Topik 1
Sistem Pernomboran
1.0 Sinopsis Tajuk ini merangkumi merangkumi perkembangan perkembangan sistem pernomboran pernomboran yang pelbagai pelbagai bermula bermula
dari
sistem pernomboran awal hingga ke sistem pernomboran Hindu-Arab sekarang. Sistem pernombo pernomboran ran awal yang dibincan dibincangkan gkan termasuk termasuk Sistem Sistem pernombo pernomboran ran Gundala Gundalan(T n(Tally ally) ) Sistem pernomboran !oman Sistem pernomboran pernomboran "esir Sistem pernomboran "ayan dan sistem sistem pernombo pernomboran ran #abyloni #abylonian. an. $i bawah bawah sistem sistem pernombo pernomboran ran Hindu-Ar Hindu-Arab ab bilangan bilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas di titikberatkan. Anda juga akan mempelajari bagaimana untuk menukar dari satu asas kepada asas sepuluh dan sebaliknya. sebaliknya.
1.1 Hasil Pembelajaran %.
"embandi "embandingka ngkan n perkemb perkembanga angan n Sistem Sistem &ernombo &ernomboran ran yang pelbagai pelbagai..
'.
"enukarkan as asas b kepada asas % dan sebaliknya.
1.2 Kerangka konsep
Sistem pernomboran
Sistem pernomboran Awal
Sistem pernomboran ang lain.
#ilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas. "enukar asas b kepada asas % dan sebaliknya.
1
Sistem &ernomboran Hindu Arab
1.3 Sistem pernomboran pernomboran Awal &ada masa lampaumanusia menggunakan pelbagai cara untuk merekod nombor yang diperlukan. Sebagai contoh untuk mewakilkan bilangan kambing biri-biri dalam kumpulan pengembala kambing mengumpul batu-batu kecil. $engan memadankan batu-batu kecil dengan dengan kumpulan kumpulan kambing kambing pengemba pengembala la boleh boleh mengetahu mengetahuii jika ada kambingn kambingnya ya yang hilang. Ahli "atematik pada masa ini menamakan cara padanan ini sebagai padanan satu dengan satu. *ebelakangan ini manusia menggunakan cara lain untuk merekod barang kepunyaan mereka. "ereka mengikat tali pada kulit kayu atau melukis tanda gundalan pada batu untuk memadankan tali dengan tanda gundalan. Sebenarnya kayu gundalan dan batubatu kecil adalah perkembangan penting ke arah penciptaan sistem pernomboran.
Kayu Gunalan *emudian manusia mula menggunakan simbol untuk mewakili nombor. Sebagai contoh gamb gambar ar +say +sayap ap,, digu diguna naka kan n untu untuk k mewa mewaki kili li dua dua obje objek. k. &ada &ada keba kebany nyak akan an sist sistem em penomboran awal manusia manusia membentuk nombor nombor dengan dengan cara mengulangi mengulangi simbol asas dan menambah menambah nilai nilai untuk mendapat mendapat
nombor nombor yang mereka kehendaki kehendaki.. rang-ora rang-orang ng
gypt Greek dan !oman menggunakan sistem pernomboran seperti ini. Gambarajah di bawah memaparkan Sistem &ernomboran Greek..
Pernomboran Greek
2
rang rang Hindu Hindu menggu mengguna nakan kan siste sistem m perno pernombo mboran ran yang yang lebih lebih tingg tinggii dari dari yang yang lain. lain. /a mengikut prinsip nilai tempat dan menggunakan sepuluh nombor. Sistem ini berkebang secara beransur-ansur ke dalam Sistem Hindu-Arab kita sekarang (juga dikenali sebagai sistem nombor perpuluhan) dan digunakan sekarang di seluruh dunia. &erkembangan pelbagai Sistem &ernomboran awal ditunjukkan di bawah. 1.3.1 Sistem Pernomboran Gunalan !T"e Tally #umeration System$ Sistem pernomboran ini adalah yang paling mudah di antara semua sistem pernomboran. /a terdir terdirii darip daripada ada satu satu garis garisan an tungg tunggal al mewak mewakili ili setiap setiap objek objek yang yang dikira dikira.. 0alau alau bagaimanapun terdapat dua kelemahan menggunakan sistem ini iaitu (%) nombor yang besar memerlukan simbol indi1idu yang banyak (') sangat sukar untuk membaca nombor yang yang terd terdir irii dari daripa pada da nomb nombor or yang yang besa besarr. 2ont 2ontoh oh33 bole bolehk hkah ah anda anda deng dengan an cepa cepatt memberitahu apakah nombor yang diwakili oleh tanda gundalan di bawah4 Tidak mudahkan 4
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Sistem Gundalan di tambahbaik dengan cara + pengumpulan, pengumpulan, di mana gundalan gundalan yang kelima kelima ditandak ditandakan an dengan dengan
dan diletakk diletakkan an melintan melintang g di setiap setiap empat empat gundalan gundalan
supaya menjadi satu kumpulan terdiri daripada lima seperti di bawah5
//// "engumpul adalah cara paling mudah untuk mengenal nombor yang diwakilkan. $engan menggun menggunakan akan teknik teknik pengumpu pengumpulan lan bolehkah bolehkah anda sekarang sekarang beritahu beritahu apakah apakah nombor nombor yang di wakilkan oleh gundalan dalam contoh di atas.
1.3.2 Sistem Pernomboran %esir ! Aroun 3&00 '($
Sistem Sistem hierog hierogli6 li6ik ik "esir "esir (The (The gypti gyptian an hierog hierogly lyphi phic c system system ) adala adalah h contoh contoh Sistem Sistem &engumpulan &ernomboran mudah. 7ombor-nombor dibentuk dengan menggabungkan simbol hierogli6ik yang ditiru yang mewakili kuasa sepuluh.
3
Sistem pernomboran ini adalah berasaskan tanda gundalan iaitu )
))
)))
))))
)))))
))))))
)))))))
))))))))
1
2
3
&
*
+
,
-
)))))))))
#agaiman #agaimanapun apun selepas selepas 8 mereka mereka memerluk memerlukan an satu simbol simbol baharu baharu yang memerlukan memerlukan +pengumpulan, untuk mewakili set nombor tertentu. 7ilai berikutnya ialah / (tulang tumit) yang mewakili %. Angka "esir menggunakan menggunakan cara untuk merekod kuantiti adalah berdasarkan asas % dengan dengan simbol simbol satusepu satusepuluh luh dan kuasa kuasa sepuluh sepuluh berturut berturut-turu -turut. t. Suatu Suatu hierogli hierogli6ik 6ik khusus khusus digunakan untuk setiap nombor yang berkuasa sepuluh. #agaimanapun tidak ada simbol untu ntuk siar . leh leh itu suatu suatu simbol simbol terten tertentu tu dihapu dihapuska skan n di dalam dalam angka angka bila bila ganda gandaan an sepuluh bukan sebahagian dari nombor tersebut. Sebahagian simbol yang digunakan di dalam angka "esir ditunjukkan di bawah5
Sistem "esir adalah mengikut si6at penambahan. penambahan. (additi1e property)3 iaitu nilai sesuatu nombor Sebagai contoh5 Apakah nombor yang diwakili oleh heirogli6ik berikut4
Tepat9 heirogli6ik di atas mewakili nilai '%:;<.
2uba tuliskan &+*123 menggunakan Sistem &ernomboran "esir. Semoga #erjaya9
1.3.3 Sistem pernomboran pernomboran oman !Antara !Antara *00 '.(. an A.. 100$ Sistem pernomboran !oman adalah lebih canggih berbanding dengan sistem &ernomboran "esir. *elebihannya berbanding Sistem "esir termasuklah penggunaan5
4
+Prinsip penolakan,(+ penolakan,(+subtra4ti5e subtra4ti5e prin4iple,) prin4iple,) yang membolehkan nombor diwakili secara lebih ringkas dan
6Prinsip penaraban ( penaraban (6multipli4ati5e 6multipli4ati5e prin4iple,) prin4iple,) yang memudahkan untuk menulis nombor yang bernilai besar.
=adual berikut menujukkan lapan abjad yang digunakan untuk mewakili nilai berbe>a di dalam sistem &ernomboran !oman dan nilai sepadannya di dalam Sistem &ernomboran Hindu-Arab.
Angka !oman
Angka Hindu-Arab Hindu-Arab
)
%
7
?
8
%
9
?
(
%
?
%
% :aual 1
&eraturan tertentu mesti dipatuhi bila menggunakan menggunakan Sistem &ernomboran !oman iaitu5
Hanya simbol ) 8 ( dan % boleh diulang tetapi tidak boleh menulis simbol lebih daripad daripada a : kali secara berturut-tu berturut-turut. rut. =ika simbol keempat keempat diperlu diperlukan kan gunakan gunakan prinsip penolakan.
#ila menggunaka menggunakan n prinsip prinsip penolakan penolakan kita hanya hanya boleh boleh menolak menolak ) 8 ( dan dan % (tidak 7 9 atau @ tanpa dengan +?,)
*ita hanya boleh boleh menolak menolak angka angka daripad daripada a ' angka angka bersebel bersebelahan ahan yang paling paling tinggi. (contoh. kita boleh ada )7 dan )7 dan )8 )8 tetapi kita tidak boleh ada )9 )9 )( )( ) ) )%) )%)
Gunakan palang di atas simbol atau beberapa simbol untuk menandakan menandakan pendaraban dengan % contoh3 7 bermakna ? % B ?3
)8 bermakna 8 % B 8
Gunakan palang menegak untuk menandakan pendaraban dengan % contoh3 ; 7 ; bermakna ; bermakna ? % B ? 3
; 9 ; bermakna ; bermakna ? % % B ?
5
2ontoh contol lain diberi di bawah5 sedemikian hingga setiap angka mempunyai nilai lebih =ika angka !oman disenaraikan sedemikian besar dari angka di sebelah kanannya maka nilai angka boleh didapati menggunakan si6at penambahan. Setiap angka / C 2 dan " boleh diulang sebanyak tiga kali. Angka-angka D E dan $ tidak diulang contoh5 CD/ B 4 222D/ B 4 ""222EC// ""222EC// B 4
=ika angka yang disenarai sedemikian hingga setiap angka T/$A* mempunyai nilai
yang yang besar besar darip daripad ada a angka angka disebe disebelah lah kanann kanannya ya maka maka nilai nilai angka angka terse tersebut but didap didapati ati menggunakan menggunakan si6at penambahan dan si6at penolakan. penolakan. Hanya angka / C dan 2 yang boleh ditolak daripada angka lain. 2ontoh5 /D B 4 3 /C B 4 3 CE B 4 3 C2 B 43 2$ B 43 2" B 43 2CE/D B 43
"2$ECC/ B 4
penolakan nilai dibenarkan dibenarkan jika nilai bagi angka di sebelah sebelah kanan berada Selanjutnya penolakan pada baris pertama dan kedua selepas angka sebelah kiri seperti dalam jadual %. Sebagai contoh5 CE B 4 3
C2 B 4
tetapi tetapi C$ tidak sama dengan dengan ;8 kerana kerana C terletak pada pada baris : daripada daripada $ di dalam =adual di atas.
Apakah &0 menggunakan &0 menggunakan simbol !oman4 &0 B &0 B FFFFFFFFFFFFFFFFFFF
Tahniah9 Anda berjaya9 system$ kerana kedudukan suatu Sistem !oman ialah sistem keuukan ( positional system$ nombor boleh memberi kesan pada nilai nombor yang diwakili. Sebagai contoh5 8) ialah sebelas manakala )8 ialah )8 ialah sembilan.
menulis nombor nombor besar besar Sistem Sistem &ernombo &ernomboran ran !oman juga mengguna menggunakan kan siat #ila menulis penaraban. penaraban. 2ontoh5
)8 B 8 % % B 8 8 3 ((98)) B ? % % % ? % ' B ?'<' //((98)) B
6
2uba ini5
Tulis menggunakan angka !oman5
?8 ;8
B
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFF
:;?:< I B FFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFF
1.3.& Sistem Pernomboran %ayan. ! Antara A.. 300 an A.. 00$
Sistem &ernomboran "ayan berasaskan sistem ' (1igesimal) yang menggunakan hanya tiga tiga simb simbol ol terd terdir irii dari dari sist sistem em ceng cengke kera rang ng pala palang ng dan dan titi titik k di dala dalam m sist sistem em nila nilaii menegak.Suatu menegak.Suatu titik mewakili satu palang mewakili mewakili lima dan cengkerang cengkerang mewakili si6ar. si6ar. 2arta di bawah menunjukkan kitaran pertama yang lengkap bagi nombor "ayan.
Angka %ayan Seperti sistem nombor sekarang nilai tempat digunakan untuk mengembangkan sistem "ayan "ayan bagi bagi mendapa mendapatkan tkan nilai yang besar. besar. #agaiman #agaimanapun apun sistem sistem ini mempunyai mempunyai dua perbe>aan yang signi6ikan signi6ikan berbanding berbanding sistem kita gunakan sekarang sekarang 3 iaitu %) nilai tempat disusun secara menegak. dan ') mereka menggunakan asas ' atau sistem 1 igesimal . #aca dan cari maklumat tentang nilai tempat dalam Sistem "ayan berbanding sistem kita yang menggunakan asas %. Jntuk mendapatkan semua nombor yang lain "ayan hanya menggunakan menggunakan ' simbol daripada daripada nombor hingga %8 seperti seperti mana kita gunakan simbol simbol hingga 8. Sistem asas asas % mempunyai mempunyai nilai nilai tempat berikut5 berikut5 %Ks %Ks %Ks %Ks %Ks %Ks d.l.l.
7
#ila dituli ditulis s sebagai sebagai eksponen eksponen ia menjad menjadi5 i5 % % % %' %: d.l.l. d.l.l. "aka "aka sistem sistem asas asas ' ' mempunyai nilai tempat seperti berikut5 % ' % '' ': d.l.l. 0alau 0alau bagaimanapun bagaimanapun "ayan "ayan mempunyai satu penyimpangan daripada asas '. 7ilai tempat adalah5 % ' 'L%I ''L%I ':L%I etc. leh leh keran kerana a orang orang "ayan "ayan lebih lebih bermi berminat nat dalam dalam mengi mengira ra hari hari dan dan kalend kalendar ar tahuna tahunan n mereka mereka mempunyai mempunyai :< hari maka adalah adalah lebih lebih sesuai untuk nilai digit digit ketiga ketiga terkecil terkecil menjadi 20<1- = 3+0 3+0 dan bukan 'L' B ;. rang "ayan "ayan menyusun menyusun nombor mereka untuk menandakan nilai tempat berbe>a. &rinsipal berkenaa ditunjukkan di dalam carta di bawah.
=
11(2,880,000) = 31,680,000
= 0∙144,000 = 0 = 14∙7200 = 100,800 = 0∙360 = 0 =17∙20 = 340 =8
%ayan number 4"art rom> "ttp>??en.wikipeia.org?wiki?%a "ttp>??en.wikipeia.org?wiki?%aya@numerals ya@numerals
=umlah di bawah 31,-11&- ialah 31,-11&- ialah 1ersi ringkas untuk nilai di dalam sisitem asas % kita.
7ombor yang ditulis dengan ringkas di dalam sistem "ayan ialah5 11.0.1&.0.1,.- di mana nombor yang ditulis antara masa ialah nombor untuk nilai tempat.
Ada dua kelebihan bila menggunakan menggunakan sistem ini iaitu5 %) 7ombor yang besar lebih senang untuk dinyatakan dan ') ') aritmetik mudah untuk diselesaikan diselesaikan oleh pengguna. pengguna.
8
&roses penambahan mudah boleh dilakukan dengan hanya menggabungkan dua atau lebih set simbol ( set yang sama) seperti di bawah5
Jntuk aritmetik yang lebih rumit kita boleh meminjam bila mencapai nilai ' dan bukan %. Seperti yang ditunjukkan di bawah.
*ita lihat contoh di bawah5 2ontoh5 Tulis
sebagai angka Hindu-Arab.
Penyelesaian>
Angka "ayan yang diberi mempunyai empat tempat. dari atas ke bawah nilai tempatnya ialah ' :< ' dan %. "ula dengan mewakilkan mewakilkan setiap setiap angka angka pada setiap baris baris sebagai sebagai angka angka Hindu-Ar Hindu-Arab ab seperti di bawah5
$arabkan setiap angka Hindu Arab dengan nilai tempat yang berikutnya. 2arikan jumlah hasil pendaraban ini.
9
Sekarang nyatakan nyatakan angka Hindu-Arab berikut berikut menggunkan menggunkan angka "ayan .
&-
1-13
1.3.* Sistem Pernomboran Pernomboran 'abylonian !Antara 3000 an an 2000 '.(.$
Sistem ini menggunakan dua angka iaitu satu dan sepuluh seperti ditunjukkan di bawah.
Gambarajah di bawah bawah menunjukkan menunjukkan Sistem #abylonian iaitu iaitu sistem kedudukan asas-< asas-< (sexagesimal) sexagesimal) system. &erhatikan bahawa dari nombor % hingga ?8 sistem ini adalah berulang iaitu sistem ini adalah sistem penambahan ( additi1e system).
Angka #abylonian #abylonian
0alaupun 0alaupun sistem sistem pernomboran pernomboran #abylonian #abylonian berkembang berkembang pada pada masa masa yang yang sama seperti sistem sistem "esir "esir namun namun Sistem Sistem
#abyloni #abylonian an dalah lebih canggih canggih dalam dalam penggunaan penggunaan nilai
tempat di mana simbol digunakan digunakan untuk mewakili nilai berbe>a bergantung kepada tempat yang ditulis. *edudukan setiap angka membrti kesan kepada nilainya.
10
rang
#abyloni #abylonian an meletakkan meletakkan ruang ruang untuk membe>akan membe>akan nilai nilai tempat dalam angka. angka.
7amun begitu ia menyebabkan kekeliruan kerana nilai boleh di salah ta6sirkan. Sebagai contoh dua nilai sepuluh dalam #abylonian yang ditulis bersebelahan boleh dita6sirkan sebagai ' ' atau <% atau mungkin :<. $ari tahun : : #.2. berikutnya berikutnya suatu suatu simbol simbol berasingan terdiri dari dua segitiga kecil disusun di atas satu sama lain bertindak sebagai penentu tempat (placeholder) untuk menandakan ruang kosong bagi mengelak kekeliruan. 0alaup 0alaupun un penetu penetu tempat bertinda bertindak k
seolah-o seolah-olah lah nombor nombor si6ar si6ar orang
#abyloni #abylonian an tidak
menganggap si6ar sebagai suatu nombor.
2uba lihat contoh di bawah.
(onto"> Tuliskan
sebagai angka Hindu-Arab.
Penyelesaian:
$ari kiri ke kanan nilai tempat ialah < ' <% and %.
1 1 60 2
( 10 1 ) 60 1
( 10 10 1 1 ) 1
2
2 3600 11 60 22 1
7200 660 22
7882
0akilkan setiap angka sebagai angka Hindu-Arab.
60 2 11 60 1 22 1
$arabkan setiap angka Hindu-Arab dengan nilai tempat yg sepatutnya. 2arikan umlah hasildarab hasildarab ini.
2uba ini.
Tuliskan & *,1 sebagai angka 'abylonian 'abylonia n .
1.& Sistem Pernomboran HinuArab !Sekitar A.. -00$
Sistem &ernomboran Hindu-Arab yang digunakan hari ini dikembangkan dikembangkan sekitar tahun A.$. I. 7ama ini diperolehi diperolehi atas sumbangan dari dari kedua dua orang Hindu Hindu dan Arab Arab kepada
11
sistem sistem ini. ini. rang rang Hind Hindu u mempe memperke rkemba mbang ngkan kan abjad abjad dan mengg mengguna unakan kan huru6 huru6 untuk untuk mewakilkan mewakilkan digit dalam sistem pernomboran ini.
2iri penting dalam sistem ini ialah kita boleh menulis angka bagi sebarang nombor sama ada besar atau kecilmenggunakan kecilmenggunakan hanya sepuluh simbol yang disebut digit
%
'
:
;
?
&erkataan digit bermaksud bermaksud +jari +jari tangan, tangan, atau atau simb simbol ol
asas asas
yang yang
digu diguna naka kan nsi sist stem em
<
I
+jari +jari kaki,. kaki,.
&ern &ernom ombo bora ran n
8
$isebabk $isebabkan an hanya hanya sepulu sepuluh h
Hind Hinduu-Ar Arab ab
dipa dipang nggi gill
Sistem
Pernomboran Perpuluhan.
Satu Satu lagi lagi prin prinsi sip p dala dalam m sist sistem em ini ini iala ialah h +&en +&engu gump mpul ulan an sepu sepulu luhh-se sepu pulu luh, h, (sis (siste tem m perpuluh perpuluhan) an) dimans dimans sepuluh sepuluh satu di ganti ganti dengan dengan satu sepuluh sepuluh dan sepuluh-sepu sepuluh-sepuluh luh diganti diganti dengan dengan satu ratus. seratus seratus sepuluh sepuluh diganti dengan satu ribu dan seterusny seterusnya. a. #ilangan #ilangan objek objek yang dikumpul dikumpulkan kan sedemiki sedemikian an dipanggi dipanggill asas asas bagi sistem itu. leh itu sisitem Hindu-Arab ialah sistem asas sepuluh. sepuluh.
Angka Hindu-Arab boleh boleh ditulis dalam bentuk cerakin ( expanded form) form) di mana mana nilai bagi setiap digit dalam setiap kedudukan kedudukan adalah jelas. jelas. Sebagai contoh kita menulis menulis <<: dalam bentuk cerakin sebagai5
<<: B (< %) (< %) (: %) B (< %') (< %%) (: %)
Sistem Sistem &ernombo &ernomboran ran Hindu-Ara Hindu-Arab b ialah ialah sistem nilai kedudukan kedudukan atau atau sistem nilai tempat . 7ilai kedudukan dalam sistem ini berasaskan kuasa % seperti ditunjukkan di bawah5 M %? %;
%:
%'
%%
%
Jntuk memahami dan menghargai mengapa sistem Hindu-Arab lebih superior berbanding yang lain dan digunakan di seluruh dunia baca lebih mengenai sumbangan berikut kepada sistem ini5
$igits
&engumpulan sepuluh-sepuluh
7ilai tempat
&enambahan dan pendaraban.
12
(onto" 1> Tuliskan :; dalam bentuk cerakin. Penyelesaian>
:; B (: %:) (; % ') ( %%) ( %) atau B (: %) (; %) ( %) ( %) (onto" 2> 7yatakan bentuk cerakin berikut sebagai angka Hindu-Arab.l5 Hindu-Arab.l5 ( % :) (? %%) (; %). Penyelesaian:
( %:) (? % %) (; %) B ( % :) ( % ') (? %%) (; %) B ?; 2uba ini.
Tuliskan setiap berikut alam bentu 4erakin.
,2-&0,
+000+0+0
Jntuk Jntuk membandi membandingka ngkan n perkemba perkembangan ngan sistem sistem pernombo pernomboran ran awal awal anda perlu perlu mencari mencari maklumat tentang sistem pernomboran lain. #aca dengan lebih lanjut dan teroka dalam sesawang untuk mendapat lebih maklumat tentang ini.
Selamat %emba4aB %emba4aB Selamat %enerokaB %enerokaB
1.* Sistem pernomboran 9ain.
&engumpulan sepuluh-sepuluh adalah ciri penting dalam sistem pernomboran Hindu-Arab dan kita panggil panggil sistem ini sistem asas sepulu". sepulu". Asas bagi sitem penomboran mewakili bilangan simbol yang digunakan dalam pengumpulan. pengumpulan. Semua nombor ditulis dalam bentuk kuasa mengikut asasnya.
13
1.*.1
'ilangan simbol an kumpulan alam pelbagai asas
#ilangan simbol yang digunakan dalam asas tertentu bergantung kepada cara asas itu dikumpulkan. Selain pengumpulan sepuluh-sepuluh kita ada pengumpulan dud-dua limalimadua belas-dua belas atau nombor lain. Jntuk asas lebih daripada sepuluh simbol lain boleh diperkenalkan. diperkenalkan. &engumpulan &engumpulan sebelas-sebelas atau dua belas-dua belas simbol lain seperti huru6 T T dan J mungkin digunakan untuk mewakili nilai sepuluh sebelas dan dua belas. =adual di bawah menunjukkan beberapa contoh pengumpulan asas lain.
Asas dua
Simbol
2ara &engumpulan &engumpulan
%
7otasi %%%dua atau %%%'
tiga
% '
%'tiga atau%':
empat
% ' :
':empat atau ':;
sepuluh
sebelas
% ' : ; ?
%%sepuluh
< I 8 % '
atau %%%
: ; ?
%sebelas
< I
atau %%%
dua
8 T % ' :
belas
; ? <
duabelas
I 8
atau %'
tiga
T % ' :
belas
; ? <
Jtigabelas
I 8
atau J%:
T J Pengumpulan asas lain
14
&engumpulan dud-dualapan-lapan dan enam belas-enam belas memberi kita gambaran tentang sistem pernomboran yang di gunakan dalam komputer. #inary-NuartetOHeadecimal 2on1ersion #inary #inar y
% % %% % %% %% %%% %%% % %% %% %%% %% %%% %%% %%%
%%%% %%%%
Headecimal
%
'
:
;
?
<
I
8
A
#
2
$
P
$ecimal
%
'
:
;
?
<
I
8
%
%%
%'
%:
%;
%?
Hubungan antara asas 2 - an 1+
Jntuk merumuskan sistem pernomboran dengan asas selain daripada sepuluh kita perlu mempelajari lebih tentang nombor dan jenis simbol yang digunakan selain mengetahui cara menukar daripada satu asas (katakan asas b) ke asas % dan sebaliknya.
1.*.2 %enukar asas b kepaa asas 10 an sebaliknya.
Jntuk menukar asas b kepada asas sepuluh kita perlu menulis angka dalam bentuk cerakin. 7ombor yang dihasilkan ialah dalam asas sepuluh. Eihat contoh di bawah.
(onto" > Tukarkan %%% %%% dua kepada asas sepuluh.
Penyelesaian> %%% dua B (% ': ) ( ' ') (% ' %) (% ' ) B I ' % B %% %%
Sekarang cuba buat sendiri.
Tukarkan kepaa asas sepulu".
%%%% '
%':;?
:<' I
?;'8
15
%enukar asas 10 kepaa asas b > Jntuk menukar asas % kepada sebarang asas kita perlu lihat pada suatu pola sebagai contoh5
Jntuk menukar asas % kepada asas ' kumpulkan dua-dua.
Jntuk menukar asas % kepada asas : kumpulkan tiga-tiga.
Jntuk menukar asas % kepada asas ; kumpulkan empat-empat.
Jntuk menukar asas % kepada asas ? kumpulkan lima-lima.
&engumpulan bagi pola di atas dirumuskan dalam jadual di bawah.
Asas ' : ; ? I %'
?
' B :' : ? B ';: ; ? B % '; ? ? B : %'? I ? B :'
7ilai 7ila i Tempat ' B %< ' B I ; : B I% :: B ' ;; B '?< ;: B <; ?; B <'? ?: B %'? I ; B; B ; 8< I : B ?%' %'; B ' :< %': B %'I (arta #ilai tempat ;
:
'' B ; :' B 8 ;' B %< ?' B '? I' B <; %'' B %;;
'% B ' :% B : ;% B ; ?% B ? I% B < %' % B %'
' B % : B % ; B % ? B % I B % % ' B %
&roses &roses pengu pengumpu mpulan lan di atas atas boleh boleh diterj diterjema emahka hkan n menggu menggunak nakan an pembah pembahagi agian an mudah. #erikut adalah contoh untuk menjelaskan proses ini.
(onto"> Tukarkan Tukarkan *3 kepaa asas 2 Gunakan proses berikut untuk menukar nombor perpuluhan kepada bentuk binari.
#ahagikan nombor perpuluhan dengan ' dan ambil bakinya.Jlang proses ini sehingga mendapat hasil .
7ombor binari dibentuk dengan mengambil baki dari bawah ke atas. ?: % BQ
?: ÷ ' B '< baki % '<
÷
' B % : ba k i
%:
÷
' B < baki %
<
÷
'B
: ba ki
:
÷
'B
% baki %
%
÷
'B
baki %
#aca dari bawah ke atas.
#aca dari bawah ke atas kita akan dapat %%%% ' .
16
Sekarang cuba cuba sendiri . Selamat "encuba9 "encuba9
Tukarkan
+,- kepaa asas 2
Tukarkan 23&* kepaa asas *
Perkara perlu i buat>
Subtopik 1.3 an 1.&
%. 2ari 2ari maklu maklumat mat tambaha tambahan n mengen mengenai ai tajuk di atas atas dari dari sumber sumber berla berlaina inan. n. Anda Anda di galakkan untuk meneroka sesawang +7umeration Systems,. '. Tulis uliska kan n nota nota ringk ringkas as..
Subtopik 1.*
%. !ujuk !ujuk pada pada R!eso R!esourc urce e "ater "aterial ialsK sK dan baca baca Smith Smith *. =. ('%). ('%). +The 7ature 7ature o6 "athematics,. &aci6ic Gro1e 2A5 #rooks and 2ole 5 muka surat. %'8 -%; '. #uat #uat latih latihan an tenta tentang ng cara cara menuk menukar ar asas asas b kepada asas % dan sebaliknya. Anda boleh pilih soalan yang rele1an dari muka surat. I @ 8 dan muka surat.%:8 @ %; .
Peringatan > Simpan nota an ba"an yang i4etak termasuk penyelesaiannya i alam portolia masingmasing.
17
ujukan
"usser G. E. et al.('<). "athematics 6or lementary Teachers. th ed. ed. JSA5 JSA5 =ohn 0iley
Smith Smith *.=. ('%). ('%). The 7ature 7ature o6 "athematics "athematics.. 8th ed. &aci6ic Gro1e 2A5 #rooks O2ole Thomson Eearning
Sesawang yang berguna.
%. The $e1elopment $e1elopment o6 Ancient Ancient 7umeration Systems5 "ttp>??mtl.mat".uiu4.eu?proje4ts?2?Coo?rame."tm
'. "ayan 7umeration5 "ttp>??www."anks5ille.org?yu4atan?m "ttp>??www ."anks5ille.org?yu4atan?mayamat"."tml ayamat"."tml "ttp>??,2.&0.23*.132?sear4"D E=4a4"e>uuG,HTn0k:>la4osta.4s E=4a4"e>uuG,H Tn0k:>la4osta.4s.tFstate.eu?%mat" .tFstate.eu?%mat"lessons? lessons?ear3all?%ayan# ear3all?%ayan#u u mberingsystem.
:. 7umber bases5 "ttp>??www.ma4onal.egate.net?( "ttp>??www .ma4onal.egate.net?(ompS4i?Pas4al?"num ompS4i?Pas4al?"numeration."tml eration."tml
18
