Solución de ecuaciones no lineales simultáneas
Simulación de sistemas
La simulación de los sistemas térmicos consiste en el cálculo de los valores de las variables de operación, en principio en estado estacionario. Dichas variables de operación son las presiones, temperaturas y flujos de materia y energía. La simulación de los sistemas presupone el conocimiento de las ecuaciones que rigen el comportamiento de los componentes que formas dichos sistemas. Esas ecuaciones de funcionamiento de los componentes, justo con las expresiones que relacionan el estado de los fluidos con sus propiedades termodinámicas, asi como con los balances de materia y energía, constituyen un sistema de ecuaciones que relacionan todas las variables de operación. La descripción del sistema térmico en particular consiste en la resolución de dicho sistema de ecuaciones, siendo la mayoría de ellas no lineales. 1.- Sustitución sucesiva
El método de sustitución sucesiva está íntimamente relacionado con el diagrama de flujo del proceso en estudio. El procedimiento consiste en la suposición de uno (o varios) de los valores de las variables incluidas en las ecuaciones a resolver, el inicio del cálculo y la obtención de las variables del sistema hasta que las que fueron inicialmente supuestas son calculadas. Entonces se procede a la sustitución de los valores supuestos por los calculados hasta que el procedimiento converge (de aquí procede el nombre de sustitución sucesiva).
2.- Método de Newton-Raphson Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo
sino
que
basa
su
Supongamos que tenemos la aproximación
fórmula
en
a la raíz
de
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto un
punto
que
Para calcular el punto
será
nuestra
siguiente
un
proceso
iterativo.
,
; ésta cruza al eje
aproximación
a
la
raíz
en .
, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos
que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos
:
Y despejamos
:
Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:
, si
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que
, el método no se puede aplicar.
De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje caso
mismo es una raíz de
en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo .
Aplicación de la simulación de sistemas térmicos por medio del método de Newton-Raphson Problema: Se tiene un caudal de aire que pasa por dos calentadores en serie, el numero 1 de aire-agua y el numero 2 de aire-vapor. El flujo másico del caudal es de 0.8 kg/s y la temperatura -5ºC. El vapor que entra al calentador 2 es vapor saturado (x=1) a 230 ºC y sale del calentador 1 como liquido saturado (x=0). El producto del coeficiente global de transferencia de calor y el área es: Calentador 1; UA = 0.5 KW/K, Calentador 2; UA = 1.21 KW/K. Este líquido es utilizado en el calentador 1 para precalentar aire en una primera etapa, antes del calentador 2 de are-vapor. Se desea determinar:
, .
Figura 1: Diagrama de flujo del sistema térmico.
1.- Se determinan las ecuaciones que rigen o describen los procesos: Para el Calentador 2 se tiene:
- Balance de energía:
(1)
- Por definición del coeficiente global de transferencia de calor se tiene:
- Pero: - Y:
- Sustituyendo las ecuaciones anteriores se tiene:
(2)
Para el Calentador 1 se tiene:
- Balance de energía:
( ) *(230
(3)
- Análogo al procedimiento anterior:
( )
(4)
Donde es la temperatura del aire a la entrada del calentador 2, es la temperatura del aire a la salida y es el flujo másico de vapor y el flujo másico de aire.
2.- Se procede a aplicar el Método Newton-Raphson para esto se colocan todas las ecuaciones dela forma f(x1,x2,x3)
, y a sustituir los siguientes valores
= 0.8 kg/s = 1.005KJ/Kg*K = 4.19KJ/Kg*K = 0.5 KW/K = 1.21 KW/K =1812 Ecuaciones:
=0
f1 = 0.81*(
)*(
f2 = (
=0
f3 =( ) ( ) =0 3.- Ahora se obtienen las derivadas parciales respecto a cada variable para cada ecuación, para la evaluación de estas derivadas se utilizó la derivación simbólica en MathCAD:
f 1 T2 T3 mv 0.81 T3 T2 1812mv
1.21
1 e
f 2 T2 T3 mv T3 T2 230 T2
f 3T2 T3 mv T2 5 ( 230 5)
1e
4.19mv
1 1 0.5 0.8 4.19mv
1 1 0.8 4.19mv
0.5
0.8
0.8 1.005
e
Derivadas respecto a T2
Derivadas respecto a T3
f1
f2
f3
Derivadas respecto a Mv
f1
d 0.81 T3 d mv
T2 1812mv 181
f2
d d mv
1.21 0.8 1.005 0 T3 T2 230 T2 1 e
0.625
f3
0.11933174224343675418
e 28.0429594272076372323
H mv
mv
2
0.625 0.11933174224343675418 mv e
235e
mv
0.19093078758949880668 mv
0.625
0.19093078758949880668 235 2 mv
0.625
0.11933174224343675418 mv
0.625 0.11933174224343675418 mv e
e 0.11933174224343675418 mv 2
0.19093078758949880668 mv
2
0.11933174224343675418 mv
Derivadas respecto a Mv
f1
d 0.81 T3 d mv
T2 1812mv 181
f2
d d mv
1.21 0.8 1.005 0 T3 T2 230 T2 1 e
0.625
f3
0.11933174224343675418
mv
2
0.625 0.11933174224343675418 mv e
mv
0.625 0.11933174224343675418 mv e
0.19093078758949880668 mv
0.19093078758949880668 235 2 mv
4.- Ahora se llenara la matriz:
d dm
f 1
v d dm f 2 v d dm f 3 v Donde x i Xi Xic
d d T2 d d T2 d d T2
f 1
f 2
f 3
d d T3
0.625
0.11933174224343675418
235e
mv
e 28.0429594272076372323
H mv
0.625
f 1
x 1 f 1 d f 2 x f 2 2 d T3 x 3 f 3 d f 3 d T3
e 0.11933174224343675418 mv 2
0.19093078758949880668 mv
2
0.11933174224343675418 mv
4.- Ahora se llenara la matriz:
d dm
f 1
v d dm f 2 v d dm f 3 v
d d T2 d d T2 d d T2
f 1
f 2
f 3
d d T3
f 1
x 1 f 1 d f 2 x f 2 2 d T3 x 3 f 3 d f 3 d T3
Donde x i Xi Xic Para aplicar el procedimiento de Newton-Raphson se eligen valores iniciales para: Mv=X1, T2=X2, T3=X3. X1 = 0.05Kg/s,
X2 = 200 ºC,
X3 = 200 ºC.
Primera iteración:
1812 .081 0
0.210
709.357
1
x 0.81 1 30.9 1 x 2 9.66 0 x 1.629 3
x 1 0.010 x 2 4.5 x 3 0.0
Al corregir los valores supuestos: x1n 0.05 x2n 50
x 1 0.0398
x 2 45.42
x3n 200
x 3 199.93
Por no ser
x
lo suficientemente pequeño se hace otra iteración. Y asi
sucesivamente hasta que las funciones sean aproximadas a 0.
Segunda iteración:
x 1 17.3 1 x 2 4.74 0 x 0.16 3
1812 .081 0.81 0
0.210
877.729
1
x 1 0.003 x 2 0.32 x 3 0.0053
Al corregir los valores supuestos: x1n 0.0468
x 1 0.0436
x2n 48.966
x 2 47.932
x3n 199.993
x 3 199.986
Tercera iteración:
1812 .081 0
0.210
811.583
1
x1n 0.04666 x2n 48.943
x 1 0.04652
x 2 48.92
x3n 199.993
x 3 199.993
x 1 4.34 1 x 2 0.74 0 x 0.011 3
0.81
x 1 0.0001 x 2 0.02 x 3 0.0003
Cuarta iteración:
x 1 0.043 1 x 2 0.001 0 x 0.001 3
1812 .081 0.81 0
0.210
761.131
1
x1n 0.04656
x 1 0.04646
x2n 48.9419
x 2 48.9408
x3n 199.993
x 3 199.993
x 1 0.000 x 2 0.001 x 3 0.000
Con esta iteración se consiguen los valores buscados para f1, f2, y f3 = 0.000. Que se resume a continuación.
Iteración
f1
f2
f3
T2
T3
Mv
1
17.4
-474
-0.16
45.42
199.934
0.0398
2
4.34
-0.74
-0.011
47.93
199.986
0.0436
3
0.043
-0.001
-0.001
48.92
199-993
0.04652
4
0.000
0.000
0.000
199.993
48.9408
0.04646
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA MÉRIDA – VENEZUELA
RESULUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES POR EL METODO DE NEWTON-RAPHSON
Realizado por: Avancini R. César O. C.I: 19620738