KELAS XI
PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN
JUMROTUN SMAN 5 SURAKARTA SEMESTER I
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA KURIKULUM 2013
DI SUSUN OLEH : JUMROTUN S.Pd NIP 197108041998022004
SMA NEGERI 5 SURAKARTA
1
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
HALAMAN PENGESAHAN
Modul Sistem Peredaran Darah berbasis model discovery learning telah digunakan peserta didik kelas XI semester 1 SMA Negeri 5 Surakarta dan MGMP Matematika Surakarta pada tanggal
2016
Pustakawan
Penyusun
Jumrotun,S.Pd NIP
NIP : 197108041998022004 Ketua MGMP Matematika
NIP
Mengetahui
Mengetahui
Kepala Dinas Dispora
Kepala SMA Negeri 5 Surakarta
Kota Surakarta
Etty Retnowati, SH,MH
Drs Yusmar Setyobudi , MM , M.Pd
Pembina Utama Muda
Pembina Tingkat I
NIP 19620211 198612 2 001
NIP. 19630309 198903 1 014
2
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan berkah dan karunianya sehingga penulis dapat menyelesaikan Modul Pembelajaran Matematika Kurikulum 2013 yang secaraa khusus digunakan untuk SMA kelas XI MIPA Semester I ini dengan lancar tanpa suatu kendala yang berarti. Modul ini disusun agar dapat dimanfaatkan sebagai sarana belajar mandiri bagi siswa, dan bagi guru dapat digunakan untuk pemberian tugas mandiri tersetruktur. Untuk mencapai hasil yang maksimal diperlukan pemahaman dan penerapan modul ini sesuai dengan petunjuk yang disarankan dalam modul ini. Kritik dan saran guna penyempurnaan modul ini tetap kami terima untuk meningkatkan kualitas dari modul. Akhirnya semoga Modul Pembelajaran Matematika Kurikulum 2013 ini dapat sebagai pelengkap sumber belajar bagi siswa dan guru dan secara umum dapat meningkatkan kualitas pembelajaran Matematika.
Surakarta, Penyusun
3
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Oktober 2016
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN PENGESAHAN
2
KATA PENGANTAR
3
DAFTAR ISI
4
BAB I
PENDAHULUAN A. Petunjuk Penggunaan Modul
BAB II
10
POLINOMIAL
11
PETA KONSEP
11
A. Pendahuluan
12
1. Deskripsi
12
2. Prasyarat
12
3. Tujuan Modul
12
4. Cek Kemampuan B. Pembelajaran
12 13
B.1 Rencana Belajar Siswa
13
B.2 Kegiatan Belajar
14
1. Kegiatan Belajar -1
a. Tujuan Pembelajaran
14 14
b. Uraian Materi
14
c. Rangkuman
17
d. Tes Formatif-1
17
e. Kunci Test Formatif 2. Kegiatan Belajar -2 a.
4
10
Tujuan Pembelajaran
17 17 17
b. Uraian Materi
17
c. Rangkuman
21
d. Tes Formatif-2
21
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
e. Kunci Test Formatif 3. Kegiatan Belajar -3
21
a. Tujuan Pembelajaran
21
b. Uraian Materi
21
c. Rangkuman
26
d. Tes Formatif-3
27
e. Kunci Test Formatif
27
4. Kegiatan Belajar -4
a.
Tujuan Pembelajaran
27 27
b. Uraian Materi
27
c. Rangkuman
30
d. Tes Formatif-4
31
e. Kunci Test Formatif
31
C. Evaluasi
31
IRISAN KERUCUT
33
PETA KONSEP
33
RENCANA BELAJAR SISWA
34
PARABOLA
37
A. Pendahuluan
37
1. Deskripsi
37
2. Prasyarat
37
3. Tujuan Modul
37
4. Cek Kemampuan
37
BAB III
III.1
B. Pembelajaran 1. Kegiatan Belajar -1
37 37
a. Tujuan Pembelajaran b. Uraian Materi
37 37
c. Rangkuman
39
d. Tes Formatif-1
40
e. Kunci Test Formatif
41
2. Kegiatan Belajar -2 5
21
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
41
Semester I
a.
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Tujuan Pembelajaran
b. Uraian Materi
41
c. Rangkuman
43
d. Tes Formatif-2
43
e. Kunci Test Formatif
43
C. Evaluasi
43
ELLIPS
45
A. Pendahuluan
45
1. Deskripsi
45
2. Prasyarat
45
3. Tujuan Modul
45
4. Cek Kemampuan
45
III.2
B. Pembelajaran 1. Kegiatan Belajar -1
46 46
a. Tujuan Pembelajaran
46
b. Uraian Materi
46
c. Rangkuman d. Tes Formatif-1
49 49
e. Kunci Test Formatif
49
2. Kegiatan Belajar -2
a.
Tujuan Pembelajaran
50 50
b. Uraian Materi
50
c. Rangkuman
52
d. Tes Formatif-2
52
e. Kunci Test Formatif
52
3. Kegiatan Belajar -3
53
a. Tujuan Pembelajaran
53
b. Uraian Materi
53
c. Rangkuman
58
d. Tes Formatif-3
59
e. Kunci Test Formatif
59
4. Kegiatan Belajar -4
a. Tujuan Pembelajaran 6
41
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
59 59
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
b. Uraian Materi
59
c. Rangkuman
60
d. Tes Formatif-4
61
e. Kunci Test Formatif
61
C. Evaluasi III.3
HYPERBOLA
63
A. Pendahuluan
63
1. Deskripsi
63
2. Prasyarat
63
3. Tujuan Modul
63
4. Cek Kemampuan
63
B. Pembelajaran 1. Kegiatan Belajar -1
63 63
a. Tujuan Pembelajaran
63
b. Uraian Materi
64
c. Rangkuman
67
d. Tes Formatif-1 e. Kunci Test Formatif
68 68
2. Kegiatan Belajar -2
a. Tujuan Pembelajaran
68 68
b. Uraian Materi
68
c. Rangkuman
72
d. Tes Formatif-2
72
e. Kunci Test Formatif
73
3. Kegiatan Belajar -3
73
a. Tujuan Pembelajaran
73
b. Uraian Materi
73
c. Rangkuman
79
d. Tes Formatif-3
79
e. Kunci Test Formatif
79
4. Kegiatan Belajar -4
7
61
80
a. Tujuan Pembelajaran
80
b. Uraian Materi
80
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
c. Rangkuman
81
d. Tes Formatif-4
81
e. Kunci Test Formatif
81
C. Evaluasi BAB IV
LINGKARAN
83
PETA KONSEP
83
A. Pendahuluan
84
1. Deskripsi
84
2. Prasyarat
84
3. Tujuan Modul
84
4. Cek Kemampuan
84
B. Pembelajaran
85
B.1 Rencana Belajar Siswa
85
B.2 Kegiatan Belajar
86
1. Kegiatan Belajar -1
86
a. Tujuan Pembelajaran
86
b. Uraian Materi
86
c. Rangkuman
87
d. Tes Formatif-1
88
e. Kunci Test Formatif
88
2. Kegiatan Belajar -2
88
a. Tujuan Pembelajaran
88
b. Uraian Materi
88
c. Rangkuman
89
d. Tes Formatif-2
89
e. Kunci Test Formatif
90
3. Kegiatan Belajar -3
a. Tujuan Pembelajaran
8
81
90 90
b. Uraian Materi
90
c. Rangkuman
91
d. Tes Formatif-3
92
e. Kunci Test Formatif
92
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
4. Kegiatan Belajar -4
92
a. Tujuan Pembelajaran
92
b. Uraian Materi
92
c. Rangkuman
93
d. Tes Formatif-4
93
e. Kunci Test Formatif
94
C. Evaluasi
94
DAFTAR PUSTAKA
96
LAMPIRAN
97
KUNCI JAWABAN
97
SILABUS
101
9
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
BAB I. PENDAHULUAN
A. Petunjuk Penggunaan Modul
1.
Ikutilah modul ini secara urut mulai dari bagian satu ke bagian berikutnya (jangan
meloncat) karena bagian awal merupakan prasarat untuk bagian berikutnya. 2. Pahami setiap materi yang akan menunjang penguasaan Anda dengan membaca secara teliti. 3. Kerjakan tes formatif dan evaluasi sebagai sarana latihan Anda. 4. Jawablah tes formatif dengan jawaban singkat dan jelas, serta kerjakan sesuai dengan kemampuan Anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan tugas tersebut dengan baik dan jika dirasa perlu konsultasikan dengan guru. 6. Catatlah kesulitan yang Anda temui dalam modul ini dan tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka.
10
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
BAB II. POLONOMIAL
PETA KONSEP
PENGERTIAN POLINOMIAL PENGERTIAN DAN NILAI
METODE NILAI POLINOMIAL
PENJUMLAHAN OPERASI ALJABAR PADA POLINOMIAL
PENGURANGAN
PERKALIAN
POLINOMIAL
PEMBAGIAN
TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR
MENENTUKAN AKAR-AKAR
AKAR-AKAR PERSAMAAN
JUMLAH AKAR-
POLINOMIAL
AKAR
HASIL KALI AKAR-AKAR
11
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
METODE PEMBAGIAN SINTETIK
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
A. Pendahuluan
1. Deskripsi Banyak sekali permasalahan sehari-hari yang melibatkan konsep polinomial contohnya dalah penerbangan pesawat. Semakin maraknya jatuhnya pesawat di indonesia ini sebenarnya disebabkan oleh beberapa faktor yang mungkin bisa mempengaruhi terbangnya pesawat dan karena beberapa faktor itulah pesawat dapat jatuh. Beberapa faktor tersebut seperti kesalahan pilot, mesin pesawat, body yang tidak layak, cuaca, dan lain-lain. Dengan masalah seperti itu maka diperlukan inisiatif yaitu untuk menerapkan suku banyak sebagai faktor-faktor tersebut jika faktor itu kita beri nama suku x1, x2, x3, …., xn maka terdapat banyak suku dalam satu kesatuan. Oleh sebab itu maka penerapan suku banyak sangat diperlukan dalam penerbangan pesawat terbang. 2. Prasyarat Untuk mempelajari materi polinomial perlu diingat kembali operasi pada aljabar yang meliputi penjumlahan,pengurangn,perkalian dan pembagian serta pemfaktoran aljabar serta materi persamaan dan fungsi kuadrat. 3. Tujuan Modul Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat : 1) Memahami definisi dari polinomial 2) Menentukan nilai polinomial 3) Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial 4) Menggunakan
teorema
faktor
dan
teorema
sisa
untuk
menyelesaikan
permasalahan terkait hasil bagi,sisa dan faktor dari polinomial. 5) Memahami sifat-sifat akar-akar polinomial. 6) Menentukan akar-akar polinomial 4. Cek Kemampuan Kerjakan soal-soal berikut ! 1) Tentukan koefisien-koefisien dan konstanta dari persamaan-persamaan berikut : a) b)
2) Carilah akar-akar dari persamaan-persamaan berikut : a) b)
12
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
c)
3) Tentukan nilai dari a) b)
dari fungsi-fungsi berikut :
B. Pembelajaran
B.1. Rencana Belajar Siswa I.
Kompetensi Inti KI1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong
royong,kerja sama,toleran,damai), santun, responsif dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual,
prosedural
berdasarkan
rasa
ingintahunya
tentang
ilmu
pengetahuan,
teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan II. Kompetensi Dasar 3.1 Mendeskripsikan konsep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial
dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika. 3.2 Mendeskripsikan aturan perkalian dan pembagian polinomial dan menerapkan
teorema sisa dan dan pemfaktoran polinomial dalam menyelesaikan masalah matematika 4.1 Memecahan masalah nyata menggunakan konsep teorema sisa dan faktorisasi
dalam polinomial. 4.2 Memecahkan masalah nyata dengan model persamaan kubik dengan menerapkan
aturan dan sifat pada polinomial.
13
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Indikator : 1. Pertemuan Pertama
Siswa dapat mendefinisikan polinomial. Siswa dapat menentukan nilai polinomial untuk suatu nilai x . 2. Pertemuan Kedua
Siswa dapat menggunakan operasi alajabar untuk melakukan operasi polinomial. 3. Pertemuan Ketiga
Siswa dapat menggunakan teorema sisa untuk menentukan sisa pembagian polinomial. Siswa dapat menggunakan teorema faktor untuk menentukan faktor dari suatu polinomial. 4. Pertemuan Keempat
Siswa dapat menerapkan konsep matriks untuk menyelesaikan permasalahan sederhana. B.2. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar -1
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat mendefinisikan polinomial. 2) Siswa dapat menentukan nilai polinomial untuk suatu nilai x . b. Uraian Materi A. Definisi
Sukubanyak berderajat n dengan n bilangan cacah dirumuskan sebagai berikut :
Keterangan :
x
: peubah atau variabel
: suku-suku pada polinom
: suku tetap (konstanta)
; koefisien dari
Contoh 1 3 2 Diketahui polinom : 5x + 2x + 6x – 15. Tentukan :
14
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
a. Derajat suku banyak b. Koefisien dari setiap suku c. Suku tetapnya Jawab 3 2 Polinom : : 5x + 2x + 6x – 15 a. Derajat suku banyaknya adalah 3, karena pangkat tertinggi dari suku banyak tersebut adalah 3. b. Koefisien dari : 3 x adalah 5 2 x adalah 2 x adalah 6 c. Suku tetapnya adalah -15 B. Nilai Polinomial Suatu polinomial dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi, yaitu :
Jika
polinomial
dengan
dinyatakan
, maka nilai polinomial itu untuk
mensubsitusikan
sehingga
pada
dapat diperoleh dengan
yaitu :
adalah nilai polinomial dari polinomial tersebut untuk
.
Contoh 2
2
Hitunglah nilai suku banyak dari Jawab : unutk
= 3x + 7x + 1, untuk
Selain menggunakan metode subsitusi nilai polinomial juga bisa dilakukan dengan menggunakan pembagian Horner atau metode sintetik Misalkan
dan akan dihitung nilai untuk
.
Langkah-langkah pembagian Horner untuk menentukan f(h) adalah sebagai berikut : 1) Kalikan a dengan h dan tambahkanlah b sehingga diperoleh ah+b. 2) Kalikan ah+b dengan h dan tambahkanlah c sehingga diperoleh 3) Kalikan diperoleh
.
dengan h dan tambahkanlah dengan d sehingga .
Skema berikut menggambarkan langkah-langkah diatas.
15
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
a
b
c
ah
a
d
: artinya kalikan dengan h.
+
Jadi ,dengan menggunakan pembagian horner diperoleh
Contoh 3
Hitunglah
jika
!
Jawab :
berarti
1
0
-1
-5
4
1
+
4
Jadi,
.
C. Operasi pada Polinomial 1) Penjumlahan Polinomial
Penjumlahan pada suku banyak dapat dilakukan jika sejenis, artinya variabelnya sama dan pangkat variablenya sama, seperti yang dilakukan pada operasi penjumlahan di aljabar. Contoh 1 3
2
2
3
3
2
(x + 4x + 3x + 2) + (8 – x – x – 2x ) = –x + 5x + 2x + 10 2) Pengurangan Polinomial Penjumlahan pada suku banyak dapat dilakukan jika sejenis, artinya variablenya
sama
dan
pangkat
variablenya
sama.
Perlu
dilakukan
pengelompokkan terlebih dahulu suku-suku yang sejenis. Contoh 2
(2x4 + 3x3 – 2x2 + 1) – (x4 – 2x2 – 3x + 3) = x 4 + 3x3 + 3x – 2 3) Perkalian Polinomial Untuk mengalikan dua suku banyak atau lebih, kita dapat menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan pada operasi aljabar, kemudian kita sederhanakan.
16
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Contoh 3 2
2
2
(x – 2) (4x + 4x +1) = x(4x + 4x +1) – 2(4x + 4x +1) 3
2
= 4x – 4x – 7x – 2 Untuk pembagian pada polinomial akan dibahas lebih lanjut dipembelajaran berikutnya. c. Rangkuman
Bentuk umum polinomial dalam variabel x daan berderajat n adalah :
Jika polinomial dengan
dinyatakan
, maka nilai polinomial itu untuk
adalah
Operasi Polinomial 1) Penjumlahan 2) Pengurangan 3) Perkalian
d. Tes Formatif-1 1) Tentukan derajat dan suku tetap dari setiap polinomial berikut : a) b)
2) Diketahui nilai koefisien x dan nilai a !
3) Jika suku tetap dari e. Kunci Test Formatif
dari
adalah sama. Tentukan
adalah 18, tentukan nilai m !
1) (a) derajat=4 dan suku tetap=-4 (b) derajat=3 dan suku tetap=9 2) 3)
√
2. Kegiatan Belajar -2
a.
Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian polinomial.
b. Uraian Materi A. Pembagian Polinomial
17
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Kalian telah mempelajari pembagian bilangan bulat ketika kalian masih di jenjang pendidikan Sekolah Dasar. Jika 35 dibagi 3, maka hasil baginya adalah 11 dan mempunyai sisa 2. Demikian pula dengan polinomial, jika polinomial
dibagi dengan
serta sisa pembagian S(x). Suatu
polinomial
maka hasil baginya adalah suatu polinomial
mempunyai derajat sebesar n. Bagaimanakah cara kamu mennetukan derajat dari hasil bagi polinomial P(x) dengan suatu pembagi tertentu ? Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suatu pembagian polinomial dapat dilakukan dengan dua cara yaitu 1. Cara Pembagian Bersusun Contoh 1
Misalkan polinomial
dibagi (x+1). Tentukan
hasil bagi dan sisa pembagian tersebut ! Jawab : Jadi, hasil bagi
2. Cara Horner atau Metode Sintetik
a) Pembagian dengan Jika polinomial
dibagi dengan
dan memberikan hasil bagi
serta sisa pembagian S, maka hubungan antara
adalah
.
Derajat dari
= derajat
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika !
Jawab : Dari pembaginnya yaitu
dan S
–1
Contoh 4
, maka diperoleh
dibagi dengan
yang berarti
,
sehingga pembagian polinomial dengan Horner seperti pada skema berikut 7 1 -4
Karena 18
1 berderajat 2 maka Derajat dari
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
+
+
2
-4
-2
3
sisa
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Artinya
Sedangkan , melalui cara pembagian bersusun diperoleh sebagai berikut :
Jadi,hasil baginya adalah
dan sisa pembagiannya adalah 3.
b) Pembagian dengan Bentuk
dapat diubah menjadi
Apabila polinomial
.
dibagi dengan
dan memberikan hasil bagi
serta sisa pembagian S, maka hubungan antara
adalah
dan S
.
Akibatnya
=>
Dengan demikian, pembagian polinomial hasil bagi Contoh 1
oleh
dan sisa pembagian S .
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika dengan Jawab :
memberikan
!
Karena pembagi berbentuk Dengan cara panjang
maka diperoleh
, sehingga has
Dengan cara pembagian Horner
Hasil bagi=
=
19
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dibagi
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Jadi, hasil baginya adalah c) Pembagian dengan Apabila polinomial
dan sisa pembagiannya adalah 3.
dibagi oleh
, maka hasil bagi
dan sisa pembagian polinomial itu dapat pula dengan cara pembagian bersusun panjang dan metode pembagian Horner. Contoh 2
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika dengan Jawab :
!
dibagi
Akan diselesaikan soal diatas menggunakan metode Horner, dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1.
(catatan : jika a=1 maka tidak perlu dibagi a) 2.
3. Dari bentuk terakhir diperoleh koefisien x adalah
dan suku tetap
Sehingga dari permasalahan diatas diperoleh
Sehingga diperoleh koefisien
adalah 2 dan suku tetap nya dalah 3. Untuk
menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan menggunakan horner perhatikan pembagian horner berikut :
1
0
-2
-13
-19
*
*
3
6
15
*
2
4
10
*
1
2
5
3
4
: ikuti arah panah untuk meletakkan hasil kali seperti pada horner biasa.
Dari horner diatas diperoleh hasil baginya adalah adalah
.
Perhatikan pembagi
Sehingga diperoleh koefisien 20
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan sisanya
=>
adalah 2 dan suku tetap nya dalah 3.
(+)
sisa
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
c. Rangkuman
Pada operasi pembagian polinomial berlaku
Jika polinomial
dibagi dengan
pembagian
Apabila
memberikan hasil bagi
, maka diperoleh hubungan :
berderajat n dan
dan sisa
berderajat m, maka hasil bagi
berderajat n-m dan sisa pembagian maksimum berderajat m-1.
d. Tes Formatif-2 1) Tentukan hasil bagi dan sisa untuk setiap pembagian berikut. Pilih metode yang paling tepat menurut Anda.
a) b) c) d)
e. Kunci Test Formatif
1) (a) hasil bagi = 5, sisa=-3 (b)hasil bagi=
, sisa=0
(c) hasil bagi =
(d) hasil bagi =
, sisa =
, sisa =
3. Kegiatan Belajar -3
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menggunakan teorema sisa untuk menentukan sisa pembagian polinomial. 2) Siswa dapat menggunakan teorema faktor untuk menentukan faktor dari suatu polinomial. b. Uraian Materi A. Teorema Sisa Teorema Sisa 1
Jika polinomial Bukti : Jika polinomial
21
dibagi
maka sisanya adalah
dibagi
akan dibuktikan sisanya adalah
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
– – – – – – – – Misalkan
dibagi
hubungan
,
mengahasilkan hasil bagi
,
dan sisa S maka
dan S adalah
...(1)
Dengan mensubsitusikan x=h pada persamaan (1) diperoleh
Sehingga ketika Jadi, jika
dibagi
dibagi
memberikan sisa
maka sisanya adalah
.
.
Contoh 1
Tentukan sisa suku banyak ! Jawab : Dengan
menggunakan
jika dibagi
teorema
sisa
maka
sisa
dari
dibagi (x + 4) adalah
Jadi, sisa suku banyak
dibagi
adalah
169.
Teorema Sisa 2
Jika polinomial
maka sisanya adalah
dibagi
akan dibuktikan sisanya adalah
Bukti :
Jika polinomial Misalkan
hubungan
dibagi
dibagi
mengahasilkan hasil bagi
,
dan S(x) adalah
...(1)
Dengan mensubsitusikan x=h pada persamaan (1) diperoleh
22
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan sisa S maka
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Sehingga ketika Jadi, jika
dibagi
Contoh 2
dibagi
memberikan sisa
.
– – maka sisanya adalah
Tentukan sisa suku banyak ! Jawab :
.
jika dibagi
– – – – – – Dengan
menggunakan
teorema
dibagi (
sisa
maka
sisa
dari
adalah
Jadi, sisa suku banyak
dibagi (
adalah (-5)
Teorema Sisa 3
Jika
polinomial
dibagi
maka
sisanya
adalah
dengan
dan
(catatan: teorema sisa untuk pembagian kuadrat hanya dapat digunakan untuk
pembagi kuadrat yang dapat difaktorkan) Bukti :
Jika polinomial
Misalkan
dibagi
akan dibuktikan sisanya adalah
dengan
dan
dibagi
mengahasilkan hasil bagi
maka hubungan
Karena
,
dibagi
dan S(x) adalah
dan sisa S
yang berderajat 2 maka sisanya maksimum
akan berderajat 1 atau berbentuk linier sehingga S(x) dapat dinyatakan dalam , akibatnya diperoleh
...(1)
Dengan mensubsitusikan
23
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
pada persamaan (1) diperoleh
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
– – – – – – – – (2)
Dengan mensubsitusikan
pada persamaan (1) diperoleh
(3)
Sehingga ketika
dibagi
dengan
dan
Jadi, jika
memberikan sisa
dibagi
dengan
maka sisanya adalah
dan
.
Contoh 3
Tentukan sisa suku banyak ( ! Jawab : Dengan
menggunakan
jika dibagi
teorema
sisa
dibagi (
dengan
maka
sisa
dari
adalah
dan
Perhatikan bahwa untuk
(1)
(2)
Dengan menggunakan metode eliminasi sistem persamaan (1) dan (2) diperoleh
24
sehingga
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Jadi,
sisa
suku
(
– –
banyak
adalah
B. Teorema Faktor
merupakan faktor dari
Bukti : Akan dibuktikan
dibagi
.
Teorema Faktor
jika
jika hanya jika
merupakan faktor dari
.
jika hanya jika
artinya akan dibuktikan i.
merupakan faktor dari
ii. i.
maka
merupakan faktor dari
akan dibuktikan
merupakan faktor dari
artinya
Sehingga untuk
ii.
maka
merupakan faktor dari
Jadi, jika
dapat dinyatakan dalam
diperoleh
merupakan faktor dari
akan dibuktikan
Perhatikan jika
maka
merupakan faktor dari
merupakan faktor dari
maka menurut aturan
pembagian polinomial
Berdasarkan teorema sisa jika polinomial adalah
, sehingga
Karena
dibagi
maka sisanya
, akibatnya diperoleh
dapat dinyatakan dalam
maka
– –
adalah faktor dari Jadi, jika
.
maka
merupakan faktor dari
Dari poin (i) dan (ii) diperoleh bahwa
merupakan faktor dari
jika hanya jika
.
Contoh 4
Buktikan bahwa 25
adalah faktor dari
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
!
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Jawab :
– – – – – – – – – – – – – – – – – – Misalkan
Berdasarkan teorema faktor (
dikatakan faktor dari
jika
Perhatikan
Karena
maka menurut teorema faktor
adalah faktor dari
.
Jadi,
adalah faktor dari
.
Contoh 5
Tentukan faktor suku banyak Jawab : Langkah 1 : faktor dari 12 = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 untuk x = 1
Langkah 2 :
untuk Sehingga
faktor f(x)
adalah faktor dari
1
-2
!
-3 -2 -5
1
-4 10 6
12 -12 0
– ( – )( – ) – – – – ( – ) –
Jadi, faktor dari
adalah
c. Rangkuman
Teorema Sisa
1. Jika polinomial 2. Jika polinomial
dibagi dibagi
3. Jika polinomial
dibagi
dengan
maka sisanya adalah
dan
Teorema faktor
merupakan faktor dari
26
maka sisanya adalah maka sisanya adalah
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
jika hanya jika
.
.
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
d. Tes Formatif-3 1) Tentukan sisa pembagian berikut dengan menerapkan teorema sisa.
a)
b) ( c)
2) Jika
polinomial
dan
dibagi oleh (x-1) akanmemberikan sisa yang
sama. Tentukan nilai k !
3) Buktikan bahwa (x-2) dan (x+2) habis membagi (faktor) Tentukan pula hasil baginya masing-masing !
!
e. Kunci Test Formatif 1) (a)
–
(b) (c) 2) 3 3) (
dan (
4. Kegiatan Belajar -4
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan akar-akar persamaan polinomial. 2) Siswa dapat menemukan jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial. b. Uraian Materi A. Akar-akar persamaan Polinomial Kalian telah mempelajari teorema faktor pada pembelajaran sebelumnya. Pada teorema faktor dinyatakan bahwa
jika hanya jika
.
Perhatikan permasalahan berikut : Tentukan akar-akar dari a)
b) c)
d)
27
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
adalah faktor dari suatu polinomial
. Dengan demikian, h adalah akar dari persamaan
Semester I
e)
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Penyelesaian dari permasalahan diatas diberikan sebagai berikut : a)
Memiliki 1 akar yaitu b)
.
Memiliki 2 akar yaitu
c)
Memiliki 1 akar yaitu
d)
Memiliki 2 akar yaitu e)
Memiliki 3 akar yaitu
Dari penyelesaian permasalahan diatas dapat dilihat bahwa untuk soal (a) dan
(b) polinomial berderajat 2 memiliki maksimal 2 akar, sedangkan untuk soal (c),(d) dan (e) polinomial berderajat 3 memiliki maksimal 3 akar. Sehingga dapat disimpulkan jika suatu polinomial mempunyai banyak akar persamaan polinomial akar. B. Jumlah dan hasil Kali Akar Polinomial
berderajat n
maksimal sebanyak n
Selanjutnya dalam sub bab ini akan ditentukan jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial.
Perhatikan untuk memiliki akar 28
, misal
dan
sehingga dapat dituliskan
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
=>
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
∑ ∑ ∑ ∑ Dengan menyamakan suku-suku yang bersesuaian di peroleh (1)
(2) akan ditentukan jumlah dan hasil akar-akar polinomial
Kemudian untuk berderajat 3. Misal
Memiliki akar-akar
,
dan
sehingga dapat dituliskan
Dengan menyesuaikan suku-suku yang bersesuaian di peroleh
(1) (2) (3)
Dengan melihat hasil jumlah dan kali akar-akar polinomial untuk dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : Misal diberikan polinomial Dengan
adalah
akar-akar dari polinomial diatas,
akan memenuhi
..............
29
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
maka
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Contoh 1
Diketahui persaman
. Jika
mempunyai akar-akar
,
dan
, maka tentukan nilai p dan akar-akar persaman
polinomial tersebut ! Jawab : Perhatikan
Berdasarkan sifat jumlah akar polinomial untuk
diperoleh
=>
Persamaan tersebut menjadi
dengan menggunakan
cara Horner dapat diperoleh akar-akar yang lain, yaitu 1
-3 + -3 -6
-3 1
-10 + 18 8
24 -24 0
Sehingga
Jadi, nilai
dan akar-akarnya adalah -3,2 dan 4.
c. Rangkuman
Jika suatu polinomial polinomial
30
berderajat n mempunyai banyak akar persamaan
maksimal sebanyak n akar.
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Akar-akar polinomial dapat dirumuskan sebagai berikut : 1. Polinomial berderajat 2 : a) b)
2. Polinomial berderajat 3 : a) b) c)
d. Tes Formatif-4
1) Akar-akar persamaan
adalah
,
dan
. Jika dua
buah akarnya saling berlawanan , maka tentukan nilai p yang tepat dan tetukan akar-akar tersebut dengan teliti ! 2) Persamaan
Tentukan nilai
mempunyai dua akar berlawananan.
!
3) Jika akar-akar persamaan polinomial
membentuk
deret aritmatika , maka tentukan nilai m yang memenuhi ! e. Kunci Test Formatif
1)
,akar-akarnya -1,1 dan 3
2) 43 3) C. Evaluasi
1) Tentukan
koefisien
dari
pada
polinomial
!
2) Jika
. Tentukan
3) Diketahui polinomial
. Dengan menggunakan cara
Horner, tentukan nilai dari ! 4) Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari 5) Diketahui polinomial
dibagi oleh
berderajat 3 dengan koefisien
Polinomial tersebut habis dibagi oleh nilai dari f(2) !
31
!
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan
. Jika
!
sama dengan 1. , tentukan
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
6) Diketahui
merupakan salah satu faktor dari polinomial . Jika
dibagi oleh
, tentukan
sisanya !
7) Diketahui polinomial dibagi oleh 8) Tentukan
dan
. Jika
bersisa 1, maka tentukan sisa dari
banyaknya
akar-akar
dibagi oleh
rasional
bulat
dari
!
persamaan
!
9) Persamaan
mempunyai akar x = 2. Tentukan jumlah
ketiga akar persamaan tersebut ! 10) Diketahui
dan
Jika akar dari
adalah
,
!
32
merupakan faktor dari
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan
dengan
.
, tentukan nilai
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
BAB III. IRISAN KERUCUT
PETA KONSEP
Puncak (0,0)
PARABOLA
Puncak (h,k)
Garis Singgung
Pusat (0,0)
ELLIPS
IRISAN
Pusat (h,k)
KERUCUT
Garis Singgung
Pusat (0,0)
HYPERBOLA
Pusat (p,q)
Garis Singgung
33
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
RENCANA BELAJAR SISWA III. Kompetensi Inti KI1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong
royong,kerja sama,toleran,damai), santun, responsif dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual,
prosedural
berdasarkan
rasa
ingintahunya tentang
ilmu
pengetahuan,
teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan IV. Kompetensi Dasar 3.3 Menganalisis irisan kerucut (lingkaran, ellips, parabola, dan hiperbola) dan
menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah matematika 3.4 Mendeskripsikan hubungan garis direktis, titik fokus dan titik-titik pada kurva
parabola, hiperbola, dan ellips dan menerapkannya dalam pemecahan masalah. 3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur parabola, hiperbola dan ellips untuk
menggambar kurva dan mengidentifikasi sifat-sifatnya. 4.3 Mengolah data dan menganalisis model matematika dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan parabola atau hiperbola atau ellips. 4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model parabola, hiperbola,
dan ellips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifat-sifat irisan kerucut yang telah dibuktikan kebenaranya. Indikator : 1. Pertemuan Pertama
Menentukan persamaan parabola beserta unsur-unsurnya 2. Pertemuan Kedua 34
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Menentukan persamaan garis singgung parabola 3. Pertemuan Ketiga
Menentukan persamaan ellipse beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 4. Pertemuan Keempat
Menentukan persamaan ellipse beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 5. Pertemuan Keelima
Menentukan persamaan ellipse beserta unsur-unsurnya dengan pusat (p,q) 6. Pertemuan Keenam
Menentukan persamaan garis singgung ellipse bergrdaien m Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik pada ellips 7. Pertemuan Ketujuh
Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik diluar ellips 8. Pertemuan Ketujuh
Menentukan persamaan hyperbola beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 9. Pertemuan Kedelapan
Menentukan persamaan hyperbola beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 10. Pertemuan Kesepuluh
Menentukan persamaan garis singgung hyperbola bergrdaien m Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik pada hyperbola 11. Pertemuan Kesebelas
Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik diluar hyperbola
Pada saat SMP, Anda telah mempelajari beberapa bangun ruang, slaah satunya yaitu kerucut. Bagaimana jika kerucut tersebut dipotong oleh suatu bidang datar ? Hasil pemotongan tersebut akan menghasilkan lengkungan-lengkungan yang akan kita pelajari di sub ini. Hasil perpotongan tersebut dinamakan irisan kerucut. Jika suatu kerucut dipotong oleh suatu bidnag datar, maka gari potong tersbeut mempunyai berbagai kemungkinan seperti berikut :
35
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
Parabola
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
: jika bidang datar sejajar garis pelukis kerucut dan tidak melalui puncak
kerucut. Elips
: jika bidang datar membentuk sudut lancip terhadap sumbu dan dan tidak
melalui puncak kerucut Hiperbola : jika bidnag datar sejajr sumbu kerucut dan tidak melalui titik nol . Lingkaran : jika bidnag datar tegak lurus sumbu kerucut dan tidak melalui titik nol.
Lebih lanjut tenatng irisan kerucut akan kita bahas satu persatu dalam bab ini.
36
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
III.1 PARABOLA
A. Pendahuluan
1. Deskripsi Banyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep parabola contohnya yang paling sederhana adalah pada penentuan fokus parabola untuk menghasilkan saluran yang jernih. Contoh lain dari konsep parabola adalah proses laser untuk menghilangkan penyumbatan pembuluh darah di jantung dengan memanfaatkan konsep titik fokus parabola. 2. Prasyarat Untuk mempelajari materi parabola perlu diingat kembali jarak antara dua buah titik dan jarak titik ke garis. 3. Tujuan Modul Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat : 1) Memahami definisi parabola 2) Menyebutkan unsur-unsur parabola dan menggambarkan grafiknya. 3) Menentukan persamaan parabola 4) Menentukan garis singgung parabola. 4. Cek Kemampuan Kerjakanlah soal-soal berikut !
a. Tentukan jarak titik b. Tentukan jarak titik B. Pembelajaran
dan
!
terhadap garis
!
1. Kegiatan Belajar -1
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan dari pembelajaran yang akan dilakukan meliputi : 1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur parabola 2) Siswa dapat menentukan persamaan parabola jika diketahui unsur-unsur nya. b. Uraian Materi A. Definisi Parabola
37
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Definisi
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari titik tertentu dan dari garis tertentu adalah sama. Dalam parabola dikenal beberapa istilah yang meliputi : Titik tertentu itu disebut sebagai fokus (F) dan garis tertentu disebut
direktris. Garis yang membagi kurva menjadi dua bagian yang sama disbeut sumbu simetri. Perpotongan sumbu simetri dengan kurva disebut puncak (P). B. Unsur-unsur Parabola dan Grafiknya
a. Parabola dengan puncak (0,0) Tabel 3.1.1 Unsur-unsur Parabola Pusat (0,0) No
Jenis Parabola
Unsur
Horizontal
Puncak Fokus Direktris
b. Parabola dengan puncak
Vertikal
Tabel 3.1.2 Unsur-unsur parabola Pusat (h,k) No
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Direktris
Jenis Parabola Horizontal
c. Grafik Hyperbola
38
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Vertikal
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
C. Persamaan Parabola dengan Pusat (0,0) Persamaan ellips disajikan dalam tabel berikut : Tabel 3.1.3 Persamaan Parabola Puncak
Horizontal
Vertikal
Berdasarkan definisi parabola , parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik tertentu dan garis tertentu adalah sama. Akan dibuktikan persamaan parabola horizontal dengan puncak (0,0) . Misal
adalah titik fokus parabola ,
persamaan garis
direktrisnya dan P(x,y) adalah titik pada parabola seperti yang diilustrasikan pada gambar 2. sehingga FP = BP
(kedua ruas dikuadratkan)
Jadi , persamaan parabola horizontal dengan puncak (0,0) adalah
.
Latihan :
Turunkan persamaan parabola horizontal dengan pusat (h,k) dan persamaan parabola vertikal dengan pusat (0,0) dan (h,k) ! c. Rangkuman
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari titik tertentu dan dari garis tertentu adalah sama.
Unsur-unsur parabola diberikan dalam tabel berikut : a) Parabola dengan puncak (0,0)
39
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
No
Jenis Parabola
Unsur
Horizontal
Vertikal
Puncak Fokus Direktris
b) Parabola dengan puncak No
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Direktris
Jenis Parabola
Horizontal
Vertikal
Persamaan parabola diberikan dalam tabel berikut : Puncak
Horizontal
Vertikal
d. Tes Formatif-1 1. Tentukan puncak, fokus dan persamaan direktris parabola-parabola dibawah ini dan gambarkan grafiknya: a) b) c) d)
2. Tentuka persamaan parabola yang mempunyai puncak (0,0) dan fokus (2,0) ! 3. Tentukan persamaan parabola yang mempunyai puncak dititik pangkal dan persamaan direktris nya dalah
!
4. Tentukan persamaan parabola yang fokus dan direktrisnya secara berturutturut adalah (0,2) dan
!
5. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya (0,0) dan sumbu simetri berhimpit dengan sumbu Y dan melalui titik (2,8) ! 40
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
6. Tentukan persamaan parabola dengan puncak (2,2) dan fokus (5,2) ! 7. Tentukan persamaan parabola yang menyinggung sumbu Y di titik (0,2) dan memotong sumbu X di titik (1,0) ! 8. Tentukan persamaan parabola dengan fokus dan direktris berturut-turut adalah (2,7) dan y=5 ! e. Kunci Test Formatif 1. (a) puncak=(0,0),fokus=(2,0) direktris: x= -2 (b) puncak = (0,0) , fokus =
, direktris :
(c) puncak = (0,1), fokus = (1,0) , direktris : x = -1
(d) puncak = (3,-4), fokus =(3,-7), direktris : y = -1 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 2. Kegiatan Belajar -2
a. Tujuan Pembelajaran
Tujuan dari pembelajaran yang akan dilakukan meliputi : 1) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung parabola. b. Uraian Materi A. Persamaan Garis Singgung Parabola
Persamaan garis singgung parabola disajikan dalam tabel berikut : Jenis Horizontal vertikal
Persamaan Parabola
Persamaan garis Singgung
Akan dibuktikan persamaan garis singgung parabola horizontal Diketahui persamaan parabola :
...(1)
Misalkan garis singgung parabola
...(2)
Dengan mensubsitusikan (2) ke (1) diperoleh 41
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Syarat menyinggung yaitu
.......................................(kedua ruas dibagi
)
Sehingga, persamaan garis singgung parabola horizontal dengan puncak (0,0) adalah
.
Latihan
Buktikan
persamaan
garis
singgung
Tentukan persamaan garis singgung parabola !
Jawab :
Perhatikan bahwa garis
vertikal
adalah
!
Contoh 1
parabola
memiliki gradien
Karena garis singgung yang dicari sejajar garis
yang sejajar garis
maka
. Sehingga persoalan menjadi menentukan persamaan garis
singgung parabola dengan gradien Parabola
adalah parabola vertikal dengan puncak (0,0) dan nilai
yang diperoleh dari
42
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
,sehingga persamaan PGS nya adalah
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
c. Rangkuman
Persamaan garis singgung parabola secara umum disajikan dalam tabel berikut : Jenis Horizontal Vertikal
Persamaan Parabola
Persamaan garis Singgung
d. Tes Formatif-2 1. Garis
menyinggung parabola
konstanta c dan koordinat titik P !
di titik P. Tentukan
2. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola
bergradien 2 !
3. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola yang sejajar dengan garis
!
4. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola yang tegak lurus dengan garis
!
5. Tentukan persamaan garis singgung parabola
6. Tentukan persamaan garis singgung parabola (-1,3) !
di titik (1,-2) !
di titik
e. Kunci Test Formatif
1. 2. 3. 4. 5. 6.
C. Evaluasi
Kerjakanlah latihan soal berikut !
1. Tentukan puncak, fokus dan persamaan direktris parabola-parabola dibawah ini dan gambar grafiknya : 43
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
a) b)
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
2. Tentukan persamaan parabola yang mempunyai puncak (0,0) dan fokus (4,0) ! 3. Tentukan persamaan parabola yang fokus dan direktrisnya secara berturut-turut adalah (2,0) dan x=-2 ! 4. Tentukan persamaan parabola dengan puncak (2,2) dan fokus (2,7) ! 5. Tentukan persamaan parabola dengan fokus dan direktris berturut-turut adalah (5,2) dan
!
6. Tentukan persamaan parabola yang menyinggung sumbu Y di titik (0,2) dan memotong sumbu X di titik (-1,0) ! 7. Garis
menyinggung parabola
dan koordinat titik P !
di titik P. Tentukan konstanta c
8. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola
bergradien 1 !
9. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola sejajar dengan garis
!
10. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola tegak lurus dengan garis
!
11. Tentukan persamaan garis singgung parabola 12. Tentukan persamaan garis singgung parabola
44
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
yang
yang
di titik (1,-3) !
di titik (0,1) !
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
III.2. ELLIPS
A. Pendahuluan
1. Deskripsi Banyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep ellips contohnya adalah penerapan nya dalam hukum kepler yaitu Contoh lain dari konsep ellips dalam dunia medis adalah penggunaan nya pada prosedur Litotripsi yaitu suatu prosedur yang digunakan untuk menghancurkan batu di saluran kemih. Prosedur ini menggunakan alat yang bernama Lithotripter yang berbentuk setengah ellipse 3 dimensi dengan mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus ellipse seperti pada gambar 3.2.1 dan gambar 3.2.2.
Gambar 3.2.1 Proses Litotripsi
Gambar 3.2.2 Lithotripter
2. Prasyarat Untuk mempelajari materi ellips perlu diingat kembali jarak antara dua buah titik dan jarak titik ke garis. Jarak antara dua buah titik ditentukan sebagai berikut : Misal diberikan titik
3. Tujuan Modul
dan
maka jarak titik P dan Q adalah :
Modul ini ditujukan untuk membantu siswa belajar secara mandiri dan membantu guru sebagai salah satu alternatif bahan pembelajaran dan pembuatan tugas tertstruktur pada materi ellips secara khususnya. 4. Cek Kemampuan Kerjakanlah soal berikut !
1) Tentukan jarak titik 2) Tentukan jarak titik 45
) dan
dan
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
)! !
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
B. Pembelajaran 1. Kegiatan Belajar -1
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur ellips dan menggambarkan grafik ellips dengan pusat (0,0) 2) Siswa dapat menentukan persamaan elllips dengan pusat (0,0) jika diketahui unsur-unsur nya. b. Uraian Materi A. Definisi Ellips Definisi
Ellipse adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap.
B. Unsur-Unsur Ellips dan Grafiknya
Panjang sumbu mayor (sumbu real) = 2a
Panjang sumbu minor ( sumbu imajiner) = 2b
=> Tabel 3.2.1 Unsur-unsur Ellips Pusat (0,0) No
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
Jenis Hyperbola
Horizontal
(sumbu x)
(sumbu y)
Vertikal
(sumbu y)
(sumbu x)
Grafik ellips dengan pusat (0,0) disajikan pada gambar 3.2.3 dan gambar 3.2.4.
46
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Gambar 3.2.3
Gambar 3.2.4
Contoh 1
Diketahui persamaan ellips adalah
. Tentukan koordinat titik
puncak,fokus,panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minornya ! Jawab : Dari persamaan ellips tersebut, diketahui Dengan demikian Sehingga,
√ dan
.
√ √
Panjang sumbu mayor adalah
Panjang sumbu minor adalahh
Jadi, koordinat titik puncak adalah fokus adalah minor 6 .
dan
), koordinat titik
, panjang sumbu mayor 8 dan panjang sumbu
C. Persamaan Ellips dengan pusat (0,0) Persamaan ellips dengan pusat (0,0) disajikan dalam tabel berikut : Tabel 3.2.3 Persamaan Ellips Pusat
Horizontal
Vertikal
Bentuk Umum
Berdasarkan definisi ellips , ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua buah titik tetap adalah sama yaitu 2a. Misal dua buah titik tersebut adalah F1 dan F2 yang disebut sebagai titik fokus yang jika disajikan dalam model matematika adalah
dengan P adalah titik pada ellips.
Akan dibuktikan persamaan ellips horizontal dengan pusat (0,0) sehingga titik fokusnya adalah F1(-c,0) dan F2(c,0). 47
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Misal P(x,y) adalah titik pada ellips yang memenuhi
...............(kuadratkan kedua ruas)
....(kedua ruas dibagi 4)
........(kuadratkan kedua ruas)
.......(mengingat
.....(kedua ruas dibagi
Jadi, persamaan hyperbola horizontal dengan pusat (0,0) adalah
)
)
.
Latihan :
Turunkan persamaan ellips vertikal dengan pusat (0,0) ! Contoh 2
Diketahui koordinat fokus ellips (-3,0) dan (3,0) dan sumbu mayor 10, maka tentukan persamaan ellips tersebut ! Jawab : Titik fokus
sehingga
dimaksud termasuk ellips horizontal. Sumbu mayor
maka
Akibatnya, persamaan ellips tersebut adalah 48
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan pusat (0,0) serta ellips yang
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
c. Rangkuman
Ellipse adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap.
Unsur-unsur ellips dengan pusat (0,0) disajikan dalam tabel berikut : No
Jenis Hyperbola
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
Horizontal
Vertikal
(sumbu x)
(sumbu y)
(sumbu y)
(sumbu x)
Persamaan ellips dengan pusat (0,0) diberikan dalam tabel berikut :
Pusat
Horizontal
Vertikal
Bentuk Umum
d. Tes Formatif-1 1. Tentukan koordinat titik puncak dan fokus dari ellips dibawah ini dan gambarkan grafiknya. a) b)
2. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (0,0) , jarak kedua titik fokus adalah 8 dan panjang sumbu mayor adalah 10 !
( √) (√) √ √
3. Tentukan persamaan ellips dengan fokus (1,0) !
dan melewati titik
e. Kunci Test Formatif 1. (a) puncak : (b) puncak :
49
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
, fokus :
,fokus :
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
2.
3.
2. Kegiatan Belajar -2
a.
Tujuan Pembelajaran Tujuan dari pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur ellips dan menggambarkan grafik ellips dengan pusat (h,k) 2) Siswa dapat menentukan persamaan elllips dengan pusat (h,k) jika diketahui unsur-unsur nya.
b. Uraian Materi A. Unsur-unsur Ellips dengan Pusat (h,k)
Unsur-unsur ellips dengan pusat (h,k) diberikan sebagai berikut :
Panjang sumbu mayor (sumbu real) = 2a
Panjang sumbu minor ( sumbu imajiner) = 2b
=>
Tabel 3.2.3 Unsur-unsur Ellips Pusat (p,q) Jenis Hyperbola No
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
Horizontal
(sumbu x)
(sumbu y)
Grafik ellips dengan (h,k) diberikan pada gambar 3.2.5 . Gambar 3.2.5
50
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Vertikal
(sumbu y)
(sumbu x)
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Contoh 1
Diketahui ellips dengan persamaan
.
Tentukan koordinat titik pusat, titik fokus, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minornya ! Jawab : Persamaan diatas perlu diubah terlebih dahulu kebentuk kuadrat sempurna sebagai berikut :
√ √ √ .
−144.
.
Dari bentuk diatas , diperoleh
maka
dan pusat (6,-4).
Panjang sumbu mayor Panjang sumbu minor
Sehingga koordinat titik puncak nya adalah koordinat titik fokus ( dan (
dan , , panjang sumbu mayor
12 dan panjang sumbu minor 8.
B. Persamaan Ellips dengan Pusat (h,k)
Persamaan ellips disajikan dalam tabel berikut : Tabel 3.2.4 Persamaan Ellips dengan pusat (p,q) Pusat
Horizontal
Vertikal
Bentuk Umum
Latihan
Buktikan persaman ellips dengan pusat
diatas !
(Catatan:gunakan cara yang sama untuk menurunkan persamaan ellips horizontal dengan pusat (0,0))
Contoh 2
Tentukan persamaan ellips dengan pusat (-1,2) dengansumbu mayor sejajr sumbu X, panjang sumbu mayor 10 dan jarak antara dua titik fokus adalah 6 ! 51
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Jawab : Pusat ellips (-1,2), sumbu mayor sejajar sumbu X artinya ellips nya merupakan ellips horizontal.
√ √ √
Panjang sumbu mayor Jarak dua titik fokus Sehingga
Akibatnya, persamaan ellips tersebut adalah
c. Rangkuman
No
Jenis Hyperbola
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
Pusat
Unsur-unsur ellips dengan pusat (h,k) diberikan sebagai berikut :
Horizontal
(sumbu x)
(sumbu y)
Vertikal
(sumbu y)
(sumbu x)
Persamaan ellips dengan pusat (h,k) diberikan sebagai berikut : Horizontal
Vertikal
Bentuk Umum
d. Tes Formatif-2 1) Tentukan koordinat titik pusat, puncak,fokus,panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari ellips
serta gambarlah
grafiknya ! 2) Tentukan persamaan ellips dengan pusat (-2,3) panjang sumbu mayor 10 dan panjang sumbu minor 8 dengan sumbu mayor sejajr sumbu Y ! e. Kunci Test Formatif 1) Pusat : (2,-1), puncak : (-3,-1),(7,-1),(-3,-4) dan (-3,2) , panjang sumbu mayor = 10 dan panjang sumbu minor = 6. 52
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
2)
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
3. Kegiatan Belajar -3
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan dari pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung ellips melalui satu titik pada ellips. 2) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung ellips bergradien m . b. Uraian Materi Secara umum persamaan garis singgung hyperbola dibagi menjadi beberapa permasalahan, yang meliputi : PERSAMAAN GARIS SINGGUNG Melalui Sebuah titik
Ber radien m
Pada Ellips
Diluar Elli s i.
Persamaan garis singgung bergradien m Persamaan garis singgung bergradien m diberikan sebagai berikut : Tabel 3.2.6 Persaman Garis Singgung Ellips Bergradien m
JENIS ELLIPSE
Pusat (0,0)
Horizontal (p,q)
(0,0) Vertikal (p,q)
Persamaan Hyperbola
Bergradien m
Pembuktian persamaan garis singgung ellips horizontal bergradien m diberikan sebagai berikut : a) Untuk Ellips Horizontal Pusat (0,0) Misalkan persamaan garis singgung nya adalah
53
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
...........(1)
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Dengan persamaan ellips adalah
............(2)
Dengan mensubsitusikan (1) pada (2) diperoleh
)
√ Syarat garis
...(kedua ruas dikali
men yinggung
adalah
...(kedua ruas dibagi
)
Sehingga persamaan garis singgung hyperbola horizontal bergradien m dengan pusat (0,0) adalah
b) Untuk Ellips Horizontal Pusat (p,q)
Misalkan persamaan garis singgung nya adalah Dengan persamaan Ellips adalah
...........(1)
............(2)
Dengan mensubtitusikan (1) pada (2) diperoleh
54
............(kedua ruas dikali
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
)
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
() () Karena garis
menyinggung hyperbola
maka
(kedua ruas dibagi
)
Sehingga persamaan garis singgung hyperbola horizontal bergradien m dengan pusat
(p,q) adalah
Untuk hyperbola elipsdengan pusat (p,q) persamaan garis singgung nya menjadi .
Latihan :
Turunkan persamaan garis singgung hyperbola vertikal bergradien m dengan pusat (0,0) dan (p,q) ! Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung ellips Jawab : Perhatikan ellips
merupakan ellips vertikal pusat (0,0) dengan
, sehingga PGS ellips bergradien 3 adalah
55
yang bergradien 3 !
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
√ √ √ √
atau
ii. Persamaan garis singgung melalui suatu titik
Khusus untuk menentukan persamaan garis singgung elllips melalui suatu titik, perlu diperiksa terlebih dahulu kedudukan titik tersebut terhadap ellips, dengan cara sebagai berikut : 1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0 2. Masukkan koordinat titik pada persamaan: Jika
hasil ruas kiri < 0 ,maka titik berada didalam ellips
Jika
hasil ruas kiri = 0 , maka titik berada pada ellips
Jika
hasil ruas kiri > 0 , maka titik berada diluar ellips
Berdasarkan kedudukan titik terhadap ellips maka diperoleh :
a) Titik Jika
didalam ellips
didalam ellips maka tidak terdapat persamaan garis singgung elips yang
melewati titik tersebut karena setiap kali kita membuat garis melalui titik tersebut maka garis tersebut akan selalu memotong elllips di dua buah titik sehingga garis tersebut bukanlah garis singgung ellips seperti yang diilustrasika pada gambar 4. b) Titik
pada elllips
Persamaan garis singgung ellips melalui satu titik pada elllips diberikan sebagai berikut : Tabel 3.2.7 Persaman Garis Singgung melalui titik pada ellips JENIS ELLIPSE
Pusat (0,0)
Horizontal (p,q)
(0,0) Vertikal (p,q)
Bentuk Umum 56
Persamaan Hyperbola
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Titik (
pada ellipse
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Misalkan persamaan garis singgung nya adalah Misalkan
Perhatikan:
......................................................................................... (1)
()
....................................................................................................(2)
Substitusikan (1) pada (2) diperoleh
Syarat menyinggungung adalah garis
memotongellips
di satu titik sehingga persamaan terakhir memiliki dua akar
kembar.
Perhatikan
( ) ( )
..................................................... (kedua ruas dibagi
Subsitusikan nilai m pada persamaan (1) diperoleh
57
............................................................. (
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
)
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
....................(kedua ruas dibagi
.....(
Jadi, persamaan garis singgung ellips adalah
karena (
)
) pada hyperbola)
melalui satu titik pada ellips
.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan persamaan garis singgung ellips melalui satu titik pada ellips untuk ellips horizontal dengan pusat (p,q) dan elllips vertikal dengan pusat (0,0) dan (p,q) Bukti lengkapnya, ditinggalkan sebagai latihan. Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung ellips (-1,1) !
di titik
Jawab : Untuk menyelesaikan permasalahan diatas perlu dicek terlebih dulu kedudukan titik terhadap ellips Cek kedudukan titik (-1,1)
=>
Sehingga titik (-1,1) pada ellips, akibatnya persamaan garis singgung ellips tersbeut adalah
c. Rangkuman
Persamaan garis singgung ellips melalui satu titik pada ellips dan persamaan garis singgung ellips bergradien m diberikan sebagai berikut :
58
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
JENIS ELLIPSE
Pusat
Titik (
Bergradien m
pada ellipse
(0,0) Horizontal (p,q)
(0,0) Vertikal (p,q)
Bentuk Umum
d. Tes Formatif-3 1) Tentukan persamaan garis yang bergradien 4 dan menyinggung ellipse
2) Tentukan persamaan garis yang menyinggung ellipse dengan garis
!
3) Tentukan persamaan garis yang menyinggung ellipse lurus terhadap garis
!
4) Tentukan persamaan garis singung pada ellipse
√ √ di titik (2,3) !
dan sejajar
dan tegak
e. Kunci Test Formatif 1) 2) 3)
atau
atau
atau
4) Tidak memiliki PGS, karena titik berada di dalam ellips. 4. Kegiatan Belajar -4
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan dari pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung ellips melalui satu titik di luar ellips. b. Uraian Materi A. Persamaan Garis Singgung Ellips Melalui Titik di luar Ellips 59
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Pada pembelajaran sebelumnya telah dipelajari menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik pada ellips dan bergradien m. Pada pembelajaran ini akan dipelajari bagaimana menentukan persamaan garis singgung ellips melalui satu titik di luar ellips. Persamaan garis singgung ellips yang melalui suatu titik di luar ellips dapat ditentukan dengan menggunakan langkah berikut : 1) Gunakan persamaan garis singgung ellipse dengan gradien m . 2) Tentukan nilai m dari persamaan garis singgung tersebut dengan mensubsitusikan koordinat titik diluar ellipse yang diketahui. 3) Subsitukan nilai m yang diperoleh pada persamaan garis singgung atau gunakan persamaan garis lurus melalui satu titik bergradien m dan titik
yaitu
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung ellips Jawab :
yang melalui titik (2,3) !
Untuk menyelesaikan permasalahan diatas perlu dicek terlebih dulu kedudukan titik terhadap ellips Cek kedudukan titik (1,2)
Sehingga titik (2,3) berada di luar ellips, akibatnya persamaan garis singgung ellips tersebut adalah
c. Rangkuman
Persamaan garis singgung ellips yang melalui suatu titik di luar ellips dapat ditentukan dengan menggunakan langkah berikut : 1) Gunakan persamaan garis singgung ellipse dengan gradien m . 2) Tentukan nilai
m dari persamaan garis singgung tersebut dengan
mensubsitusikan koordinat titik diluar ellipse yang diketahui. 3) Subsitukan nilai m yang diperoleh pada persamaan garis singgung atau gunakan persamaan garis lurus melalui satu titik bergradien m dan titik
yaitu
60
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
d. Tes Formatif-4 1) Tentukan persamaan garis singgung pada ellips (3,1) !
2) Tentukan persamaan garis yang ditarik dari titik ellips 3) Garis
di titik
dan menyinggung
! menyinggung ellips
di titik P. Tentukan
koordinat titik P !
e. Kunci Test Formatif
1) PGS tidak ada, karena titik berada di dalam ellips. 2)
3) (0,-2) atau (-3,1). C. Evaluasi
1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik fokus,panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor dari ellips dibawah ini serta gambarkan grafiknya ! a) b) c)
2. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (0,0) dengan panjang sumbu mayor 12 dan panjang sumbu minor 6 dengan sumbu mayor sejajar sumbu X ! 3. Tentukan persamaan ellips dengan jarak ke dua titik fokusnya adalah 10 dan panjang sumbu mayor adalah 14 serta sumbu mayor sejajar sumbu Y ! 4. Tentukan persamaan ellips dengan titik fokus (-3,0) dan (3,0) serta melalui titik (4,0) ! 5. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (1,2) dengan panjang smbu mayor 14 dan panjang sumbu minor = 8 serta sumbu mayor sejajar sumbu Y ! 6. Tentukan persamaan ellips dengan jarak ke dua titik fokusnya adalah 18 dan panjang sumbu minor adalah 10 serta sumbu mayor sejajar sumbu X berpusat di (0,1) ! 7. Tentukan persamaan ellips dengan titik fokus (2,-7) dan (2,9) serta melalui titik (16,0) !
8. Tentukan persamaan garis singgung pada ellipse 9. Tentukan persamaan garis singgung ellips titik
61
!
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
di titik P(2,-2) ! melalui
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
10. Tentukan persamaan garis singgung pada ellipse
√ garis
!
11. Tentukan persamaan garis singgung pada ellipse pada garis
!
yang sejajar dengan
yang tegak lurus
12. Tentukan persamaan garis yang ditarik dari titik (2,0) dan menyinggung ellips !
13. Tentukan persamaan garis singung ellips (0,5) !
yang memotong sumbu y di
14. Tentukan persamaan garis yang ditarik dari titik (3,2) dan menyinggung ellips
!
15. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (-2,-1) pada ellips
62
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
!
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
III.3. HYPERBOLA A. Pendahuluan
1. Deskripsi Banyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep hyperbola contohnya adalah penerapan nya dalam menara pendingin pada pembangkit tenaga nuklir disebut sebagai hyperboloids of one sheet. Jika kita membelah menara ini tegak lurus lurus dengan tanah, maka kita akan menghasilkan dua cabang dari hiperbola.
Gambar 3.3.1
2. Prasyarat Untuk mempelajari materi ellips perlu diingat kembali jarak antara dua buah titik dan jarak titik ke garis. 3. Tujuan Modul Modul ini ditujukan untuk membantu siswa belajar secara mandiri dan membantu guru sebagai salah satu alternatif bahan pembelajaran dan pembuatan tugas tertstruktur pada materi hyperbola secara khususnya. 4. Cek Kemampuan Kerjakanlah soal berikut !
1) Tentukan jarak titik 2) Tentukan jarak titik B. Pembelajaran
) dan
dan
)! !
1. Kegiatan Belajar -1
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur hyperbola dan menggambarkan grafik hyperbola dengan pusat (0,0) 2) Siswa dapat menentukan persamaan hyperbola dengan pusat (0,0). 63
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
b. Uraian Materi A. Definisi Hyperbola Definisi
Hyperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
B. Unsur-Unsur Hyperbola dan Grafiknya
Panjang sumbu mayor (sumbu real) = 2a
Panjang sumbu minor ( sumbu imajiner) = 2b
Unsur-unsur hyperbola dengan pusat (0,0) diberikan dalam tabel berikut : No
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
5
Asimtot
Jenis Hyperbola Horizontal
Vertikal
(sumbu x)
(sumbu y)
(sumbu y)
(sumbu x)
Grafik hyperbola dengan pusat (0,0) diberikan pada gambar berikut . Gambar 3.3.1
Contoh 1
Tentukan puncak ,fokus dan asimtot dari hyperbola
64
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Gambar 3.3.2
!
Semester I
Jawab :
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Perhatikan sehingga
diperoleh
Akibatnya, puncak hyperbola =(-5,0) dan (5,0). Fokus = (0,-13) dan (0,13) Asimtot :
C. Persamaan Hyperbola dengan Pusat (0,0)
Berdasarkan definisi hyperbola , hyperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua buah titik tetap adalah sama yaitu 2a. Misal dua buah titik tersebut adalah F 1 dan F2 yang disebut sebagai titik fokus. i. Persamaan hyperbola horizontal pusat (0,0) Hyperbola horizontal adalah hyperbola yang memiliki sumbu nyata nya adalah sumbu X atau sejajar sumbu X sehingga titik fokusnya adalah F 1(-c,0) dan F2(c,0). Ambil sembarang titik P (x,y) pada hyperbola sehingga berlaku
65
...............(kuadratkan kedua ruas)
....(kedua ruas dibagi 4)
........(kuadratkan kedua ruas)
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
.....(kedua ruas dibagi
Jadi, persamaan hyperbola horizontal dengan pusat (0,0) adalah ii.
.......(mengingat
Persamaan hyperbola vertikal pusat (0,0)
)
)
.
Hyperbola horizontal adalah hyperbola yang memiliki sumbu nyata nya adalah sumbu Y atau sejajar sumbu Y sehingga titik fokusnya adalah F 1(0,-c) dan F2(0,c). Ambil sembarang titik P (x,y) pada hyperbola sehingga berlaku
...............(kuadratkan kedua ruas)
....(kedua ruas dibagi 4)
........(kuadratkan kedua ruas)
.......(mengingat
.....(kedua ruas dibagi
Jadi, persamaan hyperbola horizontal dengan pusat (0,0) adalah
66
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
)
.
)
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Sehingga dari penjabaran diatas diperoleh sebagai berikut : Tabel 4.1 Persamaan Hyperbola dengan Pusat (0,0) Pusat
Horizontal
Vertikal
Contoh 2
Tentukan Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat (0,0) , sumbu nyata sumbu Y, panjang sumbu khayal 16 dan panjang sumbu nyata 10. Jawab : sumbu nyata sumbu Y maka hyperbola nya merupakan hyperbola vertikal. panjang sumbu khayal =2b=16 => b=8 panjang sumbu nyata = 2a =10 => a = 5 sehingga persamaan hyperbola tersebut adalah dengan pusat (0,0)
c. Rangkuman
Hyperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
Unsur-unsur hypebrola dengan pusat (0,0) diberikan sebagai berikut : No
67
Unsur
1
Puncak
2
Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
5
Asimtot
Jenis Hyperbola Horizontal
(sumbu x)
(sumbu y)
Vertikal
(sumbu y)
(sumbu x)
Persamaan hypebrola dengan pusat (0,0) diberikan sebagai berikut : Pusat
Horizontal
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Vertikal
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
d. Tes Formatif-1 1. Tentukan puncak dan fokus dari hyperbola grafiknya !
dan gambarkan
2. Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat (0,0), sumbu nyata sumbu X, panjang sumbu nyata 10 dan panjang sumbu khayal 8. 3. Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat (0,0) , sumbu nyata sumbu Y, panjang sumbu khayal 8 dan jarak kedua fokus 10. e. Kunci Test Formatif 1. Puncak = (-4,0) dan (4,0), fokus = (-5,0) dan (5,0) 2. 3.
4. Kegiatan Belajar -2
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur hyperbola dan menggambarkan grafik hyperbola dengan pusat (p,q) 2) Siswa dapat menentukan persamaan hyperbola dengan pusat (p,q). b. Uraian Materi A. Unsur-unsur Hyperbola dengan pusat (p,q)
Panjang sumbu mayor (sumbu real) = 2a
Panjang sumbu minor ( sumbu imajiner) = 2b
Unsur-unsur hyperbola dengan pusat (0,0) diberikan dalam tabel berikut : No
68
Jenis Hyperbola
Unsur
1 2
Puncak Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
5
Asimtot
Horizontal
Vertikal
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
(sumbu x)
(sumbu y)
(sumbu y)
(sumbu x)
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Grarik hyperbola dengan pusat
diberikan sebagai berikut :
Gambar 3.3.3
Gambar 3.3.4
Contoh 1
Tentukan pusat, puncak ,fokus dan asimtot dari hyperbola gambarkan grafiknya ! Jawab : Perhatikan
diperoleh
dan
sehingga
Akibatnya,pusat hyperbola (-2,3) dan puncak hyperbola =(-7,3) dan (3,3). Fokus = (-2,-10) dan (-2,16) Asimtot :
B. Persamaan Hypebrola dengan pusat (p,q)
Seperti pada sub bab sebelumnya untuk menurunkan persamaan hyperbola dengan pusat (p,q) dengan memanfaatkan definisi hyperbola. i.
Persamaan hyperbola horizontal pusat (p,q) Hyperbola horizontal adalah hyperbola yang memiliki sumbu nyata nya adalah sumbu X atau sejajar sumbu X sehingga titik fokusnya adalah F 1 F2 Ambil sembarang titik P (x,y) pada hyperbola sehingga berlaku
69
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan
Semester I
()
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
....(kedua ruas dibagi 4)
(() ) ( ) ( ) () ......(kuadratkan kedua ruas)
.......(mengingat .....(kedua ruas dibagi
)
)
Jadi, persamaan hyperbola horizontal dengan pusat (0,0) adalah ii.
Persamaan hyperbola vertikal pusat
.
dengan
Hyperbola horizontal adalah hyperbola yang memiliki sumbu nyata nya adalah sumbu Y atau sejajar sumbu Y sehingga titik fokusnya adalah F 1
dan
F2
Ambil sembarang titik P (x,y) pada hyperbola sehingga berlaku
70
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
() ....(kedua ruas dibagi 4)
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
........(kuadratkan kedua ruas)
.......(mengingat
.....(kedua ruas dibagi
)
)
Jadi, persamaan hyperbola horizontal dengan pusat (p,q) adalah Sehingga dari penjabaran diatas diperoleh sebagai berikut : Tabel 4.2 Persamaan Hyperbola dengan Pusat Pusat
Horizontal
dengan
Vertikal
Contoh 2 Tentukan Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat (2,3) , sumbu nyata sumbu Y,
panjang sumbu khayal 16 dan panjang sumbu nyata 10. Jawab : sumbu nyata sumbu Y maka hyperbola nya merupakan hyperbola vertikal. panjang sumbu khayal =2b=16 => b=8 71
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
.
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
panjang sumbu nyata = 2a =10 => a = 5 sehingga persamaan hyperbola tersebut adalah dengan pusat (0,0)
c. Rangkuman
Unsur-unsur hyperbola dengan pusat (p,q) diberikan sebagai berikut :
No
Jenis Hyperbola
Unsur
Horizontal
1
Puncak
2
Fokus
3
Sumbu mayor
4
Sumbu minor
5
Asimtot
Vertikal
(sumbu x)
(sumbu y)
(sumbu y)
(sumbu x)
Persamaan hypebola dengan pusat (p,q) diberikan sebagai berikut : Pusat
Horizontal
Vertikal
d. Tes Formatif-2 1) Tentukan pusat ,puncak,fokus,dan asimtot dari
!
2) Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat di (3,2), sumbu nyata sejajar sumbu X, panjang sumbu nyata 10 dan panjang sumbu khayal 6 ! 3) Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat di (-2,1), sumbu nyata sejajar sumbu Y, panjang sumbu nyata 6 dan jarak kedua fokus 8 ! 4) Tentukan persamaan hyperbola yang fokusnya jarak kedua puncaknya 24 !
e. Kunci Test Formatif 1)
√ (
72
√
, puncak (-3,-3) dan (11,-3) , fokus ( dan asimtot
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan
dan
serta
Semester I
2) 3) 4)
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
3. Kegiatan Belajar -3
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung hyperbola melalui titik pada hyperbola. 2) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung hyperbola bergradien m . b. Uraian Materi Secara
umum
persamaan
garis
singgung
hyperbola
dibagi
menjadi
dua
permasalahan, yang meliputi : PERSAMAAN GARIS SINGGUNG Ber radien m
Melalui Sebuah titik
Diluar Elli s i.
Pada Ellips
Persamaan garis singgung bergradien m Persamaan garis singgung bergradien m diberikan sebagai berikut : Tabel 4.3 Persaman Garis Singgung Bergradien m JENIS ELLIPSE
Pusat (0,0)
Horizontal (p,q)
(0,0) Vertikal (p,q)
Persamaan Hyperbola
Bergradien m
Pembuktian persamaan garis singgung hyperbola horizontal bergradien m diberikan sebagai berikut : 73
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
c) Untuk Hyperbola Horizontal Pusat (0,0) Misalkan persamaan garis singgung nya adalah Dengan persamaan hyperbola adalah
...........(1) ............(2)
Dengan mensubsitusikan (1) pada (2) diperoleh
( ) √
...(kedua ruas dikali
Syarat garis
men yinggung
)
adalah
...(kedua ruas dibagi
)
Sehingga persamaan garis singgung hyperbola horizontal bergradien m dengan pusat (0,0) adalah
d) Untuk Hyperbola Horizontal Pusat (p,q) Misalkan persamaan garis singgung nya adalah Dengan persamaan hyperbola adalah
Dengan mensubtitusikan (1) pada (2) diperoleh
74
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
...........(1)
............(2)
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
()
() Karena garis
menyinggung hyperbola
maka
............(kedua ruas dikali
(kedua ruas dibagi
)
)
Sehingga persamaan garis singgung hyperbola horizontal bergradien m dengan pusat
(p,q) adalah
Untuk hyperbola horizontal dengan pusat (0,0) persamaan garis singgung nya menjadi .
Latihan :
Turunkan persamaan garis singgung hyperbola vertikal bergradien m dengan pusat (0,0) dan (p,q) ! Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung hyperbola Jawab :
75
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
bergradien 1 !
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Perhatikan bahwa hyperbola (0,0) dengan
merupakan hyperbola horizontal berpusat
, sehingga persamaan garis singgung hyperbola
tersebut yang bergradien 1 adalah
√ √ √ √
ii. Persamaan garis singgung melalui suatu titik
Khusus untuk menentukan persamaan garis singgung hyperbola melalui suatu titik, perlu diperiksa terlebih dahulu kedudukan titik tersebut terhadap hyperbola, dengan cara sebagai berikut : 1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0 2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:
Jika hasil ruas kiri < 0 ,maka titik berada didalam hyperbola
Jika hasil ruas kiri = 0 , maka titik berada pada hyperbola
Jika hasil ruas kiri > 0 , maka titik berada diluar hyperbola
Berdasarkan kedudukan titik terhadap hyperbola maka diperoleh :
c) Titik Jika
didalam hyperbola didalam hyperbola maka tidak terdapat persamaan garis singgung
hyperbola yang melewati titik tersebut karena setiap kali kita membuat garis melalui titik tersebut maka garis tersebut akan selalu memotong hyperbola di dua buah titik sehingga garis tersebut bukanlah garis singgung hyperbola seperti yang diilustrasika pada gambar 4. d) Titik
pada hyperbola
Persamaan garis singgung bergradien m diberikan sebagai berikut :
76
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Tabel 4.4 Persaman Garis Singgung melalui titik pada hyperbola JENIS ELLIPSE
Pusat
(0,0) Horizontal (p,q) (0,0) Vertikal (p,q)
pada ellipse
Bentuk Umum
Titik (
Persamaan Hyperbola
Misalkan persamaan garis singgung nya adalah Misalkan
Perhatikan:
......................................................................................... (1)
()
....................................................................................................(2)
Substitusikan (1) pada (2) diperoleh
hyperbola memotong di satu titik sehingga persamaan terakhir memiliki dua akar Syarat menyinggungung adalah garis
kembar.
Perhatikan 77
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
( ) ( )
............................................................. (
.......................................................... (kedua ruas dibagi
)
Subsitusikan nilai m pada persamaan (1) diperoleh
....................( ) .....(
kedua ruas dibagi
karena (
Jadi, persamaan garis singgung hyperbola hyperbola adalah
) pada hyperbola)
melalui satu titik pada
.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan persamaan garis singgung hyperbola melalui satu titik pada hyperbola untuk hyperbola horizontal dengan pusat (p,q) dan hyperbola vertikal dengan pusat (0,0) dan (p,q) Bukti lengkapnya, ditinggalkan sebagai latihan. Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung hyperbola Jawab :
√ di titik
Untuk menentukan persamaan garis singgung hyperbola tersebut perlu di dek terlebih dahulu kedudukan titik 78
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
√
terhadap hypebrola.
)!
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
√ √ √ √ ( √) √ √ √ Cek kedudukan tiitk
Sehingga titik
berada pada hypebrola, akibatnya persamaan garis
singgung hyperbola tersebut di titik
adalah
c. Rangkuman
Persamaan garis singgung hyperbola melalui satu titik pada hyperbola dan persamaan garis singgung hyperbola bergradien m diberikan sebagai berikut :
JENIS ELLIPSE
Pusat (0,0)
Horizontal (p,q)
(0,0) Vertikal (p,q)
Bentuk Umum
Titik (
pada ellipse
d. Tes Formatif-3 1.
Tentukan persamaan garis yang menyinggung hyperbola
(1,-1) ! 2. Tentukan persamaan garis singgung hyperbola di titik A(3,3) ! 3. Tentukan persamaan garis singgung hyperbola
79
Bergradien m
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
di titik
bergradien 2 !
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
4. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis hyperbola
dan menyinggung
!
e. Kunci Test Formatif 1) 2) 3)
4) 4. Kegiatan Belajar -4
a. Tujuan Pembelajaran
Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung hyperbola melalui satu titik diluar hyperbola. b. Uraian Materi A. Persamaan Garis Singgung Hyperbola Melalui Satu Titik Diluar Hyperbola Persamaan garis singgung hyperbola yang melalui suatu titik di luar hyperbola dapat ditentukan dengan menggunakan langkah berikut : 1) Gunakan persamaan garis singgung hyperbola dengan gradien m . 2) Tentukan nilai m dari persamaan garis singgung tersebut dengan mensubsitusikan koordinat titik diluar hyperbola yang diketahui. 3) Subsitukan nilai m yang diperoleh pada persamaan garis singgung atau gunakan persamaan garis lurus melalui satu titik bergradien m dan titik
yaitu
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung hyperbola titik (1,0) !
Jawab : Cek kedudukan titik (1,0)
Sehingga titik (2,2) berada diluar hyperbola.
80
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
yang melalui
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Perhatikan bahwa hyperbola dengan
merupakan hyperbola horizontal
sehingga persamaan garis singgung nya akan
berbentuk
√ √ √ √ √ √ √√ √ √√
Sehingga persamaan garis singgung hyperbola melalui titik (1,0) adalah
Untuk
Untuk
Jadi, persamaan garis singgung hyperbola melalui tiik (1,0) adalah
√√ √√ atau
.
c. Rangkuman
Persamaan garis singgung hyperbola yang melalui suatu titik di luar hyperbola dapat ditentukan dengan menggunakan langkah berikut : 1) Gunakan persamaan garis singgung hyperbola dengan gradien m . 2) Tentukan nilai m dari persamaan garis singgung tersebut dengan mensubsitusikan koordinat titik diluar hyperbola yang diketahui. 3) Subsitukan nilai m yang diperoleh pada persamaan garis singgung atau gunakan persamaan garis lurus melalui satu titik bergradien m dan titik
yaitu
d. Tes Formatif-4 1. Tentukan persamaan garis yang ditarik dari titik (-7,-1) dan menyinggung ellips
!
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,-5) dan menyinggung hyperbola !
e. Kunci Test Formatif 81
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
1) 2)
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
√ √
C. Evaluasi
1. Tentukan panjang sumbu mayor,panjang sumbu minor,koordinat titik puncak dan koordinat titik fokusnya serta gambarlah grafik hyperbola
!
2. Tentukan persamaan hyperbola yang berfokus di titik (5,0), berpusat di titik (0,0) dan panjang sumbu mayor = 8 ! 3. Tentukan panjang sumbu mayor,panjang sumbu minor,koordinat titik puncak dan
koordinat titik fokusnya serta gambarlah grafik hyperbola 4. Tentukan persamaan asimtot dari hyperbola
!
!
5. Tentukan persamaan hyperbola dengan titik puncak di
dan titik fokus
6. Tentukan persamaan hyperbola yang mempunyai puncak
√ √ !
!
dan fokus
7. Tentukan persamaan hyperbola dengan panjang sumbu minor 8 dan koordinat fokus dan (1,4) !
8. Tentukan persamaan hyperbola yang mempunyai puncak !
9. Tentukan persamaan garis singgung hyperbola
di titik (7,-1) !
10. Tentukan persamaan garis singgung hyperbola di titik
hyperbola
dan fokus
!
dan menyinggung
11. Tentukan persamaan garis singgung hyperbola yang menyinggung hyperbola dengan gradien 2 !
12. Tentukan persamaan garis singgung hyperbola di titik hyperbola
!
13. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis menyinggung
!
14. Tentukan persamaan garis singgung hyperbola (-3,7) !
82
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
dan menyinggung
dan
yang melalui titik
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
BAB IV. IRISAN DUA LINGKARAN PETA KONSEP
REVIEW PERSAMAAN LINGKARAN
KEDUDUKAN DUA LINGKARAN IRISAN DUA LINGKARAN
IRISAN DUA LINGKARAN
KUASA LINGKARAN
GARIS KUASA DAN TITIK KUASA
GEOMETRI LINGKARAN PENERAPAN IRISAN DUA LINGKARAN MASALAH NYATA
83
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
A. Pendahuluan
1. Deskripsi Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan lingkaran, yang paling sederhana adalah pada bentuk ban (motor,mobil,dll). Pemanfaatan lain dari konsep lingkaran adalah pada radar kapal yang radar kapal berbentuk lingkaran untuk mendeteksi objek yang berada disekitar kapal dalam radius tertentu. Pada jenjang pendidikan sebelumnya kalian sudah dikenalkan dengan lingkaran baik unsur-unsur nya sampai menentukan luas dan keliling lingkaran. Dalam bab ini kalian akan diperkenalkan tentang konsep baru mengenai lingkaran yang meliputi kedudukan titik pada lingkaran,kedudukan garis terhadap lingkaran, kedudukan dua buah lingkaran, kuasa lingkaran, garis kuasa dan titik kuasa, dan berkas lingkaran. 2. Prasyarat Dalam mempelajari bab ini perlu diingat kembali tentang definisi lingkaran, unsurunsur lingkaran dan persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran dan unsur-unsur nya diberikan sebagai beirkut : PERSAMAAN
PUSAT
JARI-JARI
(0,0) (p,q)
3. Tujuan Modul Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat : 1) Menentukan hubungan antara dua buah lingkaran 2) Menentukan kuasa lingkaran dan kududukan titik terhadap lingkaran 3) Menentukan persamaan garis kuasa lingkaran dan titik kuasa 4) Menentukan berkas lingkaran 4. Cek Kemampuan Kerjakanlah soal-soal berikut !
a. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 5 ! b. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 3 ! 84
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
c. Tentukan
persamaan
pusat
dan
jari-jari
dari
lingkaran
B. Pembelajaran
B.1. Rencana Belajar Siswa V. Kompetensi Inti KI1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong
royong,kerja sama,toleran,damai), santun, responsif dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual,
prosedural
berdasarkan
rasa
ingintahunya tentang
ilmu
pengetahuan,
teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan
mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan VI. Kompetensi Dasar 3.6 Mendeskripsikan konsep lingkaran dan menganalisis sifat-sifat irisan dua
lingkaran dan menerapkannya dalam memecahkan masalah. 4.5 Merencanakan dan melaksanakan strategi yang efektif dalam memecahkan
masalah nyata dengan model lingkaran yang saling beririsan, menginterpretasi masalah dalam gambar dan menyelesaikannya. Indikator : 1. Pertemuan Pertama
Siswa dapat menentukan kedudukan dua buah lingkaran. 2. Pertemuan Kedua
Siswa dapat menentukan kuasa lingkaran. Siswa dapat menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran jika diketahui kuasa lingkaran. 3. Pertemuan Ketiga 85
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Siswa dapat menentukan garis kuasa dan tiitk kuasa lingkaran. 4. Pertemuan Keempat
Siswa dapat menentukan berkas lingkaran dari dua buah lingkaran yang diketahui persamaan nya. B.2. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar -1
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan kedudukan dua buah lingkaran. b. Uraian Materi A. Kedudukan dua buah lingkaran Perhatikan kemungkinan kedudukan dua buah lingkaran berikut ini.
(i)
(ii)
(iii)
(iv) Pada gambar (i),kedua lingkaran berpotongan. Pada gambar (ii), kedua lingkaran
bersinggungan
dalam.
Pada gambar (iii),
kedua lingkaran
bersinggung luar.Pada gambar (iv), kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan (saling lepas). Dari kemungkinan-kemungkinan diatas untuk menentukan kedudukan dua buah lingkaran, digunakan syarat-syarat berikut : Misal
adalah pusat lingkaran I dengan jari-jari
lingkaran II dengan jari-jari
86
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
.
dan
adalah pusat
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
KEDUDUKAN Berpotongan
SYARAT
dengan
Bersinggungan dalam Bersinggungan luar
Tidak berpotongan dan Tidak bersinggungan Contoh 1 Tentukan hubungan lingkaran
dan
!
Jawab :
Perhatikan bahwa
√ √
Untuk lingkaran
Maka lingkaran
memiliki pusat
dan jari-jari
Untuk lingkaran
Maka lingkaran
Karena
memiliki pusat
maka
dan
dan jari-jari
saling berpotongan.
c. Rangkuman
Jenis-jenis kedudukan lingkaran meliputi : KEDUDUKAN Berpotongan Bersinggungan luar Bersinggungan dalam Tidak berpotongan dan Tidak bersinggungan
87
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
SYARAT
dengan
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
d. Tes Formatif-1 1) Tentukan
kedudukan
berpotongan
atau
pasangan
lingkaran-lingkaran
bersinggungan,
tentukan
titik
berikut ini. potong
atau
Jika titik
singgungnya. a) b)
dan
dan
2) Jika lingkaran
memotong lingkaran
di titik A dan
B, tentukan jarak A dan B !
3) Suatu lingkaran L menyinggung lingkaran
.
Jika lingkaran L tersebut berpusat P(4,2), tentukan persamaan lingkaran L tersebut ! e. Kunci Test Formatif 1) (a) Tidak berpotongan dan tidak bersinggungan (b) Berpotongan 2) 4 satuan 3)
2. Kegiatan Belajar -2
a. Tujuan Pembelajaran
Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan kuasa lingkaran. 2) Siswa dapat menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran jika diketahui kuasa lingkaran. b. Uraian Materi A. Kuasa Lingkaran Kuasa lingkaran adalah posisi sebuah titik terhadap lingkaran yang disimbolkan dengan K. Kedudukan titik terhadap lingkaran dibagi menjadi tiga yaitu di dalam lingkaran , pada lingkaran dan di luar lingkaran. B. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran Kedudukan titik terhadap lingkaran dapat ditentukan menggunakan nilai kuasa, dengan aturan sebagai berikut : Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
88
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
Titik Jika Jika Jika
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
memiliki kuasa
maka titik
maka titik maka titik
terletak di dalam lingkaran.
terletak pada lingkaran.
terletak di luar lingkaran.
Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Titik Jika Jika Jika
memiliki kuasa
maka titik
maka titik maka titik
Contoh 1
terletak di dalam lingkaran.
terletak pada lingkaran.
terletak di luar lingkaran.
Tentukan nilai kuasa dari titik (1,2) pada lingkaran
dan tentukan tempat kedudukan titik (1,2) pada lingkaran tersebut ! Jawab :
Nilai kuasa dari titik (1,2) pada lingkaran
Karena c. Rangkuman
maka titik (1,2) terletak di dalam lingkaran.
Kuasa lingkaran adalah posisi sebuah titik terhadap lingkaran yang disimbolkan dengan K.
Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Titik Jika Jika Jika
adalah
memiliki kuasa
maka titik maka titik maka titik
terletak di dalam lingkaran. terletak pada lingkaran.
terletak di luar lingkaran.
Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Titik Jika Jika Jika
d. Tes Formatif-2
memiliki kuasa
maka titik maka titik maka titik
terletak di dalam lingkaran. terletak pada lingkaran.
terletak di luar lingkaran.
1) Tentukan posisi titik (5,-1) terhadap lingkaran 2) Diketahui sebuah lingkaran
dan sebuah tiitk
A(m,1). Tentukan batas nilai m agar titik A berada di dalam lingkaran ! 89
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
!
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
e. Kunci Test Formatif 1) Pada lingkaran 2)
3. Kegiatan Belajar -3
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan garis kuasa dan tiitk kuasa lingkaran. b. Uraian Materi A. Garis Kuasa Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua buah lingkaran. Persamaan garis kuasa diberikan sebagai berikut : Misalkan diketahui dua buah lingkaran dengan persamaan
Maka persaman garis kuasa nya adalah
Bukti :
Misalkan diketahui dua buah lingkaran dengan persamaan
Akan ditentukan persamaan garis kuasa dari
artinya akan
ditentukan tempat kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap
.
Ambil sembarang titik
pada garis kuasa tersebut sehingga berlaku
Karena
adalah sembarang titik pada garis kuasa yang dicari maka
persamaan garis kuasa
90
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
adalah
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Misal
dituliskan dalam
dan
dituliskan
dalam
.
Sehingga persamaan garis kuasa diatas dapat dituliskan
Contoh 1
Tentukan persamaan garis kuasa lingkaran dan
!
Jawab :
B. Titik Kuasa
Pada tiga buah lingkaran yang tidak segaris tidak dapat dibuat sebuah garis kuasa. Karena garis-garis kuasa tiap-tiap dua lingkaran akan saling meotong di satu titik yang sama, titik potong ketiga garis kuasa tersebut disebut titik kuasa. Titik kuasa adalah titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap tiga buah lingkaran yang tidak segaris. Contoh 2
Tentukan koordinat-koordinat dari titik kuasa lingkaran-lingkaran berikut ini. 2
2
L1 = x + y + x + y – 14 = 0, 2
2
L2 = x + y = 13, dan 2
2
L3 = x + y + 3x – 2y – 26 = 0. Jawab : L1 – L2 = 0, didapat x + y – 1 = 0 L3 – L2 = 0, didapat 3x – 2y – 13 = 0 Dari kedua persamaan itu didapat x = 3 dan y = -2. Sehingga titik kuasa ketiga lingkaran itu adalah K(3, -2). c. Rangkuman
Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap dua buah lingkaran.
91
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Misalkan diketahui dua buah lingkaran dnegan persamaan
Maka persaman garis kuasa nya adalah
Titik kuasa adalah titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap tiga buah lingkaran yang tidak segaris.
d. Tes Formatif-3 1) Tentukan
persaman
garis
kuasa
dari
pasangan
dan
2) Diketahui lingkaran
lingkaran
!
dan
.
Tentukan
titik
pada
sumbu-y
yang
mempunyai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran dan tentukan kuasa titik tersebut terhadap kedua lingkaran !
3) Diketahui lingkaran
dan
. Titik (a,1) mempunyai kuasa yang sama
terhadap kedua lingkaran. a) Tentukan nilai a !
b) Tentukan kuasa titik tersebut terhadap dua lingkaran ! e. Kunci Test Formatif
1)
2) (0,1) dengan kuasa 10 3) (a)
(b) 10
4. Kegiatan Belajar -4
a. Tujuan Pembelajaran Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan berkas lingkaran dari dua buah lingkaran yang diketahui persamaan nya. b. Uraian Materi A. Berkas Lingkaran Definisi
92
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Berkas lingkaran adalah sejumlah lingkaran yang dapat dibuat melalui titiktitik potong kedua lingkaran. Misalkan diketahui dua buah lingkaran dnegan persamaan
Secara umum persamaan berkas lingkaran melalui titik potong dapat dicari dengan menggunakan rumus :
dan
Dalam sub bab ini bukti lengkap nya tidak disajikan, pembaca diharapkan dapat mencari referensi yang lain untuk membuktikan rumus diatas. Contoh 1
Diketahui dua buah lingkaran dan
saling berpotongan.Tentukan persamaan
berkas lingkaran yang melalui kedua titik potong lingkaran tersebut dan tiik (1,1). Jawab : Diketahui
dan
. Dari rumus berkas lingkaran diperoleh :
(
(*)
Karena berkas lingkaran tersebut melalui titik (1,1) diperoleh :
Subsitukan melalui (1,1)
pada (*) diperoleh persamaan berkas lingkaran yang
c. Rangkuman
93
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
Berkas lingkaran adalah sejumlah lingkaran yang dapat dibuat melalui titiktitik potong kedua lingkaran. Misalkan diketahui dua buah lingkaran dnegan persamaan
Secara umum persamaan berkas lingkaran melalui titik potong dicari dengan menggunakan rumus :
dan
dapat
d. Tes Formatif-4
1) Carilah persamaan berkas lingkaran yang melalui titik-titik potong dari lingkaran-lingkaran
dan
dan melalui
a) Titik (5,1) b) Sumbu-X c) Sumbu-Y
e. Kunci Test Formatif 1.
(b) (c) C. Evaluasi
(a).
1) Titik (a,b) adalah pusat lingkaran 2) Diketahui lingkaran
. Tentukan
!
mempunyai jari-jari 5 dan
menyinggung sumbu X. Tentukan pusat lingkaran !
3) Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis
!
4) Tentukan hubungan dari dua pasangan lingkaran berikut ini : a) b) c) d)
dan
dan
dan dan
5) Jika lingkaran
dan B, tentukan jarak A dan B !
94
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
memotong lingkaran
di titik A
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
Semester I
6) Suatu lingkaran L menyinggung lingkaran
. Jika
lingkaran L tersebut berpusat di P(4,2), tentukan persamaan lingkaran L tersebut ! 7) Diketahui lingkaran
dan lingkaran
di O(0,0) bersinggungan luar. Tentukan panjang diameter
yang berpusat
!
8) Tentukan posisi titik (15,-3) terhadap lingkaran
!
9) Tentukan persaman garis kuasa dari pasangan lingkaran dan
!
10) Tentukan persamaan garis kuasa terhadap lingkaran dengan persamaan dan
11) Persamaan
!
garis
kuasa
terhadap adalah
lingkaran
dan
. Tentukan nilai dari
!
12) Persamaan berkas lingkaran yang melalui titik potong lingkaran dengan persamaan dan
pangkal (0,0) adalah
serta melalui titik
. Tentukan nilai p !
13) Misalkan sebuah radar dapat mendeteksi benda yang mendekatinya dengan radius 180 mil. Tentukan dari titik berikut yang berada diluar jangkauan radar : (a) (150,50) (b) (135,150) (c) (60,160)
95
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
DAFTAR PUSTAKA
Sumadi,dkk.1997.Matematika SMU Jilid 3A .Tiga Serangkai. Sembiring,Suwah,dkk.2014.Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI:Kelompok Matematika Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam. Yrama Widya.Bandung Wirodikromo,Sartono.2006.Matematika XII.Erlangga.Yogyakarta
Jilid
3
IPA
untuk
Kelas
Sunardi,dkk. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI.Bumi Aksara.Jakarta Suparmin,dkk.2014. Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI: Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam.Mediatama.Surakarta
96
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
LAMPIRAN 1. KUNCI JAWABAN EVALUASI KUNCI JAWABAN I.
POLINOMIAL
1. -28
6. 24
2. -8
7. 0
3. f(-4)=365 dan f(4)=405
8. 2 akar
4. Hasil bag: 5. -12
II.
PARABOLA
1. (a) Fokus(0, direktris : ,
dan sisa 4
, puncak (0,0) dan
(b) Fokus (-3,3 , puncak (-2,3) dan direktris : , 2. 3. 4. 5.
III.
ELLIPS
1. (a) Pusat (0,0), puncak : (-3,0),(3,0),(0,-2) dan (0,2), fokus : dan dengan panjang sumbu mayor=6 dan panjang sumbu minor=4 (b) Pusat (0,0), puncak : ( ,0),( ,0),(0,-2) dan (0,2),
√
√
9. 6 10. 6
6.
7. P(4,2) 8. 9. 10.
√ √ √ √
8. 9. PGS tidak ada, karena titik berada di dalam ellips. 10. atau 11. atau 12. 13. atau
√ √√ √√√ √ √ √√ √√ √ √ fokus : dan dengan panjang sumbu mayor= dan panjang sumbu minor= (c) Pusat (-5,-3), puncak : (-5,-3), (-5+ ,-3), ‘ (5,-3) dan (-5,-3+ ) ,fokus : dan dengan panjang sumbu 97
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
14. A 15.
Semester I
√ √ mayor= minor=
2. 3. 4. 5. 6. 7.
IV.
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
dan panjang sumbu
HYPERBOLA
√
1. Puncak : (-3,0) dan (3,0), fokus : (-
√ √ √ dan
8.
. Panjang sumbu mayor 6 dan
9.
panjang sumbu minor 4. 2.
10. 11. 12.
3. Pusat : (0,1), puncak : (0,0) dan (0,2), fokus :(
dan
13.
.
14.
Panjang sumbu mayor 2 dan panjang
sumbu minor . 4. 5. 6. 7.
V.
LINGKARAN
1. 0 2. (3,-5) atau (-3,-5)
9. 10.
3.
11.
4. a) berpotongan
b) berpotongan c) berpotongan 98
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
12. 4
13. a) Berada di dalam jangkauan radar b) Diluar jangkauan radar
Semester I
[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]
d) berpotongan 5. 6.
√
7. 2
8. Diluar lingkaran
99
JUMROTUN | SMAN 5 SURAKARTA
c) Berada radar
di
dalam
jangkauan
