JORGE NAKAMURA MUROY
NUEVA EDICION
JORGE NAKAMURA MUROY Ingeniero Mecánico - Electricista. Master of Science en Ingenieria Mecánica. Profesor Principal de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Nacional de Ingeniería. Jefe del Departamento de Energía y Mecánica.
ARTE Y DIAGRAMACIÓN: Jesús Carrasco H.
DIBUJOS:
Maria Esther Mestanza C.
REVISIÓN FINAL: Eduardo Sato N. - Jorge D. Nakamura G.
INTRODUCCIÓN GEOMETRIA DESCRIPTIVA: Es la ciencia del trazado, que tiene por finalidad llegar a la representación exacta y perfecta de los objetos y solucionar los problemas que pudieran presentarse en el espacio. La solución de los problemas son realizados por medio de métodos netamente gráficos, basándose en análisis previos realizados sobre figuras simples tales como el punto, la recta y el plano, hasta llegar a las formas complejas como son los prismas, las pirámides, los cilindros, los conos, etc. El término "Geometría Descriptiva" significa la presentación o descripción gráfica de los objetos, realizada llevando las tres dimensiones del espacio sobre tan solo dos, que son las dimensiones con que cuenta el papel o la lámina sobre la cual se hacen los trazados. Esto se logra mediante el empleo de los planos de proyección, que no son más que planos que ocupan diferentes posiciones en el espacio, sobre los cuales se proyecta el objeto y luego son girados hasta encontrarse todos sobre un mismo plano. Es asi como se consigue la reducción de lo tridimensional al plano' bidimensional, sin perder precisión en las construcciones. Se observará que la importancia del curso radica en el hecho de que permite a quien la práctica, adquirir y desarrollar habilidades relativas a la visualización de los objetos mediante proyecciones, haciendo trabajar su imaginación, sin la cual sería imposible la resolución de problemas. La ciencia de la Geometría Descriptiva tiene sus orígenes en Francia. Fue creada por GASPARD MONGE de la Escuela Militar de MEZIERES, cuando realizaba algunos proyectos para la aplicación militar. Al perfeccionar su método, escribe una obra conteniendo toda su teoría la cual es publicada en 1795; pero es tomada inmediatamente por el gobierno y declarada "SECRETO MILITAR DE GRAN VALOR" por espacio de casi 30 años. CLAUDE CROZET, discípulo de Monge, es el encargado de difundir la materia en los Estados Unidos de Norteamérica haciéndolo en la Academia Militar en 1816, y publica el primer tratado en idioma inglés (1821). A comienzos del siglo, como consecuencia de los adelantos alcanzados, nace una tendencia que trata de simplificar y dar un sentido práctico al método tradicional del monge, es así coman tenemos a DEAN EMERITUS ADAM V. MILLAR, profesor de la Universidad WISCONSIN, quien aplica por primera vez su propia metodología durante sus clase del verano de 1908. Más tarde, las bases de esta nueva tendencia fueron fijadas por MILLAR y MACLlN en la obra escrita en 1913 y por MARQUARDT en 1919. A conjunto. de las modificaciones efectuadas se le conoce con "MÉTODO DIRECTO", terminoloqia que por primera vez es empleado por GEORGE J.
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CONTENIDO INTRODUCCIÓN CAPITULO I: CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASICAS 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Trazar rectas paralelas a una recta dada………………………………….. Trazar rectas perpendiculares a una recta dada………………………….. Trazar la mediatriz de un segmento de recta……………………………... Trazar una recta paralela a otra, a una distancia dada…………………... Trazar la bisectriz de un ángulo……………………………………………. Bisectriz de un ángulo con vértice desconocido…………………………... Trazar por un punto dado una recta concurrente con otras dos………… Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados……………… Hallar una circunferencia que pase por un punto y sea tangente a dos rectas 1.10 dadas……………………………………………………………. Trazar una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una circunferencia dada……………………………………………………. 1.11 Trazar rectas tangentes a dos circunferencias dadas……………………. 1.12 Dividir un segmento en partes 1.13 iguales……………………………………… Dividir un segmento en proporción dada…………………………………… 1.14 Traslado de un ángulo……………………………………………………….. Lugar Geométrico de todos los puntos que equidistan una recta y un punto………………………………………………………… 1.16 Lugar Geométrico de todos los puntos que determinan un ángulo Dado con los extremos de un 1.17 segmento…………………………………… Lugar Geométrico de todos los puntos que determinan un ángulo De 90° con los extremos de un segmento………………………………….
1 2 2 2 3 3 3 4
:
4 5 5 6 6 7
1.15
7 7 8
CAPITULO II: PROYECCIONES 2.1 2.2 2.3. 2.4 2.5 2.6
Proyección de un punto Tipos de proyección Planos principales de proyección Proyecciones en el primer y tercer cuadrante Proyecciones y depurado de un punto Ubicación de un punto por coordenadas
9 10 12 13 14 15
2.7
Posiciones relativas de dos puntos entre sí PROBLEMAS RESUELTOS :
17 19
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS Vistas principales de un sólido PROBLEMAS RESUELTOS
24 27 29
2.8
o
\11
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
:
43
CAPITULO III: LA RECTA 3.1
Proyecciones de una recta
65
3.2 3.3 3.4 3.5
Puntos contenidos en una recta Posiciones particulares de una recta Rectas que se cortan Rectas que se cruzan
66 67 70 70
3.6 3.7 3.8
Visibilidad de rectas que se cruzan Verdadera magnitud de una recta Vista de punta de una recta
.71 72 73
3.9 3.10 3.11
Orientación y pendiente de una recta Rectas paralelas Rectas perpendiculares PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
74 75 75
l
77 ,
104
CAPITULO IV: EL PLANO 4.1 4.2 4.3 4.4
4.5 4.6 4.7 4.8
Determinación de un plano Rectas contenidas en un plano Puntos contenidos en un plano Posiciones particulares del plano Vista de canto de un plano Verdadera magnitud de un plano Orientación y pendiente de un plano Proyecciones de un círculo PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
107 108 109 109
111 1 12 113 114 115 131
. CAPITULO V: RECTAS y PLANOS PARALELISMO y PERPENDICULARIDAD PARALELISMO: 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Principios fundamentales Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas Por una recta trazar un plano paralelo a otra recta dada Determinar si una recta es paralela a un plano
135 136 136 131 137
PERPENDICULARIDAD: 5.6 5.7 5.8 5.9
VIII
Principios fundamentales Por un punto Trazar una recta perpendicular a un plano Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta Trazar u n p l a n o q u e c o n t e n g a a u n a r e c t a y s e a Perpendicular a un plano dado
138 138 140 140
5.10
Por un punto trazar un plano perpendicular a dos planos dados
141
PROBLEMAS
142
RESUELTOS
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
162
CAPITULO VI: INTERSECCIONES 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Intersección de una recta con un plano. Método de la vista de canto Intersección de una recta con un plano. Método del plano Cortante Intersección de planos. Método de la vista de canto Intersección de planos. Método de la intersección de una Recta con un plano Intersección de planos. Método del plano cortante PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
167 168 169 170 171 172 184
CAPITULO VII: DISTANCIAS 7.1 7.2
Distancia de un punto a una recta Menor distancia entre dos rectas
189 191
7.3
Distancia de un punto aun plano
193
7.4
Menor distancia con pendiente dada entre dos rectas que se cruzan
194
7.5 7.6 7.7 7.8
Menor distancia horizontal entre dos rectas que se cruzan Menor distancia con ángulo determinado con el plano frontal. Menor distancia frontal entre dos rectas que se cruzan Distancia paralela a una dirección dada entre dos rectas que Se cruzan PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
CAPITULO VIII: ANGULOS 8.1 Definiciones : 8.2 Angula entre dos rectas que se cruzan 8.3 Angula entre una recta y un plano 8.4 Angulo entre dos planos
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS CAPITULO IX: GIROS 9.1 Giro de un punto , 9.2 Verdadera magnitud de una recta mediante giros 9.3 Vista de punta de una recta., 9.4 Vista de canto de un plano 9.5 Verdadera magnitud de un plano mediante giros 9.6 Determinación de un ángulo diedro entre dos planos 9.7 Determinación del ángulo entre una recta y un plano
194 195 196 197 199 218
223 224 225 228 230 247
253 254 255 256 256 258 259
PROBLEMAS RESUELTOS
260
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
276
CAPITULO X:
INTERSECCIÓN
DE RECTAS
CON POLIEDROS
Y SUPERFICIES
10.1 Definición 10.2 Puntos contenidos en las caras de un poliedro 10.3 Intersección de una recta con un prisma 10.4 Intersección de una recta con una pirámide 10.5 Superficies. Cono, cilindro, esfera 10.6 Puntos contenidos en la superficie de un cono 10.7 Intersección de una recta con un cono 10.8 . 10.9 10.10 10.1 1
281 282 282 283 283 284 284
Puntos contenidos en la superficie de un cilindro Intersección de una recta con un cilindro Puntos contenidos en la superficie de una esfera Intersección de una recta con una esfera PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
285 285 286 286 287 297
CAPITULO XI: PLANOS TANGENTES A SUPERFICIES PLANOS TANGENTES A CONOS:
11.1
Plano tangente a un cono por un punto contenido en su superficie 11.2 Plano tangente a un cono por un punto exterior 11.3 Plano tangente a un cono, paralelo a una recta dada
301 302 303
PLANOS TANGENTES A CILINDROS: 11.4 Plano tangente a un cilindro por un punto de su superficie 11.5 Plano tangente a un cilindro por un punto exterior 11.6 Plano tangente a un cilindro paralelo a una recta dada
304 304 305
'
PLANOS TANGENTES A ESFERAS: 11.7 Plano tangente a una esfera por un punto de su superficie 11.8 Plano tangente a una esfera por una recta dada 11.9 Por un punto trazar un plano tangente a dos esferas 11.10 Trazar un plano tangente a dos conos de revolución con vértice común
309
11.11 Por una recta trazar un plano que haga un ángulo dado con el plano horizontal o con el frontal.
313
11.12 Por una recta trazar un plano que haga un ángulo dado con un plano cualquiera
314
11.13 Desde un punto trazar una recta que forme ángulos dados con dos pianos 11.14 Trazar una recta que conecte a otras dos haciendo ángulos dados con ellos 11.15 Por un punto trazar un plano que haga ángulos dados con otros dos pIanos 320
x
306 306 307
315 319
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
:
322 345
CAPITULO XII INTERSECCIÓN DE PLANOS CON POLIEDROS Y SUPERFICIES 12.1 Sección plana de un prisma
349
12.2 12.3
Sección plana de una pirámide Sección plana de un cilindro
350 351
12.4 12.5
Secciones planas de un cono circular recto Trazar una recta tangente a una sección cónica
352 353
12.6 12.7 12.8
Determinación del tipo de curva que será la sección cónica Determinación de las asíntotas de la hipérbola Sección plana de la esfera , PROBLEMAS RESUELTOS
353 354 355 356
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
364
CAPITUL.O XIII: INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS 13.1 Tipos de intersecciones 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7
·
369
Métodos para determinar intersecciones de sólidos Intersección de dos prismas Intersección de un prisma con una pirámide Intersección de pirámides Intersección de un cono con un prisma Intersecciones de cilindros
13.8 Intersección de un cilindro con un cono 13.9 Intersección de dos conos 13.10 Intersección de dos esferas PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS CAPITULO XIV: DESARROLLOS 14.1 Definición H.2 Desarrollo de un prisma 14.3 Desarrollo de una pirámide recta 14.4 Desarrollo de una pirámide oblicua 14.5 Desarrollo de un tronco de pirámide 14.6 14.7
Desarrollo de un cilindro recto Desarrollo de un cilindro oblícuo
14.8 14.9 14.10 14.11 14.12
Desarrollo de un cono circular recto Desarrollo de un tronco de cono recto Desarrollo de un cono oblicuo Desarrollo de un tronco de cono oblícuo Desarrollo de una pieza de reducción cónica
PIEZAS DE TRANSICIÓN: 14.13 Definición
371 371 373 374 375 377
·
379 383 ·386 387 394
401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 412 413 414
XI
CAPITULO I
CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASlCAS
El desarrollo de problemas de Geometría Descriptiva, requiere de cierta práctica en el uso de los artículos de dibujo como son las escuadras, el compás, la regla “ T”, etc. y además demanda del conocimiento de algunos procedimientos básicos para la construcción de figuras geométricas. El objeto de este capítulo previo, es proporcionar algunos conocimientos básicos en la técnica del trazado, los cuales serán impartidos a través de los casos que se desarrollan a continuación.
1.1 TRAZAR RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA:
Posicionar las escuadras de tal modo que uno de los lados de la escuadra deslizante coincida con la recta dada. Teniendo como guía la escuadra fija; mover la escuadra deslizante tal como se muestra en la figura, obteniéndose de este modo las paralelas deseadas.
PAGINA 1
1.2 TRAZAR RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA: Posicionar las escuadras de tal modo que la hipotenusa de una de ellas coincida con la recta dada MN. Manteniendo firme la escuadra fija, apoyar sobre ésta el otro cateto de la escuadra móvil, tal como se muestra en la figura. La nueva posición de la hipotenusa determina las perpendiculares buscadas.
1.3 TRAZAR LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO DE RECTA: Definición: Mediatriz es la recta perpendicular a un segmento dado que pasa por su punto medio. Sea AB el segmento cuya mediatriz se desea determinar. Con centro en A, trazar un arco de circunferencia con un radio cualquiera “r” y hacer [o mismo tomando como centro el extremo B, empleando el mismo radio. .
La mediatri z buscad a es la recta que pasa por los dos puntos de
intersección.
1.4 TRAZAR UNA RECTA PARALELA A OTRA, A UNA DISTANCIA DADA: Sea XY la recta dada y "a" la distancia a la cual se desea trazar una paralela. Trazar en primer lugar una perpendicular. a XY y sobre ella medir la distancia “a”, determinándose de este modo el punto l. La recta paralela a XY que pasa por el punto I es Ia que se busca.
CAPITULO I: CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASICAS
1.5 TRAZAR LA BISECTRIZ DE UN ANGULO: Sea ABC el ángulo cuya bisectriz se desea determinar. Mediante un compás, trazar un arco con un radio cualquiera, el cual corta a los lados AB y BC en los puntos X e Y. Con centro en X y luego en Y y con un mismo radio “r” se trazan los arcos que se cortan en Z. Uniendo el vértice del ángulo con el punto Z se determina la bisectriz deseada. 1.6 BISECTRIZ DE UN ANGULO CON VERTICE DESCONOCIDO: Las rectas MN y XY son los lados de un ángulo cuyo vértice está fuera de los límites del dibujo. Se nos pide hallar la bisectriz. Como primer paso y aplicando el procedimiento ya conocido, se trazan rec- tas paralelas a MN y XY, a una distancia "d" cualquiera. La bisectriz del ángulo determinado en el paso anterior es la bisectriz buscada.
1.7 TRAZAR POR UN PUNTO DADO UNA RECTA CONCURRENTE CON OTRAS DOS: Las rectas AS y CD son dos rectas que se intersectan. Se desea trazar por el punto P una recta que pase por la intersección de las dos anteriores, (rectas congruentes). Ubicar dos puntos cualesquiera (X e Y) sobre las rectas dadas. Trazar una paralela cualquiera (1-2) al segmento XY. Desde 1 trazar una paralela a XP y por 2 una paralela a YP, definiéndose de este modo el punto 3. Uniendo P con 3 se tiene la recta buscada.
PAGINA 3
1.8 TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA
QUE PASE POR TRES PUNTOS DADOS:
Sean X, Y, Z los, puntos dados. Trazar las mediatrices de los segmentos XY e YZ. La intersección "O" de estas mediatrices es el centro de la circunferencia buscada, siendo el radio la distancia. OX, OY ú OZ. Nota: La mediatriz de XZ debe pasar también por "O”
1.9 HALLAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS DADAS:
QUE PASE
POR
UN PUNTO' Y SEA
Datos: Rectas AB y MN Y un punto x. Prolongar las rectas AB y MN hasta determinar la intersección l. Hallar la bisectriz del ángulo cuyo vértice es l. (Todas las circunferencias tangentes a AB y MN tendrán sus centros sobre esta bisectriz). Trazar una circunferencia cualquiera con centro en "O" y tangente a AB y MN. Unir el vértice I con el punto X y determinar la intersección l con la circunferencia de centro O. Trazando una recta que pase por X y sea paralela a O1, se halla el centro O' de la circunferencia buscada, cuyo radio será r2.
CAPITULO I: CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASICAS
1.10 TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR DOS PUNTOS y SEA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DADA: Se conocen los puntos A y B y la circunferencia con centro en O. o Se traza en primer término las mediatriz del segmento AB (todas las circunferencias que pasan por A y B tienen sus centros en esta mediatriz). Construir una circunferencia cualquiera con centro en P, que pasa por A y B y corta a la circunferencia dada en los puntos 1 y 2. La recta 1-2 se corta con AB en el punto l. Desde I se traza una tangente a la circunferencia de centro O, siendo T el punto de tangencia. Se une O con T hasta cortar a la mediatriz antes trazada y se determina el punto Q que es el centro de la circunferencia buscada.
1.11 TRAZAR RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS: Se dan las circunferencias de centros O y O’ y radios r y r' respectivamente, a los cuales se quiere trazar rectas tangentes.
TANGENTES EXTERNAS: Con centro en O trazar una circunferencia cuyo radio es igual a la diferencia r-r'. Desde O' se trazan tangentes O'T y O'S, a esta última circunferencia. Las rectas tangentes buscadas serán paralelas a estas dos tangentes O'T y O'S.
PAGINA 5
GEOMETRIA DESCRIPTIVA
TANGENTES INTERNAS: Rea- lizar una construcción similar a la anterior pero trazando una cir- ' cunferencia con radio igual a la suma r+r'.
1.12 DIVIDIR UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES: Dividir el segmento MN en 7 partes iguales. Trazar por el extremo M, un segmento cualquiera (haciendo un ángulo cuaIquiera) y marcar sobre él 7 puntos separados entre sí una distancia conocida (por ejemplo 1 cm.). Unir el punto 7 con el extremo N. Por cada uno de los 6 puntos restantes trazar paralelas a 7 -N. Las intersecciones de estas paralelas con el segmento MN determinan las divisiones buscadas.
1.13 DIVIDIR UN SEGMENTO UNA PROPORCION DADA:
EN
Hallar un punto X sobre el segmento AB de tal modo que AX/XB = 2/7. De acuerdo al procedimiento ya explicado, dividir el segmento AB en 9 partes iguales y de este modo quedará identificado el punto buscado.
CAPITULO 1: CONSTRUCCIONES
GEOMETRICAS BASICAS
1.14 TRASLADO DE UN ANGULO: Con vértice en O y teniendo como lado el segmento OP, construir un ángulo igual al ángulo indicado en la parte inferior. Sobre el ángulo dado, trazar el arco de radio r1 y hacer lo mismo tomando como centro O. ' Luego, tomar el arco de radio r2 y trasladarlo como se muestra en el gráfico. La intersección de los dos amos nos permite construir el ángulo. ,
1.15 LUGAR GEOMETRICO DE TODOS LOS PUNTOS QUE EQUIDISTAN DE UNA R ECTA UN PUNTO:
Sea XY la recta dada y O el punto conocido. Trazar una recta P1 paralela a XY, a una distancia "a'. Con centro en “O” y radio "a" trazar un arco que corta a P1, en los puntos 1 y 2. Estos dos puntos equidistan de XY y de "O", es decir, pertenecen al lugar geométrico buscado. Repetir el procedimiento trazando la paralela P2 y se hallarán dos puntos más. Uniendo todos los puntos determinados mediante este procedimiento, se hallará el lugar, geométrico que resulta ser una parábola cuyo foco es "O".
1.16 LUGAR GEOMETRICO DE TODOS LOS PUNTOS QUE DETERMINAN UN ANGULO DADO CON LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO: Según el segmento. Se busca el lugar geométrico de todos los puntos, tal como P, que determinan un ángulo “α” con los extremos XY. Trazar en primer lugar una recta L que determine el angulo “α” con la recta XY. Por Y trazar una perpendicular a la recta L. . La interseccíón de esta perpendicular con la mediatriz XY, determina el punto “O” El lugar geométrico buscado es la círcunferencia Con centro en “O” y que pasa por los extremos de XY. Este lugar geométrico es conocido como ARCO CAPAZ. Todos los puntos tales como P'y P’’ pertenecientes a esta circunferencia, cumplen con la condición exigida.
L
GEOMETR.IA DESCRIPTIVA
1.17 LUGAR GEOMETRICO DE TODOS LOS PUNTOS QUE DETERMINAN, ANGULO DE 90° CON LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO.
UN
Este es un caso particular del arco capaz, en que el ángulo dado es 90° A pesar de tratarse de un simple caso particular del problema anterior, es importante familiarizarse con esta construcción geométrica por la frecuencia con que se le usa en la resolución de problemas de Geométria Descriptiva. Sea AB el segmento dado. Si se toma el punto medio de este segmento y se traza una circunferencia con centro en este punto y con un radio igual a AB/2, se tendrá el lugar geométrico buscado. En efecto, si desde un punto cualquiera de esta circunferencia, tal como P, se trazan rectas que lo unan con los extremos A y B, éstas rectas determinan entre sí un ángulo de 90°. Esta condición se cumplirá con todos los puntos de la circunferencia trazada.
\.
Figura 2.17
,
1'.
.
CAPITULO II
PROYECCIONES
2.1 PROYECCION DE UN PUNTO: Imaginemos un punto en el espacio y un plano cualquiera, tal como se muestra en la figura 2.1.
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GEOMETRIA DESCRIPTIVA
Si un observador se ubica delante del punto A, la línea de visión que une su ojo con el punto A, impactará sobre el plano P, determinando sobre él un punto A’. (Figura 2.2 (a)) Al punto A’ se le conoce corno proyección del punto A sobre el plano P. Esta misma definición es válida Si el plano de proyección se encuentra entre el observador y el punto a proyectar (Figura 2.2 (b))
.
B
•
2.2 TIPOS DE PROYECCION: Las proyecciones pueden clasificarse en: - Proyección Cónica. - Proyección Cilíndrica. - Proyección Ortogonal.
PROYECCION CONICA: Es la que se obtiene cuando el observador se encuentra a una distancia finita del plano de proyección. En este caso, las líneas de visión o rayos proyectantes se originan en un punto (ojo del observador) denominado foco y son divergentes. (Figura 2.3). El tamaño de la proyección dependerá de las distancias relativas entre el foco, el objeto y el plano de proyección. Los dibujos denominados en PERSPECTIVA, corresponden a este tipo de proyección.
l" "
*
CAPITULO II: PROYECCIONES
En la figura 2.4 se muestra una proyección en perspectiva. Observar que las partes más cercanas del escritorio tienen un tamaño mayor.
.
.
PROYECCION CILlNDRICA: Es aquella que se obtiene suponiendo que el observador se halla en el infinito, de tal modo que todas las lineas de visión o rayos proyectantes resultan paralelos entre si. Un ejemplo de una proyección cilíndrica se . muestra en la figura 2.5.
GEOMETRIA OESCAIPJI\IA
PROYECCION ORTOGONAL: Corresponde al caso particular de la proyección cilíndrica, en el que las líneas de visión o rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección. (Figura 2.6) Este es el tipo de proyección empleado' en GEOMETRIA DESCRIPTIVA así como en el dibujo técnico. En adelante todas las proyecciones usadas en este texto serán ORTOGONALES.
2.3 PLANOS PROYECCION:
PRINCIPALES
DE
El plano de proyección visto en el párrafo anterior puede tener diferentes posiciones, de acuerdo a la dirección en que se encuentra el observador con respecto al objeto. Existen tres posiciones claramente definidas que se conocen como los Planos Principales de Proyección, el primero es el PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN, que es el que se utilizará para determinar la proyección cuando el observador esté “encima” del objeto. El segundo es el PLANO FRONTAL DE PROYECCION, que se empleará cuando el observador esté “ al frente” del objeto y finalmente el PLANO DE PERFIL, que es un plano perpendicular a los dos anteriores y dará la proyección del objeto cuando el observador este ubicado a “un lado” de aquel. Como se verá estos tres planos son perpendiculares entre si y su ubicación relativa la podemos observar en la figura 2.7 (a). En la figura 2.7 (b) se observan las proyecciones de un triángulo sobre los tres planos de proyección. Existen casos en que son necesarios otros planos de proyección además de los tres principales debido a que éstos podrían estar proporcionando una visión no muy favorable del objeto, en tales casos se emplean las llamadas vistas auxiliares que serán estudiadas más adelante.
2.4 PROYECCIONES EN EL PRIMER Y TERCER CUADRANTE: Los planos principales de proyección explicados en el acápite anterior, pueden ubicarse entre el observador y el objeto o también detrás del objeto. Así, tan solo variando la posición de los planos principales de proyección, se tendrían diferentes casos con proyecciones que podrían deferir una de otras Tal es el caso de las dos proyecciones que se muestran en las figuras 2 8 (a) y 2.8 (b), las cuales se diferencian únicamente en la posición de los planos de proyección con respecto al observador y al objeto. De las muchas posibilidades que pueden presentarse, los dos casos mostrados son los más usuales. De la figura 2.8 (a) corresponde a la denominada PROYECCION EN EL PRIMER CUADRANTE O PROYECCION DIN (DEUTSCHE INDUSTRIE NORMEN), en la cual los planos de proyección están situados detrás del objeto. Este método de proyección es empleado en los países europeos.
La figura 2.8 (b) corresponde a una PROYECCION EN El TERCER CUADRANTE O PROYECCION ASA (AMERICAN STANDARD ASOCIATION), en la que los planos de proyección están entre el observador y el objeto. Este método de proyección es empleado en los Estados Unidos de Norteamérica y puede verse en los planos y diagramas de este origen. Observar que en las proyecciones DIN y ASA, además de la diferencia en la posición de los planos de proyección, pueden existir diferencias en las vistas obtenidas, como es el caso de las vistas en los planos de perfil “P” de la figuras 2.8 (a) y 2.8 (b). 2.5 PROYECCIONES Y DEPURADO DE UN PUNTO: Trazar las proyecciones H, F Y P de un objeto, tal como se ha hecho con el triángulo de la figura 2.7 (b), resulta sumamente complejo. Esta complejidad se debe fundamentalmente a que los planos H, F Y P y el objeto a proyectar constituyen un conjunto tridimensional que tratamos de graficar sobre las dos dimensiones que tiene nuestro papel de dibujo.
Para facilitar
el trazado
de las proyecciones y no tener que hacerlo
en la
posición tridimensional de los planos de proyección, se recurre a lo que se denomina el DEPURADO. . se toma en primer lugar, el caso de un PUNTO en el espacio, cuyas proyecciones AH, AF AP sobre los planos horizontal, frontal y de perfil se muestran en la figura 2.9 (a). Seguidamente, imaginemos que los planos horizontal y de perfil son girados en la forma que se observa en la figura 2.9 (b), hasta que su posición coincida con la del plano frontal F. En esta forma se habrá conseguido que los tres planos descansen sobre una misma superficie conformando una figura bidimensional, fácilmente graficable sobre el papel. Lo que se ha conseguido con este procedimiento es el denominado DEPURADO DEL PUNTO A, como se muestra en la figura 2.10. A la distancia del punto “A” al plano horizontal, se le denomina COTA y las distancias de este punto a los planos frontal y de perfil se las conoce como ALEJAMIENTO y APARTAMIENTO respectivamente. La articulación o bisagra existente entre los planos horizontal y frontal, se conoce como LINEA DE TIERRA. 2.6 UBICACION DE UN PUNTO POR COORDENADAS: Es posible determinar las proyeccienes horizontal y frontal de un punto en el depurado, empleando un sistema de coordenadas, de tal forma que dándose tres números se ubican las proyecciones mencionadas. Por ejemplo, si se tiene un punto X (a, b, c), las proyecciones XH y XF sé determinarán según se indica en la figura 2.11. En la 'figura 2.12 de la página siguiente se muestran las proyecciones de los puntos A (2, 4,10) y B (5, 5, 12) y del segmento M (4, 2,10) N (8, 5, 8).
2.7 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PUNTOS ENTRE SI: Mediante las proyecciones ortogonales de dos puntos sobre los planos principales de proyección, es posible determinar cual de los puntos está delante o detrás con respecto al otro, así como cual está arriba o abajo y también a la derecha o a la izquierda.
Tomar como ejemplo, los puntos A y B de la figura 2.13. La vista en el espacio de las proyecciones de estos dos puntos se muestra en la figura (a) y en la fig ura (b) se tiene el depurado correspondiente. Tomando primeramente la vista horizontal y debido a que en ella estamos mirando desde arriba, podemos establecer que el punto A está delante del punto B, es decir, más cerca del plano frontal de proyección y además podemos observar que el punto B esta a la derecha del punto A. Es importante notar que mediante la vista horizontal es imposible establecer cual de los dos puntos está arriba y cual abajo. En cambio en la vista frontal se observa, claramente, que A está encima de B y también, al igual que en la vista horizontal, vemos que B se encuentra a la derecha de A. Aquí también se observará que mediante la vista frontal no se puede establecer qué punto está delante o detrás. Mediante este ejemplo, se observa que con las proyecciones ortogonales se puede establecer la ubicación relativa de dos puntos entre sí. APLICACION A LAS VISIBILIDADES: En el trazado de las proyecciones de un sólido es muy importante indicar las líneas que son visibles y aquellas que son invisibles u ocultas. Las líneas visibles, de acuerdo con las normas del Dibujo Técnico, se trazan con líneas continuas o líneas llenas y las líneas invisibles se trazan con líneas punteadas o discontinuas. En la figura 2.14 se muestran dos cubos. Si se observan las aristas correspondientes en estos dos cubos, se verá que ocupan exactamente la misma posición y lo único que se ha modificado son las visibilidades, En la figura (a) el punto C se considera visible y G invisible, en cambio en la figura (b), G' es visible y C' invisible. Con este ejemplo podemos darnos cuenta de lo importante
que es indicar
correctamente las visibilidades, ya que como se observa, una modificación de ellas cambia totalmente la visualización del sólido en el espacio.
Como otro ejemplo tenemos las tuberías que se muestran en la figura 2.15. En ellas el extremo visible, es decir, el más cercano al observador, se indica convencionalmente con una elipse. Aquí en estas dos tuberías lo único que se ha modificado es 'el extremo visible, pero este simple cambio hace que la idea que se tenga de posición de la tubería en el espacio, sea completamente diferente.
En los planos de proyección, las visibilidades serán las siguientes: VISTA HORIZONTAL: Visibles los puntos que estén arriba.
VISTA FRONTAL:
Invisibles los puntos que estén abajo. Visibles los puntos que.estén delante.
Invisibles los puntos que estén detrás. VISTA DE PERFIL: Visibles los puntos que estén a la derecha Invisibles los puntos que estén a la izquierda.
PROBLEMAS RESUELTOS: Problema 1.-
Determinar las posiciones relativas de los puntos A y B de tos depurados mostrados.
Soluciones: a) En la vista horizontal se determina que A está delante de B. En la vista frontal se observa que B está encima de A. Finalmente tanto en la vista horizontal como en la frontal vemos que B está a la derecha de A. b) delante de A (Determinado en la vista de perfil). B a la derecha de A (En la vista frontal). A encima de B (En la vista frontal o de perfil). Problema 2 Determinar las visibilidades en los extremos de las tuberías mostradas.
