE{5 k5 1.005578f966E42 kG 5.0{9rl7598t2E.{t3 -0.0m000008221387 -0.00000000.H123665 K3 - 0.00000000012{a903 - 0.00000000@311722 K4 0.0000115E71588873 K5 0.0000184884728348 0.01007{9827288815 Ko 0.005031.rt22028195
5). Hasilbansbrmasi Barat + Tlmun -3'10 016.355 -6{1656.910 zona 19
qOllTOH
SOAI llb;
X Y
- 173 786"785 - 611191.971 zona 19.1
(tifrk Selabn)
TRANSFBRMAE|I EIA,R.AT
EiI]TTHA,RDT ::)
TIrrrrR
Dlketahul: T"rtikTDT4:! terletakpadazona bukan seharurnya, dengankoordinat : f,= -3f00{6.31t5m ll ; X= -173786.785m
l=-611 658.910m Il @a UTH zone 49 ll
; Y= -6tlt9l.97lm ; @a Tt-3" zone 49,i
Hituno: Koordinatproyeksititik tersebutpada zona di sebelahbarat = zona seharusnya (padaWGS'84)lll
FalangiloqptfK S.f.K
95
Srshnt7ffiramrg, Paryffit
l(oo'dnd
BAG/ANV ANTARZC)dA
t SodLrffiea
Penvolecalan: f ). Lintangtitik sekututerdel€t danpenunjanghibngankoodinattitiksetcutu: u('l - -19821.717680 AB 6ao) 0.052359877e 6378333.55735 No 63354iX9.32723 rL 1.0067705218068lGrrG
-19800.7080064 0.0201799388 6378:133.14216 6335'1iP.32723 1.006770d562718
21. Besaranunfuk koordinattitik sekuhr: :
_urx E" Ez E E
..,.,1 |
,Tf-3"
fft67.t49.146 - 16038.50836 ,, 10.83220078 -0-0218(n76o
EEz E Er
608844.362913it c d18600.82t1682 Ao 30.76804582 al -7.1563618E-06 a2 1.1912011 E-10 a3 -7.01604408-17 a4 1.111167 E-21 a5
608198.9894{'60 €08r38.t695070 30.7r'57996 -7.1510151E{6 1.1916171 E-l0 [email protected] 4-1128978E-21
)G
{66 217.71/B - 808 3a6.7527 - 7 569.0707 * 2 845.2183
31. Koordinatsefafititiksekuhr:
3:t2 445.5560 - 60s436.4977 - 7 570.7990 - 2220.1123 4!. Penunjang transfonnasi :
Yo AI
Ay
0.000000@8t71 1 CooL aBn{o -0.0000000007877 Stnt.ABrNo 6.594041{616E-17 kl 4.3907669007E-17 ke {.2209€A61E{9 k3 -1.24@589515E-10 k4 6.057t326032E{5 k5 8{2 1.00570392t k6 0.000qn0082to35 K3 {.000000000188.r Ka {.qpfi3m089550 K5 {t.0l007a3ll.l2l6l4 Ko
0.0000000040856 4.00m000003934 1.6485870226E-1 7 2.141745128E-17 -4.1123000096E{9 -3.09€4839523E-1 1 -r.2599102a19E{5 5.019788791tE{3 0.000@oqr4{t2ll {.00000000{xt308s {.0000.0381176033 {.0(xn3t255{5082
6). Hasilbansformasi Tlmur =+ Barat 924853.2A -6tt 580.388 zona tl8
Febngilqp t ( S.f.K
X Y
158 63,f.660 - 011 t5:t.764 zona 8.2
96
Skbnt t Trtrfiontret l(oprdlnrd tu4alccahn t lbJfe0nc,
ad,G/ANV ANTARZo/|TA
DAT'TAR PUSIAI{A Purronherdiot Umeriono : Sistem dan Trensfomasi Koordinal cotatan kaliahrPenertit IIB , Bendung 2fi)0 I(BK Pemetaei sistonrtik & Rekeyase : penggunaen pnoyeksi rM-3o Dalam Penguluren den Pcmeteen Kedastrel, Jurusan Geodcsi FTSP-IIB, Bendung
lwl
GroBmenn, wilter : Geodxtische Rechnungen und Abbildungen in der Landewermessung, Verlag Konred Witter, Stuttgar{ 1926 o Dregomir, v.c cs : Theory of rhe Eerth's shepg Elscyier, Bucheresf 197? o Mteller, rven : sphericel end Pnctical Astronomy 4f, qplbd to geday, FroderickUnger Pubtishing Co., New Yorlq 1969 Bugaywskiy & snyder : Map Projections, A RefenenceManual, Teylor & Francis,1995
Febrgfip
f|(
S.f.K
97
:
i1-
N,A&[PIFTA..N
Sisteat & Transfonnsi Kootdimt
STK
Laryimrantrbc
i -AN HITI l.l6AN ilATRD( Hitwgcn notrix. sebemrnyo merupokonpenyederlroruonhitrngan bioso (oljobor linier) nchlui stntu sulttttm rroriobelotoupcnometerpernbentr*p€rsonoon-personoon. Hitungandengron oro ini sorgot dinudohkonderyronmehlui pr€Fonr (softmre), korem bilo dihkulon dengoncoro monwtl,kenr,ngkimnkesohhonhituq"songot bescr, ncryiryot junhh doto yorg cukupbesor.
I.
BENruK AATRD(
tliotrix, merupokonsusunonkonstonto otouptur rnriobel (bihngon oru) dohrn bentuk m€ny€rupoitobel, yorg dinyotokonsebogaibcrts don kobn. Konstontootou voriobel penbentuktnatrix, disebut elenen (komponen) natix yorg dinyotokon/dituliskonsebogoi (boriske, kolornke) , sepertijugopodopenryotoan toorjimi. Smtu notrix, rnerupokon kurnpuhnelemenyongsejenis,yoitu lonsrunto otou vurlobcl sqlo. Dengonkatoloin,tidok dicompurkon ontorokonstantodonrnriabel. kdqn
-+ barb
I l
f
t,: t-
*l -:'l
-7
13 G?C
elemenmabix
')
Oombor 1. dontoh rtiotrix Elcmcn( 2, 4 ) = -1O.
Berorti bohun : Eleme'motrix pda furiskez dankoromke4 odoroh -to Elemenmotrix dergonniloi/horgo -6 qdahh clcncn ( l, A ). Seconoumum,bentuk rnotrix dituliskon sebogoi:
r=
( ^r', la7.
| ; L",,.'
ap an
?ra :
,
,
:l
am2 a.ts
t. Peryugrmn motrix contohsejumlohpersoncon, untukdinyotokcndohrnbentukrnotrix.
X-zY =g 3X+5 Z =?9 -5Y+Z=033
I |
,"-zy
+OZ= I
3X + Oy +52 = oX-5y+tZ:u33
?g
) Konstontopodoketigo persdnta.ul: senm yong berbentuk/berupoongko Voriobel ketigopersomoon: X, y dan Z. Sistem 4 TransfonnosiKoqdimt
Laryiranrctrir
STK Dchm bentuk lttctt"ix:
perssnan , -ft l3 lo Lr
ko€fx
-2 t-l 0 5l -o 1l l,
* kcfZ koefY
ql H konstante
veriebol
lrtisolkon nrotrix di otos, dinyotokonsebogOiPctsonoott irotrix:
.
A.P
= C
Di mom: ,q = rmtrix koefisien P = matrix Pot"oneter C = tmtrix konstonto 2. Dincnsl ltqtrfx Setioptmtrix, hanrsdinyotokondlnasi notrixnyo,dengoncorupenulison: Dimensimotrix : bads x kolon Contohdi otos,dikotokonsebogoi: i €trix
Dincnsi
A P
3x3 3xl
f
lYl
Dimensirrrtrix, merupokonukuronmotrix yang horus ditinjou untuk : I Pemeriksomonpenulisondohm perubohonbentuk Persomoonbiosa kebenfuk matrix r Errolnsi operusi motrix, korem operosi hittnrggn rnotrix mempwtyoisyorot tertentu Yonghorus diPenuhi. 3. l otrix Khusts Ado beberupomqtrix yong khususdengonistiloh tersendiri. o
tliatrix Satuon Yqitu motrix dengonclcnun diogOml = I , sedongkonclcnen loirnyo = O
0l 0
l= : 0
0
;j L-3
Sistem d Trznsformasi Koordimt
STK
l.aqfionnaffitc
.
flatrlx l.lol Yoitu motrix dengonscnuo clcncn = O
:l
000
o0: Q=
..:: 000
Itotrlx Bqlc-sorgkor : Yoitu motrix dengonbonyokboris = boryok kolom
(z 31 125 -71 2 11 -1 t-r -3 15 -1
r,= Dirrcrsi:6x6
IT.
L-3
-so o 13 € 2 s 1 2 2 2 I
10
€ € -1 5 -2
17') 2 - 2 |1 OI 4 I
-11
4)
OPERASI TAATRD(
Yongdimoksudkondengonopenosidi sini odaloh openositmthemotik yong umum,seperti jugo podoorithmotiko. Dohn melakukonop€ol'qsinotrix, terlebih dohuluhorus ditinjou syorot operosi. A. Pcmlnbohon/Pcngilnongqn l otrlx Syorot z ( "u I azt
n=l:
L",',
kcdn mardx furdimcnsi sama dn Ap
?rs :
:
"r"-l azrl
;
,
;
;l
am2 affi
^*,)
( o'
lh'b',
"=lI : L brt
(arr*brt
A+ B =
8rz+bre Ers+brs An+ba : : : "':'' : : | (.arrl*b,nt 4na+brre arns+bm3
(^"-au A-B =
brg
:
:
:
b,",
htto
*j*l
arn+brJ
""".,io,"J
?trb:n az'bz :
8rs-brs : '
"';*l
L*,-u'.,
a,n3-bro
*-t*J
I
ar-br
arn2-bn2
Sistem 4 Trunsformasi Kdimt
bre
arn-brnl
STK B. Pc*ollor Syorrct:
( l=
mxn
f,cirix ' Ms kobn nofr,tc p,*nn pa*alin dirrrcrrslnnlrir lrasf, ?n
ots
l" r : "r,
L;t
am2 am3
nnfrx lcd,n , = (Ms naffiicl x tcobtn1pt*Zl
'"i;L;: ;i ( ru
a,"')
hs
b; a : :: ha
4z c-2.
bng
^1
Qg :
vlo
f
^l vao
I
'l
::
mxo
hz
::]
I
.l
qms
Ctn2
Fl vlm
.|
di mano: c11= (a11b11)+ (op.b21) + (opb3) + .......... (o1rbnr) cp = (o1pbp) + (o1pb22) + (orybsz) + ...-.... + (o1'pbn2) :: c21: (421.b11)+ (o22,bn) * (oar.brJ + ...-.-. + (o2',.b6) c22 = (o2pb12) + (o22.b22)* (azr.bea) + .........+ (oan bne) ca1= (o31.b1r)+ (o32"b21)+ (op$1) + .........+ (o3,pbnr) ca2 : (o3pb1.) + (o33b22)+ (o33.b32)+ .........+ (o3rbn2) :::; q* : (orpblo) * (ora.bao) * (orr.bs") + ......-..* (o.*b-)
C. Inwrsc Syorot:
.
tlAotrix matrix dctgon koldt, = hris
(tmtlx
b$r
saryil@)
'penbolikon' Sesungguhnyo,yong dimksudkon dengon inverse rmtrix odohh rmtrix. Podopenulisonsehori-hari diserupokondagnn llA , dengon A odoloh smtu matrix. Xnwr.sc mctrix A , lebih seringditulis sebogoi A-t. Berhubunghitungon motrix ini, cukup sukar dilokukonnyo,moko tidok diturtmkan corn hitungonrryo,Pododosornyo,hitungoninverse ini, meloluihitungon: l. deterrnimn 2. operosinronml(eliminosi) Woloupundemikinn,kontrol motrix inverseodohh:
A.A-r = I Di mona:
I = motrix sqt$n
Sistem & Ttutsformoi Koordimt
STK D. irioirix
-l norsoose
suatutmtrix ynrg'diputoilort':li:: Yongdinoksuddengnnnctrix trronsposeodohh Ar
= tmfrix trronspose dori motrix A Ms ilpfrirc oml . t rq$odf kobn tnfr)c taEW Ms natltc t?trye: kobn rmtfrt( mol . @l
B€Fortibohwoz
,:[1 fl .r'r[1l fl
xII. HITI hl6AN crcngo.nD(CEL
hitungnn notrix, dionjurkonwrtukmeneropkon EXCEL. donmempercepot Untuknremudohkon hitungcndengonsoftmre tersebut. Berikutini, hngkohpehksonoon A. Pammtnhon/PcmwongonlAofrlx Contoh: I
ll i
[= 3x3
L*5
A+B 3x3
A _B 3x3
Lanokoh hitumn
:
i] ' .r.=F-? 1
=fil :ii|
,l;I F
1. Tuliskon/fsikon dotonotrix A don B. notrix B podaFt sompoidengonH3 2. Block(sorot) tcmpat hosil pcno@ akan ditulislon. Misol 85 sompoidengonD7 r motrix hosilpemmbohon okondituliskanpodo85 sompoidengpnD7. (3 x 3) Ingrotdimensimotrix hosiloper.osi. pengumngon okondituliskonpodoF5 sompoidergonH7. o rutrix hosil L-6
Sistem 4 TrunsformasiKoordimt
STK
Loryirannotrbc ?
"Frrliclean ! u..-|E.r
narla lrqeq
araaa tsstty
$rlia (stp
. .
' rlCl{.FlflkrEa.Lrtr -19 t.tflrrlr
r
t.JlJ,
4. Tekan: SHFT+CTIU+ENTER 5. Block (sorct) F5 sampaldengranH7 padaruangtulis : '=(Bl:D3[Fl:H3] ' 6. Tuliskan 7. TeKan: S}IFT+ GTRL+ ENTER Keterangan: I
Untukblok matix A , yaitu(Bl:D3) , dapatdilakukandenganmelaluiblocking pulauntukmatrixB , yaitu(F{:H3} mouse.Demikian
B. Pcrlraltor fid
e to
[=
11 12
,tr3
BC
D. 10 114 3 3 I | 143 5 6 r
-2
\5
HI l7_21 9-1 -16 I f11 2 r_9 24 1 0 4
F6
B=
J. -€ 2
3x5
Dinensi motrix hosalltoli odaloh: (4 x 3) (3 x 5) : (4 x 5) 1. Tuliskon/Isikondoto motrix A podo89 - Df A don B podoFZ - Jll. ?. Blocktempot hosilperkolion 814 - F17 3. Tuliskanpodcrtnng tulis : ' =ll#.LlLT(89:D!2),(F9:Jt!!), 4. Talion : SHFT + CTRL + ENTER
I u. 211 A.B= 1126 13s I 41O _749 4x 5 [--+r -zso
173 -17 24-l 59 € 1 41
367 _22 410 |
1 -6BJ
1T
C. &wrrsc Alotrix 1
Pc
2
r=
3
3x3
114
I 3 3 L43
5
?'1 8l 6_)
Dimensimatrix inverseodoloh: (3 x 3) 1. Tuliskon/fsikon dotomotrix A podoBl - D3 ?. Blockternpothosilinverse 819 - DZI 3. Tuliskon podoruongtulis : ' =flIhfVERSE(89:D121,69:Jll)). 4. Telon : SIFT + (IIRL . ENTER
Sistem & fivnsfonnasi Kutdimt
L-7
STK
Laqimn natrix
r'\
o.ozrr,421 I o.ooeszt-o.o3oo1
A-t = | -otnz 0.171938 -o.oosgaI -0.00608J L0.04622e o.O71Tt6 D. lioilr<
Tr.onsposc
I u. 211 17s -rT
241
1 41 .{= 1126 135 59 € -22 -310 -tts #r | +to | 1 S8J 4x5 L-41 -253 17 motrix tronsposeodaloh: (5 x 4) Dirnensi 1. Tuliskon/Isikondoto rnotrix A podo 814 - F17 2. BlocktenrpothosiltrorsposeH14 - K18 '=fQ4lrgpggg(814:F17)' 3. Tuliskonpodoruorgtutis : 4. Tekon : SHFT + CTRL+ ENIER
410 -41.} I sa 126-749 -2s3 | 211 135
Ar= lrza l-n
5x4
Sistem 4 Trvrcfornasi Koqdimt
L
24
|
s9 367 1Tl -8 -22 1l 14 -310 -68J