MODUL MATEMATIKA
KELAS XII. IPA SEMESTER I
Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http://meetabied.wordpress.com
PROGRAM LINEAR Standar Kompetensi :
Menyelesaikan program linear Kompetensi Dasar :
•
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
•
Merancang model matematika dari masalah program linear
•
Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam
modul
ini
Anda
akan
mempelajari
penyelesaian
pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan nilai optimum dari fung fungsi si tuju tujuan an deng dengan an meto metode de uji uji titi titik k pojo pojok, k, mera meranc ncan ang g mode modell mate matema mati tika ka
dari dari
prog progra ram m
line linear ar,,
dan dan
meny menyel eles esai aika kan n
mode modell
matematika dari program linear. B. Prasyarat
Unt Untuk
mempe empela laja jari ri
modu modull
ini, ini,
para para
sisw siswa a
dih dihar arap apka kan n
tela telah h
menguasai sistem pertidaksamaan linear dua variabel. C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untu Untuk k memp mempel elaj ajar arii modu modull ini, ini, hal-h hal-hal al yang yang perlu perlu Anda Anda laku lakuka kan n adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang yang mend mendah ahul ului ui meru merupa paka kan n prasy prasyar arat at untu untuk k memp mempel elaj ajari ari materi berikutnya. 2. Pahamilah Pahamilah contoh-contoh contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah kerjakanlah semua soal soal lati latiha han n yang yang ada. ada. Jika Jika dala dalam m meng menger erja jaka kan n soal soal Anda Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjak Kerjakanl anlah ah soal soal evalua evaluasi si dengan dengan cermat cermat.. Jika Jika Anda Anda menemu menemuii kesu ke suli littan
dala dalam m
men mengerj gerjak akan an
soal soal
eval evalua uasi si,,
kem ke mbalil alilah ah
mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempunyai mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau atau bacala bacalah h refere referensi nsi lain lain yang yang berhub berhubung ungan an dengan dengan materi materi modul ini. Dengan memb membac aca a refere referens nsii lain lain,, Anda Anda juga juga ak akan an mend mendap apat atka kan n pengetahuan tambahan. D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1.
Menent Menentuka ukan n penyel penyelesa esaian ian sistem sistem pertid pertidaksa aksamaa maan n linear linear dua variabel.
2. Menentukan fungsi fungsi objektif dan kendala dari program program linear. 3. Menggambar daerah visibel dari program program linear. 4. Merumuskan model model matematika dari program linear. 5.
Menentukan
nilai
optimum
dari
fungsi
objektif
dan
menafsirkannya.
BAB II. PEMBELAJARAN A. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel variabel Bentuk umum : ax + by < c ax + by > c ax + by
≤
c
ax + by
≥
c
x, y adalah variabel a, b, dan c
∈
R
Contoh Contoh : Tentukan Tentukan daerah daerah penyelesaian penyelesaian dari pertidaksam pertidaksamaan aan 2x + 4y
≤
8
Jawab : Mene Menent ntuk ukan an titi titik k poto potong ng deng dengan an sumb sumbu u x dan dan sumb sumbu u y dengan membuat tabel sbb : x 0 4 y 2 0 Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y y
(0,2)
2
DP 4
x
Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP) untuk pertidaksamaan 2x + 4y
≤
8
B. Menentukan Menentukan daerah daerah penyelesaian penyelesaian suatu suatu sistem pertidaks pertidaksamaan amaan liniear dengan dua variabel. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.
Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x+y
≤
x + 2y x
≥
0
y
≥
0
5
≤
6
Jawab : x+y
≤
x y
0 5
x + 2y x y
5
≤
0 3
5 0 6 6 0
y
5
3
DP x 5
6
Tugas I 1. Gambar Gambarlah lah pada pada bidang bidang cartesius cartesius,, himpun himpunan an penyel penyelesai esaian an dari dari sistem pertidaksamaan linear berikut :
a. 3x + y
≤
6, 5x + 4y
b. 2x + y
≥
10, 3x + 2y
c. x – y
≤
3, x + 2y
≥
≤
20, x
≥
4, y
≥
18, x ≤
0, y
≥
≥
0, y
0
≥
0
2
2. Tulislah Tulislah sistem pertida pertidaksamaa ksamaan n dari daerah daerah penyelesaian penyelesaian berikut berikut :
y
a. 6 5
DP 4
b.
x
6
y
7
y=4
DP y=2 x 7 x=2
B. Menentukan Menentukan fungsi fungsi tujuan tujuan dan kendal kendala a dari program program linear Prog Progra ram m line linear ar adal adalah ah suat suat meto metode de atau atau suat suatu u cara cara untu untuk k mem memecah ecahka kan n
masal asalah ah
men menjad jadi
optim ptimal al
(mak (maksi simu mum m
atau atau
minimu minimum) m) yang yang memuat memuat batasan batasan-ba -batas tasan an yang yang dapat dapat diubah diubah atau atau diterj diterjema emahka hkan n ke dalam dalam bentuk bentuk sistem sistem pertid pertidaks aksama amaan an line linear ar.. Peny Penyel eles esai aian an pert pertid idak aksa sama maan an line linear ar terd terdap apat at dala dalam m daerah daerah himpun himpunan an penyel penyelesa esaian ian.. Dari Dari bebera beberapa pa penyel penyelesa esaian ian terdap terdapat at satu satu penyel penyelesai esaian an terbai terbaik k yang yang selanj selanjutn utnya ya disebu disebutt peny penyel eles esai aian an opti optimu mum m dari dari suat suatu u fung fungsi si.. Fung Fungsi si ini ini diseb disebut ut dengan fungsi tujuan atau objektif. Model Model matema matematik tika a adalah adalah rumusa rumusan n matema matematik tika a yang yang berupa berupa persam persamaan aan,, pertid pertidaks aksama amaan, an, atau atau fungsi fungsi yang yang dipero diperoleh leh dari dari hasi hasill pen penafsi afsira ran n atau atau terj terjem emah ahan an suat suatu u masa masala lah h ke dala dalam m bahasa matematika. Contoh : Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang sedang penump penumpang ang kelas kelas B diberi diberi hak membawa membawa barang barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya. Jawab : Kelas A 60 kg x orang
Bagasi Penumpang
Kelas B 20 kg y orang
Bagasi
:
60x + 20y
Penumpang
:
x+y
≤
≤
48
1440
3x + y
≤
72
Banyak penumpang tidak pernah negatif : x
≥
0, y
≥
0
Sehingga diperoleh model matematikanya adalah : 3x + y x+y x y
72 ≤ 48 ≥ 0 ≥ 0 ≤
Tugas II 1. Suatu perusah perusahaan aan merencanak merencanakan an membangun membangun rumah rumah untuk untuk 600 orang. Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I biaya sewanya Rp. 100.000,- tiap bulan dan dit ditempa empatti 4 ora rang ng,, rum rumah jeni jenis s II biay iaya sewa sewany nya a Rp. Rp. 125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang. Buatlah model matematikanya. 2. Sebu Sebuah ah pabr pabrik ik memb membua uatt sepe sepeda da moto motorr dan dan sepe sepeda da gunu gunung ng setiap bulan dapat membuat sebanyak-banyaknya 100 sepeda gunung gunung,, sedang sedangkan kan sepeda sepeda motor motor dapat dapat dibuat dibuat sediki sedikitny tnya a 20 buah buah dan sebany sebanyakak-ban banyak yakny nya a 70 buah buah tiap tiap bulan. bulan. Kapasit Kapasitas as produksi pabrik sebanyak-banyaknya 150 buah kendaraan dalam sebulan. Jika harga setiap sepeda motor 5 juta rupiah dan harga sepeda gunung 1 juta rupiah. a. Buatla Buatlah h model model mate matemat matika ikanya nya b. Tentukan Tentukan daerah daerah penyelesa penyelesaian ian yang yang sesuai 3. Seorang petani memerlukan zat kimia unsur sur A, B, dan C seba sebany nyak ak 60 kg, kg, 120 120 kg, kg, dan dan 50 kg untu untuk k memu memupu puk k ke kebu bun n sayurnya. Dalam setiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 2kg, zat B = 2 kg, dan zat C = 1 kg. Harga 1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan pupuk kering Rp. 25.000,a. Buatlah model matematikanya b. Tentuk Tentukan an daerah daerah penyelesa penyelesaian iannya nya 4. Seor Seoran ang g tuka tukang ng park parkir ir meng mengelo elola la laha lahan n park parkir ir selu seluas as 588 588 m 2, dipe diperu runt ntuk ukka kan n untu untuk k mena menamp mpun ung g ke kend ndar araa aan n jeni jenis s bus bus dan dan sedan. Luas rata-rata untuk parkir bus adalah 24 m 2, sedangkan
untu untuk k seda sedan n meme memerl rluk ukan an 6 m 2. Laha Lahan n park parkir ir terse tersebu butt tida tidak k mamp mampu u mena menamp mpun ung g sedan sedan dan dan bus bus mele melebi bihi hi 38 ke kend ndar araa aan. n. Tentukan model matematika dari permasalahan diatas.
4. Mene Menent ntuk ukan an nila nilaii opti optimu mum m dari dari fung fungsi si tuju tujuan an (fun (fungs gsii ogjek ogjekti tif) f) dengan metode uji titik pojok. Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by. Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok (titik
sud sudut)
dari
daer aerah
penyelesaian
(DP),
kemudian
dibandingkan yang selanjutnya ditetapkan nilai terbesar sebagai nilai maksimum dan nilai terkecil sebagai nilai minimum. Contoh : Seor Seoran ang g peda pedaga gang ng memp mempun unya yaii daga dagang ngan an roko rokok k merk merk A dan dan merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan laba laba Rp. 300,300,- per bungku bungkus. s. Pedaga Pedagang ng itu hanya hanya mempun mempunyai yai moda modall Rp. Rp. 240. 240.00 000, 0,-- dan dan kios kiosny nya a hany hanya a dapa dapatt mena menamp mpun ung g paling banyak 500 bungkus rokok. a. Bera Berapa paka kah h bany banyak ak roko rokok k A dan dan B yang yang haru harus s dibe dibeli li agar agar mendapat untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum) b. Tentukan Tentukan besar keuntungan keuntungan maksimumny maksimumnya a Jawab : Model matematikanya Rokok A B Persediaan
Jumlah x y 500
Harga 6000 3000 240.000
Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y
Laba 400 300
Sistem pertidaksamaan linearnya : x+y
≤
500
6000x + 3000y x
≥
0
y
≥
0
≤
240.000
2x + y
Daerah himpunan penyelesaian x + y = 500 x y
0 500
500 0
2x + y = 800 x y
0 800
400 0
y
800
500
DP
400
x
500
2x + y = 800
x + y = 500
Eliminasi persamaan (1) dan (2) x + y = 500 2x + y = 800 -x
= - 300
x
= 300
y
= 200
≤
800
Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum dengan tabel sbb :
Tit Titik ik pojo ojok (0, 0) (400, 0) (300, 200)
Unt Untung ung = 400x 400x + 300 300y y 0+0=0 160.000 + 0 = 160.000 120.000 + 60.000 =
180.000 (0, 500) 0 + 150.000 = 150.000 Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang dapa dapatt dica dicapa paii adal adalah ah 180. 180.00 000, 0, deng dengan an roko rokok k A yang yang dibe dibeli li sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus. Tugas III 1. Tentuk Tentukan an nilai maksimu maksimum m atau atau minimu minimum m dari dari fungsi fungsi sasaran sasaran dalam model matematika berikut : a. F(x, F(x, y) = 2x 2x + y x+y
≤
6 ; x + 2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. F(x, y) = 2x + 3y 5x + 3y ≥ 30 ; 5x + y
≥
50 ; x + 3y ≥ 30 ; x
≥
0;y
≥
0
2. Seorang Seorang pedagang pedagang roti mempuny mempunyai ai modal 400.00 400.000,-. 0,-. Roti jenis jenis A dibeli dengan harga 1000,- dan roti jenis B dibeli dengan harga
500,-.
Sedangkan
tempat
roti
hanya
mampu
menampung tidak lebih dari 500 buah. Keuntungan tiap roti jenis A 200,- dan keuntungan tiap roti jenis B 150,-. a. Hitunglah Hitunglah keuntungan keuntungan sebanyak-b sebanyak-banyak anyaknya. nya. b. Berap Berapa a seba sebaik ikny nya a roti roti jenis jenis A dan dan jeni jenis s B yang yang harus harus dibe dibeli li agar agar peda pedaga gang ng mend mendap apat at ke keun untu tung ngan an yang yang sebanyak-banyaknya. 3. Seor Seoran ang g peda pedaga gang ng paka pakaia ian n memp mempun unya yaii moda modall 2.47 2.475. 5.00 000, 0,-untuk membeli kemeja dengan harga 30.000,- per buah dan celana 75.000,- per buah. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan
4.500,- untuk setiap potong celana dan 1.500,- untuk setiap potong kemeja. a. Bera Berapa pa ke keme meja ja dan dan cela celana na yang yang haru harus s dibe dibeli li supa supaya ya pedagang itu mendapat keuntungan yang maksimum b. Hitung Hitunglah lah keuntu keuntunga ngan n tersebut tersebut 4. Seoran Seorang g penjaja penjaja buah-bua buah-buahan han yang menggu menggunak nakan an gerob gerobak ak menjual apel dan pisang. Harga pembelian pisang 4.000,- per kg dan apel 10.000, - per kg. Penjaja buah terse rsebut mempunyai modal 2.500.000,-. Sedangkan muatan gerobak tida tidak k mele melebi bihi hi 400 400 kg. kg. Jika Jika ke keun untu tung ngan an tiap tiap kg apel apel 2 ka kali li keuntungan tiap kg pisang. Berapa kg apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul modul ini, ini, maka maka anda anda berhak berhak untuk untuk melanj melanjutk utkan an ke topik/ topik/mod modul ul berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Matematika ika Program Program Ilmu Pemeri Pemerinta ntah h Kota Kota Semara Semarang, ng, 2006. 2006. Matemat Pengetahuan Sosial , Semarang :
H.
Sunardi,
Slamet
Wal Waluyo,
Sutris risno,
H.
Subagya,
2005.
Matematika IPS , Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.
Wilso Wilson n
Sima Simang ngun unso song ng,,
Erlangga, Jakarta.
2005 2005..
Mate Matema mati tika ka
Dasa Dasar r,
Pener enerbi bitt
