Momentum Angular

Liceo San Agustín Dpto. de Ciencias

El momentum angular Inercia rotacional, momentos de inercia, conservación del momento angular.

Introducción La palabra momentum (momento) se utiliza con frecuencia en el lenguaje diario. De un equipo ganador se dice que está pasando por un buen momento, momento, lo mismo decimos de un político cuando las encuestas lo favorecen. Sin embargo en física el momentum tiene una definición muy especial. Newton realmente expresó su tercera ley del movimiento en términos del momentum, al que llamó cantidad de movimiento. Bien, imaginemos imaginemos que un camión pesado y un auto pequeño viajan por una carretera con la misma velocidad; si los dos se detienen en el mismo intervalo de tiempo, el camión necesita una fuerza mayor. Ahora pensemos que dos autos de igual masa; si uno de ellos se mueve más rápidamente que el otro, se necesita mayor fuerza para detenerlo. Es claro decir que, tanto como la masa como la velo veloci cida dad d del del auto auto ayud ayudan an a dete determ rmin inar ar qué qué se nece necesi sita ta para para camb cambia iarr su movim movimien iento. to. Enton Entonces ces podem podemos os decir decir que el mome momentu ntum m de un cuerp cuerpo o es el producto de su masa por su velocidad; es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección de la velocidad del objeto. Representamos el momentum por la  p,  p, y para entenderlo mejor la ecuación del momentum será: P = m · v  La unidad del momentum es kilogramo · metro/segundo. De acuerdo con la primera ley de Newton (recordaremos (recordaremos que la primera ley de Newton nos dice que si sobre un objeto no se actúa ninguna fuerza se mueve con velocid velocidad ad constant constante, e, tema que desarrol desarrollamo lamos s más profund profundame amente nte el año pasado) podríamos llegar a la conclusión de que el momentum es constante, o dicho dicho en otras otras palab palabra ras, s, se cons conserv erva. a. ¿Por ¿Por qué? qué? Si pensa pensamo mos s en un objeto objeto aislad aislado, o, entonc entonces es su masa masa no puede puede cambiar cambiar.. Si además además su veloc velocid idad ad es constante, entonces también lo es el momentum, o sea el producto de su masa por su velocidad. Para poder llegar a nuestro concepto y desarrollo del momentum angular, hay que recordar algunos conceptos que nos serán útiles para poder entenderlo más fácilmente. El torque es el producto de la fuerza y del brazo de la palanca, cuando aplicamos una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, este cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje y recordemos que cuando hablamos de sistema, nos referimos a un conjunto definido de objetos. Pero Pero antes antes de todo todo esto, esto, comenz comenzar arem emos os aplic aplicand ando o la prime primera ra ley de Newton o el principio de Inercia a movimientos circulares, para poder llegar a comprender a fondo la totalidad de estos conceptos.

Desarrollo Inercia Rotacional  Muchas veces se toman los conceptos de inercia rotacional y momento de inerci inercia a como como sinón sinónim imos os pero pero aquí aquí nos nos dare daremo mos s cuent cuenta a de que si bien bien están están íntimamente relacionados, no son lo mismo. La inercia rotacional se trata de la resistencia de un objeto a los cambios en su estado de movimiento rotacional. En un cuerp cuerpo o con con inerci inercia a rotac rotacion ional, al, neces necesita itare remo mos s de un torqu torque e para para cambiar este estado. En ausencia de un torque neto o total, los cuerpos en rotación permanecen en rotación con velocidad angular constante, esto quiere decir, sin aceleración angular, y los cuerpos que no giran permanecen sin girar. Así definimos la ley de inercia rotacional, lográndola enunciar de 2 maneras: “Todo objeto que gira alrededor de un eje tiende a seguir girando alrededor  de dicho eje con la misma velocidad angular .”  .”  “Si sobre un cuerpo no actúan Torques o si actúan se anulan, el cuerpo no rotará si no estaba rotando, o rotará con MCU ( Movimiento Circular Uniforme ) si  estaba rotando.” 

Estos enunciados corresponden a la primera ley de Newton (principio de inercia) para la rotación. La inercia rotacional depende tanto de la masa como de la distribución de ésta. Cuanto mayor sea la distancia entre la masa de un objeto y el eje alrededor del cual se efectúa la rotación, mayor será la inercia rotacional y por esto será más difícil hacerlo girar o detener su rotación .

Momento de Inercia Se conoce como momento de inercia a la forma en que se distribuye la masa de un cuerpo en relación a su radio de giro. El Momento de Inercia (a veces llamado el segundo momento), de una masa puntual, alrededor de un eje se define como: I = Mr² En donde I corresponde al momento de inercia, M a la masa del objeto y r a r a la distancia entre el objeto y el eje de movimiento (radio).

Teorema de Steiner o de los Ejes paralelos Este Teorema Teorema nos indica la forma de determinar determinar el momento de inercia de un cuerpo rígido respecto de un eje, cuando se conoce el momento de inercia de

dicho cuerpo respecto respecto a otro eje, paralelo al primero primero y que pasa por su centro centro de masa.

En don donde de d corres correspon ponde de a la dis distan tancia cia entre entre los eje ejes s y al moment momento o de iner in erci cia a de un eje de rot rotac ació ión n pa para rale lelo lo qu que e pas asa a po porr su cen enttro de masa. asa.

Péndulo Simple

Anillo

Esfera Sólida

Cilindro sólido

Placa rectangular

Varilla

Con todo esto podemos decir que la inercia rotacional tiene que ver con una cualidad del objeto a mantenerse en el estado de movimiento en el cual se encuentra, encuentra, sea de movimiento rotacional o de reposo, y el momento de inercia hace alusión a la distribución distribución de este mismo objeto.

Momentum Angular  Como sabemos, la rapidez de un objeto que se mueve en círculo solo cambia si se le aplica un torque. En el movimiento angular la cantidad análoga al momento lineal se denomina momentum angular, cantidad de movimiento angular  (L) o también llamando momento cinético. Entonces, si sobre un objeto no hay torque, su momentum angular es constante.

El momentum es el producto de la masa del objeto por su velocidad. El momentum momentum angular es el producto de su masa, la distancia al centro de rotación y la componente de la velocidad perpendicular a esa distancia. Para una partícula de masa m, la magnitud del movimiento lineal es  p = mv . La magnitud de la cantidad de movimiento angular es:

Donde v  es la rapidez de la partícula y r × es el brazo de palanca. En un movimiento circular, r × = r , porque v es v es perpendicular a r . Por ejemplo, el momentum angular de los planetas alrededor del Sol es constante. Por consiguiente, cuando la distancia de un planeta al Sol es mayor, su velocidad debe ser menos. Esta es otra forma de enunciar la segunda ley de Kepler., esta última dice lo siguiente “Una línea del Sol a un planeta barre áreas iguales en lapsos iguales de tiempo”.

Conservación del momentum Supongamos Supongamos que tú colocas algunos cubos de azúcar dentro de una caja y la cierras. Podemos decir que la caja y el cubo constituyen un sistema, esto es, un conjunto definido de objetos como lo hemos dicho anteriormente. anteriormente. Ahora sacude la caja fuertemente por algunos minutos. ¿Qué pasará? Cuando la abras, te darás cuenta de que la forma de los cubos ha cambiado; cambiado; además, hay granos de azúcar  en la caja que antes no había. Sería casi imposible aplicar las leyes de Newton a cada una de las fuerzas que actuaron mientras se agitaba la caja. En cambio, podemos podemos buscar buscar una propieda propiedad d del sistema sistema que perman permaneció eció constan constante. te. Una balanza mostraría que la masa de azúcar y de la caja permanecieron constate: la masa masa se cons conserv erva. a. Desde Desde el siglo siglo pasad pasado, o, los físic físicos os han han enco encontr ntrad ado o que que el estudio de las propiedades que se conserva tiene gran éxito en al solución de problemas y en la comprensión de los principios del mundo físico. Por tanto, la condición para la conservación de la cantidad de movimiento angular es: En ausencia de un momento de fuerza externo, no equilibrado, la cantidad  de movimiento angular total (vector) de un sistema se conserva (se mantiene constante).

Ejemplo Una pequeña pelota, sujeta a una cuerda que pasa por un tubo, se mueve en un círculo (como podemos apreciar en la imagen de abajo). Cuando se tira de

la cuerda hacia abajo, la rapidez angular de la pelota aumenta. ¿Ese aumento se debe a un momento de fuerza causado por la fuerza de tracción? Si la pelota gira inicialmente con una rapidez de 2.8 m/s en un circulo de 0.30 m de radio ¿qué rapidez tangencial tendrá si el radio se reduce a 0.15 m tirando de la cuerda?

Razonemos Si se aplica una fuerza a la pelota a través de la cuerda, tenemos que considerar  el eje de rotación. En ausencia de un momento neto, la cantidad se movimiento angular se conserva y la velocidad tangencial está relacionada con la rapidez angular por v por  v = rw  R1 = 0.30m R2 = 0.15m V1 = 2.8 m/s

Solución El cambio de velocidad angular, no se debe a un momento de fuerza producido por la tracción. La fuerza sobre la pelota, transmitida por la cuerda actúa pasando por el eje de rotación, así que su momento es cero. Dado que la porción de la cuerda se acorta, el momento de inercia de la pelota disminuye. Esto hace que la pelot pelota a se acele acelere re porque porque,, en ausen ausencia cia de un mome momento nto de fuerz fuerza a exter externo, no, la cantidad de movimiento angular de la pelota se conversa. Dado que se conserva la cantidad de movimiento angular, podemos igualar las magnitudes de las cantidades de movimiento angular.

IoWo = IW Luego utilizando I = mr² y mr² y w = v/r tenemos v/r tenemos mrv = mr2v2 v2 = 5.6 m/s Cuando se acorta la distancia radial, la pelota se acelera.

Cantidad de movimiento angular en la vida real El ejemplo de una pelota bateada implica un tipo de colisión, porque la pelota choca con el bate. En la colisión cambia el momentum de la pelota como consecuencia consecuencia del impulso que recibió el bate pero ¿qué le sucedió al bate? Como el bate ejerció una fuerza sobre la pelota, por la tercera ley de Newton, la pelota debió ejercer sobre el bate una fuerza de igual magnitud pero en la dirección opuesta. Entonces el bate también recibió un impulso. La dirección de la fuerza sobre el bate es opuesta a la dirección de la fuerza sobre la pelota, así que el impulso dado al bate también debe estar en la dirección opuesta. Por el teorema del impulso y el momentum, sabemos que el momentum del bate debió cambiar: se redujo como resultado de su colisión con la pelota. O un ejemplo tan simple y evidente como el de la siguiente imagen:

Conclusión El fenómeno de la inercia es aplicable también a movimientos circulares, recibiendo el nombre de inercia rotacional, la cual consiste en la tendencia del objeto a mantenerse en el estado de movimiento en el cual se encuentra. El principio de Inercia (Primera Ley de Newton) se cumple en su totalidad en movimientos circulares. El momento de inercia, corresponde a la distribución del objeto con su eje giratorio. El momento angular es un vector que se encuentra encuentra sobre el eje de rotación y tiene el mismo mismo sentido sentido del vector vector torque torque ; es constante, constante, y solo varía varía cuando cuando sobre el sistema actúa un momento de fuerza externo. La masa, de cualquiera sea el cuerpo, y su distancia con el eje son los 2 más importantes determinantes del momemtum angular.

Bibliografía •

•

http://www.preunab.cl/preuniversitario/fisica/c7/m4.asp http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/preuniversitario/unidades/interacciones /fuerza/concepto/index52.htm

•

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm

•

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm

•

http://www.hverdugo.cl/momento_angular.htm

•

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/teoria/teoria.htm