Capítulo 9 Momentos de inércia das figuras planas 9.1 9.1
Intr Introd oduç ução ão
Definições:
eixo de simetria: recta, recta, que que se existir existir,, divide divide a figura figura em em duas duas partes partes tais que estejam uma para a outra como um objecto para a sua imagem no espelho. centro de simetria ponto de cruzamento de dois eixos de simetria. Uma figura plana só poder ter um centro de simetria.
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
O
¡
¡
¡
¡
momento estático da 1 ordem de área A de uma figura em relação a um pólo O (Capítulo 7) é: a
S O =
r dA
(9.1)
A
r repres onde dA é a área área elem elemen enta tarr e represen enta ta o vecto vectorr posiçã posição o da área área eleme elementa ntarr ao ponto O . Os momentos estáticos em relação aos eixos de simetria são sempre nulos.
y
¢
¢
£
£
dA
y
xG
G
r
yG o
x
o
x
28
Momentos de inércia das figuras planas
centro de gravidade, centróide, centro de massa de uma figura é o ponto de coordenadas (xG , yG ) do plano da figura dado por:
xG =
x dA ; A
yG =
y dA . A
eixos centrais passam pelo centro de gravidade. O centro de gravidade coincide com o centro de simetria, se este existir. O centro de gravidade existe sempre, podendo estar fora da figura. momento da 2 ordem ( momento de inércia – geométrica) de área A de uma figura em relação a um eixo e, co-planar com ela é dado por: a
I ee =
r 2 dA
(9.2)
A
onde r é a distância ao eixo da área elementar dA. Em relação a dos eixos coordenados x e y :
I xx =
y 2 dA ;
I yy =
A
x2 dA .
(9.3)
A
¡
dA ¡
y
x
r
y
o
x
O momento de inércia esta relacionado com o efeito dos sistemas de forças distribuídas numa área (volume).
momento polar de inércia de área A de uma figura em relação ao eixo z ou um pólo (ponto O origem dos eixos coordenados) é dado por:
I p =
r2 dA =
A
(x2 + y 2 ) dA = I xx + I yy .
(9.4)
A
produto de inércia de área A de uma figura em relação a dois eixo coplanares com ela, eixos coordenados x e y , é dado por:
I xy =
xy dA .
(9.5)
A
O produto de inércia é relevante sempre que se trata de uma secção sem eixo de simetria ou no caso da rotação dos eixos.
9.2 Cálculo dos momentos de inércia por integrais
29
tensor de inércia Os momentos (I xx , I yy ) e o produto ( I xy ) de inércia de uma figura plana referida a um sistema de eixos ortogonais (x , y), formam um tensor de 2 ordem simétrico: a
= I
I xx I yx
−
−I xy
I yy
raio de giração de área A de uma figura em relativamente aos eixos coordenados, é dado por:
kx =
I xx ; A
I yy A
ky =
(9.6)
O raio de giração polar é dado por:
kp =
I p = A
kx2 + ky2
(9.7)
O raio de giração mede a distribuição da área a partir do eixo. A unidade SI [m].
Observações O momento de inércia é momento do momento estático. O momento de inércia e o momento polar inércia são sempre positivos. O produto de inércia pode tomar valores positivo, negativo ou nulo.
9.2
Cálculo dos momentos de inércia por integrais
Rectângulo Os momentos de inércia em relação aos eixos x e y . h
2
2
dI xx = y dA = y bdy
⇒
2 2 dI yy = x dA = x bdx
⇒
bh3 I dI y bdy = xx = xx == 3 A 0 b hb3 2 I dI x hdx = yy = yy == 3 A 0
2
y‘
y
y‘
y
dA=hdx G
h
x‘
£
o
£
£
£
¤
¤
¤
b
¢
¢
¢
¢
G
h
¢
¢
¢
¢
x‘
dA=bdy x
o
b
x
30
Momentos de inércia das figuras planas
Os momentos de inércia em relação aos eixos centrais x e y .
h/2
2
2
dI x x = dI xx = y dA = y bdy
⇒ I = xx
bh3 y bdy = 12 h/2
2
A
dI xx ==
−
b/2
2
2
dI y y = dI yy = x dA = x bdx
⇒
I yy =
x 2 hdx =
A
dI yy ==
b/2
−
hb3 12
O produto de inércia em relação aos eixos centrais x e y é nulo sendo eixo de simetria. O produto de inércia em relação aos eixos x e y é:
b
dI xy = x ydA
⇒ I = xy
h
h2b2 x ydxdy = 4
0
0
Círculo O momento polar de inércia do círculo de raio R em relação ao pólo O origem dos eixos centrais x e y é: y
r
dA=2π rdr
O
x
R
R
2
dI p = r dA ; dA = 2 π rdr
⇒ I = p
πR 4 2 π r dr = 2
dI p =
A
0
3
Tendo em conta que qualquer eixo que passa pelo ponto O é eixo de simetria I xx = I yy e utilizando a relação 9.5:
I p = I xx + I yy
⇒
I πR 4 p I = xx = I yy = 2 4
Os raios de giração são:
kp =
9.3
I p = A
πR /4 R = ; 2πR 2 2 4
kx = ky =
√ R 2 4
Variação dos momentos de inércia em relação ao translação dos eixos
O momento de inércia em relação a eixos do referencial (x , y ) paralelos aos eixos do referencial (x , y) situado a uma distância d (dx , dy ), pode ser expresso em função dos momentos de inércia calculados em relação aos eixos x , y e a distância d, sendo os momentos de inércia duma área elementar dA:
9.4 Variação dos momentos de inércia em relação ao rotação dos eixos
31
y
x
¡
y´
dx
dA
¡
¡
¡
y
O
x
dy O´
x´
2 2 2 2 dI x x = dI xx = y dA = (y + dy ) dA = y dA + 2 yd y dA + dy dA
I xx =
y 2 dA + 2 dy
A
A
y dA + d2y
A
⇒
2 dA = I xx + 2 dy S x + dy A
Analogamente para o I y :
2 I y = I y + 2 dx S y + dx A
e para o produto de inércia:
I x y = I xy =
(y + dy )(x + dx )dA = I xy + dy S x + dx S y + dy dx A
A
onde S x e S y são os momentos estáticos da área A em relação ao eixos x e y . Se o referencial (x , y) for central (O G), os momentos estáticos S x e S y anulam-se e fica:
≡
2 I x x = I xG + dy A
(9.8)
2 I y y = I yG + dx A I x y = I xyG + dy dx A
(9.9)
(9.10)
Este resultado constitui o teorema de Steiner ou teorema de transmissão de momentos ou dos eixos paralelos. O momento de inércia polar resulta: 2 2 I p = I O = I x x + I y y = I G + (dx + dy ) A
9.4
Variação dos momentos de inércia em relação ao rotação dos eixos
Para determinar os momentos e o produto de inércia de uma figura plana relativamente a um referencial qualquer (x , y ) que se obtém de (x , y) através de uma
32
Momentos de inércia das figuras planas
rotação com ângulo α, escrevem-se as coordenadas do centróide da área elementar no novo referencial (x , y ) nos antigos (x , y).
y
y´
dA
x
¡
x´
x = x cos α + y sin α y = y cos α x sin α
y´
x´
−
α
y
x
O´O
e substituindo nas equações (9.3) e (9.5) se obtém: 2 2 I I xx cos α + I yy sin α xy sin2α xx = I 2 2 I xx sin α + I yy cos α + I xy sin2α yy = I I I xx yy I sin2α + I xy cos2α xy = I yx = 2
−
9.4.1
−
Transformação ortogonal do tensor da inércia
Os momentos e o produto de inércia relativamente a um referencial qualquer (x , y ) que se obtém de (x , y) através de uma rotação com ângulo α, podem ser obtidos por uma transformação ortogonal do tensor I , com a matriz da transformação T :
x2
x2 e2 e1
e2
T =
x1
α x1
T T 11 12 ; T T 21 22
T ei , ej ); ij = cos(
e1
A matriz T contém as componentes dos versores dos novos eixos (x , y ) nos antigos (x , y). A matriz dos cosenos directores dos novos eixos nos antigos:
T =
cos(x1, x1 ) cos(x1 , x2 ) cos(x2, x1 ) cos(x2 , x2 )
A matriz T é ortogonal T 1 = T . Os tensor da inércia no novo referencial mação ortogonal do tensor I :
=
cos α sin α
− sin α cos α
−
T
I = T I T
=
cos α sin α
− sin α cos α
I calcula-se
I xx I yx
−
−I xy
I yy
pela relação da transfor-
cos α sin α sin α cos α
−
2 2 I 2I xx cos α + I yy sin α xy sin α cos α xx = I 2 2 I xx sin α + I yy cos α + 2I xy sin α cos α yy = I
−
I xx xy = I yx = (I
2
− I )sin α cos α + I (cos α − sin yy
xy
(9.11) (9.12)
2
α)
(9.13)
9.5 Momentos principais de inércia
I =
9.5
33
I xx I yx
−I
−
xy
I yy
Momentos principais de inércia
Para qualquer ponto O existe um determinados par de eixos ( xI , xII ) ortogonais para qual o produto de inércia anula-se e o momento de inércia I xx tem valor máximo. Estes eixos chamam-se eixos principais ou direcções principais de inércia e os momentos de inércia chamam-se momentos principais de inércia. A partir da equação (9.11) temos:
dI xx α=α = dα
|
0
tan2α0 =
−2I cos2α − (I − I )sin2α| xy
xx
−I I − I xy
xx
α=α0
=0
direcções principais (α0)
→
yy
yy
2
Os momentos principais de inércia (sempre I ): I > I II
− − −
I xx + I yy I + I = 2
I xx
I yy
I xx + I yy I II = 2
I xx
2 2 + I xy
2
I yy
2
2
2 + I xy
Os momentos principais de inércia representam os valores máximo e mínimo que os momentos de inércia da área da figura pode tomar em relação aos eixos orG for o centro de togonais com origem no ponto O qualquer. Se o ponto O gravidade da figura o referencial ( xI , xII ) que diagonaliza o tensor da inércia chama-se referencial principal central de inércia.
≡
Utilizando a transformação ortogonal para os tensores bidimensionais Interesse agora a transformação de referencial ( x , y ) para (xI , xII ) - referencial principal - em relação a qual o tensor de inércia é diagonal. As componentes deste tensor chamam-se momentos principais de inércia.
= I
I xx I yx
−
−I xy
I yy
I =
→ T
I = T I T
I I 0 0 I II
34
Momentos de inércia das figuras planas
Utilizando a circunferência de Mohr (tensores bidimensionais) Em alternativa pode-se recorrer ao circunferência de Mohr, o que é uma representação gráfica da lei de transformação do tensor I .
= I
I xx I yx
−I xy
I yy
−
I Os par (I xx , xy ) e ( I yx , I yy ) representam as componentes do tensor associadas à direcção x e y , respectivamente.
−
−
• Marquem-se na circunferência, as componentes do tensor no referencial rodado, (x, y):
I =
OC + R cos2α R sin2α R sin2α OC R cos2α
− −
−
=
I xx I yx
−I xy
I yy
−
I nt OC−Rcos2α
2
I + I I II 2 I I I II R= 2
α
2 n i s R
α
2 n i s R −
OC = I II
II
O
C
−
I nn
2α
1
OC+Rcos2α
Convenção: a componente I yx marca-se na circunferência de Mohr com sinal trocado. (Os pontos 1 e 2 tem as coordenadas 1(I xx , I xy ) e 2(I xx , I yx ))
−
• Fórmulas: I xx + I yy OC = 2
|I | I − I
R=
xy
tan2α =
xx
yy
2 I +R I = OC
− I xx
I yy
2
→
2 2 + I xy
direcções principais
I II = OC R
−
Nota-se que a rotação real dos eixos coordenados é no sentido contrario com metade do ângulo à rotação na circunferência de Mohr.
Nota:
OC =
I I + I xx + I yy I II = 2 2
(é invariante)
9.6 Momentos de inércia das figuras compostas
35
• Cada ponto da circunferência representa as componentes do tensor associadas a uma das direcções, a qual roda com um ângulo duplo e em sentido contrário (−2α) ao dos respectivos eixos coordenados ( α). 9.6
Momentos de inércia das fi guras compostas
Uma figura pode ser dividida em figuras simples. Nestas condições, os momentos de inércia da figura composta a um eixo obtém-se por soma algébrica (soma/diferença) dos momentos de inércia de cada figura componente em relação a esse eixo. Os momentos de inércia das figuras geométricas elementares encontram-se nas tabelas.
I x =
I xi ;
I y =
I yi ;
I p =
I pi
(9.14)
O raio de giração de uma superfície composta não é igual à soma dos raios de giração parcelares. Para calcular o raio de giração é necessário calcular o momento de inércia da figura composta. Exemplo de cálculo para um anel com raio R1 e R2 :
Problema 9.9 y
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
O
R1
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
x
2 1 I I p = I p p =
−
πR 24 2
− πR2
4 1
=
π 4 (R 2 2
4 1
−R )
R2
Contudo, antes de adicionar/(subtrair) os momentos de inércia das áreas parcelares, poderá ser necessário utilizar o teorema dos eixos paralelos e/ou rodar os eixos para transferir cada momento de inércia para o eixo desejado. Problema 9.10
y
Calcule os momentos de inércia I x e I y para a figura composta. quad quad sc = I sc + Asc d2) I = I + 2 I + 2(I x
x
x
4 sc = 20 π I
xG
20
O 20
8
−
202 π 2
xG
xG
2
80 3π
404 π202 I +2 17561.1 + x = 12 2 x
= 17561.1mm4
80 + 20 3π
2
= 1268318mm4
quad
20
20
quad scirc = I I + 2 I y = I y y yG
sc + 2 I xG
404 π204 I +2 = 338997mm4 y = 12 8
36
Momentos de inércia das figuras planas
Para facilitar os cálculos usam-se as folhas de cálculo (Tabela Problema 9.11). Divide-se a figura em áreas simples, parcelares, com posição do centro de gravidade e momentos de inércia centrais conhecidos. Escolha-se um referencial arbitrário (x , y).
Ai
Comp.
xG
yG
-
-
i
Ai
S xi
i
S yi
S x i
xG
yG
I x
I y
S xG y
yG
-
-
i
Gi
Gi
I x
I y
i
i
I x i
Definições:
Ai - áreas parcelares; xG , yG - distâncias à referencial (x , y) dos centros de gravidade das áreas i
i
parcelares;
S xi = Ai yG , S yi = Ai xG - momentos estáticos das áreas parcelares em relação aos eixos do referencial (x, y); i
i
S y - distância do centro de gravidade figura comAi posta no referencial (x, y); xG =
S x , yG = Ai i
i
I - momentos de inércia baricéntricos das áreas parcelares; x , I y Gi
Gi
+ Ai (xG xG )2 - momentos de , I yi = I y inércia parcelares, em relação ao centro de gravidade da secção composta (Teorema de Steiner). I xi = I x + Ai (yG
i
Gi
I xx =
−y
I x , I yy = i
G)
2
Gi
i
−
I y - momentos de inércia da figura composta, i
em relação aos eixos centrais da secção. Tabela 9.1: Folha de cálculo
Problema 9.11
Determine os momentos principais de inércia para a seguinte figura composta:
I y i
38
Momentos de inércia das figuras planas
Int
y Iyy = 6.9
y
xII
(2)
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
0.5
Iyx = 10.3 C
2α
III = 2.77
¢
¢
¢
¢
¢
¢
3
Inn
(I)
O (II)
xII
Ixy = −10.3
x G
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
G
¢
xI
(1)
x
¢
α = 22.25
¢
α = 22.25
¢
¢
3
0.5 ¢
0.5 ¢
¢
3 ¢
xI
[cm]
Ixx =27.95 II =21.17
As momentos principais de inércia obtêm-se:
I + R = 17.47 + 14.70 = 21.17 mm4 I = OC I 14.70 = 2.77 mm4 II = OC R = 17.47 I 10.31 xy tan(2α) = = I OC 27.95 17.47 xx
−
−
−
−
1 10.31 arctan α = 22.25 2 10.48 Resulta que a direcção principal xI obtém-se rodando o eixo x de α = 22.25 no α=
⇒
◦
◦
sentido horário.
9.7
Problemas propostos
Apêndice A Circunferência de Mohr para tensores bidimensionais de 2 ordem a
A circunferência de Mohr, para tensores de 2 a ordem simétricos, é uma representação gráfica da lei de transformação.
A.0.1
Tensores bidimensionais
Seja
C =
C I 0 0 C II
a matriz de um tensor de 2 a ordem simétrico, reduzido à forma canónica, e sejam xI e xII os eixos principais. x2 Considere-se a transformação x2 , xII ) de coordenadas (xI
•
e2 e1
e2
(x1 , x2 )
x1
α x1
e1
T =
→
• A matriz de transformação T é dada então por:
cos(e1 , eI ) cos(e1, eII ) cos(e2 , eI ) cos(e2, eII )
=
cos α sin α sin α cos α
−
T
• O tensor C transforma-se de acordo com a lei C = T C T , ou
C =
C C 11 12 = C C 21 22
cos α sin α sin α cos α
−
C I 0 0 C II
cos α sin α
− sin α cos α
Efectuando os produtos matriciais, obtém-se:
= C
C cos2 α + C sin2 α (C )sin α cos α I II II C I 2 (C )sin α cos α C sin α + C cos2 α II C I I II
−
−
40
Circunferência de Mohr para tensores bidimensionais de 2a ordem
= C
C + C C I II C I C II I C II + cos2α sin2α 2 2 2 C C + C I C II I II C I C II sin2α cos2α 2 2 2
−
− − − −
− −
Fazendo a notação
≡ C +2 C I
OC
II
R=
C I C II 2
−
o novo tensor C escreve-se
= C
OC + R cos2α R sin2α R sin2α OC R cos2α
− −
−
(ou a 2 a ) linha da matriz e designando por C nn a componente de índices iguais e por C nt a outra componente,
• Considerando a 1
a
C + R cos2α nn = OC C R sin2α nt =
⇒
−
C OC = R cos2α nn C R sin2α nt =
−
−
Quadrando e somando obtém-se
(C nn
2
2
) + C = R − OC
2
nt
o que representa a equação de uma circunferência num referencial (C nn , C nt ), com o centro em (OC, 0) e de raio R. C nt
C II
C I
O
OC = R=
C nn
C
C + C I II 2
C I C II 2
−
• Marquem-se na circunferência, as componentes do tensor no referencial rodado, (x1 , x2 ):
= C
OC + R cos2α R sin2α R sin2α OC R cos2α
−
− −
=
C C 11 12 C C 21 22
Os par (C 11 , C 12 ) e (C 21 , C 22 ) representam as componentes do tensor associadas à direcção x1 e x2 , respectivamente.
41
Convenção: a componente C 21 marca-se na circunferência de Mohr com sinal trocado.
• Fórmulas: OC =
C + C I II C 11 + C 22 = 2 2 C +R I = OC
(é invariante)
C II = OC R C 12 tan2α = C C 11 22 2
−
−
• Cada ponto da circunferência representa as componentes do tensor associadas a uma das direcções, a qual roda com um ângulo duplo e em sentido contrário (−2α) ao dos respectivos eixos coordenados ( α).