MODUL
MATEMATIKA
KELAS X
SEMESTER II
Muhammad Zainal Abidin Personal Blog
SMAN 1 Bone-Bone " Luwu Utara " Sulsel
http://meetabied.wordpress.com
TRIGONOMETRI
Standar Kompetensi :
Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri
dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang
berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas
trigonometri.
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, dan
penafsirannya.
BAB I PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri
(sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan
nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian
konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius
dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan
aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di
samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan
bentuk-bentuk persamaan trigonometri.
B. Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus
sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan
dua segitiga.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan
adalah sebagai berikut.
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi
yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi
berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua
soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui
kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui
kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari
materi yang terkait.
4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan,
catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap
muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul
ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan
mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,
2. Menggunakan perbandingan trigonometri,
3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,
4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,
5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,
6. Menentukan luas segitiga,
7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,
BAB II PEMBELAJARAN
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan a
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan b
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan
c2 = a2 + b2
2. Besar sudut pada segitiga
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah
3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga
a. sin = =
b. cos
c. tan
d. cotg
e. sec
f. csc
Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :
Cotg
Sec
Csc
Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b
= 3.
a. Tentukan panjang sisi c
b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut
Jawab :
A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus
(00, 300, 450, 600, 900)
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan
trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut (
lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
" "00 "300 "450 "600 "900 "
"Sin "0 " " " " "
"Cos "1 " " " " "
"Tan "0 " " " " "
"Csc "t.t "2 " " " "
"Sec "1 " " " " "
"Cotg "t.t " " " " "
Contoh :
Tentukan nilai dari :
1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +
2. = 1
A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
1. Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I
Absis positif
Ordinat positif
2. Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II
Absis negatif
Ordinat positif
Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan
trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.
" "I "II "III "IV "
"Sin "+ "+ "- "- "
"Cos "+ "- "- "+ "
"Tan "+ "- "+ "- "
"Csc "+ "+ "- "- "
"Sec "+ "- "- "+ "
"Cotg "+ "- "+ "- "
Contoh :
Diketahui Sin = dikuadran II (sudut tumpul).
Tentukan nilai
Jawab : Sin , y = 3, r = 5, x =
Karena dikuadran II, nilai x = -4
Sehingga : Sec = , Csc , Cotg
TUGAS I
1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut pada tiap
gambar berikut :
a. b.
2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p
yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut
diketahui.
a. Cos p = 0,8
b. Cotg p = 2
3. Tentukan nilai dari :
a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450
b. Tan 300 + cos 300
c. 2 sin 600 cos 450
4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan
sudut pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon
tersebut. ( tinggi dani 155 cm)
A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran
a. Rumus di kuadran I
b. Rumus di kuadran II
atau
c. Rumus di kuadran III
atau
d. Rumus di kuadran IV
atau
e Rumus sudut negatif
f.Rumus sudut lebih dari 3600
Contoh :
Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :
a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)
= Sin 300
=
Atau
Sin 1200 = Sin (1800 – 600)
= Sin 600
=
b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)
= -Sin 450
=
Atau
Cos 2250 = Cos (1800 + 450)
= -Cos 450
=
c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300)
= Sin 300
=
d. Sin (-2250) = - Sin 2250
= - Sin(1800 + 450)
= - (-sin 450)
=
TUGAS II
1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :
a. Cos 3300
b. Tan (-1200)
c. Sin 4500
2. Tentukan nilai dari :
a. Sin 3000 + Cos 5450
b. Cos 3900 + Sec 5700
c. Cotg 7500 + Tan (-600)
3. Sederhanakan
a.
b.
c.
4. Buktikan bahwa
a.
b.
B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
1. Sin x = Sin p
X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2
2. Cos x = Cos p
X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2
X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2
3. Tan x = Tan p
X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :
a. Sin x = Sin 200 ;
x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20
k = 1 x2 = 20 + 360
= 380 (tidak memenuhi)
X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160
Jadi HP = {20, 160}
b. 2 Cos x = ;
Cos x =
Cos x = Cos 30
X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30
X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak
memenuhi)
K = 1 x2 = 330
HP = {30, 330}
TUGAS III
1. Selesaikan persamaan berikut untuk
a. Cos x = Cos 50
b. Sin x – ½ = 0
c. 3 tan 2x + = 0
d. 2 cos x.sin x = sin x
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk
a. 2 sin x = - 2
b. 2 tan 3x + 2 = 0
c. 2 cos ½ x = 1
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku
untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1
Sin2x = 1 – Cos2x
Cos2x = 1 – Sin2x
2. 1 + tan2x = sec2x
1 = sec2x – tan2x
Tan2x = sec2x – 1
3. 1 + cotg2x = cosec2x
1 = cosec2x – cotg2x
Cotg2x = cosec2x – 1
Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1
Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
= 3 . 1
= 3 (terbukti)
D. RUMUS SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai
berikut:
Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1, . Hitunglah c.
Jawab :
=
=
=
=
2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. .
Hitunglah
Sin C =
=
=
=
= 41,1
2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :
Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, = 600.
Hitung panjang BC
Jawab :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
= 52 + 82 – 2.5.8. cos 60
= 25 + 64 – 80. ½
= 89 – 40
= 49
a = 7 cm
E. LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui
L = ½ b.c. sin A
L = ½ a.b. sin C
L = ½ a.c. sin B
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara
kedua sudut yang diketahui.
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui
s = ½ . Keliling Segitiga
= ½ (a + b + c)
Contoh :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450
Jawab :
L = ½ a.b.sin C
= ½ 5.8.sin 450
= 20. ½
= 10
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, . Tentukan luasnya.
Jawab :
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5
cm.
Jawab :
s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6
cm2
TUGAS IV
1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm,
2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC =
14 cm. Hitung besar sudut B
3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan.
Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan 80 km/jam,
sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000 dengan kecepatan 90
km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5
jam.
4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah
lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.
5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12
cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit
Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang :
CV. Jabbaar Setia.
-----------------------
a
b
c
B
C
A
A
C
B
3
c
4
600
1
1
450
450
300
2
1
A(x,y)
x
y
r
A(-x,y)
-x
y
r
Kuadran I
Semua +
Kuadran II
Sin & Csc +
Kuadran III
Tan & Cotg +
Kuadran IV
Cos & Csc +
5
12
2
Tinggi pohon
Tinggi dani
10 m
600
A
B
C
a
c
b
A
B
C
A
B
C
a
b
c
D
