MOMENTOS DE INERCIA PARA AREAS El Centroide de un área se determina por el primer momento de un área respecto a un eje El segundo momento de un área respecto a un eje se conoce como momento de inercia El Momento de Inercia se origina siempre que uno relaciona la fuerza normal o la presión (fuerza por unidad de área con el momento)
•
•
•
MOMENTO DE INERCIA
• •
Consideremos Consideremos el área A en el plano x- !or de"nición# el momento de inercia respecto a los ejes x# resulta dI x=y 2dA
•
del
elemento
de
área
dA
dI y=x 2 dA
!ara el área completa# los momentos de inercia son Ix =∫ =∫y 2dA I y =∫ =∫ x 2 dA
•
$am%i&n $am%i&n podemos tomar el segundo momento de dA dA 'especto 'especto al polo polo * o eje z
•
Esto se conoce como el momento polar de inercia dJO=r 2 dA
+iendo r la distancia perpendicular desde el polo (eje z) al elemento dA •
El momento polar de inercia para todo el área resulta JO=∫r 2 dA=Ix+I y
TEOREMA DEL EJE PARALELO PARA PARA UN AREA
•
• •
• •
Conocido el momento de inercia de un área respecto a un eje que pasa por su centroide# determine determine el momento de inercia respecto a un eje paralelo, Consideramos el momento de inercia del área n elemento diferencial dA se localiza a una distancia ar%itraria .respecto .respecto al eje x. del centroide /a distancia "ja entre el eje x paralelo a x. es d El momento de inercia de dA respecto al eje x dI x=( y'+d y ) 2dA
•
!ara el área completa I x=∫( y'+d y)2dA I x=∫ y'2 dA
•
•
+
2dy∫ y'dA
+ d y 2∫dA
/a primera integral representa el momento de inercia ine rcia del área respecto al eje centroidal /a segunda integral es cero # quedando 2 I x= I x’+A d y y
•
!ara I y se escri%e de forma similar, similar,
2 Iy = I y’+A d x
MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS • •
n área compuesta consiste de una serie de partes simples conectadas El Momento de inercia del área compuesta 0 suma alge%raica de los momentos de inercia de todas sus partes
Procedimiento de anái!i! Parte! 1i2idir el área en partes localizar el centroide de cada parte respecto al eje de referencia dado •
Teorema de e"e #araeo 1eterminar el momento de inercia de cada parten respecto a sus ejes centroidales Cuando el eje centroidal no coincide con el eje de referencia# se usa el teorema del eje paralelo •
•
S$ma Momento de inercia total resulta de sumar los momentos de inercia de sus partes •
MOMENTO DE INERCIA DE %OL&MENES COMPUESTOS +a%emos que el momento de inercia de un cuerpo tridimensional se o%tiene e2aluando la siguiente integral3
∫
I = r ² dm
+i el cuerpo cuerpo está está 4ec4o 4ec4o de materi material al 4omog&n 4omog&neo eo de densidad densidad dm
ser5a igual a manera3
ρ dv
ρ
# el elemento de masa
entonces la ecuación de la inercia se reescri%ir5a de la siguiente
∫
I = r ² ρ dv
!ara la maor5a de las aplicaciones# ρ será una constante# por lo que este t&rmino puede factorizarse fuera de la integral# la integración es entonces meramente una función de la geometr5a, I = ρ
∫ r ² dv
!ara un cuerpo que consiste de 2arias formas simple (cuerpo compuesto)# se puede o%tener el momento de inercia de dic4o cuerpo con respecto a un e je determinado calculando primero los momentos de inercia de las partes que lo constituen con respecto al eje dado sumándolos despu&s, $eniendo en cuenta tam%i&n que los radios de giro de un cuerpo compuesto no se puede o%tener sumando los radios de giro de las partes que lo constituen, Estas son unas de las formas mas comunes de cuerpos tridimensionales junto con la inercia respecto a su eje,
MOMENTO DE INERCIA PARA UN ÁREA CON RESPECTO A UN EJE INCLINADO En ocasiones dentro de nuestra carrera aplicada# en el dise6o estructural mecánico# tendremos la necesidad de calcular los momentos productos de inercia para un área con respecto a un eje inclinado# teniendo como datos iniciales los momentos productos de inercia con respecto a los ejes %ases# además de conocer el ángulo formado por eje inclinado el eje x, !ara esta necesidad se utilizará la siguientes fórmulas
I$ =
I x + I
y
2
'
I x− I
y
co!2( )
2
I*+!en2( m, I- =
I x + I
y
2
)
I x− I
y
2
co!2( '
I*+!en2( m,
I x− I
y
I$- =
2
!en2( ' I*+co!2( m,
DEMOSTRACI.N !ara demostrar las mencionadas fórmulas 4aremos uso de la imagen mostrada continuación# realizando los siguientes pasos3
•
Escri%ir el u 2 en función de x # grá"camente o%tenemos lo siguiente3 u 0 xcos7 8 sen7 m 2 0 cos7 9 xsen7 m
•
:allar los momentos producto de inercia con respecto a los ejes u 2
•
dIu 0 2;dA 0 <cos7 - xsen7=;dA dI2 0 u;dA 0
•
Integrar
∫
la
función
∫
2
2
reemplazar
los
2alores
∫
I x = y d A , I y = x d A , I xy = xydA 3
Iu 0 Ixcos;7 8 Isen;7 - ;Ixsen7cos7 m> I2 0 Ixsen;7 8 Icos;7 8 ;Ixsen7cos7 m> Iu2 0 Ixsen7cos7 - Isen7cos7 8 Ix(cos;7 - sen;7) m> •
Analizaremos con auda de la trigonom&trica cada una3 Iu 0 Ixcos;7 8 Isen;7 - ;Ixsen7cos7
Iu 0
I x 2
cos 7 8 ;
I x 2
cos 7 8 ;
I y 2
sen 7 8 ;
I y 2
sen;7 - Ixsen;7
de
Iu 0
I x
I x
-
2
I x
sen 7 8 ;
2
2
I y
cos 7 8 ;
-
2
I y 2
cos 7 8 ;
I y 2
sen;7
- Ixsen;7 I x + I
y
Iu 0
y
8
2
I x + I
y
Iu 0
I x− I
I x− I
y
8
2
(cos;7 - sen;7) - Ixsen;7
2
2
cos;7 - Ixsen;7 m>
I2 0 Ixsen;7 8 Icos;7 8 ;Ixsen7cos7
I2 0 I2 0
I x
I x
sen 7 8 ;
2
I x
I x
-
2
2
sen 7 8 ;
2
cos 7 8 ;
I x 2
I y 2
cos 7 8 ;
sen 7 8 ;
I y
I y 2
2
-
cos;7 8 Ixsen;7 I y 2
sen 7 8 ;
I y 2
cos;7
8 Ixsen;7 I x + I
y
I2 0
-
2
I x + I
y
I2 0
-
2
I x− I
y
2
I x− I
y
2
(cos;7 - sen;7) 8 Ixsen;7 cos;7 8 Ixsen;7 m>
Iu2 0 Ixsen7cos7 - Isen7cos7 8 Ix(cos;7 - sen;7) Iu2 0 (Ix- I)sen7cos7 8 Ixcos;7
Iu2 0
I x− I
y
2
sen;7 8 Ixcos;7 m>
+i sumamos la primera con la segunda ecuación nos daremos cuenta de3 I x + I y = I u + I v = I o
o
Momento! de inercia #rinci#ae! Existe una inclinación de los ejes que nos permite o%tener los momentos de inercia m5nimo máximo# estos momentos son los llamados momentos de inercia principales, !ara calcular estas inclinaciones necesitamos primero los momentos de inercia de los ejes I x y I y # que en origen coincida con el centroide# luego aplicar la fórmula
I máx=
I x + I
y
2
mín
±
√( )
2
I x− I
+ I xy
y
2
2
m4
Demo!traci/n
!ara o%tener 2alores m5nimos máximos 4aremos uso de la deri2ada de la ecuación Iu e igualaremos a ?
( ) sen;7 - ;I cos;7 0 ?
I x − I d I x =−2 dθ 2
y
x
1espejando 7 tenemos3 tan 2 θ=
I x − I
− I xy
y
senθ 1=
cos θ 1
2
√( ) I x− I
=
y
2
√( ) y
+ I xy
2
2
− I x − I
cos θ2
2
√( ) I x − I
y
2
=
√( ) y
+ I xy
2
2
I x o d e I y
En la ecuación de
2
+ I xy
2
2
I x − I
2
+ I xy
I xy
y
senθ 2=
2
I x − I
2
− I xy ( I x − I y )/ 2
reemplazaremos los sen cos de 7 4allados
trigonom&tricamente I x− I
y
I
0
I x + I
y
±
2
I x − I
y
2
∙
2
√( )
2
I x− I
y
2
+ I xy
y
0
I x + I
y
±
2
2
√( ) I x − I
y
2
0
y
2
±
2
√( ) I x − I
y
2
m> + I xy
2
+ I xy2
y
I x + I
2
2
I x − I I
+ I xy
2
2
m>
2
+ I xy2
I xy
√( ) I x− I
y
2
I x − I I
± I xy ∙
2
2
+ I xy
2
m>
I máx= mín
I x + I
y
±
2
√( ) I x− I
y
2
2
+ I xy
2
m>
Este momentode inercia ≤ pertenece al eje que esta 45 ° del eje inicial con mayor momento
momento de inercia.
C0RCULO DE MO1R PARA MOMENTOS DE INERCIA /as ecuaciones3 I x + I y I x − I y + I u = . cos ( 2 θ ) − I xy .sen ( 2 θ ) 2
2
I x + I y I x − I y − I v = . cos ( 2 θ ) + I xy .sen (2 θ ) 2
I uv =
2
I x − I y 2
.sen ( 2 θ ) + I xy . cos ( 2 θ )
anteriormente estudiadas en el tema de Momentos de Inercia para un área con respecto a ejes inclinados# tienen una solución grá"ca que# por lo general# es fácil de usar recordar, Al ele2ar al cuadrado la primera la tercera de las ecuaciones luego sumarlas# tenemos que3
(
I x + I y
I u−
2
)
2 2
+ I uv=
(
I x − I y 2
)
2 2
+ I xy
Aqu5# I x , I y , e I xy son constantes conocidas, +i queremos reducir la ecuación anterior podemos expresarla as53 2
2
( I u−a ) + I uv =
2
Cuando esta ecuación se gra"ca so%re un sistema de ejes que representan los respecti2os momentos de inercia producto de inercia# como se muestra en la siguiente "gura3
y
2 Eje para el menormomento de inercia principal, I min
x
P P1
θ
u
Ejepara el mayor momentode inercia principal, I máx
/a grá"ca resultante representa un c5rculo de radio =
√(
I x − I y 2
)+ 2
2
I xy
con su centro u%icado en el punto ( a , 0 ) # donde a =( I x + I y )/ 2 , El c5rculo construido de esta manera se llama C@'C/* 1E M*:'# en 4onor del ingeniero alemán *tto Mo4r (BD-B),
Ix Ix
A R
2θ
I x − I y 2
I x + I y a= 2
!'*CE1IMIF$* !A'A E/ AFG/I+I+
Ixy P1
Imin
Imax
I
El principal propósito de usar aqu5 el c5rculo de Mo4r es tener un medio con2eniente para encontrar los momentos de inercia principales para el área, El siguiente procedimiento proporciona un m&todo adecuado para lograrlo, ) 1E$E'MIFE -
I x , I y ,
e I xy
Esta%lezca los ejes H determine I x , I y , e I xy ,
y
2 Ejeparael menor momento de inercia principal, I min
x
P P1
θ
Eje para elmayormomentode inerciaprincipal, I máx
u
;) C*F+$'A E/ C@'C/* - Construa un sistema coordenado rectangular de modo que la a%cisa represente -
I xy , la ordenada represente el producto de inercia el momento de inercia I 1etermine el centro * del c5rculo que se localiza a una distancia a =( I x + I y )/ 2
del origen# gra"que el punto A de referencia con coordendas
( I x , I xy ) .
'ecuerde que I x es siempre positi2o# mientras que I xy puede ser positi2o o negati2o,
Ix Ix
A
2θ
R
Ixy P1
I x − I y 2
I x + I y a= 2
-
I
O
I min
I max
Conecte el punto de referencia A con el centro del c5rculo determine la distancia *A por trigonometr5a, Esta distancia representa el radio del c5rculo, !or Jltimo trazar el c5rculo,
) M*MEF$*+ !'IFCI!A/E+ 1E IFE'CIA - /os puntos por donde el c5rculo interseca al eje Iproporcionan los 2alores de los momentos de inercia principales
I min
e
I max
, *%ser2e que# tal como se
espera%a# el producto de inercia será cero en estos puntos, >) EKE+ !'IFCI!A/E+ - !ara encontrar la orientación del eje principal maor determin& por trigonometr5a el ángulo 2 θ ! # medido desde el radio *A 4asta el eje Ipositi2o, Este ángulo representa el do%le del ángulo desde el eje x 4asta el eje del momento de 1
inercia máximo I max , $anto el ángulo so%re el c5rculo# θ ! 1
2 θ ! 1
# como el ángulo
# de%en medirse en el mismo sentido, El eje para el momento de inercia
m5nimo I min es perpendicular al eje para I max ,
PROLEMAS
•
Calcule el momento de inercia respecto al eje x,
Parte! El área compuesta se o%tiene sustraendo el c5rculo del 'ectángulo, /ocalizamos el centroide de cada parte segJn se muestra
Teorema de
e"e #araeo
Circ$o Ix 0 I x' +Ady 2 L>π (;D)> +π (;D ); (D); 0 , > (?N)mm4 Rectan3$o Ix=I x' +Ady 2 1/12(100) (150)3+(100) (150 ) (75 )2=112.5 (106 )mm4
•
1etermine el momento de inercia para el área rectangular respecto a3 (a) el eje x. centroidal# (%) el eje x % que pasa a tra2&s de la %ase del rectángulo# (c) el polo o eje z.perpendicular al plano x.-. que pasa por el centroide C,
!arte (a) Elemento diferencial# distancia . desde el eje x., Como dA 0 % d I x’ =∫A y'2 dA= ∫y'2 (bdy' ) =∫ y'2 dy = 1/12bh 3
!arte (%) Aplicando el teorema del eje paralelo# Ix b = I x+Ad 2 = 1/12bh3 + bh(h/2)2 = 1/3bh3
!arte (c) !ara el momento polar de inercia respecto al punto C# I y' = 1/12 hb 3 J C = I x’+I y' = 1/12bh( h2+b2 ) •
+e muestra una placa que tiene la densidad de B??? OgLmP un espesor de ?,?m# determine su momento de inercia de masa con respecto a un eje perpendicular al radio que pase por el punto *, ?,;D m ?,;D? m Q
o
Espesor ?,? m
!unto *
+olución /a placa consta de dos partes compuestas# el disco de ;D? mm de radio menos un disco de D? mm de radio, El momento de inercia con respecto al punto * puede determinarse por el cálculo del momento de inercia de cada una de esas partes con respecto a *# sumar luego alge%raicamente los resultados, /os cálculos se realizan
con el teorema de los ejes paralelos junto con los datos dados so%re cuerpos con formas conocidas, 1isco3 El momento de inercia de un disco con respecto a un eje perpendicular a un plano del disco que pasa por Q es I Q 0 R mrS, El centro de masa del disco está a una distancia de ?,;D m del punto *, Entonces# (Io)d 0 (IQ)d 8 mrS (Io)d 0 L; ρ d ,Td,rSd 8 ρ d ,Td rS (Io)d 0 R (B??? OgLmP) Og,mS Agujero !ara el disco (agujero) más peque6o tenemos3 (Io)4 0 (IQ)4 8 mrS (Io)4 0 L; ρ " ,T4,rS4 8 ρ " ,T4 rS (Io)4 0 R (B??? OgLmP) Og,mS 9 ?,;N Og,mS Io 0 ,;? Og,mS
•
/ocalice el centroide y´ del área de la secion trans2ersal de la 2iga despu&s determinar los momentos de inercia el producto de inercia de esta área con respecto a los u 2,
De!arroo4 Centroide# como el eje es sim&trico entonces x´ 0 ?# para y´ calcularemos3 y´ =
4#8
+ 10 # 8 + 12.25 # 5 =8.25 pul$ 8 +8 +5
$rasladando los ejes al centroide 4allaremos los momentos el producto de inercia 3
10 # .5
I x =
2
+( 10 ) .5 # 4 +
12
I x =302.4375 pul$
I y =
.5 # 10
3
+
12
I y =45 pul$
2# 4 12
3
3
2
+( 2 ) 4 # 1.75 +
1# 8 12
4
4#2
3
12
3
+
8 #1 12
pul$
4
4
I xy =¿ ? a que uno de los ejes es sim&trico al área,
Calculamos los momentos el producto del eje u 2
I u
0
I x + I
y
2
8
I x− I
y
2
2
+( 1) 8 # 4.25 pul$
cos;7 - Ixsen;7 pulg>
4
I u =
2
I u =¿
I v
+ 45
2 238.0781
I x− I
y
0
I uv =
2
302.4375
y
2
-
cos(;xN?) - ?sen(;xN?) pulg>
cos;7 8 Ixsen;7 pulg>
302.4375 −45 2
cos(;xN?) 8 ?sen(;xN?) pulg>
pulg>
sen;7 8 Ixcos;7 pulg>
− 45
2
I uv =¿
•
I x− I
-
−45
2
I x + I
302.4375
I uv
8
pulg>
2
I v =¿
302.4375
109.3594
y
0
I v =
+ 45
302.4375
111.4737
sen(;xN?) 8 ?sen(;xN?) pulg> pulg>
1etermine los momentos de inercia principales la orientación de sus ejes principales para el área de sección trans2ersal del elemento que se muestra con respecto a un eje I x =2.90 # 10 m m V que pase a tra2&s del centroide, $eniendo como dato3 9
9
4
I y =5.60 # 10 mm
9 4 V I xy=−3.00 # 10 mm ,
De!arroo :allaremos primero θ tan 2 θ=
− I xy ( I x − I y )/ 2
4
tan 2 θ
=
3.00 # 10
9
9
9
( 2.90 # 10 −5.60 # 10 )/ 2
=¿ -;,;;mm>
tan 2 θ
θ1= 57.1 °
θ2=−32.9 °
!rocederemos a 4allar los momentos de inercia principales 9
I máx=
2.90 # 10
+ 5.60 # 10
9
±
2
mín 9
I máx= 4.25 # 10 ± 3.29 # 10 mín 9
I máx=7.54 # 10
mm>
√(
2.90 # 10
9
−5.60 # 10 9 2
)
2
+(−3.00 # 109 )2 mm>
9
mm> 9
I máx=7.54 # 10
mm>
El máximo 2alor de inercia ocurre en el eje u por estar más cercano al eje # el que tiene maor 2alor de momento de inercia
•
/ocalice el centroide y´ del área de la secion trans2ersal de la 2iga despu&s determinar los momentos de inercia de esta área el producto de inercia con respecto a los u 2,/os ejes tienen su origen en el centroide
De!arroo Centroide# como el eje es sim&trico entonces x´ 0 ?# para y´ =
y´
calcularemos3
+( 112.5 # 25 # 175 ) # 2 =82.5 mm 25 # 150 +(25 # 175) # 2
12.5 # 25 # 150
$rasladando los ejes al centroide 4allaremos los momentos el producto de inercia I x =
[
3
25 # 175
2
12
6
I x = 48.6231 # 10 mm
3
175 # 25
I y =[
12
]
3
150 # 25 + ( 175 ) 25 # 30.5 # 2 + + ( 150 ) 25 # 69.2 mm 2
4
12
4
3
( 175 ) 25 # 62.5 ] # 2 + 25 # 150 mm 2
4
12
6
I y =41.6667 # 10 mm
4
I xy =¿ ? a que uno de los ejes es sim&trico al área,
Calculamos los momentos el producto del eje u 2
I u
0
I x + I
y
2
8 6
I u =
48.6231 # 10
I x− I
y
2
cos;7 - Ixsen;7 mm>
+ 41.6667 # 10 2
6
6
8
48.6231 # 10
− 41.6667 # 10 2
6
cos(;xN?) mm>
6
I u =43.4058 # 10
I v
0
I x + I
y
mm>
2
48.6231 # 10
2
6
+ 41.6667 # 10
0
46.8840 # 10
I x− I
y
2
48.6231 # 10
I uv =¿ •
6
6
48.6231 # 10
-
− 41.6667 # 10 2
6
cos(-;xN?) mm>
mm>
sen;7 8 Ixcos;7 mm> 6
I uv =
cos;7 8 Ixsen;7 mm>
2
I v =¿
I uv
y
6
I v =
I x− I
6
−7.4870 # 10
2
sen(-;xN?) mm>
−3.0122 mm>
Con el c5rculo de Mo4r# determine los momentos de inercia principales la orientación de los ejes principales maores para el área de la sección trans2ersal de la 2iga que se muestra en la "gura con respecto a un eje que pase a tra2&s del centroide, y 100 mm
20 mm
20 mm
150 mm
x
150 mm
20 mm 100 mm
y
80mm
A 20mm
50 mm
140 mm
x
140mm 50mm
B 20 mm
80mm
+*/CIWF ) 1eterminar I x , I y , e I xy 'EC$GFQ/*+ A X 20
¿ ¿ ¿3 80 ¿ I x =¿ 80
¿ ¿ ¿3 20 ¿ I y =¿
'EC$GFQ/* 1 I x =
20.300
3 2
+ 20 ( 300 ) ( 0 ) =45 ( 10 ) m m
12
6
4
3
I y =
300. 20 12
2
+ 20 (300 ) ( 0 ) =0.2 ( 10 ) mm 6
4
Momento de inercia I x total
[
6
]
6
6
I x =2 31.413 ( 10 ) + 45 ( 10 ) = 107.826 ( 10 ) m m
Momento de inercia I y total I y =2
[ 4.853 (10 ) ] +0.2 (10 ) = 9.906 (10 ) m m 6
!roducto de inercia
6
6
4
4
'EC$AFQ/* A3 I xy = 80 ( 20 ) (−50 ) (140 ) =−11.2 ( 10 ) mm 6
4
'EC$AFQ/* X3 I xy = 80 ( 20 ) ( 50 ) (−140 ) =−11.2 ( 10 ) mm 6
4
'EC$AFQ/* 13 I xy=20 ( 300 ) ( 0 ) ( 0 )= 0 mm
4
!'*1C$* 1E IFE'CIA $*$A/3 6
I xy =−22.4 ( 10 ) m m
4
;) 1E$E'MIFA' E/ CEF$'* * 1E/ C@'C/* %=
(
I x + I y 2
)
, 0 =( 58.866 , 0 ) x ( 10) m m 6
4
A4ora gra"camos el punto en A que es un punto de la circunferencia para ello3 A =( I x , I xy ) =( 107.826 ,−22.4 ) x ( 10 ) mm 6
4
El radio de la circunferencia ser5a la unión de los puntos * A# por lo tanto mediante !itágoras a"rmamos que3 %A = √ ( 48.96 ) +(−22.4 ) = 53.841 x ( 10) m m 2
2
6
4
I x
[ 10 mm ] 6
4
Imax =112,"0"
I
O A !10"#82$ , %22#4& I min=5,025
[ 10 mm ] 6
4
2θ
) M*MEF$*+ 1E IFE'CIA !'IFCI!A/E+ El c5rculo interseca el eje I en los puntos I max=( 58.866 + 53.841 ) x ( 10 )
6
6
( 5.025 , 0) ( 112.707 , 0 ) , !or lo tanto3 4
=112.707( 10 ) m m
6
6
I min=( 58.866 − 53.841 ) x ( 10 ) =5.025 ( 10) m m
4
>) EKE+ !'IFCI!A/E+ Como se muestra en "gura anterior el ángulo
2θ
se determina a partir del c5rculo al medir
en sentido contrario al de las manecillas del reloj# desde *A 4acia la dirección del eje positi2o, !or consiguiente3
I
2θ
= sen−
1
(
22.4 53.841
)=
24.585 °
El eje principal para
6
I max= 112.707 ( 10 ) mm
4
está por lo tanto# orientado a un ángulo
θ ! 1=12.292 ° # medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj# desde el eje x
positi2o 4acia el eje u positi2o, El eje 2 es perpendicular a este,
y '
u 12#2(2)
•
x
Con el c5rculo de Mo4r# determine los momentos de inercia principales la orientación de los ejes principales maores para el área de la sección trans2ersal de la 2iga que se muestra en la "gura con respecto a un eje que pase a tra2&s del centroide,
+*/CIWF ) 1eterminar I x , I y , e I xy 100
¿ ¿ ¿3 20
¿ ¿ ¿3 80 ¿=3.142 ( 10 ) m m ¿ 20 ¿+¿ ¿ I x =¿ 6
4
20
¿ ¿ ¿3
80
¿ ¿ ¿3 6 4 20 ¿=3.142 ( 10 ) mm ¿ 100 ¿+¿ ¿ I y =¿ I xy =−( 32.22 − 10 ) ( 50 −32.22 ) ( 100 ) ( 20 )−( 60− 32.22)( 32.22−10 )( 80 )( 20 ) I xy=−1.778 ( 10 ) mm 6
4
;) 1E$E'MIFA' E/ CEF$'* * 1E/ C@'C/* %=
(
I x + I y 2
)
, 0 =( 3.142 , 0 ) x ( 10 ) mm 6
4
A4ora gra"camos el punto en A que es un punto de la circunferencia para ello3 A =( I x , I xy ) =( 3.142,−1.778 ) x ( 10) m m 6
4
El radio de la circunferencia ser5a la unión de los puntos * A# por lo tanto mediante !itágoras a"rmamos que3 %A = √ ( 0 )
2
2
6
+(−1.778) =1.778 x (10 ) mm
4
Ix
[ 10 mm ] 6
4
Imax =4,(2
Imin=1,*$4
I O
[ 10 mm ] 6
R1,""8
4
A !*#142 , %1#""8&
2θ
) M*MEF$*+ 1E IFE'CIA !'IFCI!A/E+ El c5rculo interseca el eje I en los puntos I max=( 3.142 + 1.778 ) x ( 10 )
6
6
=4.92 (10 ) mm
6
6
( 1.364 , 0 ) ( 4.92 , 0 ) , !or lo tanto3
4
I min=( 3.142−1.778 ) x ( 10 ) =1.364 ( 10 ) mm
4
>) EKE+ !'IFCI!A/E+ Como se muestra en "gura anterior el ángulo
2θ
se determina a partir del c5rculo al medir
en sentido contrario al de las manecillas del reloj# desde *A 4acia la dirección del eje
I
positi2o, !or consiguiente3 2θ
= sen−
1
( )= 1.778 1.778
90 °
6 4 El eje principal para I max= 4.92 ( 10 ) m m está por lo tanto# orientado a un ángulo
θ ! 1=45 ° #
medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj# desde el eje x positi2o 4acia el eje u positi2o, El eje 2 es perpendicular a este,
u
'
45)
•
Con el c5rculo de Mo4r# determine los momentos de inercia principales la orientación de los ejes principales maores para el área de la sección trans2ersal de la 2iga que se muestra en la "gura con respecto a un eje que pase a tra2&s del centroide,
+*/CIWF ) 1eterminar I x , I y , e I xy 6
¿ ¿ ¿3 1
¿ ¿ ¿4 ¿ 1
¿ & ¿ ¿ 4 ¿−¿ ¿ I x =¿
4
¿ ¿ ¿3 1
¿ ¿ ¿4 ¿ 1
¿ & ¿ ¿ 6 ¿−¿ ¿ I y =¿ I xy = [ o +( 4 )( 6 )( 2 )( 3 ) ] − [ 0 + & ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ] =118.87 pul$
4
;) 1E$E'MIFA' E/ CEF$'* * 1E/ C@'C/* %=
(
I x + I y 2
)
, 0 =( 175.8 , 0 ) pul$
4
A4ora gra"camos el punto en A que es un punto de la circunferencia para ello3 A =( I x , I xy ) =( 236.95 , 118.87 ) pul$
4
El radio de la circunferencia ser5a la unión de los puntos * A# por lo tanto mediante !itágoras a"rmamos que3 %A = √ ( 61.15) +( 118.87 ) =133.68 pul$ 2
2
4
I x Imax =*0(,48
A !2*$#(5 + 118#8"&
I
O I min=42,12
) M*MEF$*+ 1E IFE'CIA !'IFCI!A/E+ El c5rculo interseca el eje I en los puntos I max= 309.48 pul$ I min= 42.12 pul$
(42.12 , 0 ) ( 309.48 , 0) , !or lo tanto3
4
4
>) EKE+ !'IFCI!A/E+ Como se muestra en "gura anterior el ángulo
2θ
se determina a partir del c5rculo al medir
en sentido de las manecillas del reloj# desde *A 4acia la dirección del eje
I positi2o, !or
consiguiente3 2θ
= sen−
1
(
118.87 133.68
)=
67.77 °
El eje principal para
I max= 309.48 pul$
4
está por lo tanto# orientado a un ángulo
θ ! 1=33.885 ° # medido en sentido de las manecillas del reloj# desde el eje x positi2o 4acia el
eje u positi2o, El eje 2 es perpendicular a este,
5A6o de a in-er!i/n #ara e de!arroo + a !e3$ridad aimentaria7
ni2ersidad Facional !edro 'uiz Qallo INGENIERIA CIVIL C$r!o4
Estática
Pro8e!ora4 Kannna Xeatriz Xernilla Qonzales
Inte3rante!4
Agust5n FJ6ez +auri Qiuliana Arcila Ca%rejos +andra Kosias Qa%riel Mejia Mana Alexander Carranza Mestanza
;N?D: ;?>DY ;?> A ;?>DBE
ING. CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
/am%aeque 9 !erJ
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CONTENIDO
Momentos de inercia para areas
Momento de inercia de 2olJmenes compuestos Momento de inercia para un área con respecto a un eje inclinado C5rculo de mo4r para momentos de inercia
CONCLUSIONES •
El momento de inercia de un cuerpo tridimenional e o-tiene e'aluando la i.uiente inte.ral/
∫
I = r ² dm
0 1ue de eta 23rmula e deprende la inercia dependiendo a4ora del I = ρ
•
•
'olumen#
∫ r ² dv
5a unidade para el momento de inercia de un área implica la lon.itud ele'ada a la cuarta potencia, por ejemplo, mZ, pieZ o pul.Z# El momento de inercia de un área o 'olumen compueto er6a la uma de toda u parte conocida#
