´ UNIVERZITET U BIHACU ˇ FAKULTET PEDAGOSKI ODSJEK: MATEMATIKA I FIZIKA SMJER: MATEMATIKA I INFORMATIKA
HIPERBOLA Seminarski rad
Muhamed Muha med Pehlivanovi´ Pehli vanovi´c april, 2011.
2
Sadrˇ zaj zaj
1. Uvod 2. HIPERBOLA 2.1. Jednaˇ cina cina hiperbol hip erbole e i grafiˇ cki cki prikaz hiperbol hipe rbole e Asimptote hiperbole 2.2. Asimptote Jedn aˇ cina cin a tangente tan gente u taˇ cki cki T(x T( x1 , y1 ) 2.3. Jednaˇ 2.4. Uvjet dodira prave y=kx+n i hiperbole 3. VRSTE HIPERBOLE 3.1. Translatirana hiperbola 3.2. Hiperbola sa tjemenom na osi ordinata 3.3. Jednakostraniˇ Jednakostr aniˇ cna cna hiperbo hip erbola la Literatura
i 1 1 3 4 4 5 5 6 7 8
i
1.
Uvod
Tema mog seminarskog semin arskog rada ra da je hiperbola.Govorit hiper bola.Govorit ´cemo cemo o jednaˇcini cini hiperb hi perbole,asimpt ole,asimptotama otama hiperbole,jednaˇ cina cina tangente hiperbole hiperb ole i pro´ ci ci kroz dokaze. dokaze. Na samom kraju rada ´cemo cemo spomenuti sp omenuti vrste hiperbole i ukratko upoznati s tim vrstama.
1
2. HIPERBOLA Definicija Definicija 2.1. Hiperbola je geometrijsko geometrijsk o mjesto taˇcaka caka (skup taˇcaka) caka) u ravni ˇcija cija je apsolutna vrijednost vrijednost razlike udaljenosti od dviju taˇ caka caka F 1 i F 2 te ravni stalan broj.
2.1. Jednaˇ cina cina hiperbo hip erbole le i grafiˇ cki cki prikaz hiperbol hip erbole. e.
Taˇ Taˇcke F 1 i F 2 su ˇziˇ ziˇze ze (fokusi) (fok usi) hiperb hip erbole, ole,a a F 1 F 2 = 2e 2 e , e-linearni ekscentricitet hiperbole. Odnos rastojanja izmedu fokusa 2e i realne ose 2a nazivamo numeriˇ numer iˇ cki cki eksceneks centricitet tricitet hiperbole i oznaˇ ozn aˇcavamo cavam o s e ε= . a Prave BB” i CC” su direktrise direktrise hiperbole. hiperbole. Jednaˇcine cine direktrisa hiperb ole su: 2
x= ili
± ae ,
a , ε a x= . ε x=
−
2
Definicija 2.2. Jednaˇ cina cina hiperbole hi perbole u kanonskom kano nskom (segmentnom) (segmentno m) obliku obl iku je zadana formulom: x2 y 2 = 1. 1. a2 b2 Dokaz: Sa slike i iz definicije hiperbole imamo:
−
(1)
r1
−r
2
= 2a 2a ,
r1 r2 < 2e, 2a < 2e a < e. 2 2 2 Primjenom pitagorine teoreme (c ( c = a + b , a , b katete,c katete,c glove ∆F ∆F 1 M A i ∆F 2 M A imamo:
−
⇒
−
r12 = y 2 + (x (x + e)2 , r22 = y 2 + (x (x e)2 .
(2) (3)
−
Ukoliko formule (2) i (3) oduzmemo imamo: r12
2 2
1
Zamjenom r1
−r
2
2
2
− r = (x ( x + e) − (x − e) , (r − r )(r )(r + r ) = 4ex. 2
1
2
= 2a 2 a imamo: 2a(r1 + r2 ) = 4ex,
(4)
2ex . a
r1 + r2 =
Ako saberemo (1) i (4), tj. r1
dobijamo:
−r
= 2a, 2 a, 2ex r1 + r2 = , a 2
2r1 = 2a 2a + (5)
r1 = a +
2ex , a
ex . a
Ako oduzmemo (1) i (4) imamo: 2ex 2a, a ex r2 = a. a 2r2 =
(6)
−
−
− hipotenuza) hipotenuza) na trou-
3
Uvrˇ Uv rˇstavan st avanje je r1 u formulu (2) daje: (a + a2 + 2ex 2ex +
ex 2 ) = y2 + (x (x + e)2 , a
e2 x2 = y 2 + x2 + 2ex 2ex + e2 / a2 , 2 a
·
a4 + e2 x2 = a2 y2 + a2 x2 + a2 e2 , a4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−a e =a y +a x −e x , (7) a (a − e ) = a y + x (a − e ), Izraz a − e se moˇ ze ze zamjeniti s −b i to primjenom Pitagorine teoreme ( c = a + b , a , b − katete,c katete,c − hipotenuza) hipotenuza) na trougao imamo da je a + b = e iz ˇcega ce ga slijedi da je a − e = −b . 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2 (a2
2
2
− e ) = a y
2
+ x2 (a2
2
− e ),
−b2
−b2
Jednaˇcina cina (7) prelazi u oblik: a2 ( b2 ) = a2 y 2 + x2 ( b2 ),
− −a b
2 2
−
= a2 y 2
2 2
−x b .
Kako Kako poluose poluose a i b moraju biti razliˇ razliˇ cite cite od nule nule ( a, b = 0),onda posljednju formulu moˇzemo zemo podjeliti pod jeliti s ( a2 b2 ) pa dolazimo do jednaˇcine cine hiperb ole ˇsto je trebalo dokazati: x2 y 2 = 1. 1. a2 b2
−
−
2.2. Asimptote Asimptote hiperbole. Definicija 2.3. Asimptote Asimptot e hiperbole su s u date jednaˇ cinama cinama y = ab x, i y =
−
b a
x.
Dokaz: Oˇ cigledno cigledno da hiperbola nema vertikalne vertikalne i horizontalne horizontalne asimptote ve´ c samo kosu asimptotu. Prava y=kx+n ´ce ce biti bi ti kosa asimptota hiperb ole ako a ko je n=0 (odsjeˇ ( odsjeˇcak cak na n a y osi). Sa slike (desna strana) imamo da je k = tan α = ab , a s lijeve strane slike imamo k = tan α = −ba = ab .
−
Ako uvrstimo u y=kx dobijamo: y = ab x, i y =
−
b a
x.
4
2.3. Jednaˇ Jedn aˇ cina cin a tangente tan gente u taˇ cki cki T(x T( x1 , y1 ). Kako je jednaˇ jedn aˇcina cina tangente tang ente u taˇcki cki T(x T( x1 , y1 ) linearn line arna a jednaˇ jedn aˇcina,a cina ,a taˇcka cka T(x T( x1 , y1 ) mora zadovoljavati hiperbolnu hiper bolnu jednaˇcinu cinu x2 y2 =1 a2 b2 tada hiperb hip erbolna olna jednaˇ jedn aˇcina cina prelazi prel azi u linea l inearnu rnu jednaˇ jedn aˇcinu cinu ˇsto predstavl pred stavlja ja jednaˇ jedn aˇcinu cinu tangente tang ente u taˇcki cki T(x T( x1 , y1 ):
−
xx1 a2
− yyb
1
= 1. 1.
2
2.4. Uvjet dodira prave y=kx+n i hiperbole. Definicija 2.4. Prava y=kx+n ´ ce ce dirati hiperbolu x2 a2
− yb
a2 k2
−b
2
=1
2
ako je ispunjen slijede´ci ci uvjet: 2
= n2 .
Dokaz: Ako u jednaˇ cinu cinu hiperbole hiperb ole umjesto y stavimo kx+n dobijamo: (kx + n)2 x2 = 1, a2 b2 x2 k2 x2 + 2kxn 2kxn + n2 = 1/ a2 b2 , a2 b2 x2 b2 a2 (k 2 x2 + 2kxn 2kxn + n2 ) = a2 b2 ,
−
−
−
·
x2 b2 a2 k 2 x2 2a2 kxn a2 n2 = a2 b2 , x2 (b2 a2 k 2 ) 2a2 knx a2 (b2 + n2 ) = 0,
−
−
2a2 kn
−
−
−
−
(2a (2a2 kn) kn)2 + 4(b 4(b2 a2 k 2 )a2 (b2 + n2 ) , 2(b 2(b2 a2 k2 ) Kako Kako ne mogu biti dvije dvije prave, prave, to diskrimin diskriminant anta a posljednje posljednje jednaˇ jednaˇcine cine mora biti jednaka jednaka nuli pa imamo: x1,2 =
±
−
−
(2a (2a2 kn) kn)2 + 4(b 4(b2 a2 k2 )a2 (b2 + n2 ) 4a4 k2 n2 + (4b (4b2 4a2 k2 )a2 (b2 + n2 ) 4a4 k 2 n2 + 4b 4b2 a2 b2 + 4b 4b2 a2 n2 4a2 k2 a2 b2 4a2 k2 a2 n2 a4 k 2 n2 + a2 b4 + a2 b2 n2 a4 k 2 b2 a4 k 2 n2 a2 b4 + a2 b2 n2 a4 k2 b2 b2 + n2 a2 k 2 a2 k 2 b2
−
− −
−
−
− −
−
−
= = = = =
0, 0, 0/ : 4, 4, 0, 0/ a2 b2 , = 0, = n2 .
·
5
3. VRSTE HIPERBOLE Hiperbole se mogu podjeliti u tri vrste i to: Translatirana hiperbola. Hiperbola Hiperbola sa tjemenom tjemenom na osi ordinata. ordinata. Jednakostraniˇ Jednakostr aniˇcna cna hiperbola. hiper bola.
• • •
3.1. Translatirana hiperbola. Translatirana hiperb ola je hiperb ola kojoj ko joj je srediˇ sre diˇste ste taˇcka cka S(p,q),a ose paralelne pa ralelne s koordinatni ko ordinatnim m osama os ama i ima im a jednaˇ je dnaˇcinu: cinu: (x p) p)2 (y q)2 = 1. 1. a2 b2
−
− −
6
3.2. Hiperbola sa tjemenom na osi ordinata. Hiperbola sa tjemenom na osi ordinata je hiperbola oblika: x2 y 2 + 2 = 1. 1. a2 b Imaginarna p oluosa je a i leˇ zi zi na osi apscisa.Tjemena su taˇ cke cke A(0,-b) i B(0,b),a ˇzariˇsta F 1 (0, (0, e) i F 2 (0, (0, e). Asimptote ove hiperbole su pravci: y = ab x. Grafik ove hiperbole je dat na sljede´ coj coj slici:
−
−
±
7
3.3. Jednakostraniˇ Jednakost raniˇ cna cna hiperbo hip erbola. la. Za hiperb olu kaˇ zemo zemo da je jednakostran j ednakostraniˇ iˇcna cna ako vrijedi vr ijedi da je a=b. a =b. Tada je njezina jednaˇcina cina oblika: x2 y 2 = 1, 1, a2 a2 odnosno x2 y 2 = a2 .
−
−
√
√
Linearni ekscentritet je e = a2 + a2 = a 2. Asimptote jednakostraniˇ jednakostra niˇcne cne hiperb ole su s u pravci pr avci y=
±x.
Grafik ove hiperbole je dat na sljede´ coj coj slici:
8
Literatura
[1] S.Mintakovi´ S.Mintakovi´c Zbirka zadata ka iz analitiˇ cke cke geometrije u ravni.1981 [2] Dr.ing Boris Boris Apsen Repetitorij elementarne matematike, Tehniˇ cka cka knjiga kn jiga Zagreb,195 Zagre b,1958 8
