MODUL TRANSFORMASI TRANSFORMASI
KELAS XII. IPA SEMESTER I
Muhammad Zainal Abidin Persnal !l" SMAN # !ne$!ne % Lu&u U'ara % Sulsel h''()**mee'abied.&rd(ress.+m
BAB I.PENDAHULUAN A.Deskripsi Dalam Dalam mdul mdul ini, ini, anda anda a-an a-an mem(el mem(elaa aari ri ' r an a n s / / rm r m a si s i 0 a n" n " ' e rd r d i ri r i a ' as a s r e1 e 1 e - si s i , ' r an a n s la l a s i, i, r ' a s i , d a n d i l a ' a s i 0 a n " d i i d e n ' i 2 - a s i berdasar-an +iri$+irin0a. +iri$+irin0a. Re1e-si meru(a-an meru(a-an (en+erminan. (en+erminan. Dalam "eme'ri "eme'ri bidan" (en+erminan 'erdiri dari (en+erminan 'erhada( sumbu 3, sumbu 0, 0 4 3, 0 4 $3, 3 4 m, 0 4 n, 'ehada( 'i'i- (usa' O. Translasi Translasi meru(a-an (er(indahan. R'asi meru(a-an (er(u'aran. R'asi di'en'u-an leh (usa' dan besar sudu'. Ti'i(usa' (usa' di O56,6 O56,677 dan di P5a,b P5a,b7, 7, sedan" sedan"-a -an n un'uun'u- besar besar sudu' sudu' (si'i/ berla&anan arah den"an arah arum am dan sebali-n0a besar besar sudu' sudu' ne"a'i ne"a'i// sear searah ah den"an den"an arah arah arum arum am. am. Dila' Dila'asi asi meru( meru(aa-an an 'rans 'rans/r /rmas masii 0an" 0an" merub merubah ah u-ur u-uran an 'e'a(i 'e'a(i 'ida'idamerubah merubah ben'uben'u- ban"un. ban"un. Dila'asi Dila'asi di'en'u-an di'en'u-an leh (usa' (usa' dan /a-'r s-ala.
B.Prasyarat A"ar da(a' A"ar da(a' mem(el mem(elaa aari ri mdul mdul ini, ini, anda anda harus harus mem(e mem(ela laar arii (erasi bilan"an real dan dasar$dasar 'ri"nme'ri.
C. Petunjuk Penggunaan Petunjuk Penggunaan Modul #. Perha'i-an Perha'i-an lan"-ah$lan"-ah lan"-ah$lan"-ah dalam se'ia( +n'h sehin""a mem(ermudah mem (ermudah dalam memahami -nse( 'rans/rmasi "eme'ri. 8. A(abila ada sal la'ihan, -era-anlah -era-anlah sal$sal 'ersebu' 'ersebu' seba"ai la'ihan un'u- (ersia(an e9aluasi. :. ;a&ablah 'es /rma'i/ den"an elas sesuai den"an -emam emam(u (uan an An Anda da.. ;i;i-a An Anda da masih masih ra"u ra"u$ra $ra"u "u den" den"an an a&aban 0an" Anda (erleh, Anda bisa meliha' -un+i a&aban /rma'i/ /rma'i/ 0an" sesuai. <. Kera-an era-an sal sal$sal $sal 0an" ada (ada e9aluasi.
D.Tujuan akir #. Menelas-an ar'i "eme'ri dari sua'u 'rans/rmasi bidan" 8. Mela-u-an (erasi berba"ai enis 'rans/rmasi) 'rans/rmasi) 'ranslasi re1e-si, dila'asi, dan r'asi. :. Menen'u-an Menen'u-an (ersamaan ma'ri-s dari 'rans/rm 'rans/rmasi asi (ada bidan". <. Menen'u-an a'uran 'rans/rmasi dari -m(sisi bebera(a 'rans/rmasi
=. Menen'u-an (ersamaan ma'ri-s dari -m(sisi 'rans/rmasi (ada bidan".
BAB II. PEMBELA!A"AN Km(e'ensi
) Men""una-an 'rans/rmasi "eme'ri 0an" da(a' din0a'a-an den"an ma'ri-s dalam (eme+ahan masalah. Sub Km(e'ensi ) #. Mende2nisi-an ar'i "eme'ri dari sua'u 'rans/rmasi di bidan" melalui (en"ama'an dan -aian (us'a-a 2. Menen'u-an hasil 'rans/rmasi "eme'ri dari sebuah 'i'i- dan ban"un 3. Menen'u-an (erasi alabar dari 'rans/rmasi "eme'ri dan men"ubahn0a -e dalam ben'u(ersamaan ma'ri-s. Tulislah semua enis -e"ia'an 0an" Anda la-u-an di dalam 'abel -e"ia'an di ba&ah ini. ;i-a ada (erubahan dari ren+ana semula, berilah alasann0a -emudian memin'a 'anda 'an"an -e(ada "uru a'au ins'ru-'ur Anda. ;enis Alasan Tanda'an"an Tan""al >a-'u Tem(a' Ke"ia'a !elaar (erubahan ?uru
B.#E$IATAN BELA!A" %. #egiatan Belajar % De&nisi Trans/rmasi meru(a-an (rses (er(indahan sua'u 'i'i- a'au "aris a'au bidan" menadi ba0an"an 'i'i- a'au "aris a'au bidan" 'ersebu'. ;enis$enis 'rans/rmasi ) %. "e'eksi (pen)er*inan+ ,. Translasi 5Per(indahan7 -. R'asi 5(er(u'aran7 . Dila'asi 5(erbesaran7
%. "E/LE#0I Re1e-si adalah (en+erminan.
Dalam "eme'ri bidan", seba"ai +ermin di"una-an a. Sumbu 3 b. Sumbu 0 +. 3 4 m d. 0 4 n e. 0 4 3
/. 0 4 $3 ". Ti'i- (usa' O56,67
a. Re1e-si 'erhada( sumbu 3 y P(x,y)
x
P’(x,-y)
!erdasar-an "ambar 'ersebu', i-a ba0an"an 'i'i- P53,07 adalah P@53@,0@7 ma-a P@53@, 0@7 4 P@53, $07 sehin""a dalam ben'u- ma'ri-s da(a' di'ulis seba"ai beri-u' ) 3@ 4 3 0@ 4 $0
= y' 0 −1 y
x' 1 0 x
1 0 ;adi adalah ma'ri-s (en+erminan 'erhada( sumbu 3. 0 1 − n'h ) #. Di-e'ahui se"i'i"a A! den"an -rdina' 'i'i- A(,12+1 B(213 4+ dan C(3-1%+. Ten'u-an -rdina' ba0an"an se"i'i"a ABC 'ersebu' bila di+ermin-an 'erhada( sumbu 3 a&ab ) Pen+erminan 'erhada( sumbu 3 P53,07 P@53, $07 A58,67 A@58,67 !56,$=7 !@ 56,=7 5$:,#7 @ 5$:,$#7 8. !a0an"an "aris -5 6 ,y 7 4 8 2 leh re1e-si 'erhada( sumbu 3 adalah ;a&ab ) leh (en+erminan 'erhada( sumbu 9 ma-a) 5: 8 5 5 8 5: y: 8 3y
y 8 3y:
5 8 5: dan y 8 3y:
disubs'i'usi -e -ur9a -5 6 ,y 7 4 8 2 di(erleh) -5: 6 ,(3y:+ 7 4 8 2 -5: 7 ,y: 7 4 8 2
;adi ba0an"ann0a adalah -5 7 ,y 7 4 8 2 b. Re1e-si 'erhada( sumbu 0 y P(-x,y)
P’(x,y)
x
!erdasar-an "ambar 'ersebu', i-a ba0an"an 'i'i- P53,07 adalah P@53@,0@7 ma-a P@53@,0@7 4 P@5$3,07, sehin""a dalam ben'u- ma'ri-s da(a' di'ulis seba"ai beri-u' ) 3@ 4 $3 0@ 4 0
− = y' 0 1 y
x' 1 0 x
− 1 0 adi 0 1 adalah ma'ri-s (en+erminan 'erhada( sumbu 0. n'h ) #. Ten'u-an ba0an"an -ur9a y 8 5, 6 5 leh (en+erminan 'erhada( sumbu ; . ;a&ab) leh (en+erminan 'erhada( sumbu ; ma-a) 5: 8 35 → 5 8 35: y: 8 y → y 8 y: 5 8 35: dan y 8 y: disubs'i'usi -e y 8 5, 6 5 di(erleh) y: 8 (35:+, 6 (35:+ y: 8 (5:+, 7 5:
;adi ba0an"ann0a adalah y 8 5, 7 5
+. Re1e-si 'erhada( "aris 3 4 m y
P’(2m-x,y) P(x,y) x
x=m
!erdasar-an "ambar 'ersebu', i-a ba0an"an 'i'i- P53,07 adalah P@53@,0@7 ma-a P@53@,0@7 4 P@58m$3,07. n'h ) #. Ten'u-an ba0an"an -ur9a y, 8 5 6 4 leh (en+erminan 'erhada( "aris 5 8 -. ;a&ab) leh (en+erminan 'erhada( "aris 5 8 ma-a) 5: 8 ,* 3 5 → 5 8 ,.- 3 5: 8 < 65: y: 8 y
→ y
8 y:
5 8 < 6 5: dan y 8 y: disubs'i'usi -e y, 8 5 3 4 di(erleh) (y:+, 8 (< 6 5:+ 6 4 (y:+, 8 % 6 5: ;adi ba0an"ann0a adalah y, 8 % 6 5
d. Re1e-si 'erhada( "aris 0 4 n y P(x,y) y=n
x=m
x P’(x,2n-y)
!erdasar-an "ambar dia'as, i-a ba0an"an 'i'i- P53,07 adalah P@53@,0@7 ma-a P@53@,0@7 4 P@53,8n$07. n'h ) #. Ten'u-an ba0an"an -ur9a 5, 7 y, 8 leh (en+erminan 'erhada( "aris y 8 3-. ;a&ab) leh (en+erminan 'erhada( "aris y 8 3 - ma-a) 5: 8 5 y: 8 ,n 3 y
(en+erminan 'erhada( "aris y 8 3 ma-a) 5: 8 5 5 8 5: y: 8 ,n 6 y y: 8 ,(3-+ 6 y y: 8 3 < 6 y y 8 3y: 6 < , , disubs'i'usi -e 5 7 y 8 (5:+, 7 (3y: 6 <+ , 8 (5:+, 7((3y:+, 7 %,y: 7 -<+ 6 8 2
;adi ba0an"ann0a) 9, 7 y, 7 %,y 7 -, 8 2
e. Re1e-si 'erhada( "aris 0 4 3 y y=x
P’(y,x)
P(x,y) x
!erdasar-an "ambar dia'as, i-a ba0an"an P53,07 adalah P@53@,0@7 ma-a P@53@,0@7 4 P@50,37, sehin""a dalam ben'uma'ri-s da(a' di'ulis seba"ai beri-u' ) 3@ 4 0 0@ 4 3
= y ' 1 0 y
x' 0 1 x
0 1 adi 1 0 adalah ma'ri-s (en+erminan 'erhada( "aris 0 4 3. n'h ) #. !a0an"an "aris ,5 6 y 7 4 8 2 0an" di+ermin-an 'ehada( "aris y 8 5 adalahB. Pembahasan) 0 1 Ma'ri-s 'rans/rmasi re1e-si 'erhada( y 8 5 adalah 1 0 Sehin""a 5: 8 y dan y: 8 5 disubs'i'usi -e ,5 6 y 7 4 8 2 di(erleh) ,y: 6 5 : 7 4 8 2
35: 7 ,y: 7 4 8 2 35: 7 ,y: 7 4 8 2 di-ali (3%+ → 5: 6 ,y: 6 4 8 2
;adi ba0an"ann0a adalah 5 6 ,y 7 4 8 2
/. Re1e-si 'erhada( "aris 0 4 $3 y = -x
y P(x,y)
x P(-y,-x)
!erdasar-an "ambar dia'as, i-a ba0an"an P53,07 adalah P@53@,0@7 ma-a P@53@,0@7 4 P@5$0,$37, sehin""a dalam ben'uma'ri-s da(a' di'ulis seba"ai beri-u' ) 3@ 4 $0 0@ 4 $3
− = y' −1 0 y
x' 0 1 x
0 − 1 ;adi adalah ma'ri-s (en+erminan 'erhada( "aris 0 4 − 1 0 $3. n'h ) #. !a0an"an (ersamaan lin"-aran 38 C 08 $ 0 C 4 6 0an" di+ermin-an 'erhada( "aris 0 4 $3 adalahB. ;a&ab ) 5: 8 3y dan y: 8 35 a'au y 8 35: dan 5 8 3y: Kemudian disubs'i'usi-an -e
5, 7 y, 6 =y 7 > 8 2 (3y:+, 7 (35+, 6 =(35+ 7 > 8 2 (y:+, 7 (5:+, 7 =5 7 > 8 2 (5:+, 7 (y:+, 7 =5 7 > 8 2
;adi ba0an"ann0a adalah 9, 7 y, 7 =5 7 > 8 2
Tugas %
#. Di-e'ahui 'i'i- A58, $#7, !5=, :7, dan 5$8, <7. Ten'u-an ba0an"an 'i'i- A, !, dan , i-a di+ermin-an 'erhada() a. sumbu 3 b. sumbu 0 +. "aris 3 4 8 d. "aris 0 4 $: e. "aris 0 4 3 /. "aris 0 4 $3 8. Di-e'ahui (ersamaan "aris 83 C :0 4 . Ten'u-an ba0an"an "aris 'ersebu' i-a di+ermin-an 'erhada( sumbu 0 :. Di-e'ahui (ersamaan lin"-aran 38 C 08 G 83 C <0 4 #. Ten'u-an ba0an"an lin"-aran i-a di+ermin-an 'erhada( "aris 0 4 3. ,.
T"AN0LA0I
adalah (er"eseran.
;i-a 'ranslasi T 4
a b
meme'a-an 'i'i- P53,07 -e PH53@,0@7
ma-a 3@ 4 3 C a dan 0@ 4 0 C b di'ulis dalam ben'u- ma'ri-)
x x a '
= + y y b '
n'h ) #. Di-e'ahui se"i'i"a OA! den"an -rdina' 'i'i- O56,67, A5:,67 dan !5:,=7. Ten'u-an -rdina' ba0an"an se"i'i"a OA! 'ersebu' bila
di'ranslasi leh T 4
1 3
a&ab )
T 1 3
→
'i'i- O 56,67
O@56C#, 6C:7 4 O@5#,:7
T 1 3
→
'i'i- A 5:,67
T 1 3
A@5:C#, 6C:7 4 A@5<,:7
→
'i'i- ! 5:,=7
!@ 5:C#, =C:7 4 !@5<,7
8. !a0an"an (ersamaan lin"-aran 38 C 08 4 8= leh 'ranslasi
T4
−1 3
adalahB.
;a&ab ) Karena 'ranslasi T 4
−1 3
ma-a
5: 8 5 6 % → 5 8 5: 7 %.?.(%+ y: 8 y 7 - → y 8 y: 6 -?..(,+ 5#7 dan 587 di subs'i'usi -e 5, 7 y, 8 ,4 di(erleh (5: 7 %+, 7 (y: 6 -+ , 8 ,4@
;adi ba0an"ann0a adalah) (5 7 %+, 7 (y 6 -+ , 8 ,4 Tugas ,
#. Di-e'ahui 'i'i- A5$:,87, !58,$=7, dan 5=,<7. Ten'u-an
ba0an"an 'i'i- A, !, i-a di'ranslasi leh T 4
−2 4
8. Di-e'ahui (ersamaan "aris 3 G 80 C < 4 6. Ten'u-an
ba0an"an "aris 'ersebu' i-a di'ranslasi leh T 4
-.
2 3 .
"TA0I
adalah (er(u'aran. R'asi di'en'u-an leh (usa' r'asi dan besar sudu' r'asi. Rotasi Pusat O(0,0) Ti'i- P(51y+ dir'asi sebesar berla&anan arah arum am den"an (usa' (212+ dan di(erleh ba0an"an P:(5:1y:+ ma-a) 5: 8 5)os 3 ysin y: 8 5sin 7 y)os Jika sudut putar = ½π 5r'asin0a dilamban"-an den"an "7 ma-a 5: 8 3 y dan y: 8 5
dalam ben'u- ma'ri-s)
− = y' 1 0 y
x' 0 1 x
0 − 1 ;adi " 4 1 0 n'h ) #. Persamaan ba0an"an "aris 5 7 y 8 < se'elah dir'asi-an (ada (an"-al -rdina' den"an sudu' (u'aran 722, adalahB. ;a&ab ) "722 berar'i) 5: 8 3y → y 8 35: y: 8 5 → 5 8 y: disubs'i'usi -e) 57y8< y: 7 (35:+ 8 < y: 6 5: 8 < → 5: 6 y: 8 3< ;adi ba0an"ann0a) 5 6 y 8 3<
8. Persamaan ba0an"an "aris ,5 3 y 7 < 8 2 se'elah dir'asi-an (ada (an"-al -rdina' den"an sudu' (u'aran 322 , adalah ..
;a&ab ) "322 berar'i) 5: y: 5: y:
8 8 8 8
5)os(32+ 6 ysin(32+ 5sin(32+ 7 y)os(32+ 2 6 y(3%+ 8 y 5(3%+ 7 2 8 35: x' 0
= a'au den"an ma'ri-s) y ' − 1 "322 berar'i) 5: 8 y → y 8 5:
x y 0
1
y: 8 35 → 5 8 3y: ,5 3 y 7 < 8 2 disubs'i'usi -e) ,(3y:+ 3 5: 7 < 8 2 3,y: 6 5: 7 < 8 2 5: 7 ,y: 6 < 8 2 ;adi ba0an"ann0a) 5 7 ,y 6 < 8 2 Jika sudut putar α = π 5r'asin0a dilamban"-an den"an 7 ma-a 5: 8 3 5 dan y: 8 3y
dalam ben'u- ma'ri-s) x ' − 1 0 x = − 1 y y ' 0
− 1 0 ;adi 4 0 − 1
n'h ) #. Persamaan ba0an"an (arabla y 8 -5, 6 <5 7 % se'elah dir'asi-an (ada (an"-al -rdina' den"an sudu' (u'aran 7%=2o, adalah .............. ;a&ab ) H berar'i) 5: 8 35 → 5 8 35: y: 8 3y → y 8 3y: disubs'i'usi -e) y 8 -5, 6 <5 7 % 3y:8 -(35:+, 6 <(35:+ 7 % 3y: 8 -(5:+, 7 <5 7 % 5di-ali 3%7
;adi ba0an"ann0a) y 8 3-5, 6 <5 3 % Tugas #.
8.
Ten'u-an ba0an"an (ersamaan "aris 83 C :0 4 leh r'asi (ada (usa' O sebesar CJ6 6 Ten'u-an ba0an"an (ersamaan lin"-aran 53$878 C 50$:78 4 < leh r'asi (ada O sebesar C#66
. DILATA0I
Adalah sua'u 'rans/rmasi 0an" men"ubah u-uran 5mem(erbesar a'au mem(er-e+il7 sua'u ban"un 'e'a(i 'ida- men"ubah ben'u- ban"unn0a. Dilatasi Pusat (212+ dan aktor skala k
;i-a 'i'i- P53,07 didila'asi 'erhada( (usa' O56,67 dan /a-'r s-ala k dida(a' ba0an"an P@53@,0@7 ma-a 3@ 4 k 3 dan 0@ 4 k 0 dan dilamban"-an den"an O,k . n'h ) ?aris ,5 6 -y 8 < mem'n" sumbu 9 di A dan mem'n" sumbu 0 di !. Karena dila'asi F13,G1 'i'i- A menadi A@ dan 'i'i- ! menadi !@. i'un"lah luas se"i'i"a A:B: ;a&ab ) "aris ,5 6 -y 8 < mem'n" sumbu X di A(-12+ mem'n" sumbu di B(21,+ -arena dila'asi F13,G ma-a A:(k 51k y+→ A:(3<12+ dan B:(k 51k y+ → B:(213+ Ti'i- A:(3<12+1 B:(213+ dan 'i'i- (212+ memben'u- se"i'i"a
se(er'i (ada "ambar) y B
4
A
x
-6
Sehin""a luasn0a 4 3 OA@ 3 O!@ 433< 4 #8 Dilatasi Pusat P(a1+ dan aktor skala k
ba0an"ann0a adalah 5: 8 k( 5 6 a+ 7 a dan y: 8 k( y 6 + 7 dilamban"-an den"an FP(a1+ 1 k G
n'h ) Ti'i- A(341%-+ didila'asi-an leh FP1⅔G men"hasil-an A:. ;i-a -rdina' 'i'i- P(%13,+1 ma-a -rdina' 'i'i- A: adalahB. ;a&ab ) F P(a1+1kG A(51y+
A:(5:1y:+ 5: 8 k (5 6 a+ 7 a y: 8 k (y 6 + 7
F P(%13,+1 2 G 3
A(341%-+
A:(5: y:+ 5: 8 y:8
⅔(34
6 %+ 7 % 8 3⅔(%- 6 (3,++ 7 (3,+ 8 =
;adi -rdina' 'i'i- A@5$:,7 Tugas
#. Di-e'ahui 'i'i- A58, :7, !5$<, =7, dan 5$:,$=7. Ten'u-an ba0an"an 'i'i- A, ! dan i-a didila'asi O, $8 8. Ten'u-an ba0an"an 'i'i- A5$:,<7 leh dila'asi den"an (usa' 58,:7 dan /a-a'r s-ala $#*8 ,. #egiatan Belajar , #o*posisi Transor*asi
!ila T# adalah sua'u 'rans/rmasi dari 'i'i- A53,07 -e 'i'i- A@53@,0@7 dilanu'-an den"an 'rans/rmasi T8 adalah 'rans/rmasi dari 'i'iA@53@,0@7 -e 'i'i- A53,07 ma-a dua transformasi berturut-turut 'sb disebu' Komposisi Transformasi dan di'ulis T8 T#. #o*posisi Transor*asi dengan *atriks
a b !ila T# din0a'a-an den"an ma'ri-s dan T8 den"an ma'ri-s c d
p r
q
ma-a dua transformasi berturut-turut mula$mula T#
s
p
dilanu'-an den"an T8 di'ulis T8 T# 4
r
q a
b
s c
d
n'h ) %. Ma'ri-s 0an" bersesuaian den"an dila'asi den"an (usa' 56,67 dan /a-'r s-ala : dilanu'-an den"an re1e-si 'erhada( "aris 0 4 3 adalahB ;a&ab )
3 0
M#4 Ma'ri- dila'asi s-ala : adalah
3 0
0
M8 4 Ma'ri- re1e-si 'erhada( 0 4 3 adalah 1
0
1
Ma'ri-s 0an" bersesuaian den"an M# dilanu'-an M8
0 di'ulis M8 M# 4 1
3 0 0
1
0
0 4 3 3
0
0 3
0 3
;adi ma'ri-n0a adalah 3
,. !a0an"an se"i'i"a A!, den"an A 58,#7, ! 5,#7, 5=,:7 -arena
re1e-si 'erhada( sumbu dilanu'-an r'asi (o, π ) adalahB ;a&ab ) Re1e-si sb ) 53,07 sb 5$3, 07 o π R'asi π ) 53,07 5$3,$07 ,
A58,#7
sb
A@5$8,#7
!5,#7
sb
!@5$,#7
5=,:7
sb
@5$=,:7
o, π
o, π
o, π
A58,$#7 !5,$#7
5=,$:7
Tugas 4
#. Ten'u-an Luas ba0an"an (erse"i (anan" PRS den"an P5$#,87, 5:,87, R5:,$#7, S5$#,$#7 -arena dila'asi O,: dilanu'-an r'asi (usa' 6 bersudu' Q adalahB 8. T# adalah 'rans/rmasi 0an" bersesuaian den"an ma'ri-
1 − 1 dan T8 adalah 'rans/rmasi 0an" bersesuaian den"an − 1 2 3 2 ma'ri- !a0an"an 'i'i- A5m,n7 leh 'rans/rmasi T# 2 1 dilanu'-an T8 adalah A@5$J,7.
Ten'u-an nilai m $ 2n
BAB III. EALUA0I #. Ten'u-an ba0an"an "aris :3 C 80 G : 4 6 di'ranslasi-an leh T
4
1 2
8. Ten'u-an ba0an"an lin"-aran 38 C 08 G <3 G 4 6
di'ranslasi-an leh T8 4
2 −3
dilanu'-an leh T# 4
−1 −1
:. Di-e'ahui 'i'i- A5#,87, !5:,<7, dan 5=,7. Ten'u-an ba0an"an se"i'i"a A! i-a di+ermin-an 'erhad( sumbu 0 <. Ten'u-an ba0an"an lin"-aran 38 C 08 $83 C <0 G : 4 6 i-a di+ermin-an 'erhada( "aris 0 4 3 =. Ten'u-an ba0an"an 'i'i- P5:, $<7 dir'asi J66 berla&anan den"an arah arum am den"an (usa' (u'ar O56,67 . Ten'u-an ba0an"an "aris 3 G 0 C : 4 6 i-a dir'asi C66 den"an (usa' (u'ar O56,67 1 4
. Ten'u-an ba0an"an 'i'i- R5$8,<7 didila'asi-an leh [O, ] . Ten'u-an ba0an"an "aris :3 G =0 C #= 4 6 0an" didila'asi-an leh O,=.
J. Ten'u-an (ersamaan ba0an"an dari "aris :3 G 0 C 8 4 6 leh re1e-si 'rhada( "aris 043 dilanu'-an den"an r'asi J66 'erhada( (usa' (u'ar O. #6. Ti'i- P53,07 dire1e-si-an 'erhada( 0 4 3 men"hasil-an ba0an"an 'i'i- . Kemudian di(u'ar J66 den"an 'i'i- (usa' O, sehin""a ba0an"an a-hirn0a adalah R5#,$87. Ten'u-an -rdina' 'i'i- P dan .
BAB I. PENUTUP Se'elah men0elesai-an mdul ini, anda berha- un'u- men"i-u'i 'es un'u- en"ui -m(e'ensi 0an" 'elah anda (elaari. A(abila anda din0a'a-an memenuhi s0ara' -e'un'asan dari hasil e9aluasi dalam mdul ini, ma-a anda berha- un'u- melanu'-an -e '(i-*mdul beri-u'n0a.
DA/TA" PU0TA#A M?MP Ma'ema'i-a K'a Semaran", 866. Mate*atika 0MAJMA #elas 9II Progra* Il*u Pengetauan Ala*1 Semaran" ) PT Mas+m ?ra(h0, Semaran". Sar'n >irdi-rm, #JJ<. Mate*atika Untuk 0MU #elas -1 Progra* IPA1 Catur Kulan ,1 Penerbi' Erlan""a.
