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UNIVERSIDAD CIENTIFICA DEL PERÚ Facultad de Ciencias e Ingeniería Escuela Profesional de Ingeniería Civil Curso de Mecánica de Materiales II Docente: Ing. Gilberto Aliaga Atalaya
TEORÍA DE COLUMNAS Ecuaciones de Euler
Tarapoto, 09 de Diciembre de 2016
Dayana V. Ruiz Ysuiza
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“Lacienciapuededivertirnosyfascinarnos,peroesla Ingenieríalaquecambiaelmundo”
Isaac Asimov
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A Dios y a mis padres , quienes me enseñan a forjar metas; me ayudan incondicionalmente a pesar de las adversidades; me transmiten fuerza y perseverancia para seguir adelante, en el proceso de mis estudios universitarios y así lograr mis objetivos.
EL AUTOR
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INDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 6 I.
GENERALIDADES .......................................................................................................................... 7 1.1.
ANTECEDENTES ................................................................................................................... 7
1.2.
DEFINICIÓN DE ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS ................................................................. 8
1.3.
DEFINICIÓN DE CARGAS CRÍTICAS ....................................................................................... 8
II.
COLUMNAS .............................................................................................................................. 9 2.1.
DEFINICIÓN .......................................................................................................................... 9
2.2.
TIPOS DE COLUMNAS ........................................................................................................ 10
2.2.1.
Columnas Largas ........................................................................................................ 10
2.2.2.
Columnas Intermedias............................................................................................... 10
2.3.
COMPORTAMIENTO .......................................................................................................... 10
2.4.
LONGITUD EFECTIVA ......................................................................................................... 11
2.5.
EXCENTRICIDAD ................................................................................................................. 11
III.
PANDEO DE COLUMNAS........................................................................................................ 12
3.1.
DEFINICIÓN ........................................................................................................................ 12
3.2.
CARGAS CRÍTICAS .............................................................................................................. 12
3.3.
FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS MUY LARGAS O ESBELTAS.................................. 13
3.4.
LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER ....................................................................... 14
3.5.
INFLUENCIA DE LOS ENLACES. LONGITUD DE PANDEO .................................................... 16
3.6.
TENSIÓN CRÍTICA DE EULER .............................................................................................. 17
3.7.
COLUMNA RECTA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS................................................... 18
5 3.8.
COLUMNA EMPOTRADA ARTICULADA .............................................................................. 19
3.9.
COLUMNA CON CARGA AXIAL EXCÉNTRICA ...................................................................... 19
3.10.
COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE ................................................................ 20
3.11.
FÓRMULA DE LA SECANTE............................................................................................. 21
3.12.
PREDIMENSIONAMIENTO DE COLUMNAS .................................................................... 23
IV.
Columna de Madera .......................................................................................................... 23 ejercicios................................................................................................................................ 25
Conclusiones .................................................................................................................................... 27 Referencias ....................................................................................................................................... 28
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INTRODUCCIÓN
Las estructuras sometidas a cargas pueden fallar de diversas maneras, dependiendo del tipo de estructura, las condiciones de los soportes, los tipos de cargas y los materiales usados, por ejemplo, el eje de un vehículo puede fracturarse de repente debido a ciclos repetidos de carga o un miembro a tracción puede alargarse de forma excesiva, de manera que la falla pueden prevenirse diseñando las estructuras de modo que las tensiones máximas y los desplazamientos máximos permanezcan dentro de los límites tolerables; por lo tanto, la resistencia y la rigidez son factores importantes en el diseño. Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural que transmite, a través de compresión, el peso de la estructura sobre otros elementos estructurales que se encuentran debajo. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Las columnas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o techos descansan. Las primeras columnas eran construidas de piedras, sacadas de una pieza simple de roca, usualmente rotándolas sobre un aparato parecido a un torno. Otras fueron creadas de múltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco. Las columnas modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de ladrillo. Otro tipo de falla es el pandeo, tema de este estudio. Consideraremos de manera específica el pandeo de columnas, que son miembros estructurales esbeltos y alargados, axialmente en compresión. Si un miembro a comprensión es más bien esbelto, puede fallar por flexión o reflexionarse en forma lateral en vez de por comprensión directa del material. Este comportamiento se puede evidenciar comprimiendo una regla de plástico u algún otro objeto esbelto. Cuando hay flexión lateral, decimos que la columna se ha pandeado. Bajo una carga axial creciente, las deflexiones laterales también aumentan y la columna termina por fallar por completo. El fenómeno de ´pandeo no se limita a columnas; puede presentarse en muchos tipos de estructuras y adoptar muchas formas. Cuando alguien se coloca sobre un lata vacía de aluminio, las paredes cilíndricas delgadas se pandean bajo su peso y la lata se colapsa. El pandeo es una de las principales causas de falla en las estructuras, por lo que siempre debe considerarse en el diseño la posibilidad de que ocurra.
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I.
GENERALIDADES 1.1. ANTECEDENTES Que se refiere tanto al soporte constructivo como al instrumento de escritura, del cual se deriva, por vía literaria, la idea del estilo como manera artística. Por su parte el término latino columna transita desde la arquitectura hasta la anatomía, por lo de la columna vertebral, o por las variedades constructivas llamadas órdenes, que expresan las singularidades de las edades y los sexos. Ya se sabe que detrás de las palabras y las cosas acechan los mitos y las imágenes. (Historia de las columnas, 11, 2016) El uso de columnas en arquitectura se remonta a la Edad del Hierro cuando muchas civilizaciones enclavadas en el Mediterráneo y Oriente Próximo utilizaban columnas de piedra. Según los expertos, las columnas de piedra también fueron utilizados en la arquitectura egipcia antigua que data de 2600 AC. Sin embargo el uso de todo el año y columnas cuadradas fueron cambiados por los cilindros durante la arquitectura egipcia. Algunas de las mejores columnas fueron desarrollados por los persas que puso grandes columnas de piedra durante la construcción de Persépolis durante el régimen del rey aqueménida Darío I (524-486 a.c). La mayor parte de la civilización que cumplió con el período egipcio y persa utilizaron diferentes tipos de columnas para apoyar y sostener el techo de la estructura. El uso de columnas como extensión ornamental se podía ver mucho más tarde con el desarrollo de los romanos que comenzaron a utilizar las columnas fuera de las estructuras para mejorar su diseño arquitectónico La construcción de cualquier tipo de columnas se convirtió en cada vez menos popular durante la Edad Media, cuando el follaje decoración llegó a ser más prominente. Seguido por el Renacimiento, los estilos cambian como arquitectos comenzaron a utilizar figuras talladas y tipos de diseño y reubicados lejos de la arquitectura de la columna. Estos días, las columnas se utilizan típicamente para los propósitos de cimentación donde se distribuye el peso, permitiendo la estructura para soportar la presión sin desmoronarse. (Historia de Columnas, 29/07/2014)
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1.2.
DEFINICIÓN DE ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS Uno de los problemas más complejos en la ingeniería estructural y de mayor trascendencia práctica, es el de la inestabilidad de elementos estructurales parcial o totalmente comprimidos y el de las estructuras constituidas por dichos elementos. Es natural, por tanto, que su análisis y la reflexión sobre su comportamiento hayan atraído la atención de tantas ilustres inteligencias que a lo largo del tiempo han contribuido a establecer los sólidos fundamentos del análisis estructural. Así, Galileo en el libro editado en 1638 “Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno due nuove Scienze”, utilizó el recurso pedagógico y literario del diálogo entre Sagredo y Salviati para plantear la influencia de la esbeltez en la capacidad resistente de una pieza comprimida. (Aforismos estructurales, 1998) Por lo cual, estabilidad estructural se refiere a la capacidad de una estructura bajo las fuerzas que actúan sobre ella de alcanzar un estado de equilibrio mecánico. Las combinaciones de fuerzas o acciones bajo las cuales una estructura no es estable se denominan inestabilidades. (Wikipedia, 2016)
1.3.
DEFINICIÓN DE CARGAS CRÍTICAS La carga axial que da inicio a la inestabilidad por pandeo en un elemento estructural se conoce como carga crítica de pandeo del elemento o carga de Euler. Se puede tomar como referencia a un elemento estructural ideal de eje recto, sin imperfecciones del material ni de alineación del elemento, con una longitud L, de sección constante A e inercia I, constituido por un material lineal elástico cuyo módulo de elasticidad es E. En uno de sus extremos se coloca un apoyo fijo y en el otro, un apoyo deslizante longitudinal. (Figura 1).
FIGURA 1 Pandeo de una estructura idealizada que consta de dos barras rígidas y un resorte rotatorio
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II.
COLUMNAS 2.1. DEFINICIÓN Las columnas se definen como miembros que transmiten cargas axiales de compresión. Las columnas, por lo común, fallan por pandeo, que es una forma de inestabilidad. El modelo conceptual es el de un miembro perfectamente recto, y cargado en el centro sin, sin cargas laterales ni momentos flexionantes. El eje estructural de un miembro movido de su original posición recta mediante un pequeño desplazamiento. Nosotros seguiremos el análisis original de Euler. La figura 2 muestra el eje estructural de un miembro movido de su original posición recta mediante un pequeño desplazamiento (está muy ampliado). El problema matemático consiste e n encontrar la carga axial “crítica” a la cual la columna permanecerá en equilibrio estático en la posición desplazada. La solución del problema determinará también la forma de la curva de la deflexión. En la configuración desplazada, la presencia de la carga axial P produce momentos flexionantes de magnitud desplazamiento de flexión.
. Estos momentos ocasionan
La única ley física necesaria es para desplazamientos pequeños desde una configuración recta, puede aproximarse por la relación siguiente: Dφ/dx = -M/EI
El signo negativo es importante, quiere decir que los momentos mostrados causan una disminución de la pendiente sobre una longitud , 2011)
. (Gabriela Cristobal Ceron
FIGURA 2 Pandeo de una columnas de extremos articulados.
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2.2. TIPOS DE COLUMNAS 2.2.1.
Columnas Largas
Se dice que una columna es larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica será mayor igual a 100. 2.2.2.
Columnas Intermedias
Se dice que una columna es intermedia cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentra entre 30 y 100. En algún casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación (se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal). La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento, las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedia, por una combinación de aplastamiento y pandeo; las columnas cortas, por aplastamiento. 2.3. COMPORTAMIENTO Dentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural están: equilibrio, resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral, el cual es una deflexión que ocurre en la columna; cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexión agranda la magnitud del momento flector, creciendo así la curvatura de la columna hasta la falla; este caso se considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites, el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (véase Figura 3). La estabilidad es así el nuevo parámetro que define además de la resistencia y la rigidez.
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FIGURA 03 Disminución del esfuerzo de trabajo a compresión según la esbeltez de la columna (Timoshenko y Young, 2000, pag.282)
2.4. LONGITUD EFECTIVA La longitud efectiva combina la longitud real con el factor de fijación de extremos; Lt = KL fue deducida para el caso de una columna con extremos articulados, o libres de girar. En otras palabras. L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos con momento cero. Si la columna que soportada en otras formas, la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica, siempre que ‘L” represente la distancia entre puntos con momento cero. A esta
distancia se le llama longitud efectiva de la columna, Le 2.5. EXCENTRICIDAD Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es excéntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma, al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga no actúe en el centroide de la columna (véase Figura 4). Esta relación del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de distancia según la propiedad del momento3, la distancia se denomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequeña la flexión es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión sobre la columna.
= FIGURA 4 columna.
Excentricidad (e) de la
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III.
PANDEO DE COLUMNAS 3.1. DEFINICIÓN Los diferentes elementos que conforman una estructura pueden "fallar" por diferentes motivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos. Muchos de estos tipos de "fallos”
se podrán evitar, dimensionando dichos
elementos de tal forma, que las tensiones y deformaciones máximas que se produzcan permanezcan dentro de los limites admisibles y así se efectuarán los dimensionamientos a Resistencia y a Rigidez, estudiados en los temas precedentes. Pero existen otros tipos de "fallos”, como es el "fallo por inestabil idad o pandeo”,
que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a compresión. En estos casos, en el elemento puede aparecer una flexión lateral que puede llegar a ser grande y hacer "fallar" al elemento.
FIGURA 5 Pandeo de la columna o viga.
La aparición de dicha flexión lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de estabilidad del elemento y el consiguiente colapso de la estructura, constituyen el estudio del Pandeo. (Santillana, Pandeo , 2008) 3.2. CARGAS CRÍTICAS Cada vez que se diseña un elemento, es necesario que cumpla con requisitos específicos de resistencia, deflexión y estabilidad. Anteriormente se han analizado algunos de los métodos que se usan para determinar la resistencia y la deflexión de un elemento, en los que siempre se supone que el elemento se encuentra en equilibrio estable. Sin embargo, algunos elementos pueden estar sometidos a cargas de compresión y si dichos elementos son largos y delgados, la carga puede
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ser lo suficientemente grande para hacer que el elemento experimente deflexión lateral o se ladee. En específico, los elementos largos y delgados que se someten a una fuerza de compresión axial se denominan columnas, y la deflexión lateral que se produce se llama pandeo. Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una falla repentina y dramática de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atención especial al diserto de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse. (Mecánica de Materiales, 2011) 3.3. FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS MUY LARGAS O ESBELTAS La fórmula de Euler es válida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como 'carga critica de pandeo", esta es la última carga que puede soportar por columnas largas, es decir, la carga presente en el instante del colapso. La columna articulada en sus extremos, inicialmente recta homogénea, de sección transversal constante en toda su longitud se comporta elásticamente. Puede tener dos posiciones de equilibrio: recta o ligeramente deformada.
FIGURA 6 Carga aplicada
Se aplica una fuerza horizontal Q para y de esto podemos inferir lo siguiente:
∑ =0
De la ecuación de la elástica
=
= = −
Se obtiene:
Haciendo que
=
se escribe
+( )=0 + =0
en columnas largas
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Es una ecuación diferencial de segundo Orden cuya solución es:
= +
Aplicando las condiciones de frontera tenemos que, x = 0, y = 0 que sustituyendo en la ecuación:
0= 0+0 =0 0 =0 =0 =
Para x = L, y = 0 por lo tanto:
B no puede ser 0 así que, La solución general sería:
= =
Donde n describe todos los modos de pandeo, pero generalmente se toma n = 1, resultando la fórmula:
=
3.4. LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.
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La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo elástico. Por este motivo. Dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearan bajo la misma carga crítica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo módulo elástico. Así, pues, para aumentar la resistencia al pandeo, interesa aumentar lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible. (Recuérdese el ejemplo clásico de la columna hueca de sección circular.) Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia (por
, donde A es
el área de la sección recta y r el radio de giro mínimo’. Para el caso fundamental
se tiene:
= /
El valor P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La longitud1 de la columna es L y r el radio de giro mínimo del área de la sección, puesto que la fórmula original de Euler se da en términos del valor mínimo de I. La relación LA se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez, de la columna. Como una columna cargada axialmente tiende a pandearse respecto del eje I mínimo, para hallar la esbeltez de una columna se divide la longitud equivalente o efectiva entre el radio de giro mínimo de la sección recta. Por conveniencia, se definen como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite
1
La utilización de la longitud efectiva
hace efectiva esta expresión.
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inferior de aplicación de La fórmula de Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos de límite de proporcionalidad y del módulo elástico de cada material. Así, pues, el límite mínimo de La esbeltez varía con el material y también con los diferentes tipos dentro de cada material.
FIGURA 7 El esfuerzo crítico o admisible es el representado por la tinca continua. La parte punteada de la curva de Euler no es aplicable.
Por debajo de este valor, como se indica en la figura 6, en la parte punteada de La curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler excederla al límite de proporcionalidad, por Lo que para LA < 100 la fórmula de Euler no es aplicable, y hay que considerar corno esfuerzo crítico el [imite de proporcionalidad. La curva muestra también que el esfuerzo critico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea la menor posible. Finalmente se debe observar que la fórmula de Euler da la carga crítica y no la carga de trabajo. Por ello es preciso dividir la carga crítica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser de 2 a 3 según el material y las circunstancias, para obtener el valor de la carga admisible. (Mera, 2013 ) 3.5. INFLUENCIA DE LOS ENLACES. LONGITUD DE PANDEO El valor obtenido para la carga crítica
,
corresponde al caso de una columna articulada en sus extremos.
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Con otros tipos de apoyos, se obtiene:
FIGURA 8 Cargas aplicadas en diferentes tipos de apoyos de columnas.
Con el objeto de poder utilizar una sola fórmula que englobe a los cuatro casos, se utilizará la siguiente:
siendo:
= = . " "
Los valores de β y por consiguiente de
para cada uno de los cuatro tipos de
apoyos vistos, se obtendrán comparando laformula general para la carga crítica, con las obtenidas en cada uno de ellos. Los valores indicados en las figuras correspondientes. (Santillana, Pandeo , 2008)
3.6. TENSIÓN CRÍTICA DE EULER Se define la tensión crítica de Euler como la tensión nominal de compresión que existe en la columna cuando se alcanza la carga crítica de Euler:
= =
Esta expresión indica cuál es la tensión de compresión máxima que puede existir en la columna justo antes de producirse el pandeo. Se observa que depende de la inversa de la esbeltez de la pieza, pero no depende de la resistencia del material, sino únicamente de su módulo de elasticidad. Representa por lo tanto un límite
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superior a la tensión nominal de compresión admisible, límite que no puede aumentarse mejorando la resistencia del material. En todo caso la tensión crítica de Euler tiene como valor límite al límite de proporcionalidad del material, es decir la tensión a partir de la cual deja de cumplirse la proporcionalidad entre tensión y deformación unitaria. Al alcanzarse este límite deja de ser válida la hipótesis de material lineal y por lo tanto todo lo deducido, siendo necesario aplicar la teoría del pandeo inelástico, que se explica más adelante. Se define la esbeltez límite de proporcionalidad cual la tensión crítica de Euler del material
como aquella esbeltez para la
alcanza la tensión límite de proporcionalidad
Su valor se obtiene sustituyendo este límite de proporcionalidad
del material en la fórmula de la tensión crítica de Euler:
= ⟶ = 3.7. COLUMNA RECTA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS La carga crítica de esta columna resulta ser:
4 = = /2
Este valor coincide con la carga crítica de Euler de una columna biarticulada de longitud L/2. Por lo tanto el pandeo de la columna biempotrada se produce por colapso de una zona central de la misma, de longitud L/2, que se comporta como biarticulada.
FIGURA 9
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3.8. COLUMNA EMPOTRADA ARTICULADA La carga crítica es en este caso:
4. 4 93 = = 0.75
Este valor corresponde a la carga de pandeo de Euler de una columna biarticulada de longitud 0.7L. Por lo tanto el pandeo de esta columna se produce por colapso de una zona de la misma, de longitud 0.7L, que se comporta como biarticulada (figura 10)
FIGURA 10
3.9. COLUMNA CON CARGA AXIAL EXCÉNTRICA Se supone una columna recta, articulada en ambos extremos y sometida únicamente a la acción de dos cargas iguales de compresión de valor P, que actúan de forma excéntrica respecto al eje de la columna, con excentricidad e igual en ambos extremos (figura 11).
FIGURA 11
A fin de caracterizar con sencillez el comportamiento de la columna se estudia su respuesta en el punto medio: en este punto se presentan la máxima deformación y el máximo momento flector, como puede comprobarse fácilmente por derivación en las expresiones correspondientes. La deformada en dicho punto medio viene dada por la ecuación:
/ = [1( )]
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3.10. COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE Las columnas se suelen diseñar para soportar cargas axiales, y las fórmulas que se han expuesto lo han sido con este criterio. Sin embargo, en ocasiones las columnas pueden estar sometidas a cargas con una determinada excentricidad, por ejemplo, cuando se remacha una viga al ala de una columna en la estructura de un edificio. La fórmula de la secante que se estudia lo veremos a continuación es especialmente adecuada para tales casos, pero su aplicación numérica es tan engorrosa que suele emplearse con frecuencia el procedimiento simplificado que se indica a continuación Se estudia la columna excéntricamente cargada como si fuera, en lo que se refiere a los esfuerzos, un elemento Corto cargado excéntricamente. Pero para eliminar la posibilidad del pandeo, de manera que pueda despreciarse el efecto de la flexión en el brazo de momento de la fuerza o carga excéntrica, se limita el esfuerzo máximo de compresión a la carga unitaria calculada con una cualquiera de las fórmulas expuestas en las secciones anteriores. Aplicando este procedimiento a la columna, que soporta una carga axial Po y una carga P con excentricidad e, el criterio de dimensionado debe ser:
≥ ∑ + = + +
En donde es la carga unitaria de seguridad, calculada por una de las fórmulas dadas de las columnas (tomando como radio de giro para la determinación de la esbeltez siempre el menor, aunque la excentricidad no sea en esa dirección), / momento de inercia correspondiente al eje con respecto al que se produce la flexión (eje X-X en la Fig. 11) y S el módulo resistente respecto del mismo eje. Los modernos criterios de diseño han refinado el planteamiento de máximo esfuerzo para incluir los momentos, llamados secundarios, que se introducen debido a la deflexión del eje neutro (el llamado efecto P-ó). Estos efectos toman la forma, muy frecuentemente, de ecuaciones de interacción, que intentan sopesar la importancia relativa del esfuerzo axial y del esfuerzo por flexión.
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FIGURA 11 Carga axial una columna.
y carga excéntrica P en
3.11. FÓRMULA DE LA SECANTE La fórmula de Euler fue deducida suponiendo que la carga P siempre se aplica pasando por el centroide del área transversal de la columna, y que la columna es perfectamente recta. En realidad esto no es realista, ya que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran exactitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente; más bien comienza a doblarse, aunque siempre en forma muy insignificante, inmediatamente después de aplicarla carga. El resultado es que el criterio real para aplicación de la carga se limita ya sea a una deflexión especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo máximo en la columna rebase un valor admisible. Para estudiar este efecto aplicaremos la carga P a la columna, a una corta distancia excéntrica e del centroide de la sección transversal. Esta carga en la columna es equivalente. Estáticamente a la carga axial P y a un momento de flexión M = Pe. Como se ve, en ambos casos los extremos A y B están soportados de modo que son libres de girar (están articulados). Como antes, sólo se considerarán pendientes y deflexiones pequeñas, y que el comportamiento del material es elástico lineal. Además, que el plano x-v es plano de simetría para el área transversal. (Curso de Análisis Estructural, 2013) De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la sección arbitraria, el momento interno en la columna es:
= +
Se puede considerar que estas columnas de madera están articuladas en su base y empotradas en las vigas en sus extremos superiores. La flexión de las vigas hará que las columnas estén cargadas excéntricamente En consecuencia la deflexión es:
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= + = +
De la ecuación diferencial de 2do grado resolvemos y tenemos:
Utilizamos las ecuaciones de frontera y obtenemos:
Resolviendo obtenemos la curva de deflexión de la siguiente manera
Debido a la simetría cuando x = L/2 obtenemos el valor máximo
=sec 21 El esfuerzo máximo se puede hallar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga axial como al momento, el momento máximo está en el centro de la columna.
= |+ | =. sec 2
El esfuerzo máximo es de compresión y su valor es
= + . = + .. sec 2 =
Como el radio de giro es
y de esto podemos deducir la formula secante:
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= 1+ . sec2
3.12. PREDIMENSIONAMIENTO DE COLUMNAS
Columna de Madera
Las columnas de madera pueden ser de varios tipos: maciza, ensamblada, compuesta y laminadas unidas con pegamento. De este tipo de columnas la maciza es la más empleada, las demás son formadas por varios elementos. - Método para presimensionar columna de madera. La ecuación de análisis se realiza según los esfuerzos y se expresa de forma simple tal como lo indica la Ecuación. ( Ingeniería simplificada para Arquitectos y Constructores, 1995)
Donde:
= esfuerzo de trabajo axial,
+ ≤1 =
Fa = esfuerzo admisible a comprensión. Fa = Fe*Cp
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= esfuerzo de trabajo a flexión,
=
Fb = esfuerzo admisible a flexión Fc = esfuerzo admisible para comprensión paralela a veta
= √ 1+ = 2 = = ú: = Cp = factor de estabilidad de la columna según: Donde:
Donde:
≡ 0,3 madera clasificada, 0,418 madera unida con pegamento
E = módulo de elasticidad; L = longitud sin arriostrar;
d = menor dimensión de la sección transversal.
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IV.
EJERCICIOS
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27
CONCLUSIONES
Como conclusión se tiene que las columnas en general
tienen como tarea
fundamental transmitir las cargas de las losas hacia los cimientos, la principal carga que recibe es la de compresión, pero en conjunto estructural la columna soporta esfuerzos flexionantes. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: “Largas e Intermedias”.
Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su
comportamiento.
La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elástico.
Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.
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REFERENCIAS
(1995). En H. y. Parker, Ingeniería simplificada para Arquitectos y Constructores. México D.F., México: Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores.
(1998). En J. Rui-Wamba, Aforismos estructurales. Madrid: Fundación Esteyco.
(2011). En R. C. Hibbeler, Mecánica de Materiales (pág. 676). Mexico: Pearson Education .
Curso de Análisis Estructural. (2013). En Resumen de estabilidad de columnas (pág. pág. Cap. 14 ).
Gabriela Cristobal Ceron . (22 de Noviembre de 2011). Obtenido de Blog .
Historia de Columnas. (29/07/2014). Arkiplus , http://www.arkiplus.com/historia-de-lascolumnas.
Historia de las columnas. (11, 2016). Revista ARQHYS.com, http://www.arqhys.com/contenidos/columnas-historia.html.
Mera, J. M. (2013 ). Columnas . Lambayeque .
Santillana, J. S. (2008). Pandeo .
Wikipedia. (18 de Octubre de 2016). Obtenido de Wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Estabilidad_estructural
