BAB II Pembahasan SUB BAB I MOMENTUM LINIER 1.1 Momentum Linier Konsep-konsep fisika hasil penemuan para ilmuwan bermanfaat dalam memenuhi prinsip hukum kekekalan, diantaranya adalah hukum kekekalan energi dan hukum kekekalan momentum. A.
Pengertian Momentum
Setiap benda yang bergerak memiliki momentum. Misalnya, dua buah
dan bergerak dengan kecepatan sama sebesar . Benda yang massanya memiliki momentum atau potensi gerak yang lebih besar daripada benda yang massanya . Jika terdapat dua buah benda yang massanya sama sebesar bergerak dengan kecepatan dan , dikatakan momentum benda yang kecepatannya lebih besar daripada benda yang kecepatannya . benda yang masing-masing massanya
Makin besar momentum yang dimiliki suatu benda, makin sulit untuk menghentikannya, dan makin besar efek yang diakibatkannya jika menabrak atau menumbuk. Dengan demikian, momentum suat benda besarnya tergantung pada massa dan kecepatannya. Karena itu, momentum didefinisikan sebagai berikut. Momentum suatu benda
adalah hasil perkalian antara massa dan
kecepatan benda tersebut pada saat tertentu. Secara matematis, momentum suat benda yang massanya m dan bergerak dengan kecepatan v dirumuskan dengan persamaan :
Keterangan :
= momentum (kg m/s) = massa (kg) = kecepatan (m/s) 1
Momentum merupakan besaran vektor, dalam SI dinyatakan dengan satuan kg m/s.
ini biasa disebut momentum linier. Arah momentum
sama dengan arah kecepatannya.
1.2 Contoh Soal dan Pembahasan Pembahasan Momentum Linier
1.
Sebuah mobil bermassa 700 kg bergerak dengan kecepatan 72 km/jam. Momentum mobil tersebut adalah ? Penyelesaian : Diketahui :
m = 700 kg v = 72 km/jam =
Ditanya :
= 20 m/s
p ...?
Jawab : P = m.v = 700 . 20 = 14.000 kg m/s
2.
Sebuah mobil sedan kecil bermassa 1000 kg sedang bergerak ke timur dengan kelajuan 20 m/s, dan sebuah mobil sedan besar bermassa 2500 kg sedang bergerak ke Utara dengan kelajuan 15 m/s. Besaranya momentum total sesaat sebelum tabrakan terjadi adalah ? Penyelesaian : Diketahui :
Persoalan diatas dapat digambarkan sebagai berikut. Penjumlahan momentum mengikuti penjumlahan vektor.
= 1000 kg = 20 m/s = 2500 kg = 15 m/s Ditanya :
P total ...?
Jawab :
= =
P=
2
= =
= 42.500 Jadi, besar momentum totalnya adalah 42.500 kg m/s.
3.
Sebuah benda dengan massa massa 2 kg jatuh bebas bebas dari suatu ketinggian ketinggian 80 m diatas tanah. Besar momentum ketika benda samapai dipermukaan tanah adalah ? Penyelesaian : Diketahui :
m = 2 kg
= 0 m/s (benda jatuh bebas) h = 80 m g = 10 m/s² Ditanya :
p ...?
Jawab : Pada gerak jatuh bebas
= 0 + 2(10)(80) √ 4.
Ditetapkan arah kanan sebagai arah positif, Hitung momentum : Penyelesaian : Diketahui :
a. Mobil bermassa 1600 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan kelajuan 10 m/s. b. Motor bermassa 200 kg yang sedang bergerak ke kanan dengan kelajuan 60 m/s.
Ditanya :
a. P mobil ...? b. P motor ...?
Jawab : Untuk momentum satu dimensi, notasi vektor dapat diganti dengan notasi skalar, cukup dengan memberi tanda positif atau negatif.
3
a)
b)
5.
(Karena arahnya ke kiri) (Karena arahnya ke kanan)
Sebuah mobil yang memiliki massa 1250 kg berpindah sejauh
̅ = ( 20i- 5j)
km dalam waktu setengah jam. Berapakah momentum rata-rata mobil tersebut ? Penyelesaian : Diketahui:
Ditanya :
̅ rata-rata ...?
Jawab : Pertama – tama kita tentukan kecepatan rata-rata mobil
̅ = = km/jam Bila dinyatakan dalam satuan MKS , maka diperoleh
– m/s Momentum rata-rata mobil adalah
– – 6.
Dua benda masing-masing masing-mas ing memiliki massa 2,0 kg dan 3,5 kg. Benda-benda ini bergerak masing-masing dengan kecepatan (3i + 2j) m/s dan (-5i + 4j) m/s. Berapakah momentum total sistem dua benda tersebut? Penyelesaian:
4
2,0 kg 3,5 kg = 3i +2j m/s = -5i +4j m/s
Diketahui:
Ditanya :
p total ...?
Jawab : Momentum masing-masing benda
= m = 2 kg x (3i + 2j) m/s = (6i + 4j) kg m/s = m = 3,5 kg x (-5i + 4j) m/s = (-17,5i + 14j) kg m/s Momentum total sistem
̅̅ = =(6i + 4j) kg m/s + (-17,5i + 14j) kg m/s = (-11,5i + 18j) kg m/s 7.
Seorang anak melempar sepotong roti kedalam kolam, dua ekor ikan mujair dan seekor ikan lele dengan cepat bergerak ke arah jatuhnya roti. Massa ikan mujair masing – masing 400 g, dan massa ikan lele 500 g. Ikan mujair berenang dengan kecepatan1,5 m/s dan ikan lele berenang dengan kecepatan 1,8 m/s. Tentukan besar dan arah momentum total dari ketiga ikan tersebut ? Penyelesaian : Diketahui :
Ditanya :
|| ... ? ... ?
Jawab : Pusat koordinat di tetapkan pada posisi jatuhnya roti. Diagram momentum dari tiga ikan tampak pada gambar di bawah.
5
m/s y
m/s = 1,8 m/s
x
Momentum ikan mujair 1 :
̅̅ ⁄
Momentum ikan mujair 2 :
⁄ j
Momentum ikan lele :
⁄ j Berarti momentum total adalah :
̅ ̅ Besar momentum total adalah :
|| = 0,67 kg m/s Arah momentum total adalah :
6
8.
Seorang pemain sepak bola bermassa 90 kg, bergerak lurus dengan kelajuan 4 m/s. Sebuah granat bermassa 1 kg ditembakkan dengan kelajuan 500 m/s. Manakah yang mempunyai momentum lebih besar ? Penyelesaian : Diketahui :
Massa pemain sepak bola Kecepatan pemain Massa granat Kecepatan granat
Ditanya :
⁄ ⁄
Momentum yang lebih besar p ...?
Jawab : Besarnya momentum pemain sepak bola :
⁄ ⁄
Besarnya momentum granat :
⁄ ⁄
Jadi, momentum granat lebih besar daripada momentum pemain sepak bola. 9.
Sebuah benda bermassa 0,5 kg dijatuhkan tanpa kecepatan kecepat an awal dari suatu ketinggian 10 m di atas lantai. Berapakah momentum benda saat tepat akan menyentuh lantai? Penyelesaian: Diketahui :
m = 0,5 kg g = 10 m/s² h = 10 m
Ditanya :
momentum benda (p)....?
Jawab : Karena gerak hanya satu dimensi, maka kita dapat menggunakan notasi skalar
untuk
momentum.
Pertama-pertama
yang
dilakukan
adalah
menentukan kecepatan benda saat akan menyentuh lantai. Kita dapat menggunakan hukum kekekalan energi mekanik.
+ = + 0 + = = 7
⁄ = 14 ⁄ =
Momentum benda
10. Dua buah benda bermassa sama 6 kg bergerak dengan kecepatan masingmasing 10 m/s dan 5 m/s. Tentukan momentum total yang dihasilkan benda setelah tumbukan! Penyelesaian: Diketahui:
⁄ ⁄ Ditanya: p (momentum (momentum total) Jawab :
= = 30 kg m/s = = 90 kg m/s ̅̅ = = = kg m/s = 30√
8
SUB BAB II Impuls 2.1 Pengertian Impuls Misalkan sebuah benda massanya m. Pada benda tersebut bekerja gaya F selama
t hingga menyebabkan kecepatan benda berubah dari v1 menjadi
v2. Perhatikan Perhatikan gambar 5.1
Berdasarkan hukum II newton diperoleh F=ma
⃗ = Maka ⃗=
Karena
Sehingga,
⃗ ⃗ ⃗ Keterangan :
⃗ = gaya (N) = selang waktu (s) = massa (kg) ⃗ = Kecepatan benda sebelum dikenai gaya (m/s) ⃗ = Kecepatan benda sesudah dikenai gaya (m/s) Sehingga didapat persamaan :
Keterangan : I = impuls (Ns) Jadi, impuls dapat didefinisikan sebagai berikut.
adalah hasil perkalian antara gaya dan selang waktu saat gaya bekerja. Impuls merupakan besaran vektor, dalam SI dinyatakan dengan satuan Ns atau kg m/s.
9
2.2 Contoh Soal dan Pembahasan Impuls 1.
Bola softball bermassa 0,15 kg d lempar horizontal ke kanan dengan kelajuan 20 m/s.setelah di pukul, bola bergerak bergerak kekiri dengan kelajuan 20 m/s. a.
berapa impuls yang diberikan kayu pemukul bola?
b.
Jika kayu pemukul pemukul dan bola bersentuhan selama 0,8 m/s,berapa m/s,berapa gaya rata-rata yang di berikan oleh pemukul kayu?
c.
Hitung percepatan rata-rata bola selama bersentuhan dengan pemukul kayu?
Jawab : Perjanjian tanda a.
kanan : + ; kiri : - = +20 m/s dan = -20 m/s
Impuls oleh pemukul kayu :
) =(0,15)[(-20)-(+20)] = -6 N.s b.
Gaya rata-rata rata-r ata oleh pemukul kayu :
= -6 = - 7500 N c.
Percepatan rata-rata :
= = -50 000 m/ 2.
Sebuah bola bermassa 0,15 kg pada permainan softball dilempar mendatar keknan dengan kelajuan 20 m/s, setelah di pukul bola bergerak kekiri dengan kelajuan 20 m/s. a.
Berapakah impuls yang di be berikan rikan oeh kayu pemukul pemukul pada bola?
b.
Jika gaya pemukul dan bola bersentuhan bersent uhan selama 0,80 ms. Berapakah gaya rata-rata yan di berikan kayu pemukul pada bola?
c.
Hitung percepatan rata-rata bola selama bersentuhan bersentuhan dengan kayu pemukul?
Jawab: Seperti biasa, karena bola bergerak mendatar (satu dimensi) kita dapat mewakilkan notasi vektor dengan memberikan tanda positif atau negatif, untuk itu, kita tetapkan t etapkan arah mendatar kekanan sebagai acuan arah positif.
10
Diketahui massa bola m = 0,15 kg
=+20 m/s (arah kanan) Kecepatan akhir = -20 m/s (arah kiri) Kecepatan awal
a. Impuls yang di berikan kayu pemukul pada bola sama dengan peruahan momentum bola
- I = m( ) m/s = 0,15[-20-(20)] 0,15[-20-(20)] = -6 N s Tanda negatif menyatakan bahwa impuls berarah mendatar ke kiri
=8,0 . s Gaya rata-rata kayu pemukul pada bola ⃗ dihitung dengan persamaan I = ⃗ ⃗ = = = - 7500 N c. Percepatan rata-rata⃗ dapat di hitung dengan persamaan ⃗ m⃗ ⃗= = 75000 m
b. Selang waktu t = 0,80 ms = 0,80 .
Tanda negatif menyatakan bahwa arah percepatan adalah medatar kekiri 3.
Pada permainan bola kasti, bola bermassa 0,5 kg mula-mula bergerak dengan kecepatan 2 m/s.kemudian bola tersebut dipukul dengan gaya F berlawanan dengan gerak bola sehingga kecepatan bola berubah menjadi 4 m/s. bila bola bersentuhan dengan pemukul selama 0,01 sekon, maka gaya yang dilakukan oleh pemukul adalah? Penyelesaian: Diketahui: m =0,5 kg v1 = 2 m/s v2 = 4 m/s (berlawanan dengan v1) t
= 0,01 sekon‟
Ditanyakan: I (impuls) =…? Jawab:
11
= ∆p
I F . ∆t
= m ( v2 - v1 )
F . 0.01 = 0,5 (4 - 2) F
=
kg m/s = 100 N
Jadi, gaya yang dilakukan oleh pemukul adalah 100 N. 4.
Sebuah bola bermassa 500 g ditendang oleh seseorang dengan gaya 300N. Jika kaki dan dan bola bersentuhan bersentuhan selama 0,8 0,8 sekon, tentukan impuls impuls pada peristiwa itu! Penyelesaian: Diketahui: m = 0,5 kg F = 300 N
= 0,8 s
Ditanyakan : I =…? Jawab: I = F.
= 300 . 0,8 = 240 Ns Jadi,impuls yang terjadi adalah 240 Ns. 5.
Apabila seseorang tak sengaja menendang bola yang ada di depannya dengan gaya 220 N dan impuls yang terjadi pada peristiwa tersebut adalah 110 kg m/s, maka berapakah selang waktu yang terjadi dalam peristiwa tersebut? Penyelesaian: Diketahui: F = 220 N I = 110 110 kg m/s Ditanyakan:
=….?
Jawab:
I
=F. t
110 kg m/s = 220 N . t
t
=
= 0,5 sekon 12
Jadi, selang waktu yang terjadi dalam peristiwa tersebut adalah 0,5 sekon. 6.
Suatu benda dilempar dengan kecepatan awal 1 m/s dan mendarat di tanah dengan kecepatan akhir 2 m/s. Sedangkan impuls yang terjadi dalam peristiwa tersebut adalah 150 Ns. Berapakah massa dari suatu benda tersebut? Penyelesaian: Diketahui: I = 150 Ns
= 1 m/s = 2 m/s
Ditanyakan: m =…?
Jawab:
= ∆p
I 150 Ns
= m ( v2 - v1 )
150 Ns
= m (2 - 1)
m
= 150 gram = 0,15 kg
Jadi, massa dari suatu benda tersebut adalah 0,15 kg. 7.
Seorang anak kecil menyundul bola yang datang ke arahnya dengan gaya sebesar 250 N. Bola itu terlempar dengan kecepatan 5 m/s, selang waktu yang berlangsung adalah 0,02 sekon sedangkan massa bola tersebut 500 gram. Berapakah kecepatan kecepatan mula-mula bola tersebut tersebut sebelum disundul? disundul? Penyelesaian: Diketahui: F
= 250 N
= 20 m/s = 500 gram
∆t = 0,02 sekon
Ditanyakan:
= ..?
Jawab: I
= ∆p
F . ∆t = m ( v2 - v1 ) 250 .0,02 = 0,5 (20 5
= 10 -
)
13
5 – 10 =
=
= 10 m/s
Jadi, kecepatan mula-mula bola tersebut sebelum disundul adalah 10 m/s. 8.
Hitunglah impuls yang dialami seseorang yang bermassa 70 kg mendarat di tanah yang padat setelah melompat dari ketinggian 3,0 m. kemudian gaya rata-rata yang diberikan pada kaki orang tersebut, jika pendaratan dengan gaya kaki lurus tubuh orang itu bergerak 1,0 cm dan dengan gaya kaki yang ditekuk tubuh bergerak 50 cm? Penyelesaian
Dimana kita anggap ( = 0) dan = 3,0 m dan y = 0 dengan demikian setelah jatuh sejauh 3,0, kecepatan orang itu persis sebelum mendarat adalah
= 7,7 m/s =
V=
Pada waktu orang itu mendarat, momentum dengan cepat menjadi nol. Jadi impuls orang tersebut adalah
⃗ = = 0 – (70) (7,7) = - 540 Ns Tanda negative menunjukan bahwa gaya berlawanan dengan momentum awal yaitu gaya bekerja dengan arah keatas. Pada waktu berhenti tubuh diperambat dari 7,7 m/s menjadi nol dalam jarak d = 1,0 cm = 1,0 x 10 -2m. laju rata-rata selama periode singkat ini adalah
= 3,8 m/s
V=
Sehingga tmbukan terjadi selama
= = 2,6 x 10
-3
s
14
Karena besar impuls adalah rata – rata
⃗ memiliki besar
⃗ = = 21 x 10 Maka, ⃗ = - mg
-5
⃗ = 540 Ns, dan =2,6 x 10
-3
s gaya total
N
Karena mg = 70 x 9,8= 690 N Maka
= ⃗ + mg = 21 x 10 + 0,690 x 10 = 21 x 10 5
3
5
Gaya keatas yang diberikan oleh tanah pada kaki orang tersebut adalah
+ mg = 4,2 x 10 + 0,690 x 10 = 4,9 x 10 N. 3
9.
3
3
Seorang pemain sepak bola bermassa 90 kg bergerak lurus dengan kelajuan 4 m/s. Sebuah granat bermassa 1 kg ditembakkan dengan kelajuan 500 m/s. Manakah yang mempunyai momentum yang lebih besar? Penyelesaian Diketahui:
= 90 kg = 4 m/s = 1 kg = 500 m/s
Ditanyakan: momentum yang lebih besar...? Jawab: Besarnya momentum pemain sepak bola:
= (90kg)(4 m/s) = 360 kg m/s Besarnya momentum granat:
= (1kg)(500m/s) = 500 kg m/s Jadi, momentum granat lebih besar daripada momentum pemain sepak bola. 10.
Sebuah mobil (m = 1500 kg) bergerak sepanjang garis lurus dan berkurang kecepatannya dari 20 m/s di A menjadi 15 m/s di B dalam selang waktu 3 s. Berapakah gaya rata – rata yang memperlambat mobil itu? Penyelesaian Diketahui: M=1500 kg
= 20 m/s 15
= 15 m/s = 3s
⃗
Ditanyakan: =...? Jawab
⃗ = m - m ⃗ (3 s) = (1500 (15)) – (1500 (20)) ⃗ = = - 2500 N Tanda negatif menunjukan bahwa gaya F arahnya berlawanan dengan arah gerak. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwa mobil bergerak diperlambat.
16
SUB BAB III Hubungan Momentum dan Impuls 3.1 Hubungan Momentum dan Impuls
⃗ adalah momentum akhir dan ⃗ m⃗ -m⃗ disebut perubahan momentum,
Lihat kembali Persamaan 5.2 bahwa adalah momentum awak maka
2
2
1
1
sehingga Persamaan 5.2 menjadi
t = ⃗ –⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ 2
2
1
1
……………………(5.4)
Jadi, impuls merupakan perubahan momentum suatu benda pada saat terjadi tumbukan. Tumbukan yang terjadi memerlukan waktu yang sangat singkat, walaupun demiian gaya yang bekerja sangat besar. Hal ini dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada raket tenis atau tongkat bisbol yang memukul bola, dua bola bilyar yang sedang bertumbukan, dan martil memukul paku, perhatikan gambar 5.2 !
Gambar 5.2 (a) Raket tenis memukul bola. Terjadi perubahan bentuk bola dan raket yang disebabkan oleh gaya yang besar yang diberikan satu sama lain. (b) martil memukul paku dengan gaya yang besar, dalam waktu singkat memungkinkan paku bergerak menembus kayu, (c) tumbukan bola baseball dengan pemukulnya. Lihat perubahan bentuk bola karena gaya yang besar yang
17
dikerjakan oleh pemukul selama waktu kontak yang singkat itu. Ketika bola meninggalkan pemukul, bola kembali ke bentuknya semula. Besarnya gaya yang diberikan
benda kepada benda lain saat terjadi
tumbukan dapat ditunjukkan dengan grafik gaya
terhadap waktu t (Gambar t (Gambar 5.3
(a)). Gaya pukul pada kejadian-kejadian diatas biasanya tidak konstan maka cukup diambil gaya rata-ratanya (Gambar 5.3 (b)).
Gambar 5.3 (a) Gaya sebagai fungsi waktu pada saat tumbukan, (b) gaya rata-rata F yang bekerja selama selang waktu sama
t menghasilkan impuls yang
( F. t ) t ) dengan gaya yang sebenarnya.
3.2 Contoh soal dan pembahasan hubungan momentum dan impuls. 1.
Di suatu tempat jasa pencucian mobil dan motor. Seseorang mencuci mobil, air yang keluar dari selang memiliki debit 1,5 kg/s dan laju air 18 m/s. Air diarahkan ke salah satu sisi mobil secara horizontal hingga partikel-partikel air menumbuk dinding mobil. Tentukan besar gaya yang diberikan air pada mobil ! Pembahasan : Diketahui : Kita ambil arah sumbu x positif ke kanan massa air yang keluar tiap sekon
18
m = 1,5 kg v1 = 18 m/s v2 = 0
Ditanyakan : F = ….?
Jawab :
p F =
F. t =
=
=
=
27 N
( tanda minus menunjukkan mobil member
gaya perlawanan ke kiri untuk menghentikan laju air ). Jadi, berdasarkan hukum III Newton, air memberi gaya pada mobil dengan arah ke kanan sebesar 27 N.
2. Seseorang meloncat meloncat dari ketinggian ketinggian 2,8 m lalu mendarat mendarat di tanah. Masssa orang tersebut 80 kg (g= 10 m/s). Tentukan: a. Impuls yang dialami orang tersebut; b. Gaya yang dialami dialami kaki orang itu, itu, jika pada saat mendarat mendarat posisi kakinya lurus hanya membengkok 1,5 cm; c. Gaya yang dialami dialami kaki orang itu, jika pada saat mendarat mendarat kaki ditekuk 50 cm! Pembahasan : Diketahui :
Ditanyakan:
h
=
2,8 m
m
=
80 kg
a. I
= ……?
b. F
=…….?(d = 1,5 cm)
c. F
=…….?(d = 50 cm)
19
Jawab: a. I = F. ∆t = m . ∆v Karena tidak diketahui gayanya, kita gunakan perbedaan kecepatan dengan menggunakan konsep hukum kekekalan energy mekanik E mA mA = E mB mB E pA pA + E kA kA = E pB pB + E kB kB 2 mgh + 0 = 0 + ½ m (v B B )
v B B
=
v B B
=
√ √
= 7,5 = 7,5 m/s
Jadi, setelah orang melompat dari ketinggian 2,8 m sesaat sebelum mendarat kecepatannya 7,5 m/s. Setelah Setelah mendarat mendarat dalam waktu singkat singkat kecepatannya menjadi nol. I
=
m . ∆v
=
m ( v 2 2 - v 1 )
=
80 ( 0 – 7,5 )
=
-600 Ns
Tanda negative menunjukkan bahwa arah gaya berlawanan dengan momentum awalnya. Jadi gaya bekerja ke atas. b. Menentukan gaya yang dialami kaki orang pada d = 1,5 cm Pada saat mendarat, tubuh diperlambat dari v = 7,5 m/s. Karena terjadi perubahan kecepatan dalam waktu singkat, kita gunakan kecepatan rataratanya.
m/s
Lamanya tumbukan dihitung
∆t = =
4 ×
Besarnya impuls yang dialami orang tersebut adalah 600 Ns, gaya ratarata ke atas yang dialami kaki adalah
1,5 × 105 N
Sehingga gaya total yang diberikan tanah pada kaki orang adalah Ftanah
=
Ftanah
=
+ w + mg
20
Ftanah
=
1,5 x 105 + 80 x 10
Ftanah
=
1,508 x 105 N
1,5 x 105 N
c. Gaya pada kaki jika d = 50 cm
∆t = =
1,3 × s
Gaya rata-ratanya
4,6 × 103 N
Gaya total yang diberikan tanah pada kaki Ftanah
=
Ftanah
=
+ w
4,6 x 103 + 800 = 5,4 x 103 N
Jadi, pendaratan dengan menekuk kaki dapat memperkecil gaya yang diberikan tanah pada kaki. Karena itu, pendaratan seperti cara soal (b) dengan sedikit menekuk kaki bahkan lurus akan member resiko patah tulang, sebab gaya yang diterima kaki terlalu besar.
3. Pada permainan bola bola kasti, bola bermassa 0,5 kg mula-mula bergerak bergerak dengan kecepatan 2 m/s. kemudian bola tersebut dipukul dengan gaya F berlawanan dengan gerak bola shingga kecepatan bola berubah menjadi 6 m/s. bila bola bersentuhan dengan pemukul selama 0,01 sekon, maka perubahan momentumnya adalah…… Pembahasan: Diketahui: m = 0,5 kg v1 = 2 m/s v2 = 6 m/s ( berlawanan dengan v1 ) t
= 0,01 s
Ditanyakan: perubahan momentum ( I = impuls )……? Jawab:
I = p = m ( v 2 2 – v 1 ) = 0,5 kg ( 6 – ( -2) ) = 4 kg m/s Jadi, perubahan momentum yang dialami oleh bola kasti dengan pemukulnya adalah 4 kg m/s.
21
4. Sebuah mobil yang massanya 2.000 kg bergerak dengan kecepatan 72 km/jam, tiba-tiba menabrak sebuah tebing. Mobil tersebut berhenti setelah 0,2 sekon. Besar gaya rata-rata yang bekerja pada mobil selama tumbukan
adalah…. Pembahasan: Diketahui:
m = 2.000 kg v1 = 72 km/jam =
= 20 m/s
v2 = 0 m/s
∆t = 0,2 s Ditanyakan:
Frata-rata = ……?
Jawab: I
=
F . ∆t =
F
= =
∆p
–
– – = -200.000 N
Jadi, gaya rata-rata yang bekerja pada mobil selama tumbukan sebesar 200.000 N ( tanda negative menunjukkan arah ).
5. Sebuah truk yang massanya massanya 1.500 kg dan melaju dengan kecepatan kecepatan 36 km/jam menabrak sebuah pohon dan berhenti dalam waktu 0,1 detik. Gaya rata-rata pada truk selama berlangsungnya tabrakan adalah…. Pembahasan: Diketahui:
m = 1.500 kg v1 = 36 km/jam =
v2 = 0 m/s
∆t = 0,1 detik Ditanyakan:
Frata-rata = ……?
Jawab: I
=
F . ∆t =
F
=
∆p
– –
22
= 10 m/s
=
– = -150.000 N
Jadi, gaya rata-rata pada truk selama berlangsungnya tabrakan adalah 150.000 N (tanda negative menunjukkan arah ). 6. Benda bermassa 20 kg bergerak diperlambat dengan perlambata perlambatan n 2 m/s2. Setelah bergerak 10 sekon benda berhenti. Momentum benda mula-mula
adalah… Pembahasan: Diketahui:
m = 10 kg a = 2 m/s2 t = 10 s
Ditanyakan:
∆P benda mula-mula = ….?
Jawab : I
=
∆p
F . ∆t =
∆p
m.a. ∆t =
∆p
20.(-2).(0-10) = ∆p = 400 kg m/s
∆p
Jadi, momentum benda mula-mula adalah 400 kg m/s.
7. Sebuah bola dengan massa m dilemparkan mendatar dengan kelajuan v. bola ini mengenai dinding dan dipantulkan dengan kelajuan yang sama. Besar impuls yang dikerjakan dinding pada bola adalah….. Pembahasan: Diketahui:
Ditanyakan:
massa = m v1
=v
v2
= -v
I
=……..?
Jawab: Impuls sama dengan perubahan momentum
I = p = m ( v 2 2 – v 1 ) = m ( -v - v ) = -2
23
Jadi, impuls yang dikerjakan dinding pada bola adalah 2
.
8. Sebuah bola bermassa 0,25 kg mula-mula mula-mula diam, kemudian kemudian setelah dipukul dipukul dengan tongkat, kecepatan bola 25 m/s. Impuls dari gaya pemukul tersebut
adalah… Pembahasan: Diketahui:
Ditanyakan:
m
= 0,25 kg
v1
= 0 m/s (mula-mula diam)
v2
= 25 m/s
I
=……..?
Jawab: Impuls sama dengan perubahan momentum
I = p = p 2 2 - p 1 = m ( v 2 2 – v 1 ) = (0,25) = (0,25) (25 – 0) = 6,25 Ns Jadi, impuls dari gaya pemukul tersebut adalah 6,25 Ns.
9. Sebuah bola bola m = 200 gram gram dilemparkan mendatar dengan dengan kecepatan 5 m/s. kemudian bola dipukul searah dengan arahnya mula-mula. Bila lamanya bola bersentuhan dengan pemukul 15 m/s, besar gaya yang diberikan oleh
pemukul adalah… Pembahasan: Diketahui:
m = 300 gram = 0,3 kg v1 = 5 m/s v2 = 15 m/s
Ditanyakan:
F =…….?
Jawab: I
=
F . ∆t = F
= =
∆p
–
– – =
3,0 N
Jadi, besar gaya yang diberikan oleh pemukul adalah 3,0 N.
24
10. Seorang pemain sepak bola menendang bola yang diam dengan gaya 200 N. Bila massa bola 0,8 kg dan lama persentuhan bola dengan kaki 0,1 sekon,
maka kecepatan bola saat meninggalkan kaki pemain adalah …. Pembahasan: Diketahui:
F = 200 N m = 0,8 kg v1 = 0 m/s
∆t = 0,1 sekon Ditanyakan:
v2 = ……?
Jawab: I
=
∆p
F . ∆t
=
m ( v 2 v 1 ) 2 –
200. 0,1 =
0,8 (v2- 0)
20
=
0,8 v2
v2
=
= 25 m/s
Jadi, kecepatan bola saat meninggalkan kaki pemain adalah 25 m/s.
25
SUB BAB IV Hukum Kekekalan Momentum 4.1 Hukum Kekekalan Momentum Konsep momentum memegang peranan penting dalam fisika sebab di bawah kondisi tertentu, momentum merupakan besaran yang bersifat kekal. Pada pertengahan abad ke tujuh belas, sesaat sebelum era Newton, telah di amati bahwa jumlah momentum benda-benda yang bertumbukan selalu tetap atau momentum total sistem benda-benda yang terisolasi selalu tetap. Sebuah sistem secara sederhana dapat dirtikan sebagai sekumpulan benda-benda yang saling berinteraksi satu sama lain. Sistem terisolasi maksudnya adalah sebuah sistem dengan gaya-gaya yang ada hanyalah gaya yang berada diantara benda-benda dalam sistem dan menurut hukum III Newton jumlah gaya-gaya tersebut sama dengan nol. Jika ada gaya-gaya luar, yaitu gaya-gaya yang bekerja pada benda dari luar sistem, yang jika dijumlahkan tidak menghasilkan resultan gaya, maka hukum kekekalan momentum tidak berlaku. Akan tetapi, dengan mendefinisikan ulang sistem sehingga benda lain (yang memberikan gaya pada sistem itu) masuk ke dalam sistem. Sebagai contoh, perhatikan sistem batu jatuh bebas. Pada jatuh bebas tidak berlaku hukum kekekalan momentum karena ada gaya luar yang berupa gaya gravitasi bumi. Akan tetapi, Jika bumi kita masukkan kedalam sistem sehingga menjadi sistem batu bumi, maka hukum kekekalan momentum menjadi berlaku.
Bunyi hukum kekekalan momentum dapat dinyatakan “Jumlah momentum suatu sistem tertentu yang tidak dipengaruhi dipengaruhi gaya-gaya dari luar sistem (resultan
gaya dari luar sistem sama dengan nol) adalah selalu tetap” Sehingga dapat dituliskan :
Untuk kasus dua benda dapat ditulis :
+ = + + Keterangan :
26
: massa benda 1 dan 2 sebelum tumbukan massa benda 1 dan 2 setelah tumbukan : momentum benda 1 dan 2 sebelum tumbukan : momentum benda 1 dan 2 setelah tumbukan : kecepatan benda 1 dan 2 sebelum tumbukan : kecepatan benda 1 dan 2 setelah tumbukan Besaran momentum total dari ∑ adalah penjumlahan :
dari beberapa
momentum dalam besaran vektor yang besarnya bergantung pada arah. Katakata “suatu sistem tertentu” pada pernyataan hukum kekekalan momentum tidak hanya berlaku pada peristiwa tumbukan saja. Hukum kekekalan momentum dapat juga terjadi di luar peristiwa tumbukan. Hukum Kekekalan momentum berlaku untuk interaksi dua benda seperti : a) Peristiwa bergeraknya senapan ke belakang waktu peluru meledak b) Peristiwa pesawat pesawat terbang terbang dengan baling-balin baling-baling g dapat ma maju ju kedepan c) Prinsip jet maupun roket d) Tumbukan dua benda
4.2 Penerapan Hukum Kekekalan Momentum Linier 4.2.1 Asas Pendorong Pendorong Roket Asas pendorong jet dimanfaatkan pada pesawat udara, roket, peluru kendali, dan pesawat antariksa. Misalnya roket, terbangnya didorong oleh arus gas yang dihasilkan dari tempat pembakaran bahan bakar dan dikeluarkan di butiran. Gas hasil pembakaran tersebut memperoleh impuls yang arahnya kebawah. Karena jumlah impuls konstan maka roket memperoleh impuls yang besarnya sama, tetapi arahnya ke atas, sehingga roket terdorong ke atas.
27
Perhatikan gambar !
+m.v
+m.v
-m.v
-m.v
Asas Asas ter terba ban n roke rokett
Asas terbang roket yang utama adalah kekekalan momentum. Jumlah momentum roket di landasan sama dengan nol (0). Saat roket diluncurkan, gas hasil pembakaran disemburkan kebawah dengan kecepatan tinggi, sehingga roket terdorong ke atas untuk mengimbangi momentum gas. Gaya yang bekerja pada gerak roket tersebut sesuai dengan hukum II Newton yaitu :
Dihubungkan dengan besaran momentum, persamaan di atas dapat ditulis
atau
Besarnya gaya yang bekerja pada roket tiap saat dapat dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial sebagai berikut
+ = = Pada roket proses pembakaran bahan bakarnya mengakibatkan perubahan massa yang besar tiap satuan waktu, sehingga
+
0, dan pada roket berlaku
Sedangkan dalam kehidupan sehari-hari, massa benda dianggap tetap, sehingga
= 0. Karena itulah dalam kehidupan sehari-hari berlaku
28
Atau
Gaya dorong roket tidak memerlukan adanya atmosfer, bahkan akan lebih
bagus jika tidak ada atmosfer, sebab tidak ada gesekan udara. Mesin roket pendorong gas hasil pembakarannya sendiri tidak tergantung pada atmosfer bumi. Jadi, pendorong roket sangat sesuai untuk penerbangan pesawat angkasa luar. Keunggulan mesin roket dibanding mesin jet adalah pada bahan bakar mesin roket sudah di sertakan oksigen untuk pembakaran. Sedangkan pada mesin jet, oksigen untuk pembakran bahan bakarnya diambil dari udara (atmosfer). Karenanya mesinb jet tidak dapat digunakan untuk penerbangan penerbangan luar angkasa.
4.2.2. Ayunan Balistik Ayunan balistik atau bandul balistik merupakan suatu metode yang menggunakan prinsip tumbukan untuk mengukur kecepatan sebuah peluru. Perhatikan gambar 1.! Ayunan balistik terdiri dari sebuah balok kayu bermassa M yang digantung vertikal dengan tali. Peluru bermassa m ditembakkan secara horizontal, mengenai balok, dan tertanam di dalamnya sehingga balok berayun.
⃗
M
Misalkan, kecepatan peluru sebelum mengenai balok v1 dan kecepatan ayunan balok setelah peluru tertanam v2 dengan v2 jauh lebih kecil daripada v1.
29
Waktu saat menumbuk balok sampai dengan peluru tertanam jauh lebih kecil daripada waktu ayun balok (setelah dikenai peluru). Dengan menggunakan hukum kekekalan momentum, kecepatan peluru dapat dihitung sebagai berikut. 1. Momentum awal sistem (sebelum peluru mengenai balok) Momentum peluru + momentum balok
+ x 0
.................... (i)
2. Momentum setelah sistem (peuru mengenai balok) Momentum peluru + momentum balok
+ x 0
.................... (ii)
Menurut hukum kekekalan momentum, persamaan (i) = peramaan (ii)
+ x 0 = + = ( ) = Setelah tumbukan peluru dan balok berayun hingga berhenti saat mencapai ketinggian maksimum h. Perhatikan kembali gambar ... Hal itu terjadi karena
setelah
tumbukan
timbul
energi
kinetik
yang
mendorong
dan
menggerakkan balok bersama peluru, dan pada saat yang bersamaan energi kinetik tersebut juga melawan energi potensial balok peluru. Energi potensial tersebut makin lama semakin besar karenanya posisinya yang semakin tinggi sedangkan energi kinetiknya semakin berkurang. Pada ketinggian h, energi potensial mencapai maksimum dan energi kinetiknya nol. Karenanya pada posisi ini balok dan peluru berhenti sesaat. Dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik, kecepatan gerak peluru dapat dihitung, sebagai berikut :
+ = + ( ) ² + 0 = 0 + ( ) ( ) = ( ) 30
=
= = 2
= =
………………… (5.15)
4.3 Contoh soal dan pembahasan Hukum Kekekalan Momentum 1
Seseorang berada dalam perahu yang sedang berjalan denagn kecepatan 5 m/s. Tiba-tiba orang tersebut melompat ke arah belakang dengan kecepatan 2 m/s. Apabila massa orang 60 kg dan massa perahu 120 kg, berapa kecepatan perahu sesaat setelah orang tersebut melompat ? Penyelesaian :
= 60 kg = 120 kg =⃗p = 5 m/s = - 2 m/s = ...? Ditanyakan : ⃗ ⃗ Jawab : (120 kg) (5 m/s) + (60 kg) (5 m/s) (120 kg) + (60 kg) (-2 m/s) 120⃗ 1.020 = 8,5 m/s (perahu terdorong kedepan) kedepan) Diketahui :
2.
Mobil A massanya massanya 2 ton, berjalan berjalan ke arah arah timur timur dengan kecepatan tetap 12 m/s. Sementara itu, mobil B yang massanya 2 ton berjalan ke arah utara dengan kecepatan tetap 16 m/s. Tepat sampai di perempatan jalan, kedua
31
mobil saling bertumbukan. Setelah bertumbukan kedua mobil terpental dan bergabung menjadi satu. Berapa kecepatan terpentalnya kedua mobil itu sesaat setelah bertumbukan ? Utara
Penyelesaian : Diketahui :
Ditanyakan :
= 2 ton = 2 x 10³ kg = 2 ton = 2 x 10³ kg ⃗ = 12 m/s ⃗ = 16 m/s = ...? = 90°
Timur
Jawab : Karena momentum termasuk besaran vektor maka penjumlahan momentum sebelum tumbukan yang saling membentuk sudut diselesaikan degan penjumlahn vektor. Setelah bertumbukan kedua mobil mejadi satu, berarti menuju satu arah.
| | | | | | | | | | = ( 2 x 10³ + 2 x 10³) √ = ( 4 x 10³) = = 10 m/s Jadi, kecapatan terpantalnya kedua mobil sesaat setelah bertumbukan sebesar 10 m/s dengan arah yang berbeda dengan arah semula. 3.
Seseeorang di dalam perahu yang sedang berjalan dengan kecepatan 5 m/s, tiba-tiba meloncat ke belakang dengan kecepatan 1 m/s. Jika massa
32
orang 60 kg dan massa perahu 100 kg, kecepatan perahu sesaat setelah orang itu meloncat adalah ? Penyelesaian : Diketahui :
Ditanyakan :
= 5 m/s = -1 m/s = 5 m/s = 60 kg = 100 kg ...?
Jawab :
60 x 5 + 100 x 5 = 60 x (-1) + 100 x 300 + 500 = -60 + 100 800 + 60 = 100
= = 8,6 m/s (kecepatan perahu sesaat setelah orang itu meloncat) 4.
Dua orang anak berada dalam perahu bermassa 100 kg yang sedang bergerak ke arah Selatan dengan kelajuan tetap 2 m/s. Tiap anak memiliki massa 50 kg. Kecepatan perahu itu segera setelah seorang anak terjatuh di buritan ( bagian belakang ) perahu adalah ? Penyelesaian : Diketahui :
= massa perahu + massa 1 orang anak = 100 kg + 50 kg = 150 kg
Ditanyakan :
= massa seorang anak = 50 kg dan = 2 m/s {kelajuan tetap} = 0 m/s {kelajuan diam} ...?
Jawab :
150 x 2 + 50 x 2 = 150 + 50 x 0 400 = 150
= 2,67 m/s ( Kecepatan perahu setelah seorang anak terjatuh ) 33
5.
Sebuah senapan bermassa 0,80 kg menembakkan peluru bermassa 0,016 kg dengan kecepatan 700 m/s. Kecepatan senapan mendorong bahu penembak adalah ? Penyelesaian : Diketahui :
Ditanyakan : Jawab :
= 0 m/s dan Kecepatan senapan = = 0 m/s { } } Massa peluru = = 0,016 kg Massa senapan = = 0,8 kg Kecepatan peluru = = 700 m/s ...? 0 + 0 = 0,016 x 700 + 0,8 x 0 = 11,2 + 0,8 Kecepatan peluru =
= - = -14 (arah gerak senapan berlawanan dengan peluru) Jadi, kecepatan senapan mendorong bahu penembak adalah 14 m/s. 6.
Sebuah trem dengan dengan massa 10.000 kg berjalan dengan kelajuan kelajuan 24 m/s menebrak trem sejenis yang sedang berhenti. Setelah terjadi tumbukan, kedua trem saling menempel dan berjalan bersama. Berapakah kelajuan trem sesudh tumbukan ? Penyelesaian :
10.000 kg 24 m/s = 0 m/s {berhenti} ...? Ditanyakan : Jawab : = Diketahui :
= 12 m/s Dua buah balok = 1 kg dan = 3 kg ditempatkan pada ujung-ujung =
7.
pegas yang ditekan dengan menggunakan benang yang massanya
34
diabaikan. Benang itu kemudian dibakar, sehingga kedua balok bergerak saling berlawanan pada permukaan lantai tanpa gesekan. Jika balok m 1 bergerak ke kiri dengan kecepatan 1,8 m/s, berapakah kecepatan balok m2 ? Penyelesaian : Diketahui :
= 1 kg = 3 kg 0 (mula-mula diam) Pada saat benang dibakar, balok m1 bergerak kekiri dengan kecepatan 1,8 m/s
Ditanyakan :
= 1,8 m/s ...?
Jawab :
+ = + 0 + 0 = 1 x (-1,8) + 3 x
= = 0,6 m/s Jadi, balok bergerak ke kanan dengan kecepatan 0,6 m/s sesaat setelah benang dibakar. 8.
Dua pemain hoki es bergerak saling berlawanan. Pemain pertama massanya 110 kg bergerak dengan kecepatan 4 m/s, sedangkan pemain kedua massanya 90 kg bergerak berlawanan arah dengan pemain pertama pada kecepatan 6m/s. Kedua pemain itu saling bertabrakan tongkat. Berapakah kecepatan kedua pemain itu jika setelh bertabrakan, tongkat mereka saling mengait sehingga keduanya bergerak bersama ? Penyelesaian : Diketahui :
= 110 kg = 90 kg = 4 m/s = -6 m/s
Setelah tumbukan kedua pemain saling menjerat sehingga menjadi satu dan bergerak bersama-sama. Jadi Ditanyakan :
= =
...?
Jawab :
35
+ = + = =
= -0,5 m/s
Jadi, setelah tumbukan kedua pemain itu bergerak bersama dengan kecepatan 0,5 m/s searah kecepatan mula-mula pemain kedua. 9.
Seseoang yang massanya 50 kg naik perahu dengan kecepatan tetap 4m/s. Massa perahu 75 kg, tiba-tiba orang terjun ke dalam air dengan kecepatan 5m/s. Hitung kecepatan perahu sesaat orang terjun, jika arah kecepatan terjunnya orang searah perahu ? Penyelsaian : Diketahui :
Ditanyakan : Jawab :
4 ...?
–
10. Sebuah peluru bermassa 0,03 kg ditembakkan dengan kecepatan 600 m/s pada sepotong kayu yang digantung pada seutas tali. Jika ternyata peluru tersebut masuk ke dalam kayu dan massa kayu adalah 3,57 kg, Hitung kecepatan kayu sesaat setelah peluru tersebut mengenainya ? Penyelesaian : Diketahui :
36
Ditanyakan : Jawab :
0
( )
37
SUB BAB V TUMBUKAN
5.1 Tumbukan Suatu tumbukan terjadi jika sebuah benda yang bergerak mengenai benda lain yang diam ataupun yang bergerak. Misalnya, tubukan antara dua mobil di jalan raya, tumbukan antara dua bola biliar, dan tumbukan antara bola dan tanah. Pembahasan pada bab ini dibatasi pada tumbuka sentral lurus, yaitu tumbukan antara dua benda yang arah geraknya berimpit dengan garis penghubung titik berat kedua benda,sehingga arah kecepatatan brnda-benda yang bertumbukan berimpit dengan dengangaris penghubung tersebut. Pada tumbukan semacam itu, jumlah energi mekanik sistem (benda-benda yang bertumbukan) tidak selalu tetap, kemungkinan setelah tumbukan berubah menjadi energi panas. Akan tetapi, jumlah momentum system selalu tetap. Tumbukan sentral lurus dibedaka menjadi tiga macam, yaitu tumbukan lenting sempurna, tumbukan lenting sebagian, dan tumbukan tak lenting. 1. Tumbukan Lenting Sempurna (Tumbukan Elastis) Tumbukan lenting sempurna adalah tumbukan antara dua benda yang jumlah energi mekaniknya mekaniknya tetap sama besar, sesaat sebelum dan sesudah terjadi tumbukan. Dengan kata lain, pada tumbukan lenting sempurna tidak ada energi yang hilang. Dengan demikian, pada tumbukan lenting sempurna berlaku:
1) Hukum kekekalan momentum. 2) Hukum kekekalan energi kinetik. B masing-masing massanya Misalnya, dua buah bola A dan B masing-masing
dan ,
bertumbukan sentral lurus lenting sempurna dalam satu dimensi. Mulamula bola A bergerak dengan kecepatan
dan bola B bergerak B bergerak dengan
Setelah terjadi tumbukan, kecepatan kedua bola masingmasing menjadi dan . kecepatan
.
38
Perhatikan Gambar di bawah ini!
A
B (a) A
B (b)
A
B (c)
Dari Gambar di atas, dua buah bola bertumbukan lenting sempurna (a) kedua bola sebelum bertumbukan, (b) kedua bola saat terjadi tumbukan, (c) kedua bola sesaat setelah terjadi tumbukan. Dari hukum kekekalan momentum diperoleh kesimpulan berikut. Jumlah momentum sistem sebelum terjadi tumbukan sama dengan jumlah momentum sistem setelah terjadi tumbukan Hal itu dapat dirumuskan dengan persamaan berikut:
+ = + - (⃗ -⃗ = (⃗ ⃗
…………………………… (5.7)
Dari hukum kekekalan energi kinetic diperoleh kesimpulan berikut. Energi kinetik sistem sebelum terjadi tumbukan sama dengan energi kinetic sistem setelah terjadi tumbukan.
39
Jika hal itu dirumuskan dengan persamaan, hasilnya adalah sebagai berikut.
(⃗)
(⃗ ) + (⃗ ) (⃗) + (⃗) = (⃗ ) + (⃗ ) () - (⃗ ) = (⃗ ) - () ( - ) = ( - ) 2
+
(⃗)
2
2
2
2
2
2
=
2
2
2
2
2
(⃗ +⃗ )(⃗ -⃗ ) = (⃗ +⃗ ) (⃗ -⃗ )
…………… (5.8)
Jika persamaan 5.8 dibagi dengan persamaan 5.7 diperoleh:
= ⃗ +⃗ = ⃗ +⃗ ⃗ -⃗ =⃗ -⃗
⃗ -⃗ = - (⃗ -⃗) = 1 ………………………(5.9) ⃗ ⃗
Pada persamaan 5.9 ( - ) adalah kecepatan relatif bola A terhadap bola
⃗ -⃗) adalah kecepatan relatif bola A
B sesudah B sesudah terjadi tumbukan, sedangkan (
terhadap bola B sebelum terjadi tumbukan. Dengan demikian, persamaan 5.9 menyatakan bahwa pada tumbukan lenting sempurna, besar kecepatan relatif benda-benda
sebelum dan sesudah terjadi tumbukan adalah sama, hanya
arahnya terbalik. Arah terbalik itu dinyatakan dengan tanda negative.
disebut koefisien restitusi, atau koefisien
Selanjutnya, bilangan
tumbukan atau tumbukan atau koefisien kelentingan, dinyatakan dengan simbol e.
e = e =
………………………….. (5.10)
40
keterangan :
= kecepatan benda 1 sebelum tumbukan (m/s) = kecepatan benda 2 sebelum tumbukan (m/s) = kecepatan benda 1 setelah tumbukan (m/s) = kecepatan benda 2 setelah tumbukan (m/S) Jadi, besarnya persamaan 5.9, besarnya koefisien restitusi dari tumbukan lenting sempurna adalah 1 (e ( e = 1). = 1).
2. Tumbukan Lenting Sebagian
Tumbukan lenting sebagian adalah tumbukan antara dua benda yang jumlah energi kinetiknya sesudah terjadi tumbukan lebih kecil dibandingkan dibandingkan dengan jumlah energi kinetiknya sebelum terjadi tumbukan. Hal itu berarti bahwa sesudah tumbukan ada sebagian energi yang hilang. Hilangnya energi tersebut kemungkinan diubah menjadi energi panas, energi bunyi atau energi lainnya. Karenanya perbandingan antara kecepatan relatif benda sesudah betumbukan terhadap kecepatan relatif benda sebelum bertumbukan nilainya kurang dari 1, sehingga:
= <1 …………………….. (5.11) Atau dapat dikatakan bahwa koefisien restitusi e kurang dari 1 atau e <1. <1. Jadi, pada tumbukan lenting sebagian hukum kekekalan energi tidak berlaku, yang berlaku hanya hukum kekekalan momentum.
3. Tumbukan Tak Lenting (Tumbukan Tak Elastis) Tumbukan tak lenting adalah lenting adalah tumbukan antara dua benda yang setelah terjadi tumbukan kedua benda menjadi satu dengan kecepatan yang sama. Jadi,
= = . Akibatnya, kecepatan telatif kedua benda setelah tumbukan sama dengan 0.
41
- = 0 Analog pada penurunan persamaan 5.9 dan 5.11, pada tumbukan tidak lenting sempurna berlaku persamaan:
= 0 ………………………….. ………………………….. (5.12) Dari ketiga macam tumbukan di atas dapat disimpulkan bahwa nilai koefisien restitusi pada tumbukan adalah sebagai berikut.
e = e = 1 Lenting sebagian 0 < e < e < 1 Tak lenting sempurna
a. Lenting sempurna b. c.
Untuk mengetahui koefisien restitusi suatu bahan dapat dilakukan dengan cara menjatuhkan bahan itu kelantai yang dilapisi dengan bahan yang sama. Misalnya, untuk mengetahui koefisien restitusi suatu logam, sebuah bola logam dijatuhkan pada lantai yang dilapisi dengan logam yang sama. Perhatikan gambar di bawah ini!
A
c
B
B
Dari gambar 5.13. menjatuhkan bola pada lantai yang dilapisi dengan bahan sama dengan bola. Gerak bola dari A ke B adalah gerak jatuh bebas. Kecepatan bola sesaat sebelum menumbuk lantai:
42
⃗ = Kemudian, bola terpantul vertical ke atas (gerak BC ). ). Kecepatan bola sesaat setelah menumbuk lantai:
⃗ = Kecepatan lantai sebelum dan sesudah tumbukan adalah 0 (lantai tidak bergerak).
⃗ =⃗ = 0 Jika arah keatas bertanda positif maka:
⃗ = (arah ke atas) ⃗ =- (arah ke bawah) Berdasarkan pada persamaan 5.10, diperoleh:
e =
e =
e =
……………….. (5.13)
keterangan: e = koefisien = koefisien restitusi
= ketinggian benda sebelum bertumbukan (m) = ketinggian benda sesudah bertumbukan (m)
43
5.2 Contoh soal dan pembahasan tumbukan 1.
Dua buah benda A dan B dengan massa masing-masing 2 kg dan 4 kg, bergerak saling menyongsong dengan kecepatan 10 m/s. suatu saat terjadi tumbukan dengan koefisien restitusi 0,5. Tentukan: a.
Kecepatan masing-masing masing-mas ing benda setelah bertumbukan,
b.
Energi kinetik yang hilang setelah tumbukan!
A
B
Penyelesaian: Diketahui:
= 2 kg = 4 kg = 10 m/s = -4 m/s e
= 0,5
Ditanyakan: a.
b.
= …?
= …?
= …?
Jawab: a.
– = e 44
– = 0,5 ⃗ = 7 +⃗ ……..(i) Menurut hukum kekekalan momentum:
⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ (2 10) + (4 X (-4)) = 2⃗ + 4⃗ 20 16 = 2 + 4 4 = 2 + 4 –
……………. (ii)
Persamaan (i) disubstitusikan ke persamaan (ii):
⃗ + 4 (7 +⃗ ) -24 = 6⃗ ⃗ = -4 m/s 4=2
Dari persamaan (i) diperoleh:
⃗ = 7 +⃗ = 7 + (-4) = 3 m/s b. Energi kinetik sebelum tumbukan:
= + = ⃗ + ⃗
2
2
= x 2 x (-4) + x 4 x (3) = 16 + 18 = 34 J
Jadi, energi kinetik yang hilang setelah tumbukan adalah
= - = 132 – 34 = 98 J
45
2.
Dua buah benda A dan B bergerak dengan kecepatan masing-masing 8 m/s dan 4 m/s. benda A mengejar benda B , ditunjukan seperti pada gambar. Massa benda A 3 kg dan benda B 5 kg. Apabila suatu saat A menumbuk B dan tumbukan yang terjadi lenting sempurna, tentukan kecepatan masing-masing benda setelah bertembukan!
Penyelesaian: Diketahui:
= 3 kg = 5 kg =1 = 8 m/s = 4 m/s Ditanyakan:
= …? = ...?
Jawab:
= 1 = 1 =4 =4+
Menurut hukum kekekalan momentum:
+ . = . + . 3x 8 + 5 x 4 = 3 + 5(4 + 24 + 20 = 3 + 20 + 5 24 = 8 = 3 m/s 46
Jadi:
= 4 + = 4 + 3 = 7 m/s 3.
Sebuah bola massanya 0,4 kg dalam keadaan diam,kemudian di pukul sehingga meluncur dengan laju 50 m/s dan pemukul menyentuh bola
selama 0,8 detik.besarnya gaya pemukalu adalah… Penyelesaian : Diketahui :
= 0 (diam) = 50 m/s = 0,8 s Ditanya = ? (impul =perubahan momentum) = f. 0,8 = 0,4 (50 – 0) f=
4.
= 25 N
Sebuah kereta barang bermassa 25 ton yang bergerak dengan kecepatan 2 m/s . menubruk sebuah sebuah benda 10 ton yang bergerak dengan kecepatan 1 m/s dalam arah yang sama jika tumbukannya tidak elastis , kecepatan
kereta setelah tumbukan adalah …. Diketahui :
= 25 ton = 25.000 kg = 2 m/s = 10 ton = 10.000 kg = 1 m/s Ditanya :
= ? Jawaban :
+ = ( ) 2,5 x . 2 + = (2,5 x + ) 47
6.
5.
= 3,5 . = = = m/s
Dua buah benda bermassa sama bergerak pada satu garis lurus saling mendekati seperti pada gambar ! (1)
(2) V1=8 m.s
-1
V2=10 m.s
-1
adalah kecepatan benda (2) setelah tumbukan ke kanan dengan laju 5 m. , maka besar kecepatan (1) setelah tumbukan adalah …. Jika
Diketahui :
= = m = 8 m/s = - 10 m/s + = + m 8 + m (-10) = m + m 5 -2m = m = 5m m = - 7m = - 7 m/s ( tanda minus menunjukan arah gerak yang berlawanan dengan ) 6.
Bola A bermassa 40 gram bergerak dengan 10 m/s menumbuk bola B dengan massa 60 gram bergerak searah dengan kelajuan 5m/s .tentukan kelajuan bola A dan B sesaat setelah tumbukan jika tumbukan yang terjadi , carilah tumbukan elastis sempurna ? Diketahui :
= 40 gram = 10 m/s = 60 gram 48
= 5 m/s Ditanyakan :
dan saat e = 1 Jawab Dari hukum kekekalan momentum diperoleh :
+ 60 . = 40 . + 60 . = 4 . + 6 .
400 + 300 = 40 . 700 70
Dari rumus koefisien restitusi diperoleh:
e . ( a) e. ( 1. (10 - 5) = Pers 1 .. 4. Pers 2 .. + + e=
Dari persamaan 2 :
+ = 5 = 5 – 9 = -4 7.
Bola A bermassa 40 gram bergerak dengan 10 m/s menumbuk bola B dengan massa 60 gram bergerak searah dengan kelajuan 5m/s .tentukan kelajuan bola A dan B sesaat setelah tumbukan jika tumbukan yang terjadi , carilah tumbukan elastis sebagian e = 0,5 ? Diketahui :
= 40 gram = 10 m/s = 60 gram 49
= 5 m/s Ditanyakan :
dan saat e = 0,5 Jawab :
Pers 1 .. 4. Pers 2 .. + e(
+
Dari persamaan 2 :
+ = 2,5 - 2,5 = 8 – 2,5 = 5,5 m/s 8.
Bola A bermassa 40 gram bergerak dengan 10 m/s menumbuk bola B dengan massa 60 gram bergerak searah dengan kelajuan 5m/s .tentukan kelajuan bola A dan B sesaat setelah tumbukan jika tumbukan yang terjadi , carilah tumbukan tidak elastis ? Diketahui :
= 40 gram = 10 m/s = 60 gram = 5 m/s Ditanyakan :
dan saat e = 0 Jawab :
0 (10 - 5) =
e.(
50
Pers 2 .. +
Pers 1 .. 4.
+
Dari persamaan 2 :
+ = 0 = 7 m/s 9.
Sebuah bola dengan massa 0,1 kg dijatuhkan dari ketinggian 1,8 meter dan mengenai lantai. Kemudian dipantulkan kembali sampai ketinggian 1,2 m. Jika g = 10 m/s2. Tentukan impuls karena berat bola ketika jatuh... Pembahasan: Diketahui :
= 0,1 kg = 1,8 m ‟ = 1,2 m = 10 m/s
2
Selama bola jatuh ke tanah terjadi perubahan energi potensial menjadi energi kinetik, sehingga
√ √ Impuls bola karena berat ketika jatuh adalah...
√ √
= (0,1) √2(10) (1,8) = (0,1) (6) = 0,6 Ns
51
10.
Pada soal nomor 1, tentukan koefisien restitusinya restitusinya ? Pembahasan: Diketahui :
= 0,1 kg = 1,8 m = 1,2 m = 10 m/s
2
Koefisien restitusi
√
= √1,2 : 1,8 = √2 : 3 = 0,8
52
20 oal dan pembahasan Momentum Momentum Linier
1.
Tabrakan disebuah perempatan jalan melibatkan 2 kendaraan yaitu mobil 1 (m=1200 kg) dan mobil 2 (m=3000 kg) pada saat itu mobil 1 bergerak ke timur dengan kecepatan 60 km/jam, sedangkan mobil 2 bergerak keutara dengan kecepatan 40 km/jam. Jika setelah tumbukan mobil mobil kedua melekat menjadi satu, berapakah kecepatan kedua mobil tersebut sesaat setelah tumbukan? Penyelesaian : Diketahui :
Andaikan mobil 1 mula-mula bergerak ke arah sumbu x positif, sedangkan mobil 2 mula-mula bergerak ke arah sumbu y. Kecepatan mobil 1 mula-mula : Jadi
Jadi Kecepatan mobil 2 mula-mula :
Komponen momentum system mula-mula kearah sumbu x adalah
16,7 ) + ( 3000 x 11,1 ) =20.040 kg m/s Komponen momentum system mula-mula kearah sumbu y adalah
0 ) + ( 3000 x 11,1 ) =33.333 kg m/s Dengan demikian, momentum total system sebelum tumbukan adalah
⁄ ⁄ Setelah tabrakan kedua kendaraan melekat menjadi satu. Jadi, = . Dengan demikian ) 38,893 = (1200 + 3000) m/s = 33,5 km/jam
P=
53
Arah kecepatan akhir setelah tumbukan ditunjukkan oleh sudut , yaitu
= = 1,67
Jadi, arah kecepatan kedua benda sesaat setelah tumbukan adalah 2.
Sebuah peluru bermassa 0,03 kg ditembakan dengan kecepatan 600 m/s pada sepotong kayu yang digantung pada seutas tali. Jika ternyata peluru tersebut masuk masuk kedalam
kayu da massa kayu kayu adalah 3,57 kg, hitung hitung
kecepatan kayu sesaat setelah peluru tersebut mengenainya! mengenainya! Penyelesaian
= 0,03 kg = 600 m/s = 3,57 kg = 0 m/s Ditanyakan : = .......? Diketahui :
Jawab
= ( ). 0,03.600 + 3,57 . 0 = (0,03 + 3,57). 18 = 3,6
= 5 m/s
Jadi, kecepatan kayu sesaat setelah peluru tersebut mengenainya adalah 5 m/s 3.
Sebuah bola bermassa 800 g ditendang ditendang dengan gaya 400N. Jika kaki dan bola bersentuhan selama selama 0,5 s, tentukan impuls pada pada peristiwa tersebut! tersebut! Penyelesaian: Diketahui: M = 0,8 kg F = 400 N
= 0,5 s Ditanyakan : I = ....? Jawab I = F.
= 400 . 0,5 = 200 Ns
54
Jadi, impuls pada peristiwa tersebut adalah 200 Ns. 4.
Dua benda bermassa sama bergerak pada satu garis lurus saling mendekati seperti pada gambar! V1=8 m/s
v2 = 10 m/s
Jika v2‟ adalah kecepatan benda (2) setelah tumbukan ke kanan dengan laju 5 m/s
maka besar kecepatan v1‟ (1) setelah tumbukan adalah…
Penyelesaian: Diketahui: V1 = 8 m/s
v2‟ = 5 m/s
V2 = -10 m/s
m1=m2 v1‟ =…..?
Ditanyakan: Jawab:
Pada tumbukan berlaku hokum kekekalan momentum.
+ + karena m = m maka 8 m/s – 10 m/s = + 5 m/s -2 m/s = + 5 m/s = -7 m/s Jadi, besarnya = 7 m/s (tanda negative menunjukkan arah). 1
2,
5.
Pada permainan bola kasti, bola bermassa 1 kg mula-mula bergerak dengan kecepatan 3 m/s.kemudian bola tersenut dipukul dengan gaya F berlawanan dengan gerak bola sehingga kecepatan bola berubaha menjadi 7 m/s. bila bbola bersentuhan dengan pemukul selama 0,02 sekon, maka
perubahan momentumnya adalah…. Penyelesaian: Diketahui: m = 1 kg v1 = 3 m/s
55
v2 = 7 m/s (berlawanan dengan v1)
t = 0,02 sekon‟ Ditanyakan: I (impuls) =…? Jawab:
I = ∆p = m ( v2 - v1 ) = 1 (7 -3) = 4 kg m/s Jadi, perubahan momentumnya adalah4 kg m/s.
6.
Sebuah truk yang sedang bergerak dengan kecepatan 10 m/s ditabrak oleh sebuah mobil yang sedang berjalan dengan kecepatan 20 m/s. Setelah tabrakan, kedua mobil itu berpadu satu sama lain. Jika massa truk 1400 kg dan massa mobil 600 kg, kecepatan kedua kendaraan setelah tabrakan adalah…. Penyelesaian: Diketahui: m truk = 1400 kg
v truk = 10 m/s
m mobil = 600 kg
v mobil = 20 m/s
Ditanyakan:
v„ =…..?
Jawab: Tumbukan tidak lenting (e=0) Hukum kekekalan momentum:
+
=
) v„
(1400)(10) + (600)(20) = (1400 + 600) v„ 14000 + 12000 = 2000 v„ 26000 = 2000 v„ v„ = 13 m/s jadi,kecepatan kedua kendaraan kendaraan setelah tabrakan tabrakan adalah 13 m/s.
7.
Sebutir peluru 20 gram bergerak dengan kecepatan 10 m/s arah mendatar menumbuk balok bermassa 60 gram yang sedang diam di atas lantai. Jika peluru tertahan di dalam balok maka kecepatan balok sekarang adalah ?
56
Penyelesaian: Diketahui; mp = 20 gram = 0.02 kg
vB = 0
mb = 60 gram = 0,06 kg
vp = 10 m/s
vp = 0 Ditanyakan: vB„ = …? Jawab:
+ + (0,02)(10)+ 0
=
0+ 0,06 vB„
0,2 =
0,06 vB„
vB„ =
3,33 m/s
jadi, kecepatan balok adalah adalah 3,33 m/s.
8.
Sebuah peluru karet berbentuk bola massanya 60 gram ditembakkan ditembakkan horizontal menuju tembok seperti gambar. Jika bola dipantulkan dengan laju yang sama, maka bola menerima impuls sebesar ? Penyelesaian:
50 m/s
Diketahui:
m = 60 gram = 0,06 kg
v„
v1 = 50 m/s v2 = -50 m/s
Ditanyakan: I (impuls) = …? Jawab:
I = ∆p = m ( v2 - v1 ) = 0,06 (-50 -50) = 0,06 (-100) = -6 Ns Jadi, bola menerima impuls sebesar 6 Ns (tanda negative menunjukkan arah).
9.
Sebuah bola 0,2 kg dipukul pada saat sedang bergerak dengan kecepatan 30 m/s. Setelah meninggalkan pemukul, bola bergerak dengan kecepatan
57
40 m/s berlawanan arah semula. Hitunglah impuls pada tumbukan
tersebut? Penyelesaian: Diketahui :
= 0,2 kg
= 30 m/s = -40 m/s Impuls yang terjadi pada saat tumbukan adalah
( )
= 0,2 (-40 – 30)
= -14 Ns Tanda minus berarti arah pemukul berlawanan dengan arah datangnya bola. 10.
Sebuah balok bermassa 950 gram diam diatas bidang datar dengan koefisien gesekan kinetik 0,1. Sebutir peluru yang bermassa 50 gram menumbuk balok tersebut. Kelajuan peluru saat itu adalah 50 m/s. Jika peluru bersarang di balok, tentukan laju balok setelah tumbukan? Penyelesaian: Diketahui :
= 950 gram = 0,95 kg
µk = 0,1
= 50 gram = 0,05 kg = 50 m/s + = ( + ) p
p
b
b
p
p
p
(0,95) (0) + (0,05)(50)
= (0,95+0,05)
0 + 2,5
=
11.
p
’
= 2,5 m/s
Seperti pada soal nomor 4, kapan dan dimana balok akan berhenti? Penyelesaian: Diketahui: =0
=0 = -µ N k
k
k
58
= -µ k k mg
= -µk g = -(0,1) (10) s = -1 m/s (tanda minus menunjukkan gerak diperlambat)
balok berhenti berarti maka
0
= + 1
= 0. Berdasarkan gerak lurus berubah beraturan 1
0
adalah kecepatan awal balok setelah tumbukan, yaitu
= 2,5 m/s,
sehingga 0 = 2,5 – 1t
= 2,5 s jarak yang ditempuh ditempuh x =
+ ½ 0
2
= (2,5) (2,5) + ½ (-1) (2,5)2
= 6,25 – 3,125 = 3,125 m
12.
Sebuah benda bermassa 0,2 kg dalam keadaan diam dipukul sehingga bergerak dengan kecepatan 14 m/s. Jika gaya bekerja selama 0,01 sekon, tentukan besar gaya yang diberikan pada benda tersebut? Pembahasan: Diketahui :
= 0,2 kg =0 = 14 m/s = 0,01 s ( ) (0,01) = 0,2 (14 – 0) = 280 N 1 2
∆
2 – 1
13.
Sebuah gerbong kereta dengan massa 10.000kg 10.000kg bergerak dengan laju 24 24 m/s. Gerbong tersebut menabrak gerbong lain yang serupa dan dalam
59
keadaan diam. Akibat tabrakan tersebut, gerbong tersambung menjadi satu. Berapakah kecepatan bersama dari gerbong tersebut? Pembahasan: Diketahui :
= 10.000 kg = 24 m/s =0 1 0
Momentum total awal dari kejadian tersebut adalah...
=
tot
= (10.000)(24) + (10.000)(0) = 240.000 kgm/s Setelah tumbukan, momentum total akan sama dan dimiliki bersama oleh kedua gerbong. Karena kedua gerbong menjadi satu maka laju mereka adalah
=(
tot
2,4 x 105
+ ) 1
2
= (10.000 + 10.000)
= (2,4 x 105) : (2 x 104)
= 12 m/s
14.
Hitung kecepatan balik balik senapan yang yang memiliki massa 5 kg kg dan menembakkan peluru 25 gram dengan laju 120 m/s. Penyelesaian: Diketahui :
= 5 kg = 25 gr = 0,025 kg = 120 m/s s
p
p’
Momentum total sistem tetap kekal. Kekekalan momentum pada arah x menghasilkan
+ s
s
p
0+0
p
= (5) + (0,025)(120) =5 +3
=
s
s’ +
p
p’
s’
0
s’
s’
s’
= -3 : 5 = - 0,6
60
15. Proton dengan massa 1,01u (u = satuan massa atom yang disatukan) yang bergerak dengan laju 3,6 x 104 m/s bertumbukan dari depan dengan inti
helium (He),
He
= 4u yang diam. Berapa kecepatan inti helium setelah
tumbukan? Penyelesaian:
= - + = (2 ) : ( + ) p p
p He’
He’
p p
p p
p
He He’ He
= [2 (1,01u) (3,6 x 104)] : [1,01u +4u] =[(2,02u)(3,6 x 104)] : 5,01u =1,45 x 104 m/s
16.
Sebuah batu 100 gram dilontarkan dilontarkan dengan sebuah alat sehingga sehingga melesat dengan kelajuan 20 m/s di udara. Batu tersebut mengenai sasaran benda lain yang diam dengan massa 10 gram. Kedua benda tersebut menjadi satu dan bergerak bersama-sama. Berapakah kecepatan kedua benda setelah tumbukan?
Penyelesaian: Diketahui :
= 100 gram = 0,1 kg = 20 m/s = 10 gram = 0,01 kg =0 1
1
2
2
kekekalan momentum
= ( ) = ( ) : ( ) = [(0,1)(20) + (0,01)(0)] : [0,1+0,01] = 2 : 0,11 = 18,2 m/s 17.
Mobil bermassa 1200 kg mula – mula bergerak dngan kelajuan 20 m/s kemidian menabrak pohon dan berhenti setelah bergerak sejauh 1,5 m. Berapakah gaya rata-rata yang menghentikan mobil itu? Penyelesaian Diketahui
= 20 m/s 61
= 0 m/s X = 1,5 m Dengan menganggap perlambatan mobil konstan, maka, kelajuan ratarata mobil selama bergerak sejauh 1,5 m adalah
⃗ = = + )= (0 + 20)= 10 m/s Dengan menggunakan rumus x =⃗t diperoleh = = 0,15 s Waktu t=0,15 s ini merupakan selang waktu yang diperlukan mobil untuk
= 0,15 s ⃗=– bergerak sejauh 1,5 m. Jadi,
Dengan cara menambah jarak yang ditempuh sebelum berhenti, besar gaya rata-rata tersebut dapat dikurangi. dikurangi. 18.
Pada uji tabrakan di sebuah karoseri, karoseri, sebuah mobil bermassa bermassa 1500kg 1500kg ditabrakan ke tembok dengan kecepatan awal dan kecepatan akhir mobil tersebut berturut-turut adalah -15,0 m/s dan 2,6 m/s. Jika bemper mobil menyentuh tembok dalam selang waktu 0,150 s. Hitunglah impuls yang ditimbulkan oleh tabrakan itu dan gaya rata-rata yang didesakkan pada mobil! Penyelesaian: Diketahui: Kita ambil arah kanan sebagai arah positif. Mobil bergerak ke kiri ke arah tembok dengan kelajuan 15 m/s. Setelah menabrak tembok, mobil mundur dengan kelajuan 2,6 m/s. Momentum awal dan momentum akhir berturutturut adalah:
= = (1500kg)(-15m/s)= -2,25 x 10 kg m/s = = (1500k)(2,6m/s)= 0,39 x 10 kg m/s 4
4
Oleh karena itu, impuls yang ditimbulkan adalah: I=
-= 0,39 x 10 kg m/s – (-2,25 x 10 kg m/s)= 2,64 x 10 kg m/s 4
4
4
Gaya rata-rata yang didesakkan pada mobil adalah:
⃗ = = =1,76 x 10 N 5
19. Sebuah gerbong kereta 10.000 kg yang berjaan dengan laju 24,0 m/s menabrak gerbong lain yang sejenis yang sedang dalam keadaan diam.
62
Jika kedua gerbong tersebut tersambung sebagai akibat dari tumbukan, berapakah kecepatan bersama mereka? Penyelesaian: Diketahui:
= 10.000 kg =24,0 m/s = 0 m/s Ditanyakan
=...? Jawab :
+ = (10.000)(24,0) + (10.000)(0) = 2,4 x 105 kg m/s Dan menuju kekanan, kearah +x. Setelah tumbukan, momentum total akan sama dan di miliki bersama oleh kedua gerbong. Karena kedua gerbong tersebut menyatu, laju mereka akan sama, kita sebut saja
.
Maka:
+ ) = 2,40 x 10 = = 12,0 m/s
5
Kekanan. Laju bersama mereka setelah tumbukan adalah setengah dari laju awal gerbang 1.
20. Hitung kecepatan k ecepatan balik sebuah senapan senapa n 5,0 kg yang menembakkan m enembakkan peluru 0,050 kg dengan laju 120 m/s! Penyelesaian Diketahui:
= Daftar Pustaka Abdullah,Mikrajuddin.2006. Fisika 2A SMA dan MA Kelas XI Semester 1. 1. Jakarta:Erlangga.
63
Kanginan,Marthen.2002.Fisika Kanginan,Marthen.2002. Fisika untuk SMA Kelas XI Semester 1.Jakarta: 1.Jakarta: Erlangga. Ruwanto,Bambang.2006. Asas-Asas Fisika.Jakarta:Yudhistira. Fisika.Jakarta:Yudhistira. Subaya,Hari dan Agus Taranggono.2007.Sains Taranggono.2007.Sains Fisika 2 SMA/MA Kelas XI . Jakarta:Bumi Aksara. Zaelani,Ahmad,dkk.2006.1700 Zaelani,Ahmad,dkk.2006. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Fisika Untuk SMA/MA.Bandung:Yram SMA/MA.Bandung:Yrama a Widya.
64