12 de septiembre de 2016
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE PÁNUCO
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTÍCULAS
Ingeniería Petrolera | P-302
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE PANUCO INGENIERÍA PETROLERA
MATERIA: DINÁMICA
DOCENTE: JUAN JESUS PEREZ ARTEAGA
UNIDAD 1 TEMA: MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTÍCULAS
ALUMNA: ANA KAREN LOREDO ÁLVAREZ
GRUPO: P-302
FECHA: 12 DE SEPTIEMBRE DE 2016
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ÍNDICE INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES ................................................................................................................4
Cinemática ................................................................................................................................ 4 Sistema de referencia ............................................................................................................... 4 Partícula ...................................................................................................................................... 4 Posición ....................................................................................................................................... 4 Movimiento................................................................................................................................. 4 Vector posición.......................................................................................................................... 4 Trayectoria.................................................................................................................................. 5 Distancia o camino recorrido .................................................................................................. 5 Desplazamiento ......................................................................................................................... 5 Velocidad media ...................................................................................................................... 5 Velocidad instantánea ............................................................................................................ 5 Clasificación de los movimientos............................................................................................ 5 LANZAMIENTO DE PROYECTILES..............................................................................................................7
Movimiento para eje X: ............................................................................................................ 7 Movimiento para eje Y: ............................................................................................................ 7 MOVIMIENTO CIRCULAR .............................................................................................................................8 VECTOR DE POSICIÓN Y VELOCIDAD EN MOVIMIENTO CURVILÍNEO .................................................9
Aceleración en movimiento curvilíneo .................................................................................. 9 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL ...............................................................................................9 COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN .....................................9
Movimientos de las componentes ....................................................................................... 10 MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS .....................................................................................10 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL .............................................................................................10
Movimiento a lo largo de una curva espacial ................................................................... 11 COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL ............................................................................................11 PROBLEMAS RESUELTOS ........................................................................................................................12
Problema 1 ............................................................................................................................... 12 Problema 2 ............................................................................................................................... 13 BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................................................14
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INTRODUCCIÓN El movimiento curvilíneo de partículas data desde varios años atrás cuando Copérnico en 1543 cambió la forma de pensamiento frente al entendimiento del cosmos y su movimiento dando una hipótesis de que los astros realizaban un movimiento circular alrededor del sol. (Copérnico, 1543) Luego (Kepler, 1609) con los datos estudiados anteriormente por Copérnico empezó a analizar sistemáticamente el movimiento de los planetas logrando determinar que estos son influenciado por la fuerza ejercida por el sol, concluyendo que este formaba un movimiento curvilíneo elíptico. Con el paso del tiempo según (Newton, 1687) explicó cómo se mueven y por qué se mueven los cuerpos, creó ciertas leyes para explicar este fenómeno que ocurría a partir del movimiento; además plantea que en el movimiento curvilíneo la fuerza se descompone en dos componentes: la fuerza normal o centrípeta (dirigida hacia el centro de la curva) y la fuerza tangencial (tangente a la curva). Gracias a ello en 1781 Karl Benz y Daimler Gottlieb utilizan una manivela que convertía este movimiento en movimiento de traslación o viceversa en los motores y en el tren a vapor.
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CONCEPTOS FUNDAMENTALES Cinemática Rama de la física mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que lo producen , corresponde a un estudio de la geometría del movimiento donde solo interesa el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio.
Sistema de referencia Cuerpo (punto o lugar físico) fijo o móvil necesario para realizar una medición, en este caso necesario para describir el movimiento de un cuerpo. Todo sistema coordenado constituye un sistema de referencia.
Partícula Cuerpo en forma de punto que en la realidad no existe, se trata de una idealización matemática para simplificar el estudio de un fenómeno, en este caso para simplificar el estudio del movimiento de un cuerpo. En general se dice que un cuerpo es considerado como partícula cuando sus dimensiones son despreciables con respecto al espacio que ocupa, este concepto es de carácter relativo ya que depende del sistema de referencia del cual se le compare.
Posición Punto del espacio referido a un sistema de referencia
Movimiento Concepto de carácter relativo que científicamente se define como el cambio sucesivo de posición que experimenta un cuerpo respecto a otro considerado como referencia.
Vector posición Vector que une el origen del sistema coordenado con el punto del espacio donde se encuentra la partícula
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Trayectoria Es la curva descrita durante el movimiento.
Distancia o camino recorrido Corresponde a la longitud de la curva descrita.
Desplazamiento Diferencia entre dos vectores de posición, es independiente del origen del sistema coordenado.
Velocidad media Se define como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado en dicho desplazamiento es decir:
Velocidad instantánea Es el valor límite de la velocidad media cuando el tiempo tiende a cero, se anota: tΔ
Clasificación de los movimientos Según trayectoria
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LANZAMIENTO DE PROYECTILES El lanzamiento de proyectiles corresponde a una superposición de dos movimientos rectilíneos en forma simultánea, su trayectoria es una curva parabólica., El caso más simple es aquel en que uno de los movimientos se realiza horizontalmente a lo largo del eje X con velocidad constante, y el otro movimiento se realiza verticalmente a lo largo del eje Y con la aceleración de gravedad g. Para simplificar el estudio, se debe separar los movimientos desde su inicio en dos movimientos componentes, uno para el eje X (movimiento uniforme) y otro para el eje Y (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado).
Las ecuaciones que rigen este movimiento corresponden a las reglas de oro de la cinemática.
Movimiento para eje X:
Movimiento para eje Y:
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Como el movimiento tiene dos componentes, se debe tener cuidado al momento de calcular le velocidad del proyectil ya que:
Y por lo tanto el valor o magnitud de la velocidad del proyectil queda determinada por Pitágoras, es decir:
Y su dirección queda determinada por:
MOVIMIENTO CIRCULAR Un movimiento es circular cuando su trayectoria es una circunferencia. En esta trayectoria circular el cuerpo describe al mismo tiempo arco de circunferencia (arco) y ángulo central (ángulo).
b = Longitud de arco de circunferencia = arco medido en unidades de longitud.
θ = Ángulo central medido en radianes r = Radio de la circunferencia El arco, ángulo y el radio cumplen con la relación:
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VECTOR DE POSICIÓN Y VELOCIDAD EN MOVIMIENTO CURVILÍNEO En la segunda mitad del capítulo se estudió el movimiento curvilíneo de una partícula, es decir, el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva. La posición P de la partícula en cualquier tiempo dado se definió por medio del vector de posición r que une al origen O de las coordenadas y al punto P (fixgura 11.29). La velocidad v de la partícula se
definió mediante la relación
y se encontró que era un vector tangente a la trayectoria de la partícula y de magnitud v (denominada rapidez de la partícula) igual a la derivada en el tiempo de la longitud s del arco descrito por la partícula:
Aceleración en movimiento curvilíneo La aceleración a de la partícula se definió mediante la relación
y se señaló que, en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria de la partícula.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Antes de proceder a la consideración de las componentes de velocidad y aceleración, se estudió la definición formal de la derivada de una función vectorial y se establecieron algunas reglas que gobiernan la diferenciación de sumas y productos de funciones vectoriales. Después se mostró que la razón de cambio de un vector es la misma con respecto a un sistema de referencia fijo y con respecto a un sistema de referencia en traslación.
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN
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Al denotar mediante x, y y z las coordenadas rectangulares de una partícula P, se encontró que las componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración de P resultan iguales, respectivamente, a la primera y segunda derivadas con respecto a t de las coordenadas correspondientes:
Movimientos de las componentes Cuando la componente ax de la aceleración depende únicamente de t, x, y/o vx, y cuando de manera similar ay depende sólo de t y/o vy, y az de t, z y/o vz, las ecuaciones se integran de forma independiente. El análisis del movimiento curvilíneo dado se reduce de ese modo al análisis de tres movimientos de componentes Rectilíneas independientes. Este enfoque es en particular efectivo en el estudio del movimiento de proyectiles.
MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS En el caso de dos partículas A y B que se mueven en el espacio (figura 11.30), consideramos el movimiento relativo de B con respecto a A, o más precisamente, con respecto al sistema de referencia en movimiento unido A y en traslación con A. Al denotar mediante rB’A el vector de posición relativa de B con respecto a A (figura 11.30), se obtuvo:
Al denotar con vB’A y aB’A, respectivamente, la velocidad relativa y la aceleración relativa de B con respecto a A, se demostró también que:
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL Algunas veces es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de una partícula P en componentes diferentes a las rectangulares x, y y z. En el caso de una partícula P que se mueve a lo largo de la trayectoria contenida en un plano, se unen a P los vectores unitarios et tangente a la trayectoria y en normal a la trayectoria
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y dirigido hacia el centro de curvatura de la misma. Se expresa entonces la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de las componentes tangencial y normal. Se escribe:
donde v es la rapidez de la partícula y ῤ el radio de curvatura de su trayectoria. Se observa que mientras la velocidad v está dirigida a lo largo de la tangente a la trayectoria, la aceleración a consta de una componente at dirigida a lo largo de la tangente a la trayectoria y de una componente an que apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria (figura 11.31).
Movimiento a lo largo de una curva espacial Para una partícula P que se mueve a lo largo de una curva en el espacio, se definió el plano que se ajusta mejor a la curva en la vecindad de P como el plano osculador. Este plano contiene a los vectores unitarios et y en que define, respectivamente, la tangente y la normal principal a la curva. El vector unitario eb que es perpendicular al plano osculador define la binormal.
COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL Cuando la posición de una partícula P que se mueve en un plano se define mediante sus coordenadas polares r y ᶿ, es conveniente utilizar las componentes radial y transversal dirigidas, respectivamente, a lo largo del vector de posición r de la partícula y en la dirección obtenida al rotar r 90° en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Se unen a P los vectores unitarios er y eᶿ dirigidos, respectivamente, en las direcciones radial y transversal (figura 11.32). Después se expresa la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de componentes radial y transversal
donde los puntos se usan para indicar diferenciación con respecto al tiempo. Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración en las direcciones radial y transversal son en consecuencia
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Es importante observar que ar no es igual a la derivada en el tiempo de vr, y que aᶿ no es igual a la derivada en el tiempo de vᶿ El capítulo finaliza con el estudio del uso de las coordenadas cilíndricas para definir la posición y el movimiento de una partícula en el espacio.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 2 500 ft
de radio a una rapidez de 60 mi/h. El automovilista aplica repentinamente los frenos, provocando que el automóvil se desacelere a una tasa constante. Si se sabe que después de 8 s la rapidez se ha reducido a 45 mi/h, determine la aceleración del automóvil inmediatamente después de que se han aplicado los frenos.
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Problema 2 La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O se define mediante la relación ᶿ=0.15t2, donde ᶿ se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del brazo de modo tal que su distancia desde O es r =0.9 -0.12t2, donde r se expresa en metros y t en segundos. Después de que el brazo OA ha girado 30°, determine: a) la velocidad total del collarín b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración relativa del collarín con respecto al brazo.
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BIBLIOGRAFÍA A., E. A. (2008). Cinematica de la Particula. Santiago Chile: Maipú. Cornwell., B. J. (2013). Mecanica Vectorial Para Ingenieros, DINAMICA. Mexico: The McGraw-Hill.
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