UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS PRACTICA DE LABORATORIO N°5
“MOMENTO DE INERCIA” Alumno: Beltrán Mendiguri Luis Carlomagno Código: 161926 Grupo: 105
Puno
Perú 2017-I
MOMENTO DE INERCIA I. OBJETIVOS Determinar experimentalmente el momento de inercia de los sólidos de diversas geometrías. Determinar los errores teóricos y experimentales. Determinar el momento de inercia de un cilindro hueco y compararlo con su valor teorico Analizar usando Data Studio de un disco y compararlo con el valor teorico
II. FUNDAMENTO TEORICO: MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. A. MOMENTO DE INERCIA DE LA DISTRIBUCION DE MASAS PUNTUALES Para una distribución de masas puntuales el momento de inercia está dada por:
𝐼 = ∑ 𝑥𝑖2 𝑚𝑖 Donde, 𝑥𝑖 es la distancia de las partículas y 𝑚𝑖 es la masa de las partículas. B. MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCION CONTINUA DE MASA Para una distribución continua de masa, la formula a usar es:
𝐼 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑚 Donde, dm es el elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación. a. Momento de inercia de una varilla: Sea una varilla de masa M y longitud de l con respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masa y la masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x +dx. El momento de inercia de la varilla es: 1 2
𝑀 2 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑀𝐿2 1 𝐿 12 −
𝐼=∫
2
b. Momento de inercia de cilindro hueco El momento de inercia del cilindro hueco, viene dada por:
1 𝐼 = 𝑀(𝑅12 + 𝑅22 ) 2 Donde, M es la masa del cilindro hueco, 𝑅1 es el radio interior del cilindro y 𝑅2 es el radio exterior del cilindro. c. Momento de inercia de un disco: Teóricamente, el momento de inercia de un disco solido de densidad uniforme viene dada por:
1 𝐼 = 𝑀𝑅 2 2 Donde, M es la masa del disco y R el radio del disco. Para hallar experimentalmente la inercia rotacional I, aplicamos un torque y medimos la aceleración angular resultante. Siendo: 𝜏 = 𝑙𝛼, o sea,
𝐼=
𝜏 𝐾𝑔 ⁄ 2 𝑚 𝛼
Donde 𝛼 es la aceleración angular y 𝜏 el torque. El torque depende de la fuerza aplicada y la distancia desde el punto de rotación del objeto hasta el punto donde se aplica la fuerza, o: 𝜏 =𝑟×𝐹 Donde r es la distancia desde el centro del disco hasta el punto donde se aplica la fuerza (“El brazo de la fuerza”), y F es la fuerza aplicada. El valor de r X F es 𝑟𝐹 sin 𝜃 donde 𝜃
es el Angulo entre r y la dirección de F, la fuerza aplicada. El torque es máximo cuando r y F son perpendiculares entre si. En este caso, la fuerza aplicada es la tensión T en una cuerda atada a una parte del sistema rotacional. La gravedad actúa sobre una masa m atada a la cuerda. El valor de r es el radio de la polea del aparato. El radio es perpendicular a la fuerza aplicada (Tensión). Por lo tanto, el torque es: 𝜏 = 𝑟𝑇, aplicando la segunda ley de Newton para la masa colgante m obtenemos:
∑ 𝐹 = 𝑇 − 𝑚𝑔 = 𝑚(−𝑎) T = m(g − a)
La tensión en la cuerda da: El torque es:
𝜏 = 𝑟𝑇 = 𝑟𝑚(𝑔 − 𝑎) La aceleración lineal a de la masa colgante es la aceleración tangencial 𝑎𝑇 , del sistema de rotación. La aceleración angular está relacionada con la aceleración tangencial así:
𝛼=
𝑎𝑇 𝑟
Sustituyendo la ecuación (8) y la ecuación (9) en la ecuación (6) obtenemos:
𝜏 𝑟 2 𝑚(𝑔 − 𝑎) 𝑔 𝐼= = = 𝑚𝑟 2 ( − 1) 𝛼 𝑎𝑇 𝑎𝑇 La inercia rotacional del sistema I, se de la aceleración tangencial 𝑎𝑇
III. EQUIPOS Y MATERIALES Computadora Personal Software Data Studio instalado Interface Science Workshop 750 Sensor de Movimiento {CI-6742) Sensor de Fuerza (CI-6537) Accesorio adaptador de base rotacional Sistema rotacional completo Equipo de rotacion Conjunto de pesas (diferentes magnitudes) Balanza analógica Redla de nivel
puede
calcular
IV. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Encender el Computador e ingresar al Data Studio haciendo Doble Click en e I icono ubicado en el escritorio, Iuego seleccionar crear experimento. b. Seleccionar el sensor de movimiento rotacional de la lista de sensores, luego efectuar la conexion usando los cables para transmision de datos de acuerdo a lo indicado por Data Studio. c. Efectué la calibración correspondiente, elija para el sensor de movimiento rotacional una frecuencia de muestreo igual a10Hz(registros por Segundo), y 360 divisiones por giro; luego en calibración lineal seleccione polea grande. d.Genere un gráfico para la aceleración tangencial vs. Tiempo. Mida con un vernier el diámetro de la polea grande del sensor de movimiento rotacional y calcule el radio. f. Realice el montaje del sensor de movimiento circular en el soporte del sistema rotacional completo, usando el accesorio adaptador de base rotacional (Cl—6690). g. Monte Ia plataforma rotante de aluminio, la cual previamente deberá ser pesada junto con el eje de acero. h. En este punto haga una prueba con una masa en el porta pesas de 5 gramos. i. Usando las ecuaciones correspondientes calcule el momento de inercia del conjunto solo, y anotelo en la tabla (1), este resultado debera restarse de los resultados TABLA 1:Masa y moneto de inercia del sistema solo Elemento
Dato
Elemento
Dato
Masa de eje rotante
250g
Radio de eje solo
1.29/2
Masa de plataforma de aluminio
585g
Radio del disco
22.4/2
Masa de disco
1.444g
Masa del cilindro hueco Masa del elemento puntual Diámetro de la polea (cm)
1.427g
Radio interno del cilindro hueco R1 Radio externo del cilindro hueco R2
10.66/2 12.78/2
272g c/u
Longitud de la varilla
48cm
5.23 cm
Otra variable
99cm
Encienda el computador, ingrese al DataStudio e ingresar el sensor de rotación y apertura los gráficos de aceleración angular y anote en las tablas correspondientes. Instale el equipo, de acuerdo a la figura:
PRIMERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE MASA PUNTUAL) a. Pese al elemento puntual y coléquela a una distancia conocida del eje de rotacién, sobre la plataforma rotante de aluminio , tal como se muestra en la figura: b. Use inicialmente una mas de 5 gr y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio ® es conocido como el radio del eje rotante
ACELERACION ANGULAR (𝜶)
EVENTO
MASA APLICADA
DISTANCIA DEL ELEMENTO RESPECTO AL CENTRO DE GIRO
RADIO DE LA POLEA
1
98.86 Rad/s2
0.055kg
2
143.20 Rad/s2
0.065kg
0.64m
3
173.51 Rad/s2
0.075gkg
0.64m
PROMEDIO
138.524 Rad/s
0.065
5.23/2cm
0.64m
SEGUNDA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL DISCO) Segunda Actividad (Momento de Inercia del Disco) a. Pese el disco y coléquelo sobre el eje rotante tal como se muestra en la figura: b. Use inicialmente una masa de 5gr y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio (r) es conocido (radio de la polea del eje rotante). c. Calcule el momento de inercia restándole del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo. d.Varie la masa en el porta pesos adicionando 5gr y efectue nuevamente una medicién. (Anote los Datos obtenidos en la tabla 4) ACELERACION ANGULAR (𝑹𝒂𝒅/ 𝒔)
MASA APLICADA
DISTANCIA DEL ELEMENTO RESPECTO AL CENTRO DE GIRO
1
0.29
0.055kg
24
2
0.34
0.065kg
24
3
0.40
0.075gkg
24
PROMEDIO
0.345
0.065kg
24
EVENTO
TERCERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL DISCO Y CILINDRO HUECO) a. Usando un Vernier determine los radios interior R1 y exterior R2 del cilindro Hueco, luego pese el cilindro y colóquelo sobre el disco en posición horizontal sobre el eje rotante tal. b. Use inicialmente una masa de 5gr y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio (r) es conocido (radio de la polea del eje rotante). c. Calcule el momento de inercia restándole del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo. d. Varié la masa en la porta pesos adicionando 5gr y efectúe nuevamente una medición. (Anote los Datos obtenidos en la tabla (6) Tabla (6): Datos Obtenidos e. Repita el proceso 5 veces y calcule el promedio. ACELERACION ANGULAR (𝜶) Rad/s2
MASA APLICADA
DISTANCIA DEL ELEMENTO RESPECTO AL CENTRO DE GIRO
1
0.17
0.055kg
20
2
0.21
0.065kg
20
3
0.24
0.075gkg
20
PROMEDIO
0.21
0.065kg
20
EVENTO
CUARTA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA EN LA DISTANCIA) ACELERACION ANGULAR (𝜶) Rad/s2
MASA APLICADA
DISTANCIA DEL ELEMENTO RESPECTO AL CENTRO DE GIRO
1
0.62
0.055kg
11.4
2
0.60
0.065kg
11.4
3
0.74
0.075gkg
11.4
PROMEDIO
0.66
0.065kg
11.4
EVENTO
QUINTA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL CILINDRO HUECO Y DE SURADIO EXTERIOR) ACELERACION ANGULAR (𝜶) Rad/s2
MASA APLICADA
DISTANCIA DEL ELEMENTO RESPECTO AL CENTRO DE GIRO
1
0.38
0.055kg
12.78
2
0.50
0.065kg
12.78
3
0.45
0.075gkg
12.78
PROMEDIO
0.46
0.065kg
12.78
EVENTO
V. CUESTIONARIO ¿Qué factores podrían motivar las diferencias entre los valores teórico y los valores experimentales? Los principales factores que podrían producir errores son los factores externos como el viento aire, presión atmosférico, y cuanto es la gravedad en el punto donde se realizó el trabajo Determine el radio de giro para cada uno de los elementos utilizados (varilla, disco y cilindro) Radio de giro: Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.
¿A través de que punto debe pasar el eje de rotación para que el momento de inercia se mínimo en el caso de la varilla y el cilindro? En cualquiera de los extremos del disco o cilindro, en otras palabra lo mas alejado de su punto medio
¿Si el eje permanece fijo con respecto al cuerpo rígido, el momento de inercia permanece constante? En efecto, a excepción de que se modifique su radios, entonces se tomaría un valor rx
¿Mediante que ecuación se relacionan el momento de inercia y el momento angular para un cuerpo rígido?
Aplicando un razonamiento similar al aplicado en el caso del cilindro y el disco, calcule el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto a uno de sus diámetros Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos ele mentales es
¿Cómo se denomina al punto respecto al cual el momento estatico de una distribución de masa es nulo? Si el centro de masas estuviese contenido en el plano, entonces "G = 0 y por tanto M = 0. Es decir: El momento estático de un sistema respecto de un plano que contiene a su centro de masas es nulo. ¿Por qué el momento estático respecto a un plano es la proyección perpendicular al mismo del momento estatico respecto a cualquier de sus puntos? Explique Puede relacionarse el momento estático respecto a una recta con el momento estático respecto a uno cualquiera de sus puntos.
respecto a una recta es la proyección sobre el plano perpendicular a dicha recta del momento estático respecto a cualquiera de sus puntos. Además, ya que OC = [(MO)/M], se concluye que el centro de masas se encuentra sobre una recta paralela a d desplazada respecto a ésta el vector [(Md )/M]. Si la recta d contiene a C, entonces, obviamente, Md = 0. ¿Por qué el momento de inercia en el caso de una masa puntual respecto al punto en que este concentrada es nulo? El momento de inercia será siempre, por su definición, mayor que cero (excepto en el caso de una masa puntual respecto al punto en que esté concentrada, en cuyo caso sería nulo. Puede relacionarse el momento de inercia respecto a un punto O cualquiera con el momento de inercia respecto al centro de masas C.
Pero como MC = 0, se tiene
lo que indica que el momento de inercia central es mínimo en el centro de masas y se incrementa respecto a éste en el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre C y O.
VI. CONCLUSIONES Se determino experimentalmente el momento de inercia de los sólidos de diversas geometrías. Se determino el momento de inercia de un cilindro hueco y compararlo con su valor teórico Se analizo usando Data Studio los resultados que se obtienen de mediciones y observaciones, para predecir comportamientos previos o posteriores a la toma de datos
VII. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES Mayor didáctica con los estudiantes
Se destaca el trabajo con los estudiantes mediante el uso de cada uno de los instrumentos Citar ejemplos prácticos, los cuales se aplican en la vida diaria para que el estudiante tenga una mejor idea de lo que se desarrollo Destacar el conocimiento practico, y es posible mejorar aun mas el aspecto practico ya que es lo que buscan los estudiantes
VIII. BIBLIOGRAFIA Guía de laboratorio física UNA-PUNO Física para Ciencias e Ingeniería Libro de John W. Jewett y Raymond A. Serway Fundamentos de física - David Halliday, Jearl Walker y Robert Resnick
