Cálculo integral y su aplicación a la economía Mónica Mamani Cereceda FUNDAMENTOS DE C!CU!O "nstituto "ACC ## de mayo de #$%&
Desarrollo
I. a.
Aplicaremos integración por partes'
− dx =∫ ln x dx ∙ x ∫ ln x x
3
3
1
→ du= dx x
u= ln x −2
x −1 −3 v= = 2 → dv = x −2 2 x dx = ln x ∙ ∫ ln x x 3
( ) −1
2 x
2
−∫
−2
¿
−ln x 1 x + ∙ +c 2 2 −2 2 x b.
¿
−1 2 x
2
∙
1 x
dx =
−2 ln x −1 4 x
2
− ln x 2 x
2
+∫
1 3
2 x
dx =
−ln x 2 x
2
+ 1 ∫ x −
3
2
dx
+c
(eali)aremos un cam*io de +aria*le, Sea'
u=2 x + 6 → du=2 dx →dx =
du 2 6
( 2 x + 6 ) 1 u du 1 u +c ∫ ( 2 x + 6 ) dx =∫ u ∙ = ∫ u5 du = ∙ + c = +c = 6
5
2
a.
6
5
2
2 6
12
12
(eali)aremos un cam*io de +aria*le, Sea'
2
u=2 x + 4 x + 5 → du=( 4 x + 4 ) dx→dx =
du 4 x +4 1
2 x + 2
√ u
∙
du 4 x + 4
=¿∫
2 ( x + 1 ) du = ∙ 4 ( x + 1 ) √ u
∫ ∫
2 du 1 = ∙ 4 √ u 2 2 x + 2
√ 2 x + 4 x + 5 2
II. 1. a.
Deri+aremos la -unción de costo total'
C ´ ( x )=2 ∙
1 8
1 4
x + 4 =
2 8
C ´ ( 10 )= ∙ 10 + 4=
x+ 4=
1 4
∫u
x+ 4
10 + 4 =6,5 4
El costo de producir a la d.cima unidad es /01,
−1 2
2
1 u du = ∙ 2 1 2
∫¿
dx =
1
1 2
+ c =u + c =( 2 x + 4 x + 5 ) + c 2
2
b.
Deri+aremos la -unción de ingreso entregada en el enunciado'
−2 1 x + 16,5 3 3 −2 I ´ ( 10 )= ∙ 10 + 16,5=9,8 3 I ´ ( x )=2 ∙− x + 16,5=
El ingreso es de 203 al producir la d.cima unidad, 2.
Se sa*e 4ue l -unción de costo total es igual a la integral de la -unción de costo marginal' 3
2
x x 2 3 2 C ( x )=∫ Cmgdx =∫ ( 12 x − 4 x + 5 ) dx =12 ∙ − 4 ∙ + 5 x + c = 4 x −2 x + 5 x + c 3
2
Se sa*e 4ue el costo total es de 5/$ pesos cuando se producen 5 unidades0 esto nos ser+irá para determinar el +alor de la constante 6c7 de la integral' 3 2 360= 108 −18 + 15 + c c =255 360= 4 ( 3 ) −2 ( 3 ) + 5 ( 3 ) + c 3 2 →C ( x ) =4 x −2 x + 5 x + 255
8i*liogra-ía
-
9aeussler0 E,: ;aul0 (, y
, Matemáticas para administración y economía, Decimosegunda edición, M.?ico' ;earson Educación, ;rado et al, =#$$/>, Cálculo di-erencial para ingeniería, Segunda edición, M.?ico' ;earson Educación, Ste@art0 ,: (edlin0 !, y , ;recálculo, Buinta edición, Santa Fe0 M.?ico' Editorial Cengage !earning, "ACC =#$%1>, Cálculo integral y su aplicación a la economía, Fundamentos de Cálculo, Semana 3
