Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku
Kolegij: Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu
METODE KONAČNIH ELEMENATA I KONAČNIH RAZLIKA
Neven Ukrainczyk 3119
Zagreb, travanj 2003.
METODE KONAČNIH ELEMENATA I KONAČNIH RAZLIKA
Sadržaj
I Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 II Bazne funkcije konačnih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 III Ustaljeno vođenje topline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV Neustaljeno vođenje topline topli ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 V Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
METODE KONAČNIH ELEMENATA I KONAČNIH RAZLIKA
Sadržaj
I Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 II Bazne funkcije konačnih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 III Ustaljeno vođenje topline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV Neustaljeno vođenje topline topli ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 V Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
I Uvod
U prvom poglavlju opisana je osnova metode kona čnih elemenata na problemu nalaženja funkcijske veze iz eksperimentalnih podataka. Tom metodom domena rješenja je podijeljena na dovoljno male dijelove, tako da se na svakom takvom dijelu funkcija jednostavno izražava pomoć pomoću izabranih polinomskih funkcija-bazne funkcije. Takvi mali dijelovi područ područja nazivaju se konač kona čni elementi, a sam postupak podjele naziva se diskretizacija na konač konačne elemente ili metoda konač konačnih elemenata. Metoda ima široke granice primjenjivosti jer je jednostavna za algoritmizaciju. Naime, izborom istog oblika kona čnog elementa za diskretizaciju cijelog područ područja, problem se svodi na rješavanje problema na jednom elementu, dok se na ostalima ponavlja, što je prikladno za primjenu elektroni čkih rač računala. U drugom poglavlju prikazana je primjena kod rješavanja diferencijalne jednadžbe stacionarnog vođ vođenja topline, dakle gdje je funkcija za koju se traži približenje zadana diferencijalnim operatorom i određ određenim rubnim uvjetima. U treć trećem poglavlju opisana je osnova metode kona čnih razlika. Prednost metode konač konačnih elemenata nad metodom konač kona čnih razlika jest moguć mogućnost formiranja kompleksnih granica koje definiraju domenu rješenja. U vremenski ovisnim problemima rješenje započ započinje u poč po četnom uvjetu t = 0, i zatim se rač računa svako novo rješenje pri konstantnim vremenom ( t kona čnih > 0) na cijeloj prostornoj domeni rješenja Ω. Stoga nije potrebna fleksibilnost konač elemenata za diskretizaciju vremenske domene nego se koristi metoda kona čnih razlika. Ova metoda je opisana kod rješavanja problema neustaljenog vođ vo đenja topline. Zatim je uzeta kombinacija konač konačnih elemenata, za prostornu domenu i kona čnih razlika za vremensku domenu pri rješavanju nestacionarne advekcijsko-difuzijske jednadžbe – generalizirani oblik jednadžbe prijenosa topline ili tvari.
2
II BAZNE FUNKCIJE KONAČNIH ELEMENATA
Jednodimenzionalno polje Na slici 1.1a prikazan je problem nalaženja matematičkog izraza u(x) koji opisuje jednodimenzionalno polje (npr. izmjerena temperatura u zavisno o duljini šipke x).
Slika 1.1: (a) Distribucija temperature u(x) po duljini šipke. (b) Polinomska funkcijska veza nađena metodom najmanjih kvadrata – neprihvatljive oscilacije između točaka. Jedan od načina nalaženja tražene funkcijske veze jest odabir polinomskog izraza u(x) = a+ 2 3 b x + c x + d x +..., čiji se parametri a, b, c i d određuju metodom najmanjih kvadrata. Povećanjem stupnja polinoma povećava se točnost ovog postupka, ali se javljaju neprihvatljive oscilacije (slika1.1a). Polinomski izraz je prikladan jer se lako derivira i integrira. Stoga je ovaj pristup zadovoljavajući samo za polinome niskog stupnja. Da bi zadržali prednosti a odbacili mane, dijelimo šipku na elemente. Time je omogućeno korištenje polinoma niskog stupnja uz veliku to čnost. Na slici 1.2a temperatura u je prikazana u ovisnosti o duljini luka s. Ukupnu duljinu luka dijelimo na tri elementa i metodom najmanjih kvadrata odredimo linearni polinom koji opisuje funkcijsku ovisnost na pojedinom elementu (slika 1.2b).
Slika 1.2: (a) Izmjerena temperatura u u ovisnosti o duljini luka s. (b) Podjela domene na tri elementa u kojima linearni polinomi opisuju ovisnost.
3
Linearne bazne funkcije Dobivena funkcija u, sastavljena od pojedinačnih linearnih polinoma je prekinuta na spojištima (granicama) elemenata (slika 1.2b). Očigledno je da se mora osigurati barem neprekinutost funkcije, dakle rješenje mora biti najmanje iz klase C 0. Rjeđe se zahtjeva da je prva derivacija neprekinuta, tj. da se približno rješenje traži iz klase C 1. Neprekinutost funkcije u se može osigurati vrijednostima parametara a, b, c..., ali je bolje rješenje zamjena tih parametara s vrijednostima funkcije u na granicama elemenata. Linearna ovisnost između tih dviju vrijednosti za prvi element glasi:
u (ξ ) = (1 − ξ ) u1 + ξ u 2 gdje je ξ (0 ≤ ξ ≤1) normalizirana mjera udaljenosti na krivulji. Definiramo: ϕ 1 (ξ ) = 1 − ξ ϕ 2 (ξ ) = ξ tako da je:
u (ξ ) = ϕ 1 (ξ ) u1
+ ϕ 2 (ξ ) u 2
i nazivamo ih baznim funkcijama pridruženim čvornim parametrima u1 i u2. Bazne funkcije ϕ 1( ξ ) i ϕ 2( ξ ) su linearne i variraju između 0 i 1, kako je prikazano na slici 1.3. To su zapravo Langrangeovi polinomi prvog stupnja, čije se interpolacijske točke nalaze na rubovima elemenata.
Slika 1.3: Linearne bazne funkcije ϕ 1 (ξ ) =1 − ξ i ϕ 2 (ξ ) = ξ Prikladno je uvijek pridružiti čvorni iznos un lokalnom č voru n i zatim prikazati temperaturu U Δ definiranu na globalnom č voru Δ, koja odgovara lokalnom čvoru n elementa e, koristeći matricu pridruživanja Δ(n, e) tj.: u n = U Δ ( n ,e ) gdje je Δ(n, e) broj globalnog čvora koji odgovara lokalnom čvoru n elementa e. To ima prednosti jer interpolacija: u (ξ ) = ϕ 1 (ξ ) u1 + 2 (ξ ) u 2 vrijedi za svaki element, omogućujući da su u1 i u2 korektno identificirani sa svojim globalnim čvorom, kako je prikazano na slici 1.4.
4
Slika 1.4: Odnos globalnih i lokalnih čvorova. Tako je u prvom elementu u interpolirana s:
u (ξ ) = ϕ 1 (ξ ) u1 +
2
(ξ ) u 2
(1.1)
2
(ξ ) u 2
(1.2)
gdje su u1 = U 1 i u2 = U 2. U drugom elementu u je interpolirana s:
u (ξ ) = ϕ 1 (ξ ) u1 +
gdje su u1 = U 2 i u2 = U 3, jer je parametar U 2 zajednički prvom i drugom elementu. Time je osigurano neprekidno temperaturno polje u. Slično, u trećem elementu u je interpolirana sa:
u (ξ ) = ϕ 1 (ξ ) u1 +
2
(ξ ) u 2
(1.3)
gdje je u1 = U 3 i u2 = U 4, sa zajedničkim parametrom U 3 drugog i trećeg elementa. Na slici 1.5 prikazano je temperaturno polje definirano s tri interpolacije (1.1) – (1.3).
Slika 1.5: Izmjereno temperaturno polje opisano čvornim parametrima i linearnim baznim funkcijama, koje je sad neprekinuto na spojištima elemenata.
5
Bazne funkcije – težinske funkcije Bazne funkcije se mogu smatrati kao težinske funkcije čvornog parametra. Tako, u elementu 1 pri ξ = 0 u (0) = (1 − 0) u1 + 0 u 2 koja je jednaka vrijednosti u na lijevom kraju elementa i ne ovisi o u2. Pri ξ =
1
1 1 u ( ) = (1 − ) u1 4 4
4
+
1
3 u 2 = u1 4 4
+
1 4
u2
koja ovisi o u1 i u2, ali je veće težište stavljeno prema u1. Pri ξ =
1
1 1 u ( ) = (1 − ) u1 2 2
2
1
1
1
2
2
2
+ u 2 = u1 + u 2
koja jednako ovisi o u1 i u2. Pri ξ =
3
3 3 u ( ) = (1 − ) u1 4 4
4
3
1
3
4
4
4
+ u 2 = u1 + u 2
koja ovisi o u1 i u2, ali je veće težište stavljeno prema u2. Pri
ξ =1
u (1) = (1 − 1) u1 + 1u 2 = u 2
koja je jednaka vrijednosti u na desnom kraju elementa i ne ovisi o u1. Nadalje ove se težinske funkcije mogu smatrati kao globalne funkcije, kako je to prikazano na slici 1.6, gdje je težinska funkcija ω n pridodijeljena globalnom čvoru n i konstruirana od baznih ( oblikovnih ) funkcija elemenata susjednih tom čvoru. Težinska funkcija se definira na cijelom području, s tim da je intenzivna na ograničenom području, tj. na elementima koji sadrže taj čvor, a izvan toga jednaka je nuli.
Slika 1.6: (a)...(b) Težinske funkcije ω n pridodijeljene globalnim čvorovima n = 1...4. 6
Npr., ω n daje težište globalnom parametru U 2 tako da utjecaj U 2 pada linearno u susjednim elementima čvora 2. Sada imamo definirano temperaturno polje u( ξ ), ali kako nas zanima u(x) moramo odrediti vezu između x i ξ za svaki element. Prikladan način da to odredimo je definirati x kao interpolaciju čvornih vrijednosti x. Npr., za element 1 x(ξ ) = ϕ 1 (ξ ) x1 + 2 (ξ ) x2 gdje je [x1,x2] prvi element. Slično za ostala dva elementa. Ovisnost temperature o x, u(x), je stoga definirana parametarski: u (ξ ) = ϕ n (ξ ) u n
∑ n
x(ξ ) =
∑ϕ (ξ ) x n
n
n
gdje se sumira po svim lokalnim čvorovima (u ovom slučaju samo 2, tj. n = 1,2). Parametar ξ (koordinata elementa) povezuje temperaturu u s fizikalnim položajem x. x( ξ ) daje vezu između matematičkog prostora 0 ≤ ξ ≤ 1 i fizikalnog prostora x1 ≤ x ≤ x2, kako je to ilustrirano slikom 1.7.
Slika 1.7: Veza u i x preko normalizirane kordinate elementa ξ .
7
Kvadratna bazna funkcija Esencijalno svojstvo bazne funkcije jest da bazna funkcija pridružena odre đenom čvoru poprima vrijednost 1 kada je računata za taj čvor, 0 kada je računata za svaki drugi čvor u elementu (samo jedan drugi čvor u slučaju linearne bazne funkcije). To osigurava linearnu ovisnost baznih funkcija. Kod baznih funkcija višeg stupnja klju čno je ustanoviti njen oblik. Npr., za kvadratnu ovisnost u na elementu su potrebna tri čvorna parametra u1, u2 i u3 :
u (ξ ) =
1
(ξ ) u1
+
2
(ξ ) u 2
+
3
(ξ ) u 3
(1.5)
Kvadratne bazne funkcije sa svojim matematičkim izrazima prikazane su na slici 1.8. Kako ϕ 1( ξ ) mora iznositi nula za ξ = 0.5 (čvor 2), ϕ 1( ξ ) ima faktor (ξ - 0.5), a kako mora također biti nula za ξ = 1 (čvor 3), drugi faktor je (ξ - 1). Konačno, kako ϕ 1( ξ ) je 1 za ξ = 0 (čvor 1), imamo ϕ 1( ξ ) = 2 (ξ - 1) (ξ - 0.5). Slično je za druge dvije bazne funkcije.
Slika 1.8: Jednodimenzionalne kvadratne bazne funkcije.
Dvo- i tro-dimenzionalni elementi Dvodimenzionalna bilinearna (linearna na ξ 1 i ξ 2 koordinati) bazna funkcija je konstruirana od produkta prije navedenih jednodimenzionalnih linearnih funkcija,tj:
u (ξ 1 , ξ 2 ) =
1
(ξ 1 , ξ 2 ) u1
+
2
(ξ 1 , ξ 2 ) u 2
+ ϕ 3 (ξ 1 , ξ 2 ) u 3 +
4
(ξ 1 , ξ 2 ) u 4
gdje je 1
(ξ 1 , ξ 2 ) = (1 − ξ 1 ) (1 − ξ 2 )
ϕ 2 (ξ 1 , ξ 2 ) = ξ 1 (1 − ξ 2 ) ϕ 3 (ξ 1 , ξ 2 ) = (1 − ξ 1 ) ξ 2 ϕ 4 (ξ 1 , ξ 2 ) = ξ 1 ξ 2
8
Treba uočiti da je
1
(ξ 1 , ξ 2 ) = ϕ 1 (ξ 1 ) ϕ 1 (ξ 2 ) , gdje su ϕ 1 (ξ 1 ) i
1
(ξ 2 ) jednodimenzionalne
bazne funkcije. Slično, ϕ 2 (ξ 1 , ξ 2 ) = ϕ 2 (ξ 1 ) 1 (ξ 2 ) ... itd. Ove četiri bilinearne bazne funkcije su prikazane na slici1.9.
Slika 1.9: Dvodimenzionalne bilinearne bazne funkcije.
Primjećujemo da
n
(ξ 1 , ξ 2 ) iznosi 1 pri čvoru n a nula pri druga tri čvora. To osigurava da
temperatura u (ξ 1 , ξ 2 ) poprima doprinos od svakog čvornog parametra un težinski s
n
(ξ 1 , ξ 2 ) .
Kada je u (ξ 1 , ξ 2 ) određen pri čvoru n,on poprima vrijednost un. Kao i prije, geometrija elementa je definirana obzirom na pozicije čvorova (xn ,yn), n = 1...4 sa = ϕn (ξ1 , ξ 2 ) xn
∑ n
y=
∑ ϕ (ξ , ξ ) y n
1
2
n
n
što nam daje vezu između matematičkog prostora 0
≤ ξ 1 ,ξ 2 ≤ 1 i fizikalnog prostora x1 ≤ x ≤
x2; y1 ≤ y ≤ y2. Dvodimenzijske bazne funkcije višeg stupnja se može slično konstruirati od prikladnih jednodimenzijskih baznih funkcija. Npr., 6-tero čvorni kvadratno-linearni element (kvadratnana na ξ 1 a linearna na ξ 2 koordinati) (slika 1.10) će imati: 6
u
= ∑ ϕ n (ξ 1 , ξ 2 ) u n n =1
9
gdje je ϕ 1 (ξ 1 , ξ 2 ) = 2 (ξ 1
− 1) (ξ 1 − 0.5)(1 − ξ 2 ) ϕ 3 (ξ 1 , ξ 2 ) = 2 ξ 1 (ξ 1 − 0.5)(1 − ξ 2 ) ϕ 5 (ξ 1 , ξ 2 ) = 4ξ 1 (1 − ξ 1 ) ξ 2
ϕ 2 (ξ 1 , ξ 2 ) = 4 ξ 1 (1 − ξ 1 ) (1 − ξ 2 )
(1.7)
ϕ 4 (ξ 1 , ξ 2 ) = 2 (ξ 1
(1.8)
− 1) (ξ 1 − 0.5)ξ 2 ϕ 6 (ξ 1 , ξ 2 ) = 2ξ 1 (ξ 1 − 0.5) ξ 2
(1.8)
Slika 1.10: Kvadratno-linearni element s 6 čvorova (broj čvora je zaokružen). Trodimenzionalne bazne funkcije su slično formirane, npr., trilinearni element ima 8 čvorova (slika 1.11) s ovim baznim funkcijama: ϕ 1 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = (1 − ξ 1 )(1 − ξ 2 )(1 − ξ 3 )
ϕ 2 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ξ 1 (1 − ξ 2 ) (1 − ξ 3 )
(1.10)
ϕ 3 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = (1 − ξ 1 ) ξ 2 (1 − ξ 3 )
ϕ 4 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ξ 1 ξ 2 (1 − ξ 3 )
(1.11)
ϕ 5 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = (1 − ξ 1 ) (1 − ξ 2 ) ξ 3
ϕ 6 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ξ 1 (1 − ξ 2 ) ξ 3
(1.12)
ϕ 7 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = (1 − ξ 1 ) ξ 2 ξ 3
ϕ 8 (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ξ 1 ξ 2 ξ 3
(1.13)
Slika 1.11: Trilinearni element s 8 čvorova.
10
Neprekinutost višeg reda Do sada razmatrane Langrangeove bazne funkcije ostvaruju neprekinutost prvog reda funkcije u na spojištima elemenata. Ponekad je poželjno koristiti bazne funkcije koje osiguravaju neprekinutost derivacija funkcije u po ξ . Prikladan način da se to postigne jest uvođenje ⎛ du ⎞ dodatna dva čvorna parametra ⎜⎜ ⎟⎟ . Bazne funkcije su birane tako da osiguraju: d ξ ⎝ ⎠ n
⎛ du ⎞ = ⎜ ⎟ = u1′ dξ ξ = 0 ⎝ dξ ⎠1 du
i
⎛ du ⎞ = ⎜ ⎟ = u2′ dξ ξ =1 ⎝ dξ ⎠ 2 du
a kako je un zajednički susjednim elementima, neprekinutost prve derivacije je osigurana. Sada imamo 4 čvorna parametara po elementu i stoga su bazne funkcije kubne po ξ. Izvedimo te kubne Hermitove bazne funkcije:
u (ξ ) = a + b ξ + cξ 2 du
+ d ξ 3
= b + 2 c ξ + 3 d ξ 2
d ξ i nametnimo ograničenja
u (0) = a = u1 u (1) = a + b + c + d = u 2 du d ξ du d ξ
(0) = b = u1′ (1) = b + 2 c + 3 d = u ′2
Rješenjem ove četiri jednadžbe sa četiri nepoznanice a, b, c i d
a = u1 b = u1′ c = 3 u2 − 3 u1 − 2 u1′ − u2′ d
= u1′ + u2′ + 2 u1 − 2 u 2
Uvrštenjem a, b, c i d natrag u glavnu izvornu kubnu jednadžbu
u (ξ ) = u1
+ u1′ ξ + (3 u 2 − 3 u1 − 2 u1′ − u ′2 ) ξ 2 + (u1′ + u 2′ + 2 u1 − 2 u 2 ) ξ 3
ili, sređivanjem,
u (ξ ) = Ψ10 (ξ ) u1 + Ψ11 (ξ ) u1′ + Ψ20 (ξ ) u 2
+ Ψ21 (ξ ) u ′2
(1.14)
gdje su Hermitove bazne funkcije prikazane na slici 1.12.
11
Slika 1.12: Kubne Hermitove bazne funkcije. Kod praktične primjene kubnih Hermitovih funkcija kortisti se derivacija u globalnom ⎛ du ⎞ , gdje je s duljina luka. Tada je čvoru ⎜ ⎟ ⎝ ds ⎠ n
⎛ ds ⎞ ⎛ du ⎞ ⎛ du ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ d ξ ds ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n Δ ( n ,e ) ⎝ d ξ ⎠ n gdje je
(1.15)
⎛ ds ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ faktor pretvorbe koji pretvara derivaciju po duljini luka globalnog čvora Δ u ξ⎝ d ξ ⎠ n
koordinatnu derivaciju lokalnog čvora n. Tako je elemenata radije nego
du d ξ
du ds
primoran biti neprekinuti na spojištima
. Dvodimenzijska bikubna Hermitova bazna funkcija zahtijeva ove
derivacije po čvoru:
∂u ∂u ∂ 2 u , , u, ∂ξ 1 ∂ξ 2 ∂ξ 1∂ξ 2 Slijedi objašnjenje za derivaciju drugog reda. Ako je u kubna duž ξ 1 i kubna po ξ 2, tada je ∂u ∂u kvadratna po ξ 1 a kubna po ξ 2, a je kubna po ξ 1 a kvadratna po ξ 2. Sada razmotrimo ∂ξ 1 ∂ξ 2 stranu 1-3 na slici 1.13. Kubna ovisnost u duž ξ 2 je specificirana sa četiri čvorna parametara
⎛ ∂u ⎞ ⎛ u ⎞ ⎟⎟ , u 3 , ⎜⎜ ∂ ⎟⎟ . ⎝ ∂ξ 2 ⎠1 ⎝ ∂ξ 2 ⎠ 3
u1 , ⎜⎜
Kako je
∂u ∂ξ 1
također kubna po ξ 2 i potpuno neovisna o ova četiri
12
parametra, zahtijevamo četiri dodatna parametra za njenu specifikaciju. Dva su već
⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎟⎟ i ⎜⎜ ⎟⎟ , specificirana sa ⎜⎜ ⎝ ∂ξ 1 ⎠1 ⎝ ∂ξ 1 ⎠ 3
a ostala dva su
Slika 1.13: Interpolacija
⎛ ∂ 2 u ⎞ ⎛ ∂ 2u ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ i ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ ∂ξ 1∂ξ 2 ⎠1 ⎝ ∂ξ 1∂ξ 2 ⎠ 3
∂u ∂ξ 1
duž stranice 1-3.
Bikubna interpolacija sa navedenim čvornim parametrima glasi
u (ξ 1 , ξ 2 ) = Ψ10 (ξ 1 ) Ψ10 (ξ 2 ) u1 + Ψ20 (ξ 1 )Ψ10 (ξ 2 ) u 2
+ + Ψ10 (ξ 1 )Ψ20 (ξ 2 ) u 3 + Ψ20 (ξ 1 )Ψ20 (ξ 2 ) u 4 + ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎟⎟ + + Ψ11 (ξ 1 )Ψ10 (ξ 2 ) ⎜⎜ ⎟⎟ + Ψ21 (ξ 1 )Ψ10 (ξ 2 ) ⎜⎜ ξ ξ ⎝ ∂ 1 ⎠1 ⎝ ∂ 1 ⎠ 2 ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎟ + Ψ21 (ξ 1 )Ψ20 (ξ 2 ) ⎜⎜ ∂u ⎟⎟ + + Ψ11 (ξ 1 )Ψ20 (ξ 2 ) ⎜⎜ ⎝ ∂ξ 1 ⎠ 3 ⎝ ∂ξ 1 ⎠ 4 ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎟ + Ψ20 (ξ 1 )Ψ21 (ξ 2 ) ⎜⎜ ∂u ⎟⎟ + + Ψ10 (ξ 1 )Ψ11 (ξ 2 ) ⎜⎜ ⎝ ∂ξ 2 ⎠1 ⎝ ∂ξ 2 ⎠ 4 ⎛ ∂ 2 u ⎞ ⎛ ∂ 2 u ⎞ 1 1 1 1 ⎟⎟ + Ψ2 (ξ 1 )Ψ1 (ξ 2 ) ⎜⎜ ⎟⎟ + + Ψ1 (ξ 1 )Ψ1 (ξ 2 ) ⎜⎜ ξ ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ 1 2 ⎠1 ⎝ 1 2 ⎠ 2 ⎛ ∂ 2 u ⎞ ⎛ ∂ 2 u ⎞ 1 1 1 1 ⎟⎟ + Ψ2 (ξ 1 )Ψ2 (ξ 2 ) ⎜⎜ ⎟⎟ + Ψ1 (ξ 1 )Ψ2 (ξ 2 ) ⎜⎜ ξ ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ 1 2 ⎠ 3 ⎝ 1 2 ⎠ 4
(1.16)
gdje su
Ψ10 (ξ ) =1 − 3ξ 2 + 2 ξ 3 Ψ11 (ξ ) = ξ (ξ − 1) 2 Ψ 02 (ξ ) = ξ 2 (3 − 2 ξ ) Ψ12 (ξ ) = ξ 2 (ξ − 1)
(1.17)
jednodimenzionalne kubne Hermitove bazne funkcije (slika 1.12).
13
Slično 1D slučaju, da bi zadržali neprekinute derivacije po fizikalnoj x-koordinati kao i po ξ koordinati, derivacije globalnog čvora moraju biti po fizikalnoj duljini luka. To su dvije duljine luka: s1, duž ξ 1-koordinate i s2, duž ξ 2-koordinate. Tako
⎛ ∂s1 ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ξ s ∂ ∂ ⎝ 1 ⎠ n ⎝ 1 ⎠ Δ ( n,e ) ⎝ ∂ξ 1 ⎠ n ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂s 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ξ ξ s ∂ ∂ ∂ ⎝ 2 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ Δ (n ,e ) ⎝ 2 ⎠ n ⎛ ∂ 2 u ⎞ ⎛ ∂ 2 u ⎞ ⎛ ∂s1 ⎞ ⎛ ∂s 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ξ ξ ξ ξ s s ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ 1 2 ⎠ n ⎝ 1 2 ⎠ Δ ( n,e ) ⎝ 1 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ n
(1.15)
⎛ ∂s1 ⎞ ⎛ ∂s 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ i ⎜⎜ ⎟⎟ faktor pretvorbe koji pretvara derivaciju po duljini luka globalnog ξ ξ ∂ ∂ ⎝ 1 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ n čvora Δ u ξ-koordinatnu derivaciju lokalnog čvora n. gdje je
Bikubna Hermitova bazna funkcija je moćni alat za opis zakrivljenih površina. Slika 1.14 prikazuje četvero-elementnu bikubnu Hermitovu površinu u 3D prostoru, gdje svaki čvor ima sljedećih 12 parametara:
∂x ∂x ∂ 2 x ∂y ∂y ∂ 2 y ∂z ∂z ∂ 2 z , , , y, , , , z , , . i x, ∂s1 ∂s 2 ∂s1∂s 2 ∂s1 ∂s 2 ∂s1∂s 2 ∂s1 ∂s 2 ∂s1∂s 2
Slika 1.14: Površina formirana sa četiri bikubna Hermitova elementa.
Trokutni konačni element Logičkim proširenjem 1D konačnog elementa za još jednu dimenziju dobije se trokutni element, kao najjednostavniji dvodimenzionalni element. Trokutni elementi ne mogu koristiti ranije definirane ξ 1 i ξ 2 koordinate za tenzorski produkt elemenata (tj., 2D i 3D elementi čije su bazne funkcije formirane kao produkt 1D bazne funkcije). Prirodne koordinate trokuta su bazirane na odnosima površine, a zovu se površinske koordinate . Uzmimo površinu formiranu točkama 2, 3 i P(x.y) na slici 1.15 i stavimo je u omjer s ukupnom površinom trokuta:
14
Slika 1.15: Poovršinske kordinate za trokutasti element: 1 x y 1 1 x1 y1 2 1 x2 y2 a + b x + c1 y Površina ( P 23) L1 = = = 1 1 Površina (123) 2Δ Δ
1 x1 y1 gdje je
Δ = 1 x2 y 2
površina trokuta s vrhovima 123, a a1
= x 2 y3 − x3 y 2 , b1 = y 2 − y3 ,
1 x3 y 3 c1
= x3 − x 2 .
Vidimo da je L1 linearna funkcija x i y. Slično, površinske koordinate za druga
dva trokuta, koji sadrže P(x,y) i dva vrha su: 1
L2
=
Površina ( P 13) Površina(123)
2
=
gdje je a 2
c3
=
Površina( P 12) Površina (123)
1 x3 y 3 1 x1 y1
Δ 1
L3
1 x y
2
=
=
a2
+ b2 x + c 2 y 2Δ
=
a3
+ b3 x + c3 y 2Δ
1 x y 1 x1 y1 1 x2 y 2
Δ
= x3 y1 − x1 y3 , b2 = y 3 − y1 , c 2 = x1 − x3 , i a3 = x1 y 2 − x 2 y1 , b3 = y1 − y 2 ,
= x 2 − x1 . Uočimo da je L1+L2+L3 = 1.
Površinska koordinata L1 se mijenja linearno od L1 = 0, kada P leži na čvoru 2 ili 3, do L1 = 1, kada P leži na čvoru 1. Dakle, L1 se može direkno koristiti kao bazna funkcija za čvor 1. Interpolacija preko cijelog trokuta je
u ( x, y ) = gdje je
1
= L1 ,
2
= L2 i
ϕ 3
1
( x, y ) u1
+
2
( x, y ) u 2
+
3
( x, y ) u 3
=1 − L1 − L2 . 15
Trokutni element sa kvadratnim baznim funkcijama i šest čvorova prikazan je na slici 1.16.
Slika 1.16: Kvadratne bazne funkcije za 6 čvorni element.
Krivocrtni koordinatni sustav Ponekad je pogodno koristiti krivocrtni koordinatni sustav za tvorbu domene kona čnih elemenata iznad koje će se tražiti rješenje. Npr., kružni vijenac, sa dva globalna čvora r = r 1 i r = r 2, se može prikazati elementom u cilindričnim (r,Θ )-koordinatama (slika 1.17).
Slika 1.17: Definiranje kružnog vijenca sa elementom u cilindričnim koordinatama. Na slici vidimo da se vrhovi (lokalni čvorovi) 1 i 2 elementa u (r,Θ )- ili (ξ 1,ξ 2)-koordinatama preslikavaju na globalni čvor 1 u ( x,y)-koordinatama. Slično, vrhovi 3 i 4 elementa se preslikavaju na globalni čvor 2. Vrijednosti ( r ,Θ )-koordinata za bilo koju (ξ 1,ξ 2) točku su date bilinearnom interpolacijom čvorova r n i Θ n kao
r =
n
(ξ 1 , ξ 2 ) r n
Θ = ϕ n (ξ 1 , ξ 2 ) Θ n gdje su ϕ n (ξ 1 , ξ 2 ) date sa (1.6).
16
III USTALJENO VOĐENJE TOPLINE
Jednodimenzionalno stacionarno vođenje topline Iz jednostavne bilance topline infinitezimalnog dijela materijala dobivamo: Promjena toplinskog fluksa = generacija topline d dx
(toplinski fluks ) + gubitak topline = 0
d ⎛
du ⎞ ⎜ − k ⎟ + q (u , x) = 0 dx ⎝ dx ⎠ gdje je u temperatura, x duljina štapa, q (u , x ) gubitak topline i k toplinska vodljivost (W/(moC)). Razmotrimo slučaj q = u
−
d ⎛ du ⎞ ⎜ k ⎟ + u dx ⎝ dx ⎠
=0
0 < x <1
( 2.1)
s graničnim uvjetima: u(0) = 0 i u(1) = 1 . Ova jednadžba (uz k = 1) ima egzaktno rješenje u ( x) =
e e
2
−1
(e x
− e −x )
(2.2)
s kojim možemo uspoređivati aproksimativno rješenje konačnim elementima. Da bi rješili jednadžbu (2.1) metodom konačnih elemenata potrebni su ovi koraci: 1. Pisanje jednadžbe u integralnom obliku. 2. Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Greenovog teorema (2D i 3D) za snižavanje reda derivacije. 3. Aproksimacija temperaturnog polja konačnim elementima. 4. Integracije na elementima za izračunavanje elementna matrice toplinske vodljivosti i vektora toplinskog toka. 5. Slaganje globalne jednadžbe. 6. Primjena graničnih uvjeta. 7. Rješenje globalne jednadžbe. 8. Izračunavanje toplinskih tokova.
1. Integralna jednadžba Umjesto direktnog rješavanja (2.1), formira se težinski ostatak
∫ R ω dx = 0
( 2.3)
17
gdje je R ostatak R
=−
d ⎛ du ⎞ ⎜ k ⎟ + u dx ⎝ dx ⎠
(2.4)
za aproksimativno rješenje u i težinsku test funkciju ω (izabrana kasnije). Ako je u egzaktno rješenje na cijeloj domeni, ostatak R je svugdje nula. Ali u stvarnosti pokušavamo obuhvatiti rješenje u za koje će ostatak (pogreška, tj., iznos za koji diferencijalna jednadžba ne zadovoljava egzaktno u datoj točki) biti jednoliko distribuiran po domeni. Uvrštenjem (2.4) u (2.3) imamo 1
⎧ d ⎛ du ⎞
⎫
∫ ⎨⎩− dx ⎜⎝ k dx ⎟⎠ω + u ω ⎬⎭dx = 0
(2.5)
0
Ova jednadžba tjera ostatak (pogrešku) prema nuli u prostorno srednjem smislu. To čnije, ω je birana tako da je ostatak držan okomit na funkcije korištene za aproksimaciju u (vidi niže korak 3).
2. Parcijalna intergracija Velika prednost integralne jednadžbe je mogućnost smanjenja reda derivacije parcijalnom du integracijom. Supstitucijom u=ω i v = − k u formulu za parcijalnu integraciju dx dv du u dx = u v − v dx dx dx daje
∫
∫
1
⎡ ⎛ du ⎞ ⎤ 1 ⎛ du ∫ 0 ω dx ⎜⎝ − k dx ⎟⎠ dx = ⎢⎣ω ⎜⎝ − k dx ⎟⎠ ⎥⎦ 0 − ∫ 0 ⎜⎝ − k dx 1
d ⎛
du ⎞
d ω ⎞ dx
⎟dx ⎠
pa uvrštenjem u (2.5) imamo
⎛ ⎛ du ∫ 0 ⎜⎜⎝ ⎜⎝ k dx 1
1
⎞ ⎡ du ⎤ ⎟ + uω ⎟⎟ dx = ⎢k ω ⎥ dx ⎠ ⎣ dx ⎦ 0 ⎠
d ω ⎞
(2.6)
3. Aproksimacija kona čnim elementima Podjelimo domenu 0 < x < 1 na tri jednaka elementa i zamjenimo kontinuiranu veličinu u(x) na svakom pojedinom elementu parametarski zadanom aproksimacijom konačnih elemenata
u (ξ ) = ϕ1 (ξ ) u1 + ϕ 2 (ξ ) u 2
= ∑ϕ n (ξ ) u n n
x(ξ ) = ϕ1 (ξ ) x1 + ϕ 2 (ξ ) x2
= ∑ ϕ n (ξ ) x n n
18
(sumacija po ponovljenim indeksima) gdje su
1
(ξ ) =1 − ξ su
2
(ξ ) = ξ linearne bazne
funkcije. Za test funkciju biramo ω = ϕ m (Galjerkinova pretpostavka). To prisiljava da ostatak R bude okomit na bazne funkcije. Time je osigurano da ostatak (pogreška) monotono opada porastom broja elemenata (vidi poslije dokaz ovog vrlo važnog koraka). Integral u (2.6) podijelimo na integrale po elementima 1
2
1
3
3
1
0
0
1
2
3
3
∫ ..dx = ∫ ..dx + ∫ ..dx + ∫ ..dx i svaki prebacimo u ξ -koordinatu x2
1
x1
0
∫ ..dx = ∫ ..J dξ
gdje je J =
dx d ξ
Jacobijeva determinanta za transformaciju iz x-koordinata u ξ -koordinate.
4. Integracije na elementima Integracije na elementima dobivamo iz lijeve strane jednadžbe (2.6) 1
⎛ k du d ω + u ω ⎞ J d ξ ⎟ ∫ 0 ⎜⎝ dx dx ⎠ gdje je u =
∑ϕ
n
un i ω = ϕ m . Kako su
n
(2.7)
i ϕ m funkcije od ξ , njihove derivacije po x treba
n
pretvoriti u derivacije po ξ
∑ n
⎛ dϕm dξ d ϕ n d ξ ⎞ k + ϕ ϕ ∫ 0 ⎜⎝ dξ dx dξ dx n m ⎟⎠ J dξ 1
un
(2.8)
gdje je un stavljen ispred integrala, jer nije funkcija od ξ . Iz odnosa, x:ξ = 1:3, Jacobian je dx 1 = . Izraz koji množi čvorni parametar un, se zove elementna matrica toplinske J = d ξ 3 vodljivosti, E mn 1 ⎛ d ϕ m d ξ d ϕ n d ξ ⎞ ⎛ d ϕ d ϕ ⎞ + ϕ nϕ m ⎟⎟ J d ξ = ∫ ⎜⎜ k m 3 n 3 + ϕ nϕ m ⎟⎟ J d ξ E mn = ∫ ⎜⎜ k d ξ dx d ξ dx d ξ d ξ ⎠ ⎠ 0 ⎝ 0 ⎝ 1
gdje su indeksi, m i n 1 ili 2. Da izračunamo E mn, uvrstimo bazne funkcije
ϕ 1 (ξ ) = 1 − ξ
ili
ϕ 2 (ξ ) = ξ
ili
d
1
d ξ d ϕ 2 d ξ
= −1 =1
Tako,
19
1 ⎛ ⎛ d ϕ 1 ⎞ 2 ⎞ 1 1 1⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎟ + ϕ 1 d ξ = ∫ (9 k (−1) 2 + (1 − ξ ) 2 )d ξ = ⎛ E 11 = ∫ 9 k ⎜⎜ 9 k + ⎟ ⎜ ⎟ 3 0 ⎜ ⎝ d ξ ⎠ 30 3 ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
1
1
i, slično; 1 1⎞ = E 21 = ⎛ ⎜ − 9 k + ⎟ 3 ⎝ 6⎠ 1 ⎛ 1⎞ E 22 = ⎜ 9 k + ⎟ 3 ⎝ 3⎠ ⎡ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎜ − 9 k + ⎟⎥ ⎢ 3 ⎜ 9 k + 3 ⎟ 3 ⎝ 6⎠ ⎠ ⎥ = ⎢ ⎝ ⎢ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎥ − 9 k + 9 k + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢3 6 ⎠ 3 ⎝ 3⎠ ⎦ ⎣ ⎝ E 12
E mn
Vidimo da je elementna matrica toplinske vodljivosti simetri čna. Također primjećujemo da je matrica toplinske vodljivosti, u ovom slu čaju, ista za sve elemente. Zbog pojednostavljenja stavimo da je k = 1. 5. Slaganje globalne jednadžbe Tri elementne matrice topl. vodljivosti (s k = 1) su složene u jednu globalnu matricu topl. vodljivosti. To je ilustrirano na slici 2.1, gdje je redak matrice 1,...,4 formiran od globalne težišne funkcije pridružene čvoru 1,...,4.
Slika 2.1: Redovi globalne matrice je formiran od globalnih težišnih funkcija. Vidimo se kako svaka elementna matrica (2x2 na slici2.1) preklapa sa svojom susjednom, jer sadrže zajednički susjedni globalni čvor. Slaganjem dobivamo ⎡ 28 ⎢ 9 ⎢ ⎢ − 53 ⎢ 18 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣
−
53
18 28 28 9
−
+
0
−
53
9 53
18 28 28
18
9
0
−
+
9 53
18
⎤ ⎥ ⎥ ⎡ U ⎤ 1 = Vektor toplinskog toka 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢U 2 ⎥⎥ ⎥ 53 ⎢U ⎥ − ⎥⎢ 3⎥ 18 ⎥ ⎣U 4 ⎦ 28 ⎥ ⎥ 9 ⎦ 0
20
Prvi red matrice (koji generira toplinski tok na čvoru 1) ima nule koje množe U 3 i U 4 jer čvorovi 3 i 4 nemaju direktnu vezu sa baznim funkcijama čvora 1. Dakle, globalna matrica je rijetka matrica, jer su bazne funkcije lokalizirane na elementima. Desna strana jednadžbe (2.6) je x =1
⎡k du ω ⎤ = ⎛ k du ω ⎞ − ⎛ k du ω ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎣ dx ⎥⎦ ⎝ dx ⎠ x =1 ⎝ dx ⎠ x =0 x =0
(2.9)
Da izračunamo ove izraze promotrimo težinske funkcije ω koje odgovaraju pojedinom globalnom čvoru (pogledaj sliku 1.6). Za čvor 1 ω 1 je oblikovana od bazne funkcije ϕ 1 koja je pridodjeljene prvom čvoru elementa 1, i stoga ω 1 x =0 = 1. Također, kako je 1 identična nuli izvan elementa 1 ω 1
x =1
= 0. Time se (2.9) za čvor 1 reducira na x =1
⎡k du ω ⎤ = −⎛ k du ⎞ = ulaz toplinskog toka za č vor 1 . ⎜ ⎟ ⎢⎣ dx 1 ⎥⎦ ⎝ dx ⎠ x =0 x =0 Slično, za čvor 2 i 3 imamo x =1
⎡k du ω ⎤ = 0 ⎢⎣ dx n ⎥⎦ x =0
(č vor 2 i 3)
i x =1
⎡ k du ω ⎤ = ⎛ k du ⎞ = ulaz toplinskog toka za č vor 4. ⎜ dx ⎟ ⎢⎣ dx 4 ⎥⎦ ⎝ ⎠ x =1 x =0 Da se naglasi da su to toplinski tokovi ostavljen je op ći k . Sastavljanjem tih globalnih jednadžbi dobiva se
⎡ 28 ⎢ 9 ⎢ ⎢ − 53 ⎢ 18 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ ili
−
53
18 28 28 9
−
+
0
−
53
9 53
18 28 28
18
9
0
−
+
9 53
18
⎤ ⎡ ⎛ du ⎞ ⎤ ⎥ ⎥ ⎡U ⎤ ⎢ − ⎜⎝ k dx ⎟⎠ ⎥ x =0 ⎥ 1 ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢U 2 ⎥ ⎥ =⎢ ⎥ 53 ⎥ ⎢U 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ − ⎢ ⎥ ⎥ 18 ⎥ ⎣U 4 ⎦ ⎢ ⎛ du ⎞ ⎢ ⎜ k ⎟ ⎥ 28 ⎥ ⎢⎣ ⎝ dx ⎠ x =1 ⎥⎦ ⎥ 9 ⎦ 0
(2.10)
K u = f
gdje je K globalna matrica toplinske vodljivosti, u vektor nepoznanica i f globalni vektor toplinskog toka. Da smo u diferencijalnoj jednadžbi imali izraz za distribuirani izvor topline koji je neovisan o temperaturi u, on bi se u težinskom integralu pojavio na desnoj strani jednadžbe (2.10). Nadalje, ako je izvor topline funkcija od x, doprinos svakog elementa je razli čit.
21
6. Granični uvjeti Granični uvjeti u (0) = 0 i u (1) = 1 su primijenjeni direktno na prvi i zadnji čvor, tj. U 1 = 0 i U 4 = 1. Ovi tzv. nužni granični uvjeti zamjenjuju prvi i zadnji red u globalnoj jednadžbi (2.10), gdje su toplinski tokovi na desnoj strani jednadžbe nepoznati.
=0
U 1
−
53 18
U1 +
56
53
U 3 =0 18 53 56 53 − U 2 + U 3 − U 4 = 0 18 9 18 U 4 =1 9
U2 −
Da su primijenjeni grani čni uvjeti toplinskih tokova (Neumanovi uvjeti) umjesto nužnih graničnih uvjeta (Dirichletovi uvjeti), poznate vrijednosti tokova bi uvrstili u desnu stranu jednadžbe (2.10) a vrijednost U na čvoru bi ostao nepoznat u sustavu jednadžbi. Kod toplinski izoliranih granica tok bi bio nula (prirodni granični uvjeti). Barem jedan nužni granični uvjet mora biti primjenjen. 7. Rješenje Rješenje sustava jednadžbi je: U 2 = 0.2885 i U 3 = 0.6098. Iz (2.2) egzaktno rješenje za te točke je 0.2882 i 0.6102. Rješenje kona čnim elementima je prikazano na slici 2.2. 8. Toplinski tokovi Toplinski tokovi za čvor 1 i 4 su izra čunati uvrštenjem čvornih rješenja U 1 = 0, U 2 = 0.2885, U 3 = 0.6098 i U 4 = 1 u (2.10) ⎛ du ⎞ = −0.8496 (k = 1 ; egzaktno rješenje 0.8509) ulaz toplinskog toka za č vor 1 = −⎜ k ⎟ ⎝ dx ⎠ x =0
⎛ ⎝
ulaz toplinskog toka za č vor 4 = ⎜ k
du ⎞
⎟
dx ⎠ x =1
= 1.3157
( k = 1 ; egzaktno rješenje 1.3131)
Toplinski tokovi su prikazani na slici 2.2.
Slika 2.2: Rješenje 1D vo đenja topline metodom konačnih elemenata. 22
Galjerkinova pretpostavka Ključna ideja Galjerkinove metode konačnih elemenata je izbor težinskih (test) funkcija koje su okomite na jednadžbu ostatka. Ova ideja je ilustrirana na slici 2.3. Na slici 2.3a egzaktni vektor ue (leži u 3D prostoru) je aproksimiran s vektorom u = u1 1, gdje je 1 bazni vektor duž prve koordinatne osi (jedan stupanj slobode sustava). Razlika egzaktnog vektora ue i približnog vektora u je ostatak ili pogreška r = ue - u (crtkana linija na slici2.3a).
Slika 2.3: Osiguravanje okomitosti vektora ostatka r i baznih vektora metodom, povečanjem i od (a) 1, (b) 2 do (c) 3.
i
Galjerkinovom
Galjerkinova metoda minimizira ovaj ostatak, čineći ga okomitim na i a stoga i na približni vektor u. Ako je dodan drugi stupanj slobode (druga koordinatna os na slici 2.3b), približni vektor je u = u1 1 + u2 2, gdje je ostatak tako đer okomit na 2 i stoga na u. S tri stupnja slobode (treća koordinatna os na slici 2.3c), približni vektor je u = u1 1 + u2 2 + u3 3 koji rezultira s pogreškom (koja je tako đer okomita na 3 smanjenom na nulu u = ue. Za 3D vektorski prostor potrebne su samo tri bazna vektora (tir osi) koji reprezentatiraju egzaktni vektor u. Međutim, u beskonačno-dimenzijskom vektorskom prostoru pridodjeljenom prostornom kontinuiranom polju u(x), treba nametnuti ekvivalent uvjetu okomitosti R ϕ dx = 0 za svaku baznu funkciju ϕ korištenu za aproksimaciju u(x). Tom analogijom
(∫
)
ostatak je postavljen okomito na dane bazne funkcije, čime je on minimiziran (u smislu najmanjih kvadrata) za dati broj stupnjeva slobode. Pove ćanjem broja stupnja slobode (ili porastom broja elemenata) pogreška monotono opada.
Integralno kvadratična aproksimacija funkcije Pokazuje se da izbor iste bazne funkcije za približenje i težinske (test) funkcije odgovara integralnoj kvadrati čnoj aproksimaciji. Naime, ako se usvoje kriteriji minimizacije odstupanja funkcije od njenog približenja u obliku najmanjih kvadrata odstupanja tj. ako se traži najmanja vrijednost integrala:
23
∫
I = r 2 d Ω = Ω
∫ (u ( x) − u ϕ ) d Ω 2
e
n
n
Ω
tada iz uvjeta
∂I =0 ∂u m slijedi: 1
∫ (u ( x) − u ϕ )ϕ d Ω = 0
2Ω
e
n
n
m
što u potpunitosti odgovara izboru test funkcija u obliku
= ϕ m . što daje sustav jednadžbi iz kojeg se odrede parametri un:
a mn
= ∫ ϕ nϕ m d Ω Ω
;
bm
= ∫ u e ( x)d Ω Ω
Dvo- i tro-dimenzionalno stacionarno vo đenje topline Proširenjem (2.1) na 2D i 3D prostor pove ćava se kompleksnost problema. Uzmimo 3D jednadžbu stacionarnog vođenja topline bez izvora topline
−
∂ ⎛ du ⎞ ∂ ⎛ du ⎞ ∂ ⎛ du ⎞ ⎜ k ⎟ − ⎜ k ⎟ − ⎜ k ⎟ = 0 ∂x ⎝ x dx ⎠ ∂y ⎜⎝ y dy ⎟⎠ ∂z ⎝ z dz ⎠
gdje su k x, k y, i k z toplinske vodljivosti u smjeru x, y i z osi. Ako je materijal izotropan, k x = k y= k z = k , pa gornju jednadžbu pišemo
− ∇ ( k ∇ u ) =
0
(2.11)
i, ako je k prostorno konstantan (u slu čaju homogenog materijala) dolazimo do Laplaceove jednadžbe k ∇ 2 u = 0. Razmatrat ćemo rješenje (2.11) iznad domene Ω s graničnim uvjetima na Γ (slika 2.4)
Slika 2.4: Domena Ω definirana granicom Γ. 24
Integralna jednadžba je
∫ − ∇ (k ∇u) ω d Ω = 0
(2.12)
Ω
Multi-dimenzionalni ekvivalent parcijalne integracije je Green-Gaussov teorem:
∫ ( f ∇ ∇g + ∇f ∇g ) d Ω = ∫ f
Ω
Γ
∂g d Γ ∂n
(2.13)
Uzmimo da je f = ω , g = − k u (pretpostavimo da je k konstantan) i smanjimo red derivacije
∫ − ∇ (k ∇u ) ω d Ω = ∫ k ∇u ∇ω d Ω − ∫ k
Ω
Ω
Γ
∂u ω d Γ ∂n
(2.14)
što možemo usporediti s parcijalnom integracijom x
∫− x
2 d ⎛ du ⎞ du d ω du ⎤ ⎡ dx − ⎢ k ω ⎥ ⎜ k ⎟ ω dx = k dx ⎝ dx ⎠ dx dx ⎣ dx ⎦ x1 x
∫
Koriste ći (2.14) u (2.12) dobivamo dvodimenzijski ekvivalent (2.6) (bez izvora topline) ∂u k ∇u ∇ω d Ω = k ω d Γ (2.15) n ∂ Ω Γ
∫
∫
time da je na jednom djelu
ΓD dati u (Dirichletov uvjet) a
∂u (Neumannov uvjet) na drugom ∂n
djelu ΓN (ΓD+ΓN = Γ). Podintegralni izraz na desnoj strani (2.15) se ra čuna ovako
∇u ∇ω =
gdje je u
=
n u n i ω =
m
∂u ∂ω ∂u ∂ξ i ∂ω ∂ξ i = ∂x k ∂x k ∂ξ i ∂x k ∂ξ i ∂x k
, kao i prije, a izrazi
(2.16)
∂ξ i su nađeni iz inverzne matrice ∂x k
⎡ ∂ξ i ⎤ ⎡ ∂x k ⎤ ⎢ ∂x ⎥ = ⎢ ∂ξ ⎥ ⎣ k ⎦ ⎣ i ⎦
−1
ili, za dvodimenzioni element,
⎡ ∂ξ 1 ⎢ ∂x ⎢ ξ ⎢∂ 2 ⎢⎣ ∂x
∂ξ 1 ⎤ ⎡ ∂x ∂y ⎥⎥ = ⎢⎢ ∂ξ 1 ∂ξ 2 ⎥ ⎢ ∂y ∂y ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ξ 1
−1
∂x ⎤ ⎡ ∂y − ∂x ⎤ ⎢ ∂ξ 1 ξ 2 ⎥ ∂ ∂ξ 2 ⎥ = 2 ⎢ ⎥ ⎥ ∂y ⎥ ∂x ⎥ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎢− ∂y − ∂ξ 2 ⎥⎦ ∂ξ 1 ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂ξ 1 ⎢⎣ ∂ξ 1 ∂ξ 1 ⎥⎦
25
Bazne funkcije – diskretizacija elementima T
Neka je je u
=
Ω = U Ω i , tj., domena rješenja je unija pojedina čnih elemenata. U svakom Ω i neka i =1
n
u n . Prebacimo svaki
Ω i u ξ 1 ,ξ 2 -ravninu (slika 2.5).
Slika 2.5: Prebacivanje svakog
Ω i u ξ 1 ,ξ 2 -ravninu.
Za svaki element, bazne funkcije i njene derivacije su: ϕ 1
ϕ 2
ϕ 3
ϕ 4
= (1 − ξ 1 )(1 − ξ 2 )
= ξ 1 (1 − ξ 2 )
∂ 1 ∂ξ 1 ∂ϕ 1 ∂ξ 2 ∂ϕ 2 ∂ξ 1 ∂ϕ 2 ∂ξ 2
= −(1 − ξ 1 ) = −(1 − ξ 2 ) = 1 − ξ 2 = −ξ 1 ∂ϕ 3 = −ξ 2 ∂ξ 1
= (1 − ξ 1 ) ξ 2
∂ϕ 3 = 1 − ξ 1 ∂ξ 2 ∂ϕ 4 = ξ 2 ∂ξ 2 ∂ϕ 4 = ξ 1 ∂ξ 2
= ξ 1 ξ 2
Integracija Jednadžba je
∂u
∫ k ∇u ∇ω d Ω = ∫ k ∂n ω d Γ
Ω
Γ
26
tj.
⎛ ∂u ∂ω ∂u ∂ω ⎞ ∂u ⎟ Ω = d k + ∫ Ω ⎝ ∂x ∂x ∂y dy ⎟⎠ ∫ Γ ∂n ω d Γ k ⎜⎜
gdje je u aproksimiran s u
= ϕ n u n a težinska funkcija prema Galjerkinu
∑ i
= ϕ m
⎛ ∂ϕ n ∂ϕ m ∂ϕ n ∂ϕ m ⎞ ∂u ∫ Ω ⎝ ∂x ∂x + ∂y dy ⎟⎟⎠ d Ω = ∫ Γ k ∂n ϕ m d Γ
u n k ⎜⎜
Time je dobiven sustav jednadžbi E mn u n
= F m . Kao primjer uzmimo tok topline u jedini čnom
kvadratu na slici 2.6.
Slika 2.6: Tok topline u jedini čnom kvadratu. Prva komponenta matrice E 11 je izračunata ovako 1 1
∫∫
E 11= k
0 0
(1 − y ) 2
2
+ (1 − x) 2 dxdy = k 3
i slično za ostale komponente matrice. Da element nije bio jedini čni kvadrat morali bi transformirati x, y u ξ 1 ,ξ 2 -koordinate. Treba koristiti Jacobijevu determinantu i lan čano
∂ϕ n ∂ϕ n ∂ξ 1 ∂ϕ n ∂ξ 2 ∂ϕ n ∂ξ i ∂ϕ i = = + . Npr. . ∂x ∂ξ 1 ∂x ∂ξ 2 ∂x ∂ξ i ∂x ∂x j Sustav jednadžbi E mn u n = F m izgleda pravilo za izračunavanje
Davanjem graničnih uvjeta rješava se sustav jednadžbi po temperaturama nepoznatih čvorova ili tokova.
Slaganje globalne jednadžbe Svaka matrica elementa mora se složiti u globalnu matricu. Za primjer uzmimo četiri elementa (svaki jedini čne veličine) i osam čvorova. Svaki element ima istu matricu elementa jer je istog oblika, veli čine i interpolacije.
27
Slika 2.7: Slaganje četiri jedinična elementa u globalnu matricu. Time dobivamo ovaj sustav jednadžbi:
Matrica je simetri čna, a bila bi i rijetka za ve ći broj elemenata. Ako je za globalni čvor i, poznat ui, možemo ukloniti i-tu jednadžbu i zamjeniti je s poznatom vrijednosti ui. Na kraju veličina sustava je jednaka broju nepoznanica. Za primjer uzmimo da su temperature na lijevoj i desnoj strani fiksne (slika2.7) a vrh i dno izolirani (čvorovi 8 i 2). To znači da imamo samo tri nepoznanice u na čvorovima (2, 5 i 8), i stoga 3x3 matricu. Vektor toplinskog toka (desna strana jednadžbe) ima za tri čvora poznate vrijednosti (vidi niže). Rješimo tu 3x3 matricu i zatim vra ćanjem u orginalnu matricu rješimo i ostale nepoznate tokove.
28
Toplinski tok je nula za čvor 2 i 8, jer su izolirani. Da saznamo što je sa čvorom 5 ∂u pogledajmo njegov izraz u vektoru optere čenja k ϕ m d Γ = 0. Tok je uvijek nula u Γ ∂n
∫
unutarnjim čvorovima, jer se tokovi susjednih elemenata poništavaju (slika2.8).
Slika 2.8: Poništavanje tokova unutarnjih čvorova.
29
IV NEUSTALJENO VOĐENJE TOPLINE
Metoda konačnih razlika Eksplicitni oblik Razmotrimo jednadžbu neustaljenog jednodimenzionalnog vo đenja topline
∂u ∂ 2u = k 2 , ∂t ∂x
(0 < x < L, t > 0)
(3.1)
gdje je k toplinska vodljivost a u = u(x,t) temperatura, uz granične uvjete U(0,t) = u0 i u(L,t) = u1 i početne uvjete u(x,0) = 0. Definiranjem mreže s razmakom Δx u x-koordinati i Δt u vremenskoj koordinati aproksimiramo ovu jednadžbu kona čnim razlikama (slika 3.1). Čvorovi mreže su označeni indeksima i = 0,1, ...., I (za x smjer) i n = 0,1, ..., N (za t smjer). Temperatura na čvoru (i,n) mreže je stoga označena u ( x, t ) = u (i Δx, n Δt ) = u in
(3.2)
Razvijanjem u Taylorev red u in+1 , u in−1 i u in +1 u točkama čvorova mreže (i,n) imamo n
u in+1
n
n
u
n i −1
u
n +1 i
n
n ∂u ⎞ 1 2 ⎛ ∂ 2 u ⎞ 1 3 ⎛ ∂ 3 u ⎞ ⎛ n = u i + Δx⎜ ⎟ + Δx ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + Δx ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + O(Δx 4 ) ⎝ ∂x ⎠ i 2 ⎝ ∂x ⎠ i 6 ⎝ ∂x ⎠ i
=u
n
∂u ⎞ 1 2 ⎛ ∂ 2 u ⎞ 1 3 ⎛ ∂ 3u ⎞ ⎛ − Δx⎜ ⎟ + Δx ⎜⎜ 2 ⎟⎟ − Δx ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + O (Δx 4 ) ⎝ ∂x ⎠ i 2 ⎝ ∂x ⎠ i 6 ⎝ ∂x ⎠ i
n i
(3.3)
(3.4)
n
∂u ⎞ = u + Δt ⎛ ⎜ ⎟ + O(Δt 2 ) ⎝ ∂t ⎠ i n i
(3.5)
gdje O(Δx 4 ) i O(Δt 2 ) predstavlja sve ostale izraze u Taylorovom redu. Zbrajanjem (3.3) i (3.4) imamo n
u in+1
+ u in−1 = 2 u in
2 2 ⎛ ∂ u ⎞ + Δx ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + O(Δx 4 ) ⎝ ∂x ⎠ i
ili n
⎛ ∂ 2u ⎞ uin+1 − 2 uin + uin−1 + O ( Δx 2 ) ⎜ ∂x 2 ⎟ = 2 Δx ⎝ ⎠i
(3.6)
što predstavlja aproksimaciju prostorne derivacije drugog reda a nazivamo je aproksimacijom centralnom razlikom.
30
Uređenjem (5.5) dobivamo asproksimacijom razlikom
aproksimaciju
vremenske
derivacije
koju
⎛ ∂u ⎞ = uin +1 − uin + O(Δt 2 ) ⎜ ⎟ Δt ⎝ ∂t ⎠ i
zovemo
n
(3.7)
Uvrštenjem (5.6) i (5.7) u (5.1) dobijemo aproksimaciju kona čnih razlika u in +1
− uin u in+1 − 2 u in + u in−1 2 + O(Δt ) = k + O(Δx 4 ) 2 Δt Δ
(3.8)
odnosno eksplicite po u in +1 , gdje je on funkcija n-tog vremenskog koraka u in +1
= u in + k
Δt n (u i +1 − 2 u in + u in−1 ) + O (Δt 2 , Δx 2 ) 2 Δx
(3.8)
Davanjem početnih uvjeta za u in pri n = 0 (tj. t = 0), vrijednosti u in +1 za novi vremenski korak su nađene formulom (5.8), gdje je i = 1, 2,...,I . Formula (5.8) je nazvana eksplicitna formula konačnih razlika, jer vrijednost u in +1 ovisi o vrijednostima u in (i = 1, 2,...,I ) prethodnog vremenskog koraka.
Slika 3.1: Mreža konačnih razlika za rješavanje nestacionarnog 1D vo đenja topline. Jednadžba je centrirana na čvor mreže (i,n) označen kružićem. Područje već poznatog rješenja do n-tog koraka je lagano osjen ćano. Eksplicitna formula, sa centralnom razlikom u x i prednjom razlikom u t , daje rješenja za (n+1)-ti vremenski korak pomoću rješenja tri čvora ntog koraka (prikazano tamno osjen čanim trokutom). Stabilnost rješenja Nastojanje povećanja točnosti približnog rješenja proguš ćavanjemdiskretizacije (kra ći koraci), broj numeričkih operacija se zna čajno povećava, tako da kumulativne greške zaokruživanja mogu dati konačno rješenje gore od onog s rje đom diskretizacijom. Numeri čki postupak je stabilan ako se mala pogreška iz nekog stanja ne uve ćava u proračunu sljedećeg. Stabilnost je zadovoljena ako je ispunjen Courantov uvjet: Δt 1 k 2 ≤ (3.9) 2 Δ 31
Von Neumannova analiza stabilnosti [1] pokazuje da je stabilnost osigurana ako je za vremenski korak uzeto Δx 2 Δt ≥ (3.10) 4 k
Aproksimacija višeg reda Korištenjem aproksimacije višeg reda za vremensku derivaciju pove ćana je točnost i ∂u stabilnost. Npr., ako je aproksimacija centralnom razlikom korištena za centriranjem ∂t ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ jednadžbe na ⎜⎜ i Δx, ⎜ n + ⎟ Δt ⎟⎟ umjesto (i Δx, n Δt ) , dobijemo ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ n+
⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂t ⎠ i
1 2
=
u in +1
− uin + O(Δt 2 ) Δt
(3.11)
pa je jednadžba (5.1) aproksimirana Crank-Nicolsonovom formulom
⎧⎪ 1 ⎛ ∂ 2 u ⎞ n +1 1 ⎛ ∂ 2 u ⎞ n ⎫⎪ − u in = k ⎨ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎬ Δt 2 ⎝ ∂x ⎠ i ⎪ ⎪⎩ 2 ⎝ ∂x ⎠ i ⎭
u in +1
u kojoj se prostorne derivacije drugog reda množene s težinskim faktorom
(3.12)
1
na starom 2 vremenskom koraku n i novom vremenskom koraku n + 1. Primjećujemo da se konačnom razlikom izražena vremenska derivacija nije promjenila. Promjenila se samo vremenska pozicija u kojoj je centrirana. Cijena pla čena za bolju točnost (za dati Δt ) i neuvjetnu stabilnost (tj., stabilno za sve Δt ) je, da je jednadžba (5.18) implicitna. To znači da za nove vremenske korake u in +1 ovisi o susjednim izrazima u in++11 i u in−+11 . Tako novi vremenski korak zahtjeva rješavanje sustava jednadžbi. Generalizacija (3.12) je u in +1 − u in
Δt
n ⎧⎪ ⎛ ∂ 2u ⎞ n+1 ⎛ ∂ 2 u ⎞ ⎫⎪ = k ⎨Θ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + (1 − Θ) ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎬ ⎪⎩ ⎝ ∂x ⎠ i ⎝ ∂x ⎠ i ⎪⎭
(3.13)
gdje su prostorne derivacije drugog reda jednadžbe(5.1) množene s težinskim faktorom Θ na starom vremenskom koraku n i težinskim faktorom (1- Θ) na novom vremenskom koraku (n + 1). Orginalna eksplicitna prednja razlika (3.8) se dobije kada Θ = 0, a implicitna centralna razlika (Crank-Nicolson) (3.13) kada Θ = ½. Implicitna unatrag razlika je ostvarena kada Θ = 1.
32
Slika 3.2: Implicitni oblik kona čnih razlika baziran na centralnim razlikama za t i x, što povezuje zajedno šest čvorova označenih križićem. Jednadžba je centrirana u to čki (i , n + 1 2 ) označena kružićem.
Nestacionarna advekcijsko-difuzijska jednadžba prijenosa Razmotrimo linearnu paraboli čku juednadžbu
∂u + v ∇u = k ∇ 2 u + ∂t
(3.14)
f
gdje je u temperatura (ili koncentracija), v ∇u advektivni transport (u slučaju konvekcijskog prijenosa topline) sa poljem brzina v, k je koeficijent toplinske vodljivosti (ili koeficijent difuzije) a f je izraz za izvor (generaciju). Omjer advektivnog i difuzivnog transporta je vL karakteriziran Pecletovom zna čajkom Pe = , gdje je L karakteristi čna duljina. k Primjenom Galjerkinove metode težinskog ostatka jednadžba (3.14) s težinama ω postaje
⎛ ∂u + v ∇u − k ∇2u + ∫ ⎜ Ω ⎝ ∂t
⎞ ⎠
f ⎟ ω d Ω = 0
ili, primjenom Green-Gausovog teorema
⎡⎛ ∂u
⎞
⎤
∂u
∫ ⎢⎣⎜⎝ ∂t + v ∇u ⎟⎠ ω + k ∇u ∇ω ⎥⎦ d Ω = ∫ f d Ω + ∫ ∂n ω d Γ
Ω
gdje je
Ω
(3.15)
∂Ω
∂ derivacija po normali na granici ∂Ω . Stavljanjem u = ∂n
n
un i
= ϕ m i
sumiranjem elemenata u globalnu jednadžbu, (3.15) je reprezentirana sustavom obi čnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, M
∂u + K (u − u ∞ ) = 0 ∂t
(3.16)
33
gdje je M globalna kapacitivna matrica, K globalna matrica vo đenja topline i u vektor globalnih nepoznanica (t → ∞ u = u∞ ). Matrice elemenata se ra čunaju
= ∫ ϕ mϕ n J d ξ
M mne
(3.17)
Ωe
1 ∂ϕ m ∂ξ i ∂ϕ n ∂ξ i ∂ϕ n ∂ξ i = ∫ k J d ξ + ∫ v jϕ m J d ξ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ξ x ξ x ξ x i k i k i k 0 0 1
K mne
Diskretiziacijom vremenske domene (t = nΔt , n
M
u n +1 − u n
Δt
(3.18)
= 0,1, 2,...) jednadžba (3.16) se zamjenjuje s
+ K [Θu n +1 + (1 − Θ)u n ] = K u ∞
0 < Θ <1
(3.19)
gdje je Θ težinski faktor obrazložen u prethodnom poglavlju. Za Θ = ½ metoda je poznata kao Crank-Nicolson-Galjerkinova metoda. Pogreška vremenske diskretizacije je O (Δt 2 ) . Preuređuvanjem (5.19) u
[M + ΘΔtK ]u n+1 = [M − (1 − Θ)ΔtK ]u n + Δt K u ∞
(3.20)
daje sustav linearnih algebarskih jednadžba za rješavanje novog vremenskog koraka ( n + 1)Δt n iz poznatih rješenja u na prethodnom vremenskom koraku nΔt . Na slici 3.3 rješena je 1D jednadžba (difuzije) vo đenja topline s mjenjanjem vremenskih inkremenata Δt i duljina elemenata Δx i to sa linearnim i kubnim Hermitovim elementima.
∂u ∂ 2u = k 2 ∂t ∂ početni uvjeti granični uvjeti
u ( x,0) = 0 u (0, t ) = 0,
(3.21)
u (1, t ) = 1
Smanjenje Δx od 0.25 do 1 s linearnim elementima proizvodi ve će oscilacije jer sustav ima više stupnjeva slobode koji vode ve ćem osciliranju. Pri dovoljno malom Δt oscilacije su zanemarive (dolje desno, slika 3.3). Pri tim vrijednostima ( Δt = 0.01) numeričko rješenje se dobro slaže sa egzaktnim (vrh, slika 3.3), koje je dato sa u ( x, t ) = x +
2
∞
(−1) n
Π∑ n n =1
2
2
e − n Π t sin(nΠ x)
34
Slika 3.3: Analiti čka i numerička rješenja nestacionarnog 1D vo đenja topline prikazuju efekt veličine Δx i Δt. Dijagonalizacija kapacitivne matrice Po toj tehnici kapacitivna matrica M je zamjenjena dijagonalnom matricom čija je dijagonala jednaka sumi redova. Za primjer uzmimo kapacitivnu matricu (5.17)sa bilinearnim elementima (slika1.9): M 11
= ∫∫ (1 − ξ 1 ) 2
2
(1 − ξ 2 )ξ 1ξ 2
=−
11
(1 − ξ 1 ) 3 1
3
1− −
(1 − ξ 2 )
0
M 22
= ∫∫ ξ 1
M 12
1 1⎞1 1 = ∫∫ ξ 1 (1 −ξ 1 )(1 − ξ 1 ) 2 ξ 1 ξ 2 = ⎛ ⎜− − ⎟ = ⎝ 2 3 ⎠ 3 18
M 13
= ∫∫ (1 − ξ 1 ) 2 ξ 2 (1 − ξ 2 )ξ 1ξ 2 =
M 14
= ∫∫ ξ 1 (1 − ξ 1 )ξ 2 (1 − ξ 2 )ξ 1ξ 2 =
(1 − ξ 2 ) 2 ξ 1ξ 2
=
33
=
9
3
3
1= 0
11 33
=
1 9
i slič li M 33 i M 44 .
1 18 1 36
i slič li M 34 i M 24 i slič li M 23
35
Stoga, ⎡1 ⎢9 ⎢ ⎢1 ⎢ 18 M = ⎢ ⎢1 ⎢ 18 ⎢1 ⎢ ⎣ 36
1
1
18 1
18 1
9 1
136 1
136 1
9 1
18
18
⎤ 9⎥ ⎥ 1⎥ 18 ⎥ ⎥ → 1⎥ 18 ⎥ 1⎥ ⎥ 9⎦ 1
⎡1 ⎢4 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣
0 1 4 0 0
⎤
0
0⎥
0
0⎥
⎥
1 4 0
⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 4⎦
Ovaj postupak ima ra čunske prednosti kad je Θ = 0 u jednadžbi (5.20) jer se svaka n+1 komponenta vektora u izračunava direktno bez potrebe rješavanja sustava jednadžbi. Međutim ta eksplicitna vremenska integracija je uvjetno stabilna i pati od pojave faznog kašnjenja. Za jednako razmaknute elemente,metoda kona čnih elementa s dijagonalnom kapacitivnom matricom je ekvivalentna metodi kona čnih razlika sa centralnim prostornim razlikama. Na slici 3.4 vidimo usporedbu rješenja kona čnim elementima i kona čnim razlikama (tj., konačnim elementima sa dijagonalnom kapacitivnom matricom) 1D advekcijskedifuzijske jednadžbe (3.14) sa v = 5 m/s, D = k = 0.1 m2/s i f = 0 za dobivanje odziva na jedini čni impuls kod x = 0. Egzaktno rješenje je dato Gaussovom raspodjelom čija se varijanca povećava s vremenom. u ( x, t ) =
M 4ΠΔ t
( x − vt ) 2
e
4 Dt
Rješenje konačnim elementima, koja koristi Crank-Nicolson-Galjerkinovu tehniku, pokazuje odličnu amplitudnu i faznu karakteristiku kod usporedbe sa egzaktnim rješenjem. Rješenje konačnim razlikama (centralne vremenske razlike), ili kona čnim elementima s dijagonalnom kapacitivnom matricom, reproducira amplitude impulsa vrlo dobro ali pokazuje malo fazno kašnjenje.
Slika 3.4: Advekcio-difuzijski odziv na jedini čni impuls. Δx = 0.1, Δt = 0.001 s za 0
36