Modul Metode Numerik

Modul Metode Numerik

MODUL

METODE NUMERIK Dengan MATLAB

Dosen Pengampu : Nugroho Arif Sudi!o

UNI"ERSITAS SA#ID

SURAKARTA $%&'

0


Pendahu(uan

A) &)

Me*ode Numeri+ Des+ripsi

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disipl disiplin in ilmu ilmu penget pengetahu ahuan an (bidan (bidang g fisika, fisika, kimia, kimia, Teknik eknik Sipil, Sipil, Teknik eknik Mesin, Mesin, Elestro, dsb.. Sering model matematika tersebut rumit dan tidak dapat diselesaikan dengan dengan metod metodee analit analitik. ik. Metode Metode analiti analitik k adalah adalah metode metode penyel penyelesai esaian an model model matematika dengan rumus!rumus al"abar yang sudah la#im. $ebanyakan persoalan matematika matematika tidak dapat diselesaikan diselesaikan dengan dengan metode metode analitik. analitik. %ika metode analitik tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik. Metode Metode numerik numerik adalah adalah teknik teknik yang yang diguna digunakan kan untuk untuk memfor memformul mulasik asikan an persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa. Metode numerik adalah cara penyelesaian matematis, yang dikembangkan dari cara analisis, dan memasuki &ilayah simulasi. Simulasi dilangsungkan dengan menggunakan media komputer. Mata kuliah ini mempersiapkan mahasis&a untuk memaham memahamii konsep konsep dasar dasar metode metode numerik numerik,, kelebi kelebihan han dan kekura kekuranga ngan n masing masing!! masing metode numerik dibandingkan dengan metode lainnya, serta ketepatan hasil dan penerapannya. 'da enam enam tahapa tahapan n yang yang harus harus dilaku dilakukan kan dalam dalam menyel menyelesai esaikan kan persoal persoalan an dengan metode numerik, yaitu  a.

Pemode Pemodelan lan,, semua semua paramete parameterr dalam persoa persoalan lan dimod dimodelk elkan an dalam dalam bentuk bentuk persamaan matematika. Penyederhanaan model, model matematika yang diperoleh pada tahap pertama bisa sa"a masih kompleks. )ntuk memudahkan dan mempecepat kiner"a komputer, model tersebut disederhanakan dengan membuang parameter yang dapat diabaikan.

b.

*ormulasi numerik, setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap tahap selan selan"u "utn tnya ya adal adalah ah memf memfor ormu mulas lasik ikan anny nyaa secar secaraa nume numeri rik, k, yaitu yaitu Menentukan metode numerik yang akan digunakan beserta taksiran analisis

+


error a&al. Pemilihan metode didasarkan pada apakah metode tersebut teliti -an apakah metode mudah diprogram dan &aktu eksekusinya cepat c.

Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

d.

Pemrograman, Pemrograman, algoritma algoritma yang yang telah disusun disusun diter"emahka diter"emahkan n dalam dalam program program komputer, kemudian dituliskan dalam bentuk program (dengan menggunakan sala salah h

satu satu

soft soft&a &are re

yan yang

dapa dapatt

men menduku dukung ng

untu untuk k

mempe emperm rmu udah

pembuatannya, misalnya Matlab misalnya Matlab e.

perasional, perasional, program program kompu komputer ter di"alan di"alankan kan dengan dengan data data u"i u"i coba coba sebelum sebelum menggunakan data sebenarnya.

f.

E/aluasi, E/aluasi, bila program program sudah selesai di"alankan di"alankan dengan dengan menggunak menggunakan an data sesungg sesungguhn uhnya, ya, hasil hasil yang yang dipero diperoleh leh diinte diinterpr rpretas etasi. i. nterp nterpret retasi asi melipu meliputi ti analisis analisis hasil perhitungan perhitungan dan membandin membandingkann gkannya ya dengan dengan prinsip prinsip dasar dan hasil!hasil empiric untuk menentukan kualitas solusi numerik.

$)

Manfaa* Ma*a Ku(iah

Metode Numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani menangani sistem persamaan linear yang besar dan persamaan!persamaan yang rumit. Selain itu, metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika karena meru merupa paka kan n peny penyed ederh erhan anaa aan n mate matema matik tikaa yang yang lebi lebih h ting tinggi gi men" men"ad adii oper operasi asi matematika yang mendasar. 1agi 1agi ahli ahli inform informati atika, ka, metode metode numerik numerik sangat sangat pentin penting g sebaga sebagaii alat alat bantu bantu untuk untuk menyel menyelesai esaikan kan suatu suatu persoa persoalan lan yang yang rumit rumit secara secara numerik numerik.. -i dalam dalam memecahkan persoalan tersebut, seorang ahli informatika memiliki peran dalam melakukan melakukan formulasi numerik, menyusun algoritma algoritma dari metode numerik numerik yang dipi dipili lih, h,

mene mener" r"em emah ahka kan n

algo algori ritm tmaa

ke

dala dalam m

baha bahasa sa

pemr pemrog ogra rama man, n,

dan dan

men"alankan program dengan se"umlah data u"i. ,)

a.

Tu-uan In Ins*ru+siona( Um Umum

Mahasis&a memahami pengertian dasar metode numerik.

2


b.

Mahasis&a memahami kelebihan dan kekurangan setiap metode numerik.

c.

Mahasis&a dapat mencari akar!akar persamaan.

d.

Mahasis&a dapat menyelesaikan persoalan persamaan linear dan nonlinear

e.

Mahasis&a dapat membuat formula dari data!data yang ada.

f.

Mahasis&a mampu mengimplementasikan metode!metode numerik dalam program, dan mampu memecahkan persoalan yang diberikan baik memakai program karyanya maupun memakai paket stndar.

')

Tu-uan Ins*ru+siona( Khusus

Setelah selesai mengikuti mata kuliah ini, mahasis&a diharapkan memiliki kemampuan sebagai berikut. a.

Mahasis&a mampu menyebutkan bentuk pemodelan matematika sebagai bagaian dari proses penyelesaian.

b.

Mahasis&a mampu men"elaskan alasan digunakannya metode numerik dalam proses penyelesaian masalah sebagai suatu pendekatan.

c.

Mahasis&a mampu men"elaskan pengertian pendekatan dan mahasis&a mampu men"elaskan akibat dari proses penyelesaian masalah dengan usaha pendekatan.

d.

Mahasis&a mampu menyebutkan "enis dari kesalahan numerik dan men"elaskan pengertian dari setiap "enis kesalahan numeric.

e.

Mahasis&a

mampu

men"elaskan

pengertian

dari

angka

signifikan,

kesalahan relati/e dan kesalahan absolute dan menuliskan rumus umum dari kesalahan relati/e dan kesalahan absolute. f.

Mahasis&a dapat mencari solusi dari persamaan non!linier dengan menggunakan metode numerik metode 1iseksi, 3egula!*alsi, Sekan, terasi Titik Tetap, dan Ne&ton!3aphson.

g.

Mahasis&a mampu men"elaskan pengertian, bentuk logika, menyebutkan persyaratan, menelusuri algoritma secara benar dengan kondisi tertentu

4


sehingga diperoleh solusi yang diharapkan, dan menghitung besarnya kesalahan relati/e dan absolute dari hasil perhitungan dari masing!

masing

metode. h.

Mahasis&a

mampu

menemukan

perbedaan

dan

persamaan

proses

penyelesaian persamaan nonlinear antara metode 1iseksi, 3egula!*alsi, Sekan, terasi Titik Tetap, dan Ne&ton!3aphson. i.

Mahasis&a mampu mencari solusi dari sebuah sistim persamaan linear dengan menggunakan beberapa metode metode Eliminasi 5auss, Eliminasi 5auss!%ordan, dan iterasi 5auss!Seidel.

".

Mahasis&a

mampu

menemukan

kelebihan

dan

kekurangan

proses

penyelesaian persamaan linear antara metode Eliminasi 5auss, Eliminasi 5auss!%ordan, dan iterasi 5auss!Seidel. k.

Mahasis&a

mampu

menghitung

diferensi

sebuah

fungsi

dengan

menggunakan metode numerik metode Euler, modifikasi dan perbaikan metode Euler, serta metode 3unge!$utta orde +,2 dan 4. l.

Mahasis&a mampu menuliskan beberapa bentuk penya"ian fungsi dan "enis! "enis fungsi, men"elaskan pengertian pendekatan sebuah fungsi, dan men"elaskan pengertian interpolasi dan ekstrapolasi. Selain itu, mahasis&a mampu men"elaskan perbedaan antara interpolasi dan ekstrapolasi

m.

Mahasis&a mampu melakukan interpolasi dengan metode numerik interpolasi polinomial, interpolasi 6agrange, interpolasi Ne&ton!Selisih hingga, dan interpolasi Ne&ton!Selisih bagi.

n.

Mahasis&a

mampu

menghitung

integrasi

sebuah

fungsi

dengan

menggunakan metode numerik metode Empat Persegi Pan"ang, Titik Tengah, Trapesium, dan $uadratur 5auss. o.

Mahasis&a

mampu

men"elaskan

pengertian,

menelusuri

algoritma,

menghitung integrasi, dan menghitung besarnya kesalahan relati/e dan absolute dari hasil perhitungan dengan metode Empat Persegi Pan"ang, Titik Tengah, Trapesium, dan $uadratur 5auss.

7


p.

Mahasis&a mampu menentukan metode yang memiliki kesalahan terkecil antara metode Empat Persegi Pan"ang, Titik Tengah, Trapesium, dan $uadratur 5auss.

B)

Mathlab

-engan bantuan komputer, langkah!langkah metode numerik diformulasikan men"adi suatu program. Perkembangan teknologi yang antara lain mencakup bahasa pemrograman telah melalui beberapa tahap. Pada a&alnya bersifat Low Level Language dengan diperkenalkannya bahasa assembly. -isusul perkembangan bahasa dengan tingkat Middle dan High Level Language seperti *3T3'N, 899, 1'S8 : ;isual 1asic, Pascal, 816 dan lain!lain. 'khir!akhir ini bahasa script pemrograman di"adikan alternatif bagi praktisi karena kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program. -alam membuat suatu program dapat dilakukan dengan cara yang sangat mudah dengan &aktu yang relatif lebih singkat dibandingkan dengan menggunakan bahasa Middle dan High Level Language. Program Matlab dapat ditulis dengan menggunakan perintah yang sangat sederhana, namun dapat mencakup tuntutan untuk menyelesaikan persoalan menganalisis data. Sekarang ini Matlab adalah salah satu bahasa pemrograman yang banyak digunakan. Matlab mampu menangani perhitungan sederhana seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Matlab "uga mampu menyelesaikan perhitungan rumit, yang meliputi bilangan kompleks, akar dan pangkat, logaritma dan fungi trigonometri. Seperti kalkulator yang dapat diprogram, Matlab dapat digunakan untuk menyimpan dan mengambil data< dalam Matlab "uga dapat dibuat sekumpulan perintah untuk mengotomatisasi suatu persamaan yang rumit, dan masih banyak lagi kemampuan lain dari Matlab. -alam lingkungan Matlab, kita dapat mengembangkan dan melaksanakan program atau naskah, yang berisi perintah Matlab. $ita "uga dapat melaksanakan perintah Matlab, mengamati hasilnya, dan kemudian melaksanakan sebuah perintah Matlab lainnya yang berinteraksi dengan data dalam memori, mengamati hasilnya.

=


DA.TAR ISI

#a(aman /udu( Pendahu(uan Daf*ar Isi

+ 2 >

BAB I) Error da(am Kompu*asi Numeri+ +.+. 'lgoritma +.2. 1ilangan $omputer +.4. $esalahan ( Error  +.4.+. Error Pembulatan +.4.2. Error Pemotongan +.7. 'ngka Signifikan

? ? A +2 += +> +?

BAB II) A+ar Persamaan Non(inear 2.+. Estimasi Nilai '&al 2.2. Metode 1iseksi 2.4. Metode 3egula *alsi 2.7. Metode Ne&ton 2.=. Metode Secant 2.>. Perbandingan 1eberapa Metode Numerik

+A 2+ 2= 4? 74 =+ =?

BAB III) So(usi Sis*em Persamaan Linear 4.+. Sistem Persamaan 6inear 4.2. Metode 5rafik 4.4. Metode Matriks n/ers 4.7. 'turan 8ramer 4.=. Metode Eliminasi 5auss 4.>. Metode Eliminasi 5auss!%ordan 4.?. Penyelesaian SP6 dengan Menggunakan $omputer 4.@. Metode %acobi 4.A. Metode 5auss!Seidel

=A =A >+ >= >? >A ?0 ?+ ?2 ?@

BAB I") In*erpo(asi dan Regresi 7.+. nterpolasi Polinom 7.+.+. nterpolasi 6inear 7.+.2. nterpolasi $uadratik 7.+.4 nterpolasi $ubik

@= @? @A A+ A4

>


7.2. 7.4.

nterpolasi dengan Matlab 3egresi

A7 A@ +0+

Daf*ar Pus*a+a

BAB I

Error da(am Kompu*asi Numeri+

Tu-uan Ins*ru+siona( Umum

Mahasis&a menguasai atau memahami suatu teknik dasar metode numerik dan mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah sebagai suatu pendekatan.


Secara khusus mahasis&a diharapkan +.

Men"elaskan a lasan d igunakannya metode numerik d alam p roses penyelesaian masalah sebagai suatu pendekatan.

2.

Men"elaskan pengertian pendekatan.

4.

Menyebutkan "enis dari kesalahan numerik.

7.

Men"elaskan pengertian dari setiap "enis kesalahan numerik.

=.

Men"elaskan pengertian angka signifikan, serta kesalahan mutlak dan relatif.

Pengan*ar

-alam kehidupan sehari!hari, misalnya dalam bidang biologi, kedokteran, teknik atau ekonomi, kita sering men"umpai permasalahan dalam rumus matematis yang sulit dicari penyelesaian eksaknya. Bal ini biasanya ter"adi karena persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit.

?


'kibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik men"adi terbatas. $arena itu komputasi numerik men"adi amat penting. Metode numerik adalah teknik yang digunakan

untuk

memformulasikan

persoalan

matematik

sehingga

dapat

dipecahkan dengan sekumpulan operasi perhitungan atau aritmatika sederhana (tambah, kurang, kali, dan bagi. Solusi yang diperoleh melalui metode numerik biasanya adalah solusi yang menghampiri atau mendekati solusi eksak. Solusi numerik disebut "uga solusi hampiran (approximation atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran "elas tidak tepat sama dengan solusi eksak, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi antara solusi eksak dan solusi numerik tersebut biasa disebut sebagai error .

&)& A(gori*ma

perasi!operasi numerik biasanya adalah sekumpulan operasi yang dapat dilakukan oleh komputer. Metode komputasi yang digunakan disebut a(gori*ma. 'lgoritma adalah prosedur (perintah yang terdiri dari serangkaian berhingga operasi yang mempunyai arti tunggal yang dipakai untuk menyelesaikan sebuah masalah. Sebuah algoritma memiliki beberapa karakteristik, yaitu a.

Tiap langkah didefinisikan dengan persis sehingga mempunyai arti yang "elas dan mempunyai maksud tunggal.

b.

Barus sampai pada solusi:penyelesaian dari masalah setelah berhingga langkah.

c.

1ersifat umum, misalnya algoritma untuk penyelesaian sebuah SP6 harus dapat dipakai untuk SP6 sebarang ukuran.

1erikut adalah komponen!komponen dalam algoritma a.

Masukan (input  1erupa data!data yang diperlukan untuk melakukan perhitungan yang akan menyelesaikan masalah.

b.

$eluaran (output  1erupa data!data yang ingin dihasilkan dari perhitungan algoritma.

@


c.

6angkah!langkah Perintah!perintah atau perhitungan!perhitungan yang di"alankan algoritma untuk menyelesaikan masalah.

8ontoh +.+.+ Tuliskan algoritma untuk menentukan solusi atau akar!akar dari persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0

Penyelesaian: 3umus dasar untuk mencari solusi persamaan di atas adalah x+, 2 

 b  b 2  7ac 2a

'da tiga kemungkinan, yaitu diperoleh 2 akar real berbeda, + akar real, dan 2 akar kompleks. $etiga kasus tersebut ditentukan berdasarkan nilai discriminant 2 D  b  7ac

-alam hal akarnya real, hasil disimpan di /ariabel x+ dan x2 . 1ila akarnya kompleks, hasil disimpan di /ariabel re (bagian real dan im (imaginer.

Algoritma mencari solusi (akar) ax 2  bx  c  0

nput a, b, c utput x+ , x2 , re, im 6angkah!langkah +. Bitung D C b 2  7ac 2. %ika D  0 , maka x+    b  sqrt ( D  : 2a x2    b  sqrt ( D  : 2a "ika tidak, maka re  b : 2a im  sqrt (  D  : 2 a

&)$ Bi(angan Kompu*er

A


$omputer menya"ikan bilangan dalam dua mode, yaitu integer dan floating point. -alam perhitungan sehari!hari, kita lebih sering menggunakan bilangan dengan basis +0 (decimal . Namun, hampir semua komputer memakai basis 2 ( binary atau /ariannya seperti basis @ (oktal  dan basis +> (hexadecimal . (i

Transformasi ke dalam basis +0 (decimal . Pada basis +0, semua bilangan terdiri dari +0 angka yaitu 0, +, ..., A.

Sembarang bilangan decimal dapat diekspansikan berdasarkan angka basisnya (+0. Perhatikan contoh berikut 4+=.?2 C 4

 +02 9 +  +0+ 9 =  +00 9 ?  +0!+ 9 2  +0!2

Selan"utnya, apabila diberikan sembarang bilangan dengan sembarang basis b, maka diperoleh bilangan decimal sebagai berikut.

 d 4d 2 d +d 0 .d +d  2  b 

 b4 9 d  b2 9 d  b+ 9 d  b!+ 9 d   b!2

d 4

9

2

+

+

d 0

 b0

2

8ontoh +.2.+ Tulislah (++0++.0+ 2 dan ( >. D2+> dalam bilangan decimal . Penyelesaian a. Pada basis 2, semua bilangan terdiri dari 2 angka yaitu 0 dan +. %adi (++0++.0+2 C +  27 9 +  24 9 0

 22 9 +  2+ 9 +  20 9 0  2!+ 9 +  2!2

C 2?.2= b. Pada basis +>, semua bilangan dinyatakan dengan angka 0, 2, ..., A, , !, ..., " , dengan , !, ..., dan " berturut!turut mempunyai nilai +0, ++, ..., +=. %adi ( >. D2+> C +0

 +>+ 9 >  +>0 9 +4  +>!+ 9 2  +>!2

C +>>.@204+2= (ii

Transformasi dari basis +0 (decimal  ke basis lain. 'da dua bentuk bilangan decimal , yaitu integer (bilangan bulat dan pecahan

 0  x  + . )ntuk bilangan decimal integer x mempunyai bentuk bilangan dalam basis b sebagai berikut. x  (d n d n +...d +d 0 b

+0


C d n

 bn 9

d n +

 bn!+ 9 ... 9

d +

 b+ 9

d 0

 b0

(+.+ $emudian membagi kedua ruas persamaan (+.+ dengan b sehingga diperoleh x b

n +

n b  d   

 d n +  bn +  ...  d ++ 

d 0

         int eger

b

Perhatikan bah&a d 0 adalah sisa (remainder  dari x dibagi b. 'pabila proses dilan"utkan, maka d + adalah sisa dari

x b

dibagi b, dan seterusnya.

8ontoh +.2.2 Tulislah bentuk binary dari bilangan decimal integer 2=. Penyelesaian 22= 2+2 2> 24 2+ 0

Sisa + C d 0 0 C d + 0 C d 2 + C d 4 + C d 7

%adi, 2= C (++00+ 2.

Selan"utnya, untuk bilangan decimal pecahan mempunyai bentuk bilangan dalam basis b sebagai berikut. x  (d +d  2+...b

C d

+

 b!+ 9

d  2

 b!2 9 ...

(+.2 $emudian mengalikan kedua ruas persamaan (+.2 dengan b sehingga diperoleh bx  d +  d  2  b 

int eger

+

 ...

     pecahan

Perhatikan bah&a d + adalah bagian in*eger dari bx. Proses dilan"utkan dengan 

mengalikan bagian pe0ahan dari bx dengan b, sehingga diperoleh d  2 , dan seterusnya.

++


8ontoh +.2.4 Tulislah bentuk binary dari bilangan decimal integer 0.=A4?=. Penyelesaian 0.=A4?= D2 &.+@?=0 D2 %.4?=00 D2 %.?=000 D2 &.=0000 D2 &.00000

integer + C d

+

0 C d  2 0 C d

4

+ C d  7 + C d

=

%adi, 0.=A4?= C (.+00++ 2. 8ontoh +.2.7 Tulislah bentuk binary dari bilangan decimal 2=.=A4?=. Penyelesaian 1ilangan 2=.=A4?= mempunyai bentuk integer 2= dan pecahan 0.=A4?=. -ari 8ontoh +.2.2 dan +.2.4 diperoleh 2= C (++00+ 2 dan 0.=A4?= C (.+000++ 2 %adi, 2=.=A4?= C (++00+.+000++ 2.

Secara umum "ika basis bilangan suatu komputer adalah b, maka suatu bilangan non!#ero x disimpan dalam bentuk x   (.d +d 2 d 4 ...b .b e

dengan

 (sign bernilai + atau  + , e adalah eksponen

( L  e  #  ,

(.d +d 2 d 4 ... b disebut mantissa, dan . disebut radiD.

+2


%ika suatu bilangan tidak mampu direpresentasikan oleh komputer karena e  L atau e  # , maka akan ter"adi under:o/erflo&. %adi setiap bilangan harus L +  t L + berada dalam inter/al x L  x  x# , dengan x L  b dan x#  (+  b b .

&), Kesa(ahan 1 Error 2

'spek penting yang perlu diperhatikan di dalam komputasi numerik adalah keakuratan penyelesaian yang diperoleh. Bal ini disebabkan penyelesaian yang diperoleh melalui komputasi numerik umumnya merupakan solusi hampiran, yang tentunya terdapat beberapa error (kesalahan numerik. 1erikut ini merupakan beberapa sumber error pada suatu solusi hampiran. a. 'sumsi yang digunakan untuk mengubah peristi&a alam ke dalam model matematik. b. $esalahan aritmatik dan programming. c. $etidakpastian dalam data. d. $esalahan mesin. e. $esalahan matematis dalam kesalahan pemotongan atau pembulatan. $esalahan numerik dapat disebabkan oleh kekurangcermatan

manusia

(human error , penggunaan alat ukur dan penggunaan mesin hitung:kalkulator: komputer. $ekurangcermatan manusia dapat menyebabkan kesalahan di dalam merumuskan model matematika suatu fenomena alam dan hasil pengukuran (kesalahan membaca alat ukur. Pemakaian alat ukur yang tidak akurat "uga akan menghasilkan pengukuran (data yang mengandung error. $eterbatasan mesin hitung:kalkulator:komputer dalam menya"ikan suatu bilangan akan menghasilkan kesalahan!kesalahan pembulatan:pemotongan. Error yang disebabkan oleh kekurangtelitian model matematika dan oleh error ba&aan dari data masukan bersifat inherent (ba&aan:melekat. Error ini mungkin tetap ada, sekalipun penyelesaiannya diperoleh dengan menggunakan metode eksak. Tingkat keakuratan suatu model matematika dalam men"elaskan suatu

fenomena alam diu"i

dengan membandingkan

hasil!hasil

beberapa

+4


eksperimen dengan beberapa hasil penyelesaian khusus dengan menggunakan beberapa parameter masukan. Secara matematis, error adalah perbedaan nilai dari suatu besaran antara nilai eksak dengan nilai hampirannya.

Error C x$  x  (+.4

dengan x$ C nilai eksak, dan x  C nilai hampiran.terhadap x$ .

Persamaan (+.4 disebut "uga error mutlak:absolut. Selain error mutlak, pada metode numerik "uga didefinisikan error relatif, yaitu Error %elati& C

x$  x 

(+.7

x$

Error relatif hanya dapat digunakan bila nilai eksak dari besaran yang dilibatkan bukan nol ( x$  0 . -alam hal

Error  x$ ,

error relatif sering dihampiri

dengan

Error %elati& C

x$  x 

(+.=

x 

8ontoh +.4.+ Tentukan error absolut dan error relatif, "ika nilai eksaknya diketahui a. x$  4.+7+=A2 dan x   4.+7 Error C x$  x  C 4.+7+=A2  4.+7 C 0.00+=A2 Error relatif C

x$  x 

b. x$  e dan x  

x$

C

0.00+=A2 4.+7+=A2

C 0.000=0?

+2= 7>

+7


Error C x$  x  C e  Error relatif C

x$  x  x$

+2= 7>

C

C 0.000@A

0.000@A C 0.00044 e

c. x$  0.0000A dan x   0.0000+2 Error C x$  x  C 0.0000A  0.0000+2 C 0.000004 Error relatif C

x$  x  x$

C

0.000004 C 0.2= 0 .0000A

8ontoh +.4.2 Terdapat tugas untuk mengukur pan"ang sebuah "embatan dan sebuah paku. Basil pengukuran menun"ukkan bah&a pan"ang "embatan dan paku berturut! turut adalah A.AAA dan A cm. %ika diketahui pan"ang sebenarnya dari "embatan dan paku adalah +0.000 dan +0 cm, hitunglah (a error dan (b error relatif, untuk setiap kasus. Penyelesaian a. )ntuk "embatan Error C +0.000  A.AAA C + cm )ntuk paku

Error C +0  A C + cm

b. )ntuk "embatan Error relatif C )ntuk paku

Error relatif C

+ +0.000 + +0

C 0.000+ C 0.0+F

 0.+  +0F

%adi, meskipun sama!sama mempunyai error + cm, tetapi dapat dikatakan pengukuran untuk "embatan lebih baik dari pada paku, karena persentase error yang diperoleh (error relatif lebih kecil.

Ma0am3ma0am Error &),)&

Error Pemu(a*an 1 Rounding Off Error 2

Error pembulatan adalah error yang timbul akibat pembulatan bilangan. 1iasanya pembulatan ini ter"adi karena adanya keterbatasan pada alat hitung yang kita pakai. Pembulatan artinya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran dengan cara

+=


membuang beberapa digit terakhir. 1erikut ini adalah aturan cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiran. a.

%ika digit pertama yang dibuang kurang dari =, maka digit di depannya tidak berubah.

b.

%ika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan =, maka nilai digit di depannya ditambah +.

8ontoh +.4.4 a.

Misalkan kita menggunakan komputer dengan kemampuan menyimpan = ang! ka desimal. 1ila kita ingin menyimpan bilangan

2 4  0.>>>>>>... ,

maka

dalam komputer tersebut akan disimpan men"adi 0.>>>>?, sehingga ter"adi error pembulatan. b. Nilai!nilai 2.+7+=@, !0.002=, =7.00AA@2 "ika dibulatkan berturut!turut sampai dua, tiga, dan empat angka desimal di belakang koma, maka diperoleh 2.+7, !0.004 dan =7.0+00. -alam komputasi numerik, pengulangan pembulatan tidak disarankan karena akan memperbesar error. Sebagai contoh, "ika nilai [email protected]>+ dibulatkan sampai tiga angka desimal diperoleh [email protected]= dan "ika dibulatkan lagi sampai dua angka desimal didapat [email protected]=. 'kan tetapi, "ika langsung dibulatkan sampai dua angka desimal hasilnya adalah [email protected]. Perhatikan bah&a error dua kali pembulatan adalah 0.00=4A, sedangkan error sekali pembulatan adalah 0.007>+.

&),)$

Error Pemo*ongan 1Truncation Error 2

Error pemotongan adalah error yang timbul akibat pemotongan rumus matematika tertentu untuk menghampiri suatu besaran. Sebagai ilustrasi, misal ingin dihitung nilai sin(0.+ memakai deret Mc 6aurin. -ari kalkulus diketahui sin( x  x 

x 4 4G



x = =G



x ? ?G



xA AG

 ...

'lgoritma yang dikonstruksi untuk menghitung nilai sin(0.+ tidak dapat menghitung seluruh suku di ruas kanan dari deret tersebut, sebab hitungan dalam

+>


suatu algoritma harus berhingga. %adi biasanya ruas kanan dari deret tersebut dihampiri sampai se"umlah suku tertentu sa"a, misalnya hanya sampai suku ke!4, yaitu

x

=

=G

. -engan demikian diperoleh sin(0.+



0.+ 

(0.+ 4



4G

(0.+ = =G

dengan error pemotongan sebesar



(0.+ ? ?G

(0.+ A



AG

 ...

8ontoh +.4.7 Tentukan error pemotongan absolut dan relatif apabila nilai cos(+.= C 0.0?0?4? dihampiri dengan deret Mc 6aurin sampai suku ke!7. Penyelesaian -ari kalkulus diketahui bah&a cos( x   + 

x 2 2G



x 7 7G



x > >G



x@ @G



x+0 +0G

 ...

x > Suku ke!7 dari deret cos( x tersebut adalah  , sehingga untuk x C +.= diperoleh >G

hampiran cos(+.= C + 

(+.= 2 2G



(+.= 7 7G



(+.= > >G

 0.0?0+@? , dibulatkan sampai

enam angka desimal. %adi, error pemotongan absolut hampiran tersebut adalah 0.0?0?4?  0.0?0+@?  0.000==0

dan

error

pemotongan

relatif

adalah

0.000==0 0.0?0?4?  0.00??=4 .

&)'

Ang+a Signifi+an 1 Significant Digits2

Nilai x  dikatakan mempunyai m angka signifikan terhadap x$ , "ika error ( x$  x   mempunyai nilai  = pada (m 9 + angka dihitung ke kanan dari angka

non!#ero di dalam x$ .

+?


8ontoh +.7.+ a. x$ 

+ 4

+

+ 2 4 7

 0.4 444..., x   0.444, x$  x   0. 0 0 0 4

karena pada angka ke!7 errornya H =, maka x 

mempunyai 4 angka

signifikan, sehingga x  C 0.444. b. x$ 

+ 4

+

+ 2 4

 0.0 2+4@ , x   0.02+77 , x$  x   0.0 0 0 0 >

karena pada angka ke!4 errornya H =, maka x  mempunyai 2 angka signifikan, sehingga x  C 0.02+. + 2

4 7 =

c. x$  +2.7A> , x   +2.7A7 , x$  x   0 0 . 0 0 2 karena pada angka ke!= errornya H =, maka x  mempunyai 7 angka signifikan, sehingga x  C +2.7A.

+@


E"ALUASI

$er"akan soal!soal berikut ini dengan benar. +.

Tuliskan algoritma untuk menentukan apakah sebuah bilangan bulat termasuk bilangan prima atau bukan.

2.

Tuliskan bilangan!bilangan binary berikut ke dalam basis +0 (decimal . a. (++0+0+.++0+ 2

c. (++.00+00+000+ 2

b. (0.++0++0++0 2

d. (+.0++0+0+ 2

4.

Tuliskan bilangan!bilangan octal berikut ke dalam bilangan decimal . a. (=>.?2 @

c. (0.??+=@

b. (++4.002 @

d. (?.+2> @

7.

Tuliskan bilangan!bilangan hexadecimal berikut ke dalam bilangan decimal . a. (4 D.A " +>

c. (0. "E 2+>

b. ( . !2A' +>

d. (2@+. !4 ' +>

=.

Tuliskan bilangan decimal 7>.?04+2= dalam bentuk bilangan a. binary

c. hexadecimal

b. octal >.

Bitung error, error relatif, dan "umlah angka signifikan dari a. +.?4 sebagai nilai hampiran terhadap b. A.@? sebagai nilai hampiran terhadap

?.

4 

2

.

Bitung error antara

& (0.0+ dan P ( 0.0+ "ika

diketahui e  +  x x

& ( x 

@.

x

2

Bitung

dan error

p ( x 

+ 2



x >



x 2 27

2  (+.0++0+0+ 2 ,

dengan

2  +.7+72+4=>24?40A...

+A


A.

Bitung 

error



 (++.00+00+000+ 2 ,

dengan

 4.+7+=A2>=4=@A?A...

+0.

Tentukan

nilai

hampiran

cos(+.A

dengan

menggunakan deret Mc 6aurin sampai suku ke!7.

BAB II

A+ar Persamaan Non(inear


Mahasis&a menguasai atau memahami pengertian pesamaan nonlinear dan mampu mencari solusi persamaan linear dengan beberapa metode numerik.



Men"elaskan pengertian persamaan nonlinear.

2.

Men"elaskan solusi persamaan nonlinear.

4.

Men"elaskan

pengertian

solusi

persamaan

nonlinear

secara

numerik. 7.

Menelusuri dasar logika penyelesaian persamaan nonlinear secara numerik.

=.

Menyebutkan

beberapa

metode

pendekatan

dalam

solusi

persamaan nonlinear secara numerik.

20


Pengan*ar

Salah satu masalah yang umum di"umpai di dalam matematika dan teknik adalah mencari akar suatu persamaan, yaitu bila diberikan suatu fungsi & ( x  , akan dicari nilai

c sedemikian sehingga

& (c   0 . Termasuk dalam hal ini adalah

menentukan titik potong dua buah kur/a. 'pabila kur/a!kur/a tersebut dinyatakan oleh fungsi g ( x dan h( x  , maka titik potong kedua kur/a adalah akar!akar dari & ( x   g ( x   h( x  . 2 Pada umumnya, fungsi kuadrat yang berbentuk & ( x  ax  bx  c , di mana

a  0 , b, dan c adalah konstanta real yang diketahui mempunyai akar yang dapat

dicari secara analitik dengan menggunakan rumus abc, yaitu x+, 2 

 b  b 2  7ac 2a

, dengan D  b 2  7ac disebut diskriminan.

Nilai dari akar!akar tersebut tergantung dari nilai D. %ika D  0 , maka terdapat dua akar real yang berlainan ( x+ dan x2 . %ika D  0 , maka terdapat satu akar real ( x+ C x2 , dan "ika D  0 , maka tidak terdapat akar (diperoleh akar bilangan

kompleks. Permasalahan yang timbul adalah ketika kita mendapati suatu fungsi yang tidak dapat diselesaikan secara analitik atau memerlukan perhitungan yang 2

sangat rumit, misalnya fungsi g ( x  ( x  + 2  4(e 2  x  . leh karena itu, disinilah peran metode numerik untuk mencari solusi pendekatan atau akar hampiran dari fungsi tersebut. Pada bab ini akan dibahas beberapa metode numerik untuk mencari akar suatu persamaan, khususnya persamaan nonlinear. Metode!metode numerik untuk pencarian akar suatu fungsi pada umumnya merupakan metode iterasi. Metode ini dimulai dengan menentukan satu atau beberapa nilai (tebakan a&al terhadap akar fungsi & ( x   0 . Selan"utnya diterapkan suatu rumus iterasi tertentu yang akan membangkitkan barisan bilangan x0 , x+ , x2 ,... . 1arisan ini diharapkan kon/ergen ke akar dari & ( x  . Selain menentukan rumus iterasi, perlu ditetapkan "uga kriteria untuk menghentikan proses iterasi tersebut. Bal ini dimaksudkan untuk menghindari proses iterasi yang terus!menerus sampai tak hingga iterasi.

2+


Secara umum terdapat dua tipe metode untuk mencari akar suatu fungsi, yaitu metode tertutup dan metode terbuka. +.

Metode Tertutup. Metode tertutup sering disebut

"uga metode pengurung (bracketing method . Pada metode penutup, akar yang kita cari selalu diapit (dikurung di dalam suatu inter/al tertutup  a, b . Proses yang dilakukan adalah membuat inter/al pengapit akar tersebut semakin lama semakin kecil. terasi yang berlaku pada metode tertutup selalu kon/ergen, sehingga metode ini dinamakan "uga metode kon/ergen. 1eberapa metode yang termasuk metode tertutup adalah metode biseksi (metode bagi dua dan metode regula(&alsi (metode titik palsu. b.

Metode Terbuka. Metode terbuka tidak memerlukan inter/al

tertutup

 a, b seperti pada metode tertutup.

Pada metode terbuka yang

diperlukan adalah nilai (tebakan a&al akar, yang kemudian dengan prosedur iterasi tertentu diharapkan diperoleh akar hampiran (pendekatan. Setiap iterasi, akar hampiran yang lama dipakai untuk menghitung akar hampiran yang baru. Namun, hampiran akar yang baru dapat mendekati akar sebenarnya (kon/ergen atau "ustru men"auhi (di/ergen. leh karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar. 1eberapa metode yang termasuk metode terbuka adalah metode iterasi titik tetap, metode )ewton(%aphson, dan metode sekan.

$)& Es*imasi Ni(ai A4a(

-alam menentukan akar hampiran (pendekatan suatu fungsi dengan menggunakan komputasi numerik, terlebih dahulu ditentukan nilai a&al yang dekat dengan akar sebenarnya. -ari nilai a&al tersebut, kemudian dilakukan iterasi dengan suatu metode numerik untuk menentukan akar hampiran. -alam modul ini digunakan soft&are Matlab untuk menentukan nilai a&al akar suatu fungsi dengan metode grafik. Perhatikan beberapa contoh berikut. 8ontoh 2.+.+ Tentukan nilai a&al terhadap akar dari fungsi & ( x   x sin( x   x .

22


Penyelesaian )ntuk menggambar & ( x   x sin( x   x dengan 0  x  +0 digunakan perintah

x = linspace(0,10); y = x.*sin(x)-sqrt(x); plot(x,y)

sehingga diperoleh 6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5amar $)& 5rafik & ( x   x sin( x   x pada inter/al 0  x  +0

-ari

5ambar

& ( x   x sin( x  

2.+ x

terlihat

bah&a

pada

inter/al

0  x  +0 ,

fungsi

mempunyai = akar, yaitu r +  0 , r 2  +.2 , r 4  2 .= ,

r 7  >.? , dan r =  A.4 . -ari informasi tersebut, kita dapat menentukan inter/al

baru untuk menge/aluasi masing!masing akar. )ntuk mengubah inte/al dari grafik fungsi & ( x   x sin( x   x digunakan perintah berikut. a = input('Titik aal inter!al " '); # = input('Titik ak$ir inter!al " '); x = linspace(a,#); y = x.*sin(x)-sqrt(x); cl% plot(x,y) grid on &oo on

24


$ita akan mencari akar hampiran untuk r 2 . 'pabila perintah di atas di"alankan dengan memasukkan input + dan 2, maka diperoleh

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

5amar $)$ 5rafik & ( x   x sin( x   x pada inter/al +  x  2

nter/al dapat terus diperkecil untuk melihat letak akar dengan lebih akurat.

27


0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

5amar $), 5rafik & ( x   x sin( x   x pada inter/al +  x  +.=

0.15

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2 1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

5amar $)' 5rafik & ( x   x sin( x   x pada inter/al +  x  +.2=

0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.025

1.15

1.16

1.17

1.18

5amar $)6 5rafik & ( x   x sin( x  

1.19

1.2

1.21

x pada inter/al +.+=

 x  +.2

2=


-ari 5ambar 2.= diperoleh akar pendekatan yang lebih akurat, yaitu r 2  +.+?= . Proses yang sama dapat dilakukan untuk menge/aluasi empat akar lainnya. 8ontoh 2.+.2 Tentukan nilai a&al terhadap akar dari fungsi x 2  e x  7 . Penyelesaian Persamaan dapat diubah men"adi e x  7  x 2 , sehingga akar persamaan dari fungsi x 2 2 x x  e  7 adalah titik potong antara fungsi y  e dan y  7  x . )ntuk

menggambar y  e x dan y  7  x 2 dengan  2  x  2 digunakan perintah

x = linspace(-,); y1 = exp(x); y = -x.; plot(x,y1,x,y) grid on

Sehingga diperoleh

2>


8 x

y=e

2

7

y = 4-x

6

5

4 3

2

1

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 5amar $)7 5rafik y  e dan y  7  x 2 pada inter/al  2  x  2

5ambar 2.> menun"ukkan terdapat dua akar dari fungsi x 2  e x  7 , yaitu r +   +.A= dan r 2  +

$)$ Me*ode Bise+si 1Me*ode Bagi Dua2

Metode biseksi termasuk metode tertutup, sehingga diperlukan 2 titik a&al sebagai inter/al yang mengapit akar yang akan dicari. Sebelum lebih lan"ut membahas mengenai metode biseksi, teorema nilai antara yang men"adi ide dasar dalam iterasi metode biseksiue

Teorema 2.2.+ %ika & adalah fungsi kontinu pada inter/al tertutup  a, b  , dengan & (a  dan & (b  berlainan tanda sedemikian sehingga & (a . & (b  0 , maka paling tidak

terdapat satu c  ( a , b  sehingga berlaku & (c   0 .

2?


Sebagai ilustrasi perhatikan beberapa gambar di ba&ah ini.

r

a

r 4

r +

b

b

r 2

a

(b

(a

5amar $)8 5rafik dengan & (a . & (b  0

-ari 5ambar 2.2 dapat disimpulkan bah&a "ika & (a . & (b  0 , maka "umlah akar gan"il, paling tidak satu buah. Sedangkan "ika & ( a. & (b  0 , maka "umlah akar genap atau tidak akar. Bal ini dapat dilihat pada gambar berikut.

a

a

b

b

(a

(b

2@


a r +

r 2

a

`

b r +

s+

b

(c

(d

5amar $)9 5rafik dengan & (a. & (b  0

r . r

Misalkan & ( x  suatu fungsi kontinu dengan akar

adalah akar

sebenarnya dan nilai r belum diketahui. )ntuk menerapkan metode 1iseksi, mula! mula ditentukan dua buah titik, misalkan a dan b, yang nilai fungsinya berlainan tanda sedemikian sehingga & ( a. & (b  0 . 1erdasarkan Teorema 2.+.+, maka terdapat paling tidak satu akar pada inter/al ( a, b . Mula!mula ditetapkan titik c sebagai titik tengah dari inter/al

 a, b , yaitu

c

ab 2

.

-engan demikian,

terbentuk dua subinter/al, yaitu Ja, cI dan Jc, bI . %ika & (c   0 , maka

c

adalah akar dari & ( x  . % ika & (c   0 , maka diambil salah satu dari kedua subinter/al yang terbentuk. Subinter/al yang diambil untuk iterasi berikutnya adalah subinter/al yang memuat akar, sehingga terdapat dua kemungkinan. (a & (a . & (c  0 , artinya akar berada pada inter/al  a, c  (b & (b. & (c  0 , artinya akar berada pada inter/al  c, b )ntuk iterasi berikutnya, inter/al yang dipilih dinamakan sebagai a dan b yang baru. %adi pada kasus (a, titik c men"adi titik b dan pada kasus (b, titik c men"adi titik a. Perhatikan ilustrasi berikut.

2A


10

y  & ( x

5

c2

0

a  a0

-5

a0

r

c+

b  b0

c0

b0

a+

b+

a2

b2

-10 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5amar $) terasi Metode 1iseksi

)ntuk memudahkan pen"elasan, digunakan indeks untuk menamakan titik yang dihitung. Pada inter/al a&al mula!mula dinamakan Ja0 , b0 I dengan titik tengahnya c0 

a0  b0 2

. Pada proses selan"utnya, inter/al yang memuat akar

dinamakan  a+ ,b+  dan titik tengahnya c+ 

a+  b+ 2

. Secara umum pada iterasi ke!

k akan diperoleh inter/al  ak , bk  dan titik tengahnya

ck 

ak  bk 2

, k  0,+,2,...

(2.+

40


'gar iterasi tidak ber"alan terus menerus, maka diperlukan kriteria berhentinya iterasi. Pada metode 1iseksi, iterasi akan berhenti apabila bk  ak   , dengan



(eps merupakan batas error atau nilai ketelitian yang ditentukan.



A(gori*ma Me*ode Bise+si

nput & ( x  fungsi yang dicari akarnya a , b titik a&al eps error (nilai ketelitian utput akar!akar dari fungsi & ( x  6angkah!langkah +. Bitung & (b  ab 2. Bitung c  dan & (c  2 4. %ika & (b. & (c  0 maka a  c

"ika tidak b  c 7. %ika (b  a   eps maka akar C c, selesai =. kembali ke langkah +

8ontoh 2.2.+ 5unakan metode 1iseksi untuk mencari akar dari persamaan x  +  e

 x

dengan inter/al a&al J+,+.7I dan nilai ketelitian



 0.02 .

Penyelesaian Persamaan dapat diubah men"adi x  +  e  x  0 , sehingga dapat dimisalkan & ( x   x  +  e  x . %adi, akar dari x  +  e  x adalah nilai c sedemikian sehingga & (c   0 . Sebagai ilustrasi, fungsi & ( x  dapat dilihat pada gambar berikut.

4+


1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

%=inline('x-1-exp(-x)','x'); disp(' ===============================================') -1.5 disp(' disp('

+T /2T3 '); ===============================================') -2

0.5 1.5 2 " ' 2.5 a = input(' 0 +asukkan #atas1 kiri inter!al ); # = input(' +asukkan #atas kanan inter!al " ' ); eps = input (' 3ilai ketelitian (Toleransi) " ' ); & ( x   x  +  e  x pada inter/al J0,2.=I 5amar $)&%)a 5rafik iteax = input (' +asukkan 4ula$ iterasi aksiu " ' ); disp(' ')

disp('metode 1iseksi, diperoleh hasil iterasi sebagai berikut. -engan disp(' disp(' disp('

') +eulai 5roses terasi ') ===============================================') Ta(e#$)& k a c selisi$')

disp(' ===============================================') ak = a#s(#-a); bk ck selisi$ bk  ak & (bk  & (c k  & (bk . & (c k  action k =a;=#;+=(a 6 #)7;8=selisi$; 0 +.0000 +.7000 +.2000 0.+=47 !0.+000 0.7000 ac 0 %orat s$ort + +.2000 +.7000 +.4000 0.+=47 0.02?0 0.2000 0 b  c tic 2 +.2000 +.4000 +.2=00 0.02?= !0.04?0 0.+000 ac 0 %or k = 1"1"iteax 4 +.2=00 +.4000 +.2?=0 0.02?= !0.0077 0.0=00 ac 0 c = (a 6 #)7; 7 +.2?=0 +.4000 +.2@?= 0.02?= 0.0++= 0.02=0 0 b  c disp (9k-1,a,#,c,selisi$:) = +.2?=0 +.2@?= 0.0+2= i% (%(#)*%(c) = 0) a = c ; tabel elsedi atas terlihat bah&a iterasi berhenti pada iterasi ke!=, yaitu pada saat -ari # = c; b=  aend =  0.0+2=  0.02   . -engan demikian, akar selisi$ = a#s(#-a);   e  x adalah r  +.2@?= . x + =9;a:;=9;#:;+=9+;c:;8=98;selisi$:; i% (a#s(#-a)) = eps #reak 8ontoh 2.2.+ "uga dapat diselesaikan end

hampiran dari persamaan

dengan perintah dalam Matlab berikut ini.

end disp (9k,a,#,c,selisi$:) disp(' ===============================================') aktu = toc; plot(9,,+,8:) legend('a','#','c','selisi$') xla#el('terasi ke "') yla#el('terasi etode /iseksi') disp disp disp disp

(' (9' (9' (9'

')
42


%ika

=============================================== +T /2T3 =============================================== +asukkan #atas kiri inter!al " 1 perintah di atas di"alankan, maka diperoleh +asukkan #atas kanan inter!al " 1. 3ilai ketelitian (Toleransi) " 0.0 +asukkan 4ula$ iterasi aksiu " 10 +eulai 5roses terasi =============================================== k a # c selisi$ =============================================== 0 1.0000 1.000 1.000 0.000 1.0000 1.000 1.000 1.>000 0.000 .0000 1.000 1.>000 1.?00 0.1000 >.0000 1.?00 1.>000 1.@?0 0.0?00 .0000 1.@?0 1.>000 1.A@? 0.0?0 ?.0000 1.@?0 1.A@? 1.A@? 0.01? ===============================================

44
" 1.A@? " ? si 0.01B?A1


Sedangkan hasil plot gambarnya dapat dilihat sebagai berikut. 1.4

1.2

a b

1 i s k e s i B0.8 e d o t e m i 0.6 s a r e t I 0.4

c seisi!

0.2

0 1

1.5

2

2.5

3

3.5 4 Iterasi ke :

4.5

5

5.5

6

5amar $)&%) 5rafik terasi Metode 1iseksi dari & ( x    x  +  e 2  x 2

2

8ontoh 2.2.2 5unakan metode 1iseksi untuk mencari titik potong antara g ( x   x  + dan h ( x   e 2  x 2

dengan inter/al a&al J2,2I dan nilai ketelitian



2

 0.0+ .

Penyelesaian

47


2 )ntuk mencari titik potong antara g ( x   x  + dan h( x   e 2  x , maka dibentuk 2

persamaan g ( x  h ( x  atau  x  + 2  e 2  x . Persamaan tersebut dapat diubah 2

men"adi

2

 x  + 2  e2  x  0 , sehingga dapat dimisalkan

2

& ( x    x  +  e 2  x . 2

)ntuk melihat posisi akar dari fungsi & ( x  , terlebih dahulu digambar dengan men"alankan perintah

x = linspace(0,10); y = (x61).-exp(-x.); plot(x,y)

sehingga diperoleh 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2 5amar $)&& 5rafik & ( x    x  +  e 2  x pada inter/al J  2,2I 2

5ambar

2.++

menun"ukkan

& ( x    x  +  e 2  x 2

2

bah&a

pada

inter/al

mempunyai dua akar, misalkan

r +

J 2,2I ,

dan

fungsi

r 2 . )ntuk

menentukan inter/al a&al yang memuat masing!masing akar tersebut, maka dilihat 2

kembali grafik fungsi & ( x   x  + 2  e 2  x pada inter/al yang lebih spesifik.

4=


3

2

1

0

-1

-2

-3 -1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

2 5amar $)&$ 5rafik & ( x   x  +  e 2  x pada inter/al J 2,0.7I 2

3

2

1

0

-1

-2

-3 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

2

2 5amar $)&, 5rafik & ( x    x  +  e 2  x pada inter/al J0.2,+.>I

-ari 5ambar 2.+2 dan 2.+4 kita dapat menentukan inter/al a&al untuk

r +

dan r 2

berturut!turut adalah J+.@,+.>I dan J0.@,+I . Basil iterasi untuk inter/al J +.@,+.>I dapat dilihat pada Tabel 2.2, sedangkan untuk inter/al J0.@,+I dapat dilihat pada Tabel 2.4. Ta(e $)$

4>


k

ak

bk

ck

& (bk 

& (c k 

0

!+.@0000

!+.>0000

!+.?0000

!0.2++20

0.0?A40

+

!+.?0000

!+.>0000

!+.>=000

!0.2++20

!0.0>400

2

!+.?0000

!+.>=000

!+.>?=00

!0.0>400

0.00@@0

4

!+.>?=00

!+.>=000

!+.>>2=0

!0.0>400

!0.02>A0

7

!+.>?=00 !+.>?=00

!+.>>2=0 !+.>>@?=

!+.>>@?=

!0.02>A0

!0.00A00

=

& (bk . & (c k

action

bk  ak

0 0 0 0 0

ac b  c ac b  c b  c

0.20000 0.+0000 0.0=000 0.02=00 0.0+2=0 0.00>2=

Ta(e $), k

ak

bk

ck

& (bk 

& (c k 

0

0.@0000

+.00000

0.A0000

+.2@+?0

0.422A0

+

0.@0000

0.A0000

0.@=000

0.422A0

!0.+>=20

2

0.@=000

0.A0000

0.@?=00

0.422A0

0.0?A70

4

0.@=000

0.@?=00

0.@>2=0

0.0?A70

!0.072@0

7

0.@>2=0 0.@>2=0

0.@?=00 0.@>@?=

0.@>@?=

0.0?A70

0.0+@40

=

& (bk . & (c k

action

bk  ak

0 0 0 0 0

b  c ac b  c ac b  c

0.20000 0.+0000 0.0=000 0.02=00 0.0+2=0 0.00>2=

-ari kedua tabel di atas terlihat bah&a iterasi berhenti pada iterasi ke!=, yaitu pada saat b=  a=  0.00>2=  0.0+   . -engan demikian, titik potong hampiran antara 2

2 g ( x   x  + dan h ( x   e 2  x adalah r +



 +.>>@?= dan r 2  0.@>@?= .

Kon;ergensi Me*ode Bise+si

Misal diberikan in/ertal a&al  a0 , b0  . 1erdasarkan iterasi metode 1iseksi, setiap kali iterasi, pan"ang

inter/al baru men"adi setengah dari pan"ang inter/al

sebelumnya. -engan demikian diperoleh

b+  a+ 

+

(b0  a0  2 + + b2  a2  (b+  a+   (b0  a0  2 7 + + b4  a4  (b2  a2   (b0  a0  2 @ 

%adi untuk sebarang n, untuk n C +, 2,... diperoleh + (bn  an   n (b0  a0  2

4?


$arena cn 

+ 2

( an  bn  , sehingga



r  cn  bn  an

+ 2n

(b0  a0 

-ari pertidaksamaan tersebut diperoleh cn  r untuk n   . Bal ini menun"ukkan bah&a metode 1iseksi untuk sebarang nilai a&al yang berikan bersifat kon/ergen menu"u akar dari suatu fungsi. Selan"utnya, + 2

n

r  cn 



"ika

(b0  a0    .

 2n 

(b0  a0  

 b  a   log 2 n  log 0 0      b  a   n log 2  log 0 0      b0  a0     

log

 n

(2.2

log 2

Pertidaksamaan tersebut menun"ukkan bah&a "umlah iterasi tidak bergantung dari bentuk suatu fungsi, melainkan bergantung dari inter/al a&al dan nilai ketelitian yang diberikan. Metode 1iseksi mempunyai dera"at kon/ergensi p  + .

8ontoh 2.2.4 1erapa "umlah iterasi dari metode 1iseksi yang diperlukan untuk menentukan solusi dari x  +  e  x  0 , "ika diambil inter/al a&al J+,+.7I dan nilai ketelitian 0.02 . Penyelesaian -iketahui a0  + , b0  +.7 , dan



 0.02 . Sehingga diperoleh  b0  a0     

log n

log 2

4@


 +.7  +    0.02 

log 



log 2

 7.42+A %adi, paling sedikit dibutuhkan = iterasi.

8ontoh 2.2.7 1erapa "umlah iterasi dari metode 1iseksi yang diperlukan untuk menentukan titik potong antara g ( x   x  + dan h ( x   e 2  x 2

2

"ika diambil inter/al a&al J +.@,+.>I dan nilai ketelitian 0.0000+ . Penyelesaian -iketahui a0  +.@ , b 0  +.> , dan

 0.0000+ . Sehingga diperoleh



 b0  a0     

log n

log 2

  +.>  +.@    0.0000+ 

log 



log 2

 +7.2@?? %adi, paling sedikit dibutuhkan += iterasi.

$), Me*ode Regu(a .a(si 1Me*ode Posisi Pa(su2

Metode 3egula *alsi "uga termasuk metode tertutup, yaitu untuk suatu fungsi kontinu & ( x  diperlukan nilai a&al a dan b dengan & (a , & (b  0 . Pada iterasi metode ini diperlukan nilai & (a  dan & (b  , dan dibuat garis lurus yang menghubungkan titik ( a , & ( a  dan (b, & (b . )ntuk pencarian inter/al baru digunakan rumus c  b

& (b(b  a  & (b  & ( a

.

4A


Sebelumnya perhatikan ilustrasi di ba&ah ini.

35 30 & (b0  25 20 15 10

y  & ( x 

5 a0

c0

c+

r

0

b0

-5 -10

& ( a0 

-15 0

1

2

3

4

5

6

7

5amar $)&' terasi Metode 3egula *alsi

Pada inter/al a&al mula!mula dinamakan Ja0 , b0 I , sehingga diperoleh titik c0  b0 

& (b0 (b0  a0  & (b0   & (a0 

. Pada proses selan"utnya, inter/al yang memuat akar

dinamakan  a+ , b+  dan titik berikutnya adalah c+  b+ 

& (b+ (b+  a+  & (b+   & (a+ 

. Secara

umum pada iterasi ke!k akan diperoleh inter/al  ak , bk  dan titik tengahnya ck  bk 

& (bk (bk  ak  & (bk   & (ak 

, k  0,+,2,...

(2.4

70


'gar iterasi tidak ber"alan terus menerus, maka diperlukan kriteria berhentinya iterasi. $riteria penghentian iterasi metode 1iseksi tidak dapat diterapkan pada iterasi metode 1iseksi. Bal ini disebabkan ada kemungkinan ter"adi iterasi tak berhingga (in&inite loop. Pada metode 3egula *alsi, iterasi akan berhenti apabila c k  c k + 





, dengan

 (eps merupakan nilai ketelitian yang ditentukan.

A(gori*ma Me*ode Regu(a .a(si

nput & ( x  fungsi yang dicari akarnya a , b titik a&al eps error (nilai ketelitian utput akar!akar dari fungsi & ( x  6angkah!langkah +. Bitung & (a  dan & (b  2. Bitung clama  2b  a & (b(b  a  4. Bitung c  b  dan & (c  & (b  & (a  7. %ika & (b. & (c  0 maka a  c "ika tidak b  c =. %ika c  clama  eps maka akar C c, selesai =. Tetapkan clama  c >. kembali ke langkah 4

8ontoh 2.4.+ 5unakan metode 3egula *alsi untuk mencari akar dari persamaan x  +  e

 x

dengan inter/al a&al J+,+.7I dan nilai ketelitian



 0.02 .

Penyelesaian Persamaan dapat diubah men"adi x  +  e  x  0 , sehingga dapat dimisalkan & ( x   x  +  e  x . -engan metode 3egula *alsi, diperoleh clama  2b  a  +.@

dan hasil iterasi sebagai berikut. Ta(e $)'

7+


k

ak

bk

0

+.00000

+.70000

+

+.00000

+.2@240

2

+.00000

+.2?@>0

ck

& (bk 

& (c k 

& (bk . & (c k 

action

ck

+.2@240

0.+=470

0.007A0

0.007A0

0.000+?

b  c b  c

0.=+??

+.2?@>0

0 0



ck

0.004?

-ari tabel di atas terlihat bah&a iterasi berhenti pada iterasi ke!2, yaitu pada saat ck  ck +  0.004?  0.02 



. -engan demikian, akar hampiran dari persamaan

x  +  e  x adalah r  +.2?@>0 .

8ontoh 2.4.+ "uga dapat diselesaikan dengan perintah dalam Matlab berikut ini.

%=inline('x-1-exp(-x)','x'); disp(' ===============================================') disp(' +T CDEF< 8
72


%ika perintah di atas di"alankan, maka diperoleh

=============================================== +T CDEF< 8

+eulai 5roses terasi =============================================== k a # c selisi$ =============================================== 0 1.0000 1.000 1.A> 0.?1@@ 1.0000 1.0000 1.A> 1.@AG 0.00>@ .0000 1.0000 1.@AG 1.@AG 0.00>@ =============================================== 1

Sedangkan hasil plot gambarnya dapat dilihat sebagai berikut.

74


1.8 a 1.6

b c

1.4 i s  a % 1.2 a  $ # e 1 " e d o t e 0.8 m i s a 0.6 r e t I

seisi!

0.4 0.2 0 1

1.2

1.4

1.6

1.8

2 2.2 Iterasi ke :

2.4

2.6

2.8

3

5amar $)&6 5rafik iterasi metode 3egula *alsi dari & ( x    x  +  e 2  x 2

2

Basi Basill di atas atas menu menun" n"uk ukka kan n bah& bah&aa meto metode de 3egu 3egula la *als *alsii memp mempun unya yaii kekon/ergenan yang lebih cepat dari metode 1iseksi. Pada kebanyakan fungsi hal ini memang benar, namun ada beberapa kelas fungsi tertentu di mana keadaan berlaku sebaliknya. 8ontoh fungsi & ( x  b  +0 , serta nilai ketelitian



+ x 2

 0.7 dengan nilai a&al a  0.= dan

 0.00000+ akan membutuhkan membutuhkan A+ iterasi dengan dengan

metode 3egula *alsi+eulai dan 27 iterasi metode 1iseksi. 'pabila diiterasikan, 5rosesdengan terasi =============================================== # c selisi$ =============================================== 0 0.?000 10.0000 B.0@1 10.AG 1.0000 0.?000 B.0@1 A.>@A 0.A>>G =============================================== .0000 0.?000 A.>@A @.ABA 0.@A0 +T CDEF< 8.0000 0.?000 @.ABA G.A1AB 0.G@0A =============================================== .0000 0.?000 G.A1AB G.1@A 0.G01 +asukkan #atas kiri inter!al " 0.? ?.0000 0.?000 G.1@A ?.G@B? 0.?>A> +asukkan #atas kanan?.G@B? inter!al ?.1BA0 " 10 G.0000 0.?000 0.A1? 3ilai ketelitian (Toleransi) " 0.000001 HHHH HHHH HHHH HHHH HHHH +asukkan 4ula$ iterasi aksiu " 100

diperoleh hasil berikut.a k

AA.0000 0.?000 1.?A11 1.?A11 0.0000 AB.0000 0.?000 1.?A11 1.?A11 0.0000 B0.0000 0.?000 1.?A11 1.?A11 0.0000 B1.0000 0.?000 1.?A11 1.?A11 0.0000 ===============================================
77


Sedangkan hasil plot gambarnya dapat dilihat sebagai berikut.

16

a b

14

c seisi!

12 i s  a % 10 a  $ # e 8 " e d o 6 t e m i 4 s a r e t I 2 0 -2 0

10

20

30

40

50 60 Iterasi ke :

70

80

5amar $)&7 5rafik iterasi metode 3egula *alsi dari & ( x 

90

+ x 2

 0.7

$)' Me*ode Ne4*on 1Me*ode Ne4*on3Raphson2

7=


Pada metode 1iseksi dan 3egula *alsi diperlukan dua titik a&al dengan nilai fungsi yang berbeda tanda. Penentuan dua titik a&al yang demikian seringkali tidak mudah. leh karena itu dikembangkan metode yang titik a&alnya lebih mudah ditentukan, salah satunya metode Ne&ton. Metode Ne&ton termasuk metode terbuka dan hanya memerlukan satu titik a&al. Selain itu, metode ini banyak digunakan dalam terapan sain dan rekayasa karena kon/ergensinya paling cepat di antara metode!metode lain. 'da dua cara pendekatan dalam mencari rumus metode Ne&ton, yaitu secara geomerti dan dengan menggunakan deret Taylor. (a

Pendekatan secara 5eometri Perhatikan ilustrasi berikut.

350

300

250

200 y  & ( x

150

100

50

r

0

-50 0

x+ 1

2

3

4

x0

5

6

7

5amar $)&8 terasi Metode Ne&ton

7>


-ari 5ambar 2.+? diberikan fungsi kontinu & ( x  dan titik a&al x0 . Prinsip dasar metode Ne&ton adalah dengan membuat garis singgung terhadap fungsi & ( x  di titik ( x0 , & ( x0  . %ika digambar, maka garis singgung tersebut akan

memotong sumbu  x ( y  0 , misalkan di titik x+ . -engan rumus gradient garis singgung diperoleh & K ( x0  

 y & ( x0   & ( x+    x x0  x+

$arena & ( x+   0 , sehingga & K ( x0  

 x+  x0 

 y & ( x0    x x0  x+ & ( x0  & K ( x0 

Prosedur yang sama digunakan untuk menentukan nilai x2 dari x+ , dan seterusnya. %adi, secara umum prosedur iterasi metode Ne&ton adalah xk +  xk 

& ( xk  & K ( xk 

, k  0,+,2,...

(2.7

dengan & K ( xk   0 . (b

Pendekatan -eret Taylor

Teorema 2.7.+ %ika & ( x  mempunyai n  + turunan dan turunannya selalu kontinu pada Ja, bI , dan "ika x , x0

 J a , b I , maka & ( x   P n ( x   %n + ( x 

dengan P n ( x   & ( xn   %n + ( x 

x  x0 +G

 x  x0   n  +G

)ntuk  di antara x0 dan

& K ( x0   ... 

( n +

&

 x  x0  n nG

& ( n  ( x0 

( 

x .

7?


-iberikan persamaan nonlinear & ( x   0 . 'ndaikan r adalah solusi eksak dari persamaan tersebut atau & (r   0 . -idefinisikan xk sebagai sebagai suatu solusi pendekatan. -engan menggunakan teorema deret Taylor, fungsi & ( x  dapat disa"ikan sebagai & (r   & ( xk   ( r  xk  & K ( xk  

+ 2

( r  xk  2 & K K ( xk   ...

atau menurut Teorema 2.7.+ & (r   & ( xk   (r  xk  & K ( xk  

dengan  di antara x0 dan

+ 2

(r  xk  2 & K K ( 

x .

$arena & (r   0 , maka diperoleh & ( xk   (r  xk  & K ( xk  

 r  xk  Sehingga

& ( xk  & K ( xk 

+ 2

(r  xk  2 & K K (   0

+

& K K ( 

2

& K ( xk 

 (r  xk  2

r dapat didekati dengan xk +  xk 

& ( xk  & K ( xk 

, k  0,+,2,...

dengan errornya r  xk +  



+ 2

( r  xk 

2

& K K (  & K ( xk 

, k  0,+,2,...

(2.=

Kon;ergensi Me*ode Ne4*on

Pada persamaan (2.=, untuk k   , maka   r dan xk  r , "adi l im

k  

r  xk +

 r  xk 

2

 l im  k  

+ & K K (  2 & K ( xk 

 

+ & K K (r  2 & K (r 

 *

dengan * adalah suatu konstanta. leh karena itu metode Ne&ton dikatakan kon/ergen secara kuadratik ke akar & ( x  . -era"at kon/ergensi metode Ne&ton adalah p  2 . Sekarang "ika x0 , x+ , x2 ,... dekat dengan r , maka r  xk +  *  r  xk 

2

7@


*  r  xk +    *  r  xk  

2

  *  *  r  xk +  



2 2

  *  r  xk +  

22



  *  r  x0   2

k  +

%ika *  r  x0   + , maka untuk k   berakibat *  r  xk +   0 dan oleh karena itu xk  r . %adi, metode Ne&ton kon/ergen "ika titik a&al x0 dipilih sedemikain sehingga r  x0 



+ 2 & K ( r   * & K K ( r 

(2.>

Kri*eria Berhen*i Me*ode Ne4*on

$arena & (r   0 , maka diperoleh persamaan & ( xk   & ( xk   & (r 

 ( xk  r  & K (  di mana  berada di antara xk dan r . leh karena itu

r  xk  

& ( xk  & K ( 



& ( xk  & K ( xk 

-iasumsikan xk dekat dengan r dan & K (r   0 . -ari prosedur iterasi metode diketahui nput & ( x  Ne&ton,

fungsi yang dicari akarnya d& ( x fungsi turunan dari & ( x  & ( xk  x0 titik a&al   xk +  xk & K ( x  k eps error (nilai ketelitian itemax batas maksimum iterasi -engan demikian, diperoleh utput akar!akar dari fungsi & ( x  r  xk  xk +  xk 6angkah!langkah +. Tetapkan iter C + dan x  x0 leh karena itu, iterasi metode Ne&ton berhenti ketika 2. Bitung & ( x  dan d& ( x xk +  & x(k x

4. Bitung xbaru  x  



d& ( x

7. %ika xbaru  x+  eps A(gori*ma Me*ode Ne4*on maka akar C c, selesai =. Tetapkan x  xbaru >. Tetapkan iter C iter 9 + ?. %ika iter L itemax maka proses belum kon/ergen, stop @. $embali ke langkah 2

7A


8ontoh 2.7.+ 5unakan metode Ne&ton sebanyak dua iterasi untuk menentukan akar hampiran dari persamaan x  +  e  x dengan x0  +.2 . Penyelesaian Persamaan dapat diubah men"adi x  +  e  x  0 , sehingga dapat dimisalkan & ( x   x  +  e  x . -engan demikian, & K ( x   +  e  x dan

x+  x0 

& ( x0  & K ( x0 

 + .2   +. 2 

& (+.2 & K (+.2

 0.+0++A72 +.40++A72

 +.2????04 x2  x+ 

& ( x+  & K ( x+ 

=0


 +.2????04   +.2????04 

& (+.2????04 & K (+.2????04

 0.000@@?? +.2?@>=?A

 +.2?@7>7= %adi, diperoleh akar hampiran r  +.2?@7>7= .

8ontoh 2.7.2 5unakan metode Ne&ton untuk menentukan akar hampiran dari fungsi x4  2 , dengan titik a&al x0  2 dan nilai ketelitian



 0.000+ .

Penyelesaian 4 Persamaan dapat diubah men"adi x  2  0 , sehingga dapat %=inline('x.>-','x'); d%=inline('>*x.','x');

disp('

dimisalkan

===========================')

4 4 2 & K ( x  4 x'); & disp(' ( x   x  2 . -engan +T demikian, . lustrasi fungsi & ( x  x  2 3IT3

disp('

===========================') aal " '); eps = input(' 3ilai ketelitian (Toleransi) " '); iteax = input (' +asukkan 4ula$ iterasi aksiu " '); 150 disp(' ') disp(' ') disp(' ') 100 +eulai 5roses terasi disp(' ===========================') disp(' k x selisi$') disp(' ===========================') 50 x = x0; x#aru = x - (%(x)7d%(x)); 0 selisi$ = a#s(x#aru-x); =x;8=selisi$; %orat s$ort -50 disp (9' 0',' ',nustr(x):) tic %or k = 1"1"iteax -100 i% d%(x) == 0 #reak; else -150 x#aru = -5 x -4 (%(x)7d%(x)); -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 end selisi$ = a#s(x#aru-x); 4 disp (9k,x#aru,selisi$:) 5amar $)&9 5rafik & ( x  x  2 =9;x#aru:;8=98;selisi$:; i% a#s(x#aru-x) = eps 'kar dari#reak; fungsi & ( x  dapat dicari dengan perintah dalam Matlab berikut. end x = x#aru; end disp(' ===========================') aktu = toc; plot(9,8:) legend('x','selisi$') xla#el('terasi ke "') yla#el('terasi etode 3eton') disp (' ') disp (9'
dapat pada gambar di ba&ah ini. x0 dilihat = input(' +asukkan titik

=+



=========================== +T 3IT3 =========================== =========================== 3IT3 +asukkan+T titik aal =========================== 3ilai ketelitian (Toleransi) +asukkan +asukkan titik 4ula$aal iterasi aksiu 3ilai ketelitian (Toleransi) +asukkan 4ula$ iterasi aksiu +eulai 5roses terasi =========================== k x selisi$ =========================== 0  1.0000 1.?000 0.?000 .0000 1.BG> 0.0>@ >.0000 1.G0B 0.0>? .0000 1.?BB 0.0010 ?.0000 1.?BB 0.0000 ===========================

" " " " " "

 0.0001  10 0.0001 10

=2


%adi dengan nilai ketelitian 0.000+, iterasi berhenti pada iterasi ke!=, dan diperoleh akar hampiran r  +.2=AA . Sedangkan hasil plot gambarnya dapat dilihat sebagai berikut. 2 x 1.8

seisi!

1.6 1.4 ( o t ' e 1.2 & e d o 1 t e m i s 0.8 a r e t I 0.6 0.4 0.2 0 1

1.5

2

2.5

3

3.5 4 Iterasi ke :

4.5

5

5.5

6

4 5amar $)& 5rafik iterasi metode Ne&ton dari & ( x   x  2

$)6 Me*ode Se0an*

Pada metode Ne&ton diperlukan turunan dari fungsi di setiap iterasinya. Namun, seringkali di"umpai fungsi!fungsi yang tidak mudah dicari turunannya. leh karena

=4


itu dikembangkan metode alternatif yang tidak memerlukan turunan fungsi, yaitu metode Secant. Metode ini merupakan modifikasi dari metode Ne&ton. Metode Secant dimulai dengan dua itik a&al, yaitu x0 dan x+ . $edua titik a&al tersebut tidak perlu mengapit akar fungsi yang akan dicari. Perhatikan ilustrasi berikut ini.

35 30

& ( x+ 

D

25 20 15 10

y  & ( x

5 x0

x2

0

x4

' x+

r

E

-5

 -10 -15 0

!

& ( x0 

1

2

3

4

5

6

7

5amar $)$% terasi Metode Secant

Pada metode Ne&ton diketahui x2  x+  & K ( x+  

& ( x+  & K ( x+ 

. Sementara nilai & K ( x+  adalah

 y & ( x+   & ( x0    x x+  x0

=7


-engan

mensubstitusikan

x2  x+ 

& ( x+  & K ( x+ 

& K ( x+ 

nilai

tersebut

ke

dalam

persamaan

akan diperoleh x2  x+ 

& ( x+  & K ( x+ 

& ( x+  & ( x+   & ( x0 

 x2  x+ 

x+  x0

 x2  x+ 

& ( x+ ( x+  x0  & ( x+   & ( x0 

Persamaan tersebut "uga dapat diperoleh dengan cara lain. -engan menggunakan sifat segitiga sebangun diperoleh !D !



'D 'E



& ( x+   & ( x0 



& ( x+   & ( x0 

x+  x0

x+  x0

 x2  x+ 



& ( x+   & ( x2 



& ( x+   0

x+  x2

x+  x2

& ( x+ ( x+  x0  & ( x+   & ( x0 

Selan"utnya, setelah titik x2 diperoleh, pada iterasi berikutnya diambil x+ dan x2 sebagai tebakan akar yang baru dan dilakukan proses yang sama untuk

mendapatkan hampiran x4 . Secara umum rumus iterasi metode Secant adalah xk +  xk 



& ( xk ( xk  xk +  & ( xk   & ( xk + 

, k  +,2,4,...

(2.?

Kon;ergensi Me*ode Se0an*

Metode Secant dapat tidak kon/ergen untuk pemilihan titik a&al x0 dan x+ tertentu. Metode Secant mempunyai dera"at kon/ergensi sebesar

==


p 

(+ 

=

2

 +.>2

'kibatnya, metode Secant mempunyai orde kon/ergensi yang lebih lambat dibanding metode Ne&ton, namun masih lebih cepat dari metode 1iseksi dan metode 3egula *alsi.



A(gori*ma Me*ode Se0an*

nput & ( x  d& ( x 

fungsi yang dicari akarnya fungsi turunan dari & ( x  x0 , x+ titik a&al eps error (nilai ketelitian itemax batas maksimum iterasi utput akar!akar dari fungsi & ( x  6angkah!langkah +. Tetapkan iter C + 2. Bitung & ( x0  dan & ( x+  & ( x+ ( x+  x0  4. Bitung xbaru  x+  & ( x+   & ( x0  7. %ika

xbaru  x+  eps

maka akar C c, selesai =. Tetapkan x0  x+ dan x+  xbaru >. Tetapkan iter C iter 9 + ?. %ika iter L itemax maka proses belum kon/ergen, stop @. $embali ke langkah 2

8ontoh 2.=.+ 5unakan metode Secant sebanyak dua iterasi untuk menentukan akar hampiran dari fungsi x  +  e  x , dengan titik a&al x0  +.4 dan x+  +.+ . Penyelesaian -ari persamaan x  +  e  x diperoleh & ( x  x  +  e  x , sehingga x2  x+ 

& ( x+ ( x+  x0  & ( x+   & ( x0 

=>


 +.+ 

& (+.+(+.+  +.4 & (+.+  & (+.4

 + .+ 

( 0.242@?++( 0.2

 0.2>044A4

 +.2?@@A@+ x4  x2 

& ( x2 ( x2  x+  & ( x2   & ( x+ 

 +.2?@@A@+ 

& (+.2?@@A@+(+.2?@@A@+  +.+

 +.2?@@A@+ 

& (+.2?@@A@+  & (+.+

(0.000==74(0.+?@@A@+ 0.24472=7

 +.2?@7?44 %adi, diperoleh akar hampiran r  +.2?@7?44 .

8ontoh 2.=.2

5unakan metode Secant untuk menentukan akar hampiran dari

fungsi x4  2 , dengan titik a&al x0  2 dan x+  +.?= , serta diberikan nilai ketelitian



 0.000+ .

=x1;8=selisi$; %orat s$ort Penyelesaian disp (9' 0',' ',nustr(x0):) 4 41',' disp (9' ',nustr(x1),' -ari persamaan x  2 diperoleh & ( x  x  2 . 'kar dari fungsi & ( x  ',nustr(selisi$):) tic dengan perintah dalam Matlab berikut ini. dicari %or k = 1"1"iteax 5 = %(x1) * (x1 - x0); J = %(x1) - %(x0); %=inline('x.>-','x'); i% ((%(x1) - %(x0)) 7 (x1 - x0)) == 0 disp('#reak; ===========================') disp(' +T 2<3T '); else disp('x#aru ===========================') = x1 - (5 7 J); x0 end = input(' +asukkan titik aal pertaa " '); x1 selisi$ = input(' +asukkan titik aal kedua " '); = a#s(x#aru-x1); epsdisp = input(' 3ilai ketelitian (Toleransi) " '); (9k61,x#aru,selisi$:) iteax = input (' +asukkan 4ula$ iterasi aksiu " '); =9;x#aru:;8=98;selisi$:; disp(' ') i% a#s(x#aru-x1) = eps disp('xakar = x#aru; ') disp(' +eulai 5roses terasi ') #reak; disp(' ===========================') end disp(' k x selisi$') x0 = x1; disp(' ===========================') x1 = x#aru; x#aru = x1 - ((%(x1) * (x1 - x0))7 (%(x1) - %(x0))); end selisi$ = a#s(x1-x0); disp(' ===========================') aktu = toc; plot(9,8:) legend('x','selisi$') xla#el('terasi ke "') yla#el('terasi etode ecant') disp (' ') disp (9'
dapat

=?



=========================== +T 2<3T =========================== +asukkan titik aal pertaa +asukkan titik aal kedua 3ilai ketelitian (Toleransi) +asukkan 4ula$ iterasi aksiu

" " " "

 1.@? 0.0001 10

+eulai 5roses terasi =========================== k x selisi$ =========================== .0000 1.>0 0.>1A0 0  >.0000 1.>0B1 0.1B 1 1.@? 0.? .0000 1.G?B 0.0> ?.0000 1.G01 0.00?A G.0000 1.?BB 0.000 @.0000 1.?BB 0.0000 ===========================
=@


%adi dengan nilai ketelitian 0.000+, iterasi berhenti pada iterasi ke!>, dan diperoleh akar hampiran r  +.2=AA . Sedangkan hasil plot gambarnya dapat dilihat sebagai berikut.

1.8 x 1.6

seisi!

1.4

t (1.2 a c e ) e 1 d o t e m0.8 i s a r e t I 0.6 0.4 0.2 0 1

2

3

4 Iterasi ke :

5

6

7

4 5amar $)$& 5rafik iterasi metode Secant dari & ( x   x  2

$)7 Perandingan Beerapa Me*ode Numeri+

=A


-ari beberapa metode numerik untuk mencari akar persamaan nonlinear, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

No)

+.

Me*ode

/um(ah

La-u

S*ai(i*as

5rafik

Ti*i+ A4a( !

Kon;ergensi !

!

A+urasi

$urang

Ke*erangan

Memakan &aktu lebih banyak dari metode

2.

1iseksi

4.

3egula

7.

*alsi Ne&ton

2 2 +

Perlahan

Selalu

Sedang

kon/ergen Selalu

8epat

kon/ergen 1isa di/ergen

=.

Secant

2

1aik

numerik $edua titik a&al

1aik

mengapit akar $edua titik a&al

1aik

mengapit akar Memerlukan

Sedang

1isa

e/aluasi & K ( x  $edua titik a&al

hingga cepat

di/ergen

tidak perlu mengapit akar

E"ALUASI

$er"akan soal!soal berikut ini dengan benar.

>0


+.

-engan menggunakan ilustrasi gambar (sketsa, tentukan nilai a&al (pendekatan terhadap akar dari persamaan cos x  x  +  0

2.

Tentukan semua nilai a&al (pendekatan terhadap semua akar dari persamaan e  x  cos x  0 .

4.

Tuliskan 4 iterasi metode 1iseksi untuk menentukan akar hampiran dari persamaan x  0.@  0.2 sin x , dengan inter/al a&al  0,  2  .

7.

Tentukan "umlah iterasi yang diperlukan oleh metode 1iseksi untuk menentukan akar dari x  2 sin x  0 yang berada di antara x  + dan x  2 , dengan nilai ketelitian

=.



 +0 > .

Tuliskan 2 iterasi metode Ne&ton untuk menentukan akar hampiran dari persamaan x  2 sin x , dengan titik a&al x0  +.= .

>.

Tentukan

solusi

negatif

dari

persamaan

x : 2

e

 2  x 2 dengan

menggunakan metode Ne&ton, dengan x0  +.2 dan nilai ketelitian +07 . ?.

2 -iberikan fungsi & ( x  x  > , x0  4 , dan x+  2 . Tentukan x4

dengan menggunakan metode (a Secant, dan (b 3egula *alsi. @.

Tentukan akar hampiran dari persamaan nonlinear berikut ini, "ika diambil nilai ketelitian +0 7 . (a x4  2 x 2  =  0 , pada +,7 (b x  cos x  0 , pada  0,  2 

A.

Selesaikan no. @ "ika digunakan metode 3egula *alsi

+0.

Polinomial

berdera"at

7

& ( x  240 x 7  +@ x 4  A x 2  22+x  A

mempunyai dua akar, satu terletak pada inter/al   +,0 dan akar lain pada

 0,+ . -engan nilai ketelitian



 +0 > , tentukan akar hampiran polinomial

tersebut dengan menggunakan metode (a Secant, dan (b 3egula *alsi. 5unakan Matlab untuk menentukan akar hampiran tersebut.

BAB III

>+


So(usi Sis*em Persamaan Linear


Mahasis&a memahami pengertian sistem pesamaan linear dan mampu mencari solusi sistem persamaan linear dengan menggunakan metode numerik.



Men"elaskan pengertian persamaan linear dan sistem persamaan linear.

2.

Menuliskan bentuk sistem persamaan linear dalam bentuk matriks.

4.

Menyebutkan persyaratan suatu sistem persamaan linear yang memiliki solusi.

7.

Mencari solusi dari sistem persamaan linear secara numerik.

Pengan*ar

Sistem persamaan linear merupakan salah satu model matematika yang banyak di"umpai dalam berbagai disiplin ilmu, seperti fisika, biologi, dan teknik. Suatu sistem persamaan linear adalah sistem persamaan yang terdiri dari se"umlah berhingga persamaan dan se"umlah berhingga /ariabel. Secara umum terdapat dua tipe metode untuk mencari solusi suatu sistem persamaan linear, yaitu metode langsung dan tak langsung. +.

Metode langsung . Metode langsung terdiri dari metode eliminasi 5auss, metode eliminasi 5auss!%ordan, metode matriks in/ers, aturan 8ramer, dan metode dekomposisi 6).

2.

Metode tak langsung . Metode tak langsung disebut "uga metode iterasi, yang terdiri dari metode iterasi %acobi dan metode iterasi 5auss!Seidel, di

>2


mana dalam metode iterasi ini harus diberikan nilai (solusi a&al. Teknik iterati& "arang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SP6 berukuran kecil karena metode!metode langsung lebih efisien daripada metode iteratif. 'kan tetapi, untuk SP6 berukuran besar, teknik iteratif lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun &aktu komputasi.

,)& Sis*em Persamaan Linear

Secara umum persamaan linear dengan

n /ariabel

x+ , x2 ,..., xn didefinisikan

sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a+ x+  a2 x2  ...  an xn  b

di mana a+ , a2 ,..., an dan b merupakan konstanta real. Persamaan linear tidak mengandung hasilkali atau akar /ariabel. Seluruh /ariabel hanya dalam bentuk pangkat pertama dan bukan /ariabel bebas dari fungsi trigonometri, logaritma, atau eksponensial. 8ontoh 4.+.+ 1eberapa persamaan linear, yaitu 4 x  2 y  =

(4.+

7 x+  2 x2  > x4  +7

(4.2

Persamaan +.+ merupakan persamaan linear (persamaan garis dengan /ariable

x

dan y serta koefisien 4 dan 2. Sedangkan persamaan +.2 merupakan persamaan linear (persamaan bidang dengan /ariabel x+ , x2 , dan x 4 serta koefisien 7, 2, dan >. 8ontoh 4.+.2 1eberapa persamaan tak linear, yaitu 2 x+ x2  2 x2  4 x4  +2 ,

4 x  2

y  >,

y  cos x ,

7

log x  e y  4

Se"umlah tertentu persamaan linear dalam /ariabel x+ , x2 ,..., xn disebut sistem persamaan linear (SP6. Setiap persamaan linear dapat tidak memiliki solusi,

memiliki tepat satu solusi, atau memiliki takterhingga banyaknya solusi.

>4


Sebarang sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n /ariabel dapat ditulis sebagai a++ x+ a 2+ x+

 



an+ x+

a+2 x 2 a 22 x 2

 

 

... ...

a+n xn a2 n xn





a2 x2

 







...

b+ b2 

a nn xn



(4.4

bn

di mana xi adalah /ariabel, dan ai+ dan bi adalah koefisien konstanta dengan i, +  +,2,...n .

Persamaan (+.4 dapat ditulis dalam persamaan matriks x  b

(4.7

di mana

$ a++ "a 2+    ai+   " "  " #an+

a+2



a+n !

a22



a2 n

 

an 2

    ann 

adalah matriks koefisien, x  J x+

x2



xn I$

b2



bn I$

adalah /ektor tak diketahui, dan b  Jb+

adalah /ektor ruas kanan dari persamaan. Pada proses pencarian penyelesaian dari sistem persamaan linear (4.4, biasanya tanda 9,

x , dan C dihilangkan sehingga dapat diperoleh matriks berikut $ a++ "a " 2+ "  " #am+

a+2

...

a+n

a22

...

a2 n



am 2



...

amn

b+ !

    bm  b2

(4.=

Matriks (+.= disebut matriks yang diperbesar (augmented matrix.

,)$ Me*ode 5rafi+

>7


)ntuk menggambarkan kemungkinan!kemungkinan yang dapat ter"adi dalam penyelesaian sistem persamaan linear, perhatikan sistem umum dari dua persamaan linear dengan /ariabel x dan y yang tidak diketahui. a+ x  b+ y  c+ ( a+ dan b+ tidak keduanya nol a2 x  b2 y  c2 ( a+ dan

b+ tidak

keduanya nol

5rafik kedua persamaan ini merupakan garis lurus, misal

l + dan

l 2 . $arena suatu

titik ( x, y terletak pada garis tersebut "ika hanya "ika memenuhi persamaan yang bersangkutan, maka solusi!solusi dari sistem persamaan tersebut adalah titik!titik potong (a

l +

dan l 2 . Terdapat dua kemungkinan, yaitu

5aris

l +

dan l 2 berpotongan pada satu titik, akibatnya sistem hanya

memiliki tepat satu solusi. (b

5aris

l +

dan l 2 se"a"ar, yang berarti kedua garis tidak berpotongan,

akibatnya sistem persamaan tidak memiliki solusi. (c

5aris

l +

dan l 2 berhimpitan, yang berarti titik potongnya tak berhingga,

akibatnya sistem persamaan memiliki tak berhingga banyak solusi. Tiga kemungkinan tersebut "uga berlaku untuk sebarang sistem persamaan linear.

8ontoh 4.2.+ Tentukan solusi sistem persamaan linear 2 x  4 y  = 4 x  y  +4

Penyelesaian $edua persamaan tersebut dapat diilustrasikan dengan perintah

x = 0"0.01"10; y1 = (7>)*x-?7>; y = ->*x61>; plot(x,y1,x,y)

Sehingga diperoleh grafik di ba&ah ini.

>=


15 2x-3y = 5 3x*y = 13

10

5

0

-5

-10

-15

-20 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5amar ,)& 5rafik 2 x  4 y  = dan 4 x  y  +4

5ambar 4.+ menun"ukkan ba&ah kedua garis memiliki satu titik potong, akibatnya sistem persamaan linear memiliki satu solusi. Secara manual, solusi tersebut dapat dicari dengan menggunakan substitusi atau eliminasi. -engan menggunakan Matlab, solusi sistem dapat dicari dengan perintah berikut.

9x,y: = sol!e('*x - >*y = ?', '>*x 6 = 1>'

Maka diperoleh x =  y = 1

%adi, sistem persamaan linear memiliki solusi x  7 dan

y  + .

8ontoh 4.2.2 Tentukan solusi sistem persamaan linear x  y  7

2 x  2 y  >

Penyelesaian Sistem persamaan dapat diilustrasikan dalam grafik berikut.

>>


4 x*y = 4 3.5

2x*2y = 6

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

5amar ,)$ 5rafik x  y  7 dan 2 x  2 y  >

5ambar 4.2 menun"ukkan bah&a kedua garis se"a"ar, dan dengan perintah

9x,y: = sol!e('x 6 y = ', '>*x 6 * = G'

maka diperoleh Iarning" xplicit solution could not #e %ound. x = 9 epty sys : = 9:

%adi, sistem persamaan tidak memiliki solusi.

8ontoh 4.2.4 Tentukan solusi sistem persamaan linear 2 x  2 y  4

7 x  7 y  >

Penyelesaian Sistem persamaan dapat diilustrasikan dalam grafik berikut.

>?


10

8

6

4

2

0

-2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5amar ,), 5rafik 2 x  2 y  4 dan 7 x  7 y  >

5ambar 4.4 menun"ukkan kedua garis saling berhimpitan, dan dengan perintah

9x,y: = sol!e('x 6 y = >', '*x 6 * = G'

maka diperoleh x = y 6 >7 =

%adi, sistem persamaan memiliki tak berhingga banyak solusi.

,), Me*ode Ma*ri+s In;ers

-iberikan sistem persamaan linear dalam persamaan matriks x  b

%ika matriks koefisien  adalah matriks non!singular, yaitu det(   0 , maka terdapat matriks in/ers + . -engan mengalikan kedua sisi dari persamaan dengan + , maka diperoleh +

+

 ( x   b

>@


(  +  x  +b



$arena +   , , dengan , adalah matriks identitas, sehingga ,x  +b .

 x  +b .

%adi diperoleh solusi tunggal, yaitu x  +b . Namun, "ika  adalah matriks singular ( det(   0 , maka SP6 mempunyai dua kemungkinan, yaitu mempunyai banyak tak hingga solusi atau tidak punya solusi.

8ontoh 4.4.+ Tentukan solusi dari sistem persamaan linear x+  2 x2  4x4  = 2 x+  = x2  4 x4  4

x+  @ x4  +?

Penyelesaian -alam bentuk matriks sistem tersebut dapat ditulis sebagai x  b , di mana $+   " 2 " "#+

2 = 0

4!

4 ,  @ 

$ x+ ! x  " x2  , "  "# x4 

$=! "  b 4 "  "#+? 

Matriks  mempunyai in/ers 

+

$  70  "" +4 "# =

+>

= 2

A !  4

 +

-engan demikian, diperoleh solusi tunggal $  70 " x  +b  +4 " "# =

+>

= 2

A !$ = !

$+!  4 "" 4   ""  +  + "#+?  "# 2 

atau x+  + , x2  + , dan x4  2 . -engan menggunakan Matlab, in/ers dari matriks  dapat ditentukan dengan menggunakan perintah berikut.

< = 91  >;  ? >; 1 0 A: / = 9< eye(>): 2 = rre% /

>A


1ila perintah tersebut di"alankan, maka diperoleh < = 1  1 / = 1  1 2 = 1 0 0

 ? 0

> > A

 ? 0

> > A

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-0 1> ?

0 1 0

0 0 1

1G -? -

B -> -1

atau dapat "uga menggunakan perintah

< = 91  >;  ? >; 1 0 A:; / = in!(<)

sehingga diperoleh in/ers

/ = -0 1> ?

1G -? -

B -> -1

Selan"utnya, solusi dari sistem persamaan ditentukan dengan perintah

< / # x

= = = =

91  >;  ? >; 1 0 A:; in!(<); 9?; >; 1@:; /*#

sehingga diperoleh solusi

x = 1 -1 

?0


,)' A*uran
'turan 8ramer adalah salah satu cara untuk mencari penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SP6 dengan menggunakan determinan. 'turan 8ramer dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 4.7.+ -efinisi +.7.+ %ika A= >  adalah suatu sistem persamaan linear (SP6 dengan n /ariabel dan diketahui det(  0, maka penyelesaian dari SP6 tersebut adalah , , ... , di mana  + adalah matriks yang diperoleh dari matriks  dengan mengganti entri!entri pada kolom ke! + dengan entri!entri pada .

8ontoh 4.7.+ 5unakan aturan 8ramer untuk menyelesaikan SP6 berikut x+ 9 x2 9 x4 C >

x+ 9 2 x2 9 4 x4 C +7

Teorema 2.2.+

x+ 9 7 x2 9 A x4 C 4>

Penyelesaian Sistem persamaan linear tersebut dapat diubah ke dalam bentuk persamaan matriks $+ "+ " " #+

+

+!

2

4

7

  A 

$ x+ ! " x  C " 2 "# x4 

$>! "+7 . "  " #4> 

Sehingga diperoleh matriks!matriks

$+   ""+ "#+

+ 2 7

+!

$> 4  , +  ""+7 "#4> A 

+ 2 7

+!

$+ > " 4 , 2  "+ +7 "#+ 4> A 

$+ + "  4 , dan 4  "+ 2 "#+ 7 A  +!

>! +7 



4> 

leh karena itu,

?+


det( + 

x+  x2 

det( 2  det( 

C

det(  7

2 2

 +,

 2 , dan

2

x4 

C

det( 4  det( 

C

> 2

C 4.

%adi, diperoleh x+  + , x2  2 , dan x4  4 . 8ontoh 4.7.+ "uga dapat selesaikan dengan menggunakan perintah dalam Matlab berikut ini.

< / <1 < <> x1 x x> x

= = = = = = = = =

91 1 1;1  >;1  B:; 9G;1;>G:; 9# <(",) <(",>):; 9<(",1) # <(",>):; 9<(",1) <(",) #:; det(<1)7det(<) det(<)7det(<) det(<>)7det(<) 9x1; x; x>:

-engan men"alankan perintah tersebut, akan diperoleh

x = 1  >

,)6 Me*ode E(iminasi 5auss

Metode eliminasi 5auss adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan perasi 1aris Elementer (1E, sedemikian hingga matriksnya memiliki bentuk eselon baris. Selan"utnya, matriks tersebut diubah ke dalam bentuk sistem persamaan linear dan kemudian dilakukan substitusi balik mulai dari persamaan paling ba&ah.

?2


8ontoh 4.=.+ Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi 5auss x+  2 x2  x4  >

x+  4 x2  2 x4  A 2 x+  x2  2 x4  +2

Penyelesaian: Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear tersebut adalah $+ "+ " " #2

2

+

4

2

+

2

>!

  +2  A

$emudian dilakukan 1E, sedemikian hingga matriks di atas men"adi bentuk eselon baris, yaitu

$+ 2 "+ 4 " "#2 + ! 4  4 ! 2

O

+

>!

2

A

  2 +2

!2  !+

O

$+ 2 + > ! "0 + + 4  "  "#0 0 4 A

$+ 2 + > ! "0 + + 4  "  "#2 + 2 +2  +  ! 4   4 

O

!4  2 !+

O

$+ "0 " "#0

2

+

>!

+

+

4

   4 0 0

$+ 2 + > ! "0 + + 4 "  "#0 0 + 4

Matriks eselon baris diubah kembali men"adi sistem persamaan linear x+  2 x2  x4  > x2  x 4  4

x4  4

$emudian dilakukan substitusi balik, yaitu x4  4 x2  4  4 , x2  0 x+  2.0  4  > , x+  4

%adi, diperoleh himpunan penyelesaian x+  4 , x2  0 , dan x4  4 .

?4


,)7 Me*ode E(iminasi 5auss3/ordan

Metode eliminasi 5auss!%ordan adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan perasi 1aris Elementer (1E, sedemikian hingga matriksnya memiliki bentuk eselon baris tereduksi. Selan"utnya, matriks tersebut diubah ke dalam bentuk sistem persamaan linear dan kemudian dilakukan substitusi balik mulai dari persamaan paling ba&ah. 1E pada contoh 4.=.+ dapat dilan"utkan, sedemikian hingga diperoleh matriks bentuk eselon baris tereduksi, yaitu

$+ "0 " "#0

2

+

>!

+

+

4

  0 + 4

!2  !4

O

$+ "0 " "#0

$+ "0 " "#0

!+  2 !2

O 0

0

4!

+

0

0

0

+

0 + 0

 + 0!  + 4  + 4

!+  !4

O

$+ "0 " "#0

0

0

4!

+

+

4

0

+

  4

  4

Matriks eselon baris tereduksi diubah kembali men"adi sistem persamaan linear x+  4 , x2  0 , x4  4

%adi diperoleh himpunan penyelesaian x+  4 , x2  0 , dan x4  4 .

,)8 Pen!e(esaian SPL dengan Mengguna+an Kompu*er

Sistem persamaan linear dalam ukuran kecil masih dapat diselesaikan secara manual. Namun dalam aplikasinya, seringkali kita men"umpai sistem persamaan linear yang besar yang harus diselesaikan dengan komputer. 'lgoritma komputer yang biasa digunakan untuk menyelesaikan sistem semacam ini didasarkan pada eliminasi 5auss atau eliminasi 5auss!%ordan, tetapi prosedur dasarnya seringkali dimodifikasi untuk menghadapi beberapa masalah, seperti +.

Mengurangi kesalahan pembulatan

2.

Meminimalkan penggunaan memori komputer

4.

Memaksimalkan penyelesaikan sistem persamaan linear

?7


Secara manual, penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode elimasi 5auss!%ordan lebih efektif dibandingkan eliminasi 5auss. Bal ini karena metode eliminasi 5auss!%ordan menghindari penggunaan substitusi balik, sehingga melibatkan sedikit perhitungan. Namun demikian, untuk sistem persamaan yang besar, telah terbukti bah&a metode eliminasi 5auss!%ordan membutuhkan operasi =0F lebih banyak dibandingkan eliminasi 5auss. ni merupakan pertimbangan penting "ika kita beker"a dengan komputer.

,)9 Me*ode /a0oi

Metode %acobi dikenalkan oleh 8arl %acobi (+@07  +@=+. Metode ini merupakan suatu teknik penyelesaian sistem persamaan linear (SP6 berukuran

n  n . -alam

menentukan penyelesaian sistem persamaan linear, metode %acobi menggunakan algoritma secara rekursif. 'lgoritma tersebut dilakukan sampai diperoleh suatu nilai yang kon/ergen dengan nilai ketelitian (toleransi yang diberikan. Perhatikan sistem persamaan linear dengan n persamaan dengan n /ariabel x+ , x2 ,..., xn berikut. a++ x+ a 2+ x+

 



a n+ x+

a+2 x 2 a 22 x2

 

... ...

 

a2 n xn





a2 x2

 

a+n xn

b+ b2





...







a nn xn

(4.>

bn

Persamaan ke!i dalam sistem persamaan (4.> dinyatakan sebagai ai+ x+  ai 2 x 2  ...  aii x i  ...  ain x n  bi ,

i  +,2,..., n

(4.?

Persamaan (4.? dapat ditulis sebagai aii xi 

n

% a x i+

+

 bi

(4.@

+ +, +  i

-ari persamaan (4.@ dapat diperoleh penyelesaian persamaan ke!i yaitu n ! + $ xi  b a x  " i i+ +  aii # + +, +  i 

%

(4.A

-engan demikian prosedur iterasi metode %acobi dapat ditulis sebagai

?=


xi

( k +

n + $ ( k  ! ai+ x +  , i  +,2,..., n , k  0,+,2,...  "bi  aii # + +, +  i 

%

(4.+0

)ntuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode %acobi diperlukan suatu nilai titik (pendekatan a&al, yaitu x( 0 . Nilai x(0  biasanya tidak diketahui dan dipilih x (0  0 .



Kon;ergensi Me*ode /a0oi

)ntuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode iterasi, koefisien matriks  dipecah men"adi dua bagian, yaitu ) dan P , sedemikian sehingga   )  P . -engan demikian dapat diperoleh



) x  x

( k +

  P  x  x  ( k 

atau

 x  x

( k +

  - x  x  , ( k 

dengan -  ) + P .

(4.++

$emudian didefinisikan error pada iterasi ke!k , yaitu e

( k 

 x  x( k  .

(4.+2

Sehingga error pada iterasi ke! ( k  + dapat dinyatakan sebagai e

( k +

 -e( k 

(4.+4

$emudian e

(+

 -e( 0

e ( 2  -e(+  - (-e( 0   - 2e( 0 e( 4  -e( 2  - (- 2e ( 0   - 4e( 0  

e

( k 

 - k e ( 0

(4.+7

Pada persamaan (4.+7, tampak bah&a e( k   0 untuk k   "ika dan hanya "ika - k  0 untuk k   . -engan mengambil norm persamaan (4.+4 diperoleh e ( k 



- k e( 0 

-engan sifat norm /ektor, yaitu !

 k

-



- k . e ( 0 

 . ! , maka dapat ditun"ukkan bah&a 

-

k

.

?>


-engan demikian diperoleh e ( k 

leh karena itu, "ika

-



+ maka

k

-



. e ( 0 

. k   untuk sebarang e( 0 .

e ( k   0 untuk

Bal ini menun"ukkan bah&a syarat cukup agar metode iterasi kon/ergen adalah -



+.

Selan"utnya, perhatikan kembali persamaan (4.+0, yaitu xi

n + $ ( k  !  ai+ x +  "bi  aii # + +, +  i 

%

( k +

Persamaan tersebut dapat ditulis kembali sebagai

xi

( k +



$ ai+  ( k  ! bi "   x +   % + +, +  i "  a ii # aii  n

%adi, matriks - (matriks iterasi adalah

$ 0 " a " a - "  " a "# a

a



0



a+2 ++

2+

22

2n 22

an 2

a

nn

+n ++



n+

a a ! a  a  .    0  



nn

leh karena itu, metode %acobi akan kon/ergen "ika -  maD + i  n

n

ai+

+ +, +  i

aii

%

+

atau dengan kata lain syarat cukup agar metode %acobi kon/ergen adalah n

ai+

+ +, +  i

aii

%

 +,

i  +,2,..., n .

atau ekui/alen dengan

aii 

n

%a

i+

, i  +,2,..., n

(4.+=

+ +, +  i

Sebuah mtriks yang memenuhi kondisi (4.+= disebut sebagai matriks yang dominan secara diagonal ( strictly diagonally dominant . %adi, metode %acobi akan kon/ergen "ika matriks koefisien dominan secara diagonal.

??


Selan"utnya, dalam menganalisis error metode iterasi, untuk men"amin bah&a

x  x (k + 



(  adalah nilai ketelitian, iterasi dapat dihentikan "ika + -



x

( k +

 x ( k  



A(gori*ma Me*ode /a0oi

nput n

a i, + 

bJi I xJi I

)kuran SP6 i  +,2,..., n dan +  +,2,..., n i  +,2,..., n i  +,2,..., n (titik

a&al eps Error (nilai ketelitian itemax 1atas maksimum iterasi utput xJi I i  +,2,..., n solusi SP6 6angkah!langkah +. Tetapkan iter C 0 2. Tetapkan error C 0 4. )ntuk i  +,2,..., n s C 0 )ntuk +  +,2,..., n %ika +  i maka s C s 9 a i, +  . xJ + I xbaruJi I C  bJi I  s  : aJi , i I s C abs   xbaruJiI  xJi I : xbaruJiI %ika s L error maka error C s 7. )ntuk i  +,2,..., n xJiI  xbaruJiI

=. %ika error H eps maka selesai >. iter C iter 9 + ?. %ika iter L itemax maka proses belum kon/ergen, stop @. $embali ke langkah 2

8ontoh 2.@.+ Tuliskan dua iterasi metode %acobi dengan titik a&al x( 0  0 dari sistem persamaan linear berikut. 4 x+  x2  x4  > x+  7 x2  x4  @

?@


x+  2 x2  7 x4  A

Penyelesaian -ari baris pertama, kedua, dan baris ketiga berturut!turut diperoleh

x+ 

+ 4

 >  x2  x4 

x2 

+ 7

 @  x+  x4 

x4   +7  A  x+  2 x2  -engan demikian, prosedur iterasi metode %acobi adalah x+

x2

( k +

( k +

x4

( k +



+ 4



+ 7

> @

( k 

 x4

 

( k 

( k  ( k   x+  x4

A

+ 7

 

 x2

( k   x+ 

2 x2

( k 



dengan k  0,+,2,... . -iketahui titik a&al x (0  0 , sehingga untuk k  0 diperoleh (+

x+



+ 4

>

 x2

( 0



x4

(0

 +4 (>  0  0

2 x2

(+



@

+ 7

( 0  x+ 

x4

(0



 +7 (@  0  0 2 x4

(+

 

+ 7

A

(0  x+ 

2 x2

( 0



  +7  A  0  2(0    A7 dan untuk k  + diperoleh ( 2

x+



+ 4

>

 x2

(+



x4

(+



?A




x2

( 2



? +2



+ 7

( 2

@

+ 7

@



44 +>



x4

>

+ 4

 

+ 7



2    A7  

(+  x+ 



x4

(+



2    A7  

(+

A  x+



2 x2

(+

  +7  A  2  2( 2    47 %adi, solusi hampiran sistem persamaan adalah x+ 

? +2

, x2



44 +>

, dan x4

  47 .

8ontoh [email protected] Tentukan solusi hampiran dari sistem persamaan linear pada 8ontoh 2.@.+ dengan metode %acobi,

dengan titik a&al x( 0  0 dan nilai ketelitian

(toleransi sebesar =  +0 ++ .

Penyelesaian Solusi hampiran dapat dicari dengan menggunakan perintah berikut ini. K+atriks koe%isien <=9> 1 -1;1  1;1  -:; Kleen atriks # #=9G;A;B:; KTitik aal x0=90;0;0:; disp(' +T <2/ ') disp(' ====================================') eps = input('+asukkan nilai ketelitian " '); iteax = input('+asukkan 4ula$ iterasi aksiu " '); disp(' ') disp(' +eulai 5roses terasi ') disp(' ====================================') disp(' k x1 x x> ') n = lengt$(#); x1 = x0 ; %orat s$ort %or k=1"1"iteax,

@0


%or i=1"n, =#(i)-<(i,1"i-1)*x0(1"i-1)-<(i,i61"n)*x0(i61"n); x1(i)=7<(i,i); end g=a#s(x1-x0); err=nor(g); relerr=err7(nor(x1)); disp(9k, x1':) x0=x1; i%(erreps)L(relerreps), #reak, end

end

Sehingga diperoleh

+T <2/ ==================================== +asukkan nilai ketelitian " 0.0000000000? +asukkan 4ula$ iterasi aksiu " ?

+eulai 5roses terasi ==================================== k x1 x x> 1.0000 .0000 .0000 -.?00 .0000 0.?A>> .0G? -0.@?00 >.0000 1.0G? .01@ -1.0@B .0000 0.BG1A .00G -0.BG>? ?.0000 1.011> .000 -1.00A G.0000 0.BB@1 1.BBB -0.BB@0 @.0000 1.001> .0000 -1.0011 A.0000 0.BBBG .0000 -0.BBB@ B.0000 1.0001 .0000 -1.0001 10.0000 1.0000 .0000 -1.0000 11.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1>.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1?.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1G.0000 1.0000 .0000 -1.0000 [email protected] 1.0000 .0000 -1.0000 1A.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1B.0000 1.0000 .0000 -1.0000 0.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1.0000 1.0000 .0000 -1.0000 .0000 1.0000 .0000 -1.0000 >.0000 1.0000 .0000 -1.0000

%adi dengan nilai ketelitian



 =  +0 ++ , terdapat 24 iterasi untuk memperoleh

solusi hampiran dari SP6, yaitu x+  + , x2  2 , dan x 4  + .

@+


,) Me*ode 5auss3Seide(

Metode 5auss!Seidel dikenalkan oleh %ohann 8arl *riedrich 5auss (+???  +@== dan Philipp 6ud&ig /on Seidel (+@2+  +@A>. Metode 5auss!Seidel pada prinsipnya hampir sama dengan metode %acobi. Pada metode %acobi, dihitung

dari

x+( k  , x2( k  ,..., xn( k  ,

tetapi

nilai

estimasi

baru

xi

( k +

dari

x+( k + , x2( k + ,..., xi(k ++ sudah dihitung. -alam metode 5auss!Seidel, nilai estimasi baru tersebut digunakan dalam perhitungan. Seperti dalam metode %acobi, penyelesaian persamaan ke!i dapat ditulis sebagai ai+ x+  ai 2 x2  ...  aii x+  ...  ain xn  bi ,

i  +,2,..., n

atau aii x+ 

n

% a x i+

+

 bi

+ +, +  i

atau n ! + $ xi  b a x  " i i+ +  aii # + +, +  i 

%

atau i + n ! + $ xi  ai+ x +  . "bi  ai+ x +  aii # + + +  i + 

%

%

( k + , x2( k + ,..., xi(k ++ digunakan dalam perhitungan, $arena nilai estimasi baru x+

sehingga prosedur iterasi metode 5auss!Seidel dapat ditulis sebagai xi

( k +

i + n + $ ( k + ( k  ! b a x a x    " i  , i  +,2,..., n , k  0,+,2,... i+ + i+ + aii # + + +  i + 

%

%

(4.+>

Seperti pada metode %acobi, untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode 5auss!Seidel "uga diperlukan suatu nilai titik (pendekatan a&al, yaitu

x ( 0  . Nilai x ( 0  biasanya tidak diketahui dan dipilih x (0  0 .

@2




Kon;ergensi Me*ode 5auss3Seide(

Metode 5auss!Seidel memiliki kon/ergensi yang sama dengan metode %acobi, yaitu akan kon/ergen "ika matriks koefisien dominan secara diagonal. Selain itu, iterasi "uga berhenti "ika + -

dengan



( k +

 x ( k  



,

 adalah nilai ketelitian (toleransi yang diberikan. A(gori*ma Me*ode /a0oi

nput n

a i, + 

bJi I xJi I

x

)kuran SP6 i  +,2,..., n dan +  +,2,..., n i  +,2,..., n i  +,2,..., n

eps Error (nilai ketelitian itemax 1atas maksimum iterasi utput xJi I i  +,2,..., n solusi SP6 6angkah!langkah +. Tetapkan iter C 0 2. Tetapkan error C 0 4. )ntuk i  +,2,..., n s C 0 )ntuk +  +,2,..., n %ika +  i maka s C s 9 a i, +  . xJ + I xbaru C  bJi I  s  : aJi , i I s C abs   xbaru  xJi I : xbaru %ika s L error maka error C s xJi I  xbaru 7. )ntuk i  +,2,..., n xJiI  xbaruJiI

=. %ika error H eps maka selesai >. iter C iter 9 + ?. %ika iter L itemax maka proses belum kon/ergen, stop @. $embali ke langkah 2

@4


8ontoh 2.A.+ Tuliskan dua iterasi metode 5auss!Seidel dengan titik a&al x( 0  0 dari sistem persamaan linear berikut. 4 x+  x2  x4  > x+  7 x2  x4  @ x+  2 x2  7 x4  A

Penyelesaian -ari baris pertama, kedua, dan baris ketiga berturut!turut diperoleh

x+ 

+ 4

 >  x2  x4 

x2 

+ 7

 @  x+  x4 

x4   +7  A  x+  2 x2  -engan demikian, prosedur iterasi metode 5auss!Seidel adalah ( k +

x+

x2

x4

( k +

( k +





+ 7

+ 4

>

@

 x2

( k 

 x4

( k 

( k + ( k   x+  x4 ( k +

  +7 A  x+



 2 x2

( k +

dengan k  0,+,2,... . $arena diambil titik a&al x (0  0 , maka untuk k  0 diperoleh (+

x+



+ 4

>

 x2

( 0



x4

(0



 +4 (>  0  0 2 x2

(+



+ 7

(+

@  x+



x4

(0

 +7 (@  2  0  x4

(+

4 2



(+

  +7 A  x+  2 x2

(+



  +7 A  2  2( 42   +

@7


dan untuk k  + diperoleh ( 2

x+

x2

( 2



+ 4



+ 4

>

 x2

(+

(+



(+



x4



 >  42    + 



? >



+ 7

@

(2  x+ 

x4

 +7 @  ?>    +  x4

( 2

7? 27

 

+ 7

A

 x+

(2



2 x2

( 2

   +7  A  ?>  2( 7? 27

  7? 7@ %adi, solusi hampiran sistem persamaan adalah x+ 

? >

, x2



7? 27

, dan x4

  7? 7@ .

8ontoh 2.A.2 Tentukan solusi hampiran dari sistem persamaan linear pada 8ontoh 2.A.+ dengan metode 5auss!Seidel, dengan titik a&al x (0  0 dan nilai ketelitian (toleransi sebesar =  +0 ++ .

Penyelesaian Solusi hampiran dapat dicari dengan menggunakan perintah berikut ini. K+atriks koe%isien <=9> 1 -1;1  1;1  -:; Kleen atriks # #=9G;A;B:; KTitik aal x0=90;0;0:; disp(' +T D ') n = lengt$(#); x1 = x0 ; %orat s$ort %or k=1"1"iteax,

@=


%or i=1"n, =#(i)-<(i,1"i-1)*x1(1"i-1)-<(i,i61"n)*x0(i61"n); x1(i)=7<(i,i); end g=a#s(x1-x0); err=nor(g); relerr=err7(nor(x1)); disp(9k, x1':) x0=x1; i%(erreps)L(relerreps), #reak, end

end

Sehingga diperoleh

+T D

+eulai 5roses terasi ==================================== k x1 x x> 1.0000 .0000 1.?000 -1.0000 .0000 1.1GG@ 1.B?A> -0.B@B >.0000 1.00A 1.BABG -1.0000 .0000 1.00>? 1.BBB1 -0.BBBG ?.0000 1.000 1.BBBA -1.0000 G.0000 1.0001 .0000 -1.0000 @.0000 1.0000 .0000 -1.0000 A.0000 1.0000 .0000 -1.0000 B.0000 1.0000 .0000 -1.0000 10.0000 1.0000 .0000 -1.0000 11.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1>.0000 1.0000 .0000 -1.0000 1.0000 1.0000 .0000 -1.0000

-ari hasil tersebut, terlihat bah&a dengan metode 5auss!Seidel hanya dibutuhkan +7 iterasi untuk memperoleh solusi hampiran x+  + , x2  2 , dan x4  + . Sedangkan metode %acobi membutuhkan 24 iterasi. -engan demikian, metode 5auss!Seidel memiliki kon/ergensi lebih cepat daripada metode %acobi.

@>


E"ALUASI

$er"akan soal!soal berikut ini dengan benar +.

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode matriks in/ers, aturan 8ramer, dan eliminasi 5auss. x . y . / 0 2 2 x 9 4 y  / C @ x  y  / C @

2.

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi 5auss dan eliminasi 5auss!%ordan. 4 x  y 9 ? / C 0 2 x  y 9 7 / C

+ 2

x 1 y . / C + > x  7 y 9 +0 / C 4 -engan titik a&al x ( 0  0 , tuliskan dua iterasi metode %acobi terhadap

4.

sistem persamaan linear berikut. a.

7 x+  x2  2 x4  ?

2 x+  = x2  x4  +

 2 x+  x2  7 x4  > b.

4 x+  x2  x4  4 x+  = x2  2 x4  0 2 x+  2 x2  = x4  +

7.

-engan titik a&al x( 0  0 , tuliskan dua iterasi metode 5auss!Seidel terhadap sistem persamaan linear pada soal no. 7.

=.

Tentukan solusi hampiran dari sistem persamaan linear pada soal no. 7 dengan metode %acobi dan metode 5auss!Seidel, dengan titik a&al x( 0  0 dan nilai ketelitian (toleransi sebesar =  +0 ++ .

@?


BAB I"

In*erpo(asi dan Regresi


Mahasis&a menguasai dan memahami cara melakukan interpolasi dan regresi dengan metode numerik.



Men"elaskan pengertian pendekatan sebuah fungsi.

2.

Men"elaskan pengertian interpolasi.dan ekstrapolasi.

4.

Men"elaskan pengertian interpolasi linear, kuadrat dan kubik.

7.

Menghitung

solusi

pendekatan

dari

suatu

persoalan

dengan

interpolasi linear, kuadrat dan kubik. =.

Men"elaskan pengertian regresi.

Pengan*ar

-ata yang sering di"umpai di lapangan oleh ahli ilmu alam atau rekayasa&an sering dalam bentuk data diskrit, yang umumnya disa"ikan dalam bentuk tabel. Sebagai contoh, berikut ini adalah data suhu kota Padang pada suatu hari. Ta(e ')& Suhu kota Padang pada Pukul + ! +2 Pukul Suhu (dalam o8

+

2

4

7

=

>

?

@

A

+0

++

+2

+A

+?

+@

20

2+

27

2?

2A

42

4+

44

47

Masalah yang sering di"umpai terhadap data tersebut adalah menentukan suatu nilai di antara titik!titik tersebut, tanpa melakukan pengukuran lagi. Misalkan kita ingin

@@


mengetahui berapa suhu kota Padang pada pukul + lebih 40 menit Pertanyaan ini tidak dapat ter"a&ab secara langsung, karena fungsi yang menghubungkan antara /ariabel &aktu dan suhu tidak diketahui. Salah satu solusinya adalah dengan mencari fungsi yang mencocokkan (fit titik!titik dalam tabel tersebut. Pendekatan semacam ini disebut pen0o0o+an +ur;a 1curve fitting 2 dan fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran, sehingga nilai fungsi yang diperoleh "uga merupakan nilai hampiran. Meskipun demikian, cara pendekatan ini dalam praktek sudah mencukupi, karena rumus yang menghubungkan dua /ariabel atau dua besaran seringkali sulit ditemukan. Pencocokkan kur/a adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kur/a fungsi. Bal ini dibedakan men"adi dua metode, yaitu

6)

Regresi

-ata hasil pengukuran umumnya mengandung error yang cukup berarti, karena data ini tidak terlalu teliti, maka kur/a yang mencocokan titik titik data itu tidak perlu melalui semua titik. Strategi yang digunakan adalah menentukan kur/a yang me&akili kecenderungan titik data, yakni kur/a mengikuti pola titik sebagai kelompok. Perhatikan gambar berikut ini.

y

x

5amar ')& 3egresi

@A


$ur/a tersebut dibuat sedemikian sehingga selisih antara titik data dengan titik hampirannya di kur/a sekecil mungkin. Metode pencocokkan kur/a seperti ini dinamakan regresi +uadra* *er+e0i( ( least suare regression . Error yang timbul, mungkin disebabkan oleh kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur yang digunakan atau karena sifat sistem yang diukur.

7)

In*erpo(asi

%ika data yang diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kur/a cocokannya dibuat melalui setiap titik dalam data. Metode seperti ini dinamakan in*erpo(asi titik!titik data dengan sebuah fungsi. Perhatikan gambar berikut ini. y

x

5amar ')$ nterpolasi

%ika fungsi cocokan yang digunakan berbentuk polinom, yaitu pn ( x  a0  a+ x  ...  an x n ,

maka polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Selain dengan polinom, interpolasi titik!titik data dapat dilakukan dengan &ungsi spline, &ungsi rasional , atau dengan deret "ourier . nterpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode numerik. *ungsi yang tampak sangat rumit, akan men"adi sederhana "ika dinyatakan dalam

A0


polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik, metode persamaan difrensial biasa dan metode turunan numerik didasarkan pada polinom interpolasi, sehingga banyak yang menyatakan bah&a interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik.

"#$

In*erpo(asi Po(inom

-iberikan (n9+ buah titik yang berbeda, yaitu

( x 0 , y 0  , ( x+ , y+  

( x n , y n  . Misal p n ( x  adalah polinom yang menginterpolasi (mele&ati semua

titik!titik tersebut, sedemikian sehingga yi  pn ( xi  , untuk

i  0,+,2,..., n

Nilai y i dapat berasal dari fungsi matematika & ( x  , misalkan

& ( x 



ln x

,

& ( x   2in x , dan sebagainya, sedemikian sehingga y i  & ( xi  atau y i dapat

diperoleh secara emperik (hasil dari pengamatan percobaan di 6aboratorium. Misal polinom p n ( x  diilustrasikan pada gambar berikut.

! ( x7 , y7+ 

( x+ , y+ 

( a , p n ( a  ( xn , yn 

( x4 , y4 

( xn + , yn + 

( x0 , y0 

( a , p n ( a 

( x2 , y 2 

x0

x



a

xn

x



a

5amar '), nterpolasi dan Ekstrapolasi

A+


Setelah diperoleh polinom interpolasi p n ( x  , maka p n ( x  digunakan untuk menghitung perkiraan nilai y di x titik x





tersebut dapat

a , yaitu y  pn (a  . Posisi

a mungkin terletak di antara titik!titik data, x0  a  xn , atau terletak di

luar titik!titik data, yaitu a  x0 atau xn  a . %ika a. x0  a  xn , maka y k  p k (a  disebut nilai interpolasi. b. a  x0 atau xn  a , maka y k  p k (a  disebut nilai ekstrapolasi. Suatu titik!titik data dapat diinterpolasi dengan polinom linear, polinom kuadratis, polinom kubik atau polinom dera"at yang lebih tinggi, tergantung pada "umlah titik!titik data yang tersedia.

"#$#$

In*erpo(asi Linear

nterpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah titik, ( x 0 , y 0  dan ( x+ , y+  . Polinom yang menginter! polasi kedua titik tesebut adalah sebuah persamaan garis lurus yang berbentuk p+ ( x  a 0  a+ x

(7.+

dengan a0 dan a+ adalah koefisien konstan. 5aris yang menginterpolasi titik!titik ( x 0 , y 0  dan ( x+ , y+  dapat diilustrasikan sebagai berikut.

y ( x+ , y+ 

( x0 , y0 

x0

x+

x

5amar ')' nterpolasi 6inear

A2


$oefisi $oefisien en a0 dan a+ pada persamaan (7.+ dapat ditentukan melalui substitusi dan

elim elimin inas asi. i.

-eng -engan an

( x 0 , y 0  dan

men mensub substit stitu usik sikan

( x+ , y+  ke

dalam

persamaan tersebut diperoleh dua buah persamaan linier, yaitu yaitu y 0  a0  a+ x 0

y+  a 0  a+ x+

%ika kedua persamaan tersebut diselesaikan dengan eliminasi, maka diperoleh a0 

x+ y 0  x 0 y+ x+  x 0

(7.2

dan a+ 

y+  y0 x+  x0

(7.4

Selan"utnya, persamaan (7.2 dan (7.4 disubstitusikan ke dalam persamaan (7.+ untuk mendapatkan persamaan garis lurus p+ ( x 

x+ y0  x0 y+ ( x+  x0 



( y+  y2  ( x+  x0 

x

(7.7

-engan melakukan manipulasi al"abar pada persamaan (7.7, maka diperoleh p+ ( x 

 p+ ( x   p+ ( x   p+ ( x 

x+ y0  x0 y+ ( x+  x0 



( y+  y2  ( x+  x0 

x

x+ y0  x0 y+  xy+  xy0 x+  x0

x+ y0  x0 y+  xy+  xy0  x0 y0  x0 y0 x+  x0 ( x+  x0  y0  ( y+  y0 ( x  x0  x+  x0

 p+ ( x  y0 

( y+  y0  ( x+  x0 

( x  x0  (7.=

Persamaan (7.= merupakan persamaan garis lurus yang melalui dua buah titik ( x 0 , y 0  dan ( x+ , y+  .

A4


8ontoh 7.+.+ Perkirakan "umlah penduduk 'merika Serikat (dalam "utaan pada tahun +A>@ berdasarkan data pada table berikut.

Ta(e ')& %umlah Penduduk 'S Tahun +A>0 dan +A?0

Tahun

+A>0

+A?0

%umlah penduduk

+?A.4

204.2

Penyelesaian Penyelesaian Misal x 0  +A>0 ,

y0  +?A .4

x+  +A?0 ,

da dan

y+  204.2 .

-engan

menggunakan persamaan (7.=, maka diperoleh p+ (+A>@  +?A.4 

(204.2  +?A.4(+A>@  +A>0 +A?0  +A>0

 +A@ .7 %adi taksiran "umlah penduduk 'S pada tahun +A>@ adalah [email protected] "uta.

8ontoh 8ontoh 7.+.2 7.+.2 -ari data, data, diketahu diketahuii bah&a ln(A.0 ln(A.0 C 2.+A?2 dan ln(A.= ln(A.= C 2.2=+4. Tentukan nilai ln(A.2 ln(A.2 dengan interpolasi interpolasi linear sampai = angka dibelakang dibelakang koma. 1andingkan hasilnya dengan nilai eksaknya, yaitu ln(A.2C ln(A.2C 2.2+A2. Penyelesaian: Misal x0  A.0 ,

y0  2.+A?2

da dan

x+  A.= ,

y+  2.2=+4 .

-engan

menggunakan persamaan (7.=, maka diperoleh p+ (A.2  2.+A?2 

( 2.2=+4  2.+A?2(A.2  A.0 A.=  A.0

 2.2+@@ $arena nilai eksak ln(A,2 ln(A,2 C 2,2+A2, sehingga Error C C 2.2+A2!2.2+@@ C 0.0007. -ari hasil tersebut terlihat bah&a interpolasi linear tidak cukup untuk memperoleh ketelitian sampai = angka signifikan, hanya sampai 4 angka signifikan.

A7


"#$#%

In*erpo(asi Kuadra*i+

Misa Misall dibe diberi rika kan n tiga tiga buah buah titi titik k data data ( x 0 , y 0  , ( x+ , y+  dan ( x 2 , y 2  ) Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik tersebut adalah berupa polinom kuadratik yang persamaannya berbentuk p 2 ( x  a0  a+ x  a 2 x 2

(7.>

dengan a0 , a+ , dan a2 adalah koefisien konstan. $ur/a yang menginterpolasi menginterpolasi titik!titik ( x 0 , y 0  , ( x+ , y+  , dan ( x2 , y 2  dapat diilustrasikan sebagai berikut. y ( x+ , y+ 

( x0 , y0 

( x2 , y 2 

x

5amar ')6 nterpolasi $uadratik

Polinom p 2 ( x  ditentukan dengan cara mensubstitusikan titik!titik ( x 0 , y 0 

, ( x+ , y+  , da dan ( x2 , y 2  ke dalam dalam persam persamaan aan (7.>, (7.>, sehing sehingga ga dipero diperoleh leh tiga tiga parsamaan yang tidak diketahui, yaitu a0  a+ x0  a2 x02  y0 2 a0  a+ x+  a2 x+  y+

(7.?

a0  a+ x 2  a2 x 2  y 2 2

)ntuk )ntuk menentuk menentukan an nilai nilai a0 , a+ , da dan a2 dari dari sistem sistem persam persamaan aan (7.? (7.? dapat dapat digunakan metode eliminasi 5auss.

A=


8ontoh 7.+.4 -iberikan titik data ln(@.0 C 2.0?A7, ln(A.0 C 2.+A?2, dan ln(A.= C 2.2=+4. Tentukan nilai ln(A.2 dengan interpolasi kuadratik.

Penyelesaian Misal x0  @.0 , y0  2.0?A7 ,

x+  A.0 ,

y+  2.+A?2 ,

dan x2  A.= ,

y2  2.2=+4 . -engan menggunakan persamaan (7.>, maka diperoleh a 0  @,0a+  >7,00a 2  2,0?A7 a 0  A,0a+  @+,00a 2  2,+A?2 a 0  A,=a+  A0,2=a 2  2,2=+4

-engan menggunakan metode eliminasi 5auss, maka dihasilkan nilai a0  0.>?>2 , a+  0.22>> , dan a2  0.00>7 .

Sehingga polinom kuadratnya adalah p 2 ( x  0,>?>2  0,22>> x  0,00>7 x . 2

%adi diperoleh p2 (A.2  2.2+A2 . Basil perhitungan ini sama dengan nilai eksaknya, yaitu sampai = angka signifikan.

"#$#&

In*erpo(asi Kui+

Misalk diberikan empat buah titik ( x 0 , y 0  , ( x+ , y+  , ( x 2 , y 2  dan ( x 4 , y 4  ) Polinom yang menginterpolasi keempat

buah titik tersebut adalah

berupa polinom kubik yang persamaannya berbentuk 2 4 p4 ( x  a0  a+ x  a2 x  a4 x

dengan

a0 ,

a+ ,

a2 , dan

a4

(7.@

adalah koefisien konstan. $ur/a yang

menginterpolasi titik!titik ( x 0 , y 0  , ( x+ , y+  , dan ( x2 , y2  dapat diilustrasikan sebagai berikut.

y ( x+ , y+ 

( x7 , y 7 

A>


( x0 , y0 

( x2 , y 2 

x

5amar ')7 nterpolasi $ubik

Polinom p4 ( x ditentukan dengan mensubstitusikan titik!titik ( x 0 , y 0  , ( x+ , y+  , ( x2 , y 2  , dan ( x4 , y4  ke dalam persamaan (7.@, sehingga diperoleh tiga parsamaan yang tidak diketahui, yaitu 2 4 a0  a+ x+  a 2 x+  a4 x+  y+

a 0  a+ x 2  a 2 x 22  a 4 x 24  y 2

(7.A

a0  a+ x4  a2 x4  a4 x4  y4 2

4

)ntuk menentukan nilai a0 , a+ , a 2 , dan a4 dari sistem persamaan (7.A dapat digunakan metode eliminasi 5auss. -engan cara yang sama, kita dapat membuat polinom interpolasi berdera"at n yang dirumuskan oleh pi ( x 

n

% a x i

i

 a 0  a+ x  a 2 x 2  a4 x 4  ...  a n x n

(7.+0

i 0

asalkan terdapat ( n  + buah titik. -engan mensubtitusikan titik ( x i , y i  ke dalam persamaan (7.+0, untuk i  0,+, 2, 4,..., n , akan diperoleh

n buah

persamaan

2 4 n a0  a+ x0  a2 x0  a4 x0  ...  an x0  y0 2 4 n a0  a+ x+  a2 x+  a4 x+  ...  an x+  y+

A?


2 4 n a0  a+ x2  a2 x2  a4 x2  ...  an x2  y2





.

..





(7.++ .

a0  a+ xn  a2 xn  a4 xn  ...  aa xn  y n . 2

4

n

Seperti persamaan sebelumnya, nilai a 0 , a+ , a 2 , a 4 ,...a n dapat ditentukan dengan menggunakan metode eliminasi 5auss.

"#%

In*erpo(asi dengan Matlab

8ontoh yang sederhana dalam interpolasi adalah plot Matlab. Matlab secara otomatis akan menggambar garis lurus yang menghubungkan titik!titik data. nterpolasi ini dikatakan linear dan memperkirakan bah&a nilai!nilai antara berada pada garis lurus tersebut. %elas bah&a ketika "umlah data semakin banyak dan "arak masing!masing titik semakin kecil, maka tingkat akurasi dari interpolasi akan semakin tinggi.

8ontoh 7.2.+ -iberikan perintah berikut.

x1 = linspace(0,*pi,?); x = linspace(0,*pi,?0); plot(x1,sin(x1),x,sin(x)); grid on

-engan men"alankan perintah tersebut, maka diperoleh

A@


1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

5amar ')8 5rafik fungsi sin( x .

-ari dua grafik sinus di atas, "elas bah&a yang diplot dengan "umlah titik sebanyak =0 data memiliki tingkat akurasi yang lebih tinggi daripada = data, sehingga untuk mengestimasi nilai!nilai fungsi di antara titik!titik yang sudah diketahui "uga akan semakin mendekati kebenaran. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut.

8ontoh 7.2.2 1erikut adalah data suhu di kota Padang Pukul Suhu (dalam o8

+

2

4

7

=

>

?

@

A

+0

++

+2

+A

+?

+@

20

2+

27

2?

2A

42

4+

44

47

-ata di atas dapat disimpan dalam Matlab dengan dua /ariabel, yaitu &aktu dan suhu, dengan perintah

aktu = 1"1; su$u = 91B 1@ 1A 0 1  @ B > >1 >> >:; plot(aktu,su$u,aktu,su$u,'6') title('u$u di Mota 5adang') xla#el('Iaktu'), yla#el('era4at 2elcius') grid on

AA


Maka figure &indo& Matlab akan menampilkan grafik sebagai berikut. )$!$ di +ota ,ada(# 34 32 30 28 s $ i c  e 26 0 t a / a r 24 e .

22 20 18 16 0

2

4

6 akt$

8

10

12

5amar ')9 5rafik suhu di kota Padang

Seperti terlihat dalam grafik, Matlab menggambar garis lurus untuk menghubungkan titik!titik data yang ada, dan secara linear menginterpolasi (mengestimasi data!data point. )ntuk memperkirakan suhu pada setiap &aktu yang diminta, kita cukup menginterpretasikan grafik secara /isual. 'lternatif

lain dalam menginterpolasi data adalah dengan menggunakan

fungsi in*erp yang disediakan oleh Matlab. 'da beberapa pendekatan untuk interpolasi, tergantung dari asumsi yang dibuat. nterpolasi "uga dimungkinkan untuk data dengan dua atau lebih dimensi. Misal "ika diberikan suatu fungsi dari

+00


dua /ariabel, yaitu /  & ( x, y  , maka bisa diinterpolasi nilai!nilai antara kedua /ariabel x dan y untuk mendapatkan nilai antara fungsi dari / . Matlab menyediakan pilihan interpolasi dlam +!dimensi, yaitu fungsi  in*erp&, dan dalam 2!dimensi, yaitu fungsi in*erp$.

"#%#$

In*erpo(asi Linear

-ari contoh sebelumnya, kondisi suhu di kota Padang dapat diinterpolasi dengan dengan Matlab dengan perintah sebagai berikut. aktu = 1"1; su$u = 91B 1@ 1A 0 1  @ B > >1 >> >:; t1 = interp1(aktu,su$u,.?) t = interp1(aktu,su$u,B.?)

dengan t+ dan t2 berturut!turut adalah perkiraan suhu pada pukul 7 le&at += menit dan pukul A le&at 40 menit. %ika perintah di atas di"alankan, maka diperoleh

t1 t

= 0.?00 = >1.?000

%adi, dperoleh suhu pada pukul 07.+= sebesar 20.2= o8 dan suhu pada pukul 0A.40 sebesar 4+.=o8. *ungsi interp+ yang digambarkan dalam interp+( x, y , x0 , di mana x adalah /ariabel bebas, y adalah /ariabel terikat, dan x0 adalah array dari nilai yang akan diinterpolasi. Penggunaan interpolasi ini disebut linear interpolasi.

"#%#%

In*erpo(asi Sp(ine

+0+


Selain berasumsi bah&a nilai!nilai data dihubungkan dengan garis lurus, kita "uga dapat berasumsi bah&a kur/a mulus "uga dapat digunakan untuk merepresentasikan hubungan antara nilai!nilai data. 'sumsi yang paling umum adalah interpolasi kubik. Perintah dalam Matlab sama dengan interpolasi biasa, yaitu interp+, namun ditambahkan keterangan spline.

8ontoh 7.2.4 'kan diperkirakan suhu pada pukul = le&at += menit dengan interpolasi kubik, maka dapat digunakan perintah

aktu = 1"1; su$u = 91B 1@ 1A 0 1  @ B > >1 >> >:; t = interp1(aktu,su$u,.?,NsplineN)

Sehingga diperoleh t = 0.??B

%adi, dperoleh suhu pada pukul 07.+= sebesar 20.2==A o8.

"#&

Regresi

Pembahasan mengenai regresi terkait dengan "a&aban dari dua pertanyaan yang sangat krusial dalam pembahasan sebaran data. Pertama tentang  best &itting  dan kedua tentang "enis kur/a yang sebaiknya yang digunakan. Bal ini tidak terlalu mudah mengingat best &it dapat digunakan dengan beberapa cara dan kur/a yang tersedia ada tak berhingga "enisnya.

8ontoh 7.4.+ -iberikan sebaran data sebagai berikut.

+02


x

+

2

4

7

=

>

?

@

A

+0

y

+

+.77

+.@A

2.44

2.?@

4.22

4.>?

7.++

7.=>

=

%ika melihat sebaran data, maka best &it dapat dilihat dengan perintah  po(!fi*

x = 91  >  ? G @ A B 10:; y = 91 1. 1.B .>> .@A >. >.G@ .11 .?G ?:; poly%it(x,y,)

Sehingga diperoleh ans = 0.001?

0.0>

0.A00

Perintah polyfit( x3 y3 2 menggambarkan best &it untuk sebaran data x dan y, dan polinomial 0.00+= x 2  0.7704x  0.7@ adalah fungsi yang paling mendekati pasangan sebaran data yang diberikan.

E"ALUASI

+04


$er"akan soal!soal berikut ini dengan benar. +.

Tentukan polinomial yang menghubungkan titik (0,+, (+,4, dan (2,+4 dengan interpolasi kuadratik.

2.

Tentukan polinomial yang menginterpolasi fungsi

x

di titik

x  2,4, 7 , dan > dengan interpolasi kubik. $emudian tentukan nilai pendekatan =

dengan polinomial tersebut, beserta error yang dihasilkan.

4.

Tentukan polinomial yang menginterpolasi fungsi x 2  +>A

di titik 7

x  +,0 ,

dan + dengan interpolasi kubik.

-iketahui pasangan data sebagai berikut.

x

0.0

0.2

0.7

0.>

0.@

+.0

& ( x 

0.00000

0.=@??@=

0.A=+0=?

0.A=+0=?

0.=@??@=

0.000000

5unakan interpolasi kubik untuk mengestimasi nilai & (0.7= . =.

5unakan interpolasi kubik untuk mengestimasi nilai & (+.? dari pasangan data di ba&ah ini.

x

0

0.7

0.A

+.=

2.2

4.0

& ( x 

+.00000

0.@+@?4

0.>4?>4

0.7?24?

0.442@?

0.224+4

Daf*ar Pus*a+a

+07

Modul Metode Numerik

Recommend Documents