RANGKUMAN MATEMATIKA MATEMATIKA DISKRIT TEORI GRAF
Oleh: Boby Engga Putra Damara A!"#$%##&'
Do(en : Pro)* Dr* +ahyu +,-a-a. M* P-*
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA /URUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN I0MU PENGETA1UAN A0AM FAKU0TAS KEGURUAN DAN I0MU PENDIDIKAN UNI2ERSITAS BENGKU0U !#$3
MODU0 TEORI GRAF
Referensi : 1.
Gary Gary Chartr Chartrand and,, Ortrud Ortrud R. Oeller Oellerman mann, n, (1993) (1993),, Applied and algorithmic Graph Theory, Theory, McGRAW Mc GRAW!"##. !"##.
$. Reinhard Reinhard %iestel ($&&&), ($&&&), Gra'h Gra'h hery: hery: Graduste Graduste e*ts e*ts "n Mathematics, Mathematics, +'riner +'riner.. 3. Wataru Mayeda (19-$), (19-$), Gra'h Gra'h hery, hery, W"#/"0R W"#/"0R+C"0 +C"0C. C. . +um2 +um2er er lain lainny nya. a.
Pen-ahuluan
ada tahun 1435, #enhard uler mem2u6ti6an 2ah7a 'er8alanan di 6ta nis2er denan denan syarat syarat melalu melaluii setia' setia' 8em2at 8em2atan an te'at te'at satu 6ali, 6ali, tida6 tida6 da'at da'at dila6sa dila6sana6 na6an. an. %alam %alam 'em2u6tiannya uler menyederhana6an situasi 8em2atan nis2er itu men8adi suatu diaram se'erti 'ada Gam2ar 1.
Gam2ar 1
er6at 'e6er8aan uler yan diilhami melalui 'ersalan 8em2atan nis2er itu, ma6a muncullah suatu ca2an Matemati6a Matemati6a yan cu6u' 'entin, 'entin, yan di6enal denan nama eri Gra'h (Gra'h hery). ery Gra'h sudah 2anya6 2er6em2an dan memili6i sei tera'an di 2anya6 2idan ilmu, misalnya di 2idan ;isi6a, imia, "lmu muni6asi, Re6ayasa listri6, Geneti6a, dan lainlain. eri Gra'h 8ua erat 6aitannya denan 2e2era'a ca2an Matemati6a, antara lain < ter tery y Matri Matri6s 6s,, Anal Analisa isa 0ume 0umeri ri6, 6, eri eri emu emun n6i 6ina nan, n, 'l 'l ii dan dan m2 m2in inat atri rial. al. +ementara dalam 6enyataan, 'enetahuan 6ita tentan eri eri Gra'h masih sanat 6uran. +alah satu 'ersalan dalam eri Gra'h adalah menhitun 2anya6nya Gra'h yan tida6 ismr'hi6, yan dise2ut Enumerasi dise2ut Enumerasi ( numeratin). numeratin). husus untu6 untu6 raf 'hn da'at dila6u6an denan mena'li6asi6an Teorema Cayle.
ersalan lain adalah menhitun 2anya6nya pohon perentang dari ra'h len6a' ' dan pohon perentang (s'aninnin tree) dari se2aran ra'h terhu2un sederhana. hn 'erentan dari ra'h len6a' ' ternyata ada 6aitannya denan 'hn 2erla2el yan tida6 ismr'hi6. arena itu 2anya6nya 'hn 'erentan dari suatu ra'h len6a' ' da'at dihitun denan erema Cayley, sedan 'hn 'erentan dari ra'h tehu2un sederhana da'at dihitun denan Teorema Matriks Pohon (Matri*ree herem). enertian dan sifatsifat dasar yan sederhana dari suatu ra'h, 2eri6ut terema, dan 'enertian tentan dera8at, ismr'hi6, su2ra'h, serta 2e2era'a ra'h 6husus diurai6an 'ada 'em2ahasan 2eri6ut. Kon(e4 Da(ar Gra)
%efinisi raf dan unsur=unsur dari raf a6an disusun denan menuna6an 2ahasa him'unan. arena itu se2elum sam'ai 'ada definisi a6an di8elas6an syarat dari suatu him'unan. %alam 'enertian him'unan disyarat6an 2ah7a setia' elemennya hanya muncul satu 6ali sa8a. De),n,(, $
Graf G adalah 'asanan (V (G) , X (G)) , dimana V (G) adalah him'unan 2erhina, yan elemenelemennya dise2ut titi6 (erte!), dan X (G) adalah him'unan 'asanan'asanan ta6 2erurut dari elemenelemen V (G) yan 2er2eda, yan dise2ut sisi (edge). erdasar6an definisi ini, V (G) dise2ut him'unan titi6 dan X (G) dise2ut him'unan sisi. >ntu6 le2ih memahami %efinisi 1 di2eri6an cnth se'erti 2eri6ut. Misal6an di2eri6an V(G" # ?u, ,$ , % @ dan X (G) terdiri dari 'asanan'asanan(u,) , (,$) , (u,$) , dan ($,% ), atau X (G) # ?(u,),(,$) , (u,$) , ($,% )@. Ma6a am2ar raf dari G se'erti 'ada Gam2ar 1. u
G' %
$
Gam2ar 1
elah di definisi6an 2ah7a raf terdiri dari him'unan titi6 V(G" dan him'unan sisi X (G". Masinmasin 'asanan X (u,) dalam X(G" adalah rusu6 dari G. anya6nya titi6 sim'ul dari G dinyata6an dena p , dan 2anya6nya rusu6 dari G dinyata6an denan &.
+uatu raf G denan p titi6 sim'ul, dise2ut raf 2erla2el rde ', 2ilamana masin masin titi6nya mem'unyai nama yan 2erlainan, 6ata6anlah
atau di2eri
satu 2ilanan 2ulat 'sitif yan 2er2eda dari him'unan ?1,$,3, B , p@. >ntu6 mem'erlancar uraian tentan raf, hu2unan antara dua titi6, antara dua sisi, dan antara titi6 dan sim'ul di2eri nama tertentu. !u2unanhu2unan itu didefinisi6an se2aai 2eri6ut . De),n,(, !
Misal6an G adalah suatu raf. iti6 , i V (G) dan sisi !
X (G).
i6a ! # i , ma6a di6ata6an 2ah7a : 1.
iti6 i 2ertetana(adacent ) denan titi6 .
$.
sisi ! ter6ait(incident ) denan titi6l i . %emi6ian 'ula untu6 titi6 .
Misal6an !) , !*, dan !+ adalah rusu6 dari suatu raf G dan adalah titi6 sim'ulnya. i6a !) , !* , dan !+ ter6ait denan sim'ul , ma6a rusu6 !), !*, dan !+ di6ata6an 2ertetana. )
!)
!* !
*
!+
+ Gam2ar $
+im'ul ) , *, dan + adalah sim'ul yan 2ertetana. +edan6an ) dan adalah sim'ul yan tida6 2ertetana. Rusu6rusu6 yan 2ertetana adalah rusu6 !+ , !* , dan !, dan ter6ait denan sim'ul +. De),n,(, &
%ua raf ! (D(!),E(!)) dan G (D(G),E(G)). Graf ! dise2ut su2raf dari G, 8i6 D(G) D(G) dan E(!)
E(G). i6a D(!) D(G), ma6a ! di6ata6an su2raf 'erentan dari G.
>ntu6 le2ih memahami definisi F di2eri6an Gam2ar 3. Graf G) dan G* adalah su2raf dari G. G
G) '
Gam2ar 3
G*'
-ugra/ maksimal ! dari raf G adalah su2raf yan memenuhi untu6 setia' sisi e (!) dan D(!) 2erla6u e ter6ait denan di ! 8i6a hanya 8i6a e ter6ait denan di G. +u2raf Ge adalah su2raf ma6simal denan him'unan titi6 D(G) dan him'unan sisi (G) ?e@. +edan6an su2raf G adalah su2raf ma6simal dari G denan him'unan titi6 D(G) ?@ dan him'unan sisi (G)?u: u D(G)@. >ntu6 sem2aran him'unan titi6 sim'ul +, + D(G), su2raf terindu6si G + adalah su2raf ma6simal dari G denan him'unan titi6 +. arena itu dua titi6 2ertetana 'ada G+ 8ia hanya 8i6a 6edua titi6 terse2ut 2ertetana di G. Cnth su2raf terindu6si dari G 'ada Gam2ar 3 adalah G 1. 0alan (7al6) 'ada suatu raf adalah 2arisan titi6 sim'ul dan rusu6: 1, e1, $, e$, ..., e n 1
, n yan dimulai denan suatu titi6 sim'ul dan dia6hiri leh suatu titi6 sim'ul 'ula denan
setia' rusu6 ter6ait denan titi6 yan ada di 6iri dan 6anannya. Dera5at
%alam suatu raf terda'at 2anya6 'arameter yan 2erhu2unan denan se2uah raf G. Menetahui nilainilai dari 'arameter'arameter terse2ut da'at mem2eri6an infrmasi menenai raf G. De),n,(, &*
%era8at suatu sim'ul i dalam raf G, dilam2an6an 1 d ( i)2, adalah 2anya6nya rusu6 ! X (G) yan ter6ait denan sim'ul i. +im'ul suatu raf yan 2erdera8at nl dise2ut sim'ul terasin dan raf yan hanya terdiri dari satu sim'ul dise2ut raf triial. +edan sim'ul yan dera8atnya satu dise2ut sim'ul terminal. Graf 'ada Gam2ar 1, memili6i satu sim'ul yan 2erdera8at satu yaitu sim'ul %, dan satu sim'ul yan 2erdera8at tia yaitu sim'ul $, serta dua sim'ul 2erdera8at dua yaitu sim'ul u dan . Teorema $
umlah dera8at sim'ul dalam suatu raf G adalah dua 6ali 2anya6nya rusu6 atau
Bu6t,* Misal6an raf G terdiri satu rusu6, 2erarti G memili6i dua sim'ul yan masin
masin 2erdera8at satu, sehina 8umlah dera8at sim'ul dalam G adalah dua. arena setia' rusu6 menhu2un6an dua sim'ul, ma6a 2anya6nya rusu6 a6an menam2ah 8umlah dera8at
sim'ul dalam G adalah dua. "ni 2erarti 8umlah dera8at sim'ul dalam G adalah dua 6ali 8umlah rusu6. i6a semua titi6 dari raf G mem'unyai dera8at yan sama ma6a G dise2ut gra/ reguler . Graf 2eri6ut adalah raf reuler 2erre 3.
I(omor),6* %ua raf (V(G) ",X(G) ") dan (V(G* ",X(G* "). +uatu 'emetaan satusatu
dari V(G) "
6e dalam V(G* " di6ata6an isomorphisme dari (V(G) ",X(G) ") 6edalam (V(G* ",X(G* "), 8i6a
untu6 masinmasin 'asanan ( , i )
V(G)), ( , i ) X(G)) , ma6a
%ua raf G1 dan G$ di6ata6an isomorphik , 8i6a ada isomorphisme antara G1 dan G$. Cnth V
1
V *
V +
u4
u)
raf isomorphik di2eri6an 'ada Gam2ar .
G$:
G1:
u5
u*
V
V 4
V 5
u+
u
Gam2ar
%ari Gam2ar , G 1 dan G$ di6ata6an isomorphik 6arena :
Kom4lemen*
Graf 3 dise2ut komplement dari raf G 2ila V ( 3 )#V (G) dan u
E ( 3 ) 8i6a dan hanya 8i6a u
E (G). m'lemen dari raf G dintasi6an denan G . "ontoh* erhati6an raf G denan titi6 2eri6ut denan 6m'lemennya
G:
G:
Gam2ar F i6a 'ada suatu raf terda'at dua titi6 yan tida6 dihu2un6an leh suatu titi6, ma6a raf terse2ut dise2ut raf ta6 terhu2un. A6i2atnya raf terse2ut memuat su2raf yan ter'isah6an satu sama lain. +u2raf terhuung maksimal 'ada raf G dise2ut komponen. +e2aai cnth da'at dilihat 'ada am2ar Fa 2eri6ut.
G:
Gam2ar Fa Graf G 'ada am2ar Fa mem'unyai dua 6m'nen. %a'at di'eri6sa 2ah7a su2raf si6lus denan tia titi6 sim'ul C 3 2u6an 6m'nen dari G di atas.
O4era(, Dalam Gra)
erda'at 2e2era'a cara untu6 mem'erleh raf 2aru denan mela6u6an suatu 'erasi terhada' dua raf. O'erasi terse2ut adalah a2unan, tam2ah dan 'er6alian. Gra) Gabungan. 5umlah -an 4er6al,an
Misal6an di2eri6an dua raf yan salin le'as G dan !. Gra/ gaungan G! adalah raf 2aru denan him'unan titi6 D(G !) D(G)
D(!)
dan him'unan sisi (G !)
(G)(!). Gra/ umlah GH! adalah raf 2aru denan him'unan titi6 D(GH!) D(G)
D(!) dan him'unan sisi (GH!) (G) (!)?u: uD(G), D(!)@ . +edan6an gra/ kali G*! adalah raf denan him'unan titi6 D(G*!) D(G)*D(!) yaitu setia' titi6 di G*! adalah 'asanan (u,), denan u
D(G) dan D(!). %ua titi6 (*,y) dan (s,r) 2ertetana di
G*! 8i6a *s dan yr (!) atau yr dan *s (G). "ontoh* %i2eri6an raf $ dan 3 2eri6ut.
$: Graf a2unan adalah $3 :
3
Graf 8umlah adalah
$H3 :
Gra) 6al, $*3 adalah
(u,1)
(u,$)
(,1)
(,$)
(u,3)
(,3)
Bebera4a /en,( Gra)
ada su22a2 ini a6an di2ahas 2e2era'a 8enis raf, diantaranya adalah raf lintasan, raf si6lus, raf 'hn, raf 2intan dan raf rda. Gra) 0,nta(an De)en,(, %
Graf lintasan denan n 6) titi6 adalah raf yan titi6titi6nya da'at diurut6an dalam suatu 2arisan u) ,u* ,...,un sedemi6ian sehina E ( P )#?u ,u i i7)' i # ),...,n8)@. Graf lintasan denan n titi6 di ntasi6an denan P n. Cnth raf lintasan di2eri6an 'ada am2ar $.F.
*
+
)
4
...
n Gam2ar $.F
Gra) S,6lu( De),n,(, 7
i6a P n '# ) ,* ,...,n adalah suatu raf lintasan 2errde n dan n 6 +, ma6a raf C n '# P n 7 ?) ,*@ dise2ut si6lus 2errde n. an8an P n adalah n8), yaitu 2anya6nya sisi 'ada P n dan 'an8an si6lus C n adalah n. Graf si6lus untu6 n titi6 dintasi6an denan C n . + 4 Cnth raf si6lus di2eri6an 'ada am2ar*$.5. ... ) n
Gam2ar $.5
an8an suatu lintasan adalah 2anya6nya sisi yan ada 'ada lintasan terse2ut. ada suatu raf yan memuat si6lus tentulah ada yan mem'unyai 'an8an ter2esar dan ada yan ter6ecil. an8an si6lus ter6ecil dise2ut irt dan dinyata6an denan (G) dan 'an8an si6lus ter2esar dise2ut elilin (circumference) 'ada raf G dinyata6an denan c(G). G:
Gam2ar $.5a
Graf 'ada am2ar $.5a mem'unyai (G) 3 dan c(G) 4. ada suatu raf terhu2un setia' dua titi6 sim'ulnya dihu2un6an leh 'alin sedi6it dua lintasan. arena itu lintsanlintasan terse2ut ada yan 'ende6 dan ada yan 'an8an. an8an lintasan ter'ende6 yan menhu2un6an dua titi6 menun8u66an 8ara6 6edua titi6 terse2ut dan dinyata6an leh d(u,). #e2ih 8elasnya di2eri6an definisi 2eri6ut. De),n,(, 3
ara6 antara dua titi6 u, 'ada suatu raf G ditulis d(u,) denan d(u,) & 8i6a u< d(u,) 6, 8i6a u dan 6 adalah 'an8an lintasan ter'ende6 yan menhu2un6an u dan . i6a tida6 ada lintasan yan menhu2un6an titi6 u, , ma6a d(u,)
.
Gra) Pohon
Graf 'hn 2anya6 ditera'6an untu6 2er2aai 6e'erluan diantaranya adalah se2aai stru6tur ranisasi suatu 'erusahaan, silsilah suatu 6eluara, s6ema sistem uur suatu 'ertandinan, dan i6atan 6imia suatu mle6ul adalah 8enis raf yan terln se2aai 'hn. 0amun se2elum se2elum memahamai definisi raf 'hn, terle2ih dahulu disa8i6an defenisi terhu2un. De)en,(, 8
Graf G di6ata6an terhuung 8i6a untu6 setia' dua titi6 u dan 'ada raf terse2ut terda'at suatu lintasan yan memuat u dan . Cnth defenisi 4 di2eri6an 'ada am2ar $.-.
Gam2ar $.De),n,(, $#
Misal6an T adalah raf terhu2un. i6a T tida6 memili6i si6lus, ma6a T dise2ut raf 'hn. Cnth se2uah raf 'hn T di2eri6an 'ada Gam2ar $.-a.
Gam2ar $.-a
Graf ta6 terhu2un yan 6m'nen6m'nennya 'hn dise2ut hutan. %an raf yan hanya terdiri dari satu titi6 dise2ut 'hn triial. Teorema &
i6a G adalah raf yan memili6i ' titi6, ma6a 'ernyataan'ernyataan 2eri6ut adalah eIialen. a. G adalah 'hn. 2. G memili6i '1 sisi dan tida6 memili6i si6lus. c. G adalah raf terhu2un dan memili6i '1 sisi. d. +etia' dua titi6 sim'ul dari G dihu2un6an leh te'at satu lintasan. e. G tida6 memili6i si6lus, dan 8i6a 'ada G ditam2ah6an satu sisi * yan menait6an dua titi6 di G yan tida6 2ertetana, ma6a GH* memili6i satu si6lus. A6,bat $
i6a G adalah 'hn nntriial, ma6a G memili6i 'alin sedi6it dua titi6 2erdera8at satu A6,bat II
i6a G adalah hutan yan memili6i ' titi6 sim'ul dan 6 6m'nen, ma6a G memili6i '6 sisi. Gra) 0eng6a4 De),n,(, $$ D3
D
D3 Graf len6a' adalah suatu raf yan terdiri dari p titi6 sim'ul dan setia' titi6 sim'ulnya 3 2ertetana. Graf len6a' denan p titi6 dintasi6an denan 9 p,.
Cnth se2uah raf len6a' di2eri6an 'ada am2ar $.4.
D1
D$ Gam2ar $. 4
D1
D$
Gra) B,ntang De),n,(, $!
Graf 2intan denan n titi6 adalah raf 'hn yan mem'unyai satu titi6 2erdera8at dan titi6 lainnya 2erdera8at satu. Graf 2intan denan n titi6 dintasi6an denan
.
Cnth raf 2intan di 2eri6an 'ada Gam2ar $.9.
Gam2ar $. 9
%a'at dilihat 2ah7a 2intan dan lintasan adalah raf 'hn yan mudah di6enali 6arena memili6i ciriciri 6husus.
Gra) Ro-a De),n,(, $&
Graf rda dintasi6an denan : n adalah raf lin6aran C n ditam2ah satu sim'ul *, ya6ni : n # C n 7;!<, dimana sim'ul ! 2ertetana denan semua sim'ul 'ada raf lin6aran C n. Cnth raf rda di2eri6an 'ada Gam2ar $.1& W
Gam2ar $.1&
Graf G ipartit 8i6a V (G) da'at di'artisi 6edalam dua su2him'unan ta6 6sn V 1 dan V $, sedemi6ian sehina untu6 setia' sisi e#u E(G), 2erla6u u u
V 1 dan V $ atau
V 1 dan
V $ . Graf G di6ata6an raf ipartit lengkap, 8i6a E (G)?u' u V 1, V $ dan dintasi6an
9 n,m. eri6ut ini adalah raf len6a' denan F titi6 dan raf 2i'artit len6a' 9 +,4.
K
K
5
3,5
Teorema 9
Graf nntriial G adalah 2i'artit 8i6a hanya 8i6a G tida6 memuat si6lus denan 'an8an an8il Bu6t,*
Misal6an G tida6 memuat si6lus denan 'an8an an8il. Asumsi6an G terhu2un. Misal6an u adalah se2aran titi6 di G, dan > adalah him'unan yan memuat titi6titi6 denan 'an8an ena' dari u. Misal6an 'ula W adalah him'unan yan memuat titi6 denan 'an8an an8il dari u. %enan demi6ian ?>, W@ adalah 6le6si 'artisi dari D(G). Ana'lah 2ah7a u di >, 2erarti d(u,u)&.
>
1
$
F
3 >:
u
W:
1
$
-
3
5
5 F
-
ita 6laim 2ah7a setia' sisi dari G menait6an suatu titi6 di > dan suatu titi6 di W. Andai6an itu tida6 2enar. erarti terda'at satu sisi di G yan menait6an dua titi6 di > atau dua titi6 di W, se2ut itu u*
(G) denan 7,* W. arena d(u,7) dan d(u,*) duanya an8il,
ma6a da'at
ditulis d(u,7)$sH1 dan d(u,*) $rH1 untu6 suatu 2ilanan asli s, r. #a2eli titi6titi6 dari u 6e 7 dan dari u 6e * se2aai 2eri6ut. > &, 1, ..., $sH17 dan u*&, *1, ....., *$rH1*. %ua lintasan terse2ut tam2ah sisi 7* meme2entu6 si6lus C, denan C : u, 1, ......, $sH17, * *$rH1 , ......, *1, *&u. +i6lus C mem'unyai 'an8an $sH1 H $rH1 tam2ah satu sisi 7*. %enan 6ata lain 'an8an C adalah ($sH1)H($rH1)H1 $(sHrH1)H1. 0ilai $(sHrH1)H1 adalah an8il. adi G memili6i si6lus denan 'an8an an8il. !al ini 6ntradi6si denan G tida6 memuat si6lus an8il. adi, tida6 2enar 2ah7a terda'at sisi di G yan menait6an dua titi6 'ada 'artisi yan sama. %enan 6ata lain, setia' sisi dari G menait6an suatu titi6 di 'artisi yan satu dan suatu titi6 di 'artisi yan satunya. Menurut definisi G adalah 2i'artit.
Misal6an G nntriial dan 2i'artit. A6an ditun8u66an G tida6 memuat si6lus an8il. artisi him'unan D(G) 6e dalam dua su2him'unan se2ut > dan W sedemi6ian sehina setia' sisi di G menait6an suatu titi6 di > dan suatu titi6 di W. Misal6an e1u171, e$u$7$, e3u373, dan eu7. i6a titi6 terse2ut 2er2eda semua ma6a G tida6 memuat si6lus. i6a masih ada sisi lain misal e di G ma6a eui78, 1,81,$,3,, dan i 8, se2ut i$ dan 83. %alam hal ini, terda'at lintasan 3: 7$, u$, 73, u3 denan 'an8an 3. i6a lintasan ini terleta6 'ada suatu si6lus C, ma6a C(3)H?u3,7$@ denan 'an8an . +ituasi lain a6an selalu seru'a. arenanya da'at disim'ul6an 2ah7a G tida6 memuat si6lus an8il.
>:
u1
W:
u$
u3
71
7$
u
73
7
Pearnaan Gra)
e7arnaan raf terdiri dari dua macam yaitu 'e7arnaan titi6 dan 'e7arnaan sisi. De),n,(, $9
e7arnaan titi6 'ada raf G adalah 'em2erian 7arna 'ada him'unan titi6 D (G) denan aturan setia' titi6 di2eri hanya satu 7arna dan dua titi6 yan 2ertetana di2eri 7arna 2eda. Cnth 'e7arnaan titi6 'ada raf di2eri6an 'ada am2ar $.11. 3
$ 1
3
$
$
$
$
1 $ $
Gam2ar $.11
+uatu raf G di6ata6an er$arna8k 8i6a titi6titi6 'ada G da'at di7arnai denan k 7arna. ilanan asli ter6ecil k sedemi6ian sehina G 2er7arna k dise2ut ilangan kromatik dari G, dan dintasi6an denan (G). +e2aai illustrasi, raf 2i'artite yan terdiri dari n7m, yan dintasi6an =n,m, mem'unyai 2ilanan 6rmati6 $ atau
(
=n,m) $ dan 2ilanan 6rmati6
untu6 raf len6a' 9 m adalah m, (( 9 m)m). +aat ini, 'e7arnaan raf meru'a6an salah satu 2idan 6a8ian dalam teri raf yan 2anya6 menda'at 'erhatian, se8a6 rds dan +Je6eres (193F) mem'er6enal6an ilangan >amsey dua $arna dalam teori gra/ . +etelah itu, ariasi dan ti'e 'e7arnaan lain di6a8i le2ih
lan8ut leh tJi dan Rsa denan mem'er6enal6an grace/ul laelling denan istilah magic aluation. ada tahun 19-3, urr dan R2erts mem'er6enal6an 'e7arnaan n 7arna dalam 'enentuan 2ilanan Ramsey n 7arna. +elan8utnya, rla dan !asma7ati d66., mena'li6asi6an 'e7arnaan raf dalam 'enentuan 2ilanan Ramsey dua 7arna untu6 raf 2intan 6m2inasi raf rda. enera'an 'e7arnaan raf untu6 menyelesai6an masalah 'ada 2idan ilmu lain 8ua 2elum 2anya6 dila6u6an. as6r . . %an R. +iman8unta6 mena'li6asi6an 'e7arnaan raf se2aai stru6tur dasar 'em2anun s6ema 'em2aian rahasia ( secret sharing scheme (---"). +6ema dan sf7are +++ yan dihasil6an masih ter2atas 'ada stru6tur 'e7arnaan raf 2intan ( star ) . +elan8utnya +udarsana " W., d66 menem2an6an s6ema dan sft7are +++ terse2ut denan menuna6an stru6tur 'e7arnaan raf yan le2ih umum, yaitu a2unan 2intan ( star ) dan 2intan anda (doule star ). Teorema ;
Graf G mem'unyai 2ilanan 6rmati6 $ 8i6a hanya 8i6a G adalah tida6 6sn dan 2i'artit Bu6t,*
Misal6an
(G)$
atau 2anya6nya 7arna minimum yan diuna6an adalah dua, se2ut itu
7arna 1 dan 7arna dua. um'ul6an titi6titi6 2er7arna 1 denan nama him'unan > dan W adalah him'unan titi6 yan 2er7arna dua. Menurut definisi 'e7arnaan titi6 di 'artisi > 8i6a mem'unyai tetana, ma6a tetananya ada di W. erarti setia' sisi di G menait6an suatu titi6 di > dan suatu titi6 di W. adi G adalah raf 2i'artit. De),n,(, $;
e7arnaan sisi 'ada raf G adalah 'em2erian 7arna 'ada sisi 'ada suatu raf G, sedemi6ian sehina setia' dua sisi yan 2ertetana mem'unyai 7arna yan 2er2eda. Cnth 'e7arnaan sisi 'ada raf di2eri6an 'ada am2ar $.1$. $
1 $
1
3
$ 1 Gam2ar $.1$
Matr,6( Gra)
adan6adan 'enya8ian suatu matri6s da'at mem'ermudah seseran untu6 menanalisah suatu raf, a'a2ila analisa itu memerlu6an 'erhitunan. Matriks ketetanggaan (ad8acency matri*) dan matriks keterkaitan (incidence matri*) adalah istilah matri6s dalam
raf denan 2entu6 tertentu. Ada'un 2entu6 atau definisinya da'at dilihat 'ada 'enya8ian 2eri6ut. De),n,(,
%$Matri6s 6etetanaan A (a i8) dari suatu raf 2erla2el denan ' titi6 sim'ul, adalah matri6s 2eru6uran '*', denan ai8 1 8i6a i 2ertetana denan 8 dan ai8 & untu6 hal yan lain. Cnth. andan raf 'ada am2ar 2eri6ut. $
1
DF
D3
D
Matri6s 6etetanaan dari raf di atas adalah 1
$
3
F
D1 D$ D3 D DF
De),n,(, $7
Matri6s 6eter6aitan (2i8) dari suatu raf 2erla2el denan ' titi6 sim'ul dan I sisi, adalah matri6s 2eru6uran I*', denan 2 i8 1 8i6a e i ter6ait denan 8 dan 2i8 & untu6 hal yan lain. Cnth. andan raf 2eri6ut. D1
e1
$
e3
D3
e$
e
Matri6 6eter6aitan dari raf di atas adalah
D1
$
3
e1
1
1
&
&
e$
&
1
1
&
e3
1
&
1
&
e
&
&
1
1
Perentangan Dan Enumera(,
Misal6an raf G adalah raf terhu2un denan ' titi6 dan I sisi. ada G 6ita da'at melenya'6an satu sisi *, sehina G* masih teta' meru'a6an raf terhu2un. Graf G* dise2ut su2raf 'erentan. !al ini telah disinun 'ada 2e2era'a minu yan lalu. +elan8utnya, 8i6a G memuat si6lus dan 6emudian dila6u6an 'elenya'an satu sisi 'ada si6lus terse2ut dan seterusnya sehina su2raf yan tera6hir tida6 memuat lai si6lus, ma6a su2raf tera6hir terse2ut dise2ut 'hn 'erentan. i6a dila6u6an lai hal yan sama ya6ni menyelenya'6an 2e2era'a sisi lai dan 2er2eda denan yan se2elumnya a6an di'erleh lai 'hn 'erentan yan lain. i6a 'rses 'elenya'an sisisisi dila6u6an 2erulanulan a6an di'erleh 2e2era'a 'hn 'erentan dari G. anya6nya 'hn 'erentan yan di'erleh da'at dihitun denan menuna6an terema matri6s 'hn. +e2elum menya8i6an terema matri6s 'hn terle2ih dahulu disa8i6an dua terema 2erturutturut se2aai 2eri6ut. Teorema %
Misal6an G adalah raf 2erla2el denan matri6s 6eter6aitan . Matri6s adalah matri6s yan di'erleh dari denan menanti salah satu an6a 1 denan 1 'ada setia' 6lmnya. i6a G denan m titi6 sim'ul dan m rusu6, ma6a G memuat si6lus sehina det(m*m)&. Bu6t,
Misal6an K adalah suatu si6lus yan termuat di raf G. Ana'lah 2ah7a *1, *$, ...., *6 dan 1, $, ....., i denan i 6 adalah sisi dan titi6 'ada K. i6a G memili6i m titi6 dan m sisi, ma6a matri6s dari G da'at ditulis se2aai 2eri6ut. *
*(M)
&
(M)*(M)
m*m
Menurut #a'lace, determinan matri6s di atas adalah det(M*M) det(* ). det((M)*(M) ). i6a i6, ma6a
det(* )
1
&
& ...
1
1
1
& ...
&
&
1
1 ...
&
&.
&
&
1 ....
1
i6a i L 6, det(* ) 8ua 2ernilai nl, se2a2 semua elemen 2aris 6e6 adalah nl. %enan demi6ian det(M*M) &.
Teorema 7
+uatu raf G yan memili6i n mH1 titi6 sim'ul dan m sisi adalah suatu raf 'hn, 8i6a hanya 8i6a nilai det(M*M) adalah 1 atau 1. %alam setia' 6e8adian lain determinan ini 2ernilai nl. Teorema 3* Teorema Matr,6( Pohon
Misal6an G adalah raf 2erla2el terhu2un denan matri6s 6etetanaan A. Matri6s M adalah matri6s yan di'erleh dari =A denan menanti elemen dianal 6e = i denan dera8at i. Ma6a semua 6fa6tr dari matri6s M adalah sama dan nilainya sama denan 2anya6nya 'hn 'erentan dari G. Bu6t,*
1. ita a6an memulai 'em2u6tian ini denan mem2uat matri6s 2aru (ei8) dari G, ya6ni di'erleh dari matri6s 6eter6aitan denan menanti salah satu an6a 1 'ada setia' 6lmnya denan 1. Anta 2aris 6ei dan 6lm 6e8 dari adalah ei1e81Hei$e8$H...HeiIe8I, yan 8umlahnya sama denan dera8at i 8i6a i8. A'a2ila i 2ertetana denan 8 nilainya 1, dan & untu6 hal lainnya. A6i2atnya M. $. andanlah suatu su2matri6s dari yan memuat '1 6lm.su2matri6s 2errde '*('1) ini 2ersesuaian denan suatu su2ra'h 'erentan ! dari ra'h tersam2un G yan memili6i '1 rusu6. A'a2ila se2aran 2aris dari su2matri6s terse2ut di6eluar6an, 6ata6anlah 2aris 6e6, ma6a a6an di'erleh suatu matri6s 2u8ur san6ar ; yan 2errde ('1) * ('1). i6a su2ra'h 'erentan ! 2u6an 'hn, 2erarti ! memili6i 8alan lin6ar, se2a2 ! memili6i ' titi6 sim'ul dan '1 rusu6.menurut terema , det ; &. i6a su2ara'h 'erentan ! meru'a6an 'hn, ma6a menurut terema F, det ; 1. %enan demi6ian det ; sama denan det ; 1. >ntu6 memudah6an meni6uti 8alan 'i6iran di atas di2eri6an suatu cnth se2aai 2eri6ut: 'andanlah ra'h G 'ada 2eri6ut.
D1
E
D EF
E1
E3
G: D$
E$
D3
Gam2ar 3.1. * Matri6s 6eter6aitan dari G adalah
E1
*$
*3
*
*F
D1
1
&
&
1
1
D$
1
1
&
&
&
3
&
D
1
1
&
1
&
& 1
1 &
%an
3
1
1
1
1
$
1
&
1
1
3
1
1
&
1
$
i6a 6lm 6e$ dan 6lm 6e3 'ada matri6s dihilan6an, di'erleh suatu su2matri6s 1 yan memuat '1 6lm. arena ', ma6a su2matri6s 1 yan 2errde '*('1) adalah
1
1
1
1
1
&
&
&
&
1
&
1
&
+u2raf 1 2ersesuaian denan satu su2raf 'erentan dari G. +e6aran 6ita a6an mem2entu6 matri6s 2u8ursan6ar ; denan menhilan6an salah satu 2aris 1, 6ata6anlah 2aris 6e$. entu6 matri6s ; adalah 1 ;
1
1
&
1
& &
1
&
ada matri6s ; da'at dilihat 2ah7a ;1. arena ;1, ma6a su2raf 'erentan dari G yan 2ersesuaian denan 1 meru'a6an 'hn. entu6 su2raf 'hnnya da'at dilihat se'erti 2eri6t. 1
*1
*
*F
!: $
3
+u2raf 'erentan ! di'erleh denan menhilan6an sisi *$ dan *3 'ada raf G. !al ini 2ersesuaian denan menhilan6an 6lm 6e $ dan 6lm 6e3 matri6s . 3. em2u6tian tera6hir terema matri6s 'hn adalah menuna6an terema inet = Cauchy tentan hu6um determinan matri6s. erema 2inetcauchy menata6an 2ah7a Ni6a A dan adalah dua matri6s yan 2errde n*n, dan 8i6a 6 n, ma6a det (A *0 0* )
det A*. %et "* P. %enan 1, $, 3 .
..,6.
i6a 6m, ma6a determinan 'ada terema ini adalah determinan 'er6alian dua matri6s 2u8ursan6ar. +uatu ra'h tersam2un denan titi6 sim'ul D 1, D$, . . . , D 3, . . . , D m, dan rusu6 E 1, E$, . . . , En < m n . sehina matri6s dari ra'h terse2ut adalah 2errde m*n. %ari matri6s M*0 , 6ita mem2uat su2matri6s 1 yan 2errde m * (m1) . 8i6a salah satu 2aris dari 1 dilenya'6an di'erleh matri6s 2u8ursan6ar ; yan 2errde * (m1) . untu6 terema inet Cauchy: A*" ;, sedan6an "* ; . denan meninat 2ah7a 'enhilanan salah satu 2aris dan 6lm 'ada matri6s M adalah 2ersesuaian denan ;; . 2erarti se2aran 6fa6tr dari M sama denan det ;; . menurut inetCauchy: det(;; ) det ; . det ; . hal ini menun8u66an 2ah7a 8umlah 'er6alian dari semua determinan utama ; dan ; sama denan nilai 6fa6tr elemen utama dari M sedan ; 2ersesuaian denan 'hn 'erentan dari G,
8i6a det ; 1 . adi ter2u6ti 2ah7a 2anya6nya 'hn 'erentan dari G sama denan nilai se2aran 6fa6tr dari M. ada am2ar 3.1 . Matri6s M dari ra'h terse2ut adalah
M
. . . . . . . . . . . ()
fa6tr dari elemen $, 3, 'ada matri6s M adalah
4 . adi 2aya6nya 'hn 'erenrentan dari ra'h G 'ada
Gam2ar 3.1 adalah 4 6edela'an 'hn 'erentan terse2ut da'at dilihat 'ada am2ar 2eri6ut ini.
Enumerasi raf adalah menhitun 2anya6nya raf 2erla2el yan tida6 ismrfi6. nse' enumerasi ini 'entin 6arena 2anya6 masalah nyata da'at diselesai6an melalui 6nse' ini. Misalnya< 2era'a 2anya6 mle6ul 6imia yan rumusnya C 4!14Q era'a 2anya6 rencana arsite6tur lantai edun yan memenuhi sifatsifat tertentuQ %an lainlain. Cnth enumerasi atau menhitun 2anya6nya raf 2erla2el yan tida6 ismrfi6 untu6 raf dean tia titi6 sim'ul da'at dilihat se2aai 2eri6ut.
1
3
1
$
1
1
3
3
$
$
3
$ 3
1
$ 3
$
1
1
3
1
$
3
$
Menhitun 2anya6nya raf sederhana 2erla2el denan n titi6 da'at dila6u6an ya6ni menuna6an 6nse67ensi ?ema 0aatan Tangan . anya6nya sisi yan mun6in adalah n(n1)$ dan setia' sisi ada atau tida6 ada menata6an ada $ 6emun6inan. adi 2anya6nya raf sederhana 2erla2el yan tida6 ismrfi6 adalah $ n(n1)$ . +edan6an 2anya6nya raf ta6 2erla2el yan tida6 ismrfi6 le2ih 6ecil 6arena la2elnya tida6 2er'enaruhlai. Cnth, 2anya6nya raf sederhana ta6 2erla2el denan 3 titi6 sim'ul hanya ya6ni:
numerasi raf yan 2anya6 menda'at 'erhatian adalah enumerasi raf 'hn. %alam hal ini, menhitun 2anya6nya 'hn 2erla2el denan se8umlah titi6 tertentu. >ntu6 masalah ini, diuna6an erema Caylay. Menurut Caylay: 2anya6nya 'hn 2erla2el denan ' titi6 sim'ul adalah '('$).
To4,6 Ma6alah: B,langan Ram(ey B,langan Ram(ey
nse' a7al 2ilanan Ramsey adalah 6nse' 2ilanan Ramsey lasi6. Oleh 6arena itu 'ada a7al 'enya8ian ini dimulai denan 'enertian 2ilanan Ramsey 6lasi6 6emudian dilan8ut6an denan 'enertian 2ilanan Ramsey raf. B,langan Ram(ey Kla(,6
ada
tahun
193F,
rds
dan +Je6eres
men6a8i
teri
Ramsey
dan
6emudian
mena'li6asi6annya 6edalam teri raf. a8ian mere6a itu menhasil6an teri Ramsey 6lasi6. >ntu6 6asus dua 7arna teri terse2ut dinyata6an se2aai 2eri6ut. Teorema !*$ untuk setiap ilangan ulat n ) dan n* , terdapat ilangan ulat terkecil M @
sedemikian sehingga ika m 6 M @ , maka setiap pe$arnaan dua $arna pada sisi8sisi gra/ lengkap 9 m akan memuat sugra/ yang semua sisinya er$arna sama dan isomor/ik dengan 9 n) atau 9 n*. ilanan M& dise2ut 2ilanan Ramsey 6lasi6 dua 7arna yan selan8utnya dise2ut 2ilanan Ramsey 6lasi6, dan dintasi6an denan >(n) ,n* " 'enertian >(n) ,n* " da'at dinyata6an se2aai 2eri6ut. De),n,(, !*;*$*
%i2eri6an dua 2ilanan asli n ) dan n*, 2ilanan Ramsey 6lasi6 >(n) ,n* " adalah 2ilanan 2ulat ter6ecil m sedemi6ian sehina setia' 'e7arnaan 'ada semua sisi 9 m , 6ata6anlah merah dan 2iru, a6an memuat su2raf 2er7arna merah yan ismrfi6 denan 9 n) atau su2raf 2er7arna 2iru yan ismrfi6 denan 9 n*. e7arnaan dua 7arna, merah dan 2iru, 'ada semua sisi raf len6a' 9 m, yaitu su2raf 2er7arna merah dan su2raf 2er7arna 2iru. +alah satu dari su2raf terse2ut, 6ata6anlah su2raf 2er7arna merah, meru'a6an su2raf 'em2anun 9 m dan su2raf
2er7arna 2iru
adalah 6m'lemen dari su2raf 'em2anun terse2ut. rds dan +Je6eres (193F) mem2u6ti6an e6sistensi 2ilanan Ramsey 6lasi6 >(n) ,n* " denan menun8u6an 2atas atas dan 2atas 2a7ahnya. atas atas dan 2atas 2a7ah terse2ut, 2erturut turut, disa8i6an dalam dua terema 2eri6ut. Teorema !*! (atas atas). >ntu6 setia' 2ilanan asli n) dan n*, >(n) ,n* " senantiasa ada, dan
memenuhi >(n) ,n* "
.
Teorema !*& (atas 2a7ah). >(n) ,n* " S
untu6 n) S $ dan n$ S $.
B,langan Ram(ey Gra)
%rnan utama untu6 mem'erluas 6nse' 2ilanan Ramsey 6lasi6 men8adi 6nse' 2ilanan Ramsey raf (6m2inasi dua raf se2aran) adalah adanya hara'an 2ah7a 'ada a6hir 6a8ian 'enentuan 2ilanan Ramsey raf a6an di'erleh suatu metde dalam menentu6an 2ilanan Ramsey 6lasi6 >(n) ,n* " untu6 n) dan n* yan le2ih 2esar. %efinisi 2ilanan Ramsey raf adalah se2aai 2eri6ut. De),n,(, !*$
%i2eri6an se2aran dua raf G dan , 2ilanan Ramsey raf dua 7arna >(G," adalah 2ilanan asli ter6ecil m sedemi6ian sehina untu6 setia' 'e7arnaan denan dua 7arna 'ada semua sisi m 6ata6anlah merah dan 2iru ma6a m a6an selalu memuat su2raf merah yan ismrf denan G atau su2 raf 2iru yan ismrf denan !. ada dasarnya, 6nse' 2ilana Ramsey raf dua 7arna da'at di'erluas men8adi 6nse' 2ilanan Ramsey raf multi7arna.
De),n,(, !*!
%i2eri6an raf G1,G$,B.Gk , 2ilanan Ramsey raf multi7arna >(G), G$,BGk" adalah 2ilanan asli ter6ecil m sedemi6ian sehina untu6 setia' 'e7arnaan k 7arna 'ada semua sisi 9 m a6an memuat su2raf Gi untu6 suatu i yan semua sisinya 2er7arna sama. ada 'enulisan selan8utnya, 2ilanan Ramsey raf dua 7arna hanya ditulis 2ilanan Ramsey. anya6 'eneliti men6a8i 2ilanan Ramsey, diantaranya adalah Chaatal dan !arary (19-$). +alah satu hasil fundamental dari mere6a adalah 2atas 2a7ah 2ilanan Ramsey >(G,". se2elum menya8i6an terema 2atas 2a7ah 2ilanan dari Chaatal dan !araryy, terle2ih dahulu disa8i6an definisi tentan raf 6ritis ( good8gra/ ). De),n,(, !*&
+uatu raf len6a' denan n titi6 (9 n " dise2ut raf 6ritis untu6 G dan 8i6a terda'at 'e7arnaan 'ada semua sisisisi 9 n 6ata6an merah atau 2iru, sedemi6ian sehina 9 n tida6 memuat su2 raf merah yan ismrf denan G dan tida6 memuat su2raf 2iru yan ismrf denan !. Teorema !*9 "ha
Misalkan
(" adalah ilangan kromatik gra/ dan C(G" adalah anyaknya titik pada
komponen teresar gra/ G. Maka R(G,!) S ( (" 1)(C(G) = 1) H 1
Bu6t,* 'andan raf ;
. Graf ; tida6 memuat raf terhu2un yan
≔
2errde 'alin sedi6it C(G). denan demi6ian, ; tida6 memuat raf denan rde C(G). 6arenanya ; tida6 memuat G. definisi6an s 2ah7a
da'at di'eri6sa
adalah raf multi'artit s. 8elas s terdiri dari
memuat raf denan 2ilanan 6rmati6 di'erleh >(G," S
'artisi, sehina tida6
(". denan demi6ian
tida6 memuat !. 8adi,
H 1 ( (" 1)(C(G) = 1) H 1).
erdasar6an 2atas 2a7ah Chatal dan !arary ini di'erleh:
atas 2a7ah untu6 > ( - n ,: m ) dimana n
atas 2a7ah untu6 >(T n, 9 m) dimana n dan m sem2aran adalah (m1)(n =1)H1
3 dan m an8il adalah 3n = $
e2era'a 2ilanan Ramsey yan telah dihasil6an antara lain: +. A. urr d66. dalam T$ mem2u6ti6an 2ah7a km7l n = min(mi,n) 1 G
=
k , A
=
l ,
>(mG,n )
km7ln 8min(mi,n)7C , dimana
i a &(G) dan a &( ). %alam T1, . . as6r d66. mem2u6ti6an 2ah7a
8i6a n 3, ma6a >(- n ,: F) 3n$. Chen d66. T3, menun8u66an 2ah7a 8i6a n m1 $ dan m an8il ma6a >(- n ,: m) 3n$. %alam T5, !asma7ati mem'erleh >(- n ,: m) m7n$ untu6 n an8il dan m ena', >(- n ,: m) m7n1 untu6 yan lainnya. Ma6alah ini a6an mem2ahas menenai 2ilanan Ramsey untu6 6m2inasi k8copy raf 2intan denan raf rda dan 6m2inasi k8copy raf 'hn denan raf len6a'. eri6ut ini adalah 2e2era'a hasil yan a6an diuna6an dalam 'em2u6tian'em2u6tian terema. Teorema !*!* (!asma7ati T-). i6a n 3 dan m an8il m $n1, ma6a >(- n ,: m) 3n$. Teorema !*& (D. Chatal T). >(T n ,9 m) (n1)(m1) H1, untu6 se2aran 2ilanan asli n dan
m. eri6ut ini disa8i6an dua hasil yaitu 2ilanan Ramsey >(k- n ,: m ) dan 2ilanan Ramsey >(kT n ,9 m), dimana k menun8u66an 2anya6nya 6m'nen. Teorema !*9* /i6a n
3, dan m an8il m $n1, ma6a >(k- n ,: m ) 3n$ H (61)n.
Bu6t,: Misal6an m an8il m $n1 dan n 3. andan raf 3# 9 kn 1 �$ 9 n 1 . Graf ini -
-
2errde 3n3 H (61)n dan terdiri dari 3 6m'nen. m'nen 'ertama adalah raf len6a' 2errde kn81, dan dua 6m'nen lainnya 8ua masinmasin meru'a6an raf len6a', denan rde 2erturutturut n1, n1. m'nen 'ertama hanya memuat (k 1) - n , dan dua -
6m'nen lainnya masinmasin tida6 memuat - n . adi raf 3# 9 kn 1 �$ 9 n 1 tida6 -
-
memuat k- n . +elan8utnya, 'erhati6an 3 .
9 n1
9 kn1 9 n81
9 n Graf 3 9 kn-1 H � �
1 +
-
9 n -1
meru'a6an raf tripartit yan terdiri dari tia 'artisi denan
masinmasin 'artisi mem'unyai kn81 , n81 ,dan n81 titi6. Andai6an 3 memuat : m denan m an8il, ma6a titi6 'usat rda a6an 2erada 'ada salah satu 'artisi dan rim rda C m 2erada 'ada 6edua 'artisi lainnya. arena si6lus C m adalah an8il, ma6a 6edua 'artisi terse2ut tida6 mun6in mem2entu6 raf 2i'artit. A6i2atnya, 6etia 'artisi dima6sud di atas tida6 mun6in mem2entu6 raf tripartit (suatu 6ntradi6si). adi raf 3 tida6 memuat : m untu6 m an8il. %enan demi6ian
� 9 n �
1 +
-
9 n -1
3
=
(m - $) 9 n 1 �9 kn -
1
-
tida6 memuat
k- n dan
3 9 kn-1 H
tida6 memuat : m untu6 m an8il. arena itu, di'erleh >(k- n ,: m )
3n$ H
(61)n untu6 m an8il. eri6utnya a6an ditun8u66an 2ah7a 2ilanan Ramsey >(k- n ,: m ) 3n$ H (61)n. %alam 'em2u6tian a6an diuna6an 'rses indu6si matemati6a. >ntu6 k # 1, 2erdasar6an erema 1.1 di'erleh >(- n ,: m) 3n$. Asumsi6an erema 2enar untu6 setia' r
<
k ,
ya6ni >(r- n ,: m) 3n$ H(r 1)n. A6an ditun8u66an 2ah7a erema 8ua 2enar untu6
r
=
k .
Am2il se2aran raf 3 1 denan 3 1 3n$ H (61)n. Andai6an 3 1 tida6 memuat rda
: m . A6an ditun8u66an 3 1 memuat k- n. arena 3 1 2erdasar6an asumsi 3 1 memuat ( k 1) - n . ulis -
3n$ H (r1)n untu6 setia' A = V ( 31 ) U V ((k
-
r
<
k ,
ma6a
1) - n ) dan T adalah
su2raf 3 1 yan diindu6si leh A. arena T 3n$ dan T tida6 memuat : m , ma6a
menurut erema 1.1, su2raf T memuat - n . %enan demi6ian da'at disim'ul6an 2ah7a 3 1 memuat k - n . adi di'erleh >(k- n ,: m )
3n$ H (61)n.
Teorema &*!* >(kT n ,9 m) >(T n.9 m) H (61)n untu6 se2aran 2ilanan asli n dan m. Bu6t,: andan raf
3
=
(m - $) 9 n 1 �9 kn 1 . Graf ini 2errde (m1)(n1)H(k 1)n, tida6 -
-
memuat kT n dan 6m'lemennya tida6 memuat 9 m . arena itu, di'erleh >(kT n ,9 m
)
(m1)(n1)H(k 1)n71. +e2ali6nya, teta'6an m dan n 6emudian a'li6asi6an indu6si matemati6a untu6 k. i6a k#1, 2erdasar6an erema 1.$ di'erleh >(T n ,9 m) (n1)(m1) H1. Asumsi6an erema 2enar untu6 setia' r#k. Am2il se2aran raf
r
<
k .
A6an di2u6ti6an erema 8ua 2enar untu6
3 1 denan 3 1 (m1)(n1)H(k 1)n71. Andai6an
memuat 9 m . A6an ditun8u66an 3 1 memuat kT m . setia'
r
<
k ,
arena 3 1
3 1 tida6
(m1)(n1)H(r1)nH1 untu6
ma6a 2erdasar6an asumsi 3 1 memuat ( k - 1)T n . ulis
=
=V
( 31 ) U V (( k - 1)T n )
dan adalah su2raf 3 1 yan diindu6si leh =. arena (m1)(n1)H1 dan tida6 memuat 9 m , ma6a menurut erema 1.$, su2raf memuat T n . %enan demi6ian da'at disim'ul6an 2ah7a 3 1 memuat k T n . adi di'erleh >(kT n ,9 m )
(m.1)(n1)H (61)n71.
Ke(,m4ulan
ada 'asal 1 'endahuluan di6etahui 2ah7a 2ilanan Ramsey untu6 6m2inasi raf 2intan dan raf rda >(- n ,: m ) denan m an8il sama denan nilai 2atas 2a7ah Chatal dan !arary. %emi6ian 'ula untu6 2ilanan Ramsey 6m2inasi raf 'hn denan raf len6a' >(T n ,9 m) 8ua sama denan nilai 2atas 2a7ah Chatal dan !arary. ada 'asal 3, di2ahas menenai 2ilanan Ramsey untu6 6m2inasi
k 6'i raf
2intan denan raf rda >(k- n ,: m ) dan 6m2inasi k 6'i raf 'hn denan raf len6a' >(kT n ,9 m). !asil dari 'em2ahasan terse2ut, menun8u66an 2ah7a terda'at hu2unan antara 2ilanan Ramsey untu6 6m2inasi raf 2intan dan raf rda >(- n ,: m ) denan 2ilanan Ramsey untu6 6m2inasi k c'y raf 2intan dan raf rda >(k- n ,: m ) . !al ini 8ua 2erla6u 'ada 6m2inasi raf 'hn dan raf len6a' >(T n ,9 m) denan 6m2inasi k c'y raf 'hn dan raf len6a' >(kT n ,9 m). Masalah yan masih ter2u6a untu6 di6a8i adalah 2ilanan Ramsey >(k- n ,: m) untu6 m ena', dan >(kT n , ). dimana adalah se2aran raf 6ecuali raf 9 m. emudian selidi6i
a'a6ah ada hu2unan antara >(- n ,: m ) denan >(k- n ,: m) untu6 m ena', dan >(T n ,9 m) denan >(kT n ,9 m), denan k $.