“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación” UNIVERIDAD PERUANA !" ANDE FA#U!$AD FA#U!$AD DE #IEN#IA AD%INI$RA$IVA AD%INI$RA$IVA & #"N$A'!E
“#ARRERA PR"FEI"NA! DE AD%INI$A#I"N & I$E%A”
Teoría de colas
CUANTITATIVOS DE NEGOCIOS #A$EDRA( METODOS CUANTITATIVOS
#A$EDRA$I#"( Econ. ROMERO BELLEDONE, ARIEL IN$E)RAN$E(
DE LA CRUZ MOSCOSO, Miqueas ALVARE ALVAREZ Z ROJAS, Jean RUDAS BASALDUA, Yosein TAI!E MONTES, An"e
#I#!"( V E##I*N( B# $%#&'I
IN$R"DU##I"N B(sica)en*e os o+e*i-os e a *eo/0a e coas 1e/)i*en ien*i2ica/ e ni-e 31*i)o e ca1acia e sis*e)a que )ini)i4a e cos*e "o+a e )is)o, sin ea/ e ao a a*enci3n a *ie)1o e 1e/)anencia en e sis*e)a o en a coa. Es*a *eo/0a a1a/ece a 1/inci1ios e si"o 55 1a/a es*uia/ os 1/o+e)as e con"es*i3n e */(2ico que se 1/esen*a+an en as co)unicaciones *ee23nicas. E/an", es*acao )a*e)(*ico an6s, 2ue e 1/i)e/o en */a*a/ e */(2ico *ee23nico e 2o/)a cien*02ica 7en*/e os a8os #9%: ; #9%&<, ; es*a+eci3 a unia e */(2ico *ee23nico, que /eci+e su no)+/e.
$E"R+A DE #"!A !INEA DE EPERA , "'$RU##I"N DEFINI#I*N( La *eo/0a e coas es e es*uio )a*e)(*ico e as coas o 0neas e es1e/a en*/o e un sis*e)a. Es*a se 1/esen*a, cuano os =cien*es> e"an a un =u"a/> e)anano un se/-icio a un =se/-io/>, e cua *iene una cie/*a ca1acia e a*enci3n. Si e se/-io/ no es*( is1oni+e in)eia*a)en*e ; e cien*e ecie es1e/a/, en*onces se 2o/)a a 0nea e es1e/a.
-.UE E UNA #"!A /l0neas de es1era23 La coa, 1/o1ia)en*e ic?a, es e conun*o e cien*es que ?acen es1e/a, es eci/ os cien*es que ;a ?an soici*ao e se/-icio 1e/o que a@n no ?an 1asao a )ecanis)o e se/-icio. Una coa es una 0nea e es1e/a ; a *eo/0a e coas es una coecci3n e )oeos )a*e)(*icos que esc/i+en sis*e)as e 0nea e es1e/a 1a/*icua/es o sis*e)as e coas.
-.UE "N !" I$E%A DE #"!A3 Los sis*e)as e coas son )oeos e sis*e)as que 1/o1o/cionan se/-icio. Co)o )oeo, 1ueen /e1/esen*a/ cuaquie/ sis*e)a en one os */a+aos o cien*es e"an +uscano un se/-icio e a"@n *i1o ; saen es1u6s e que ic?o se/-icio ?a;a sio a*enio. E sis*e)a e a coa es e conun*o 2o/)ao 1o/ a coa ; e )ecanis)o e se/-icio, un*o con a isci1ina e a coa, que es o que nos inica e c/i*e/io e qu6 cien*e e a coa ee"i/ 1a/a 1asa/ a )ecanis)o e se/-icio.
"RI)EN( E o/i"en e a Teo/0a e Coas es*( en e es2ue/4o e A"ne/ /au1 E/an" 7Dina)a/ca, # ' #9$9< en #9%9 1a/a anai4a/ a con"es*i3n e */(2ico *ee23nico con e o+e*i-o e cu)1i/ a e)ana incie/*a e se/-icios en e sis*e)a *ee23nico e Co1en?a"ue. Sus in-es*i"aciones aca+a/on en una nue-a *eo/0a eno)inaa *eo/0a e coas o e 0neas e es1e/a. Es*a *eo/0a es a?o/a una ?e//a)ien*a e -ao/ en ne"ocios e+io a que un "/an n@)e/o e 1/o+e)as 1ueen ca/ac*e/i4a/se, co)o 1/o+e)as e con"es*i3n e"aa'saia.
%"DE!" DE F"R%A#I*N DE #"!A( En os 1/o+e)as e 2o/)aci3n e coa, a )enuo se ?a+a e cien*es, *aes co)o 1e/sonas que es1e/an a esocu1aci3n e 0neas *ee23nicas, a es1e/a e )(quinas 1a/a se/ /e1a/aas ; os a-iones que es1e/an a*e//i4a/ ; es*aciones e se/-icios, *aes co)o )esas en un /es*au/an*e, o1e/a/ios en un *ae/ e /e1a/aci3n, 1is*as en un ae/o1ue/*o, e*c. Los 1/o+e)as e 2o/)aci3n e coas a )enuo con*ienen una -eocia -a/ia+e e e"aa e cien*es que /equie/en cie/*o *i1o e se/-icio, ; una -eocia -a/ia+e e 1/es*aci3n e se/-icio en a es*aci3n e se/-icio.
En a *eo/0a e a 2o/)aci3n e coas, "ene/a)en*e se a)a sis*e)a a un "/u1o e uniaes 20sicas, in*e"/aas e *a )oo que 1ueen o1e/a/ a un0sono 7un )is)o *ie)1o< con una se/ie e o1e/aciones o/"ani4aas. La *eo/0a e a 2o/)aci3n e coas +usca una souci3n a 1/o+e)a e a es1e/a 1/eicieno 1/i)e/o e co)1o/*a)ien*o e sis*e)a. !e/o una souci3n a 1/o+e)a e a es1e/a consis*e en no soo en )ini)i4a/ e *ie)1o que os cien*es 1asan en e sis*e)a, sino *a)+i6n en )ini)i4a/ os cos*os *o*aes e aqueos que soici*an e se/-icio ; e quienes o 1/es*an.
"'4E$IV" DE !A $E"R+A DE #"!A Los o+e*i-os e a *eo/0a e coas consis*en en •
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Ien*i2ica/ e ni-e 31*i)o e ca1acia e sis*e)a que )ini)i4a e cos*e "o+a e )is)o. E-aua/ e i)1ac*o que as 1osi+es a*e/na*i-as e )oi2icaci3n e a ca1acia e sis*e)a *en/0an en e cos*e *o*a e )is)o. Es*a+ece/ un +aance equii+/ao 731*i)o< en*/e as consie/aciones cuan*i*a*i-as e cos*es ; as cuai*a*i-as e se/-icio. Fa; que 1/es*a/ a*enci3n a *ie)1o e 1e/)anencia en e sis*e)a o en a coa a 1aciencia e os cien*es e1ene e *i1o e se/-icio es1ec02ico consie/ao ; eso 1uee ?ace/ que un cien*e a+anone e sis*e)a.
E!E%EN$" E5I$EN$E EN UN %"DE!" DE #"!A Proceso '6sico de #olas Los cien*es que /equie/en un se/-icio se "ene/an en una 2ase e en*/aa. Es*os cien*es en*/an a sis*e)a ; se unen a una coa. En e*e/)inao )o)en*o se seecciona un )ie)+/o e a coa, 1a/a 1/o1o/ciona/e e se/-icio, )eian*e a"una /e"a conocia co)o isci1ina e se/-icio. Lue"o, se e-a a ca+o e se/-icio /eque/io 1o/ e cien*e en un )ecanis)o e se/-icio, es1u6s e o cua e cien*e sae e sis*e)a e coas.
Fuente de entrada o 1o7lación 1otencial( Es un conun*o e ini-iuos 7no necesa/ia)en*e se/es -i-os< que 1ueen e"a/ a soici*a/ e se/-icio en cues*i3n. !oe)os consie/a/a 2ini*a o in2ini*a. Aunque e caso e in2ini*u no es /eais*a, s0 1e/)i*e 71o/ e*/a8o que 1a/e4ca< /eso-e/ e 2o/)a )(s sencia )uc?as si*uaciones en as que, en /eaia, a 1o+aci3n es 2ini*a 1e/o )u; "/ane. Dic?a su1osici3n e in2ini*u no /esu*a /es*/ic*i-a cuano, aun sieno 2ini*a a 1o+aci3n 1o*encia, su n@)e/o e ee)en*os es *an "/ane que e n@)e/o e ini-iuos que ;a es*(n soici*ano e ci*ao se/-icio 1/(c*ica)en*e no a2ec*a a a 2/ecuencia con a que a 1o+aci3n 1o*encia "ene/a nue-as 1e*iciones e se/-icio.
#liente(
Es *oo ini-iuo e a 1o+aci3n 1o*encia que soici*a se/-icio. Su1onieno que os *ie)1os e e"aa e cien*es consecu*i-os son %H t #Ht $H..., se/( i)1o/*an*e conoce/ e 1a*/3n e 1/o+a+iia se"@n e cua a 2uen*e e en*/aa "ene/a cien*es. Lo )(s ?a+i*ua es *o)a/ co)o /e2e/encia os *ie)1os en*/e as e"aas e os cien*es consecu*i-os cien*es consecu*i-os T k K tk ' tk-1, 2iano su is*/i+uci3n e 1/o+a+iia. No/)a)en*e, cuano a 1o+aci3n 1o*encia es in2ini*a se su1one que a is*/i+uci3n e 1/o+a+iia e os Tk 7que se/( a a)aa is*/i+uci3n e os *ie)1os en*/e e"aas< no e1ene e n@)e/o e cien*es que es*6n en es1e/a e co)1e*a/ su se/-icio, )ien*/as que en e caso e que a 2uen*e e en*/aa sea 2ini*a, a is*/i+uci3n e os Tk -a/ia/( se"@n e n@)e/o e cien*es en 1/oceso e se/ a*enios.
#a1acidad de la cola( Es e )(i)o n@)e/o e cien*es que 1ueen es*a/ ?acieno coa 7an*es e co)en4a/ a se/ se/-ios<. De nue-o, 1uee su1one/se 2ini*a o in2ini*a. Lo )(s sencio, a e2ec*os e si)1icia en os c(cuos, es su1one/a in2ini*a. Aunque es o+-io que en a )a;o/ 1a/*e e os casos /eaes a ca1acia e a coa es 2ini*a, no es una "/an /es*/icci3n e su1one/a in2ini*a si es e*/e)aa)en*e i)1/o+a+e que no 1uean en*/a/ cien*es a a coa 1o/ ?a+e/se e"ao a ese n@)e/o 0)i*e en a )is)a.
Disci1lina de la cola( Es e )oo en e que os cien*es son seeccionaos 1a/a se/ se/-ios. Las isci1inas )(s ?a+i*uaes son
!A DI#IP!INA FIF" /FIR$ IN FIR$ "U$2( Ta)+i6n a)aa CS 72i/s* co)e 2i/s* se/-e< se"@n a cua se a*iene 1/i)e/o a cien*e que an*es ?a;a e"ao.
!A DI#IP!INA !IF" /!A$ IN FIR$ "U$2( $ a)+i6n conocia co)o LCS 7as* co)e 2i/s* se/-e< o 1ia que consis*e en a*ene/ 1/i)e/o a cien*e que ?a e"ao e @*i)o.
!A R /RAND"% E!E#$I"N "F ERVI#E " IR" /ERVI#E IN RAND"% "RDER2( ue seecciona a os cien*es e 2o/)a aea*o/ia. Encon*/a/e)os e /esu)en e s0)+oos )(s u*ii4aos 1os*e/io/)en*e en es*a )ono"/a20a.
%ecanismo de servicio( Es e 1/ocei)ien*o 1o/ e cua se a se/-icio a os cien*es que o soici*an. !a/a e*e/)ina/ *o*a)en*e e )ecanis)o e se/-icio e+e)os conoce/ e n@)e/o e se/-io/es e ic?o )ecanis)o 7si ic?o n@)e/o 2uese aea*o/io, a is*/i+uci3n e 1/o+a+iia e )is)o< ; a is*/i+uci3n e 1/o+a+iia e *ie)1o que e e-a a caa se/-io/ a/ un se/-icio. En caso e que os se/-io/es *en"an is*in*a es*/e4a 1a/a a/ e se/-icio, se e+e es1eci2ica/ a is*/i+uci3n e *ie)1o e se/-icio 1a/a caa uno.
!a #ola( !/o1ia)en*e ic?a, es e conun*o e cien*es que ?acen es1e/a, es eci/ os cien*es que ;a ?an soici*ao e se/-icio 1e/o que a@n no ?an 1asao a )ecanis)o e se/-icio.
El istema de la #ola Es e conun*o 2o/)ao 1o/ a coa ; e )ecanis)o e se/-icio, un*o con a isci1ina e a coa, que es o que nos inica e c/i*e/io e qu6 cien*e e a coa ee"i/ 1a/a 1asa/ a )ecanis)o e se/-icio. Es*os ee)en*os 1ueen -e/se )(s ca/a)en*e en a si"uien*e 2i"u/a Los an*e/io/es ee)en*os +as*an, e )oo "ene/a, 1a/a esc/i+i/ cuaquie/ 1/oceso. E-ien*e)en*e se 1uee encon*/a/ una "/an can*ia e 1/o+e)as is*in*os ;, 1o/ *an*o, an*es e co)en4a/ cuaquie/ an(isis )a*e)(*ico se e+e/0a esc/i+i/ aecuaa)en*e e 1/oceso a*enieno a as an*e/io/es ca/ac*e/0s*icas. Una eecci3n equi-ocaa e )oeo e-a a unos /esu*aos e//3neos, ; en )uc?os casos no anai4a/ aecuaa)en*e nos 1uee e-a/ a 1ensa/ que e sis*e)a no es 1osi+e e )oea/.
DI$RI'U#I*N DE !" $IE%P" DE ERVI#I" & !!E)ADA EN UN I$E%A DE #"!A E *ie)1o e se/-icio es e que e cien*e o unia ea e */anscu//i/ en a ins*aaci3n una -e4 que se inici3 e se/-icio.
Aunque a -eces se sa+e eac*a)en*e cu(no se -an a 1/ouci/ as e"aas a sis*e)a, en "ene/a e *ie)1o que */anscu//e en*/e os e"aas consecu*i-as se )oea )eian*e una -a/ia+e aea*o/ia. En 1a/*icua/, cuano a 2uen*e es in2ini*a se su1one que as uniaes que -an e"ano a sis*e)a an u"a/ a un 1/oceso es*oc(s*ico a)ao e con*eo si *oos os *ie)1os en*/e e"aas son -a/ia+es aea*o/ias ine1enien*es i6n*ica)en*e is*/i+uias, se ice que es un 1/oceso e /eno-aci3n. Usua)en*e, e 1/oceso que se u*ii4a es un 1/oceso e !oisson
Cuano a 2uen*e es 2ini*a se suee asu)i/ que a 1/o+a+iia e que se 1/ou4ca una e"aa en un in*e/-ao e *ie)1o es 1/o1o/ciona a *a)a8o e a 2uen*e en ese ins*an*e.
Se a)a ca1acia e se/-icio a n@)e/o e cien*es que 1ueen se/ se/-ios si)u*(nea)en*e. Si a ca1acia es uno, se ice que ?a; un soo se/-io/ 7o que e sis*e)a es )onocana< ; si ?a; )(s e un se/-io/, )u*icana. E *ie)1o que e se/-io/ necesi*a 1a/a a*ene/ a e)ana e un cien*e 7*ie)1o e se/-icio< 1uee se/ cons*an*e o aea*o/io.
#"%" %EDIR E! RENDI%IEN$" DE UN I$E%A La *a/ea e un anais*a e coas 1uee se/ e os *i1os a< es*a+ece/ )ecanis)os 1a/a )ei/ a e2ec*i-ia e sis*e)a o +< ise8a/ un sis*e)a =31*i)o> 7e acue/o a a"@n c/i*e/io<. Dise8a/ e2icien*e)en*e consis*e, +(sica)en*e, en e2ini/ un sis*e)a cu;o cos*e 7e ise8o ; e o1e/aci3n< se us*i2ique 1o/ e se/-icio que a. Dic?o se/-icio se 1uee e-aua/ )eian*e e cos*e e =no a/o>. De es*e )oo a ise8a/ se 1/e*ene )ini)i4a/ unos su1ues*os cos*es *o*aes. A 1a/*i/ e os a*os que nos su)inis*/a a *eo/0a e coas se 1uee o+*ene/ a in2o/)aci3n necesa/ia 1a/a e2ini/ e n@)e/o e asien*os necesa/ios en una saa e es1e/a, o a es*/uc*u/a e e*a1as e un 1/oceso e a*enci3n a cien*e. En cuaquie/ caso, 1a/a 1oe/ *o)a/ ecisiones ?acen 2a*a a*os que a *eo/0a e coas 1uee a/ en a"uno e os si"uien*es */es as1ec*os a< *ie)1o e es1e/a 7en e *o*a e sis*e)a o en a coa< +< can*ia e cien*es es1e/ano 7en e sis*e)a o en as coas< c< *ie)1o ocioso e os se/-io/es 7*o*a o 1a/*icua/ e caa se/-icio<
N"$A#I*N '8I#A PAR8%E$R" DE !A $E"R+A DE #"!A
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An Tasa )eia e e"aas e nue-os cien*es cuano ?a; n cien*es en e sis*e)a 7n@)e/o 1/o)eio e e"aas 1o/ unia e *ie)1o<.
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9:A K Tie)1o 1/o)eio en*/e e"aas.
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;n K Tasa )eia e se/-icio e nue-os cien*es cuano ?a; n cien*es en e sis*e)a 7n@)e/o 1/o)eio e cien*es a cua 1uee a/ se/-icio a ins*aaci3n en una unia e *ie)1o, su1onieno que no ?a; escase4 e cien*es<.
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9:; K Tie)1o 1/o)eio se/-icio.
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!< K N@)e/o es1e/ao e cien*es en a coa 7ecu;e os cien*es que es*(n en se/-icio<.
•
! K N@)e/o es1e/ao e cien*es que se a*ienen ;o es1e/an en e sis*e)a.
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=< K Tie)1o es*i)ao que e)1ea un cien*e es1e/ano en a coa.
•
= K Tie)1o es*i)ao que e)1ea un cien*e es1e/ano )(s e que e)1ea sieno a*enio 7*ie)1o es1e/ao en e sis*e)a<.
•
Po K !/o+a+iia e encon*/a/ e sis*e)a -ac0o u ocioso.
•
Pn K !/o+a+iia e encon*/a/ eac*a)en*e n cien*es en e sis*e)a.
•
A K /acci3n es1e/aa e *ie)1o que os se/-io/es ini-iuaes es*(n ocu1aos.
Nomenclatura 76sica Con e 1aso e *ie)1o se ?a i)1an*ao una no*aci3n 1a/a /e1/esen*a/ os 1/o+e)as e coas que cons*an e & s0)+oos se1a/aos 1o/ +a//as.
> : & : 5 : ' : A
A inica a is*/i+uci3n e *ie)1o en*/e e"aas consecu*i-as ' aue a 1a*/3n e se/-icio e se/-io/es 5( es e n@)e/o e canaes e se/-icio &( es a /es*/icci3n en a ca1acia e sis*e)a >( es a isci1ina e coa
En a *a+a # se 1/esen*a un /esu)en e os s0)+oos )(s u*ii4aos.
#ARA#$ERI$I#A •
•
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E5PRE#I"N
M D EP FP !F G
E1onencia De*e/)inis*a E/an" *i1o 7PK#, $,Q< Me4ca e P e1onenciaes Ti1o 2ase Gene/a
IO LIO RSS !R GD
Se/-i/ a 1/i)e/o que e"a E u*i)o que e"ue se si/-e 1/i)e/o Seecci3n aea*o/ia e se/-icio !/io/ia Disci1ina "ene/a
Distri7ución de tiem1os de lle?ada /A2 Distri7ución de tiem1os de servicio /'2
N@mero de servidores Disci1lina de cola
#,$,Q ∞
El s0m7olo ) /e1/esen*a una is*/i+uci3n "ene/a e 1/o+a+iia, es eci/, que e )oeo 1/esen*ao ; sus /esu*aos son a1ica+es a cuaquie/ is*/i+uci3n es*a0s*ica 7sie)1/e que sean
DI#IP!INA DE !A !INEA DE EPERA( A esc/i+i/ un sis*e)a e 0neas e es1e/a, e+e e2ini/se a 2o/)a en que se aco)oan as uniaes 1a/a a/es e se/-icio. En "ene/a 1a/a a )a;o/0a e as 0neas )aneaas e acue/o con as necesiaes e os cien*es, as uniaes que es1e/an /eci+i/ se/-icio se a*iene so+/e a +ase e 1/i)e/o que e"a. Cuano se a*iene a as uniaes e es*a )ane/a se ice que si"ue una isci1ina 1a/a a 2ia 1 coa. La /e"a e 1/io/ia e*e/)ina a qu6 cien*e se e+e/( a*ene/ a con*inuaci3n. En a )a;o/0a e os sis*e)as e se/-icio que conoce)os, se a1ica a /e"a e =a quien e"a 1/i)e/o, se a*iene 1/i)e/o> 7CS e in"6s, 2i/s*'co)e, 2i/s*'se/-e<. E cien*e que es*( en 1/i)e/ u"a/ en a 2ia e es1e/a *iene a )(s a*a 1/io/ia, ; e que e"a a 2ina *iene a 1/io/ia )(s +aa. En o*/as isci1inas 1a/a e*e/)ina/ 3/enes e 1/io/ia, se concee a 1/io/ia a cien*e que *en"a a 2ec?a 1/o)e*ia e -enci)ien*o )(s 1/3i)a 7EDD e in"6s, ea/ies* ue a*e< o a que co//es1ona e *ie)1o e 1/ocesa)ien*o )(s co/*o 7S!T e in"6s, s?o/*es* 1/ocessin" *i)e<.
Eem1lo( Cuano ?a; 1e/sonas es1e/ano un ascenso/, 1o/ o "ene/a a @*i)a 1e/sona que su+e es a 1/i)e/a en *e/)ina/ con e se/-icio7es eci/, es a 1/i)e/a en sai/ e ee-ao/. O*/os *i1os e isci1inas e 0nea e es1e/an ; a*ienen 1/i)e/o a a unia que *iene 1/io/ia as a*a. En es*e ca10*uo se /es*/in"e a a*enci3n a 0neas e es1e/a que u*ii4an a isci1ina e =1/i)e/o que e"a, 1/i)e/o que se a*iene>
!A DI$RI'U#I*N DE P"I"N Es una e as is*/i+uciones isc/e*as )(s i)1o/*an*es 1o/que se a1ica en )uc?os 1/o+e)as 1/(c*icos. La is*/i+uci3n e !oisson 1uee euci/se e os 2o/)as. La 1/i)e/a se euce a 1a/*i/ e un 1/oceso e !oisson. La se"una se )ues*/a a is*/i+uci3n e !oisson co)o un 0)i*e +ino)ia. Da/e)os en*es a iea in*ui*i-a e un 1/oceso e !oisson. Muc?os 1/o+e)as consis*en en o+se/-a/ a ocu//encia e e-en*os isc/e*os en un in*e/-ao con*inuo 7unia e )eia< E e1e/i)en*o !oisson se ca/ac*e/i4a 1o/ #< Se/ un 2en3)eno que se 1/esen*a aea*o/io e ine1enien*e)en*e
Por eem1lo( Es con*a/ e n@)e/o e -e?0cuos que e"an a una es*aci3n e se/-icio u/an*e un in*e/-ao e *ie)1o 7i"a)os una ?o/a< e un 0a e*e/)inao, 1ueen e"a/ % -e?0cuos, # -e?0cuo, $ -e?0cuos o )(s, es eci/ 1oe)os con*a/ con e n@)e/o e -e?0cuos que e"an. !e/o no *iene sen*io con*a/ os que no e"an. Es isc/e*o e+io a que a ?o/a e e"aa es un 1un*o en e 1e/ioo con*inuo e # ?o/a. Aqu0 *a)+i6n, si a -a/ia+e aea*o/ia, 5 se e2ine 1o/ 57 ω ¿ K n@)e/o e -e?0cuos que e"an a a es*aci3n en una ?o/a os -ao/es que 1ueen *o)a/ 5 es in2ini*o nu)e/a+e. Es eci/, R
5K 7%, #,$,Q<
"tro eem1lo( !uee se/ con*a/ e n@)e/o e a)aas que e"an a un *a+e/o con)u*ao/ *ee23nico e una co)1a80a "/ane en un in*e/-ao e *ie)1o 7i"a)os e a.). a #% a.). aqu0 *a)+i6n as a)aas que e"an a *a+e/o es un e-en*o isc/e*o, ;a que e *ie)1o e e"aa e cuaquie/ e eas es un 1un*o aisao en e 1e/ioo e $ ?o/as. O*/o caso, 1uee se/ con*a/ e n@)e/o e +ac*e/ias en un c): e a"ua ; os e-en*os isc/e*os, e n@)e/o e +ac*e/ias, su1onieno que se 1uee consie/a/ caa +ac*e/ia co)o un 1un*o en e es1acio. Di/e)os que os e-en*os isc/e*os que se "ene/an en un in*e/-ao con*inuo 7unia e )eia on"i*u, (/ea, -ou)en, e*c.< 2o/)an un 1/oceso e !oisson con 1a/()e*/o λ . Si *iene as si"uien*es 1/o1ieaes. #< E n@)e/o 1/o)eio e ocu//encias e e-en*os en una unia e )eia 7in*e/-ao e *ie)1o, una /e"i3n es1eci2icaa, -ou)en, e*c.< es conocio e i"ua a
λ .
$< La ocu//encia e un e-en*o en una unia e )eia e )eios h no a2ec*a a a ocu//encia, o no ocu//encia e o*/a unia h con*inua 7es eci/ a ocu//encia e os e-en*os en uniaes e )eia con*inuas son ine1enien*es<. :< Sea una unia e )eia su2icien*e)en*e 1eque8o e on"i*u h, ue"o i. La 1/o+a+iia e un 6i*o en es*a unia 1eque8a es 1/o1o/ciona a a on"i*u e in*e/-ao, es*o es
λ h
ii.
La 1/o+a+iia e a ocu//encia e $ o )(s 6i*os en es*a unia 1eque8a es a1/oi)aa)en*e %.
iii.
En un 1/oceso e !oisson e 1a/()e*/o
λ se o+se/-a t uniaes e )eia
DI$RI'U#I"N FRE#UEN$E DE !A DI$RI'U#I"N DE P"I"N Es*a is*/i+uci3n es )u; 2/ecuen*e en os 1/o+e)as /eacionaos con a in-es*i"aci3n o1e/a*i-a, so+/e *oo en e (/ea e a "es*i3n e coas. Suee esc/i+i/, 1o/ ee)1o, a e"aa e 1acien*es a un a)+ua*o/io, as a)aas a una cen*/a *ee23nica, a e"aa e coc?es a un *@ne e a-ao, e*c. Toos es*os casos 1ueen se/ esc/i*os 1o/ una -a/ia+e aea*o/ia isc/e*a que *iene -ao/es no'ne"a*i-o en*e/o.
En a )a;o/ 1a/*e e as si*uaciones e coas, e a//i+o e os cien*es ocu//e en 2o/)a *o*a)en*e aea*o/ia es*e ca/(c*e/ aea*o/io si"ni2ica que a ocu//encia e un e-en*o 71o/ ee)1o a e"aa e un cien*e o e *6/)ino e un se/-icio< no es*( in2uio 1o/ e *ie)1o que */ascu//e ese a ocu//encia e @*i)o e-en*o.
Los *ie)1os aea*o/ios en*/e e"aas ; e se/-icio se esc/i+e en 2o/)a cuan*i*a*i-a con e 1/o13si*o e )oeao e coas )eian*e a is*/i+uci3n e1onencia, que se e2ine co)o
!a/a ius*/a/ a a1icaci3n e as is*/i+uciones e !oisson ; e1onencia, se consie/a una si*uaci3n e es1e/a en a cua e n@)e/o e e"aas ; saias 7a as que se e a se/-icio<, u/an*e un in*e/-ao e *ie)1o es con*/oao 1o/ os si"uien*es aio)as
La 1/o+a+iia que un e-en*o 7e"aa o saia< ocu//a en*/e os *ie)1os t ; tBC e1ene @nica)en*e e a on"i*u e ? o que si"ni2ica que a 1/o+a+iia no e1ene ni e n@)e/o e e-en*o que ocu//en ?as*a e *ie)1o * La 1/o+a+iia que ocu//an e-en*os u/an*e un in*e/-ao e *ie)1o )u; 1eque8o h es 1osi*i-a, 1e/o )enos que uno. Cuano )uc?o, 1uee ocu//i/ un e-en*o u/an*e un in*e/-ao e *ie)1o )u; 1eque8o h.. Es*as */es coniciones esc/i+en un 1/oceso one e con*eo e e-en*os u/an*e un in*e/-ao e *ie)1o ao
#"!A EPE#IA!I>ADA DE P"I"N Se *iene una si*uaci3n es1eciai4aa e coa e 1oisson =c> se/-io/es 1a/aeos i6n*icos. Un cien*e en es1e/a se seecciona e a coa 1a/a inicia e se/-icio con e 1/i)e/ se/-io/ i+/e. La *asa e e"aa a sis*e)a es λ cien*es 1o/ unia e *ie)1o. Toos os se/-io/es o2/ecen se/-icios i"uaes o que si"ni2ica que a *asa e se/-icio 1a/a cuaquie/ se/-io/ es
μ
cien*es 1o/ unia e *ie)1o. E n@)e/o
e cien*e en e sis*e)a es*( e2inio 1a/a incui/ os que es*(n en se/-icio ; os que es1e/an en a coa. La no*aci3n es*(na/ esc/i*a 2ue ieaa o/i"ina)en*e 1o/ DG Pena en #9&: en a 2o/)a 7a+c< ; se e conoce en a i*e/a*u/a co)o no*aci3n e Pena es1u6s, A.M. ee en #9 a"/e"3 os s0)+oos ; e a a no*aci3n e Pena. En e )oeo se au)en*a a no*aci3n e Pena'ee )eian*e e uso e s0)+oo 2, que /e1/esen*a a ca1acia e as 2uen*es e a)aas. 7a+c<7e2< D3ne • • • • • • • •
• • • •
a esc/i1ci3n e a is*/i+uci3n e a"aas 7( esc/i1ci3n e a is*/i+uci3n e *ie)1o e se/-icio 7o e saias< c( n@)e/o e se/-io/es en 1a/aeo d( isci1ina "ene/a e se/-icio o e a coa e( n@)e/o )(i)o 72ini*o o in2ini*o< a)i*io en e sis*e)a 7en a coa ; ae)(s en e se/-icio<. f( *a)a8o e a 2uen*e e e"aa 72ini*o o in2ini*o< La no*aci3n es*(na/ 1a/a /e1/esen*a/ as is*/i+uciones e a"aa ; saia 7s0)+oos a ; +< son %( is*/i+uci3n e e"aas o saias Ma/Po-ianas 7o e 1oisson< o co)o e 2o/)a equi-aen*e, is*/i+uci3n e e"aas o e *ie)1o e se/-icio e1onencia. D( is*/i+uci3n e"ene/aa 7*ie)1os cons*an*es< E( is*/i+uci3n E/an" o "a)a e *ie)1o 7su)a e is*/i+uciones e1onenciaes ine1enien*es< )I( is*/i+uci3n "ene/a 71e/)i*e cuaquie/ is*/i+uci3n a/+i*/a/ia< e *ie)1o e e"aas. )( is*/i+uci3n "ene/a 71e/)i*e cuaquie/ is*/i+uci3n a/+i*/a/ia< e *ie)1o e se/-icio.
La no*aci3n e a isci1ina e coas 7s0)+oo < incu;e • • • •
F#F( e 1/i)e/o que e"a es e 1/i)e/o que se en*iene !#F( e @*i)o que e"a es e 1/i)e/o que se a*iene IR"( se/-icio en o/en aea*o/io. )D( isci1ina "ene/a, es eci/, cuaquie/ *i1o e isci1ina
92 E4E%P!" DE !+NEA DE EPERA( El minimarket “MARIANITA“ ha solicitado que se realicen un estudio de líneas de espera, el minimarket cuenta con una sola caja de pago un empleado al ser!icio del cliente , cuando llega m"s clientes de lo que no es posi#le atender de $orma inmediata así que se $orma una %la esperan a que sean atendidos. tenidos los datos so#re la llegadas de los clientes por el cual son de '( clientes por hora, se deduce que para el lapso de tiempo de un minuto el numero promedio de llegadas seria λ )'(*+() (. llegadas por minuto. -or tanto se utiliara la $unci/n de pro#a#ilidad de -oisson para hallar0 •
1a pro#a#ilidad de 2 llegadas durante un lapso de tiempo de un minuto
X − λ x − λ e 0.5 e ( ) P x = = P =
x !
0.5
x !
x =numero dellegadas en el periodo ( o intervalode tiempo ) λ =numero promediode llegadas por periodo ❑
e =2.71828 •
1as pro#a#ilidades de (, 3, 4 llegadas por minuto son las siguientes0
( 0.5 ) e− 0
a5
P ( 0 )=
0.5
0!
= e− =0.6065 0.5
-or lo tanto se deduce que la pro#a#ilidad de que no haa llegadas en un lapso de tiempo de 3 minuto es de
0.6065
e 0.5
#5
(¿¿−0.5 )=0.5 ( 0.6065 ) =0.30325 ( 0.5 ) e− P ( 1 ) = =¿ 1
0.5
1!
Aquí la pro#a#ilidad de que e2ista una llegada en un lapso de tiempo de 3 minuto es de
0.30325
e 2
0.5
c5
(¿¿−0.5) 2
2
=
(
0.5 0.6065 2 − 0.5
( 0.5 ) e P ( 2 ) = 2
)
2!
=0.0758
=¿
1a pro#a#ilidad de que ha e2actamente dos llegadas en un lapso de tiempo de 3 minuto es de
0.0758
Ta#la N630 -ro#a#ilidades de -oisson para el n7mero de llegadas al minimarket MARIANITA durante un periodo de un minuto 8 N7mero de llegadas
-ro#a#ilidad
( 3 4
(.+(+ (.'('4 (.(9:
•
λ =0.5 ¿
-ara hallar las características de operaci/n para solo una línea de espera con un solo canal λ =numero promediode llegadas por periodo ( tasa promedio de llegada ) μ= numero promedio de servicios por periodo ( tasa promedio de servicio )
3. -ro#a#ilidad de que no haa unidades en el sistema 0 λ 0.5 = 0.5 P ( 0 )=1− =1− μ 1
4. Numero promedio de unidades en la línea de espera 8largo de la %la5 2
2
λ 0.5 Lq= = =0.5 clientes μ ( μ − λ ) 1 ( 1 −0.5 )
'. Numero promedio de unidades en el sistema 8largo de la total5 L= Lq +
0.5 λ =0.5 + = 1.0 ;lientes μ 1
<. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera Lq 0.5 W q = = =1.0 minutos λ 0.5
. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema 1
1
W = W q + =1.0 + =2 Minutos μ 1
+. pro#a#ilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para o#tener el ser!icio λ 0.5 Pw = = =0.5 μ 1
9. pro#a#ilidad de que haa 4 llegadas en el sistema 2
2
0.5 λ Pn=( ) = P (2 )= = 0.25 clientes μ 1
2 E4ER#I#I" PR8#$I#" PAR$E 9 Un 1ues*o e 1e/i3icos ; /e-is*as *iene en 1/o)eio a #%% 1e/sonas 1o/ ?o/a. a< Cu( es a 1/o+a+iia e que soo *en"a a una 1e/sona 1o/ )inu*o +< Cu( es a 1/o+a+iia e *en"a #% cien*es en # ?o/as
"!U#I"N( Sa+e)os que
λ ( 1 hora )=100 ; λ ( 1 minuto )=
5 3
a< !a/a sa+e/ a 1/o+a+iia a1ica)os a is*/i+uci3n e 1/o+a+iia e !oisson. x − λ λ e P ( x )= ; donde x =1 ( por minuto) x !
/ e− / 1
P ( x )=
5 3
5 3
1!
= 0.3148
La 1/o+a+iia e a*ene/ una 1e/sona 1o/ )inu*o es e :#. 1ues*o que nos an4a una a1/oi)aci3n e %.:# con /es1ec*o a a a*enci3n 1o/ )inu*o que en 1/o+a+iia *en/( e 1ues*o e 1e/i3icos.
+< !a/a sa+e/ a 1/o+a+iia a1ica)os a is*/i+uci3n e 1/o+a+iia e !oisson x − λ λ e P ( x )= ; donde x =180 ( por hora ) x ! − 100 e ( ) P x = =0.1457 180
100
180 !
La 1/o+a+iia e a*ene/ una 1e/sona 1o/ )inu*o es e #.&
Es 1/o+a+e que e 1ues*o e 1e/i3icos *en"a )enos cien*es a )(s.
E4ER#I#I" PR8#$I#" PAR$E (
La e"aa e cien*es con +ie*es e a*a eno)inaci3n, o cua 1/ouce ausencia e ca)+io 7sencio< e -eneo/ e 1e/i3icos, o cua /e*a/a e 1/oceso e -en*a e 1e/i3icos a eis*i/ soo una 1e/sona que a*iene ; -a en +usca e ca)+io e+io a a ca/encia e es*e, as0 a 1/o+a+iia e e"aa e # cien*es 1o/ ?o/a con +ie*es e a*a eno)inaci3n es & e que e"uen cien*es 1o/ ?o/a. a< Cacua/ e -ao/ e λ +< Cacua/ a 1/o+a+iia e que no e"ue nin"una 1e/sona con +ie*es e a*a eno)inaci3n en $ ?o/as.
"!U#I"N( a< En e)1ea)os a is*/i+uci3n e 1/o+a+iia e !oisson 1a/a ?aa/ e -ao/ e
λ
, one
sa+e)os que 6
P (18 )= P ( 6 ) 5
Sea: x
− λ
λ e P ( x )= x !
Entonces: 18
− λ
6
− λ
6 λ e = λ e 18 ! 5 6!
18
λ 18 ! = 6 6 λ 6! 5
12
λ =
/ 5/ 6
18 ! 6 !
λ =12.1810
En*onces e 1/o)eio e 1e/sonas o cien*es que e"an caa ?o/a con +ie*es e a*a eno)inaci3n es e #$.# 1e/sonas 1e/o 1a/a si)1i2ica/ a )a*e)(*ica /eonea/e)os a #$ 1e/sonas.
b) Se empleara la distribución de probabilidad de Poisson, con un λ ( doshoras )= 24 ; x =0 − 24 e ( ) P 0 = 0
24
0!
P ( 0 )=0.00000000003775
La 1/o+a+iia e a e"aa e 1e/sonas con +ie*es e a*a eno)inaci3n es e %. En*onces 1oe)os eci/ que sie)1/e eis*i/(n 1e/sonas asiuas a ne"ocio con +ie*es e a*a eno)inaci3n.
E4ER#I#I" PR8#$I#" PAR$E ( Su1on"a)os a?o/a que e enca/"ao e Piosco e 1e/i3icos 1uee a*ene/ a 9% 1e/sonas ?o/a, 1o/ o cua a *asa )eia o 1/o)eio e se/-icio 1o/ )inu*o 7
μ ¿=
90 60
=1.5 clientes por minuto .
Cacua/ a
1/o+a+iia e a*ene/ a un cien*e en un )inu*o co)o )(i)o ; en os )inu*os co)o )(i)o. − μt
P (tiempode servicio t minutos ) =1−e
P (tiempo de servicio 1 minutos )=1− e
−1.5 ∗1
−1.5∗2
P (tiempode servicio 2 minutos )=1− e
= 0.7769
=0.9502
La 1/o+a+iia que o+*ene)os /es1ec*o a a a*enci3n e cien*es en un )inu*o co)o )(i)o es e .9 ; un 9&.%$ e que e 1/oceso e -en*a concu;a co)o )(i)o en $ )inu*os. Es )(s 1/o+a+e que se e)o/e )(s e *ie)1o 1/o)eio e -en*a a que se e)o/e e *ie)1o 1/o)eio e -en*a.
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