MODUL 5 TRANSFORMASI FOURIER (LANJUTAN) 5.1 Pasangan-pasangan Transformasi Fourier untuk Beberapa Fungsi Waktu Sederhana
Kita sekarang akan mencari beberapa transformasi Fourier untuk beberapa fungsi waktu sederhana 1. Transformasi Transformas i Fourier untuk fungsi impul satuan [ (t-to)] f(t) = (t-to)
F(j) = ? ~
F ( jw) f (t )
f (t ) e
~
j t
e
dt =
~
jwt jwt
(t t o )
dt e
jwt o jwt
~
Maka :
e
(t-to)
jwt o
Jika f(t) = (t) , maka transformasi Fouriernya menjadi e
(t)
jw .0
1
1
2. Melanjutkan point 1 diatas, kita hendak mencari f(t) jika diketahui F(j) = (-o)
(-o)
?
1
f (t ) F ( j )
~
1
e 2
j t
F ( j ) d =
~
cos o t [e j t / 2] [e j t / 2] o
=
1 2
e
o
j o t
Sekarang dapat kita tulis :
1 2
e
j o t
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
(-o)
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
1
maka,
e
j o t
2 (-o)
dengan perubahan tanda, dapat kita tulis :
e
j o t
2
( +
o)
Jelas bahwa fungsi waktu adalah kompleks pada persamaan diatas tidak ditemui didalam laboratorium/kenyataan. Akan tetapi fungsi waktu seperti cos ot, misalnya, dapat dihasilkan dengan perlengkapan laboratorium. Akan tetapi kita tahu, menurut identitas Euler :
cos ot = ½ e
j o t
+ ½ e
j o t
dan mudah dilihat dari sifat transformasi Fourier :
f 1 (t ) [ f 2 (t )] [ f 1 (t ) f 2 (t )] Maka :
cos o t [e j t / 2] [e j t / 2] o
o
= (-o) + (+o) Maka, kita peroleh :
Cos
ot
( -
o)
+
( +
o)
3. Dari transformasi Fourier :
e
j o t
2 (+o)
Jika kita pilih : o = 0 , maka didapat :
1
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
2
( )
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
2
Jika 1 kita kalikan dengan konstanta K, maka didapat :
K
2 K ( )
4. Sebagai contoh lain kita akan mendapatkan transformasi Fourier dari sebuah fungsi singularitas yang dikenal sebagai fung si signum, sgn (t), yang disefinisikan oleh : -1
t<0
1
t >0
sgn (t) =
atau : sgn (t) = u(t) – u(-t)
Jika fungsi signum diatas kita substitusikan ke dalam persamaan yang mendefinisikan transformasi Fourier, maka kita akan menghadapi sebuah ungkapan yang tak dapat ditentukan seteah mensubstitusikan limit integrasi. Soal yang sama selalu timbul setiap kali kita mencoba transformasi Fourier dari sebuah fungsi waktu yang yak mendekati nol untuk t mendekati tak berhingga.
Akhirnya
kita
akan
menghindarkan
keadaan
ini
dengan
menggunakan transformasi Laplace, karena transformasi ini mengandung faktor konvergensi yang akan mengobati banyak diantara penyakit yang tak menyenangkan yang diasosiasikan dengan perhitungan transformasi Fourier tertentu. Untuk menghindari keadaan diatas (hasil integrasi yang tak dapat ditentukan), fungsi signum kita nyatakan dalam bentuk :
sgn (t) =
[e lim a
at
u (t ) e at u (t )]
0
Perhatikan pernyataan dalam kurung mendekati nol jika t menjadi sangat besar. Dengan menggunakan menggunakan transformasi Fourier , maka kita dapatkan :
~
sgn(t ) lim [ e a 0
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
~
~
jwt at
e
e
dt -
jwt at
e dt
~
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
3
lim a 0
j 2 2 2 2 j a
Komponen riilnya nol, karena sgn(t) adalah fungsi simetri ganjil. Maka
2
sgn(t)
j
5. Sebagai contoh selanjutnya, kita akan mencari transformasi Fourier dari fungsi tangga satuan [u(t)]. Dengan menggunakan fungsi signum diatas, fungsi tangga satuan dapat dinyatakan dengan :
u(t) = ½ + ½ sgn(t) Sehingga transformasi Fourier dari fungsi tangga satuan adalah :
1
[ ( )
u(t)
j
]
6. Sebagai contoh terakhir , kita akan mencari transformasi Fourier dari fungsi eksponensial e -at u(t).
~
~
e
at
e u (t )
jwt at
e
u(t )dt -
e
~
=
e
( j a ) t
( jw a ) t
dt
0
( j a) 0
=
0 1
( j a)
1 a j
Maka :
e-at u(t)
1 a j
Dibawah ini dibuat tabel transformasi Fourier dari beberapa fungsi waktu sederhana sekaligus sebagai rangkuman dari pembahasan diatas.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
4
Tabel :
Beberapa Pasangan Transformasi Fourier yang Umum Dikenal
[ f (t )] = F(j )
No
f(t)
1
(t – to)
2
(t )
1
3
e-jot
2(-o)
4
1
2()
5
1/A
2 ( )
to
e-j
A j 6
0
()
7
cos ot
[(-o) + (+o)]
8
sin ot
j[ (+o) + (-o)]
9
sgn(t0
2 j
10
11
u(t)
( )
e-at u(t)
1 j
1 a j
12
e-at cos d t u(t)
a j d
2
(a j ) d
2
( a j ) 2 13
e-at sin d t u(t)
d
2
2
14
u(t+½T) – u(t-½T)
sin T
T
2 T 2
5.2
Aplikasi Transformasi Fourier pada Sistem/Rangkaian Linier
Sebelum
kita
membahas
aplikasi
transformasi
Fourier
pada
sistem/rangkaian linier terlebih dahulu dibahas beberapa hal sebagai penunjang, yaitu :
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
5
1.
Fungsi Pemindah (Transfer Function)/Fungsi Sistem H(j ) Fungsi Pemindah/Fungsi Sistem adalah perbandingan keluaran/output
dalam bentuk transformasi Fourier dengan masukan/input dalambentuk fungsi Fourier juga. Secara matematis Fungsi Pemindah dapat ditulis :
H ( j ) 3.
F o ( j ) F i ( j )
Respon Impuls h(t) Respon impuls adalah respon atau fungsi keluaran dalam fungsi t, jika
masukannya adalah impuls satuan [ (t)].
4
Hubungan Respon Impuls dan Fungsi Pemindah/Fungsi Sistem Kita lihat pada persamaan H(j ), jika inputnya impuls satuan [ (t)], maka
Fi(j) =1 sehingga H(j ) = Fo(j) artinya keluarannya adalah Fungsi pemindah H(j), sedangkan menurut definisi jika masukannya adalah impuls satuan, maka keluarannya dalam fungsi t adalah respons impuls h(t). Maka dapat diambil kesimpulan fungsi pemindah H(j ) transform Fourier dari respons impuls h(t) dan sebaliknya respons impuls h(t) adalah inverse transform Laplace dari H(j ) atau dapat digambarkan :
H(j)
h(t)
1 Contoh soal aplikasi transformasi Fourier :
SOAL 1 Misalkan vi(t) = 10 e-2t u(t) V dalam jaringan linier dengan h(t) = 2,5 e -8t u(t). carilah : H(j), Vi(j); Vo(j), dan kemudian : (a) v o(0,5) ; (b) vo(1,5); (c) vo,maks
Jawab :
H(j) = [h(t )]
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
2,5 8 j
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
6
Vi(j) = [vi (t )]
10 2 j
Vo(j) = H(j) x Vi(j)
=
=
(a)
2,5 8 j
x
10 2 j
=
25 (8 j )(2 j )
25 / 6 25 / 6 8 j 2 j vo(t) = -25/6 e-8t u(t) + 25/6 e -2t u(t) V = 25/6 ( e -2t – e-8t ) u(t) V
vo(0,5) = 25/6 ( e -2 . 0,5 – e-8 . 0,5 ) = 1,457 V
(b)
vo(1,5) = 25/6 ( e -2 . 1,5 – e-8 . 1,5 ) = 0,207 V
(c)
vo,maks didapat pada saat turunan v o(t) terhadap t ’
berharga 0, maka pertama kita hitung v o (t) [
dvo (t ) dt
]
dvo (t ) dt
= 25/6 ( -2 e -2t + 8 e-8t ) = 25/3 ( 4 e -8t – e-2t )
maksimum terjadi, jika
dvo (t ) dt
= 0 , maka :
25/3 ( 4 e -8t – e-2t ) = 0 4 e-8t = e-2t
4 e-8t – e-2t = 0 4 e-6t = 1
e-6t = ¼
ln e-6t = ln ¼ = ln 1 – ln 4 = - ln 4
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
7
t
-6 t = - ln 4
ln 4 6
0,231
Artinya harga t ini ( = 0,231) yang akan membuat harga v o menjadi maksimum, maka : vo,maks = vo(0,231) = 25/6 (e -2 . 0,231 – e-8 .0,231 ) = 1,969 V
SOAL 2 Pada sebuah sistem linier diketahui mempunyai fungsi sistem [H(j )] =
3 j 2 j
.
Tentukanlah respons dari sistem linier tersebut, bila masukannya adalah : (a)
(t); (b) u(t) ; (c) sgn(t)
Jawab : (a) V o (j) = H(j) =
3 j 2 j
= -1+
(2 j ) 5 (2 j ) 5 2 j 2 j 2 j
=
5 2 j
vo(t) = - (t) = 5 e-2t u(t)
(b) Vo(j)
= H(j) x Vi(j) =
=
3 ( ) 2 j
3 j 2 j
3 j (2 j )
x [ ( )
3 ( )
3/ 2
2 j
2
j ( ) 2 j
j ( ) 2 j
1 j
]
1 2 j
3/ 4
0
1 2 j
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
8
3 j (2 j )
Maka :
3/ 2
=
j
3/ 2
¾ sgn(t)-3/2 e-2t u(t)
2 j
vo(t) = ¾ + ¾ sgn(t) - 3/2 e-2t u(t) - e-2t u(t) vo(t) = ( 1,5 – 2,5 e-2t ) u(t)
(c) Vo(j)
= H(j) x Vi(j) =
=
=
=
6 j (2 j )
3
j
3 2 j
j
3
3 j 2 j
x [
2 j
]
2 2 j
2
2 j
5 2 j
vo(t) = 3/2 sgn(t) – 5 e-2t u(t)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
9
