MODUL LOGIKA MATEMATIKA
Disusun oleh : Indah Wulansari 4101415056
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNVERSITAS NEGERI SEMARANG 2018
GLOSARIUM
Pernyataan : kalimat yang hanya benar atau salah saja, tetapi tidak
sekaligus kedua-duanya.
Kalimat terbuka : kalimat yang belum dapat di tentukan nilai
kebenarannya karena masih mengandung variabel atau peubah.
Konjungsi : Gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata
penghubung “dan” sehingga sehingga terbentuk pernyataan majemuk
Disjungsi : gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata
penghubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk.
Implikasi : gabungan dua pernyataan p dan q sehingga membentuk
pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung “Jika..., maka...” .
Biimplikasi atau bikondisional : pernyataan majemuk yang berbentuk
”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”.
Negasi atau ingkaran : pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.
Tautologi : pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya adalah selalu
benar.
Kontradiksi : pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah.
Kontingensi : pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya memuat
benar dan salah. Daftar Simbol
~
negasi/ingkaran
˄ ˅ → ↔ ≡ <
dan atau jika-maka jika dan hanya jika ekuivalen kurang dari
≤ > ≥ ∈ ∃ ∀ ∴
kurang dari sama dengan lebih dari lebih dari sama dengan elemen/anggota ada/beberapa semua jadi (kesimpulan)
PETA KONSEP
Logika Matematika
Prasyarat Kalimat Terbuka
Penarikan
Pernyataan
Tunggal
Kesimpulan Kuantor Modus
Modus
Ponens
Tollens
Berkuantor
Universal
Ingkaran
Kuantor Silogisme
Pembuktian
Majemuk
Eksistensial
Konjungsi
Bukti Langsung
Disjungsi Ekuivalen, Ingkaran
Biimplikasi Bukti Tak Langsung
Nilai Kebenaran
Implikasi Kontraposisi
Invers Konvers
Kontradiksi Tautologi Kontingensi
2
RELEVANSI DENGAN ILMU LAIN
Secara etimologi kata logika ini diambil dari bahasa Yunani dari kata logos logos.. Arti logos ini dalam bahasa tersebut adalah sebuah bentuk akhir dari pertimbangan dan disampaikan melalui komunikasi. Penggunaan logika pastinya akan menyangkut semua aspek kehidupan dan berbagai cabang ilmu. Baik itu secara langsung ataupun tidak langsung. Baik itu permasalahan yang menyangkut subjek atau objek. Dalam konteksnya sebagai ilmu pengetahuan maka logika akan menjadi suatu jalan dalam pembuktian yang merupakan dasar dari proses penalaran. Penggolongan logika logika secara ilmu pengetahuan ini bisa menjadi suatu dualisme. Logika bisa dibawakan ke dalam ilmu filosofis atau dianggap menjadi bagian dari matematika. Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis di sini berarti logika dapat dipraktikkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafat lahirnya filsafat di Yunani. di Yunani. Dalam Dalam usaha untuk menaruh pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan kesesatan menunjukkan kesesatan penalarannya. Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. melakukan pembuktian. Logika Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika. matematika. Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran. Logika masuk ke dalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika simbolik). simbolik). Berikut ini peran logika dalam kehidupan sehari-hari yang merupakan penerapan dari cabang filsafat. 1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren. 2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. 3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri. 4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis
3
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahankesalahan berpkir, kekeliruan, serta kesesatan. 6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian. 7. Terhindar dari klenik, tahayul, atau kepercayaan turun-temurun. 8. Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis, lurus, metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang. TOKOH MATEMATIKA Ariestoteles (Bapak Logika)
Ariestoteles adalah seorang filsuf Yunani yang menulis tentang berbagai subyek yang berbeda, termasuk fisika, metafisika, puisi, logika, retorika, politik, pemerintahan, etnis, biologi dan zoologi. Bersama dengan Socrates dan Plato, ia dianggap menjadi seorang di antara tiga orang filsuf yang paling berpengaruh di pemikiran Barat. Pada zaman Ariestoteles baru diperkenalkan logika sebagai salah satu cabang ilmu (logica scientica). Pada masa ini logika juga belum menggunakan istilah logica, melainkan baru dikenal dengan istilah analitica.. Warisan Aristoteles yang hingga sekarang masih digunakan adalah cara pengambilan keputusan akhir dari premis yang ada yaitu menggunakan silogisme. Pada saat tersebut Aristoteles menulis buku yang berjudul Oraganon yang memuat enam unsur dasar analitica. Pertama cateogorie yang menjelaskan tantang pengertian umum. De Interpretatione yang membahas tentang keputusan keputusan, Anlytica Posteriora mengenai pembuktian. Seri selanjutnya membahasa tentang Analytica Priora atau penggunaan hukum silogisme, selanjutnya ada topica yang membahas hal argumen dan metoda untuk berdebat. Terakhir baru De Sohisticis atau mengenai kesalahan atau kekeliruan dalam berpikir.
4
MATERI PRASYARAT
A. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. Contoh pernyataan: a. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20 b. Semua unggas dapat terbang c. Ada bilangan prima yang genap
Contoh a dan c adalah pernyataan bernilai benar. Sedangkan b adalah pernyataan yang bernilai salah. Suatu kalimat bukan merupakan pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya atau merupakan kalimat yang merujuk pada pertanyaan dan harapan. Contoh kalimat bukan pernyataan: a. Semoga nanti engkau naik kelas b. Tolong tutupkan jendela itu c. Apakah Andre sakit ? Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb. Misalnya : p : Semua bilangan prima adalah ganjil q : Semarang Ibukota Provinsi Jawa Tengah Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan yaitu : a. Dasar empiris : jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu. Contoh : Tinggi kecambah pada hari ke-3 adalah 10 cm Tinggi badanku adalah 150 cm b. Dasar tidak empiris : jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat. Contoh : 0 Jumlah sudut dalam suatu segitigia adalah 180 Tugu muda terletak di kota Semarang
5
B. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan kebenarannya (benar atau salah) karena masih mengandung variabel peubah. Contoh : a. 4 + 6 = 2 6 b. 11+ adalah bilangan prima c. Kota Z adalah ibukota Provinsi Jawa Timur Tiga kalimat terbuka tersebut dapat diubah menjadi pernyataan benar salah dengan mengganti variabel atau peubah , , dengan suatu tertentu.
nilai atau
atau nilai
C. Ingkaran dari Pernyataan Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari pernyataan p di notasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”.
Tabel kebenarannya sbb : p
~p
B
S
S
B
Contoh : a. p ~p b. q ~q
: Ibu pergi ke pasar : Ibu tidak pergi ke pasar : 2 + 5 < 10 : 2 + 5 10
Tes F ormatif 1 1. Diantara kalimat berikut manakah yang merupakan pernyataan, jika pernyataan tentukan nilai kebenarannya. a. Jepara Ibu Kota Provinsi Jawa Tengah b. − 2 < 7 c. Salah satu faktor prima dari 36 adalah 9 d. Selesaikan soal dibawah ini e. Jajar genjang adalah segi empat yang sisinya sama panjang
6
2. Tentukan ingkaran/negasi dari pernyataan berikut: a. 101 adalah bilangan prima b. Adikku tidak pandai berenang c. 3 adalah faktor dari 38 d. 12 × 12 > 124 e. Tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul
Kunci J awaban Tes F ormatif 1 1. Kalimat yang merupakan pernyataan adalah kalimat a. , c. , dan e. Nilai kebenaran dari pernyataan adalah : a. Pernyataan salah c. Pernyataan benar e. Pernyataan benar 2. a. 101 bukan bilangan prima b. Adikku pandai berenang c. 3 bukan faktor dari 38 d. 12 × 12 ≤ 124 e. Ada segitiga sama kaki yang tumpul
7
MATERI PEMBELAJARAN
A. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Ada 4 macam pernyataan majemuk : 1. Konjungsi ( ˄ , dibaca : ) 2. Disjungsi ( ˅ , dibaca : ) 3. Implikasi ( → , dibaca : ) 4. Biimplikasi ( ↔ , dibaca : ℎ ) 1. Konjungsi Konjungsi dari pernyataan p dan q ( p ˄ q : dibaca p dan q ) bernilai benar ketika p dan q keduanya bernilai benar. Konjungsi dapat disusun dalam sebuah tabel kebenaran seperti pada tabel dibawah ini. Untuk membuat tabel kebenaran yang terdiri atas pernyataan tunggal yang berbeda, jumlah kombinasi nilai kebenaran tunggal mempunyai kebenaran 2 n kombinasi nilai kebenarannya. Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi yang terdiri atas 2 pernyataan tunggal berbeda yaitu p dan q, sehingga memiliki 22 = 4 kombinasi nilai kebenarannya yang disusun dalam bentuk baris. p
q
p ˄ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Kata-kata yang membentuk konjungsi selain kata ‘dan’ adalah ‘meskipun’, ‘tetapi’, ‘sedangkan’, ‘ padahal’, ‘yang’, ‘ juga’, ‘walupun’, dan lain-lain. Contoh : 1) p : 34 = 51 bernilai salah q : 2 + 5 = 7 bernilai benar 4 p q : 3 = 51 dan 2 + 5 = 7
bernilai salah
8
2) Tentukan kebenaran dari kalimat “ 2 + 6 = 8 walaupun Makassar bukan ibukota provinsi Sulawesi Selatan”. Jawab : p : 2 + 6 = 8 (B) q : Makassar bukan ibu kota provinsi Sulawesi Selatan (S) jadi, kalimat “ 2 + 6 = 8 walaupun Makassar bukan ibukota provinsi Sulawesi Selatan” berdasarkan tabel kebenaran bernilai salah. Catatan : pada suatu pernyataan majemuk, kedua pernyataan tunggal boleh tidak memiliki hubungan. 3) Tentukan nilai ℝ agar kalimat “ 3 + 1 = 7 dan 3 adalah bilangan prima” bernilai a. Benar b. Salah Jawab :
: 3 + 1 = 7 q : 3 adalah bilangan prima (B) karena pernyataan q merupakan pernyataan yang benar maka agar kalimat ˄ bernilai benar haruslah pernyataan bernilai benar dan hal tersebut tercapai ketika = 2 dan bernilai salah ketika ≠ 2 . Dengan demikian
=2 ≠2
˄
B
B
B
S
B
S
2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p q ,dibaca p atau q bernilai benar , jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah satu dari p dan q bernilai benar. Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk disjungsi p
q
˅
B
B
B
B
S
B
9
S
B
B
S
S
S
Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah. Contoh : 1)
(B) : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 : Tugu pahlawan terletak di Jakarta (S) ˅ : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di
Jakarta (pernyataan bernilai benar) 2) Tentukan ℝ agar kalimat “Soeharto adalah presiden ke-4 RI atau + 5 = 7 ” bernilai salah ! Jawab : (S) : Soeharto adalah presiden ke-4 RI
∶ + 5 = 8 Karena pernyataan merupakan pernyataan yang salah maka agar kalimat ˅ bernilai salah haruslah pernyataan bernilai salah dan hal tersebut tercapai ketika ≠ 3. Dengan demikian
=3 ≠3
˅
S
B
B
S
S
S
3. Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika .... maka .......” Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan → yang dibaca “jika p maka q” atau “p hanya jika q” atau “p adalah syarat perlu bagi q” atau “q adalah syarat cukup bagi p” Dari implikasi → , p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi. Implikasi dari pernyataan p dan q ( → : dibaca p maka q) bernilai salah hanya ketika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah
10
Tabel kebenarannya : p
q
→
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Contoh : 1) P : 5 + 4 = 7 (S) q : Indonesia di benua Eropa (S) p → q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (B) 2) Jika 7 merupakan bilangan genap maka hari akan hujan. 3) Jika pelangi terlihat maka Ani ke pasar. 4. Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika dan hanya jika............” dan dilambangkan ↔. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis ↔ yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ( ↔ : dibaca p jika dan hanya jika q) bernilai benar hanya ketika pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama. Tabel kebenarannya : p
q
↔
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
11
Contoh : p : 3 + 10 =14 (S) q : Persegi adalah segitiga (S) ↔ : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (pernyataan salah)
Tes F ormatif 2 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut. a. b.
8√ 1 3+3 √ 3 = 1 1 √ 16 dan 2 adalah bilangan prima. 1 adalah bilangan prima atau ada belah ketupat yang merupakan
persegi panjang. c. Jika 3 + 4 > 8 maka grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola
K unci Jawaban Tes F ormatif 2 Nilai kebenaran dari pernyataan berikut. a.
8√ 1 3+3 √ 3 = 1 1 √ 16 pernyataan salah
2 adalah bilangan prima pernyataan benar Konjungsi dari pernyataan benar dan salah adalah salah. b. 1 adalah bilangan prima pernyataan salah ada belah ketupat yang merupakan persegi panjang pernyataan benar disjungsi dari pernyataan salah dan benar adalah benar. c. 3 + 4 > 8 pernyataan salah grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola pernyataan benar implikasi pernyataan jika salah maka benar adalah benar. B. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk
Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r , . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi pernyataan negasi (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi (→) dan biimplikasi (↔) dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit. Contoh : 1) ~ ˅ ~ 2) ~ ˄ → 3) [ ˅ → ] Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi yang telah dibahas di depan.
12
Untuk memahami cara-cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang lebih rumit, perhatikan contoh berikut. Contoh : 1. Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ˅ ~ . Jawab : Cara 1 p
q
~q
˅ ~
B B S S
B S B S
S B S B
B B S B
~
~
S S B S (4)
B B S S (1)
B B S B (3)
S B S B (2)
B S B S (1)
~(p
~q )
S S B S
Cara 2
2.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk Jawab : Cara 1
~ ˄ →
p
~
q
→
~ ˄ →
B B S S
S S B B
B S B S
B S B B
S S B B
Cara 2
Langkah
~
˄
→
S S B B (2)
B B S S (1)
S S B B (3)
B B S S (1)
B S B B (2)
B S B S (1)
13
3.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk
[ ˅ → ]
Jawab : Cara 1
p
Q
r
˅
[ ˅ → ]
B B B B
B B S S
B S B S
B B B B
B S B S
S S S
B B S
B S B
B B S
B S B
S
S
S
S
B
Cara 2
Langkah
[
˅
→
]
B
B
B
B
B
B B
B B
B S
S B
S B
B S S
B B B
S B B
S B S
S B S
S S
S S
S S
B B
B S
(1)
(2)
(1)
(3)
(1)
Tes F ormatif 3 Lingkarilah jawaban yang benar! 1. Diketahui tiga pernyataan berikut: P: Jakarta ada di Pulau Bali Q: 2 adalah bilangan prima R: Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil Pernyataan majemuk yang bernilai benar adalah ... a. (~ ˅ ˄ c. ~ →
14
b. (~˅ ~˄~˅ 2. → → bernilai benar jika: 1. 2. 3. 4.
d. ~˄~ ˄
, ℎ, ℎ ℎ, ℎ, ℎ, , ℎ ℎ, ℎ, ℎ Pernyataan yang benar adalah ... a. 1, 2 c. 4 b. 1, 3 d. Semua benar
K unci J awaban Tes F ormatif 3 1. Diketahui tiga pernyataan berikut: P: Jakarta ada di Pulau Bali = S Q: 2 adalah bilangan prima = B R: Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil = S a. (~ ˅ ˄ = ( ˅ ˄ = b. (~˅ ~˄~˅ = ˅ ˄ ˅ = c. ~ → = → = d. ~˄~ ˄ = ˄~ ˄ = 2.
→ → = → → = ˅ = (c)
C. Negasi Pernyataan Majemuk
Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifatsifat negasi pernyataan majemuk pada tabel berikut ini: Operasi Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi
Lambang
Negasi
˄ ˅ → ↔
~ ˅ ~ ~ ˄ ~ ˄ ~ ˄ ~ ˅ ~ ˄
Contoh : 1. Negasi dari “5 + 2 = 8 dan adik naik kelas” adalah “5 + 2 8 atau adik tidak naik kelas”. 2. Negasi dari “jika adik belajar maka ia pandai” adalah “adik belajar dan ia tidak pandai”
15
Tes F ormatif 4 1. Tentukan negasi dari pernyataan: a. Jika rajin belajar, maka lulus ujian b. Amir rajin dan pandai c. Tunawisma itu tidak punya rumah atau tidak punya uang sewa untuk menyewa rumah 2. Negasi dari ( ˄ → adalah ...
K unci J awaban Tes F ormatif 4 1. a. Rajin belajar tetapi tidak lulus ujian b.Amir tidak rajin atau tidak pandai c.Tunawisma itu punya rumah dan punya uang sewa untuk menyewa rumah 2. ~[ ˄ → ] = ~[~ ˄ ˅ ] = ~[~ ˅ ~˅ ] = ˄ ˄ ~ D. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah “ ”. Perhatikanlah pernyataan majemuk ~ ˅ dan → . Selidikilah apakah kedua pernyataan majemuk tersebut bernilai sama ? Selesaian :
~
~
~ ˅
→
B
B
S
S
B
B
B S S
S B S
S B B
B S B
S B B
S B B
sama Ternyata ~ ˅ dan → mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka dikatakan ~ ˅ ekuivalen → ditulis ~ ˅ ≡ → . Beberapa ekuivalensi yang penting diketahui: 1) Hukum Idempoten a. ˅ ≡ b. ˄ ≡ 2) Hukum Komutatif:
16
3)
4)
5)
6)
7)
a. ˅ ≡ ˅ b. ˄ ≡ ˄ Hukum Asosiatif: a. ˄ ˄ ≡ ˄ ˄ b. ˅ ˅ ≡ ˅ ˅ Hukum Distributif: a. ˄ ˅ ≡ ˄ ˅ ˄ b. ˅ ˄ ≡ ˅ ˄ ˅ Hukum Identitas: a. ˅ ≡ c. ˄ ≡ b. ˅ ≡ d. ˄ ≡ Hukum Komplemen a. ˅ ~ ≡ c. ~~ ≡ b. ˄ ~ ≡ d. ~ ≡ Hukum Transposisi
→≡~→~ 8) Hukum Implikasi
→ ≡ ~ ˅ 9) Hukum Ekuivalensi a. ↔ ≡ → ˄ → b. ↔ ≡ ˄ ˅ ~ ˄ ~ 10) Hukum Eksportasi
˄ → ≡ → → 11) Hukum de Morgan: a. ~ ˄ ≡ ~ ˅ ~ b. ~ ˅ ≡ ~ ˄ ~
Tes Formatif 5 Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan: a. b.
˄ → ~˅˅~
K unci J awaban Tes F ormatif 5 Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan: a.
= =
17
b.
˄ → = BBSS ˄ BSBS = BSSS ˄ = BSSS ˄ → = ˄ ~˅˅~ = ~˅~˅ = ~˅~˅ = ~˅ = →
E. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari implikasi
→ dapat dibentuk implikasi baru :
1. → disebut konvers dari implikasi semula 2. ~ → ~ disebut invers dari implikasi semula 3. ~ → ~ disebut kontraposisi dari implikasi semula Contoh :
: Tia penyanyi : Tia seniman implikasi Konvers
→
: Jika Tia penyanyi maka Tia seniman
→
: Jika Tia seniman maka Tia penyanyi
Invers ~ → ~ : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman Kontraposisi ~
→ ~: Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi.
Tabel nilai kebenaran hubungan implikasi dengan konvers, invers, dan kontraposisi. Implikasi
~ ~
→
B B S S B S S B S B B S S S B B Dari tabel diatas, didapat:
B S B B
Konvers
Invers
Kontraposisi
→
~→~
~ → ~
B B S B
B B S B
B S B B
a. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu : → ≡ b. Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya, yaitu :
~ → ~
→≡~→~
18
Tes Formatif 6 1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p → p ˅ q adalah ... 2. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan “Jika Ayah pulang hari ini maka Santi berwisata”!
Kunci Jawaban Tes F ormatif 6 1. 2.
p → p ˅ q = ~p ˅ q → ~ p = ~p ˄ q → ~p Konvers : Jika Santi berwisata maka Ayah menerima gaji hari ini. Invers : Jika Ayah tidak menerima gaji hari ini maka Santi tidak berwisata. Kontraposisi : Jika Santi tidak berwisata maka Ayah tidak menerima gaji hari ini.
F. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponenkomponennya. Contoh :
→
˅
B B S S (1)
B B B B (3)
B B S S (1)
B B B S (2)
B S B S (1)
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponenkomponennya. Contoh : ( ) ~ → ˅ S S S S (4)
B B S S (1)
B B B B (3)
B B S S (1)
B B B S (2)
B S B S (1)
19
Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya memuat benar dan salah. Contoh :
→
˄
B B S S (1)
B S B B (3)
B B S S (1)
B S S S (2)
B S B S (1)
Tes F ormatif 7 Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk dibawah ini, kemudian tentukanlah manakah yang kontradiksi, tautologi, dan kontingensi. a. b. c.
˄ → ˅ ~ ˅ ˄ [ → ˄ → ] ˄ →
K unci Jawaban Tes F ormatif 7 a.
˄ → ˅ Tautologi ˄ →
˅
B B B B (3)
B B S S (1)
B B B S (2)
B S B S (1)
~ ˅ ˄ Kontradiksi ~ ˅
˄
S S S S (4)
B S B S (1)
B B S S (1) b.
S S S B (3)
B S S S (2)
B B S S (1)
B S B S (1)
B B B S (2)
B S B S (1)
20
c.
[ → ˄ → ] ˄ → Kontingensi [ → ˄ → ] ˄
→
B B
B B
B B
B S
B B
B S
B S
B S
B B
B S
B S
B B S S S
S S B B B
S S B B S
S S B S B
S S B B S
B B B S B
B S B S B
S S B S B
B B S S S
B S B B B
B S B S B
S (1)
B (2)
S (1)
B (3)
S (1)
B (2)
S (1)
B (4)
S (1)
B (2)
S (1)
G. Pernyataan berkuantor Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.
Ada 2 macam kuantor, yaitu : 1. Kuantor Universal Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” atau “untuk seluruh”) Contoh : *
R, x2 > 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka berlaku x2 > 0.
x
* Semua ikan bernafas dengan insang.
2. Kuantor Eksistensial Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian) Contoh : *
x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x 2 + 3x – 10 < 0
x R,
* Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru
21
Jenis kuantor dapat dituliskan dalam bentuk tabel seperti berikut. Kuantor
Penulisan
Cara Baca
Universal
∀,
Untuk semua berlaku
Eksistensial
∃,
Ada beberapa berlaku
Tes F ormatif 8 1. Tulislah kalimat “ untuk setiap anggota bilangan asli N, berlaku anggota himpunan bilangan real ℝ” dengan notasi matematika. 2. Tulislah kalimat “ terdapat anggota himpunan bilangan real ℝ dimana + 2 − 3 = 0” 3. Tulislah kalimat “untuk setiap anggota N terdapat anggota himpunan bilangan bulat Z, berlaku × anggota himpunan bilangan bulat Z”.
K unci J awaban Tes F ormatif 8 1. 2. 3.
∀ ∈ , ∈ ℝ ∃ ∈ ℝ , + 2 − 3 = 0 ∀ ∈ ∃ ∈ , ∈
H. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor
Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal. Ingkaran pernyataan kuantor dapat dituliskan dalam bentuk tabel seperti berikut. Ingkaran Kuantor
~(∀, ) ≡ ∃,~ ~(∃,) ≡ ∀,~
Cara Baca Ada beberapa bukan
semua bukan
Contoh : a.
p : Semua ikan bernafas dengan insang ~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang
22
: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru : Tidak semua ikan bernafas dengan insang b.
q : Beberapa siswa SMA malas belajar ~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar
c. Negasi dari pernyataan “Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung” adalah “Hari ini hujan atau saya membawa payung”.
Tes Formatif 9 Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut: a. Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap. b. Apabila guru tidak hadir, maka semua murid bersukaria. c. Semua orang berdiri ketika tamu agung memasukki ruangan.
K unci J awaban Tes F ormatif 9 a. Semua bilangan prima bukan bilangan genap. b. Guru tidak hadir dan beberapa murid tidak bersukaria. c. Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasukki ruangan. I.
Penarikan Kesimpulan Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi. Contoh : Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang Premis 3 : Adik rajin belajar Konklusi : Ibu senang
Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula. Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :
23
1. Modus Ponens Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut : Premis 1 :
→
Premis 2 : Konklusi : Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut : p
q
→
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Pada tabel kebenaran tersebut, premis-premis yang bernilai benar diberi tanda , ternyata mendapatkan konklusi yang diberi tanda Juga benar, sehingga penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens dikatakan sah atau valid. 2. Modus Tollens Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb : Premis 1 :
→
Premis 2 : ~ Konklusi : ~ Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :
~
~
→
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
Berdasarkan tabel tersebut, penarikan kesimpulan dengan metode modus tollens dikatakan sah.
24
3. Silogisme Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb : Premis 1 :
→
Premis 2 :
→
Konklusi :
→
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut : p
q
r
→
→
→
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode silogisme dikatakan sah atau valid. Contoh : Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini : 1. Premis 1 : Jika sakit maka Anto minum obat Premis 2 : Anto sakit Konklusinya : Anto minum obat
2. Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak
25
3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik
4. Premis 1 : Wawan rajin belajar maka naik kelas Premis 2 : Wawan dapat hadiah atau tidak naik kela s Premis 3 : Wawan rajin belajar Kesimpulan yang sah adalah.... a. Wawan dapat hadiah b. Wawan tidak dapat hadiah c. Wawan naik kelas dan dapat hadiah d. Wawan dapat hadiah atau naik kelas Jawaban : Misalkan
: Wawan rajin belajar : Wawan naik kelas : Wawan dapat hadiah Jadi, diperoleh P1 :
→
P2 : ˅ ~
≡ ~ → ~ ≡ →
P3 : Berdasarkan silogisme, → dan → diperoleh → . Berdasarkan modus ponens, → dan diperoleh . Jadi kesimpulan jawabannya adalah A. Wawan dapat hadiah.
Tes F ormatif 10 Tentukan konklusi dari premis-premis berikut: a. Jika tinggal di Bandung maka merupakan penduduk Jawa Barat. Bu Marini bukan Penduduk Jawa Barat.
26
b. Jika membuang sampah di sembarang tempat maka bukan orang beriman. Membuang sampah sembarangan atau mencintai lingkungan.
K unci J awaban Tes F ormatif 10 a. Bu Marini tidak tinggal di Bandung b. Jika orang beriman maka mencintai lingkungan
J. Kesahan Argumen
Suatu argumen dikatakan sah jika argumen tersebut dinyatakan dalam suatu implikasi sedemikian sehingga premis-premisnya merupakan anteseden, konklusinya merupakan konsekuen, dan implikasi tersebut merupakan implikasi logis. Contoh Penyelesaian: Argumen tersebut dinyatakan dalam implikasi: [(p → q) ∧ p] → q . Selanjutnya dibuktikan apakah implikasi tersebut implikasi logis? Untuk pembuktian tersebut ada dua cara yaitu: 1. Dengan tabel kebenaran 2. Dengan aturan penggantian
Cara I: [(p T T F F
→
∧
T F T T
q) T F T F
(1)
→
T F F F
p] T T F F
T T T T
q T F T F
(2)
(I)
(3)
(1)
(4)
(I)
Cara II: [(p → q) ∧ p] → q
ek [p ∨ q ∧ p] ∨ q ) ∨ p] ∨ q ek [(p ∧ q ) ∧ (q ∨ p)] ∨ q ek [(p ∨ p
(Imp) (DM) (Dist)
27
∧ p)] ∨ q ek [T ∧ (q ek (q ∨ p) ∨ q ek (q ∨ q) ∨ p ek T ∨ p ek T
(Komp) (Id) (Ass) (Komp) (Id)
Kesimpulan: argumen p→q p ∴ q adalah argumen yang sah. Contoh : Selidiki dengan table kebenaran apakah argumen berikut sah. p→q q ∴ p Penyelesaian: [(p
→
q)
∧
q]
→
p
T T F F
T F T T
T F T F
T F T F
T F T F
T T F T
T T F F
1
2
1
3
1
4
1
Ternyata [(p → q) ∧ q] → p kontingensi. Jadi argumen tersebut tidak sah.
K. Bukti Formal Kesahan Argumen (Metode Deduksi)
Cara lain untuk membuktikan kesahan argumen yang lebih baik dan lebih singkat dengan bukti formal adalah dengan menggunakan hukum-hukum penggantian dan juga aturan penyimpulan seperti yang tercantum berikut ini. Aturan Penyimpulan :
1. Modus Ponens (M P) p→q p ∴q
28
2. Modus Tolens (M T) p→q
∴ 3. Silogisme (Sil) p→q q→r ∴ p→r 4. Destruktif Silogisme (DS) p ∨ q
∴q 5. K onstruktif D elema (K D) (p→q) ∧ (r → s) p ∨ r ∴ q ∨ s 6. Destruktif Delema (DD) (p→q) ∧ (r → s)
∨ ∴ ∨ 7. Simplifikasi (Simp) p ∧ q ∴p 8. Adisi (A dd) P ∴ p ∨ q 9. K onjungsi (K onj) p q ∴ p ∧ q
Contoh : Buktikan kesahan argumen berikut. 1. p ∨ (q → s) 2. r̅ → (s → t)
3. p → r 4. r̅ / ∴ q → t
29
Penyelesaian: 1. p ∨ (q → s) 2. r̅ → (s→t)
3. p → r 4. r̅ / ∴ q → t 5. s → t 2,4 MP 6. p 3,4 MT 7. q → s 1,6 DS 8. q→t 7,5 Sil Jadi argumen tersebut sah (terbukti).
Contoh : Susunlah bukti formal kesahan argumen berikut dengan memakai lambanglambang proposisi yang diberikan. Jika banyak mahasiswa yang memilih matematika maka geometri diharuskan dan trigonometri diharuskan. Jika geometri diharuskan atau aljabar diharuskan maka aritmetika diharuskan. Banyak mahasiswa yang memilih matematika. Oleh karena itu aritmetika diharuskan atau aljabar diharuskan (m,g,t,j,u). Penyelesaian: Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan simbol sebagai berkut. 1. m → (q ∧ t) 2. (q ∨ j) → a 3. m / ∴ a ∨ j
Bukti kesahannya sebagai berikut : 1. m → (q ∧ t) 2. (q ∨ j) → a 3. m / ∴ a ∨ j 4. (q ∧ t) (1,3 Imp) 5. Q (4 Simp) 6. (q ∨ j) (5 Add) 7. A (2,6 MP) 8. a ∨ j (7 Add) Argumen sah. Catatan: Cara pembuktian seperti contoh 9.11, 9.12, dan 9.13 disebut Bukti Langsung (BL).
30
Tes F ormatif 11 Susunlah bukti formal kesahan argumen berikut. 1. a → b 2. c → d
∨ d) ∧ (a ∨ b) / ∴ 3. (b
∨ c
J awaban Tes F ormatif 11 1. a → b 2. c → d
∨ d) ∧ (a ∨ b) / ∴ 3. (b b ∨ d 5. b → d 6. a ∨ b 7. a → b 8. a → d 9. d → a 10. c → a 11. c ∨ a 12. a ∨ c 4.
∨ c
(3 Simp) (4 Imp) (3 Simp) (6 Imp) (1,5 Sil) (8 Ekiv) (2,9 Sil) (10 Imp) (11 Kom)
L. Aturan Bukti Bersyarat (ABB)
Salah satu cara membuktikan bukti formal dikenal adalah dengan Bukti Langsung (BL) yaitu dengan cara langsung. Akan tetapi tidak semua argumen dapat dibuktikan dengan bukti langsung. Cara lain untuk membuktikan kesahan argumen dengan bukti formal yaitu dengan Aturan Bukti Bersyarat (ABB). Syarat penggunaan ABB : 1. ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut merupakan implikasi. 2. Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik anteseden dari konklusi menjadi premis barn (premis tambahan) dan konsektiennya merupakan konklusi dari argumen. Prosedur ABB dapat dilakukan karena didasarkan pada prinsip eksportasi bahwa p →(q→r) ek (p∧q)→r. Kita ingat bahwa ada hubungan yang erat antara argumen sah dengan implikasi logis sehingga kebena ran prosedur ABB mudah kita terima dengan penjelasan berikut. Penjelasan di atas menunjukan bahwa karena P →(A→C) ek (P ∧A)→C maka argumen P / ∴ A → C sah dan argumen P, A / ∴ C juga sah.
31
Keterangan di atas akan lebih mudah diterima dengan memperhatikan contoh berikut. Contoh : Buktikan kesahan argumen berikut dengan ABB. 1. (a ∨ b) → (c ∧ d) 2. (d ∨ e) → f / ∴ a → f Penyelesaian: Perhatikan bahwa konklusinya berbentuk implikasi a dan konsekuen f sehingga ABB dapat digunakan. 1. (a ∨ b) → (c ∧ d) 2. (d ∨ e) → f / ∴ a → f 3. a / ∴ f asumsi 4. a ∨ b 3 Add 5. c ∧ d 1,4 MP 6. d 5 Simp 7. d ∨ e 6 Add 8. f 2,7 MP 9. a → f 3 s.d. 8 ABB (Terbukti).
→ f dengan anteseden a
Catatan: 1. Baris 9 di dapat bukan didasarkan dari baris 4 s.d. 8 akan tetapi merupakan penjelasan bahwa asumsi no 3 yaitu a dengan menggunakan proposisi 1,2,4,5,6, dan 7 didapat no 8 yaitu f. Oleh karena itu nomor 9 yaitu a — > f di luar skup dan proposisi tersebut merupakan konklusi. 2. Dengan ABB argumen tersebut dapat dibuktikan hanya dengan 9 Iangkah. Bandingkan dengan cara Bukti Langsung.
Berikut ini disajikan dengan Bukti Langsung. 1. ( a ∨ b) → (c ∧ d) 2. 3. 4.
(d ∨ e) → f / ∴ a → f (a
1 Imp ∨ b) ∨ (c ∧ d) [( a ∨ b) ∨ c] ∧ [( a ∨ b) ∨ d] 3 Dist
5. 6. 7. 8. 9.
(a
∨ b) ∨ d (a ∧ b) ∨ d (a ∨ d) ∧ ( b ∨ d) a ∨ d a→d
4 Simp 5 DM 6 Dist 7 Simp 8 Imp
32
10. (d
2 Imp
11.
10 DM
12. 13. 14. 15.
∨ e) ∨ f ∧ e) ∨ f (d ∨ f ) ∧ ( e ∨ f) (d d ∨ f d→f a→f
11 Dist 12 Simp 13 Imp 9,14 Sil
(Terbukti) Ternyata BL memerlukan 15 langkah. Jadi untuk contoh 14 ABB lebih singkat dibandingkan dengan BL.
Tes F ormatif 12 Buktikan dengan ABB kesahan argumen berikut. 1. (a ∨ b) → [(c ∧ d) → e] / ∴ → [c ∧ d → e]
J awaban Tes F ormatif 12 (a ∨ b) → [(c ∧ d) → e] / ∴ → [c ∧ d → e] 2. a / ∴ [c ∧ d → e] asumsi 3. a ∨ b 2 Add 4. c ∨ d → e 1, 3 MP 5. c ∧ d / ∴ e asumsi 6. C 5 Simp 7. c ∨ d 6 Add 8. e 4, 7 MP 9. (c ∧ d) → e 5 – 8 ABB 10. a → [c ∧ d → e] 2 – 9 ABB (Terbukti) 1.
M.
Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung)
Langkah-langkahnya BTL adalah sebagai berikut : 1) Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan). 2) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hokum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi. 3) Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Distributif Silogisme. Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh berikut ini.
33
Contoh : Buktikan kesahan argumen berikut dengan BTL. 1. a → (b ∧ c) 2. ( b ∨ d) → e
3. d ∨ a
/
∴ e
bukti: 1. a → (b ∧ c) 2. ( b ∨ d) → e 3. d ∨ a / ∴ e 4. e asumsi
5. 6. 7. 8.
b ∨ d b ∧ d b d d→ a
9. 10. a 11. b ∧ c 12. b 13. b ∧ b 14. b ∨ e 15. e (Terbukti)
2,4 MT 5 DM 6 Simp 6 Simp 3 Imp 9,8 MP 1,10 MP 11 Simp 7,12 Konj 12 Add 14,7 DS
Catatan: 1) Langakh ke 13 menunjukkan adanya kontradiksi sebab b ∧ b ek F. 2) Setelah ditemukan adanya kontradiksi langkah berikutnya Adisi dan terakhir Distributif Silogisme.
SOAL EVALUASI A. PILIHAN GANDA 1. Jika pernyataan bernilai salah dan benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ... a. ˅
b. c. d. e.
→ ~ → ~ ~˄ ~˅
34
Kunci Jawaban : C
a. b. c. d. e.
˅ = S˅B = B → = S→ B = B ~ → ~ = B →S = S ~˄ = B ˄B = B ~˅ = B ˅B = B
2. Pernyataan (~˅˄˅~ ) ekuivalen dengan pernyataan ... a. b. c. d. e.
→ →~ ~→ ~ → ~ ↔
Kunci Jawaban : E
(~˅˄˅~ ) = (
→ ˄ ( → = ↔
3. Dtentukan pernyataan, “Jika ia dapat menyelesaikan soal ini, maka ia lulus” 1) Negasinya adalah “Ia dapat menyelesaikan soal ini tapi tidak lulus” 2) Inversnya adalah “Jika ia tidak bisa menyelesaikan soal ini maka ia tidak lulus” 3) Konversnya adalah “Jika ia lulus maka ia dapat menyelesaikan soal ini” 4) Kontraposisinya adalah “Jika ia tidak lulus maka ia tidak dapat menyelesaikan soal ini” Pernyataan yang benar adalah ... a. 1, 2, 3 b. 1, 3 c. 2, 4 d. 4 e. Semua benar Kunci Jawaban : E
~ → = ˄~ (1) B ∶ ~ → ~ (2) B ∶ → (3) B ∶ ~ → ~
(4) B
35
4. Nilai yang menyebabkan pernyataan “jika bernilai salah adalah ... a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 6
2 + = 6 maka 2+3 < 9 "
Kunci Jawaban : D
2+ = 6 ⇒ 2+ − 6 = 0 ⇒( + 3 − 2 = 0 ℎ = 3 = 2 Untuk = − 3
2 + = 6 2+3 < 9 = Untuk
=2
2 + = 6 2+3 < 9 ℎ = 5. Misalkan p adalah 9 + 7 = 17 dan q adalah 5 > 2. Maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah .... a. p Ʌ q b. p V ~ q c. p → q d. q ↔ p e. ~ p → ~ q Kunci Jawaban : C p : 9 + 7 = 17 (bernilai salah) q : 5 > 2 (benilai benar) Jadi, agar pernyataan tersebut benilai benar maka (p → q)
36
6. Jika x adalah peubah pada bilangan real, nilai x yang memenuhi agar pernyataan “Jika x² - 2x – 3 = 0 maka x² - x < 5” bernilai salah adalah .... a. -1 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Kunci Jawaban : D Misal, p : x² - 2x – 3 = 0 q : x² - x < 5 Pernyataan bernilai salah yang memungkinkan hanya apabila p bernilai benar dan q bernilai salah jika p bernilai benar maka : x² - 2x – 3 = 0 (x-3)(x+1) = 0 x = 3 V x = -1 jika q bernilai salah maka : untuk x = -1 → (-1)² - 1 < 5 0 < 5 (B) untuk x = 3 → (3)² - 3 < 5 6 < 5 (S) Jadi, x yang memenuhi agar pernyataan tersebut bernilai sal ah adalah 3
7. Suatu pernyataan: “Jika ABCD layang-layang maka AC tegak lurus BD” pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah ... a. Jika AC tidak tegak lurus BD maka ABCD bukan layang-layang b. Jika ABCD bukan layang-layang maka AC tidak tegak lurus BD c. Jika AC tegak lurus BD maka ABCD layang-layang d. Jika ABCD bukan layang-layang maka AC tegak lurus BD e. Jika AC tegak lurus BD maka ABCD bukan layang-layang Kunci Jawaban : A
p → q ≡ ~q → ~p = Jika AC tidak tegak lurus BD maka ABC D bukan layang-layang
8. Invers dari “jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0” adalah .... a. Jika x > 0 maka x² + x – 2 < 0 b. Jika x < 0 maka x² + x – 2 ≤ 0
37
c. Jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 < 0 d. Jika x < 0 maka x² + x – 2 < 0 e. Jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 ≤ 0 Kunci Jawaban : C
Misal diberikan suatu impikasi (p → q) maka invers dari pernyataan tersebut berbentuk (~p → ~ q) p : x > 0 q : x² + x – 2 ≥ 0 Jadi, invers dari pernyataan jika x > 0 maka x² + x – 2 ≥ 0 adalah jika x ≤ 0 maka x² + x – 2 < 0
9. Konvers dari impikasi “jika sungai itu dalam, maka di sungai itu banyak ikan” adalah .... a. Jika di sungai itu banyak ikan, maka sungai itu tidak dalam b. Jika di sungai itu banyak ikan, maka sungai itu dalam c. Jika tidak benar di sungai itu banyak ikan, maka tidak benar sungai itu dalam d. Jika tidak benar sungai itu dalam, maka tidak benar di sungai itu banyak ikan e. Jika di sungai itu tidak banyak ikan, maka sungai itu dalam Kunci Jawaban : C Misal diberikan suatu implikasi (p → q) maka konvers dari pern yataan tersebut berbentuk (q → p) p : sungai itu dalam q : di sungai itu banyak ikan Jadi, konvers dari implikasi jika sungai itu dalam, maka di sungai itu banyak ikan adalah jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu dalam 10. Jika ~p adalah negasi dari p, maka kesimpulan dari pernyataan-pernyataan: p → q dan ~ q v ~ r adalah .... a. r v p b. ~ p v ~ r c. ~ p → q d. ~ r → p e. ~ r → q Kunci Jawaban : A
38
p → q ≡ p → q ~ q v ~r ≡ q → ~ r Kesimpulan : p → ~ r ≡ ~ p v ~r
B. URAIAN 1. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa :
[ ∨ ∧ r] ≡ ∨ ∧
∨r] Tabel Kebenaran p
q
r
pVq
pVr
q Λ r
p v (q Λ r)
(p V q) Λ (p V r)
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Perhatikan tabel di atas pada kolom 7 dan 8. karena kedua pernyataan tersebut tidak mempunyai nilai kebenaran yang sama, dapat disimpulkan bahwa [ ∨ ∧ r] ≡ ∨ ∧ ∨ r]. 2. “Ani dapat berjalan-jalan ke pantai atau ke gunung pada liburan kali ini. Jika Ani berjalan-jalan ke gunung, dia harus membawa jaket yang tebal. Ani tidak ke pantai liburan ini. Karena itu Ani harus membawa jaket
tebal “. Apakah argumen tersebut sahih ? Jika sahih buktikan dengan tabel kebenaran! Misalkan, p : Ani berjalan-jalan ke pantai q : Ani berjalan-jalan ke gunung
39
r : Ani harus membawa jaket ebal Argumen pada soal dapat dituliskan : pVq q → r ~p r Untuk membuktikan kesahihan argumen, harus diperlihatkan bahwa [p V q Λ q → r Λ ~p] → r merupakan tautologi. Dengan tabel kebenaran, pVq
q→r
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
B
p
q
r ~p
B
B
B
B
B
B
[p V q Λ q→r Λ [p V q Λ q→r Λ ~p ~p] → r
Dengan menggunakan tabel tersebut terbukti bahwa [p V q Λ q → r Λ ~p] → r merupakan tautologi. Maka,dapat disimpulkan argumen dalam soal sahih.
40
