caciones en las que el movimiento de una partícula partícula se define mediante las componentes rectangulares de su velocidad y aceleración; en este punto se analiza el movimiento de un proyectil (sección 11.11). En la sección 11.12 se estudia el movimiento de una partícula en relación con el sistema de referencia en traslación. Por último, se analiza el movimiento curvilíneo de una partícula en términos de componentes que no sean las rectangulares. Las componentes tangencial y normal norm al de la velocidad velo cidad y la aceleración ace leración de una u na partícula partí cula se presentan en la sección 11.13 y las componentes radial y transversal de su velocidad y aceleración en la sección 11.14. 11 .14.
11.2. Posición, velocidad y aceleración
603
MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE PARTÍCULAS 11.2. POSICIÓ POSICIÓN, N, VELOCID VELOCIDAD AD Y ACELERACIÓN ACELERACIÓN Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. En cualquier instante dado t, la partícula ocupará cierta posición sobre la línea recta. Para definir la posición P de la partícula se elige un origen fijo O sobre la dirección O positiva a lo largo de la línea. Se mide la distancia x desde O hasta P, y se marca con un signo más o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la línea en la dirección positiva o en la negativa, respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula, y se denomina como la P O coordenada de la posición de la partícula. Por ejemplo, la coordenada de la posición correspondiente a P en la figura 11.1a) es x 5 m; la coordenada correspondiente a P en la figura 11.1 b) es x 2 m. x Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partícula. El “itinerario” del movimiento puede expresar- Figura 11.1 se en forma de una ecuación en x y t, tal como x 6 t2 t3, o en un unaa gráfica de x en función de t, como se indica en la la figura 11.6. 11.6. Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada de la posición x son el metro (m) en el sistema de unidades SI † y el pie (ft) x en el sistema de unidades inglés. El tiempo t suele medirse en segunO dos (s). Considere la posición P ocupada por la partícula en el tiempo t y la coordenad coordenadaa correspon correspondiente diente x (figura 11.2). Considere también la Figura 11.2 posición P ocupada por la partícula en un tiempo posterior t t; la coordenada de la posición P puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeño desplazamiento x, el cual cual será será positi positivo vo o negativo según si P está a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo t se define como el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo de tiempo t:
P x x
1m
a)
x
1m b)
P
'
P ∆ x
( t) ( t + ∆ t)
x
x Velocidad promedio t
Fotografía 11.1 El movimiento de este vehículo †
Cf. Sección 1.3.
solar se describe mediante su posición, velocidad y aceleración.
604
Cinemática de partículas
Si se usan unidades del SI, x se expresa en metros y t en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos, x se expresa en pies y t en segundos; la velocidad promedio se expresará entonces en pies por segundo (ft/s). La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientos x cada vez más cortos:
Velocidad instantánea
P
x
v v < 0 P x
b)
Figura 11.3
P
v
( t)
Figura 11.4
P
'
( t + ∆ t)
x lím 0 t ty
La velocidad instantánea se expresa también en m/s o ft/s. Observando que el límite del cociente es igual, por definición, a la derivada de x con respecto a t, se escribe
v > 0
a)
v
v + ∆ v
x
dx dt
(11.1)
La velocidad v se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. † Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la partícula se mueve en la dirección positiva (figura 11.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la partícula se mueve en dirección negativa (figura 11.3 b). La magnitud de v se conoce como la rapidez de la partícula. Considere la velocidad v de la partícula en el tiempo t y también su velocidad v v en un tiempo posterior t t (figura 11.4). La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo t se refiere como el cociente de v y t: v Aceleración promedio t
Si se utilizan las unidades del SI, v se expresa en m/s y t en segundos; la aceleración promedio se expresará entonces en m/s 2. Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos, v se expresa en ft/s y t en segundos; la aceleración promedio se expresa entonces en ft/s2. La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores de t y v cada vez más pequeños: v Aceleración instantánea a lím 0 t ty
†
Como se verá en la sección 11.9, la velocidad es en realidad una cantidad vectorial. Sin embargo, puesto que aquí se considera el movimiento rectilíneo de una partícula, en el cual la velocidad de la misma tiene una dirección conocida y fija, sólo es necesario especificar el sentido y la magnitud de la velocidad; esto puede llevarse a cabo de manera con veniente utilizando una cantidad escalar con un signo más o menos. Lo mismo se cumple para la aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo.
La aceleración instantánea se expresa también en m/s 2 o ft/s2. El límite del cociente, el cual es por definición la derivada de v con respecto a t, mide la razón de cambio de la velocidad. Se escribe
a
dv dt
(11.2)
d2 x dt
(11.3)
11.2. Posición, velocidad y aceleración
o, con la sustitución de v de (11.1),
a 2
La aceleración a se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. † Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el número algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la partícula se está moviendo más rápido en la dirección positiva (figura 11.5 a) o que se mueve más lentamente en la dirección negativa (figura 11.5 b); en ambos casos, v es positiva. Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya sea que la partícula se esté moviendo más lentamente en la dirección positiva (figura 11.5 c) o que se esté moviendo más rápido en la dirección negativa (figura 11.5 d). v
v
'
P
P
v
'
v '
P
P
'
x
x a > 0
a > 0 b)
a)
v P
v
'
P
v
v
'
P
'
P
'
x
x a < 0
a < 0 c)
d)
Figura 11.5
El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones para referirse a a cuando la rapidez de la partícula (esto es, la magnitud de v) disminuye; la partícula se mueve entonces con mayor lentitud. Por ejemplo, la partícula de la figura 11.5 se desacelera en las partes b y c; en verdad se acelera (es decir, se mueve más rápido) en las partes a y d. Es posible obtener otra expresión para la aceleración eliminando la diferencial dt en las ecuaciones (11.1) y (11.2). Al resolver (11.1) para dt, se obtiene dt dx v; al sustituir en (11.2), se escribe
dv a v dx
†
Véase la nota al pie, página 604.
(11.4)
605
606
Considere la partícula que se mueve en una línea recta y suponga que su posición está definida por la ecuación Ejemplo.
Cinemática de partículas
x 6 t2 t3 donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x con respecto a t x (m)
dx v dt
32 24
12 t 3 t2
La aceleración a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t:
16
dv a dt
8 0
2
4
6
t (s)
v (m/s)
12 4 0
6
2
t (s)
–12 –24 –36 a (m/s2)
12 6 t
La coordenada de la posición, la velocidad y la aceleración se han graficado contra t en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se conocen como curvas de movimiento. Recuérdese, sin embargo, que la partícula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la partícula se mueve en una línea recta. Puesto que la derivada de una función mide la pendiente de la curva correspondiente, la pendiente de la curva x- t en cualquier tiempo dado es igual al valor de v en ese tiempo y la pendiente de la curva v- t es igual al valor de a. Puesto que a 0 en t 2 s , la pendiente de la curva v- t debe ser cero en t 2 s; la velocidad alcanza un máximo en este instante. Además, puesto que v 0 en t 0 y t 4 s la tangente a la curva x- t debe ser horizontal para ambos de estos valores de t.
12 2 0 –12 –24
4
6 t (s)
Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 11.6 muestra que el movimiento de la partícula desde t 0 hasta t puede dividirse en cuatro etapas: 1.
La partícula inicia desde el origen, x 0, sin velocidad pero con una aceleración positiva. Bajo esta aceleración, gana una velocidad positiva y se mueve en la dirección positiva. De t 0 a t 2 s, x, v y a son todas positivas.
2.
En t 2 s , la aceleración es cero; la velocidad ha alcanzado su valor máximo. De t 2 s a t 4 s , v es positiva, pero a es negativa. La partícula aún se mueve en dirección positiva, pero cada vez más lentamente; la partícula se está desacelerando.
3.
En t 4 s , la velocidad es cero; la coordenada de la posición x ha alcanzado su valor máximo. A partir de ahí, tanto v como a son negativas; la partícula se está acelerando y se mueve en la dirección negativa con rapidez creciente.
4.
En t 6 s, la partícula pasa por el origen; su coordenada x es en ese caso cero, en tanto que la distancia total recorrida desde el principio del movimiento es de 64 m. Para valores mayores de t que 6 s, x, v y a serán todas negativas. La partícula continúa moviéndose en la dirección negativa, alejándose de O, cada vez más rápido.
Figura 11.6
