Modul Statmat 2017

Modul Statistika Matematika

ii

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT atas karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual untuk mahasiswa Pendidikan Matematika, yakni mata kuliah Statistika Matematika. Modul yang disusun ini berdasarkan silabus perkuliahan Statistika Matematika yang berlaku di Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA. Penyusunan modul ini tidak lepas dari dorongan semua pihak baik berupa moril maupun materil yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu, terutama pada seluruh keluarga besar Program Studi Pendidikan Matematika. Kami menyadari masih banyak kekurangan atas modul ini, oleh se bab itu kritik dan saran terhadap penyempurnaan modul ini kami harapkan. Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi semua, khususnya mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UHAMKA. Jakarta, Maret 2017 Penyusun,

Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd.

iii


............... ...................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. ........... .... ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................. ............... .............. ........... .... .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ .............. ............... ................. ................ .............. ....... 1.1. Ruang sampel sampel dan kejadian kejadian ............... ...................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................ ...... 1.2. Definisi Definisi peluang peluang .............. ..................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. .............. .............. .......... ... 1.3. Peluang Peluang Bersyarat.......... Bersyarat................. .............. .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. .............. ............ ..... 1.4. Proses stokastik stokastik berhingga berhingga .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ......... .. 1.5. Hukum-huku Hukum-hukum m probabilit probabilitas as ............... ...................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................ ...... 1.6. Teorema Teorema Bayes ............... ...................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. .............. .............. .......... ... 1.7. Kejadian Kejadian saling saling bebas ............... ...................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. .............. ......... 1.8. Soal-soal Soal-soal ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ............. .... ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. .......... ... 2.1. Variabel Variabel acak .............. ..................... ............... ................. ................ .............. ............... ................. ................ .............. .............. .............. ....... 2.2. Variabel Variabel acak diskrit diskrit .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ............... ........... ... 2.3. Fungsi distribusi distribusi kumulatif kumulatif .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ......... .. 2.4. Variabel Variabel acak kontinu............ kontinu.................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ............... ........... ... 2.5. Nilai Nilai harapan harapan .............. ..................... ............... ................. ................ .............. ............... ................. ................ .............. .............. .............. ....... 2.6. Distribusi Distribusi campuran......... campuran................ ............... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ............... .......... .. 2.7. Variansi... Variansi.......... ............... ............... ................ ................ ............... ............... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ............ ... 2.8. Momen .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ .............. ............... ................. .............. ..... 2.9. Aproksimas Aproksimasii mean dan median median .............. ..................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ............ .. 2.10. Momen generating generating functions functions .............. ..................... ............... ................. ................ .............. ............... ................. .............. ..... 2.11. Soal-soal ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ............. .... .............. ..................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. ........... .... 3.1. Distribusi Distribusi Bernouli................. Bernouli........................ ................. ................. .............. .............. ............... ................. ................ ......... .. ....…. 3.2. Distribusi Distribusi Binomial Binomial ............... ...................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. .......... ... …….. 3.3. Distribusi Distribusi Hipergeomet Hipergeometrik............ rik................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ............. .... ....…. 3.4. Distribusi Distribusi Geometrik........ Geometrik................ ............... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................ ......... ....…. 3.5. Distribusi Distribusi Negatif Negatif Binomial Binomial ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. ............... ........ ....…. 3.6. Distribusi Distribusi Poisson Poisson .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ............. ...... ....…. 3.7. Distribusi Distribusi Uniform Uniform Diskrit Diskrit .............. ..................... ............... ................. ................ .............. ............... ................. ........... ....…. 3.8. Distribusi Distribusi Uniform Uniform Kontinu............... Kontinu...................... .............. ................ ................. ............... .............. ............... ........ ....…. 3.9. Distribusi Distribusi Gamma............. Gamma.................... ............... ................. ................ .............. ............... ................. ................ .............. ....... ....…. 3.10. Distribusi Distribusi Eksponensial Eksponensial .............. ..................... ............... ................. ................ .............. ............... ................. .............. ..... ....…. 3.11. Distribusi Distribusi Weibull.................. Weibull......................... ................. ................. .............. .............. ................. ................. .............. ......... .. ....…. 3.12. Distribusi Distribusi Normal Normal .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ............. ...... ....…. 3.13. Distribusi Distribusi Pareto Pareto .............. ..................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................. .............. ......... ....…. 3.14. Soal-S Soal-Soal oal ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................. ............... .............. ........... .... ....…. .............. ..................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ............ .. 4.1. Distribusi Distribusi Bersama.................... Bersama........................... ................ ................ ............... ............... ................ ................ .............. ....... ....…. 4.2. Distribusi Distribusi Multinomial Multinomial .............. ..................... .............. ................. ................. .............. .............. ................. ................ ...... ....…. 4.3. Variabel Variabel Acak Kontinu Bersama Bersama .............. ..................... ............... ................. ................ .............. ............... .......... ....…. 4.4. Variabel Variabel Acak Bebas Stokastik Stokastik .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ........... .... ....…. 4.5. Distribusi Distribusi Bersyarat............. Bersyarat.................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................. ............. ..... ....…. 4.6. Kovarians.... Kovarians........... .............. ............... ................. ................ .............. ............... ................. ................ .............. ............... .............. ...... ....…. 4.7. Koefisien Koefisien Korelasi Korelasi .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ............. ...... ....…. 4.8. Nilai Nilai Harapan Harapan Bersyarat Bersyarat ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ............ ... ....…. 4.9. MGF Bersama Bersama .............. ...................... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ................ ............... ........... ... ....…. 4.10. Soal-S Soal-Soal oal ............... ...................... .............. ................ ................. ............... .............. ................ ................. ............... .............. ........... .... ....…. .............. ..................... ............... ................. ................ .............. ............... ................. ................ .............. ............... ..........


i ii 2 2 4 5 6 6 7 8 9 14 14 16 16 17 18 20 20 22 23 24 27 30 31 33 38 41 43 46 49 51 53 58 62 65 68 70 77 77 78 80 81 82 86 90 91 93 95 102

iv

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7.

Metode CDF .............................................................................................…. Metode Transformasi Variabel Acak...........................................................…. Metode MGF ............................................................................................…. Order Statistik ...........................................................................................…. Teorema Limit Pusat..................................................................................…. Konvergen Stokastik ..................................................................................…. Soal-Soal ...................................................................................................…. ....................................................................... 6.1. Distribusis Statistik Mean Sampel ................................................................…. 6.2. Distribusis Statistik Varian Sampel...............................................................…. 6.3. Distribusi t-student .....................................................................................…. 6.4. Distribusi F ................................................................................................…. ..................................................................................................................... ...............................................................................................................................

v

103 105 109 110 113 117 118 123 123 125 127 131 135 136


Dosen Pengampu: Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd.

BAB 1 Peluang



Kompetensi

: a. Memahami probabilitas dan sifat-sifatnya b. Menghitung probabilitas suatu kejadian Perkuliahan : 1. Ruang sampel dan kejadian 2. Definisi aksiomatik probabilitas 3. Sifat-sifat probabilitas 4. Probabilitas bersyarat 5. Kejadian independen Indikator : 1. Menjelaskan ruang sampel dan kejadian 2. Menjelaskan definisi aksiomatik probabilitas 3. Membuktikan sifat-sifat probabilitas 4. Menjelaskan probabilitas bersyarat 5. Menjelaskan kejadian independen 6. Menghitung probabilitas suatu kejadian 

Dari pandangan intuitif, peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Misalnya, peluang yang tinggi menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sangat besar. Konsep peluang berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan “hasil” yang tidak pasti. Artinya eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan “hasil” yang dapat berbeda-beda.

Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah eksperimen, disimbolkan “S”. Ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua, yaitu ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu. Ruang sampel diskrit adalah ruang sampel yang memiliki banyak anggota berhingga atau tidak berhingga tetapi dapat dihitung, sedangkan ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang anggotanya merupakan interval pada garis bilangan real. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/ event . Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan titik sampel.

BAB 1 Peluang


Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin ? Jawaban: S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau frekuensi kejadian sebagai berikut : Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4 sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali. Tentukan banyaknya jumlah frekuensi jika : a) Ada sebuah kejadian munculnya angka genap. b) Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil. c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4.

Dari soal di atas dapat diketahui bahwa frekuansi relatif memiliki sifat-sifat: 

f n (0)  0



fn (S )  1



fn ( A  B)  fn  A  fn  B jika A  B  ϕ

Catatan:  Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.

 Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {S i}, maka peluang timbulnya kejadian dasar S = { Si } dengan i = 1,2,…,n adalah : Pi = P[{Si}], i = 1,2,…,n dengan sifat : 

Pi  0



P 1 i

i 1

    k



Jika A1,…,Ak adalah kejadian dalam S yang saling asing maka

P

k

Pi

i 1

i 1

Pi


BAB 1 Peluang

Misal dalam eksperimen pelemparan/lambungan sebuah dadu diperhatikan banyaknya mata yang muncul. Misalkan A adalah kejadian bahwa muncul mata dadu genap. Maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }dan A = { 2, 4, 6 }. Tiap-tiap elemen S dianggap mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Jika suatu kejadian yang mempunyai peluang yang sama, yaitu

=

, ∀ , = 1,2, … ,

maka

disebut Peluang Klasik

Hal yang penting dalam masalah ini adalah perbandingan antara banyaknya elemen dalam A, yaitu n(A) dan banyaknya elemen dalam S, yaitu n(S); Dimana n(S) = 6.

( )=

( ) 3 1 = = ( ) 6 2

Angka perbandingan ini, yaitu , dinamakan peluang terjadinya kejadian A. Misalkan suatu ruang sampel S mempunyai elemen yang banyaknya berhingga, yaitu n(S) = N, dan tiap-tiap elemen dari S mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Misalkan pula A adalah suatu kejadian (himpunan bagian dari S), ya ng mempunyai elemen sebanyak n(A). Maka peluang P bahwa kejadian A akan terjadi, didefinisikan sebagai :

( ) =

, dengan sifat:

( ) ( )

P ( A)



0

; P(S )  1 ; P( ϕ )  0 dan

P ( A  B)

 P( A)  P( B) jika

A B

ϕ

Sifat – sifat lain dari peluang, dinyatakan dalam teorema berikut : Jika A,B suatu kejadian dalam S, maka :

1.

P(A



B)



P ( A)



P( B )



P( A  B)

A  A  S

2. P ( A)  1  P(A)

A  A  ϕ

3. P ( A  B )  P ( A)  P( A  B  C )



P (A

P ( A)



B)

 P( B)  P ( C ) 

P( A  B)



P ( A  C )  P ( B  C )  P ( A  B  C )

Dua kartu diambil secara acak satu – persatu, tentukan peluang bahwa kartu yang terambil pertama adalah kartu Jack dan kartu yang terambil kedua adalah kartu Queen!

BAB 1 Peluang


Suatu kejadian dapat bergantung pada terjadi atau tidaknya suau kejadian lain. U ntuk kejadian yang bergantung pada kejadian lain, nilai peluangnya dicari dengan menggunakan peluang bersyarat sebagai berikut: Peluang bersyarat suatu kejadian dengan syarat terjadinya peristiwa yang lain (sebelumnya) didefinisikan sebagai berikut : P  A  B dengan P  B  0 P  A | B  P  B Secara umum, jika dua peristiwa A 1 dan A2 saling asing  A  A  ϕ  , maka : 1

P  A1  A2 | B



P  A1  A2

2

 B

P  B P  A1  B  A2

= 

 B

P  B P  A1  B  P  B



P  A2

P  B

 P  A | B  P  A 1

 B

2

| B

Sifat – sifat lain dari peluang bersyarat adalah sebagai berikut : 1. P(A|B) = P  A | B 2. P  A1  A2 | B = P  A1 | B  P  A2 | B  P  A1  A2 | B 3. 0  P  A | B  1 Misalkan sepasang dadu yang setimbang dilambungkan satu kali. Dilihat jumlah mata dadu yang muncul. A kejadian bahwa jumlah mata yang muncul pada kedua dadu sama dengan 6. B kejadian muncul mata 2 pada paling sedikit satu dadu. Tentukan peluang bersyarat dari B dengan syarat A?


BAB 1 Peluang

Suatu deretan berhingga dari eksperimen-eksperimen di mana tiap eksperimen mempunyai sejumlah berhingga hasil yang mungkin dengan peluang yang tertentu disebut . Suatu cara yang terbaik untuk menjelaskan (menggambarkan) suatu proses dan perhitungan peluang dari sebarang kejadian adalah dengan suatu diagram pohon. Dalam sebuah eksperimen terdapat 3 buah kotak sebagai berikut: Kotak I berisi 6 bola merah dan 4 bola biru Kotak II berisi 5 bola merah dan 1 bola biru Kotak III berisi 5 bola merah dan 3 bola biru Ani memilih satu kotak secara acak dan kemudian dari kotak tersebut di ambil sebuah bola secara acak. Berapa peluang bahwa bola yang terambil Ani adalah bola biru?

Menurut teori himpunan, telah diuraikan bahwa jika kejadian B dan kejadian B saling asing, maka : 1.

B B

ϕ

3.

A ϕ

ϕ

2.

BB

 S

4.

A ϕ



Hukum diatas disebut dengan

A

5. 6. .

A S

A A  S  S

BAB 1 Peluang


∩( ∪ ) = ∩ ∪ ∩ ∩( ∪ ) = ( ∩ )+ ( ∩ ) Sehingga : ( ) =

∩ ( ∪ )

( ) =

∩ ( ∪ ) ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ) Secara umum, jika B , B ,..., B kejadian–kejadian saling asing, maka S  B  B ... B 1

k

2

1

2

k

sehingga : A  S

 A   B  B  ...  B   A  B  A  B ...  A  B

Jika

B1 , B2 ,..., Bk

1

2

1

k

2

k

himpunan kejadian saling asing, maka untuk sebarang peristiwa A

k

berlaku :

P  A



 P  B P  A | B  i

i

i 1

Pembuktian : Karena A   A  B   ...   A  B  1

k

P  A  P  A  B1   ...  P  A  Bk 

=

P  B1  .P  A | B1   ...  P  Bk  .P  A | Bk  k

=

 P  B .P  A | B  i

i

i 1

Munculnya suatu kejadian sering tergantung pada kejadian yang dapat mempengaruhi munculnya kejadian tersebut. Terdapat 3 dus berisi barang elektronik (lampu). Dus I berisi 25 lampu dan 5 diantaranya rusak. Dus II berisi 35 lampu dan 10 diantaranya rusak. Dus III berisi 40 lampu dan 5 diantaranya rusak. Sebuah dus dipilih secara random, tentukan probabilitas bahwa produk yang terambil rusak!


BAB 1 Peluang

Dari contoh di atas, dapat dikaitkan konsep aturan Bayes, sebagai berikut: Jika diasumsikan seperti syarat pada teorema sebelumnya, maka untuk setiap j,j=1, 2, 3, ... , k berlaku :



P B j | A



  

P B j P A | B j



k

P B  P A| B  j

j

j 1

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika tidak saling mempengaruhi. Secara statistik, A dan B dikatakan bebas / independent, jika : P A  B = P A  P B



Saling Bebas

P A  B



Tidak bebas / Saling tergantung

P A  P B



Sehingga : P A | B  P A, jika A, B bebas : P A | B  P B, jika B, A bebas Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika : 1. A dan B, bebas 2.

A

dan B, bebas

3.

A

dan B, bebas

Pembuktian : P A  B  = P A  P A B

= P A  P AP B = P A1 P B = P B  P A Secara umum, jika A i,

i ,

i

 1 , 2 ,...,

k

adalah peristiwa saling bebas, maka :

  P A  P A     k

k

i

i 1

i

i 1

Jika dua dadu dilempar satu kali secara bersamaan, tunjukkan bahwa dua kejadian dibawah ini saling bebas !

BAB 1 Peluang


1. Dua buah uang koin dilantunkan sekaligus, jika B peristiwa tidak muncul gambar, maka tentukanlah peluang terjadinya B c ? 2. There are four basic blood groups: O, A, B, and AB. Ordinary, anyone can receive the blood of a donor from their own group. Also, anyone can receive the blood of a donor from the O group, and any of the four types can be used by a recipient from the AB group. All other possibilities are undesirable. An experiment consist of drawing a pint of blood and determining its type for each of the next two donors who enter a blood bank. a. List the possible (ordered) outcome of this experiment. b. List the outcomes corresponding to the event that the second donor can receive the blood of the first donor. c. List the outcomes corresponding to the event that 3. A balanced coin is tossed four times. List the possible outcomes and compute the probability of each of the following events: a. Exactly three heads. b. At least one head. c. The number of heads equals the number of tails. d. The number of heads exceeds the number of tails. 4. Misalkan terdapat 6 buah angka yaitu: 1, 3, 5, 7, 8, 9. Kemudian dibentuk sebuah bilangan yang terdiri dari tiga angka dan setiap bilangan yang terdiri dari tiga angka dan setiap angka hanya digunakan sekali. Berapa peluang bahwa bilangan yang dibentuk adalah bilangan genap? 5. Seorang siswa diminta menyelesaikan 7 buah soal dari 10 soal yang disediakan dalam suatu ujian tulis. Berapa peluang siswa tersebut harus mengerjakan 4 soal yang pertama? 6. A box contains three good` cards and two bad cards. Player A chooses a card and then player B chooses a card. Compute the following probabilities: a. P (A good) b. P (B good | A good) c. P (B good | A bad) d. P (B good and A good) e. P (B good) f. P (A good | B good) 7. A bag contains five blue balls and three red balls. A boy draws a ball, and then draws another without replacement. Compute the following probabilities: a. P(2 blue balls) b. P(a blue and a red) c. P(at least 1 blue) d. P(2 red balls) 8. Misalkan ada tiga kotak yang masing-masing berisi:


BAB 1 Peluang

Kotak 1 berisi 10 lampu cabe, dengan 4 lampu di antaranya rusak Kotak 2 berisi 6 lampu cabe, dengan 1 lampu di antaranya rusak Kotak 3 berisi 8 lampu cabe, dengan 3 lampu di antaranya rusak Sebuah kotak dipilih secara acak, kemudian sebuah lampu cabe di ambil secara acak dari kotak yang terpilih itu. a. Berapa peluang bahwa lampu cabe yang terambil itu rusak? b. Jika lampu cabe yang terambil itu rusak, maka berapa peluang bahwa lampu cabe yang rusak berasal dari kotak 1? c. Jika lampu cabe yang terambil itu rusak, maka berapa peluang bahwa lampu cabe yang rusak berasal dari kotak 2? d. Jika lampu cabe yang terambil itu rusak, maka berapa peluang bahwa lampu cabe yang rusak berasal dari kotak 3? ( ) = 9. Misalkan A adalah himpunan berdimensi satu dan fungsinya berbentuk:

( ) ; = 1,2,3, … . jika ( ) = ∑ ( ), maka hitung ( ) dengan: a. = { : 0 < < 4} b. = { : merupakan bilangan ganjil} ( ) =

10. Misalkan A adalah himpunan berdimensi satu dan fungsinya berbentuk:

; > 0, a. Jika = { : 1 ≤ ≤ 3}, maka ( ) b. Jika = { : 1 ≤ < 2} dan = { : 2 ≤ c. Jika = { : 0 ≤ < 3} dan = { : 2 ≤

∫

< 4}, maka hitung ( < 4}, maka hitung (

∪ ∪

) )

BAB 1 Peluang



BAB 1 Peluang

BAB 1 Peluang



BAB 2 Variabel Acak dan Fungsi Distribusi

BAB 2 Variabel Acak dan Fungsi Distribusi 

Kompetensi Perkuliahan

: Memahami variabel acak, distribusi dan sifat-sifatnya : 1. Variabel acak 2. Variabel acak diskrit 3. Fungsi distribusi kumulatif 4. Variabel acak kontinu 5. Nilai Harapan 6. Distribusi campuran 7. Variansi (Ragam) 8. Momen 9. Aproksimasi mean dan median 10. Moment Generating Functions Indikator : 1. Menjelaskan variabel acak 2. Menjelaskan distribusi variabel acak 3. Menjelaskan variabel acak diskret dan kontinu 4. Menghitung mean variabel acak 5. Menghitung variansi variabel acak 6. Menentukan fungsi pembangkit momen variabel acak



Bidang statistika berurusan dengan penarikan inferensi tentang populasi dan sifat populasi. Percobaan yang dilakukan memberi hasil yang memungkinkan. Dalam Bab ini, akan mengembangkan model matematika untuk menggambarkan peluang atau hasil kejadian yang terjadi dalam ruang sampel. Pada dasarnya distribusi variabel acak dan penerapannya ada dua bagian yaitu: distribusi untuk satu variable acak yang penggunaannya dilakukan terhadap penghitungan beberapa macam ekspektasi matematis untuk satu variable acak baik diskrit maupun kontinu dan yang kedua distribusi untuk dua variable acak.

Variabel acak (variabel acak) merupakan fungsi dengan domain kecil hasil pengamatan dan kodomainnya merupakan bilangan real atau suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur pada ruang sampel. Variabel acak disimblkan dengan huruf kapital (X, Y, Z, dll), sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misal , , dll.


Dosen Pengampu: Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd

Dua bola diambil satu demi satu tanpa pengembalian dari suatu kantong yang berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang di ambil maka yang mungkin dari variabel acak Y adalah: Ruang sampel MM MH HM HH

Y 2 1 1 0

Sebuah koin dilemparkan sebanyak 3 kali. Jika X merupakan variabel acak yang menyatakan banyak angka yang muncul, dan Y adalah variabel acak yang menyatakan banyak gambar yang muncul. Apa hubungan antara X dan Y?

S

AAG

GAG

X

Y

( )

( )



Macam-macam variabel acak: a. Variabel acak diskrit (Countable ) b. Variabel acak kontinu (Measurable )

Jika ruang sampel dari variabel acak x countable , maka variabel acak x dinamakan variabel random diskrit. Suatu variabel acak diskrit mendapat nilai peluang tertentu. Suatu fungsi dengan domain variabel acak diskrit dinamakan fungsi densitas probabilitas diskrit atau fungsi kepadatan peluang diskrit atau fungsi masa probabilitas diskrit. Disingkat dengan pdf (Probability Density Function) diskrit atau dinamakan fungsi masa probabilitas. Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat: 1. f (x) > 0 2.

 f x 1

3. Penulisan lain f (x)  f X  x dengan x = nilai variabel acakX Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), jelas bahwa: f (x) = P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semuanya  0 dan jumlahnya = 1

CDF (Cumulative Distribution Function) dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku : F  x  P  X  x   F X  x

 P  X  x   1 F  x 

Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F (x ). Jika nilai-nilai dari variabel acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka: x1  x2  x3  ..... f  x1   F  x1  dan j , j>1

berlaku f  x j   F  xj   F  xj1  sedangkan untuk x < xi , maka F  x   0 ,sehingga F  x 

f x  j

x j  x

a. b.

lim F  x  1

X 

lim F  x  0

X 

c.

lim F  x  h  F  x 

d.

a  b  F  a   F b 

h 0





Dari pelemparan sebuah koin yang dilemparkan tiga kali, bentuklah fungsi distribusinya!

Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada suatu interval garis, maka ruang sampel itu disebut Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x), sedemikian hingga CDF -nya dapat dinyatakan sebagai : x

CDF 

F  x 

 f  t  dt 

pdf 

f  x  

d dx

F  x

Secara khusus, jika X variabel acak kontinu, maka : a. Pa  x  b  P a  x  b  P a  x  b  P a  x  b b. P x  k   0, dengan k = konstanta b

c.



P a  x  b  f  xdx a

Suatu fungsi f (x) adalah pdf untuk beberapa variabel acak kontinu X, jika memenuhi : 1. f  x  0 ,  bilangan real X . 

2.

 f  xdx  1 



c1 x , x0 Jika X merupakan variabel acak kontinu dengan pdf f  x    0 , x0 3

Tentukan CDF nya! Penyekesaian : Tentukan tertlebih dahulu nilai 



pada fungsinya ....

3

c 1 x dx  1

 

 c 1 x  1 2 0 1

2

c  2

Maka, CDF nya adalah : x

F  x 

x

 f  t  dt   2 1 t  

3

dt

=



11 x , x0 F  x    0, x0 2

Apabila X adalah variabel acak diskrit dengan Harapan/Ekspektasi/Mean dari X didefinisikan sebagai :

pdf

f (x ),

maka

Nilai

n

E  x   xf  x X 1

Pada pelemparan sebuah koin yang dilempar 3 kali. Tentukan meannya? Penyelesaian : 1

3

3

1

8

8

8

8

E  x  3.  2.  1.  0 .



3 2 

Jika X variabel acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan µ  E  x   xf  x dx 

Dari Contoh 2.4 (Jika X merupakan variabel acak kontinu). Tentukan nilai harapannya? Penyelesaian : 









0

3

E  x  x.0.dx  x.21 x dx  1

Jika X variabel random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real dari variabel random X , maka : E u  x 

u  x f  x R

, X VAD





E u  x  u  x f  xdx , X VAK R

Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu fungsi bernilai real dari variabel x , maka: E a.g x  bh x  aE  g x  bE h x Pembuktian : Misalkan V variable acak kontinu, maka : E  a.g  x  bh x 

 a.g x  bh x f  xdx R





R

R

= a.g x f  xdx  bh x f  xdx





R

R

= a g  x f  xdx  b h x f  xdx = aE  g x  bE h x Secara khusus, E ax  b  aE  x  E b





R

R

E b  bf  xdx  E f  xdx  1

1. Jika X adalah variabel acak diskrit dengan distribusi peluang sebagai berikut: 0 1 2 3 1 1 1 ( ) 0 3 2 6 Tentukan nilai harapan matematis dari X? 2. Diberikan variabel acak kontinu X dengan pdf sebagai berikut: 3 ( ) =

, untuk 0 ≤ ≤ 2 8 0, untuk yang lain

Tentukan nilai : a) ( ) = ⋯. b) ( ) = ⋯. c) (2 + 3 ) = ⋯.



Suatu distribusi probabilitas untuk variabel random X dinamakan campuran, jika CDF nya dapat dinyatakan sebagai berikut: F  x  αF d  x   1  α F c  x  , dengan 0  x  1

Misal X adalah variabel random yang menyatakan waktu tunggu sebuah proses dengan CDF F  x  0,4.F d  x   0,6.F c  x  , dengan F d  x  1 dan F c  x  1  e  x , untuk x  0 .

Tentukan bentuk CDF campuran tersebut! Penyelesaian : P x  t 

= F  x

P x  t 

= 1  F  x

x  0  P x  0   0,4



x  5  0,4  0,6 1  e

 x

  0,636

Jadi : ( ≥ 0) dan ( ≤ ) ( ≥ 0) (0 ≤ ≤ ) = ( ≥ 0) ( ) − (0) = 1 − ( = 0) ) 0,4 + 0,6(1 − ( ≤ \ ≥ 0) = ) = (1 − 1 − 0,4 ( ≤ \ ≥ 0) =

f  t  

d dt

F t  

Varian V ( x)  σ x2

d

  1 e   e  dt

dari

t

t

variabel

acak

X

didefinisikan

sebagai

Var(x)

dimana

 E  x  E  x  2 ,σ  0, dengan E  x  µ

Atau Var  x   x  µ  f  x , variabel acak diskrit 2

Atau Var  x  

2

  x  β  f  xdx , variabel acak kontinu

R

Jika X variabel acak kontinu, maka v x  E  x 2   µ 2 Modul Statistika Matematika

20



Pembuktian : V  x 

2

   x  µ  f  x dx  E  x  µ  2 R

= E  x 2

 2xµ  µ  = E  x 2   2µ E  x  E  µ 2  2 = E  x   2µ.µ  µ 2 V  x 

2

 E  x 2  µ 2

Simpangan baku =

=

( )

Perhatikan contoh pelemparan koin sebelumnya, dengan mean = ( ) =

= .

Tentukan varian dan simpangan bakunya!

Jika X variabel acak dan a, b suatu konstanta, maka : V(ax+b)=V(ax) sehingga ( ) Pembuktian : V ax  b

 E   ax  b   E  ax  b  

=

E  ax  b 

2

(

+ ) =

2

  E  ax  b  

2

= a 2v  x 

21




Jika X,Y dua buah variabel random, maka berlaku: V  x  y   V  x   V  y   2Cov  x , y  Jika X, Y independen dan cov (x, y) = 0, maka berlaku : v ( x  y )  v ( x )  v ( y )

 E  x  µ x  y  µ y 

Cov  x, y 

= E  xy  E  x  .E  y  Jika X, Y independen, maka :

E  xy 

 E  x  .E  y 

Sehingga Cov (x,y) = 0

ρ  x, y   korelasi (x, y) ρ  x, y  

cov( x, y )

V  y V  x

Secara khusus, V ( x )  cov( x , x )

Momen ke-k di sekitar x=0 dari variabel random X didefinisikan sebagai :

 E x k

µ k

Momen ke k disekitar x = µ , didefinisikan : µ k

 E  x  µ  k

 µ1  E  x  µ   E ( x)  µ  0 k=2  µ 2  E ( x  µ ) 2  σ 2

Jika k=1

Misalkan ada seorang pembalap mobil yang diasumsikan waktu berkendaranya antara 20 hingga 30 menit. Jika X adalah variable acak yang menyatakan waktu dalam menit, maka tentukan momen ke k dari variable tersebut! Penyelesaian : f X  x 



1 10

1 10

, 20  x  30

, untuk yang lain.

Momen ke k dari variable acak tersebut adalah : 30 − 20 = [ ] = = 10 10( + 1) Sehingga diperoleh : 1 302  202 303  203 m1   25 dan m2   633 102 103 3 Karena m1  µ X , sehingga diperoleh µ X  25 . Dan σ X 2

8

, dimana

karena m2

= 1,2,3, …

 µ X 2  σ X 2 , maka diperoleh

1 3


22



Jika X suatu variabel random dan µ x fungsi bernilai real non-negatif, maka untuk sembarang konstanta positif c, berlaku :

p ( µ x

 c) 

E  µ  x   c

Dari teorema batas–batas probabilitas di atas, dapat diturunkan sebuah pertidaksamaan Chebychev, sebagai berikut :

Jika X variabel random dengan mean µ dan varian σ 2 , maka untuk sebarang k>0 , berlaku : P x  µ  k σ   Jika diambil ε P x  µ

1

or p  x  µ  k σ   1 

2

k

 kσ  k   ε 

σ

2

ε

2

1

k 2

ε σ

atau p  x  µ

 ε  1 

σ

2

ε

2

Jika suatu fungsi dari variabel random X dapat dinyatakan atau diekspansikan dengan Deret Taylor di sekitar x  µ , maka mean dan variannya dapat ditentukan. Selanjutnya, misalkan turunan dari fungsi H '  x, H ''  x ,...., H n  x  dan H  x  dapat diekspansikan menurut Deret Taylor di sekitar x  µ , maka : H  x   H  µ   '



E H ( x )

x  µ

H µ  '

1!

  E  H  µ    x  µ  H  µ   '

xµ

2

H "  µ   .........sehingga

2!

 x  µ 

2 "

H

 µ   ....)

2!

 H  µ   E  x  µ  H

'

µ   E x  µ 

2

.

 

H " µ

 .....

2 ''

 H  µ   0  0 

H

µ 2

1

1

2

2

Jadi, E  H  x   H  µ   H "  µ σ 2  e µ 

µ

e σ

2

V  H  x  V  H  µ    x  µ H ' µ   ........

= 0  V  x  µ   H '  µ 

23



  =  H  µ  σ Jadi, V  H  x    H  µ 


2

= H ' µ  v x  µ  2

'

2

'

2

2

r

Jika X variabel random bernilai positif dengan pdf f  x  ln x , maka tentukan E  ln x  dan V  ln x 

Penyelesaian : H  x   ln x maka H  µ   ln x H '  x  

1

x

H "  x    E  ln x   ln µ 

1 2

= ln µ  = ln µ  V  ln x 

1

x 2

 x  µ  2  H ''  x 

 1   x  µ  2   2  2  µ 

1

1 2µ

2

σ2

  H ' µ  σ 2 2

= =

1

µ

2

σ2

σ2 µ

2

Jika X variabel random, maka MGF dari X didefinisikan sebagai berikut :

 

M x t   E e tx ,

 h  t  h ,

h

0

Ekspektasi ini ada nilainya, jika : X Variabel acak diskrit  M x t   E  e



tx

   e f  x  txi

1

i 1

X Variabel acak kontinu  M x t   E e

tx

   e f  xdx tx

r

Fungsi ini penting terutama dalam mendapatkan mean dan varian. Secara khusus, jika X variabel diskrit, maka berlaku : Modul Statistika Matematika

24



 e f  x  M '  xt    xie f  x  M "  x t    x e f  x  M x t  

txi

i

txi

i

2

txi

i

i

: :

M x(

r )

t    xir e txi f  xi 

Jika t = 0 , maka :

 x f  x 

M x' 0  

i

i

= E  x  µ

 x f  x 

M x'' 0  

2 i

i

 µ 2  r 2 r r M x f  xi    xi f  xi  = E x 2

Jadi , µ  M '  x0 

σ2

 M '' x0    M ' x0

2

Jika X variabel acak kontinu dengan f  x  e  x , x  0 , maka tentukan MGF ! Penyelesaian :



M x t   e tx f  xdx R





tx  x = e e dx 0



 e

=

t 1 x

dx

0



=

e t 1 x

 t  1 d t  1 x 0

= = =

25

1



t  1

1

t  1 1 1  t



e t 1 x





0



e

1t  x

 0

0  1



1

t  1 M x t  


, t  1

1 1  t

 1  t  1

M x  t   11  t  '

2

 1  1 t 

2

M x' 0   1 M x" t   21  t 

= 21  t 

3

  1

3

M x" 0   2

Jadi, E  x  1 σ2

 2   1 2  1

x 1

 1  Jika X variabel acak diskrit dengan pdf f  x     dengan x=0,1... Tentukan MGF -nya!  2 

1. Jika y = ax+b , maka MGF -nya adalah

M y  t 

e

bt

M x  at 

2. y  x  µ  M y  t   e µt M x  t 

Jika MGF X ada, maka

 r 

   M  0 

E x

r

x



dengan:

M x  t 

 1  r 1


  t

E x

r

r

r !

26


1.


Diketahui X variabel acak kontinu dengan: + 1, untuk − 1 ≤ < 0 − , untuk 0 ≤ ≤ 1 ( ) = 0,untuk yang lain Tentukan ( )? Hitunglah

( ≥ )?

2. A continuous random variable X has pdf given by f (x ) = c (1 – x )x 2 if 0 < x < 1 and zero otherwise. Find the constant c ? And find E (X ). 3. Diketahui ( ) adalah CDF dari variabel acak kontinu: 0 , untuk < 0 ( ) = 1 − (1 − ) , untuk 0 ≤ < 1 1 , untuk ≥ 1 Tentukan ( ) = ⋯. 4. Tiga keping uang logam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi Gambar yang mucul, maka tentukanlah = .... 5. A discrete random variable X has a pdf of the form f (x ) = c(8 – x) for x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, and zero otherwise. a. Find the CDF, F (x ). b. Find P [X > 2]. c. Find E (X ). 6. A nonnegative integer-valued random variable X has a CDF of the form F (x ) = 1 – (1/2)x +1 for x = 0, 1, 2, … and zero if x < 0. a. Find the pdf of X . b. Find P [10 < X  20]. c. Find P [X is even]. 7. A continuous random variable X has pdf given by f (x ) = c (1 – x )x 2 if 0 < x < 1 and zero otherwise. a. Find the constant c . b. Find E (X ). 8. A function f (x ) has the following form: (

)

;1 < < ∞ and zero otherwise a. For what values of k is f (x ) a pdf? b. Find the CDF based on a. c. For what values of k does E (X ) exist? ( ) =

27





28


29




BAB 3 Hukum-Hukum Probabilitas




: 1. Memahami variabel acak diskrit dan sifat-sifatnya 2. Memahami variabel acak kontinu dan sifat-sifatnya : 1. Variabel acak diskrit a. Distribusi Bernoulli b. Distribusi Binomial c. Distribusi Hipergeometrik d. Distribusi Geometri e. Distribusi Negatif Binomial f. Distribusi Poisson g. Distribusi Uniform Diskrit 2. Variabel acak kontinu a. Distribusi Uniform Kontinu b. Distribusi Gamma c. Distribusi Eksponensial d. Distribusi Weibull e. Distribusi Normal f. Distribusi Pareto

Indikator: 1. Menentukan mean, variansi, dan fungsi pembangkit momen variabel acak diskrit 2. Menentukan mean, variansi, dan fungsi pembangkit momen variabel acak kontinu 

Setelah mempelajari tentang variabel acak dan fungsi distribusinya, maka pada Bab ini akan dibahas lebih lanjut mengenai beberapa sebaran/distribusi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Selanjutnya diberikan contoh untuk menentukan nilai ekspektasi, ragam serta fungsi pembangkit momen (MGF) dari masing-masing distribusi tersebut.



Pengertian Distribusi Bernouli Bernoulli adalah percobaan yang JAMES BERNOULLI (1654-1705) orang yang menemukan atau memecahkan Distribusi Bernouli.

memenuhi kondisi-kondisi berikut: 

Percobaan/ kejadian hanya dilakukan satu kali.  Setiap percobaan/kejadian hanya memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses atau gagal.  Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, dan probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1 – p. x  1  p  Rumus Distribusi Bernouli secara matematik: P B ( x, p)  (1  p)  q x  0 0 x  atau 1  Atau P B ( x, p)  p x (1  p)1 x ; = 0,1 ; 0 ≤ ≤ 1

Beberapa distribusi yang dilandasi oleh Proses Bernoulli adalah: Distribusi binomial, Distribusi geometrik, dan Distribusi hipergeometrik.(termasuk kategori tersebut adalah distribusi multinomial dan negatif binomial). Percobaan yang hanya mempunyai 2 hasil yang mungkin (sukses - gagal). Contoh : Ujian Lulus

Perem puan

Tidak Lulus

Lakilaki

: Jika X ~ BIN (1 , p) dimana 0 < Bernoulli). 1. Mean (Nilai Harapan) : µ x 2. Varians :

σ x2

 p(1  p) 

Anak

< 1; = 1 −

 E ( X ) 

(X variabel acak berdistribusi

p

pq

3. Fungsi Pembangkit Moment (MGF) : M x (t )  (1  p)  p.e t ; t  R Pembuktian:


p (1  p )

1 x

f ( x )



E ( x )

  x. f ( x)

x


 x

E ( x ) 

 x. p (1  p)

1 x

x

 x 1 0

E ( x )  0. p (1  p ) 0

 1. p (1 1

1 1

p)

E ( x)  0.1.1  1. p. 1 E ( x )  p

σ2

 Var ( X )   ( x  µ ) 2 . f ( x) x

1

=

 ( x  p) . p 2

x

(1  p)

1 x

x 0

= (0  p) 2 . p 0 (1  p)10

σ2

 (1  p) 2 . p1 (1  p)11 = p 2  p 3  p  2 p 2  p 3 = p  p 2  Var ( X )  p(1  p)  pq

M x (t ) 

e

tx

. f ( x)

x

1

=

 e

tx

. p (1  p ) x

1 x

x  0

= e 0 . p 0 (1  p)10

 e t . p1 (1  p)11

M x (t )  (1  p)  p.e (terbukti) t

Di awal tahun ajaran baru, siswa SMP kelas III biasanya berharap bisa melanjutkan sekolah ke sekolah favorit, begitu juga dengan Sarah. Dia berharap bisa masuk sekolah favorit yang diinginkannya, tapi untuk bisa masuk ke sekolah tersebut, ia harus mengikuti tes terlebih dahulu. Berdasarkan prestasinya selama 3 tahun di SMP, kemungkinan ia diterima sebesar 70%. Jika variabel acak X menyatakan Anne diterima, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut: Penyelesaian :

1 , jika Anne diterima di sekolah favoritnya = 0 , jika Anne tidak diterima di sekolah avorinya (1) = ( = 1) = 0,7 (0) = ( = 0) = 1 − 0,7 = 0,3 ( ≠ 0atau1) = ( ≠ 1atau1) = 0

Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan parameter Dinotasikan:

0,7 ( ,0,7) = 0,3 0

Atau

( ,0,7) = (0,7) (0,3)

, untuk = 1 , untuk = 0, , untuk ≠ 0 atau 1

,untuk = 1 atau = 0

= 0,7.



Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Distribusi Binomial merupakan distribusi variabel acak diskrit. Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali. 2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikategorikan sebagai gagal dan sukses. 3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain. 4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas Ruang sampel A untuk percobaan E yang terdiri dari himpunan tak hingga tetapi masih terhitung dari titik-titik sampel: Jika S = Sukses dan G = Gagal : E 1 S (sukses pada percobaan pertama ) : E 2 GS (gagal pada percobaan pertama dan sukses pada percobaan kedua) : E 3 SG (sukses pada percobaan pertama, gagal pada percobaan kedua) : E 4 GGS (gagal pada percobaan 1 dan 2, sukses pada percobaan ketiga) : E 5 GSG (gagal pada percobaan 1 dan 3, sukses pada percobaan kedua) : E 6 SGG (gagal pada percobaan 2 dan 3, sukses pada percobaan pertama)

:

… .

…

(sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n – x kali)

Jika peluang sukses dinotasikan dengan p maka peluang gagal adalah q = 1 – p . Variabel acak X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan yang saling bebas. Maka peluang X pada masing – masing percobaan E adalah: ( ) = untuk E1 ( ) = q untuk E2 ( ) = untuk E3 ( ) = . untuk E4 ( )=q . . untuk E5 ( ) = . . untuk E6 ................................. ................ ( ) = untuk En Dapat dilihat bahwa E 2 dan E 3 memberikan hasil yang sama. Jumlahnya

2 1

,

yaitu jumlah semua titik sampel yang mungkin menghasilkan x = 1 yang sukses dan n – x = 2 – 1 = 1 yang gagal dari 2 percobaan. Begitupun untuk E 4, E 5, dan E 6 juga memberikan hasil yang sama. Jumlahnya

3 1

, yaitu jumlah semua titik sampel

yang mungkin yang menghasilkan x = 1 yang sukses dan n – x = 3 – 1 = 2 yang gagal dari 3 percobaan.



Secara umum, jumlah titik sampel yang mungkin untuk menghasilkan x sukses dan n – x gagal dalam n percobaan adalah banyaknya cara yang berbeda dalammendistribusikan x sukses dalam barisan n percobaan, sehingga terdapat cara. Dan distribusi peluang atau Probability Dencity Function (pdf ) X dinyatakan pada definisi berikut:

( = ) = ( ) =

=

(1 − )

Untuk x = 1, 2, ...., n dan 0 ≤ p ≤ 1 . Pembuktian distribusi binomial merupakan suatu pdf : Untuk membuktikan suatu variabel acak adalah untuk pdf , maka harus ditunjukan: 1. ( ) ≥ 0 2. ∑ ( ) = 1 Akan ditunjukkan distribusi binomial memenuhi kedua syarat diatas:

1.

( )≥0

Karena 0 ≤ p ≤ 1 dan nilai kombinasi pasti positif maka f (x) pasti p ositif.

2. ∑ ( ) = 1 3. Menggunakan persamaan binomial newton pada ∑

( )=

(1 − )

( ), akan diperoleh

= ( + (1 − )) = 1 = 1

Dari 1 & 2 dapat dikatakan bahwa distribusi binomial merupakan pdf . Jika X ~ B (n , p) (X variabel acak berdistribusi Binomial), maka nilai ekspektasi dari X adalah ( ) = Pembuktian:

( ) = = = = = =

( ) ( = ) (1 − ) ! ( − 1)! ( − )! (1 − ) ( − 1)! ( − 1)! ( − )! . (1 − ) ( − 1)! (1 − ) ( − 1)! ( − )!



Misalkan m = n – 1 dan s = x – 1, maka persamaan diatas menjadi :

! ! ( − )! (1 − ) ! ! ( − )! ( 1 − )

( ) = ( )= ( ) = .1 =

…. .(Terbukti)

Jika X ~ BIN (n , p) dimana 0 < < 1; = Binomial), maka nilai variansi dari X adalah Pembuktian:

1− (X variabel acak berdistribusi ( ) = (1 − ) =

( ) = ( ) − ( ( ))

dalam mencari V(X), harus ditentukan terlebih dahulu nilai ekspektasi

( ) = ! . ! ( − )! ( 1 − ) ( − 1)! . ( − 1)! ( − )! . ( − 1)! . ( − 1)! ( − )! .

= = = Misalkan

= −1

( )= =

(1 − )

= − 1, maka persamaan di atas menjadi: ! ( + 1). ! ( − )! . (1 − ) dan

( + 1).

. (1 − )

. (1 − )

= ⎣ = [

(1 − )

+ 1]

( )

( ) = [( − 1) + 1] = [ − + 1] Selanjutnya akan menentukan V(X)

+

. (1 − ) ⎦

:



( ) = ( )− ( ) = [ − + 1] − ( ) = ( ) − ( )+ −( ) = − ( )+ = (1 − ) Sehingga terbukti bahwa variansi dari distribusi binomial adalah:

)

( ) = (1 −

Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang lolos uji kelayakan adalah ¾. Tentukan probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan dinyatakan layak! Penyelesaian:

( = ) = ( ) = 3 3 1 = 4 , = 1 − 4 = 4

=

(1 − )

=2 ( = 2) = (2) = 24 34 14 9 1 27 = 6. 16 . 16 = 128

Untuk

1.

Berdasarkan data biro perjalanan PT Sentosa, yang khusus menangani perjalanan wisata turis mancanegara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja, dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis mancanegara yang pernah menggunakan jasa biro perjalanan tersebut. Tentukan probabilitas: a. Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja b. Paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puas

2. Sebuah dadu dilemparkan 12 kali. Tentukan: a. Munculnya mata dadu 6 sebanyak 3 kali? b. Harapan matematisnya? c. Variansi?





Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian. Variabel acak hipergeometrik adalah jumlah sukses (x ) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adlah sukses dan (N-D ) adalah gagal. Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi. Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran N untuk sampel berukuran n adalah kombinasi C(N,n ) . Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C(D,x ). dan demikian pula halnya dapat dicari ( n- x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D ), yaiu C((N-D),(n-x)). Dengan demikian:

− −

Sukses C(D,x ). C((N-D),(n-x)) atau yang mungkin C(N,n ) atau

Yang diperoleh dari kombinasi

.

Sebuah variable acak (diskrit) X menyatakan jumlah sukses dalai percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi densitas peluangnya (pdf ):

− − .

( ) =

Jika X ~ HYP (n ,D,N) dimana berdistribusi Hipergeometrik), maka: 1. Nilai Harapan/ Mean: 2. Variansi

:

( ) = ( ) =

Pembuktian:

− −

( , )

( ) = Untuk kasus dimana

( ) =

.

.

= 0,

= 1,2,…,min( , )

= 1,2, … , ; = 0,1,2, . . , 1−

= .

< , maka ekspektasi tersebut adalah − −

.

(X variabel acak

. ( − 1)! = . ( − 1)! . ( − )!

=


maka diperoleh, ( ) = Transformasikan

karena − −1 − − −1− = maka diperoleh: ( ) = ( )= ( ) =


−1 −1

− −

= − 1, maka bentuk diatas berubah menjadi −1 − −1− , ( ) = = ( − 1)− −1 −( − 1) dan −1 −1 − 1 ( − 1) − ( − 1) −1− −1 −1

. (1) (Terbukti no1)

( − 1)( − 1) Dapat dibuktikan bahwa ( − 1) = −1 . Ekspektasi perkalian dan ( − 1) adalah [ ( − 1)] = ( ) − ( ). ( − 1)( − 1) Karena ( ) = dan ( − 1) = −1 , ( − 1)( − 1) maka ∶ [ ( − 1)] = . −1 ( − 1) ( − 1) [ ( − 1)] = ( − 1) . Variansi ∶ ( ) = ( ) = = ( ) − = [ ( − 1)] + − ( − 1) ( − 1) = ( − 1) + − ( − 1) ( − 1) = ( − 1) + − ( − 1) ( − 1) + ( − 1) = − ( − 1)

! = ( − )!


= = = ( ) =

= = = = = =


(

− − + 1 + − 1) − ( − 1) ( − − + ) − ( − 1) ( − − + ) − ( − 1) ( − 1) (

−

−

+ − ( − 1) (− − + + ) ( − 1) − − + ( − 1) ( − )( − ) ( − 1) ( − ) ( − ) ( − 1) − 1− −1

+

)

Jadi terbukti bahwa variansi distribusi hipergeometrik adalah :

= ( )=

1−

− −1

(untuk N yang besar hasil ini mendekati npq ).

Paket yang terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jika paket tersebut mengandung item cacat 3 atau lebih. Prosedur sampling yang diterapkan adalah dengan mengambil 5 item dan memeriksanya jika ditemui yang cacat, maka keseluruhan paket ditolak.: a. Berapakah probabilitasnya jika ternyata paket mengandung 3 item cacat, bisa ketemu 1 cacat di sampel 5 item yang dipilih? b. Jika X menyatakan banyak item yang cacat, hitunglah mean dan variansi? Penyelesaian: Diketahui : Banyak item cacat terambil x = 1, Banyak total item N = 40 Sampel yang diambil n = 5 Total item cacat di populasi k = 3 Ditanya : a. Probabilitas 1 item cacat terambil dari 5 yang diambil.



h(x = 1; N = 40;n = 5; k = 3) 3 37 ℎ( = 1; = 40; = 5; = 3) = 1 404 = 0.3011 5 b. Nilai mean x yaitu rata-rata jumlah sampel cacat yang terambil dan variansinya adalah:

3.5 = 40 = 0,375 − 3.5 5 40 − 5 = ( ) = 1− = 1 − − 1 40 40 40 − 1 15 3 35 37 = ( ) = 40 1 − 40 39 = (0,375) 40 (0,897) = 0,311 ( ) = =

Distribusi geometrik yaitu distribusi probabilitas untuk mendapatkan kejadian sukses pertama kali setelah sekian kejadian gagal. Atau bisa dikatakan bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang , gagal dengan peluang = 1 − , maka distribusi peluang variabel acak , yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama. Misalkan jika diambil contoh tentang kejadian lulus dari ujian kenaikan tingkat. Akan terus mengikuti ujian berkali-kali jika belum berhasil lulus. Tetapi sekali saja dinyatakan lulus, maka selesailah sudah prosesnya. Secara konsep distribusi geometri mewakili sebuah percobaan random yang meliputi,  dilakukan berulang-ulang  antar ulangnya saling bebas  probabilitas sukses pada tiap ulangannya sama, yaitu . dimana 0
4

…

GGGS Secara umum



P( x  1)  q 3 p

( = ) = ( ) =

.

dimana = 1,2,3, … . sehingga distribusi geometrik dapat ditulis ( ; ) = .



Dari definisi di atas diketahui ( ; ) = untuk = 1,2,… dan 0 ≤ ≤ 1 maka didapat ( ; ) positif. Sebagai suatu distribusi probabilitas, distribusi geometrik juga mempunyai nilai harapan (harapan matematis) dan varians. Jika

X

~

GEO

(p)

0 < < 1; = 1 −

(X

variabel

acak

berdistribusi

acak

berdistribusi

( ) =

Hipergeometrik), maka: Nilai Harapan/ Mean: Buktikan Teorema 3.4.1 tersebut di atas!

0 < < 1; = 1 − Hipergeometrik), maka: Variansi : ( ) = Jika

X

~

GEO

(p)

(X

variabel

Pembuktian : ( ) = = ( ) − ( ( )) Karena : Untuk menentukan nilai variansi, menggunakan MGF dimana MGF untuk distribusi peluang geometri adalah :

( ) = 1 − ( ) = (0) = = → "= ) → " = 2(1 − ) −

Akan ditentukan nilai dimana :

= (1 −

sehingga :

( ) = = = = =

(1 −

)(1 −

"

"

( )

) − 2 (1 − ) − (1 − ) (1 − 2 + ) − 2[− + ] (1 − ) −2 + +2 −2 [1 − ] − [1 − ] (1 − ) [1 ]



(1 − )(1 + ) = (1 − )[1 − ] (1 + ) = [1 − ] ( ) ( ) ( ) ( ) (0) = [1 −1 + ] = [11−+ ] = 1 + = 1 + ( = 0) = ( ) = Telah diketahui bahwa : ( ) = Jadi :

Maka :

( ) = ( ) − ( ) 1 + 1 = − 1+ −1 = = Terbukti

( ) =

bahwa

variansi

distribusi

peluang

geometrik

adalah

=

Pada distribusi binomial negatif, jika r = 1 atau dengan kata lain jumlah kesuksesan yang diperlukan adalah satu, maka distribusi bibom negatif menjadi distribusi geometrik dengan pdf :

= 1,2,3, … , ( ) = (1 − 0) ,,untuk untuk yang lain

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut: Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas. Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal. Probabilitas sukses , dan demikian pula probabilitas gagal = 1 − selalu konstan dalam setiap percobaan (trial ). Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total sukses diperoleh, dimana berupa bilangan bulat tertentu. Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak. Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas Jika = 1 − , maka distribusi probabilitas dari variabel acak :



−1 −1

( )= ( ; , )= = , + 1, + 2 …

1. 2. 3. 4.

dimana : Suatu percobaan disebut Binomial Negatif jika memenuhi syarat : Usaha diulangi sampai terjadi sejumlah sukses tertentu Tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan saling sukses atau gagal Peluang sukses yang dinyatakan dengan , tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha yang berikutnya Tiap usaha bebas dengan usaha yang lainnya.

Jika X ~ NB (k,p) 0 <

< 1; = 1,2, …

Negatif), maka: Nilai Harapan/ Mean:

( ) =

1.

(X variabel acak berdistribusi Binomial

( ) = =

dan Variansinya adalah :

=

Carilah peluang bahwa seorang yang melantunkan 3 uang logam sekaligus akan menghasilkan semuanya angka atau semuanya gambar untuk kedua kalinya padalantunan ke-lima ! Jawab : Diketahui :

=2

=5 = = 1− =

Penyelesaian :

1 ( )= ( ; , )= − −1 −1 1 3 ( ) = 5; 2, 14 = 25 − 1 4 4 1 3 4! 1 27 ( ) = 14 4 4 = 1!3! 16 64 1 27 1 27 27 ( ) = 4 16 = = 64 4 64 256

2. Seorang peneliti tengah menginokulasi beberapa tikus putih dengan menyuntikan virus yang menyerang metabolisme pencernaan sampai ia



memperoleh 3 ekor tikus putih terserang penyakit tersebut. Bila probabilitas terjangkit penyakit itu adalah 25%, berapa probabilitas bahwa dalam percobaan itu diperlukan 10 ekor tikus ? Penyelesaian : = 10 = 0,25 Diketahui :

=3

= 1 − 0,25 = 0,75

maka :

−1 ( )= ( ; , )= − 1 − 1 (0,25) (0,75) ( ) = (10;3,0,25) = 10 3−1 ( ) = 29 (0,25) (0,75) 9! = 2!7! (0,0156)(0,1335) = 36(0,0156)(0,1335) = 0,075 Jadi, probabilitas diperlukannya 10 ekor tikus putih untuk 3 ekor tikus yang terserang penyakit adalah 0,075.

Hasil penelitian ahli sosiologi, kurang dari 800 dari 1000 wanita tidak setuju dengan praktik poligami yang dilakukan para suami. Bila hasil penelitian ini benar, hitunglah probabilitas bahwa suatu hari tertentu, wanita keempat yang diwawancarai adalah wanita keempat yang tidak menyetujui poligami !



Dalam teori probabilitas dan statistika, (dilafalkan [pwasɔ]) adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume). Percobaan yg menghasilkan variabel random X yg menyatakan banyaknya outcome selama interval waktu tertentu atau dalam “area” atau “luas” tertentu dinamakan percobaan Poisson. Contoh: : banyak panggilan telepon per jam X : banyak tikus per hektare X : banyaknya kesalahan ketik per halaman

̃

Ciri-ciri distribusi Poisson : 1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain. 2. Peluang terjadinya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil (jarang terjadi) 3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan alkan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut, dapat diabaikan. Distribusi peluang variabel acak Poisson X , yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh

( ; ) =

( ) ! ,

= 0,1,2, …

menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah

( ) =

! ,

= 0,1,2, …

>0

( ) =

! ,

= 0,1,2, …

>0

dimana:  

adalah basis logaritma natural (e = 2.71828...) adalah jumlah kejadian suatu peristiwa — peluang yang diberikan oleh fungsi ini

 

adalah faktorial dari k atau adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu.

λ


Karena


> 0 dan x ≥ 0 maka

> 0.

Nilai suatu factorial pasti positif dan

( ) =

> 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa ! ≥0

Dengan mempergunakan deret Mac Laurin :

= 1 + + 2! + ⋯ =

!

Dapat dibuktikan syarat kedua dari suatu pdf yaitu :

( ) = Ambil =

=

() !

! =

, maka

() ! =

, ℎ

( ) =

=1

Oleh karena itu Distribusi Poisson merupakan suatu pdf

Jika X ~ POI ( ) 0 < (X variabel acak berdistribusi Poisson), maka: Nilai Harapan/ Mean: ( ) = dan Variansinya adalah : ( ) = = Pembuktian :

( ) =

! =

Sekarang misalkanlah

( ) = [ ( − 1)] = Karena,

! =

( − 1)!

= − 1 sehingga diperoleh

! = , ! = .


! =


( ; ) = 1.

Variansi dari distribusi Poisson didapat dengan terlebih dahulu mencari

[ ( − 1)] =

( − 1)

!

[ ( − 1)] =

( − 1)

!

[ ( − 1)] =

( − 2)! Substitusikan = − 2, maka diperoleh = [ ( − 1)] + − Jadi : = + − = Terbukti bahwa pada distribusi peluang Poisson nilai harapan/ekspektasi/mean: ( ) = dengan variansi ( ) = =

Dalam percobaan radioaktif, rata-rata jumlah cacahan radioaktif yg terekam di counter adalah 4 cacahan per mili detik. Berapakah probabilitasnya dalam 1 milidetik tertentu tercacah sebanyak 6 cacahan? Penyelesaian : Rata-rata jumlah outcome per milidetik : μ = λ t = 4 Probabilitas tercacah X = 6 dalam 1 milidetik:

( = 6 ; = 4) =

() ! =

(4) 6! = 0,1042

Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!



Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah jika tiap nilai variable random memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih. Distribusi probabilitas seperti ini diberi nama Distribusi Probabilitas Uniform Diskrit. Ciri-ciri dalam distribusi uniform diskrit adalah setiap nilai variabel acak mempunyai probabilitas terjadi yang sama. Jika variabel random X bisa memiliki nilai , , …, dan masing-masing bisa muncul dengan probabilitas yg sama maka distribusi probabilitasnya diberikan oleh :

( ; ) = 1 ,

=

, ,…,

Notasi ( ; ) menyatakan nilai fungsi f tergantung pada k . Ada yang menyebutkan pdf dari distribusi uniform diskrit sebagai berikut, Suatu variable random X berdistribusi Uniform Diskrit, jika pdf -nya berbentuk ;

( ) =

Jika X ~ DU ( ) Nilai Harapan/

(

1

; = 1,2,… , 0 ; lainnya

= 1,2,3,… (X variabel acak berdistribusi Uniform Diskrit), maka: Mean: ( ) = ( + 1) dan Variansinya adalah : ( ) = =

− 1)

Pembuktian: Jika ( ; ) menyatakan distribusi probabilitas uniform, maka rata-ratanya :

( ; ) =1

( ) = =

atau ( ) = =

() 1

1 = (1 + 2 + ⋯+ ) 1 1 = .2 ( + ) 1 1 = 2 ( + 1) 1 = 2 ( + 1) Terbukti


( )=

= [( − ) ]

=

( ; )( − )

1 =

( − )

=


( )−

()

1 = (1 + 2 + 3 + ⋯+

1 ) − 4 ( + 1) 1 ( + 1)(2 + 1) ( + 1) = − 4 6 1 (2 + 3 + 1) ( + 2 + 1) = ∙ − 6 4 (2 + 3 + 1) ( + 2 + 1) = − 6 4 ( ) ( ) = = 4 + 6 + 2 −12 3 + 6 + 3 −1 1 = 12 = 12 ( − 1) Terbukti Sebuah koin ideal memiliki muka : Angka dan Gambar. Jika x menyatakan banyaknya angka muncul dengan x=0,1. Tentukan distribusi probabilitasnya ? Penyelesaian :

( ; 2) =

, x = 0,1

Jika sebuah dadu dilempar, maka setiap elemen dari ruang sampelnya S = {1,2,3,4,5,6} terjadi dengan peluang yang sama , carilah distribusi uniform dan cari ekspetasi serta variansinya ?



Distribusi Seragam kontinu adalah distribusi peluang kontinu yang paling sederhana. Fungsi padat peluang dari variabel acak seragam kontinu X pada selang [a, b] adalah:

 1 ; a  x  b f ( x)   b  a  0; x  lainya Kurva fungsi padat peluang

Fungsi kumulatif (CDF ):

0, ≤ − − , < 1, ≥

( ) =

Kasus khusus: jika a = 0 dan b = 1, maka distribusinya disebut distribusi seragam baku (standard uniform distribution), dilambangkan dengan U(0,1)

Jika X ~ UNIF (

,

) dimana

maka: Nilai Harapan/ Mean:

(

< (X variabel acak berdistribusi Uniform Kontinu), ( ) = = dan Variansinya adalah : ( ) = =

)

Pembuktian : Ekspetasi ( )

( ) = = = 1 = − 1 = −

()

=

()

1 1 1 = − − 2 1 1 1( = 2 − . 2. − ) 1 . 2 . ( − ). ( + )



1 = 2 . ( + ) …terbukti Variansi (x)

( ) = ( − ) = ( ) − ( ( ))

dimana :

()

( )= ( )= 1 = − 1 = − Maka:

( )= ( )= ( ) =

1 − 1 .3 1 .3( − )

= ( ) − ( ( )) = ( ) − ( ( )) 1 1 1 = − . 3 ( − ) − (2 ( + )) 1 1 1 = − .3( − ) − 4( + 2 + ) 1 1 1 1 = − . 3 ( − )( + + ) − 4 − 2 1 1 1 1 1 1 = 3 +3 +3 −4 −2 −4 ) 1 1 1 = 12 − 6 + 12 1 = 12 (( − 2 + ) 1 = 12 ( − ) ………terbukti

1 −4

Waktu seseorang menunggu datangnya pesawat disebuah bandara anatara jam 08.00-10.00 berdistribusi uniform : a. Berapa probabilitas seseorang harus menunggu kurang sama dengan 30 menit dari jam 08.00? b. Lebih dari 30 Menit,



Penyelesaian : Interval 08.00-10.00 adalah 120 menit. a = 0 dan b = 120 a.

( ≤ 30) = ∫

b.

( > 30) = 1 − ( ≤ 30) = 1 − 0,25 = 0,75

= 0,25

Variabel acak kontinyu menotasikan pengukuran arus pada kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwa f(x)=0,05 untuk 0 ≤ ≤ 20. Berapakah peluang pengukuran arus berada antara 5 mA dan 10 mA?

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika. Fungsi distribusi Gamma didefinisikan sebagai be rikut

Γ( ) = ∫

.

S

Jika X ~ GAM ( , ) dimana 0 < maka: memiliki sifat-sifat sbb : 1. Γ( ) = ( − 1)Γ( ), > 0 2. Γ( ) = ( − 1), ∈ 3. Γ(1) = 1 4.

Γ

= √

;0 <

(X variabel acak berdistribusi Gamma),



Pembuktian Teorema 3.9 : 1.

Γ( ) = ( − 1)Γ( ), > 0 =

dan

sehingga :

=

→ = ( − 1) → =−

= =

maka :

Γ( ) =

.

=

.

=

−

Γ( ) = −

. .

+

= ( − 1) ingat

untuk > 1 .

sehingga diperoleh : Γ(

2.

3.

= Γ( − 1) ) = ( − 1)Γ( − 1)

terbukti .

Γ( ) = ( − 1), ∈ Γ( ) = ( − 1)Γ( − 1) , Γ( − 1) = ( − 2)Γ( − 2) = ( − 1)( − 2)Γ( − 2) Γ( − 2) = ( − 3)Γ( − 3) = ( − 1)( − 2)( − 3)Γ( − 3), begitu seterusnya . Jika = bilangan bulat positif, maka : Γ( ) = ( − 1)( − 2)( − 3) ….1.Γ(1) = 1 Γ( ) = ( − 1)( − 2)( − 3) … .1 = ( − 1)! Atau Γ( ) = ( − 1)! , terbukti . Γ(1) = 1 Γ(1) =

4.

( − 1)

Buktikan untuk sifat no. 4

== −

= 1 … terbukti



Variabel random X memiliki distribusi gamma dengan parameter negatif bmaka bentuk probabilitasnya atau pdf- nya berbentuk :

( , ) : ≈ ( , , ) = Γ1( ) ≈ dimana > 0, > 0, > 0

positif dan

,

Fungsi distribusi peluang (pdf ) dari distribusi gamma dengan dengan dua parameter yaitu dan adalah sebagai berikut :

dimana

( , , ) = Γ(1 ) ≥ 0, > 0, > 0 Γ( ) = ( − 1) adalah fungsi Gamma

Jika X ~ GAM ( , ) 0 < ;0 < (X variabel acak berdistribusi Gamma), maka nilai harapan/mean/ekspektasi: ( ) = Pembuktian:

( ) =

. ()

=

1 . Γ( )

1 = Γ( )

(

)

Γ( + 1) Γ( + 1)

1 = Γ( ) =

(

Γ( + 1) Γ( )

(

)

)

Γ( + 1)

Γ( + 1) Γ( ) Γ( ) = Γ( ) . = … . Terbukti =

Jika X ~ GAM ( adalah ( ) = Pembuktian:

( ) =

,

) (X variabel acak berdistribusi Gamma), maka variansinya

= ( ) − ( ( ))

, dimana :


( ) =

. ()

( ) =

1 . Γ( )


= Γ( ) 1 = Γ( )

(

)

Γ( + 2) Γ( + 2)

1 = Γ( )

(

)

=

Γ( + 2) Γ( )

1 Γ( + 2)

(

)

=

Γ( + 2) Γ( )

1 Γ( + 2)

(

)

Γ( + 2) Γ( ) 1 Γ( + 2) = Γ( ) =

( + 1)! = ( − 1)! ( + 1) ( − 1)! = ( − 1)! = ( + 1) =

+

sehingga :

( ) = ( )= = =

= ( )− ( ) = + −( ) + − …. terbukti

CDF distribusi Gamma :

≈

( , ) ( , , )=

1 Γ( )


= 2 dan = = 1, maka

Jika Jika


( ) =

, maka X ≈

( , 1) = ,

Jika X ~ GAM (

2, ( )

) (X variabel acak berdistribusi Gamma), maka MGF adalah

( ) = Pembuktian :

( ) = [ ] = ∫ 1 = Γ( )

( ) ( )

= (1 − ) dengan <

Melalui pemisalan

, maka

=

sehingga :

1− ) ( ) = (Γ( ) 1− 1 = Γ( ) ( ) =

1 1−

1 = 1−

(1 − )

1−

1 Γ( ) 1 Γ( )

1 = 1− Yang berlaku untuk

<

Misal variabel acak kontinu X menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebabanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan = 8 dan = 15. Berapakah probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu – 120 ribu jam dengan pembebanana dinamik pada putaran kerja tersebut? Sebutkan juga statistic deskriptif distribusi gammanya Penyelesaian :

(60 ≤ ≤ 120) = ( ≥ 120) − ( ≤ 60) = (120;8,15 ) − (60;8,15 ) = (8;8 ) − (4; 8 )


Mean = Varians =


= 0,5470 − 0,011 = 0,4959 = ( ) = = 8.15 = 120 = = (8)(15) = 1800 = 42,4

Misalkan suatu system mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh variabel acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rataan sampai gagal = 5. Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasang dalam system yang berlainan, berapakah peluang bahwa paling sedikit 2 masih akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan?

Merupakan kasus dari distribusi weibull disaat = 1. Distribusi yang menggambarkan suatu kerusakan dari mesin yang disebabkan oleh kerusakan pada salah satu komponen dari mesin atau peralatan yang menyebabkan mesin terhenti. Dalam hal ini kerusakan tidak dipengaruhi oleh unsur pemakaian peralatan.

Jika X ~ EXP ( ) 0

<

(X variabel acak berdistribusi Eksponensial), maka :

1. Fungsi Distribusi Peluang (pdf)

( ) = = maka ( ) =

, > 0, > 0

2. CDF

1  e λ x ,untuk x  0 F  x    0 , x  0 Jika X ~ EXP ( )

0<

(X variabel acak berdistribusi Eksponensial), maka nilai

harapan/mean/ekspektasinya ialah Pembuktian :

( ) = =


( ) =


. () 1 Γ( )

=

1 ( ) = Γ( )

(

)

1 = Γ( )

( (

) Γ( ) Γ(

=

(

+ 1) Γ( )

+ 1) + 1)

) Γ(

(

(

)

1 ) Γ( + 1)

(

)

+ 1) Γ( ) . 1 Γ( + 1) = Γ( ) ( )! = ( − 1)! ( )( − 1)! = ( − 1)! = =

Karena

( )=

(

) Γ(

pada distribusi ............. terbukti

0< ) =

Jika X ~ EXP ( ) variansimya ialah ( Pembuktian :

( ) = ( ) − ( ) Akan ditentukan nilai

( ) =

eksponensial

( )

1 Γ( )

1 = Γ( )

(

)

1 = Γ( )

( (

) Γ( ) Γ(

=1

mengakibatkan

(X variabel acak berdistribusi Eksponensial), maka

()

=

miliki

+ 2) + 2)

(

)


=

) Γ(

+ 2) Γ( )

(

(

1 ) Γ( + 2)


(

)

+ 2) Γ( ) ( + 1) ( − 1)! = ( − 1)! = ( + 1) karena = 1 = (1 + 1)1 =2 Sehingga : ( ) = ( ) − ( ) = 2 −( ) = 2 − = …….. =

) Γ(

(

Suatu system mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh variabel acak . Variabel acak berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rataan sampai gagal = 5. Jika terdapat 5 buah komponen dipasang pada system yang berlainan, tentukan peluang sekurang-kurangnya 2 komponen masih berfungsi sampai akhir tahun ke-8. Penyelesaian : Peluang komponen masih berfungsi hingga akhir tahun ke-8 adalah:

1 ( > 8) = 5 =

= 0,2

( > 8) = 15 1 = 5 lim → 1 = 5 lim −5 | → = lim − → = (0 + 0,2019) = 0,2 1. Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu:



a. Apa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan? b. Apa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut? 2. Toko CD “ BEAT THE HITS” tengah mengadakan diskon besar-besaran sehingga kedatangan pengunjung yang berdistribusi eksponensial meningkat dari biasanya menjadi 8,4 per 35 menit. berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 8 menit atau lebih?



Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelk memodelkan an sistem sistem dengan dengan jumlah jumlah kegagalan kegagalan berta bertambah mbah terhada terhadap p waktu, waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu. Suatu variabel acak X  weiθ , β , β  0, θ  0 , maka:

(, , )

; >0 ; ya yang lain

0

dengan parameter skala θ  0 dan parameter bentuk β

 0 CDF

x

F  x

  f  x  dx 0 x

 0

F  x 

β θ

β

 1 e

x

β 1

 x     θ 

x  

β

e  θ  dx

β

Jika ika X ~ WEI (

, ) 0 < ;0 <

(X variab variabel el acak acak berdis berdistri tribus busii Weibul Weibull), l), maka maka nilai nilai

 

harapan/mean/ekspektasin harapan/mean/ekspektasinya ya ialah E  x   θ  1  Pembuktian : 

E  x 



  x. f  x  dx

  x.

0

0

E ( X )

β



θ E ( X )



β

β θ

β

β

x  Misalkan    u  θ  1

 x   u β    θ 

1

 x dx  1 u β du   β  θ  1

maka

dx 

θ u β

β

1

du

β θ





0





0

β

x

x

β

x

β 1

x  

e  θ  dx

(1 β ) 1

  e

  e 

β

x θ



x θ

β

dx

β

dx

  β 1


β



E ( X )



β

θ

β

θ



β

θ



θ

x θ



 0

β

1

u

1

u

β

u

 e

u



1

θ

u

β

1

β

β

1

u e

 1 1  1    β

u

0

θ

β

dx

  θ  e  β u    θ   e  β u 

1

β

0

β



e

β

 

0

β



x

0





β

θ

β

   θ  u    θ u 

β






du

1

β

du

1

β

du

du 

Fungsi

  x    t

gamma

α 1

 t

.e dt .

Dengan

x  1 

1

β

0

,

maka

didapat

1    θ  1   ............terbukti  β

E x

, ) 0 < ;0 <

Jika X ~ WEI (

V  x

variansi ialah

 

(X vari variab abel el acak acak berd berdis istr trib ibus usii Weibu eibull ll), ), maka maka



2



1



 θ   1      1      β  β  2

2

Pembuktian :

( ) = ( ) − ( )

Telah diketahui bahwa : 



E X

2

   x . f  x  dx 2

0



  x

2

.

θ

0



β

x

β



 x

β

θ

β

β 1

  e x



β

θ

( 2  β ) 1

0

dx

  e 

x

β

θ



dx

β

θ

β

 x   u   x   u     θ  θ 

Mis al

β



0

 x

   dx  θ 



E X

2

1

β

u du







β θ

β

β θ

β

β θ

θ

β

dx

θ u

1

β

du

β β



0



dx

x

1

β





m a ka

x

  e 

β 1

β

1 1



β

θ 

β

 x 0

x x 2

β 1

  e 

x

θ

1

dx

dx

β 1

u

e 

0

1

0

β

θ

β

β 1

x

β

   θ  u          θ  u  

  e 

β 1

1

β

 

θ β

u

 1 1    β 

  θ  e  β u  u

du 1

β

 

 1

du

 θ

2





0

u

2   1 1 β 

 e  u du

  

 

distribusiGamma   1

2

β

  



pPdf distribusi Gamma

Jadi E  x

2

 θ

2

 2  1    β 

Sehingga V  x

 E  x2    E  x 

2

2

 2    1   θ   1     θ  1     β    β    2  1   θ   1      1     β    β 2

2

2

Waktu kegagalan (dalam jam) sebuah komponen mesin dapat dimodelkan sebagai sebuah variabel acak weibull dengan β 

1 2

dan θ  5000 jam. Tentukan Tentukan rata-rata

waktu kegagalannya ! Penyelesaian E  X 

 1  θ 1    β 1    5000 1      0.5   5000  3  5000  2 !  10.000 jam

Tentukan probabilitas bahwa komponen mesin akan bertahan paling tidak 6000 jam.



Suatu variabel acak kontinu X yang distribusinya berbentuk lonceng disebut variabel acak normal.

. Kurva distribusi normal Jika X adalah variabel acak bebas, maka pdf -nya adalah : f ( x) 

1  xµ 

1 2πσ

2

e

 2 

σ

 

2

,  x  

dengan π = 3,14159… dan e = 2,71828 . . . Distribusi normal dan umumnya ditulis sebagai n( x; µ , σ ) yang berarti variabel acak X terdistribusi normal dengan parameter

μ

dan

σ

Kurva distribusi normal dengan ( a )  1 <  2 dan  1 =  2; (b ) 1 = 2 dan 1 <2; (c ) 1 < 2 dan  1 < 2 Gambar 3.12.2 melukiskan kurva normal yang berbentuk seperti lonceng. Begitu parameter µ dan σ diketahui, maka seluruh kurva normal dapat diketahui dan kurvanya dapat digambarkan. Misalkan jika diketahui µ = 0 dan = 1, maka ordinat f (x ) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambarkan. Gambar 3.12.2 (a ) telah dilukiskan dua kurva normal yang mempunyai simpangan baku sama, tetapi rataannya berbeda. Kedua kurva bentuknya persis sama, tetapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar. Gambar 3.12.2 (b ) terlukis dua kurva normal dengan rataan yang sama tetapi simpangan bakunya berbeda. Kedua kurva mempunyai titik tengah sama tetapi kurva dengan simpangan baku yang lebih besar tampak kurvanya lebih landai/rendah dan lebih menyebar. Gambar 3.12.2 (c ) memperlihatkan lukisan dua kurva normal yang baik rataan maupun simpangan bakunya berlainan. Jelas keduanya mempunyai titik σ



tengah yang berlainan pada sumbu datar dan bentuknyapun mencerminkan dua harga simpangan baku yang berlainan. Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f (x )= n (x ; µ ; σ ). Fungsi Distribusi Kumulatif Normal (CDF ) adalah : F(x; µ x, σ x) = P(X  x) = x



x

f  t ; µ x , σ x  dt 



σ



 t  µ x  2

1 x

2π

e

 2σ  dt 2 x

Seorang mahasiswa melakukan penelitian pada kelas II MA NW Senyiur untuk mengetahui pengaruh penggunaan media pembelajaran BINGKAI AJAIB dalam meningkatkan prestasi belajar matematika. Hasil evaluasi pembelajaran yang diperoleh sebagai berikut:

Selidiki apakah data prestasi belajar siswa kelas II MA NW Senyiur tersebut terdistribusi normal?



Jika X ~ N ( ; µ ; σ ), (X variabel acak berdistribusi Normal), maka reraannya ialah

E(X )  µ dan variansinya adalah V(X )  σ 2

Jika X variabel acak yang berdistribusi normal dengan rataan , maka variabel acak baru

=

dan simpangan baku

akan berdistribusi normal baku.

Pembuktian : X ~ n( x, µ ,σ )  f ( x) 

1 2πσ

67

2

e

1 xµ      2 σ 

2

;  x  



z



x  µ

σ


 x  zσ  µ  dx  σ dz , akibatnya diperoleh





 f ( x)dx  



 







1 2πσ

2

1 2π 1

2

e

1 x  µ      2 σ 

2



dx 

σ



e

1 z 0      2  1 

2

1 2π

e



1 2 z 2



σ dz





1 2π

e



1 2 z 2



dz



 n( z,0,1)dz



Bentuk integral terakhir membuktikan bahwa X ~ n( x, µ , σ )  Z 

X  µ

σ

~ n( z ,0,1)

Luas daerah di bawah kurva distribusi normal dan di bawah kurva z

Wilfried Pareto, adalah seorang Italia, sosiolog , ekonom , dan filsuf . Dia membuat beberapa sumbangan penting untuk ekonomi, terutama dalam studi mengenai distribusi pendapatan dan dalam analisis pilihan individu. Warisannya sebagai ekonom yang mendalam. Sebagian karena dia, bidang berevolusi dari cabang filsafat sosial seperti yang dilakukan oleh Adam Smith menjadi intensif data lapangan penelitian ilmiah dan persamaan matematika melihat-Nya. lebih banyak buku seperti ekonomi modern daripada kebanyakan teks hari itu: tabel statistik dari seluruh dunia dan usia, baris tanda integral dan persamaan, diagram dan grafik yang rumit. Dia memperkenalkan konsep efisiensi Pareto dan membantu mengembangkan bidang ekonomi mikro. Ia juga adalah orang pertama yang menemukan bahwa pendapatan mengikuti distribusi Pareto, yang merupakan kuasa hukum distribusi probabilitas. Para prinsip pareto bernama setelah dia dan dibangun di atas pengamatan seperti sebagai bahwa 80% tanah di Italia dimiliki oleh 20% dari populasi. Dia juga memberikan kontribusi pada bidang sosiologi dan matematika. Distribusi Pareto pada awalnya digunakan untuk menggambarkan alokasi kekayaan di antara individu karena tampaknya menunjukkan cukup baik cara bahwa porsi yang lebih besar dari kekayaan masyarakat apapun dimiliki oleh persentase yang lebih kecil dari orang dalam masyarakat itu. Hal ini dapat ditunjukkan, bahwa dari probabilitas fungsi kepadatan (pdf ) grafik dari f populasi (x) , probabilitas, atau fraksi,


68



dari f (x) yang memiliki sejumlah kecil kekayaan per-orang, adalah tinggi. Probabilitas kemudian terus menurun dengan meningkatnya kekayaan. Menurut Blickhe & Murthy (1994:76) untuk merumuskan kegagalan suatu produk biasanya mengikuti beberapa distribusi tertentu salah satunya adalah distribusi pareto. Salah satu sifat produk adalah daya hidup yang semakin menurun sehingga akan terjadi kegagalan fungsional. Kegagalan fungsional akan semakin meningkat seiring dengan lamanya penggunaan produk tersebut. Suatu perusahaan akan memberikan garansi apalabila terjadi kegagalan fungsional dalam periode tertentu. Hal tersebut yang menjadi alasan distribusi pareto digunakan untuk analisis garansi ini. 1. 2. 3. 4.

Pilihan-pilhan bersifat transitif. Pilihan tidak dapat dipaksakan oleh seorang individu. Perbaikan-perbaikan kepuasan seseorang tanpa penurunan kepuasan. Peringkat pilihan seseorang berhubungan dengan lainnya tidak bergantung pada berbagai pilihan alternatif.

Jika X adalah variabel acak dengan distribusi Pareto, maka probabilitas bahwa X lebih besar dari beberapa nomor x diberikan oleh: (

> ) =

Fungsi dari distribusi pareto dapat dinyatakan dalam bentuk pdf seperti ini: ( ) =

(

)



( , , ) = 1 − 1 −

pdf



CDF

Jika X ~ PAR ( ; µ ; σ ), (X variabel acak berdistribusi Pareto), maka reraannya ialah

E( X ) 

θ k 1

dan variansinya adalah V ( X ) 

k θ

2

(k  2)(k  1)2

Buktikan Teorema 3.12 tersebut!

69




1.

Dalam suatu karton terdapat 10 bola merah dan 5 bola putih. Bila diambil 3 bola secara acak, tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 0, 1, 2, dan 3 bola merah! 2. Pada sekeranjang apel diperkirakan terdapat 5 % buah apel yang berulat. Satu per satu buah apel itu diambil dan setela diperiksa dikembalikan lagi ke keranjang. a. Tentukan probabilitas terpilihnya apel berulat pertama kali pada pemeriksaan ke - 10! b. Tentukan harga harapan dan variansi distribusi peluang geometrik tersebut? 3. Seorang peneliti menyuntik beberapa ekor tikus, satu demi satu dengan sejenis bibit penyakit sampai ia mengumpulkan 2 ekor yang telah terserang penyakittersebut. Bila peluang terserang penyakit tersebut adalah 4.

5.

6.

7. 8.

9.

10.

, berapakah

peluang bahwa 8 ekor tikus yang perlu disuntik ? Misalkan banyaknya sambungan telpon ke nomor 108 , antara jam 23.00 sampai dengan jam 24.00 selama 1 bulan adalah berdistribusi poisson dengan rata – rata 5 sambungan perhari. Berdasarkan hal ini, Tentukan peluang bahwa pada suatu hari pada jam tersebut : a. Tidak ada sambungan sama sekali b. Ada 5 sambungan c. Ada 10 sambunga Suatu pabrik memproduksi alat – alat , dan produksinnya itu 10% cacat . Hitunglah probabilitasnya jika suatu sampel yang terdiri dari 10 alat diambil secara random, pasti dua akan cacat Tingkat kematian dari suatu penyakit tertentu adalah 7 per 1000. Berapakah probabilitas terjadi kematian 5 orang dari penyakit ini pada sekumpulan 400 orang ? Jika 3% barang yang diproduksi oleh sebuah mesin cacat, hitunglah probabilitas bahwa 3 barang diambil secara random dari 100 barang adalah cacat? Sebuah kotak berisi 4 buah lampu masing-masing 40 watt, 60 watt, 100 watt dan 500 watt. Jika x menyatakan daya lampunya, dan diambil secara acak 1 lampu, maka berapakah distribusi probabilitasnya ? Jumlah pesanan yang datang per-hari diketahui berdistribusi seragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum 0 dan maksimum 10. Tentukan probabilitas jumlah pesanan yang datang per-hari adalah 4 atau kurang? Rata ‐ rata jumlah pesanan per-hari yang datang? Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah variabel acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam.


70



a. Tentukan fungsi densitas peluang dari X. b. Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih. 11. Suatu variabel acak X berdistribusi seragam kontinu dengan = 2, = 7, carilah a. ( ≥ 4) b. (3 < < 5,5) 12. Banyaknya kopi sehari, dalam liter, yang dikeluarkan oleh suatu mesin diruang tunggu suatu Bandar udara berbentuk variabel acak X yang berdistribusi seragam kontinu (lihat cobtih 4) dengan = 7, = 10, cari peluangnya bahwa pada suatu hari tertentu banyaknya kopi yang dikeluarkan oleh mesin tadi adalah: a. Paling banyak 8,8 liter b. Lebih dari 7,4 liter tapi kurang dari 9,5 liter c. Paling sedikit 8,5 liter 13. Bila diketahui fungsi kepadatan distribusi uniform adalah 1 , 2≤ ≤4 ( ) = 2 0, Tentukan: (1 ≤ ≤ 3) 14. Misal waktu tunggu W berdistribusi Gamma dengan

=

dan

=

. tentukan

ekspetasi waktu tunggu sampai muncul kejadian pertama. 15. Misalkan dari sekelompok orang, 1% nya berkacamata. Secara acak ditunjuk 500 orang. a. Tentukan peluangnya bahwa dari 500 orang itu yang berkacamata 2 orang b. Berapa orangkah yang diharapkan berkacamata dari 500 orang tersebut? c. Carilah ragam banyaknya orang yang berkacamata dari 500 orang tersebut? 16. Misalkan bahwa hubungan telepon tiba di suatu gardu (sntral) memenuhi proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan masuk per menit. Berapakah peluagnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2 sambungan masuk ke gardu tadi? 17. Pengukuran kecepatan angin dilakukan untuk menghitung kekuatan struktur lepas pantai terhadap beban angin. Diperoleh data parameter weibull λ  25m / s dan β  1 . Hitunglah probabilitas kecepatan angin sekurang-kurangnya 35 m / s . 18. Dengan menggunakan tabel distribusi normal baku (tabel z), tentukan luas daerah a. Antara z = 0 dan z = 2,15 b. Antara z = 0 dan z = -1,86 c. Antara z = -1,86 dan z = 2,15 d. Antara z = 1,34 dan z =2,06 e. Untuk z>1,96 f. Untuk z>1,96

71




19. Dari suatu penelitian di Rumah Sakit Sayang Ibu Selong, diperoleh data bahwa rata-rata berat bayi yang baru lahir adalah 3750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan ada: a. Berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram, jika ada 1000 bayi? b. Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semuanya ada 1000 bayi c. Berapa bayi yang beratnya kurang atau sama dengan 4000 gram, jika semuanya ada 1000 bayi? d. Berapa bayi yang beratnya 4250 gram, jika semuanya ada 5000 bayi? 20. Misalkan , , … , berdistribusi pareto satu-satu dan yn = n order statistik terkecil, maka tentukan CDF dari !


72


73






74


75



Dosen Pengampu: Me Meyta Dwi Kurniasih, M. M.Pd.


BAB 2 Va Variabel Ac Acak dan Fungsi Di Distribusi

76

BAB 4 Di Distribusi Be Bersama Variabel Acak

Dosen Pengampu: Meyta Dwi Ku Kurniasih, M.Pd



Komp Kompet eten ensi si Perkuliahan

: Mema Memaha hami mi dist distri ribu busi si bers bersam ama a var varia iabe bell aca acak k dan dan sifa sifatt-si sifa fatn tnya ya : 1. 1. Distribusi be bersama va variabel ac acak a. Diskrit b. Kontinu c. Vari Variab abel el aca acak k inde indepe pend nden en d. Dist Distri ribu busi si bersy bersyar arat at 2. Distri Distribus busii bersama bersama vari variabe abell acak acak a. Sifa Sifatt har harga ga ha hara rapa pan n b. Korelasi c. Harg Harga a har harap apan an bers bersya yara ratt Indikator: 1. Memahami distribusi distribusi bersama variabel acak diskret. 2. Memahami distribusi bersama variabel acak acak kontinu 3. Menjelaskan variabel acak independen independen 4. Menentukan distribusi bersyarat variabel acak acak 5. Menentukan harga harapan harapan variabel variabel acak 6. Menentukan koefieien korelasi 7. Menentukan harga harapan harapan bersyarat variabel acak 

Telah dibahas dibahas pada Bab sebelumnya mengenai mengenai macam-macam macam-macam sebaran/ sebaran/ distribusi peuang, baik pada variabel diskrit maupun variabel kontinu. Pada Bab ini akan fungsi peluang yang di bicarakan menyangkut dua atau lebih variabel yaitu distribusi bersama, distribusi marginal, marginal, distribusi bersyarat dan dan kebebasan stokastik. Selain itu, menentukan pula nilai harapan dari fungsi peluang tersebut, serta menghitung koefisien korelasinya.

Dalam analisis statistik, distribusi bersama umumnya distribusi yang terdiri dari k buah buah vari variab abel el acak acak (berd (berdim imen ensi si k ) atau sering sering dinamakan dinamakan vektor vektor acak. = ( , ,…, ) →

Probability Dencity Funtion (pdf) bersama dari variabel acak diskrit berdimensi k (vektor random) didefinisikan sebagai berikut : ( , = (

,…, =

)= ( ∩ =

= , = ,…, ∩ …∩ = )

=

)


Untuk semua nilai X dimana

=(

, ,…,

BAB 4 Distribusi Bersama Variabel Acak

) dari dari vektor vektor acak acak yang yang mungk mungkin. in.

Sebuah Sebuah kardus kardus berisi berisi 1000 1000 penggaris penggaris,, 400 400 warna warna merah, merah, 400 400 warn warna a hitam, hitam, sisanya sisanya biru biru.. Jika Jika 10 10 pengg penggar aris is diam diambi bill seca secara ra acak acak seka sekali ligu guss tanpa tanpa pen penge gemb mbal alia ian, n, mak maka a tentukan probabilitas probabilitas banyaknya banyaknya penggaris yang terambil terambil berwarna merah, merah, hitam, hitam, dan biru. Penyelesaian : Jumlah penggaris = 1000 buah Penggaris warna merah merah = 400 buah Penggari Penggariss warna warna hitam = 400 buah buah Pen Penggar ggaris is warn warna a biru biru = 1000 − 400 − 400 = 200 buah



,10, X , X f 1000,10 1 2



200  400   400     X   X   n  X  X  1 2 , dengan X 1  X 2  X 3  n   1  2   1000   10   

Distribusi bersama biasanya terkait dengan distribusi multinomial (perluasan dari binomial).

Misalkan terdapat k+1 kejadian yang terbatas dan saling asing yakni , ,…, dengan e = event yang terjadi dari sebuah eksperimen dan misalkan = ( ). Misalkan variabel ac acak me menyatakan ba banyaknya ke kejadian dari n eksperime eksperimen, n, maka maka variabel variabel acak acak dikatakan dikatakan berdistrib berdistribusi usi multinom multinomial, ial, jika jika pdf nya berbentuk : ! ( , … , ) = , … !… ! =

−

,0 ≤ ≤

=1− ≈

( ,

,

,…

)

Suatu fungsi ( , … ) adalah pdf nya bersama bersama untuk beberapa beberapa variabel variabel acak acak jika hanya jika berlaku : ( , … , ) ≥ 0, ∀ , = 1, 2, 2, … . , a. ( , … ) = 1 b. ∑ … ∑

1. Peluang Peluang bidan bidang g tetrahe tetrahedron dron dilempark dilemparkan an sebany sebanyak ak 20 20 kali, kali, masingmasing-masin masing g



permukaan mempunyai peluang yang sama, yakni . Tentukan probabilitas bahwa dari percobaan tersebut munculnya angka 1 adalah 4 kali, angka 2 adalah 6 kali, angka 3 dan 4 adalah 5 kali? 2.

≈

(3 ; 0,4 ; 0,4

X /X 1 2

0

1

2

3



0

0,008

0,048

0,096

0,064

0,216  f 1(0) = P(X1=0)

1

0,048

0,192

0,192

0

0,432  f 1(1) = P(X1=1)

2

0,096

0,192

0

0

0,288  f 1(2) = P(X1=2)

3

0,064

0

0

0

0,064  f 1(3) = P(X1=3)



0,216

0,432

0,288

0,064

1

Tentukan peluang  harus 1? Penyelesaian: 1.

( ) =

!

=

! ! ! !

! ! ! ! !

= 0,0089 = 0,9%

2. Peluang :  harus 1  (0,4)0(0,4)0(0,2)3 = 0,008 P x  X   f 0,1  f 0,2   f 0,3  f 1,2   f 1,3   f 2,3  = 0,048  0,096  0,064  0,192  0  0 = 0,4 : Jika pasangan variabel acak diskrit marginal dari

dan

mempunyai pdf (

,

,

), maka pdf

adalah:

f  X    f  X , X    X fixed and X variabel 1

1

1

2

1

2

X 2

f  X    f  X , X    X fixed and X variabel 2

2

1

2

2

1

X 1

CDF bersama dari k variabel acak (vektor random) adalah suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: (

Suatu fungsi ( 1.

,

,…

) =

,…

≤

)

) adalah CDF bivarian jika hanya jika berlaku:

lim F  X 1 , X 2   F   , X 2   0,  X 2

X 1 

( <


2. 3.


lim F  X 1 , X 2   F  X 1 ,  0,  X 1

X 2 

lim F  X 1 , X 2   F  ,   1

X 1 , X 2 

4. F b, d   F b, c  F a, d   F a, c   0, a  b, c  d

5.

lim F  X 1

h 0

 h, X 2   lim F  X 1 , X 2  h   F  X 1 , X 2 ,  X 1 , X 2 h 0

The property (5) is a monotonicity condition. In two-dimensional case we have:

P [a < X 1  b , c < X 2  d ] = F (b , d ) – F (b ,c ) – F (a , d ) + F (a , c )

Suatu variabel random ( vektor random ) dikatakan kontinu jika terdapat fungsi 1 ,..., X k  dari variabel acak tersebut, sedemikian sehingga CDF -nya pdf bersama f  X

dapat dinyatakan sebagai berikut: F  X 1 , X 2 ..., X k  

X k

X 1





 .....  f t , t ,..., t dt ,..., dt , t ,..., t 1

k

2

k

1

1

k

1 ,..., X k  jika hanya jika memenuhi : pdf bersama f  X

a. f  X 1 ,..., X k   0 

b.



 .....  f  X ,..., X dX ,..., dX k

1



k

1

1





Pdf marginal: f 1  X 1    f  X 1 , X 2 dX 2  

 f  X , X dX

=

1

2

1



Misalkan X 1 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 1 dan X 2 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 2. Jika diasumsikan bahwa pdf bersamanya f  X 1 ,. X 2   4 X 1 X 2 ,0  X 1  1;0  X 2  1 , maka tentukan

CDF -nya. Penyelesaian: X 2

F  X 1 , X 2  

X 1

 .....  f t , t dt .dt 1

 X 2

=

2

1



X 1

 .....  4.t t .dt .dt 1 2

0

0

=  X X

2

1

2

2



Dalam analisis statistik (inferensi statistik), variabel random bebas stokastik merupakan pokok bahasan yang penting, karena hampir sebagian besar persoalan analisis statistic terkait dengan variabel random bebas stokastik. Jika ada dua variabel acak X dan Y, baik diskrit maupun kontinu, maka dapat mengetahui apakah kedua variabel acak tersebut bebas stokastik atau tidak bebas stokastik.

X 1 dan X 2 variabel acak diskrit dengan pdf bersama f  X 1 , X 2  , dikatakan bebas stokastik jika dapat dinyatakan sebagai : f  X 1 , X 2   f 1  X 1 . f 2  X 2  Dengan cara yang sama, apabila X 1 dan X 2 merupakan variabel acak kontinu sedemikian sehingga f  X 1 , X 2   f 1  X 1 . f 2  X 2  , maka : d b

P a  X 1  b, c  X 2  d  

  f  X , X dX dX 1

2

1

2

c a d b

=

  f  X . f  X  dX dX 1

2

1

2

c a b

=

d

 f  X dX . f  X dX 1

1

1

a

2

2

2

c

Jadi, Pa  X 1  b, c  X 2  d   Pa  X 1  b.Pc  X 2  d  Secara

umum,

variabel

X 1 ,..., X 2 dikatakan

random

ai  bi , i  1,2,..., k berlaku bahwa: P a1  X 1  b1 ,..., ak  X k  bk  

k

 Pa

i

 X i  bi 

i 1

Variabel acak X bebas stokastik jika hanya jika : k

CDF  F  X 1 ,..., X k    F i  X i  i 1 k

pdf  f  X 1 ,..., X k    f i  X i  i 1

0

0,1

0,2

0,1

0,4

1

0,1

0,2

0,1

0,4

2

0,1

0,1

0

0,2

f 2(X2)

0,3

0,5

0,2

1

bebas

stokastik

jika



f 1,1  f 1 1. f 2 1

f (1,2) = 0,1 f 1,2   f 1 1. f 2 2 

f 1 1 (X ) 1 1 = 0,4

0 , 2  0 , 4 . 0 ,5

f 2 ) = 0,2 2 (X 2 2 Sehingga bukan bebas stokastik

Sehingga bebas stokastik

Jika X 1 1, X 2 diskrit atau variabel variabel acak kontinu kontinu dengan dengan pdf bersama 2 variabel acak diskrit f  X 1 , X 2  , maka pdf bersyarat dari X 2 2 dengan syarat : f  X 2 | X 1  x1  

f  X 1 , X 2  f 1  X 1 

, f 1  X 1   0

Dengan cara yang sama, f  X 1 | X 2  x2  

f  X 1 , X 2  f 2  X 2 

, f 2  X 2   0

Jika X 1 1, X 2 2 bebas stokastik, maka : a. f  X 2 | X 1   f 2  X 2   f  X 2 | X 1  

f  X 1 , X 2  f 1  X 1 



f 1  X 1 . f 2  X 2  f 1  X 1 

 f 2  X 2 

b. f  X 1 | X 2   f 1  X 1 

Jika x dan y dua variabel acak kontinu yang mempunyai pdf bersama : f  x, y  x  y,0  x  1;0  y  1 Tentukan: a. f  y | x

 

b. P 0  y 

1 2

|x

1 



4 

Penyelesaian: a.

f  y | x 

f  x, y  f  x



x  y 1



x  y.dy

0

b.

 

P 0  y 

1 2

| x 

x  y  1 4  x 

1 

2



x  y 1 2

1 0

y 2  xy



x  y 1 x 2


1

1 2

=

4 1

 0

4 1 2


 y 

1

.dy

2

y 2 

=

1 1 y 2 4  0 3 4

2 1 = 8  3

3

4

1 ,..., X k  dan jika y  u ( x) Jika X variabel acak yang mempunyai pdf bersama f  X

merupakan merupakan fungsi fungsi dari dari vektor vektor random, random, maka: maka: acak diskrit  Variabel acak E ( y)  E (u ( x))

=

...u( X ,..., X ) f ( X ,..., X )



k

1

X1

k

1

X k

Variabel acak acak kontinu E ( y)  E (u ( x)) 

=



,..., X )dX ,..., dX  ...  .u( X ,..., X ) f ( X 1

1

k

1

k

k

 

Jika X 1 1, X 2 random variabel dengan 2 suatu

pdf bersama f  X 1 , X 2  , maka:

E ( X 1  X 2 )  E ( X 1 )  E ( X 2 ) Pembuktian:  

E ( X 1  X 2 ) 

  X  X f ( X , X )dX dX 1

2

1

2

1

2

 

=



 X f ( X , X )dX   X f ( X , X )dX 1

1

2



1

2

1

2

2



= E ( X 1 )  ( X 2 ) Jadi, terbukti bahwa E ( X 1  X 2 )  E ( X 1 )  E ( X 2 ) Jika

ai , i  1,2,..., k suatu konstanta, maka: E 

 a X    E a X  i

i

i

i



Jika x, y dua varia variabel bel acak acak bebas bebas stokas stokastik tik g(x) dan h(y) sebuah fungsi, maka: E ( g ( x)h( y))  E ( g ( x)).. E (h( y)) . Secara umum, jika x variabel variabel acak saling saling independen independen dan dan u(x) suatu fungsi, maka :

E (u( x))  E (u( X 1 )),...,u( X k )) = E (u( X 1 )),..., E (u( X k ))

Diketahui: ( , ) =

;

= 1,2. Hitunglah

= 1,2,3, da d an

(3 \ = 1)=….

Penyelesaian:  Pdf marginal Y adalah: ( ) =

Jadi  Peluang

( )= ;

18

=

(1 + 2 + 3) =

18

6 18

= 1,2

bersyarat dari X diberikan Y=y adalah ( \ ) = 18 = 3

6

;

= 1,2,3

Maka: (3 \ = 1) =

1. Dari Dari con contoh toh soal soal 4.3, 4.3, Tentuk Tentukan an

(3 ) .

(2

6

=

1 2

(1 + 4 + 9) = 7

\ = 1)

2. Diketahu Diketahuii pdf gabungan gabungan variabel variabel acak acak kontinu kontinu didefinisika didefinisikan: n: ( , ) =

3 4

;0 <

< 2 dan 1 <

Hitunglah (3 \ = 1) dan

(2

<2

\ = 1)?





Kovariansi bersama antara x dan y : Kov x, y   E  x  µ x  y  µ y  σ xy  E  xy   E  x  E  y 

 x, x  E  x  µ x  x  µ x  Jika x = y , maka Kov



= E x  2µ xx  µ x 2

2 = E  x    E  x

2



2

= v x =

σ x

2

( , ) =

( −

( , ) =

( −

)

)

−

−

( , )

. ( , )

Jika x dan y bebas stokastik, maka :

E  x, y  E  x E  y , sehingga kov (x, y ) = 0 Apabila kov (x, y ) = 0, maka tidak berlaku x dan y bebas stokastik.

1. Kov (

,

)=

,

) =

( , )

Bukti: (

(

)− (

=

(

) −

=

(

) −

= 2.

( + , ) =

3.

( ,

+ ) =

). ( ( )−

( , )

( ).

( ). ( )

( , ) ( , ) +

)

( , )

( )


( + , + ) =

4.


( , )

Jika X, Y variabel acak, maka : ( + ) = ( ) + ( ) + 2

( , )

Pembuktian: ( + ) = ( + ) − ( ( + ))

= (

+2

= ( ) +2 ( = (

) − [

+

)+ (

( )+ (

)−

= ( ) + ( ) + 2

( )+ )−

( ) + 2 ( ). ( )] ( ) +

( ) − 2 ( ). ( )

( ) + 2{ (

)−

) − ( ). ( )}

( , )

Jika X, Y independen, maka: ( + ) = ( ) + ( ) + 2

( , )

= ( ) + ( ) + 0 = ( )+ ( ) (Terbukti) Jika X variabel acak yakni varian ∑

= [

] dan

,…,

( ) + 2 ∑

= ∑

, = 1,2, … , ∑

(

maka: =

( )

Berikut tabel yang menggambarkan pdf bersama X dan Y: X

Y 1 2 3

Tentukan

1

2

1

1

12

6

3 0

1

1

9

5

1

1

2

18

4

15

0

( , )?

suatu konstanta, maka ) jika x saling independen,



Penyelesaian: 

Distribusi marginal X x p(x)



p(y)

….

….

1

2

3

….

….

….

…. ….

+ (… . )

…. ….

+ (… . )

….

=

….

…. ….

Nilai harapan variabel acak Y ( ) =

. ( )

= (… . )

…. ….

+ (… . )

…. ….

+ (… . )

….

+=

….

…. ….

Nilai harapan variabel acak XY (

) =

. ( , )

(

) = (… . )(… . )

…. ….

+ (… . )(… . )

+ (… . )(… . ) + (… . )(… . ) ( 

….

. ( )

= (… . )



3

Nilai harapan variabel acak X ( ) =



2

Distribusi marginal Y Y



1

) =

…. ….

…. ….

+ (… . )(… . )

+ (… . )(… . )

…. ….

…. ….

+ (… . )(… . )

+ (… . )(… . )

…. ….

….

…. ….

Kov (X,Y) (

) − ( ) ( ) =

….

−

….

….

+ (… . )(… . )

….

( , ) =

….

….

…. ….



Misalkan pdf bersama X dan Y didefinisikan:

( , ) = { Tentukan Kov (X,Y)

; ;

,



Penentuan derajat hubungan linier antara dua buah variabel acak digunakan

Jika X dan Y merupakan variabel acak diskrit atau kontinu, maka koefisien korelasi (

) di definisikan sebagai: ( , ) =

=

( { (

) − [ ( )] } { (

Dengan variansinya maisng-masing adalah

( ) =

) − [ ( )] }

, ( ) =

dan kovariansinya

Maka korelasi X dan Y didefinisikan:

( , ) =

adalah

)− ( ) ( )

( , ) =

( , )

=

( )

( )

=

4.7: 1.

≤ −1 ≤ (

2.

+

Dengan

3.

a.

ρ xy

≤ 1

,

) =

+ (

)

=

(

)

1, jika 0, jika − 1, jika

( , ) > 0 = 0 < 0

0 corr   

b.

ρ xy

corr    0

c.

ρ xy

 0  uncorrelat ed

4. Jika x,y bebas stokastik, maka

( , )= 0→

= 0 tetapi tidak berlaku

sebaliknya.

Dari Contoh Soal 4.6 dan Latihan Soal 4.6, Tentukan koefisien korelasinya?



Jika X dan Y variabel acak berdistribusi bersama f (X,Y) , maka harapan Y yang diberikan X didefinisikan sebagai : 

Kasus diskrit: E Y | X  x 

Y . f Y | x 





Kasus kontinu: E Y | X  x  Y . f Y | xdy 

Misalkan diketahui pdf bersama dari variabel acak Y yang diberikan X sebagai berikut : E Y | X  

2

X

,0  Y 

X 2

,0  X  Z

Tentukan E Y | X   E Y | X Y   E Y | X  x  ! Penyelesaian: x

x

x

2 1  2 x E Y | X  x  Y  Y . .dY  . Y 2   x x 2  0 4 0 0 2



2

2



Jika X dan Y variabel acak berdistribusi bersama, maka: E  E  y | x  E  y . Pembuktian:

 y | x  h x Misal : E 

 h x f  xdx

E  E  y | x  E  h x 

1

 

=

 E  y | x f  xdx 1

  

=

  y. f  y | x. f  x.dy.dx 1

  

=

  y. f  x, y.dy.dx   

=



 y  f  x, y.dx.dy  E ( y) (Terbukti)   


Dari soal sebelumnya, jika E  y | x 

1 4


x dan f 1  x 

x 2

,0  x  2 , maka cari E  y !

Dari soal-soal di atas, ekspektasi bersyarat dapat juga digunakan untuk 2 variabel yang saling bebas stokastik. Jika x, y bebas stokastik, maka: a. E  y | x  E  y b. E  x | y  E  x Variansi bersyarat dari y diberikan x didefinisikan sebagai: v y | x   E  y 2 | x   E  y | x

Jika

X

dan

Y

variabel

random

v y   E var y | x   var E  y | x  . Buktikan!! 2

berdistribusi

bersama,

2

maka:



MGF bersama (fungsi pembangkit momen gabungan) merupakan fungsi pembangkit momen yang diperoleh berdasarkan fungsi peluang gabungan dari dua variabel acak.

( ,

MGF gabungan dinotasikan Dimana − ℎ <

( ,

)=

( ,

)=

< ℎ ;−ℎ <

) sebagai:

( ,

)=

[exp(

= 1,2,3 dan

= 1,2

+

)

< ℎ ; ℎ > 0; ℎ > 0

( , )

( , )

Misalkan fkp gabungan dari X dan Y sebagai berikut: ( , ) =

a. Tentukan

( ,

1

( +

21

);

)?

b. Tentuka MGF marginal dari X, kemudian tentukan ( ) dan ( )? c. Tentuka MGF marginal dari Y, kemudian tentukan

( ) dan ( ) ?

Penyelesaian: a. MGF: ( ,

) =

=

= =

( , )

. 1 21 1 21

( (2

.2 + + 3

1 21

( +

)

.3 + + 3

.3 + + 4

.4 + + 4

. 5)

.4 + + 5

)


Dimana

∈

,


∈

b. MGF marginal X, ( ) dan ( )? yaitu: 

( ) =



( ) = ( )= ( )=



(

) =

(

) =

(

) =

Maka

( , 0) = (

1 21 1 21

, )

(5

+ 14

+ 27

(5 + 14 + 27) =

1 21 1 21

)

+ 9

]

(5

(

+ 7

, )

(5

46 21

] + 28

(

) −

)]

+ 81

( 5 + 28 + 81) =

( )=

)]

114 21 ( )

=

c. Kerjakan pada tempat yang telah disediakan:

−

=



1. Let X1, X2, X3 and X4 be independent random variables, each having the same distribution with mean 5 and standard deviation 3, and let Y=X 1+2X2+X3-X4 a. Find E(Y) b. Find Var (Y) 2. Let X and Y be discrete random variables with join pdf ( , ) =

(

)

if x=1,2 and

y=2,3 and zero otherwise. Find: a. E(X) b. E(Y) c. E(XY) d. Cov(X,Y) 3. If X and Y are discrete random variables with joint pdf of the form f (x ,y ) = c (x + y ), x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2 and zero otherwise. Find the constant c . 4. If X and Y are discrete random variables with joint pdf of the form f ( x, y )  c

2 x  y x! y!

x = 0, 1, 2, …; y = 0, 1, 2, …

and zero otherwise. a. Find the constant c . b. Find the marginal pdf’s of X and Y c. Are X and Y independent? Why or why not? 5. Let X 1 and X 2 be discrete random variables with joint pdf f (x 1,x 2) given by the following table: x 2 0 1 2 0 1/12 1/6 0 x 1 1 0 1/9 1/5 2 1/18 1/4 2/15 a. Find the marginal pdf’s of X 1 and X 2. b. Are X 1 and X 2 independent? Why or why not? c. Find P [X 1  2]. d. Find P [X 1  X 2]. 6. Two cards are drawn at random without replacement from an ordinary deck. Let X be the number of hearts and Y the number of black cards obtained. a. Write an expression for the joint pdf f (x ,y ). b. Tabulate the joint CDF F (x ,y ). c. Are X and Y independent? 95




d. Find P [Y = 1 | X = 1]. e. Find P [Y = y | X = 1]. f. Find P [Y = y | X = x ]. 7. Consider the function F (x ,y ) defined as follows: 0.25( x  y ) 2 , if 0  x  1 and 0  y  1  F ( x, y )   0, if x  0 or y  0  1, otherwise  Is F (x ,y ) a bivariate CDF? 8. Suppose the joint pdf of lifetimes of a certain part and spare is given by f (x ,y ) = exp[-(x + y )], 0 < x <  , 0 < y <  and zero otherwise. Find each of the following: a. The marginal pdf’s , f 1(x ) and f 2(y ) b. The joint CDF F (x ,y ) c. P [X > 2]. d. P [X < Y ]. e. P [X + Y > 2]. f. Are X and Y independent? 2. Suppose that X and Y have the joint pdf f (x ,y ) = 8xy 0  x  y  1 and zero otherwise. Find each of the following: a. The joint CDF F (x ,y ). b. f (y|x ). c. f (x|y ). d. P [X  0.5 | Y = 0.75]. e. P [X  0.5 | Y  0.75]. 9. Suppose X and Y are continuous random variables with joint pdf ) if 0 < x < 1 and 0 < y < 1, and zero otherwise. 4( − a. Are X and Y independent? b. Find P [X < Y ]. 10. Suppose X and Y are continuous random variables with joint pdf given by 24 if 0 < x , 0 < y , x + y < 1, and zero otherwise. c. Are X and Y independent? d. Find P [Y > 2X ]. e. Find the marginal pdf of X . 11. Let ( , ) = 6 ; 0 < < < 1, and zero otherwise. Find: ( ) a. ( ) b. ( , ) c. Modul Statistika Matematika

( , )=

( , )=

96


d. e. ( \ ) f. E( \ ) 12. Let X dan Y have joint pdf ( , ) =


if 0 <

<

< ∞ and zero otherwise. Find

( \ )?

97





98


99






100


101




BAB 5 Fungsi Variabel Acak



Kompetensi

: Menentukan distribusi hasil transformasi variabel acak

Perkuliahan

: 1. Transformasi variabel acak a. Teknik CDF b. Metode transformasi c. Konvolusi d. Order Statistik 2. Limit barisan variabel acak a. Limit distribusi b. Limit probbilitas c. Teorema Limir Pusat

Indikator: 1. Menentukan distribusi transformasi variabel acak dengan metode momen dan metode transformasi. 2. Menentukan distribusi konvolusi dan order statistik variabel acak. 3. Menentukan limit distribusi dan limit probabilitas barisan variabel acak 4. Mengaproksimasikan distribusi variabel acak dengan menggunakan teorema limit pusat. 

Setelah mendefinisikan probabilitas dalam kerangka teori himpunan, konsep variabel acak kemudian dikaitkan dengan himpunan bilangan real. Sekarang akan ditentukan fungsi densitas dari fungsi peubah acak kontinu tanpa melalui fungsi distribusi melainkan dengan teknik transformasi peubah acak. Dalam hal ini, penentuan fungsi probabilitas ini dibagi dua bagian, yaitu: 1. Penentuan fungsi probabilitas dengan teknik transformasi peubah acak yang melibatkan satu peubah acak kontinu, sehingga diperoleh teknik transformasi satu peubah acak kontinu. 2. Penentuan fungsi probabilitas dengan teknik transformasi peubah acak yang melibatkan dua peubah acak kontinu, sehingga diperoleh teknik transformasi dua peubah acak kontinu.



Tujuan dari subpokok bahasan ini adalah menentukan distribusi pdf dari fungsi variabel acak. Dengan syarat, variabel acak sebelumnya ( x ) biasanya sudah diketahui bentuk CDF -nya. Terdapat tiga metode / teknik untuk mendapatkan distribusi fungsi variabel acak. Teknik tersebut antara lain: 1) Metode CDF, 2) Metode transformasi variabel acak, dan 3) Metode MGF. Misalkan variabel acak X mempunyai CDF ( ). Dan misalkan

= ( ) suatu

fungsi variabel acak X , maka teknik CDF ini adalah menentukan fungsi diatas dengan asumsi variabel acak X terdefinisi dengan jelas. Secara khusus, misalkan

= { | ( ) ≤ }, maka

untuk setiap bilangan real y didefinisikan

≤

≈

∈

.

( ) = [ ( ) ≤ ] atau [ ∈

]

Jika X variabel kontinu dinyatakan sebagai integral dari pdf Jika X variabel diskritpenjumlahan dari f(x) dalam Ay. Contoh, [ ( ) ≤ ] dimana [

≤

≤

], dimana salah satu atau kedua batas

bergantung pada y, Kasus Kontinu:

( ) =

: ( ) =

Dengan

Diketahui ( ) = 1 −

( )

= (

( )

dengan batas 0  x   . Tentukan pdf dari Y = e x !

Jawab: F Y ( y )  P[Y  y ]

 P[e X  y ]  P[ X  ln y ]  F X (ln y )  1  y 2 , 1  y   Untuk pdf dengan batas f Y ( y ) 

d dy

)− ( )

= ∞ dan

F Y ( y )  2 y 3 , 1  y  

=

:


1. Diketahui

( ) = 1 −


dengan batas 0  x   . Tentukan pdf dari Y = e x !

2. Jika X variabel acak kontinu. Tentukan pdf dari Y = x 2 !



Fungsi dari satu atau beberapa variabel acak yang tidak tergantung pada parameter yang tidak diketahui disebut statistik. Dalam metode transformasi variabel acak, terdapat dua hal yaitu: 

Misalkan X variabel acak diskrit, dengan pdf f(x). Jika = ( ) dengan setiap nilai X berkorespondensi satu-satu dengan nilai Y dan sebaliknya sedemikian sehingga = ( ), maka pdf Y ditentukan sebagai berikut: y  h ( x)  x  k ( y ) f  y   f  k  y  , y  B dengan B   y f  y   0

X ~ GEO (p) dengan pdf f x  x   pq x1 , x  1,2,... Dan y = x-1, tentukan pdf Y! Penyelesaian x = y+1 misal x  w y  f y  y 

 f x  w y   = fx y  1

 p.q y 11  pq y , y  0,1,....

Misalkan X variabel kontinu, dengan pdf f(x). Jika = ( ) dengan setiap nilai X berkorespondensi satu-satu dengan nilai Y dan sebaliknya sedemikian sehingga = ( ), Jika turunan ′( ) kontinu dan tidak nol, maka pdf Y ditentukan sebagai berikut: f  y   f  w y  

d dy

w y 

Misalkan CDF dari variabel random X adalah F  x   1  e 2 x , maka tentukan pdf dari y  e x dengan metode transformasi! Penyelesaian: y  e x  x  ln y  w y 




w'  y 


1 y

f y  y   f x  w y   j

= 1  e  2 ln y  f y  w 

d

1 y



1 y



1 y 3

F y  y   1 , dengan 1  y  

dy

=  y 2  3 y 4



 y 2  3 y 4

f x  x   1  e f x  x  

d dx

2 x

F x  x 

= 2e 2 x f y  y   f x  w y   J

= 2e 2 ln y =

1 y

2 y 3

 π π  Misalkan X variabel acak kontinu berdistribusi uniform U   ,  . Tentukan  2 2  distribusi fungsi Y  b  tan x  a !





Transformasi untuk k buah variabel acak. Secara umum, transformasi variabel acak dapat diterapkan k buah variabel acak, = ( ) dengan asumsi = bahwa fungsi variabel acak tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. ( , , … , ) dan mempunyai Jacobian matriks sebagai berikut:

… …

= …

…

…

:

…

Misalkan X dan Y adalah variabel acak kontinu dengan pdf gabungan ( , ). Jika fungsi = ( , ) dan = ( , ) diferensiabel secara parsial terhadap x dan y dan merupakan transformasi satu-satu untuk semua nilai dalam daerah hasil dari X dan Y dengan ( , ) ≠ 0, maka untuk nilai x dan y tersebut persamaan = ( , ) dan = ( , ) dapat diperoleh x dan y yang tunggal, dengan = ( , ) dan = ( , ). Pdf gabungan dapat ditentukan dengan: ℎ( , ) = [ ( , ), ( , )]. | |

=

dengan

Misalkan pdf gabungan didefinisikan: 1 ( , ) = ; 0 < < 2, 0 < < 2 4 Jika U=X-Y dan V=X+Y, tentukan ( )? Penyelesaian:  Menentukan hubungan variabel-variabelnya = − = + dengan menggunakan eliminasi/substitusi didapat:

= ( + ) dan 

Jacobian (

= 

=− ( − )

(

) )

( (

)

=

−

= + =

Pdf ( , )=….

( , ) = 

)

1 1 1 ( + ), − ( − ) . | | = 2 2 4

Batas-batas U dan V 0< <2

0<

1 1 = 2 8 <2



1 ( + ) < 2 2 0 < ( + ) < 4 − < <4−

1 0 < − ( − ) < 2 2 0 < ( − ) < 4 < <4+

0<

Marginal U

( ) = Maka pdf U: ( ) =

1 8

=

1 ] 8

;0 <

<2

=

1 1 [(4 + ) − ] = 8 2

0; lainnya

Latihan Soal 5.2.2 Misalkan X dan Y variabel acak kontinu dan saling bebas, diketahui pdf masing-masing sebagai berikut: 1; 1 < < 2 ( ) = 0; x lainnya 1 ( ) = 3 ; 0 < < 3 0; lainnya Jika U=X-Y dan V=X+Y, tentukan ( )?



Sebagaimana metode sebelumnya, metode MGF ini juga dapat digunakan dengan mudah untuk menentukan distribusi variabel random atau jumlah fungsi variabel acak. Jika = ( , , … , ) merupakan n buah variabel acak yang saling independen atau bebas dan masing-masing punya MGF : maka jumlah n buah vaabel random diatas yakni :

x,y independen

Misalkan

variabel acak berdistribusi binomial yang saling independen : dengan

Tentukan distribusi dari Penyelesaian:

= =



=( = BIN (

Konsep order statistik merupakan konsep yang terkait variabel acak yang nilainilai observasinya diurutkan sesuai variabel acak tersebut. Contoh : Misalkan x variabel acak yang menentukan lamanya waktu tahan hidup dari 5 macam bola lampu yang diuji hasilnya. x1 = 5 bulan y2 x2 = 2 bulan y1 x3 = 6 bulan y3 pengurutan mulai dari yang terkecil x4 = 10 bulan y5 x5 = 7 bulan y4 Secara umum

(misal terdapat n pengamatan)

Jika

variabel acak dari suatu populasi yang kontinu, maka PDF

bersamanya dari statistik urut

Misalkan : A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = B =

A1=

=

,

,


A1=

=


,

,

Dengan memperhatikan nilai-nilai jacobian diatas dan berdasarkan metode transformasi sebelumnya, maka pdf bersama dari kasus diatas merupakan perkalian dari faktor-faktor , sehingga pdf bersamanya dinyatakan:

Misalkan

menyatakan sampel random dengan PDF

. Tentukan PDF bersama dari statistik bersama

dan PDF marginal!

Penyelesaian:

Penurunan distribusi dari order statistik ke-k dapat juga dilakukan hubungan antara pdf dan cdf :

Misalkan

, variabel acak kontinyu dengan PDF : . Tentukan bentuk dari distribusi marginal

dari

(pengamatan yang terkecil)!





Dari contoh diatas maka PDF marginal secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut: sampel acak berorder n dari suatu PDF yang kontinyu dengan >0. Untuk a
dengan a<

Dalam praktek order statistik smallest & biggest atau minimum dan maksimum, mempunyai peran penting khusunya dalam statistik inferensi. Oleh karena itu, terkait dengan teorema diatas, maka statistik urut minimum dan maksimum dapat dirumuskan melalui 2 macam pendekatan :  Variabel acak kontinyu  Variabel acak diskrit Untuk variabel acak kontinu pdf max dan pdf min dinyatakan sebagai: =

,

CDF :

Dalam analisis statistik (inferensi) peran dari distribusi limit merupakan bagian yang penting, karena terkait dengan model distribusi pendekatan limit dari variabel acak. Dalam distribusi limit ini, akan dibicarakan konsep-konsep yang terkait dengan konvergen distribusi, konvergen stokastik, konvergen hampir pasti, CLT dari sebuah variabel atau barisan acak. Jadi barisan adalah suatu fungsi dengan domain bilangan asli. Jika Maka

dikatakan konvergen dalam distibusi

ke

dan

dinyatakan

Misalkan

sampel random dari distribusi eksponensial dan

statistik terkecil. Maka tentukan CDF Penyelesaian:

!

order



F(-∞) = 0 F(∞) = 1

Suatu barisan dari variabel random

dikatakan konvergen stokastik pada

konstanta c jika barisan tersebut mempunyai distribusi limit pada y=c. Fungsi G(y) adalah CDF dari distribusi generate pada nilai y=c jika :

Dengan kata lain, G(y) adalah CDF dari distribusi variabel acak diskrit jika probabilitas bernilai 1 pada titik y=c dan bernilai 0 pada yang lain.

Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi paretto dengan θ>0, ɸ >0 Jika PDF -nya berbentuk :

Misalkan

berdistribusi paretto satu-satu dan

terkecil, maka tentukan CDF dari Penyelesaian:

!

order statistik



= G(Y) Misalkan

suatu barisan variabel random dengan CDF masing-masing: dan MGF masing-masing adalah

M(t)

suatu

MGF

Misalkan

dan

. Jika

CDFnya , Maka

G(Y)

dengan

suatu sampel acak dari distribusi bernoulli dengan

Yn = sedemikian hingga np=

maka tentukan distribusi

limit dengan CLT! Penyelesaian: , maka Yn =

=M(t) Dari contoh diatas, konsep distribusi limit dan CLT dan keduanya menentukan dengan pendekatan . Satu hal yang perlu diketahui, apabila bentuk CDF tidak memenuhi sifat-sifat umum, maka barisan Yn tidak mempunyai distribusi limit pendekatan.

Jika mean

merupakan sampel cak dari sebuah distribusi dengan PDF f(x), dan dan varian

berhingga, maka distribusi limit dari :

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Theorema limit Central dapat dimodifikasi berdasar konsep-konsep statistik dasar, yaitu:



1.

2. Jika

, maka:

Untuk menerapkan dalil limit pusat dalam permasalahan sehari-hari maka theorema limit pusat dapat dimodifikasi sesuai dengan kasus. Terdapat beberapa modifikasi dalam beberapa hal : 1.

2.

Misalkan

adalah mean sampel random berukuran 75 dari distribusi dengan PDF Tentukan peluang P(0,45<

!



Konsep konvergen stokastik banyak digunakan untuk menunjukkan bagaimana sebuah random variabel dapat digunakan untuk pendekatan asimtotik normal. Misalkan merupakan distribusi dari variabel acak yang distribusinya tergantung pada bilangan bulat positif n. Jika c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n maka variabel random dikatakan konvergen stokastik/ probabilistik/ lemah ke-c jika dan hanya jika untuk setiap

berlaku :

Dari konsep diatas, konvergensi stokastik dapat diperluas terhadap barisan variabel random. Misalkan {Xn} barisan variabel random , n=1,2,.... dan X=variabel random yang terdefinisi pada ruang parameter (ῼ) maka : konvergensi dari barisan tersebut dapat diuraikan melalui 3 macam konvergen : 1. Konvergen almost sure / konvergen dengan probabiitas 1 / konvergen strong 2. Konvergen stokastik / konvergen probabilistik / konvergen weak 3. Konvergen distribusi / konvergen lengkap

Misalkan Xn barisan variabel random dikatakan konvergen hampir pasti ke-x, jika untuk setiap ε > 0 berlaku:

Xn dikatakan konvergen lema ke-x jika untuk setiap ε > 0 berlaku : Xn dikatakan konvergen dalam distribusi ke-x jika : Untuk menentukan konvergensi sebuah barisan variabel random, dapat digunakan Chebychev. Langkah-langkah menentukan konvergensi : 1. Gunakan pertidaksamaan cheybychev 2. Tentukan mean dan variansinya 3. Subtitusikan ke cheybychev 4. Selesaikan

Misalkan Buktikan

merupakan sampel random dari distribusi eksponensial. konvergen stokastik ke !

Penyelesaian:

Buktikan :


lim(1  n 

λ 2 nε


) 1

1. Let X be a random variable with pdf f (x ) = 4x 3 if 0 < x < 1 and zero otherwise. Use the cumulative (CDF) technique to determine the pdf of each of the following random variables: a. Y = X 4. b. W = e X . 2. Let X be a random variable that is uniformly distributed, X ~UNIF(0,1). Use the CDF technique to determine the pdf of each of the following random variables: a. Y = X 1/4. b. W = e -X . 3. If X is Weibull distributed, X ~WEI(θ,β), find both CDF and pdf of each of the following: a. Y = ln X . b. W = (ln X )2. 4. If X~ Bin(n ,p ), then find the pdf of Y = n – X. 5. If X~ NB(r ,p ), then find the pdf of Y = X – r. 6. Let X have pdf f (x ) = x 2 /24; -2 < x < 4 and zero otherwise. Find the pdf of Y = X 2.

7. Let X and Y have joint pdf f (x,y ) = 4exp[-2(x+y )]; 0 < x < , 0 < y <  and zero otherwise. a. Find the CDF of W = X+Y . b. Find the joint pdf of U = X/Y and V = X . c. Find the marginal pdf of U . 8. Let X 1 and X 2 denote a random sample of size 2 from a Poisson distribution, X~ POI(). Find the pdf of Y = X 1 + X 2.



9. Let X 1 and X 2 denote a random sample of size 2 from a distribution with pdf f (x ) = 1/ x2 ; 1  x <  and zero otherwise. a. Find the joint pdf of U = X 1X 2 and V = X 1. b. Find the marginal pdf of U . 10. Consider a random sample of size n from an exponential distribution, X i ~EXP(1). Give the pdfs of the largest order statistics Y n and the smallest order statistics Y 1.







BAB 6 Distribusi Penarikan Contoh





: Memahami statistic dan distribusi sampling : Statistik dan distribusi sampling a. Distribusi Statistik Mean dan Varian b. Distribusi t, F, dan Chi kuadrat c. Aproksimasi distribusi Indikator: 1. Menjelaskan distribusi statistik mean dan varian 2. Menjelaskan distribusi t, F, dan Chi kuadrat. 3. Mengaproksimasi distribusi 

Penerapan dari beberapa teknik distribusi fungsi variabel acak yang akan di bahas adalah distribusi mean dan variansi, distribusi t, distribusi F, dan distribusi Chi Kuadrat. Pada Bab 3 telah di bahas beberapa distribusi yang mempunyai bentuk fungsi peluang/densitas tertentu dan nama tertentu, yang disebut distribusi khusus. Pada variabel acak kontinu, ada dua distribusi yang belum dibahas yaitu distribusi t dan distribusi F. Dua distribusi tersebut diperoleh berdasarkan teknik trasformasi variabel acak. Penentuan distribusi dari dua statistik yang juga akan di bahas pada bab ini adalah distribusi rataan sampel dan distribusi varians sampel. Kedua distribusi statistik sampel ini diperoleh dengan cara teknik MGF.

Misalkan , , … , adalah sampel variabel acak berukuran ( > 1 )yng berasal dari distribusi normal umum dan varian Rataan sampel di tulis:

=

1 =

− √

Buktikan dengan menggunakan teknik MGF

123





124



Misalkan , , … , adalah sampel variabel acak berukuran ( > 1 )yng berasal dari distribusi normal umum dan varian Rataan sampel di tulis:

=

1 −1

( − ) =

− √

Buktikan dengan menggunakan teknik MGF

125





126



Akan dipelajari distribusi khusus kontinu yang penutrunannya berdasarkan distribusi normal dan distribusi chi kuadrat, kemudian prosesnya menggunakan teknik transformasi variabel acak.

Misalkan W dan V merupakan variabel acak yang saling bebas. Diketahui: ~ (0,1) → distribusi _ _ _ _ _ _ _ _ ~ ( ) → distribusi _ _ _ _ _ _ _ _ :

=

→

−

= ↔ ~( )

Misalkan W dan V saling bebas. Variabel acak T dikatakan berdistribusi t-student jika dan hanya jika pdf dari T adalah:

+1 2

( ) = √

+1 1+ 2 ∶ −∞ < < ∞

Buktikan!

127





128



Misalkan ~ (10). Hitung (| | > 2,228) Penyelesaian:

(| | > 2,228) = 1 − (| | > 2,228) = 1 − (−2,228 ≤ ≤ 2,228) = 1 − (0,975 − 0,025) = 0,05

Rataan dan variansi dari distribusi t -student adalah: 1.

( ) = 0

2.

( ) =

129





130



Selain distribusi t-student, distribusi khusu lainnya yang dalam penurunan fungsinya menggunakan teknik transformasi variabel acak adalah distribusi F.

Misalkan U dan V variabel acak yang saling bebas. Diman: ~ ( ) → distribusi _ _ _ _ _ _ _ _ ~ ( ) → distribusi _ _ _ _ _ _ _ _ Maka:

=

Misalkan

131

→

=

↔ ~ ( , )

~ ( ), ~ ( ) dengan U dan V saling bebas. Maka pdf F adalah:



( ) =

+ 2 2



. 2

1+

:0 <

<∞

132


133






134

BAB 7 Estimasi




Kompetensi

: Mengestimasi parameter suatu distribusi variabel acak

Perkuliahan

: 1. Estimasi titik a. Metode momen b. Metode maksimum likelihood 2. Estimasi Interval

Indikator: 1. Mengestimasi parameter suatu distribusi dengan metode momen. 2. Mengestimasi parameter suatu distribusi dengan metode maksimum likelihood 3. Mengestimasi parameter suatu distribusi dengan suatu interval 

Parameter populasi biasanya harga tidak diketahui, sehingga perlu diestimasi berdasarkan pengamatan dari data sampel. Untuk mengetahui karakteristik yang bersifat numerik dari suatu populasi, observasi terhadap satu atau lebih variabel acak yang terkait perlu dilakukan. Hasil observasi ini kemudian dianalisis dengan menggunakan teknikteknik tertentu untuk mengestimasi karakteristik (dalam model parametrik disebut parameter) populasi atau menguji hipotesis tentang populasi. Bagian statistika yang membahas teori estimasi dan uji hipotesis dinamakan statistika inferensial (inferential statistics ). Estimasi parameter dibedakan menjadi dua macam, yaitu estimasi titik dan estimasi interval.

Pandang variabel-variabel acak terobservasi X 1, X 2, …, X n. Sebagai contoh adalah sampel acak berukuran n dari suatu populasi (distribusi).

135



BAB 7 Estimasi

Sebuah fungsi dari variabel acak terobservasi T=T (X 1, X 2, …, X n) yang tidak tergantung pada parameter populasi dinamakan statistik.

Misalkan X 1, X 2, …, X n merupakan sampel acak dari suatu populasi. Berikut ini dua contoh statistik: n

 X

i

a. T ( X 1 ,..., X n ) 

: X n , dinamakan sampel mean.

i 1

n n

b. T ( X 1 ,..., X n ) 

 ( X  X ) i

i 1

n 1

n

2

: S 2 , dinamakan sampel varians.

Jika X 1, X 2, …, X n, merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean µ=E (X i ) dan variansi σ 2=Var (X i ) maka

a. E ( X n )  µ . . b. Var ( X n ) 

σ2 n

.

c. E ( S 2 )  σ 2 . Buktikan!!


136

BAB 7 Estimasi

137




BAB 7 Estimasi

Untuk selanjutnya anggap populasi dimodelkan dengan variabel acak X yang mempunyai distribusi dengan fungsi densitas f (x,θ) dimana θ   merupakan parameter populasi. Parameter θ

mungkin berupa vektor. Misalkan τ (θ) suatu fungsi dari

parameter θ . Misalkan X 1, X 2, …, X n sampel acak dari X .

Sebuah statistik T (X 1, X 2, …, X n) yang digunakan untuk mengestimasi nilai dari τ(θ) dinamakan estimator untuk τ (θ).

Prinsip dari metode momen adalah menyamakan momen ke k dari n

 X

k

i

populasi, yakni E (X k ), dengan momen ke k dari sampel, yakni Estimator untuk parameter persamaan n

 X

θ

i 1

n

.

diperoleh dengan menyelesaikan sistem

k

i

E ( X k )



i 1

n

,

k  1,2,..., j.

~

dan akan dinotasikan dengan θ .

Misalkan X 1, X 2, …, X n, merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial, X ~EXP(θ ) dengan fungsi densitas

0, f ( x;θ )   1  x / θ θ e ,

x

0

0  x

Karena E (X )= θ maka, dengan menggunakan rumus (3.1) dengan mengambil n

~ j =1, diperoleh θ 


 X

i

i 1

n

 X n .

138

BAB 7 Estimasi


Misalkan X 1, X 2, …, X n, merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean µ dan variansi σ2, maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa n

~ µ

 X n dan σ~ 2 

 ( X  X ) i

2

n

i 1

n

.

n  1 2 Perhatikan bahwa σ~ 2  S dimana S 2 adalah sampel varians. n

Ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood ) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator.

Fungsi densitas bersama f (x 1,…,x n; θ ) dari variabel-variabel acak X 1, X 2, …, X n dinamakan fungsi likelihood. Untuk x 1,…,x n yang tetap fungsi likelihood merupakan fungsi dari θ dan akan dinotasikan dengan L (θ ), yakni L (θ )= f (x 1,…,x n; θ ). Jika X 1, X 2, …, X n adalah sampel acak dari f (x,θ) maka n

L (θ )

  f ( xi ,θ ) i 1

Misalkan L (θ )= f (x 1,…,x n; θ ), θ   , merupakan fungsi densitas bersama dari variabel-variabel acak X 1, X 2, …, X n. Estimator maksimum likelihood (Maximum Likelihood Estimator / MLE ) untuk θ, dinotasikan dengan θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood L (θ ). Jika  merupakan interval terbuka dan jika L (θ ) terdiferensialkan dan ˆ

mencapai nilai maksimum pada  maka MLE θ merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood ˆ

d d θ

L (θ )

0

atau secara ekuivalen θ merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood ˆ

d d θ

139

ln L (θ )

0



BAB 7 Estimasi

Persamaan yang terakhir umumnya lebih mudah digunakan untuk mencari estimator maksimum likelihood θ . ˆ

Misalkan X 1, X 2, …, X n, merupakan sampel acak dari distribusi Poisson, X ~POI(θ ) dengan fungsi densitas f ( x;θ )

θ xe θ



x!

, x

 0,1,2,...

Fungsi likelihood n

n

L(θ )

  f ( xi ,θ ) 

 x

θi

i 1

i

1

e

 nθ

n

 x ! i

i 1

dan fungsi log likelihood

 n  ln L(θ )   xi ln θ  nθ  ln  xi ! . i 1  i 1  n

Persamaan maksimum likelihoodnya adalah d d θ

n

ln L (θ )

 i 1

xi

θ

n  0

yang mempunyai penyelesaian θ  xn . Jadi MLE dari θ adalah θ  X n . ˆ

ˆ

Terdapat kasus dimana estimator maksimum likelihood ada tetapi tidak dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan likelihood.

Misalkan X 1, X 2, …, X n, merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial dengan dua parameter, X ~EXP(1,η ) dengan fungsi densitas f ( x;η )

0,    ( x η ) , e

η η  x x

Fungsi likelihood L (η )

 n   exp  ( xi  η )  i 1 

jika x 1:n  η

dan L (η )=0 untuk kasus selainnya. Disini jelas bahwa MLE untuk η adalah η  X 1:n . ˆ


140

BAB 7 Estimasi


Jika θ adalah MLE dari θ dan u (θ ) adalah fungsi dari θ maka u(θ ) adalah ˆ

ˆ

MLE dari u (θ ).

Berikut ini beberapa kriteria yang sering digunakan untuk menilai estimator.

Sebuah estimator T dikatakan estimator tak bias untuk τ (θ ) jika E (T )= τ (θ ) untuk semua θ  . Jika tidak demikian T dikatakan estimator bias untuk τ (θ ).

Jika X 1, X 2, …, X n , merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean µ =E (X i ) dan variansi σ2=Var (X i ) maka menurut Teorema 2.2 X n dan S 2 masing-masing adalah estimator tak bias untuk µ dan σ 2, karena E ( X n )  µ . dan E ( S 2 )  σ 2 . Tetapi estimator σ~ 2



n  1

E (σ~ 2 )

n

2

S

pada Contoh 3.2 merupakan estimator bias untuk σ2 karena

n 1 2  n 1 n 1 2  E  S   E ( S 2 )  σ . n n  n 

Jika T adalah estimator untuk τ (θ ), maka bias dari T didefinisikan sebagai b(T )=E (T )- τ (θ ) dan mean squared error (MSE) dari T didefinisikan sebagai MSE(T )=E [T -τ (θ )]2.

Jika T adalah estimator untuk τ (θ ), maka MSE(T )=Var (T )+[b(T )]2. 141



BAB 7 Estimasi

Sebuah estimator T * dikatakan estimator tak bias dengan variansi minimum secara uniform (uniformly minimum variance unbiased estimator / UMVUE ) untuk τ (θ ) jika a. T * estimator tak bias untuk τ (θ ), dan b. Untuk sebarang estimator tak bias T untuk τ (θ ), Var (T *)  Var (T ) untuk semua θ

 . Dalam kasus tertentu UMVUE untuk τ (θ) dapat ditemukan dengan menggunakan batas bawah Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB ).

Jika T adalah estimator tak bias untuk τ (θ ), maka Var (T )



2 [τ ' (θ )]

  f X θ  nE  ln ( , )  θ 

2

.

Misalkan X 1, X 2, …, X n , merupakan sampel acak dari sebarang distribusi eksponensial, X ~EXP(θ ) dan τ (θ) = θ . Karena

 ln f ( x ,θ )  ( x  θ ) / θ 2 θ maka dapat ditunjukkan bahwa 2

  f X θ   θ 2 E  ln ( , ) 1 / ,  θ  sehingga CRLB untuk τ (θ ) sama dengan θ2 / n . Jelas bahwa X n merupakan estimator tak bias untuk τ (θ ) = θ. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa Var ( X n )  θ 2 / n . Kesimpulannya X n merupakan UMVUE untuk τ (θ ).


142

BAB 7 Estimasi


Misalkan T dan T * merupakan estimator tak bias untuk τ (θ ). Efisisensi relatif dari T terhadap T * didefinisikan sebagai re(T , T *) 

Var (T *) Var (T )

.

T * dikatakan efisien jika re (T,T *)  1 untuk semua estimator tak bias T untuk τ (θ ) dan semua θ  . Jika T * adalah estimator efisien untuk τ (θ ) maka efisiensi dari estimator tak bias T untuk untuk τ (θ ) didefinisikan sebagai e (T )= re (T,T *).

Barisan estimator {T n } untuk τ (θ ) dikatakan konsisten (simpel konsisten) jika untuk setiap ε > 0 lim n   P (| T n

 τ (θ ) | ε )  1

untuk setiap θ  .

Barisan estimator {T n} untuk τ (θ ) dikatakan MSE konsisten jika lim n   E [T n

 τ (θ )]2  0


Barisan estimator {T n} untuk τ (θ ) dikatakan tak bias asimtotik jika lim n   E (T n )

 τ (θ )


Barisan estimator {T n} untuk τ (θ ) adalah MSE konsisten jika dan hanya jika barisan estimator tersebut tak bias asimtotik dan lim n   Var (T n )  0 .

143



BAB 7 Estimasi

Jika barisan estimator {T n} untuk τ (θ ) adalah MSE konsisten maka barisan estimator tersebut juga simpel konsisten.

Jika barisan estimator {T n} untuk τ (θ ) adalah simpel konsisten dan jika g (t ) adalah fungsi yang kontinu pada setiap nilai dari τ (θ ) maka g (T n) simpel konsisten untuk g (τ(θ)).

Misalkan {T n} dan {T n* } merupakan estimator tak bias asimtotik untuk τ (θ ). Efisisensi relatif asimtotik dari T n terhadap T n * didefinisikan sebagai are(T n , T n *)  lim n  

Var (T n *) Var (T n )

.

Barisan {T n * } dikatakan efisien secara asimtotik jika are (T n ,T n*)  1 untuk semua barisan estimator tak bias asimtotik {T n } untuk τ (θ ) dan semua θ  . Jika {T n* } adalah barisan estimator efisien secara asimtotik untuk τ (θ ) maka efisiensi asimtotik dari barisan estimator tak bias asimtotik {T n} untuk untuk τ (θ ) didefinisikan sebagai ae (T n )= are (T n,T n*). Di bawah kondisi tertentu, yang dinamakan kondisi reguler, estimator maksimum likelihood θn mempunyai sifat: ˆ

a. θn ada dan tunggal. ˆ

b. θn estimator konsisten untuk θ . ˆ

c. θn

mempunyai limit distribusi normal dengan mean θ

ˆ

1

  ln f ( X ,θ )   θ

2

dan variansi

.

nE 

d. θn efisien secara asimtotik. ˆ


144

BAB 7 Estimasi


Jika T adalah estimator untuk τ (θ ) maka sebarang fungsi bernilai real dinamakan loss function jika memenuhi L (t; θ)  0 untuk setiap t dan L (t; θ) =0 jika t= τ (θ ).

Risk function didefinisikan sebagai harga harapan dari loss, yakni R T (θ) =E [L (T; θ)].

Sebuah estimator T 1 dikatakan better estimator dari estimator T 2 jika dan hanya jika RT (θ )  RT (θ ) untuk semua θ   1

2

dan RT 1 (θ )  RT 2 (θ ) untuk paling sedikit satu nilai θ .

Sebuah estimator T dikatakan admissible jika tidak ada lagi better estimator.

Sebuah estimator T 1 disebut estimator minimax jika max{ RT 1 (θ ) : θ

 }  max{RT (θ ) : θ  }

untuk semua estimator T .

Untuk sampel acak dari f (x ,θ), Bayes risk dari sebuah estimator T relatif terhadap risk function R T (θ) dan fungsi densitas p (θ) adalah rata-rata risk terhadap p (θ), yakni AT

 E θ [ RT (θ )]   RT (θ ) p(θ )d θ . 

Untuk sampel acak dari f (x ,θ), Bayes estimator T* relatif terhadap risk function R T (θ) dan fungsi densitas p (θ) adalah estimator dengan minimum ekspektasi risk, yakni E θ [ RT * (θ )]  E θ [ RT (θ )]

untuk setiap estimator T .

145



BAB 7 Estimasi

Fungsi densitas bersyarat dari θ bila diberikan observasi sampel x =(x 1, …, x n) dinamakan posterior density dan diberikan oleh f θ | x (θ )



f ( x1 ,..., xn | θ ) p(θ )



f ( x1 ,..., xn | θ ) p(θ )d θ

.

Jika X 1, …, X n adalah sampel acak dari f (x |θ) maka Bayes estimator adalah estimator yang meminimumkan harga harapan loss relatif terhadap distribusi posterior dari θ|x, yakni E θ | x [ L (T ;θ )] .

Misalkan X= (X 1, X 2, …, X n) mempunyai densitas bersama f (x,θ), dimana θ merupakan vektor parameter. Statistik S= (S 1, S 2, …, S k ) merupakan statistik cukup gabungan untuk θ jika untuk sebarang vektor statistik T yang lain, distribusi bersyarat dari T diberikan S=s , dinotasikan dengan f T|s (t ), tidak tergantung θ. Dalam kasus dimensi satu S dinamakan statistik cukup untuk θ .

Suatu himpunan statistik dikatakan sebagai himpunan statistik cukup minimal jika anggota-anggotanya adalah statistik cukup gabungan untuk parameter dan jika statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistik cukup gabungan yang lain. Definisi 1.1 tidak bersifat operasional untuk menyelidiki bahwa suatu statistik merupakan statistik cukup. Karena sebarang statistik merupakan fungsi dari sampel X= (X 1, X 2, …, X n) maka untuk menyelidiki statistik cukup, cukup ditunjukan bahwa f X|s (x ), tidak tergantung θ .


146

BAB 7 Estimasi


Misalkan X 1, X 2, …, X n merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial X ~EXP(θ). Disini

 n    X i  1 , f ( x1 ,..., xn ;θ )  n exp  i 1  θ  θ     Akan ditunjukkan bahwa S 

xi

 0.

n

 X

adalah statistik cukup untuk θ. Karena S

i

i 1

berdistribusi gamma, S ~GAM(θ ,n ), dengan fungsi densitas f S ( s;θ )



1

θ

n

 ( n)

s

n 1

e

 s / θ

,

s

0

maka f X | s ( s )



(n) s n 1

tidak tergantung pada θ . Jadi S merupakan statistik cukup untuk θ .

Untuk menemukan suatu statistik cukup dapat digunakan teorema berikut.

Jika X 1, X 2, …, X n , mempunyai densitas bersama f (x,θ) maka S= (S 1, S 2, …, S k ) merupakan statistik cukup gabungan untuk θ jika dan hanya jika f ( x1 ,..., xn ;θ )



g ( s;θ ) h ( x1 ,..., xn )

dimana g (s ,θ) tidak tergantung pada x 1, …, x n, kecuali melalui s , dan h (x 1, …, x n ) tidak tergantung θ .

Misalkan X 1, X 2, …, X n merupakan sampel acak dari distribusi Bernoulli, X ~BIN(1,θ). Disini

147



BAB 7 Estimasi

n

f ( x1 ,..., xn ;θ )

dimana s 

n

 x

i

 x

n

n

i

 x

i

 θ (1  θ ) .  θ s (1  θ ) n  s  g ( s;θ )h( x1 ,..., xn ) i 1

dan h (x 1, …, x n )=1. Jadi S 

i 1

i 1

n

 X

i

merupakan statistik cukup

i 1

untuk θ .

Jika S 1, …, S k adalah statistik cukup gabungan untuk θ dan jika θ adalah satuˆ

satunya MLE untuk θ , maka θ merupakan fungsi dari S 1, …, S k. ˆ

Jika S adalah statistik cukup untuk θ maka sebarang Bayes estimator merupakan fungsi dari S .

Jika X 1, X 2, …, X n merupakan sampel acak dari sebarang distribusi kontinu dengan fungsi densitas bersama f (x,θ) maka order statistik membentuk statistik cukup gabungan untuk θ .

Misalkan X 1, X 2, …, X n mempunyai fungsi densitas bersama f (x,θ) dan S= (S 1, S 2, …, S k) merupakan statistik cukup gabungan untuk θ. Jika T adalah sebarang estimator tak bias untuk τ (θ) dan T *=E (T|S ) maka c. T * adalah estimator tak bias untuk τ (θ ), d. T * adalah fungsi dari S , dan e. Var (T *)  Var (T ) untuk setiap θ dan Var (T *) < Var (T ) untuk suatu θ jika tidak benar bahwa T *=T dengan probabilitas 1. Modul Statistika Matematika

148

BAB 7 Estimasi


Dalam kasus tertentu UMVUE untuk τ (θ) dapat ditemukan dengan menggunakan batas bawah Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB ).

Keluarga fungsi densitas {f T (t ,θ ); θ } dikatakan lengkap jika E [u (T )]=0 untuk semua θ  mengakibatkan u (T )=0 dengan probabilitas 1 untuk semua θ  .

Sebuah statistik cukup dari anggota keluarga yang lengkap dinamakan statistik cukup lengkap.

Misalkan X 1, X 2, …, X n mempunyai fungsi densitas bersama f (x,θ) dan S= (S 1, S 2, …,S k ) satatistik cukup gabungan untuk θ . Jika T *=T *(S 1, S 2, …,S k ) adalah statistik yang tak bias untuk τ (θ ) dan merupakan fungsi dari S , maka T * adalah UMVUE untuk τ (θ ).

Sebuah fungsi densitas dikatakan termasuk dalam anggota keluarga eksponensial reguler jika fungsi densitas tersebut dapat dituliskan dalam bentuk f ( x;θ )

 k   c(θ )h( x) exp  q j (θ )t j ( x) ,  j 1 

x  A

dan f (x ,θ)=0 untuk nilai x yang lain, dimana θ adalah vektor parameter berdimensi k , jika ruang parameter  berbentuk

={θ : a i  θ i  b i, i =1,…,k} dan jika f (x ,θ) memenuhi kondisi reguler 1, 2, dan 3a atau 3b, yaitu 1. Himpunan A= {x: f (x ,θ) >0} tidak tergantung θ. 2. Fungsi q j (θ ) tidak trivial, independen, dan kontinu. 3a. Untuk variabel acak kontinu fungsi turunan t j ’(x ) linear independen dan kontinu.

149



BAB 7 Estimasi

3b. Untuk variabel acak diskret fungsi t j (x ) tidak trivial pada A dan tak satupun yang merupakan fungsi linear dari yang lain.

Jika X 1, X 2, …, X n merupakan sampel acak dari anggota kelas eksponensial reguler maka satatistik-statistik S 1

n

n

i 1

i 1

  t 1 ( X i ),..., S k   t k ( X i )

adalah himpunan minimal dari statistik cukup lengkap untuk θ1 ,…,θk .

Misalkan X 1, …, X n mempunyai fungsi densitas f (x 1,…,x n; θ), θ   dimana  merupakan interval. Anggap L=L (X 1, …, X n)

dan U=U (X 1, …, X n )

merupakan statistik-statistik. Jika sebuah eksperimen menghasilkan data x 1, x 2, …, x n, maka nilai-nilai l (x 1, …, x n) dan u (x 1, …, x n) dapat dihitung.

Interval (l (x 1, …, x n),u (x 1, …, x n )) dinamakan interval konfidensi 100% untuk θ jika

P [L (X 1, …, X n) < θ < U (X 1, …, X n)]=  dimana 0 <  < 1. Nilai-nilai l (x 1, …, x n) dan u (x 1, …, x n) masing-masing dinamakan limit konfidensi bawah dan atas.

1. Jika P [L (X 1, …, X n) < θ ]=  maka l (x 1, …, x n ) dinamakan limit konfidensi 100% bawah satu sisi untuk θ .

2. Jika P [θ < U (X 1, …, X n )]=  Modul Statistika Matematika

150

BAB 7 Estimasi


maka u (x 1, …, x n) dinamakan limit konfidensi 100% atas satu sisi untuk θ.

Misalkan X 1, …, X n merupakan sampel acak dari distribusi normal X ~N(µ,σ2) dimana σ 2 dianggap diketahui. Karena Z  n ( X n  µ ) / σ ~ N (0,1) dan z  /2 = - z 1-  /2, maka 1α

 P[ z1α / 2 

n ( X n

 P[ X n  z1α / 2σ /

n

 µ ) / σ  z1α / 2 ]  µ  X n  z1α / 2σ /

n]

Sebagai akibatnya interval konfidensi 100(1-α)% untuk µ adalah ( xn  z1α / 2σ / n , xn  z1α / 2σ / n ) .

Sebagai contoh interval konfidensi 95% untuk µ adalah ( xn

 1.96σ /

n , xn

 1.96σ /

n) .

Jika Q=Q (X 1, …, X n; θ) adalah variabel acak yang hanya merupakan fungsi dari X 1, …, X n dan θ, maka Q dinamakan kuantitas pivot jika distribusinya tidak tergantung pada θ atau parameter yang lain.

Misalkan X 1, …, X n adalah sampel acak dari suatu distribusi dengan fungsi densitas f (x ;θ), θ  , dan anggap MLE θ ada, maka ˆ

e. Jika θ adalah parameter lokasi maka Q = θ - θ merupakan kuantitas pivot. ˆ

f. Jika θ adalah parameter skala, maka Q = θ / θ merupakan kuantitas pivot. ˆ

Misalkan X 1, …, X n adalah sampel acak dari suatu distribusi dengan parameter lokasi dan skala

151



BAB 7 Estimasi



f ( x;θ1 ,θ 2 )

1 θ2

 x  θ1   . θ  2 

f 0 

Jika MLE θ1 dan θ 2 ada maka (θ1  θ1 ) / θ 2 dan θ 2 / θ 2 adalah kuantitas pivot ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

untuk θ1 dan θ2 .

Misalkan X 1, …, X n

merupakan sampel acak dari distribusi normal

X ~N(µ,σ2) dimana µ dan σ2 tidak diketahui. Jika µ dan σ adalah MLE ˆ

ˆ

dari µ dan σ, maka ( µ  µ ) / σ dan σ / σ adalah kuantitas-kuantitas pivot ˆ

ˆ

ˆ

yang dapat digunakan untuk membentuk interval konfidensi. Jika S 2

 nσ 2 /(n  1) maka ˆ

µ

X n

S / n

~ t ( n  1)

dan ( n  1) S

2

σ

~ χ ( n  1) . 2

2

Karena 1α

 P[t 1α / 2 (n  1) 

X n

µ

 t 1α / 2 (n  1)]

S / n

 P[ X n  t 1α / 2 (n  1) S /

n

 µ  X n  t 1α / 2 (n  1) S /

n]

maka interval konfidensi 100(1- α)% untuk µ adalah ( xn

 t 1α / 2 (n  1)s /

n , xn

 t 1α / 2 (n  1)s /

n) .

Selanjutnya karena 1α

 P[ χα2 / 2 (n  1)  (n  1) S 2 / σ 2  χ12α / 2 (n  1)] (n  1) S 2 (n  1) S 2 2  P[ 2 σ  2 ] χ1α / 2 (n  1) χα / 2 (n  1)

maka interval konfidensi 100(1- α)% untuk σ 2 adalah (


(n  1) s

2

(n  1) s

2

, ). χ12α / 2 (n  1) χα2 / 2 (n  1)

152

BAB 7 Estimasi



merupakan sampel acak dari distribusi Bernoulli

X ~BIN(1,p ). MLE dari p adalah p  X n . Di sini tidak ada kuantitas pivot ˆ

untuk p . Akan tetapi dengan menggunakan CLT p  p ˆ

p(1  p) / n

d   N (0,1)

sehingga untuk n besar berlaku



1  α  P  z1α / 2





  z1α / 2  . 

p  p ˆ

p(1  p) / n

Aproksimasi interval konfidensi 100(1-α)% untuk p adalah (p 0,p 1) dimana p 0 adalah penyelesaian yang lebih kecil dari persamaan p  p0 ˆ

p0 (1  p0 ) / n

  z1α / 2 .

dan p 1 adalah penyelesaian yang lebih besar dari persamaan p  p1 ˆ

p1 (1  p1 ) / n

 z1α / 2 .

Dalam praktek interval konfidensi untuk p diperoleh dari hasil limit p  p ˆ

p(1  p) / n ˆ

d   N (0,1) .

ˆ

Untuk n besar berlaku



1  α  P  z1α / 2





p  p ˆ

p(1  p) / n ˆ

ˆ

  z1α / 2  . 

dan aproksimasi interval konfidensi 100(1-α)% untuk p adalah ( p  z1α / 2 p(1  p) / n , p  z1α / 2 p(1  p) / n ) . ˆ

153

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ



BAB 7 Estimasi

Jika tidak ada kuantitas pivot daerah (generalisasi dari interval) konfidensi masih dapat dikonstruksi bila ada statistik yang distribusinya hanya tergantung θ dan tidak tergantung parameter yang lain.

Misalkan X 1, …, X n mempunyai fungsi densitas bersama f (x 1, …, x n; θ) dan S=S (X 1, …, X n )~ g (s ,θ). Anggap untuk setiap nilai θ yang mungkin dapat ditemukan nilai-nilai h 1(θ) dan h 2(θ) sedemikian hingga Ph1 (θ )  S  h2 (θ )  1  α .

(4.1)

Jika S=s diobservasi, maka himpunan nilai-nilai θ  yang memenuhi h 1(θ) < s < h 2(θ) membentuk daerah konfidensi 100(1- α)% untuk θ .

Misalkan X 1, …, X n merupakan sampel acak dari sebuah distribusi kontinu dengan fungsi densitas

(1 / θ 2 ) exp[( x  θ ) / θ 2 ], f ( x;θ )   0,

x  θ x  θ

dimana θ > 0. Di sini tidak ada statistik cukup tunggal untuk θ , tetapi X 1:n n

dan

 X adalah statistik cukup gabungan untuk θ . Interval konfidensi 90% i

i 1

untuk θ dapat dikonstruksi berdasarkan statistik S = X 1:n . Fungsi distribusi dari S adalah

1  exp[n( s  θ ) / θ 2 ], G ( s; θ )   0,

θ x  θ s

Salah satu pilihan yang mungkin untuk h 1(θ) dan h 2(θ) yang memenuhi persamaan (4.1) adalah penyelesaian dari G (h 1(θ); θ )=0.05 dan G (h 2(θ);θ)=0.95, yakni Modul Statistika Matematika

154

BAB 7 Estimasi


h 1(θ)=θ - ln (0.95)θ2 / n dan h 2(θ)=θ - ln (0.05)θ2 / n.

Interval konfidensi (θL ,θU ) dinamakan interval konfidensi konservatif 100(1α)% untuk θ jika interval acak yang terkait memuat nilai θ yang benar

dengan probabilitas paling sedikit 1-α. Untuk n besar berlaku



1  α  P  z1α / 2





p  p ˆ

p(1  p) / n ˆ

ˆ

  z1α / 2  . 

dan aproksimasi interval konfidensi 100(1-α)% untuk p adalah ( p  z1α / 2 p(1  p) / n , p  z1α / 2 p(1  p) / n ) . ˆ

ˆ

ˆ

Misalkan X 1, …, X n1

ˆ

ˆ

ˆ

merupakan sampel acak berukuran n 1 dari

X~N(µ1, σ21) dan Y 1, …, Y n2 merupakan sampel acak berukuran n 2 dari Y~N(µ2, σ22). Anggap kedua sampel tersebut saling independen. Misalkan 2 2 X n , Y n , S 1 , dan S 2 merupakan sampel mean dan sampel varians.

Jika σ21 dan σ22 diketahui, maka interval konfidensi untuk selisih mean µ 2-µ1 dapat ditentukan sebagai berikut. Karena Y n

 X n

~ N ( µ 2

 µ1 , σ 12 / n1  σ 22 / n2 )

maka Z 

Y n

 X n  ( µ2  µ1 ) σ 12 / n1  σ 22 / n2

~ N (0,1).

Dengan menggunakan persamaan

155



BAB 7 Estimasi

P[  z1α / 2

 Z  z1α / 2 ]  1  α

interval konfidensi 100(1- α)% untuk µ 2-µ1 dapat dibentuk, yakni ( yn

 xn  z1α / 2 σ 12 / n1  σ 212 / n2 , yn  xn  z1α / 2 σ 12 / n1  σ 212 / n2 ) .

Jika σ21 dan σ22 tidak diketahui dan σ21 = σ22 = σ21, maka interval konfidensi untuk selisih mean µ2-µ1 dapat ditentukan dengan menggunakan fakta bahwa T 

 X n  ( µ2  µ1 ) S P 1 / n1  1 / n2

Y n

~ t (n1  n2

 2)

dimana 2 P

S



(n1  1) S 12

 (n2  1) S 22 . n1  n2  2

Jika σ 21 dan σ 22 tidak diketahui tetapi n 1 dan n 2 keduanya besar maka aproksimasi interval konfidensi untuk selisih mean µ2-µ1 dapat dikonstruksi menggunakan fakta bahwa Y n

 X n  ( µ2  µ1 ) d   Z ~ N (0,1) . 2 2 S 1 / n1  S 2 / n2

Interval konfidensi untuk σ22 / σ21 dapat dikonstruksi dengan menggunakan distribusi F , yakni dengan menggunakan fakta bahwa 2

2

2

2

S 1 σ 2 S 2 σ 1

~ F (n1  1, n2

 1)

Jika ν1=n 1-1 dan ν2=n 2-1 dan f α(ν1,ν2) menyatakan persentil ke α dari F maka 2

P[ f α / 2 (ν 1 ,ν 2 ) 

2

S 1 σ 2

S 22σ 12



f 1α / 2 (ν 1 ,ν 2 )]  1  α

sehingga interval konfidensi 100(1-α)% untuk σ 22 / σ21 adalah


156

BAB 7 Estimasi


 s22 s22  2 f α / 2 (ν 1,ν 2 ), 2 s1  s1



f 1α / 2 (ν 1 ,ν 2 )  .



Misalkan (X 1,Y 1), …, (X n ,Y n ) merupakan pasangan sampel acak dengan D i=Y i-X i, i =1,…,n berdistribusi normal dengan mean µ D = µ2- µ2 dan variansi σ2D =σ21+σ22 -2σ12 atau

D i~N( µ2- µ2,σ2D ). Misalkan n

Dn



 D

i

i 1

n

 Y n  X n

dan 2

 n  n D    Di   i 1  .  i 1 n(n  1) n

2 i

S D2

Maka T 

Dn

 ( µ2  µ1 ) S D / n

~ t (n  1) .

Interval konfidensi 100(1-α)% untuk µ2-µ1 adalah (d n

 t 1α / 2 (n  1)s D /

n , d n

 t 1α / 2 (n  1)s D /

n) .

Misalkan X 1, …, X n merupakan sampel acak dari suatu distribusi dengan fungsi densitas f (x; θ). Misalkan p (θ) merupakan fungsi densitas prior dari θ dan disini f (x;θ) diinterpretasikan sebagai fungsi densitas bersyarat f (x|θ).

Jika f θ|x (θ) adalah fungsi densitas posterior, maka interval konfidensi Bayes 100(1-α)% diberikan oleh (θL ,θU ) dimana θ L dan θ U memenuhi

157



BAB 7 Estimasi

θ U

 f

θ | x

(θ ) d θ

 1 α .

θ L


merupakan sampel acak dari distribusi Poisson

X ~POI(θ) dan anggap θ

berdistribusi gamma θ ~GAM(θ ,κ). Dapat

ditunjukkan bahwa distribusi posterior θ x : θ | x ~ GAM ((n  1 / β ) 1 ,

n

 x κ) i

i 1

dan 2θ x (n  1 / β )

1

 2((n  1 / β )θ x

n

2

~ χ ( 2(

 x  κ )) i

i 1

sehingga P[ χα2 / 2 (ν )

dimana ν  2(

 2( n  1 / β )θ x  χ12α / 2 (ν )]  1  α

n

 x  κ ) . Jadi interval konfidensi Bayes 100(1-α)% diberikan i

i 1

oleh (θL ,θU ) dimana θ L  χα2 / 2 (ν ) / 2( n  1 / β ) dan θU  χ12α / 2 (ν ) / 2( n  1 / β ) .


158

Modul Statmat 2017

Recommend Documents