N¨ ukleer Fizik Ders Notları
Ismail Boztosun Erciyes Universitesi
Aralık 2005
ii
¨ Erciyes Universitesi Fen-Edebiyat Fak¨ ultesi Fizik b¨ol¨ um¨ unde tek d¨onemde vermi¸s oldu˘gum N¨ ukleer Fizik dersinin notlarıdır. Yararlandı˘gım ve derste takip edece˘gimiz kaynaklar: K. S. Krane, ¸ceviri: Ba¸sar S¸arer, N¨ ukleer Fizik , Cilt 1 ve 2, Palme yayınları, Ankara 2001 Cottingam, Introductory to Nuclear Physics, ¸ceviri: Y. S¸ahin A. Beiser, Concepts of modern Physics, Mcgraw-Hill NY, 1987: C ¸ eviri: G¨ ulsen ¨ Oneng¨ ut H. Enge, W.S. Williams, P.E. Hodgson, Ayrıca a¸sa˘gıdaki tezler de faydalı olacaktır: ˙ Ismail Ermi¸s, Arma˘gan Orhan Bayrak G¨okhan Ko¸cak, Mesut Karako¸c Yasemin K¨ u¸cu ¨k ˙ Ileri seviyede olan bazı eserler: G. R. Satchler, ˙ Istenilenler: ˙ derecede Kuantum mekani˘gi ve Fizikte Matematik metodlar dersleri bilgisi. Iyi
˙ . erik Ic 1 N¨ ukleer Fizi˘ ge Giri¸s
9
1.1
Giri¸s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
¨ C ¸ ekire˘gin Temel Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1
Bile¸senleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2
G¨osterim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3
Uzunluk ve Zaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4
Yarı¸cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5
K¨ utle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6
Enerji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3
Temel Etkile¸smeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4
Sorular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Kuantum Fizi˘ gi Tekrar 2.1
17
Kuantum Fizi˘gi Tekrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1
Planck ve Karacisim ı¸sıması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2
Fotoelektrik olay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3
Compton Olayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4
Dalga-Par¸cacık ikilemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.5
de Broglie Hipotezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6
Bohr Atom ModelI˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2
Schr¨odinger Dalga Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3
Zamandan Ba˘gimsiz Schr¨odinger Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4
Merkezi Potansiyeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5
˙ Cisim Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Iki
2.6
¨ Ornekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1
˙ . ERIK IC
2 2.6.1
Free Particle Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.2
Infinite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.3
Finite Square Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.4
Delta Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.5
Coulomb Potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
˙ 3 TEMEL KAVRAMLAR ve REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI 3.1
53
Bazı Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.1
C ¸ ekirde˘gin K¨ utlesi, B¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨ ve Ba˘glanma Enerjisi . . . . . 53
3.2
Spin, Parite ve Momentler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3
C ¸ ekirdekte Uyarılmı¸s Durumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4
¨ N¨ ukleer Kuvvet ve Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5
N¨ ukleer Reaksiyonların Sınıflandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6
Bile¸sik ¸cekirdek Reaksiyonları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7
Direk Reaksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 C ¸ ekirdek Kuvvetleri
65
4.1
C ¸ ekirdek Kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2
D¨oteron Atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1
Ba˘glanma Enerjisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
¨ 5 TEMEL NUKLEER MODELLER 5.0.2
Sıvı Damlası Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.0.3
3.2.2-Kabuk Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.0.4
3.2.3-Kolektif Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 N¨ ukleer Reaksiyon Modelleri 6.1
73
83
¨ ˙ NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙ . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.1
BORN YAKLAS¸IMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.2
BOZULMUS¸ DALGA BORN YAKLAS¸IMI . . . . . . . . . . 85
6.1.3
Born Yakla¸sımının Bazı Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.4
˙ MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 OPTIK
6.1.5
˙ cin Optik Model . . . . . . . . . . . . . . . 90 Spinli Par¸cacıklar I¸
˙ . ERIK IC
3 6.1.6
Optik Potansiyelin ¨ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.7
Etkile¸sim Potansiyelinin ¨ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.8
Reel Potansiyel (VV , VS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.9
˙ Hacim Integralleri (JV , JW ): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.10 Coulom Bariyeri Civarındaki Reaksiyonlar ve E¸sik Anormalli˘gi 98 6.1.11 Potansiyeller Arasındaki ili¸ski ve G¨ uc¸l¨ u Absorpsiyon Uzaklı˘gı . 100 6.1.12 Optik Model Analizleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ˙ 6.1.13 FOLDING MODEL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4
˙ . ERIK IC
S.ekil Listesi 2.1
Elektronun Bohr Y¨or¨ ungesindeki Hareketi . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2
Spherical Bessel function for different values of l.
2.3
Spherical Neumann function for different values of l. . . . . . . . . . . 32
2.4
Eigenvalues of Infinite square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5
The intersections of curves f (ka and g(ka) for l = 0(s − state), 1(p −
. . . . . . . . . . . 32
state)and2(d − state). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6
Infinite square potential wave functions for different values of n. . . . 37
2.7
Normalized radial probability density, r2 R2 , for different n values (l = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8
Comparison of the Finite (solid line) and Infinite (dotted line) square well ka values for l = 0(s − state)and1(p − state). . . . . . . . . . . . 41
2.9
Finite square well: Intersections of curves f (ka and g(ka) for l = 0(s − state), 1(p − state)and2(d − state). . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10 Plot of the functions f (k) and g(k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1
C ¸ ekirde˘gin y¨ uk yo˘gunlu˘gunun n¨ ukleer yarı¸capa g¨ore de˘gi¸simi. . . . . 54
3.2
Kararlı ¸cekirdekler i¸cin n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjisinin atomik k¨ utleye g¨ore de˘gi¸simi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3
Bazı ¸siddetli deforme olmu¸s ¸cekirdeklerin ¸sekilleri. . . . . . . . . . . . 57
4.1
D¨oteron atomu i¸cin kare kuyu potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1
Y¨ uzeydeki n¨ ukleonlar, ¸cekirde˘gin i¸c kısmındakilere g¨ore daha az sayıda n¨ ukleonla etkile¸sir bu y¨ uzden ba˘glanma enerjisi daha azdır. ¸cekirdek ne kadar b¨ uy¨ ukse, y¨ uzeydeki n¨ ukleonların sayısı o kadar azdır. (Modern Fizi˘gin Kavramları, Arthur Beiser) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5
6
S.EKIL LISTESI 5.2
Kabuk modeline g¨ore n¨ ukleon enerji d¨ uzeylerinin sıralanı¸sı (¨ol¸cekli de˘gil) Sa˘gdaki s¨ ut¨ undaki sayılar g¨ozlenen sihirli sayılara kar¸sılık gelir. (Modern Fizi˘gin Kavramları, Arthur Beiser) . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3
˙ ¸cift-Z, ¸cift N’li ¸cekirdeklerin en d¨ u¸su ¨k 2+ durumların enerjileri. Izotoplar d¨ uz ¸cizgilerle birle¸stirilmi¸stir. (N¨ ukleer Fizik, K.S. Krane) . . . . . . 80
5.4
¸cift-Z, ¸cift-N li ¸cekirdeklerin en d¨ u¸su ¨k 2+ ve 4+ durumlarının E(4+ )/E(2+ ) ˙ oranı k¨ utle numarasına kar¸sılık g¨osterilmi¸stir. Izotopları d¨ uz ¸cizgilerle birle¸stirilmi¸stir. (N¨ ukleer Fizik, K.S. Krane) . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1
Gelen ve sa¸cılan dalga vekt¨orlerinin temsili g¨osterimi. . . . . . . . . . 85
6.2
Gelen ı¸sının bir ¸cok potansiyelden sa¸cılmasının temsili ¸sekli. . . . . . 87
6.3
C ¸ ekici Gaussyen potansiyeli ve onun diferansiyel tesir kesiti. . . . . . 87
6.4
Wood-Saxon form fakt¨or¨ u ve onun derivatif ¸sekli. . . . . . . . . . . . 94
6.5
Wood-Saxon (WS)ve Wood-Saxon kare (WS2) form fakt¨orlerinin kar¸sıla¸stırmalı ¸sekli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6
16
O+16 O sistemi i¸cin Coulomb potansiyelinin iki y¨ uk da˘gılımına g¨ore
de˘gi¸simi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.7
16
6.8
A˘gır iyon reaksiyonlarını tanımlamada kullanılan tipik potansiyeller, 12
O+208 Pb sisteminin Coulob bariyeri civarındaki davranı¸sı. . . . . . 99 C+12 C sistemi i¸cin 79MeV de fenomonolojik ve mikroskobik potan-
siyellerin g¨or¨ un¨ u¸su ¨. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.9
16
O+208 Pb sistemi g¨ u¸cl¨ u absorpsiyon mesafesindeki etkile¸simi sırasında
meydana gelen yo˘gunluk da˘gılımları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.10 Koordinatlar kullanılarak a) tek folding ve b) ¸cift folding . . . . . . . 103 6.11 ¸cekirde˘gin yo˘gunluk da˘gılımı ve folding modelden elde edilen U (r) potansiyelinin kar¸sıla¸stırılması. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Tablo Listesi 1.1
Proton, N¨otron ve Elektronun k¨ utle, y¨ uk, spin, manyetik moment ve g ¸carpanı de˘gerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2
Temel etkile¸smelerin alan kuantumları ve alan kuantumlarının spin, k¨ utle, menzil ve ¸siddet de˘gerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1
Values of the kn , la for different l and n values . . . . . . . . . . . . . 34
2.2
Values of the kn , la for different l and n values . . . . . . . . . . . . . 40
2.3
Hidrojen atomu i¸cin enerji seviyeleri ve dejenere de˘gerleri . . . . . . . 50
3.1
Farklı metotlarla bulunan n¨ ukleer yarı¸captaki (R = r0 A 3 ) r0 de˘gerleri. 55
1
7
8
TABLO LISTESI
B¨ ol¨ um 1 N¨ ukleer Fizi˘ ge Giri¸s 1.1
Giri¸s
N¨ ukleer fizik, atomu meydana getiren ¸cekirde˘gin ¨ozellikleri ve birbirleri ile yaptıkları etkile¸smeler ile ilgilenir. Bu nedenle n¨ ukleer fizi˘gi ¸cekirede˘gin statik ¨ozelleikleri (n¨ ukleer yapı) ve dinamik ¨ozellikleri (bozunma ve n¨ ukleer reaksiyonlar) olmak u ¨zere iki ana kısma ayırabiliriz. N¨ ukleer fizik teknolojik yeniliklerin itici kuvvetini saplayan bir alandır ve g¨ un¨ um¨ uzde pek ¸cok kullanım alanına sahiptir. Bu alanlardan bazıları kısaca ¸su ¸sekilde a¸cıklanabilir: ukleer 1. Tıp: Bu alanda hem te¸shis hem de tedavi ama¸clı kullanılmaktadır. N¨ fizik sayesinde yapılan hızlandırıcılarla v¨ ucuttaki dokular, kemikler ve organları test edilmekte ve te¸shiste yardımcı olmaktadır.
Proton, n¨otron veya
a˘gır iyonlar kullanılarak kanserli h¨ ucrelerin ¨old¨ ur¨ ulmesi yoluyla da tedaviye yardımcı olmaktadır. ustri: Bu alanda ¨ozellikle, basın¸c boruları, kaynatıcılar ve di˘ger b¨ uy¨ uk 2. End¨ metal d¨okme kalıpların i¸cindeki ¸catlak ve yarıkların ara¸stırılması yoluyla kontrol alanında kullanılmaktadır. 3. Temel bilimler: Biyolojide; Radyografi, Akı¸skan y¨ uzeylerde kompleks biyomolek¨ ullerin yapısının incelenmesi. Kimyada; elektron spektroskopisi ile kimyasal analiz, Polimerik yapıların incelenmesi, iz elementi analizi. Fizikte; Katıların elektron yapısı, Y¨ uzeylerin ve ara y¨ uzeylerin incelenmesi gibi kullanım alanları vardır. N¨ ukleer yapının iyi anla¸sılması ve insan v¨ ucudunda yaptı˘gı etkilerin 9
¨ UM ¨ 1. NUKLEER ¨ ˘ GIRIS¸ BOL FIZIGE
10
anla¸sılması yukarda ki insanlık yararına olan kullanım alanlarının yanında insan neslinin s¨ urekli tehdit altında olmasına sebep olan kitle imha silahlarının yapılmasına da olanak sa˘glamı¸stır.
¨ C ¸ ekire˘ gin Temel Ozellikleri
1.2 1.2.1
Bile¸senleri
Atomun kimyasal ¨ozellikleri elektron yapısına ba˘glıdır, oysa fiziksel ¨ozellikleri, dinamik ve kinetik davranı¸sı k¨ utlesine ba˘glıdır. Bir atomun ¸cekirde˘gi, ¸cekirdek i¸cindeki pozitif y¨ uklerin toplamı ve toplam k¨ utle sayısı ile tanımlanır. Atomun k¨ utlesinin hemen hemen tamamı ¸cekirdekten ileri gelir.
C ¸ ekirdek y¨ uk¨ u derken kastedilen
“+Ze” proton sayısına e¸sit olan atom numarası “Z” ile elektronun y¨ uk¨ u olan “e” de˘gerlerinin ¸carpımıdır. C ¸ ekirdekteki pozitif y¨ ukl¨ u temel par¸cacık protondur. Proton en basit atom olan Hidrojenin ¸cekirde˘gidir. Elektrik¸ce n¨otr olan bir atomda elektrik y¨ uklerinin e¸sit olaca˘gı d¨ u¸su ¨n¨ ul¨ urse proton sayısı kadar da elektron vardır yani “Z” tane de elektron bulunur. Elektronların k¨ utlesi protonların k¨ utlesine oranla bazı durumlar i¸cin ihmal edilebilecek kadar k¨ u¸cu ¨kt¨ ur ve bu oran mp/me ≈ 2000 gibi bir e¸sitlikle verilir. C ¸ ekirde˘gin tanımlanmasında kullanılan bir di˘ger kemiyet ise A ile g¨osterilen k¨ utle sayısıdır. K¨ utle sayısı, n¨ ukleer k¨ utle ile temel k¨ utle birimi arası orana en yakın bir tamsayıdır. C ¸u ¨nk¨ u proton yakla¸sık bir birim k¨ utleye sahiptir. Hemen hemen b¨ ut¨ un ¸cekirdeklerde k¨ utle sayısı atom numarasından iki veya daha fazla kat kadar b¨ uy¨ ukt¨ ur. Bu da bize ¸cekirdek i¸cinde protondan ba¸ska a˘gır k¨ utlelerin varlı˘gını g¨osterir. 1932 yılına kadar ¸cekirdek i¸cinde A tane proton ve ¸cekirde˘gin net y¨ uk¨ u Ze olacak ¸sekilde A-Z tane n¨ ukleer elektronun oldu˘gu d¨ u¸su ¨n¨ ul¨ uyordu. Fakat a¸sa˘gıda yazılanlar bu d¨ u¸su ¨ncenin yanlı¸s oldu˘gunu ortaya koyar: u¸cl¨ u bir kuvvetle 1. Elektronların protonlara Coulomb ¸cekim kuvvetinden daha g¨ ba˘glanmaları gerekir. Oysa ki protonlarla atom elektronları arası b¨oyle bir kuvvete rastlanmamı¸stır. 2. Elektronların ¸cekirdek b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨nde bir yerde oldu˘gunu d¨ u¸su ¨n¨ ursek, belirsizlik ilkesine g¨ore normalde sahip olduklarından ¸cok daha fazla enerjiye sahip olmaları gerekir. Belirsizlik ilkesine g¨ore hesap yapacak olursak ∆x∼10−14 m
˘ ¨ 1.2. C ¸ EKIREGIN TEMEL OZELLIKLERI
11
alırız. ∆x.∆p∼ h ¯ oldu˘guna g¨ore ∆p∼ h ¯ /∆x=20MeV/c bulunur. Radyoaktif β bozunumunda ¸cekirdekten yayınlanan elektronların enerjiler genellikle 1 MeV’dan daha da k¨ uc¸u ¨kt¨ ur ve bu t¨ ur bozunmalarda enerjisi 20 MeV olan elektronlar g¨ozlenmemi¸stir. 3. A-Z’si tek olan ¸cekirdeklerin toplam ¨ozg¨ un a¸cısal momentumları (spin) incelendi˘ginde, ¸cekirdek i¸cinde A tane proton ve A-Z tane de elektron bulunmasının imkansız oldu˘gu deneylerle g¨ozlenmi¸stir. ¨orne˘gin; D¨oteryum ¸cekirde˘ginde (A=2, Z=1) proton-elektron hipotezine g¨ore 2 proton ve 1 elektron bulunması gerekir. Proton ve elektronun ¨ozg¨ un a¸cısal momentumları
1 2
dir. Kuantum
mekani˘gi kurallarına g¨ore 2 proton ve 1 elektronun toplam spinleri
1 2
veya
3 2
olmalıdır. Oysa D¨oteryum ¸cekirde˘ginin g¨ozlenen spini 1’dir. 4. C ¸ iftlenmemi¸s elektron i¸ceren ¸cekirdeklerin, g¨ozlenen de˘gerlerinden ¸cok daha b¨ uy¨ uk manyetik dipol momente sahip olmaları gerekir. E˘ger D¨oteryumun i¸cinde tek bir elektron bulunsaydı, ¸cekirde˘gin manyetik dipol momentinin, bir elektronun manyetik dipol momenti ile aynı olmasını beklerdik. Fakat D¨oteryumun g¨ozlenen manyetik momenti, elektronun manyetik momentinin yakla¸sık 1/2000’i kadardır. Bu d¨ort madde g¨oz ¨on¨ une alınırsa elektronların ¸cekirde˘gin i¸cinde bulunması ¸cok zor hatta imkansızdır. Chadwick’in 1932 yılında n¨otronu ke¸sfetmesiyle de ¸cekirdek i¸cindeki proton harici par¸canın elektron de˘gil n¨otron oldu˘gu anla¸sılmı¸stır. N¨otron elektrik bakımından n¨otrd¨ ur ve k¨ utlesi protonun k¨ utlesinden %0,1 daha b¨ uy¨ ukt¨ ur ki bu fark az bir fark oldu˘gundan proton ve n¨otronun k¨ utlesini birbirine yakla¸sık e¸sit alınır. Bunun sonucunda ¸cekirdekte elektron bulunmasına ihtiya¸c olmaksızın, Z proton ve A-Z n¨otronu olan bir ¸cekirdek uygun bir toplam k¨ utleye ve y¨ uke sahiptir. Tablo 1.1’da proton, n¨otron ve elektronun bazı ¨ozellikleri verilmi¸stir.
1.2.2
G¨ osterim
C ¸ ekirde˘gi tanımlarken o ¸cekirde˘gin simgesinin sol u ¨st k¨o¸sesine k¨ utle sayısı olan A, sol alt k¨o¸sesine proton sayısına da e¸sit olan atom numarası, sa˘g alt k¨o¸sesineyse n¨otron sayısını belirten ve N=A-Z ile verilen de˘ger yazılır. Ancak yalnızca k¨ utle sayısının
¨ UM ¨ 1. NUKLEER ¨ ˘ GIRIS¸ BOL FIZIGE
12 K¨ utle
Y¨ uk Spin
Man. mom.
g ¸carpanı
N¨otron
1,008982 u
0
1 2
-1,9135µN
-3,83
Proton
1,00759 u
+1e
1 2
+2,7927µN
5,59
Elektron
(1/1837) u
-1e
1 2
-1,0021µB
2
Tablo 1.1: Proton, N¨otron ve Elektronun k¨ utle, y¨ uk, spin, manyetik moment ve g ¸carpanı de˘gerleri.
¨ gin; yazılması da yeterlidir. G¨osterim A seklindedir. Orne˘ P XN ¸ 56
12 6 C6
yada kısaca
12
C,
Fe gibi. Proton ve n¨otrona ortak ad olarak n¨ ukleon denir. Bu nedenle, k¨ utle sayısı olarak
kullandı˘gımız “A” aynı zamanda n¨ ukleon sayısını da verir. Bir atomun kimyasal ¨ozellikleri ¸cekirde˘gindeki pozitif elektrik y¨ uk¨ une ba˘glıdır. C ¸u ¨nk¨ u bu y¨ uk, ¸cekirdek dı¸sındaki elektron sayısını belli eder. C ¸ ekirdeklerinde aynı sayıda proton i¸ceren atomlar kimyasal olarak aynı ¨ozelliktedir. Atom numaraları aynı fakat k¨ utle sayıları farklı ¸cekirdeklere “izotop” denir. Dolayısıyla izotop atom˙ lar aynı kimyasal ¨ozelliktedir. Izotop ¸cekirdekler n¨ ukleer reaksiyonlar yardımıyla yapay olarak olu¸sturulabilir. N¨otron sayısı aynı proton sayısı farklı elementler de olabilir, bunlara da “izoton” denir. Bir de k¨ utle numaraları aynı atom numarası farklı ¸cekirdekler vardır, bunlaraysa “izobar” denir. Aynı ¸cekirde˘gin uzun ¨om¨ url¨ u uyarılmı¸s durumu, taban durumundaki halinin bir izomeri ¸seklinde adlandırılır. S¸imdiye kadar bulunan 108 farklı atom numarasına sahip ¸cekirdek vardır. Toplam ¸cekirdek sayısı 1000’den fazladır.
1.2.3
Uzunluk ve Zaman
N¨ ukleer fizikte ¸cok kullanılan birim “femtometre” olup 10−15 m mertebesine tekab¨ ul eder. N¨ ukleer b¨ uy¨ ukl¨ ukler (yarı¸cap) tek bir n¨ ukleon i¸cin yakla¸sık olarak 1 fm’den, a˘gır ¸cekirdekler i¸cin yakla¸sık 7 fm’ye kadar de˘gi¸sir. Atomik boyutlar ile kar¸sıla¸stırıldı˘gı zaman (1A0 =10−10 m), ¸cekirdek ile elektron arasındaki bo¸sluk dikkate de˘gerdir. N¨ ukleer olayların zaman ¨ol¸ce˘gi ¸cok geni¸s bir aralı˘ga sahiptir. ¨orne˘gin, 4 k¨ utle numaralı He atomunun (42 He2 ) izotopu 52 He3 gibi bazı ¸cekirdekler 10−20 s gibi bir zaman i¸cinde par¸calanırlar. Bir ¸cok n¨ ukleer reaksiyon bu zaman ¨ol¸ce˘gi i¸cinde ger¸cekle¸sir.
˘ ¨ 1.2. C ¸ EKIREGIN TEMEL OZELLIKLERI
13
Bu zaman ¨ol¸ce˘gi genel olarak reaksiyona giren ¸cekirdeklerden birinin, di˘gerinin n¨ ukleer kuvvet menzilinde kalma s¨ uresidir. C ¸ ekirdeklerin elektromanyetik γ ı¸sınımları genellikle 10−9 s ile 10−12 s kadar bir yarı ¨om¨ ur arasında meydana gelir. Fakat, bozunmaların bir¸co˘gu daha kısa veya daha uzun bir zaman i¸cinde ger¸cekle¸sir. α ve β bozunmalarıysa daha uzun s¨ urede olu¸sur, bu bazen dakika veye saat bazen de binlerce hatta milyonlarca yıl devam edebilir.
1.2.4
Yarı¸cap
C ¸ ekirdek yarı¸capı R=R0 A1/3 ile verilir. R0 spesifik yarı¸capı R0 =1,4 10−15 m yada 1,4 fm ile verilir. Buarad A ise ¨onceden s¨oyledi˘gimiz u ¨zere k¨ utle sayısıdır.
1.2.5
K¨ utle
N¨ ukleer k¨ utleler “atomik k¨ utle birimi” cinsinden ¨ol¸cu ¨l¨ ur, kısaca “akb yada u” olarak 1 g¨osterilir. Atomik k¨ utle birimi n¨otr bir karbon atomunu k¨ utlesini 12 de biri ( 12 )
olarak tanımlanır. Karbon da 12 n¨ ukleon bulunmasından dolayı bir n¨ ukleonunun k¨ utlesi de yakla¸sık olarak 1u olur. N¨ ukleer bozunma ve reaksiyonların incelenmesinde ¸co˘gunlukla k¨ utleler yerine k¨ utle enerjileri kullanılır. 1u=1,6605 10−27 kg yada 931,502 MeV/c2 olarak alınır. Bu ¸sekilde n¨ ukleonlar yakla¸sık olarak 1000 MeV kadar k¨ utle enerjisine sahip olurlar. K¨ utlenin enerjiye d¨on¨ u¸su ¨m¨ u g¨oreceli˘gin temel sonucu olan E=mc2 kullanılarak yapılır. K¨ utle veya enerjinin kullanılması olup bu birimlerde c2 =931,502 MeV/u alınır. Bir ¸cekirde˘gin k¨ utlesinin onu meydana getiren par¸cacıkların serbest haldeki k¨ utleleri toplamına e¸sit olması gerekir gibi g¨or¨ unse de ger¸cekte ¸cekirde˘gin k¨ utlesi yapı ta¸slarının serbest haldeki k¨ utlelerinin toplamından daha k¨ u¸cu ¨kt¨ ur. Bu farkın k¨ uc¸u ¨k veya b¨ uy¨ uk olu¸suna g¨ore ¸cekirdek az veya ¸cok sa˘glamdır. Einstein’ın E=mc2 form¨ ul¨ une g¨ore bu k¨ utle farkını c2 ile ¸carpar ve enerji olarak de˘gerini bulursak, ba˘glanma enerjisini bulmu¸s oluruz. Ba˘glanma enerjisi bir ¸cekirde˘gin bile¸senlerini bir arada tutan enerjidir. Dolayısıyla bir ¸cekirde˘gi par¸calamak i¸cin gerekli enerjidir. Bu enerji ¸su ¸sekilde verilir: £ ¤ B = Zmp + N mn − M (A X) c2
(1.1)
¨ UM ¨ 1. NUKLEER ¨ ˘ GIRIS¸ BOL FIZIGE
14
Burada Z atom numarası, N n¨otron sayısı, M(A X) ¸cekirde˘gin k¨ utlesidir. A k¨ utle sayısı yani n¨ ukleon sayısı oldu˘guna g¨ore n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjisi B/A ile verilir.
1.2.6
Enerji
N¨ ukleer enerji milyon elektron-volt (MeV) birimi ile ¨ol¸cu ¨l¨ ur. 1 eV ise tek bir elektrik y¨ uk¨ un¨ un bir voltluk potansiyel farkı altında ivmelendirilmesiyle kazandı˘gı enerjidir ve de˘geri 1eV=1,60210−19 J’d¨ ur. Tipik α ve β bozunmalarının enerjileri 1 MeV’luk bir enerji aralı˘gına sahiptir. D¨ u¸su ¨k enerjili reaksiyonlar 10 MeV’luk kinetik enerji ile olu¸sturulur. Bu tip enerjiler n¨ ukleer durgun k¨ utle enerjilerinden ¸cok daha k¨ u¸cu ¨kt¨ ur. Bu nedenle n¨ ukleonların enerji ve momentumlarında g¨oreceli olmayan ba˘gıntılar kullanılır, fakat β bozunma elektronları i¸cin g¨oreceli ba˘gıntılar kullanılır.
1.3
Temel Etkile¸smeler
Tabiatta 4 temel etkile¸sme g¨or¨ ul¨ ur. Bunlar gravitasyonel, elektromanyetik, kuvvetli ve zayıf etkile¸smelerdir. 2 par¸cacık arası etkile¸sme bu iki par¸cacık arası etkile¸smeye ¨ozg¨ u bir par¸cacı˘gın de˘gi¸s-toku¸s edili¸siyle m¨ umk¨ un olur ki bu par¸cacı˘ga alan kuantumu yada ta¸sıyıcı denir. Bu d¨ort temel etkile¸smenin alan kuantumları ve bunların spin, k¨ utle, menzil, ¸siddet de˘gerleri a¸sa˘gıdaki tabloda verilmektedir. Etkile¸sme
Ta¸sıyıcı
Spin
K¨ utle (GeV)
Menzil (m)
S¸iddet
Gravitasyonel
Graviton
2
0
∞
10−39
Elektromanyetik
Foton
1
0
∞
α
Kuvvetli
Gluon
1
0
10−15
1
Zayıf
W ± , Z0
1
80.2, 91.2
10−18
10−5
Tablo 1.2: Temel etkile¸smelerin alan kuantumları ve alan kuantumlarının spin, k¨ utle, menzil ve ¸siddet de˘gerleri.
Par¸cacıkları ilk ba¸sta 2’ye ayırabiliriz. Bunların ilki “Fermiyon” ikincisi “Bozon” grubudur. Fermiyonlar Fermi-Dirac istatisti˘gine uyan, bu¸cuklu spinli par¸cacıklardır.
1.4. SORULAR
15
Elektron, proton, n¨otron gibi par¸cacıklar fermiyon grubuna dahildir. Bozonlar ise Bose-Einstein istatisti˘gine uyan, tamsayı spinli par¸cacıklardır, ta¸sıyıclar bu gruba girerler. Par¸cacıklar ayrıca Lepton ve Hadron ¸seklinde ikiye ayrılır. Leptonlar β bozunması ve zayıf etkile¸smelerde g¨or¨ ul¨ ur. Bir i¸c yapıya sahip olmadıklarından elementer par¸cacık olarak d¨ u¸su ¨n¨ ul¨ ur. Leptonların spinleri
1 2
olup fermiyon grubuna dahildir.
Herbirinin bir anti-par¸cacı˘gı vardır. Elektron, m¨ uon, tau, n¨otrino gibi par¸cacıklar leptondur. Hadronlar ise kuvvetli ve zayıf etkile¸smelerde etkile¸smeye katılan a˘gır par¸cacıklardır ve spinlerinin tamsayı yada yarım olu¸suna g¨ore baryonlar ve mezonlar olmak u ¨zere ikiye ayrılır. Baryonlar yarım spinli olan gruptur ve proton, n¨otron gibi a˘gır par¸cacıklar birer baryondur. Mezonlar ise tamsayı spinlidirler. Mezon de˘gi¸s-toku¸su n¨ ukleer potansiyeli olu¸sturur. π + , π − , π 0 , ρ+ , ρ− , ρ0 , ω, η birer mezondur. Kuarklar ise maddenin en elementer par¸cacıkları olarak kabul edilir ve
1 2
spin
de˘gerine sahiptirler. Yukarı (top) ve a¸sa˘gı (bottom) ¸seklinde adlandırılırlar ve yukarı olanın elektrik y¨ uk de˘geri + 32 e ve a¸sa˘gı olanın y¨ uk de˘geri ise − 13 e’dir. 3 kuark birle¸serek baryon, kuark-antikuark birle¸serek mezon olu¸sturur.
1.4
Sorular
ukleer fizikte genel olarak ni¸cin g¨oreceli olmayan ba˘gıntılar kullanılır? 1. N¨ 2. N¨ ukleer madde yo˘gunlu˘gunu herhangi bir ¸cekirdek i¸cin hesaplayınız? 3. C ¸ ekirde˘gi 5cm ¸capında bir elma olarak d¨ u¸su ¨n¨ urseniz, ¸cekirde˘ge en yakın elektronun uzaklı˘gı ne olur? 4. Kuarkların elektrik y¨ uklerini d¨ u¸su ¨nerek proton ve n¨otronu olu¸sturan yukarı ve a¸sa˘gı kuark sayılarını bulunuz? 5. Herhangi bir ¸cekirdek i¸cin, ba˘glanma enerjisini ve yo˘gunlu˘gunu n¨ umerik olarak hesaplayan bir program yazınız? (¨orne˘gin fortran programlama dilinde)
16
¨ UM ¨ 1. NUKLEER ¨ ˘ GIRIS¸ BOL FIZIGE
B¨ ol¨ um 2 Kuantum Fizi˘ gi Tekrar
2.1
Kuantum Fizi˘ gi Tekrar
G¨ unl¨ uk hayatımızda tanecik ve dalga kavramları ¸su ¨pheye yer bırakmayacak kesinlikte tamamen farklı kavramlar olarak kar¸sımıza ¸cıkar. Gerek tanecikler mekani˘gi (yani nokta mekani˘gi) ve gerekse dalgalar opti˘gi, her biri kendine has varsayımlar, teoriler ve deneyler zincirini kapsayan iki ayrı inceleme konusu olarak geli¸smi¸slerdir. Bir b¨ uy¨ ukl¨ uk sadece bazı kesikli de˘gerler alabiliyorsa kuantalanmı¸s demektir. 20.yy’ın ilk ¸ceyre˘ginde elektromagnetik ı¸sımanın kuantalanmı¸s oldu˘gu anla¸sıldı.”Belirli bir frekansta yayılan ı¸sı˘gın ta¸sıdı˘gı enerji s¨ urekli bir de˘gi¸sken olmayıp, temel bir enerji kuantumunun katları olabilir.” Ayrıca elektromagnetik dalganın k¨ u¸cu ¨k enerji paketlerinden olu¸stu˘gu, bu paketlerin momentum da ta¸sıyabildi˘gi, di˘ger par¸cacıkların bir ¸cok ¨ozelli˘gine sahip ama k¨ utlelerinin sıfır oldu˘gu anla¸sıldı. Bu paketlere veya ı¸sık kuantumuna foton adı verildi. K¨ utlenin ve elektrik y¨ uk¨ un¨ un kuantalanmı¸s olması klasik fizi˘gin temel ilkeleriyle ¸celi¸smiyordu.
Ama ı¸sı˘gın kuantalanmı¸s olması klasik elektromagnetik teorisiyle
¸celi¸siyordu. C ¸u ¨nk¨ u bu teoriye g¨ore ı¸sıma enerjisi s¨ urekli de˘gerler alabilmeliydi. B¨oylece ı¸sı˘gın kuantalanmı¸s olması yeni bir teoriyi gerekli kılıyordu. I¸sı˘gın par¸cacık karakterinde oldu˘gunu s¨oyleyen deneyleri inceleyelim. 17
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
18
2.1.1
Planck ve Karacisim ı¸sıması
Elektromagnetik ı¸sımanın kuantalanmı¸s olması gerekti˘gini ilk ¨one s¨ uren ki¸si karacisim ı¸sımasını inceleyen Alman fizik¸ci oldu (1900). Tanım olarak karacisim , ideal bir ı¸sın so˘gurucudur; b¨oyle bir cisim ısıtıldı˘gında yayınladı˘gı ı¸sımaya da karacisim ı¸sıması adı verilir. Klasik elektromanyetik teori kullanılarak, verilen bir frekansta ne kadar enerji ı¸sıdı˘gını hesaplamak m¨ umk¨ und¨ ur. Bu hesabın sonucu Rayleigh-Jeans form¨ ul¨ u olarak ifade edilir. Bu form¨ ul al¸cak frekanslarda deneysel g¨ozlemlerle uyu¸suyor, ancak y¨ uksek frekanslarda yanlı¸s sonu¸c veriyordu. ¨ Ustelik Rayleigh-Jeans form¨ ul¨ une g¨ore, t¨ um frekanslardaki ı¸sıma enerjileri toplamının sonsuz olması gerekti˘gi (mor ¨otesi felaket) gibi yanlı¸s bir sonu¸c ¸cıkıyordu. Planck, bu yanlı¸slı˘gı d¨ uzeltebilmek i¸cin karacisim ı¸sımasının kuantalanmı¸s oldu˘gunu varsaymak gerekti˘gine inanıyordu. Planck, varsayımına g¨ore frekansı f olan bir ı¸sın, hf kadar bir enerji kuantasının tam katları olarak salınabilir.
E = 0, hf, 2hf, 3hf... (h = plancksabiti)
(2.1)
Planck, ı¸sımanın neden hf ’nin tam katları olarak kuantalandı˘gını a¸cıklamadı. Buldu˘gu sonucun ge¸cici bir varsayım oldu˘guna inanıyordu. Oysa bu sonu¸c, elektromanyetik ı¸sımanın temel ve evrensel bir ¨ozelli˘gi olarak kalacaktı.
2.1.2
Fotoelektrik olay
Einstein, Planck’ın g¨or¨ u¸slerini bir adım ilerleterek ¸so¨yle bir varsayım ileri s¨ urd¨ u; ”Bir ı¸sık demetindeki enerji, uzayda s¨ urekli da˘gılmı¸s olmayıp sonlu sayıda noktasal enerji kuantumlarından olu¸sur; b¨ol¨ unemeyen bu enerji kuantumları tam olarak salınır ve so˘gurulur. Einstein, bu ı¸sık kuantumunu yani fotonun enerjisini hf olarak aldı. Einstein’a g¨ore, iki fotonun aynı anda bir elektrona ¸carpma olasılı˘gı ¸cok zayıf oldu˘gundan bir elektron kendisine ¸carpan tek fotonun hf enerjisini alarak kopar. Einstein varsayımına g¨ore, ı¸sı˘gın ¸siddeti arttırıldı˘gında foton sayısı artar ancak bir fotonun hf enerjisi de˘gi¸smez. Daha ¸cok foton g¨onderildi˘ginde daha ¸cok elektron koparılır ama her bir fotonun enerjisi aynı kaldı˘gından elektronların kinetik enerjileri, dolayısıyla Kmax de˘geri de˘gi¸smez. Verilen bir metalden elektron koparılması i¸cin minimum bir enerjiye gerek vardır.
˘ TEKRAR 2.1. KUANTUM FIZIGI
19
Bu minimum enerjiye o metalin i¸s fonksiyonu denir, Φ ile g¨osterilir. Fotonun hf enerjisiΦ’den k¨ u¸cu ¨kse elektron koparmaya yeterli olmaz. Φ = hfo (f0 = kritikf rekans) Einstein bu d¨ u¸su ¨ncesini daha ileri g¨ot¨ ur¨ up, foton frekansı ile elektron enerjisi arasında bir ba˘gıntı geli¸stirdi.f frekansı kritik f0 de˘gerinden b¨ uy¨ ukse, bir fotonun ¸carptı˘gı elektron hf kadar enerji alacak, ama Φkadar enerji kaybederek metalde kopabilecektir. O halde, ¸cıkan elektronun kinetik enerjisi hf − Φ kadar veya daha k¨ u¸cu ¨k olabilir.
Kmax = hf − Φ
(2.2)
Di˘ger bir deyi¸sle, koparılan elektronun maksimum enerjisi ı¸sık frekansının lineer bir fonksiyonu olup, bu fonksiyonun e˘gimi Planck sabiti h’a e¸sit olmalıdır. Bu ¨ong¨or¨ un¨ un deneysel kanıtlanması 1916’da Millikan tarafından ger¸cekle¸stirildi.
2.1.3
Compton Olayı
I¸sı˘gın taneciksi bir ¨ozelli˘gine sahip olabildi˘ginin bir kanıtını da bize Compton olayı s¨oylemektedir. Bu olay fotonların elektronlarla ¸carpı¸smaları, so˘gurulmalarıyla sonu¸clanmadı˘gı hallerde, tıpkı bilardo toplarının ¸carpı¸smalarında oldu˘gu gibi esnek ¸carpı¸smalara yol a¸ctı˘gını ortaya koymaktadır, E˘ger fotonla elektron arasındaki ¸carpı¸sma ger¸cektende, iki katı k¨ urenin ¸carpı¸smasında oldu˘gu gibi esnek bir ¸carpı¸sma ise b¨oyle bir ¸carpı¸smada kinetik enerji ve impuls korunum kanunları ge¸cerli olacaktır. Foton-elektron sisteminde enerji korunumunun ge¸cerli oldu˘gunu kabul edersek ve sayısal i¸slemler yapılırsa;
0
λ − λ = ∆λ =
h (1 − cos θ) m0 c
(2.3)
0
elde edilir. Burada λ =sa¸cılan dalga λ=gelen dalgayı temsil etmektedir. Bu form¨ uldeki h ’ye m0 c
Compton dalga boyu denir. Fotonun ¸carptı˘gı tanecik ne kadar b¨ uy¨ uk k¨ utleli
olursa Compton dalga boyuda o kadar kısadır. Compton, sa¸cılan dalga boyunu d¨ort farklı θ a¸cısıyla ¨ol¸ct¨ u ve ∆λ = form¨ ulle m¨ ukemmel bir uyum buldu.
h m0 c
(1 − cos θ)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
20
2.1.4
Dalga-Par¸cacık ikilemi
Bug¨ un t¨ um fizik¸ciler fotoelektrik olay, Compton olayı ve di˘ger bir ¸cok deneysel g¨ozlemlere dayanarak, ı¸sı˘gın par¸cacık karakterine ku¸skusuz inanmaktadırlar. Ancak ı¸sı˘gın dalga karakterli oldu˘gunu do˘grulayan deneylerde vardır. Bu durum bir ¸celi¸ski gibi g¨or¨ unsede aslında her iki ifadede do˘grudur. I¸sık hem dalga hem de par¸cacık ¨ozelliklerine sahiptir. I¸sı˘gın bu ikili yapısı ¸su ba˘gıntılarla ¨ozetlenebilir;
E = hf
p=
h λ
(2.4)
E¸sitliklerin sol tarafındaki E enerjisi ve pmomentumu fotonun par¸cacık ¨ozelli˘gini, sa˘g taraftaki f frekansı ve λdalga boyu dalga yapısını belirtmektedir. Elektron ve proton gibi par¸cacıklarda bu dalga-par¸cacık ikilemini sergilerler. Kuantum teorisinin ba¸slıca g¨orevi temel par¸cacıkların ilk bakı¸sta ¸celi¸skili g¨or¨ unen bu ¨ozelliklerin a¸cıklamak olmalıdır. 1923 yılında Fransız doktora ¨og˘rencisi de Broglie ı¸sı˘gın hem madde hem de dalga ¨ozelli˘gi g¨osterdi˘gine g¨ore do˘ganın simetrik olaca˘gını u ¨mit ederek, maddenin de bu ikili karakteri g¨ostermesi gerekti˘gini ileri s¨ urd¨ u. O yıllarda maddenin hi¸cbir dalga ¨ozelli˘gi g¨ozlenmi¸s de˘gildi. Ancak de Broglie bu varsayımla Bohr y¨or¨ ungelerinin hidrojen atomu i¸cinde kararlı dalgalar olarak a¸cıklanabilece˘gini g¨osterdi. Bu dalgalara madde dalgaları adı verildi. De Broglie’nin madde-dalga ikileminin fotonlar gibi elektronlarada uygulanabilece˘gi d¨ u¸su ¨ncesi bir ¸cok fizik¸cide ilgi uyandırdı. Bu d¨ u¸su ¨nceyi geli¸stiren Avusturyalı fizik¸ci Schr¨odinger 1926’da yayınladı˘gı d¨ort makaleyle dalga mekani˘gi (kuantum mekani˘gi)’nin do˘gu¸sunu m¨ ujdeledi. 1927’de de Broglie madde dalgalarını deneysel olarak g¨ozledi. Elektronlar (dalgaların temel bir ¨ozelli˘gi olan) giri¸sim sa¸cakları olu¸sturabiliyorlardı.
2.1.5
de Broglie Hipotezi
Yukarıda fotonların hem dalga hem de par¸cacık ¨ozelli˘gini g¨osterdi˘gini incelemi¸stik. Bu iki ¨ozellik ¸so¨yleydi;
E = hf
p=
h λ
(2.5)
de Broglie elektron gibi maddesel par¸cacıklarında bu madde-dalga ikili ¨ozelli˘gini
˘ TEKRAR 2.1. KUANTUM FIZIGI
21
g¨osterebilece˘gini ¨one s¨ urd¨ u. Bu “madde dalgaları”nın nasıl bir ¸sey oldu˘gunu bilmiyordu, ama bunlarında ı¸sık dalgaları gibi yukarıdaki ba˘gıntılara uyması gerekti˘gini s¨oyledi. Bu nedenle bu ba˘gıntılara de Broglie ba˘gıntıları adı verilir. de Broglie ba˘gıntılarını kabul edersek, elektronun E enerjisinin kuantalanması demek f frekansının kuantalanması demektir. Klasik fizikte bilinen bir sonuca g¨ore, bir b¨olgede yerelle¸smi¸s dalgalar, sadece belirli frekanslarda titre¸sebilirler. Bu d¨ u¸su ¨nce atom i¸cindeki elektron dalgalarının belirli frekanslarda olması, yani kuantalanmasına yol a¸car. Yukarıdaki ba˘gıntılarını sa˘glayan elektron dalgalarının, Bohr’un hidrojen atomunda elektron a¸cısal momentumunun h ¯ ’ın tam katları olarak kuantalandı˘gı varsayımına da uyaca˘gını g¨ostermeyi ba¸sardı.
S.ekil 2.1: Elektronun Bohr Y¨or¨ ungesindeki Hareketi
S¸ekil 6.1’ deki gibi bir Bohr y¨or¨ ungesinde d¨onen elektronun bu yol u ¨zerinde dalgalı bir ¸sekilde gitti˘gini varsayalım. Bu dairesel y¨or¨ ungeye tam dalgaboyları sı˘gdırabilmek i¸cin 2πr = nλ (n = 1, 2, 3, ...)olmalıdır. (1.1.2) (4.3)’e g¨ore λ =
h p
ve 2πr =
nh p
olur. Buradan rp =
nh 2π
bulunur.
Dairesel bir y¨or¨ unge i¸cin r · p¸carpımı L a¸cısal momentumudur. O halde
L=
nh = n¯h (n = 1, 2, 3, ...) 2π
Bu, Bohr kuantalanma ko¸suludur.
(2.6)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
22
2.1.6
Bohr Atom ModelI˙
Atom Spektrumları 19.y¨ uzyılın ortalarında atom spektrumlarının g¨ozlenmesiyle, mikroskobik sistemlerde klasik mekanik teorisinin yetersiz kaldı˘gı g¨or¨ uld¨ u. Atom spektrumlarının do˘gru bir a¸cıklaması 1913 yılında Danimarkalı fizik¸ci Niels Bohr tarafından yapıldı ve klasik mekani˘gin k¨okl¨ u bir de˘gi¸sim ge¸cirmesi gere˘gi ortaya kondu. ˙ Bohr teorisi karakteristik spektrumları t¨ um¨ uyle farklı bir ¸sekilde a¸cıklar. Ilk olarak, bir atomun fα , fβ ...gibi karakteristik frekanslarda ı¸sık yayınlaması, o atomun enerjileri hfα , hfβ ..olan fotonlar salması demektir (Frekans ve enerji arasındaki bu ili¸ski 19.y¨ uzyılda hen¨ uz bilinmiyordu). Bu karakteristik enerjiler, atomdaki elektronların toplam enerjisinin E1 , E2 , E3 .. gibi kesikli de˘gerlerde kuantalanmı¸s olmasıyla a¸cıklanır. Atom bu enerji d¨ uzeylerinin birinden di˘gerine sı¸cradı˘gında ı¸sık salar veya so˘gurur. E2 iE1 oldu˘gunu varsayalım; atom E2 ’den E1 d¨ uzeyine ge¸cti˘ginde,E2 − E1 kadar bir enerji fazlasını salması gerekir. Buda enerjisi hf = E2 − E1 olan bir foton ¸seklinde ı¸sınır. Benzer ¸sekilde,atomun E1 ’den E2 d¨ uzeyine ge¸cebilmesi i¸cin E2 − E1 kadarlık enerji eksi˘gini gidermesi gerekir.Bu da enerjisi hf = E2 −E1 olan bir fotonun so˘gurulmasıyla olur.
Bohr’un Atom Spektrumu A¸cıklaması Atomik denge problemini ¸co¨zebilmek i¸cin Bohr, klasik mekanik yasalarının de˘gi¸stirilmesi gerekti˘gini ¨one s¨ urd¨ u.
Klasik mekani˘gin ¨one s¨ urd¨ u˘gu ¨ sınırsız sayıdaki elektron
y¨or¨ ungeleri arasında sadece kesikli bir y¨or¨ ungeler k¨ umesinin kararlı dengede oldu˘gunu s¨oyledi. Bunlara kararlı y¨or¨ ungeler adını verdi. Y¨or¨ ungeler kesikli de˘gerler alabildi˘gi i¸cin bunların enerjileri de kesikli olmalı, yani atomdaki elektron enerjileri kuantalanmı¸s oluyordu. Bir atomun sahip olabilece˘gi enerjiler E1 , E2 , E3 .. ¸seklinde sayılabilir bir k¨ ume olu¸sturuyordu. E˘ger bu do˘gruysa, klasik elektromagnetik teorisinin ¨ong¨ord¨ ug˘u ¨ ¸sekilde atomun s¨ urekli enerji kaybetmesi ¨onlenmi¸s oluyordu. Bohr’un post¨ ulatı ¸so¨yleydi; kararlı bir y¨or¨ ungedeki elektron, dı¸s etki olmadı˘gı s¨ urece, hi¸cbir enerji ı¸sımadan aynı y¨or¨ ungede kalır. Bohr kararlı y¨or¨ ungedeki elektronların ni¸cin enerji ı¸sımadı˘gını a¸cıklamıyordu.
¨ 2.2. SCHRODINGER DALGA DENKLEMI
23
Bir bakıma Bohr’un atom dengesini a¸cıklayabildi˘gi s¨oylenemez. Fakat bu varsayım ger¸ce˘ge ¸cok yakındı; ¨ozellikle ”kararlı y¨or¨ unge” kavramının ¸cok yerinde oldu˘gu daha sonra anlasıldı. Kuantum teorisinde bildi˘gimiz gibi,elektronların klasik anlamda bir y¨or¨ ungeleri yoktur, atom i¸cinde da˘gılmı¸s s¨ urekli bir y¨ uk bulutu gibi d¨ u¸su ¨n¨ ulebilir. Atomun kararlı durumları (ki Bohr’un kararlı y¨or¨ ungelerine kar¸sılık gelir) bu y¨ uk bulutunun kararlı olup enerji ı¸sımadı˘gı durumlardır
2.2
Schr¨ odinger Dalga Denklemi
Ψde Broglie dalgası i¸cin; x
Ψ (x, t) = Ae−iw(t− v )
(2.7)
B¨oyle saf yani bir dalga paketi de˘gil de tek bir dalgadan meydana gelen dalgasal bir hareketle m k¨ utleli ve pimpulslu (dolayısıyla K =
p2 2m
kinetik enerjili) bir
taneci˘gin ba˘gıntısını yapmak i¸cin; w = 2πf E = hf λ=
(2.8)
h p
v = λf =
hf p
(4.11) denklemini (4.4) de yerine koyarsak; Ψ (x, t) = Ae−
2πi (Et−px) h
¸sekline d¨on¨ u¸su ¨r (1.2.3)
E˘ger tanecik bir kuvvet alanında ise, taneci˘gin toplam E enerjisi enerjinin korunumu ilkesi uyarınca zamana ba˘glı olmayıp bu alanı do˘guran potansiyeli V ile g¨ostererek E taneci˘gin K kinetik enerjisiyle V potansiyel enerjisinin toplamına e¸sittir. E = T (x) + V (x)
E=
p2 + V (x) 2m
(2.9)
(2.10)
¨ote yandan (4.20) den x’ e g¨ore ikinci t¨ urevi ve sonra da t’ ye g¨ore birinci t¨ urevi alarak;
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
24
p2 Ψ = −
h2 ∂ 2 Ψ 4π 2 ∂x2
(2.11)
h ∂Ψ . (2.12) 2πi ∂t (4.12) denkleminin her iki yanını da Ψile ¸carptıktan sonra (4.14) ve (4.15) denEΨ = −
klemleri de g¨oz ¨on¨ unde bulundurarak; h ∂Ψ h2 ∂ 2 Ψ − V (x) Ψ = 2 2πi ∂t 8π m ∂x2 B¨oylece zamana ba˘glı schr¨odinger denklemi elde edilmi¸s oldu.
2.3
(2.13)
Zamandan Ba˘ gimsiz Schr¨ odinger Denklemi
Taneci˘ge kar¸sılık gelen de Broglie dalgasını Ψ (x, t) = Ae−
2πi (Et−px) h
= Ae
Ψ (x, t) = Ψ (x) e−
2πipx h
· e−
2πiEt h
2πiEt h
(2.14)
(2.15)
Bu ifade Ψ(x, t)’nin yalnız x’e ba˘glı bir fonksiyon ile yalnız t’ye ba˘glı bir fonksiyonun ¸carpımı olarak yazılabildi˘gini g¨ostermektedir. Buna g¨ore taneci˘gin x’i i¸ceren dx aralı˘gında t anında bulunması ihtimali; Ψ∗(x,t) · Ψ(x,t) dx = Ψ∗(x) e
2πiEt h
· Ψ(x) e−
2πiEt h
dx
= Ψ∗(x) Ψ(x)
(2.16)
(2.17)
Bu sonu¸c g¨oz ¨on¨ une alınan ihtimalin zamana ba˘glı olmadı˘gını g¨ostermektedir. Bu ihtimali bulmak i¸cin Ψ (x, t)’yi bulmak yerine Ψ (x)’i bulmak yeterlidir. E enerjisi, enerjinin korunumu ilkesine g¨ore sabittir. V potansiyel fonksiyonu ise sadece yerin fonksiyonudur. (1.4.1)’i (1.3.7)’de yerine koyarsak; ∂ 2 Ψ (x) 8π 2 m + [E − V (x)] Ψ (x) = 0 ∂x2 h2 B¨oylece zamandan ba˘gımsız schr¨odinger denklemi elde edilmi¸s oldu.
(2.18)
2.4. MERKEZI POTANSIYELLER
25
2.4
Merkezi Potansiyeller
2.5
˙ Cisim Problemi Iki
→ → K¨ utleleri m1 ve m2 olan iki par¸cacı˘gın konum ve momentumlarını sırasıyla − r1 , − r2 ve pˆ1 , pˆ2 ile g¨osterelim. Bu sistemin hamiltonyeni;
H=
pˆ2 pˆ21 → → + 2 + V (− r1 − − r2 ) 2m1 2m2
(2.19)
Burada V potansiyeli, k¨ uresel simetriden dolayı, sadece par¸cacıklar arasındaki uzaklı˘gın bir fonksiyonudur. Bu t¨ ur potansiyellere merkezi potansiyeller denir. Momentum operat¨orleri Pˆ = −i¯h∇ ve P 2 = −¯h2 ∇2 (4.3) denkleminde yerine yazılırsa;
h ¯2 2 h ¯2 2 − ∇1 − ∇ + V (r) = E 2m1 2m2 2
½ ⇒
¾ h ¯2 2 h ¯2 2 − ∇ − ∇ + V (r) Ψ = EΨ 2m1 1 2m2 2 (2.20)
Dalga fonksiyonu; Ψ = Ψ (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 ) (2.1.2) Buradaki x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 bu sistemin bulundu˘gu 3 boyutlu uzaydaki koordinatlarıdır. ¾ ½ h ¯2 2 h ¯2 2 ∇ − ∇ + V (r) Ψ = EΨ − 2m1 1 2m2 2
(2.21)
Bu denklemdeki k¨ utle merkezi koordinatları X, Y, Z leri ba˘gıl hareketin koordinatları olan x ,y ,z cinsinden a¸sa˘gıdaki ¸sekilde yazmalıyız.
X=
m 1 x1 + m 2 x2 m1 + m2
Y=
x = x2 − x1
m1 y1 + m2 y2 m1 + m2
y = y2 − y1
Z=
m1 z1 + m2 z2 m1 + m2
z = z2 − z1
(2.22)
(2.23)
B¨oylece toplam kinetik enerji ; ¡ ¢ 1 ¡ ¢ 1 T = m1 x˙ 21 + y˙ 12 + z˙12 + m2 x˙ 22 + y˙ 22 + z22 2 2 M = m1 + m2 ¸seklinde tanımlanırsa; Denklem (4.11) ve (4.12)’den M X = m1 x1 + m2 x2
(2.24)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
26
x2 = x + x1 (4.12) denklemi (4.11)’de yerine yazılırsa;
M X = m1 x1 + m2 (x + x1 ) = m1 x1 + m2 x1 + m2 x
(2.25)
= (m1 + m2 ) x1 + m2 x
(2.26)
=M x1 + m2 x
x1 = X −
m2 m1 · ·x (m1 + m2 ) m1
(2.27)
˙ Ayrıca her iki k¨ utlenin yerine indirgenmi¸s k¨ utleyi kullanabiliriz. Indirgenmi¸ s k¨ utlenin tanımı gere˘gi: µ=
m1 · m2 m1 + m2
(2.28)
Di˘ger i¸slemlerde benzer ¸sekilde yapılırsa;
x1 = X −
µ µ x y1 = Y − y m1 m1
z1 = Z −
µ z m1
(2.29)
x2 = X +
µ µ x y2 = Y + y m2 m2
z2 = Z +
µ z m2
(2.30)
denklem (4.15) , (4.14)’da yerine yazılırsa ;
T =
³ ´ ¡ ¢ 1 ˙ 2 + Y˙ 2 + Z˙ 2 + 1 µ x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 (m1 + m2 ) X 2 2
(2.31)
(4.17) denklemi momentum operat¨orleri cinsinden yazılırsa;
Px = M X Py = M Y
py = µy
Pz = M Z
pz = µz
(2.32)
(2.33)
b¨oylece (4.17) denklemi ; ´ 1 ¡ ¢ 1 ³ T = M Pˆx2 + Pˆy2 + Pˆz2 + µ pˆ2x + pˆ2y + pˆ2z 2 2
(2.34)
˙ CISIM PROBLEMI 2.5. IKI
27
E = T +V ve momentum operat¨orleri kullanılırsa,hidrojen atomu i¸cin schr¨odinger denklemi; ½ ¾ h ¯2 2 h ¯2 2 − ∇ − ∇ + V (r) Ψ = EΨ 2M km 2µ
(2.35)
Ψ (X, Y, Z, x, y, z) = Ψkm (X, Y, Z) Ψ (x, y, z)
(2.36)
(2.36) denkleminin (4.20) ’de yerine yazılmasıyla h ¯2 2 ∇ Ψkm = Ekm Ψkm 2M km
(2.37)
¾ h ¯2 2 − ∇ + V (r) Ψ = EΨ 2µ
(2.38)
− ½
Ekm k¨ utle merkezinin ¨oteleme hareket enerjisini, E ise ba˘gıl hareketin enerjisidir. K¨ utle merkezinin hareketi potansiyel enerjiden ba˘gımsız oldu˘gu i¸cin bu denklemin (2.37) ¸co¨z¨ um¨ u merkezi potansiyel i¸cin enerji ¨ozde˘ger ve ¨ozvekt¨orleri bulmamaıza yardımcı olmaz. Bu nedenle (2.38) denklemini ile ilgileniriz. ¨ Once 2.38 ile verilen denklemi k¨ uresel koordinatlarda yazıp, merkezi potansiyelde hareket eden µ k¨ utleli spiinsiz bir par¸cacık i¸cin en genel hareket denklemini veren Schr¨odinger denklemini a¸sa˘gıdaki ¸sekilde elde edilir:
−¯h2 2µ
µ
· µ ¶ ¸ ¶ ∂2 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂2 + + sin θ + + V (r) Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ) ∂r2 r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 (2.39)
K¨o¸seli parantezler i¸cindeki terimlerin negatifi a¸cısal momentum operat¨or¨ un¨ un karesidir, L2 . Bu operat¨or¨ un ¨ozfonksiyonları dejeneredir ve k¨ uresel harmonikler (Ylm (θ, φ)) ile ¸su ¸sekilde tanımlanabilirler: L2 Ylm (θ, φ) = l(l + 1)¯h2 Ylm (θ, φ) Lz Ylm (θ, φ) = m¯ hYlm (θ, φ)
(2.40)
K¨ uresel koordinatlarda Ψ → Ψ (r, θ, ϕ) de˘gi¸skenlerine ayrılarak ¸s¨oyle yazılır.
Ψ (r, θ, ϕ) = R (r) f (θ) g (ϕ)
(2.41)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
28
Denklem (2.39) ’deki sadece ϕ ’ye ba˘glı olan denklemi −m2` ‘ye e¸sitlersek (¸cu ¨nk¨ u b¨oyle bir sistemin 0 ≤ ϕ ≤ ∞ aralı˘gında her an do˘gru olabilmesi i¸cin denklemin bir sabite e¸sit olması gerekir. O sabit −m2` ¸seklinde bir kuantum sayısı olarak se¸cilir) denklem; ∂ 2g 2 + m `g = 0 ∂ϕ2
(2.42)
¸seklini alır. Bu denklem ise basit harmonik hareket denklemidir. ¸co¨z¨ um¨ u ise; g (ϕ) = Aeimϕ
(2.43)
olur. A ’yı bulmak i¸cin ise normalizasyon ¸sartı kullanılır; Z2π
Z2π ∗
g (ϕ)g (ϕ) dϕ = 1
⇒
A
2
dϕ = 1 0
0
1 ⇒A= √ 2π
(2.44)
B¨oylece g (ϕ) ¸c¨oz¨ um¨ u; 1 gm` = √ eimϕ 2π
(2.45)
m` = 0, ±1, ±2, ±3... kuantum sayısı 2.39 e¸sitli˘ginin 0≤ r ≤ ∞ , 0≤ θ ≤ π, ve 0≤ ϕ ≤2π aralı˘gında yani t¨ um uzayda her an do˘gru olabilmesi i¸cin denklemin bir sabite e¸sit olması gerekti˘gi belirtilmi¸sti. Burada se¸cece˘gimiz sabit ise denklem 2.40 ’dan g¨or¨ uld¨ ug˘u ¨ gibi ` (` + 1) dir. Yukarıdaki denklemler a¸cısal momentumun karesinin h ¯ 2 ‘ye b¨ol¨ um¨ u boyutu olduklarından m` ve ` kuantum sayıları a¸cısal momentum kuantum sayıları olmak zorundadırlar. B¨oylece denklemin sol ve sa˘g tarafları ` (` + 1) ‘e e¸sit olduklarından dolayı schr¨odinger denkleminin k¨ uresel koordinatlarda her u ¨c¸ de˘gi¸skene ayrılmı¸s ¸sekli; ∂ 2g 2 + m` g = 0 2 ∂ϕ 1 ∂ sin θ ∂θ
µ
∂f sin θ ∂θ
¶
¸ · m2` f =0 + ` (` + 1) − sin2 θ
(2.46)
(2.47)
˙ CISIM PROBLEMI 2.5. IKI 1 ∂ r2 ∂r
29
µ ¶ ¸ · 2µ h ¯ 2 ` (` + 1) 2 ∂R r + 2 E − V (r) − R=0 ∂r 2µ r2 h ¯
(2.46) denkleminin ¸c¨oz¨ um¨ un¨ un gm` =
√1 eimϕ 2π
(2.48)
oldu˘gunu g¨ostermi¸stik.
Denklem (2.47) ’¨ un ¸c¨oz¨ um¨ u i¸cin Legendre polinomları ve Rodrigues form¨ ulleri kullanılarak ¸co¨z¨ ume gidilir. Bu durumda θ ’ya ba˘glı ¸co¨z¨ um fonksiyonu;
f (θ) = N`m` P`ml (cos θ)
(2.49)
¸seklinde olup normalizasyon sabiti; s 2` + 1 (` − |m` |)! 2 (` + |ml |)!
(2.50)
£ ¤ m` ∂ ml P` (cos θ) P`m` (cos θ) = 1 − cos2 θ 2 ∂θml
(2.51)
N`m` = (−1)
(m` +|m` |) 2
ifadeleri ile belirlidir. Burada (cosθ = ξ dersek) Pl (ξ) ise; P` (ξ) =
¢` 1 ∂` ¡ 2 `! ξ − 1 2` ∂ξ `
(2.52)
ile verilir. Burada P`m` (ξ) Asosiye Legendre polinomu, P` (ξ) ise Legendre polinomudur. Buradaki `ve m` kuantum sayıları i¸cin ` ≥ m` ve m` ≥ 0 ko¸sulları, yine merkezcil olan ¸co¨z¨ umlerinde ortaya ¸cıkacaktır. Denklem 2.48 ile verilen Schr¨odinger denkleminin radyal kısmı i¸cin ise a¸sa˘gıdaki ¨ de˘gi¸sken de˘gi¸siklikleri ¸co¨z¨ um¨ u olduk¸ca kolayla¸stırır. Once t¨ urev ifadesini a¸carak denklemi tekrar yazalım: µ
d2 2 d + 2 dr r dr
¶
¸ · 2µE 2µ l(l + 1)¯h2 Rnl (r) + 2 Rnl (r) = 0 (2.53) Rnl (r) − 2 V (r) + 2 2µr h ¯ h ¯
Rnl (r) ’ a¸sa˘gıdaki ¸sekilde yazarsak Rnl (r) = ve
µ
d2 2 d + 2 dr r dr
¶
unl (r) r
1 d2 unl (r) = unl (r) r r dr2
(2.54)
(2.55)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
30
¸seklinde ifade edebilece˘gimiz i¸cin, 2.48 ile verilen radyal Schr¨odinger denklemini a¸sa˘gıdaki olduk¸ca basit ve kompakt ¸sekle d¨on¨ u¸st¨ ur¨ ur¨ uz: · ¸ d2 unl (r) 2µ l(l + 1)¯h2 + 2 E − V (r) − unl (r) = 0 dr2 2µr2 h ¯
(2.56)
Instead of solving the partial differential equation 2.39 in the three variables r, θ and φ, we now solve a differential equation involving only the variable r, but dependent on the angular momentum parameter l, which makes the eigenvalues and eigenfunctions different for each value of l. Therefore, the eigenfunctions and eigenvalues are 2l+1 degenerate.
2.6 2.6.1
¨ Ornekler Free Particle Solution
In classical mechanics, a free particle of mass µ moves along a uniform linear trajectory. Its momentum P, its energy E = P2 /2µ and its angular momentum L = r × P relative to the origin of coordinate system are constants of motion. In quantum physics, the observables P and L = r × P do not commute. Hence, they represent incompatible quantities: It is not possible to measure the momentum and the angular momentum of a particle simultaneously. Conceptually, the simplest scattering state is the free particle where potential is zero everywhere. We now look for solutions of the free particle radial Schr¨odinger equation 2.56 that is, simultaneous eigenfunctions of H, L2 and Lz corresponding to definite values of E, l and m. The radial Schr¨odinger equation for a free particle is not under any influence of potential V (r) and freely travels from -∞ to +∞. the radial Schr¨odinger equation: ¸ µ 2 ¶ · 2 d d l(l + 1)¯h2 2 + Rnl (r) = 0 Rnl (r) + k − dr2 r dr r2 where k 2 =
2µE . h2 ¯
(2.57)
The energy can only be positive in the case of free motion. If we
change variables in equation 2.57 to ρ = kr and write Rnl = Rl (ρ), we obtain for Rl (ρ) the equation: µ 2 ¸ ¶ · d 2 d l(l + 1)¯h2 2 + Rl (ρ) = 0 Rl (ρ) + k − dρ2 ρ dρ r2
(2.58)
¨ 2.6. ORNEKLER
31
Which is called spherical Bessel differential equation whose particular solutions are Jl+ 1 (ρ) and nl+ 1 (ρ). It is possible to write them in terms of the spherical Bessel 2
2
functions:
µ Jl (ρ) =
¶1/2
π 2ρ
Jl+ 1 (ρ)
(2.59)
2
and spherical Neumann functions µ l+1
nl (ρ) = (−1)
π 2ρ
¶1/2 J−l− 1 (ρ) 2
(2.60)
where Jv is an ordinary Bessel function of order v. The general form of the functions Jl (ρ) and nl (ρ) are given by µ l
Jl (ρ) = (−ρ) and
1 d ρ dρ
µ l
nl (ρ) = − (−ρ)
¶l
1 d ρ dρ
sin ρ ρ
¶l
cos ρ ρ
(2.61)
(2.62)
The asymptotic values of the spherical Bessel function for small and large ρ have the following forms Jl (ρ) =
ρl 1·3·5...(2l+1)
for ρ ¿ l (2.63)
1 ρ
£ ¤ cos ρ − π2 (l + 1) for ρ À l
The asymptotic values of the spherical Neumann function for small and large ρ are − 1·3·5...(2l−1) for ρ ¿ l ρl+1 nl (ρ) = (2.64) £ ¤ 1 sin ρ − π (l + 1) for ρ À l ρ 2 The general solution of equation 2.58 corresponding to a well-defined energy (E = h ¯ 2 k 2 /2µ) and a well-defined orbital angular momentum l is of the form Rnl (r) = AJl (kr) + Bnl (kr)
(2.65)
Here the constant B must be zero because of the finiteness of the wave function in the origin since the spherical Neumann function nl (ρ) has a pole of order l + 1 at origin and is therefore an irregular solution of 2.58. On the other hand, the spherical Bessel function Jl (ρ) is finite at the origin and is thus a regular solution. Therefore,
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
32
Spherical Bessel Functions 1
J(0,kr)
J(l,kr)0.5 J(1,kr)
J(2,kr)
0
5
10 kr
15
20
S.ekil 2.2: Spherical Bessel function for different values of l. Spherical Neuman Functions
0.5 n(0,kr)
n(1,kr)
n(2,kr)
0
J(l,kr) –0.5
–1
S.ekil 2.3: Spherical Neumann function for different values of l. the radial radial and total wave functions of the Schr¨odinger equation 2.58 for a free particle are REl (r) = AJl (kr)
(2.66)
ΨEl (r) = AJl (kr)Ylm (θ, φ)
(2.67)
The constant A is determined from the boundary condition and the normalisation. The spherical Bessel and Neumann functions are shown in figures 2.2 and 2.3. Remarks: 1. The eigenvalues k 2 can take on any value in the interval of (0, ∞) so that the
¨ 2.6. ORNEKLER energy E =
33 ¯ 2 k2 h 2µ
can assume any value in this interval and the spectrum is
continuous. 2. Every free particle eigenfunction can thus be labelled by the two discrete indeces l and m and by continuous index E (or k). So each energy eigenvalue is infinitely degenerate, since for a fixed value of E, the eigenfunctions are labelled by the two quantum numbers l and m such that l = 0, 1, 2 . . . and m = −l, −l + 1 . . . , l
2.6.2
Infinite Square Well
To determine the energy levels for a particle in a infinitely deep potential well, consider the motion of a particle of mass µ in the following spherically symmetric infinitely deep potential well: 0 for 0 < r ≤ a V (r) = ∞ otherwise
(2.68)
A particle could never scatter from the well because it is infinitely deep. It’s a bit like a black hole. Once you fall in you can never get out. When r ≤ a, inside the well, the particle moves freely and the states of motion with a well-defined orbital angular momentum are given by the the solution of the radial Schr¨odinger equation: ¶ · ¸ µ 2 d 2 d l(l + 1)¯h2 2 + Rl (ρ) + k − Rl (ρ) = 0 (2.69) dρ2 ρ dρ r2 where k 2 =
2µE h2 ¯
and ρ = kr. The solutions of this equation are given by the spherical
Bessel and neumann functions Rnl (r) = AJl (kr) + Bnl (kr)
(2.70)
The wave function of the particle vanishes for r ≥ a as the particle cannot penetrate into a region where the potential infinite. In order to satisfy this boundary condition, we must set B = 0. Therefore, the radial and total wave functions of the particle are Rnl (r) = AJl (kr)
(2.71)
ΨElm (r) = AJl (kr)Ylm (θ, φ)
(2.72)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
34
To find the energy eigenvalues, we apply the continuity condition at r = a jl (ka) = 0
(2.73)
Since, for a given l, the Bessel function has an infinite umber of zeros, we find an infinite number of values kn,l and of energy levels, that is, the energy levels are degenerate. En,l =
h ¯2 2 k 2µ n,l
(2.74)
For the loews l values, the spherical Bessel functions are j0 (kr) =
sin kr ; kr
sin kr j1 (kr) = − cos kr; µ kr ¶ cos kr 3 j2 (kr) = − + − 1 sin kr kr (kr)2
(2.75) (2.76) (2.77)
and for higher values of l they may be easily be constructed from the recurrence relation jl (kr) =
l 0 jl−1 (kr) − jl−1 (kr) kr
(2.78)
Their zeros may be determined from simple transcendental equations: j0 (ka) = 0 if sin ka=0 or ka = nπ
(2.79)
j1 (ka) = 0
(2.80)
j2 (ka) = 0
if tan ka=ka if tan ka =
3ka 3−(ka)2
(2.81)
For (l = 0, 1and2), the eigenvalues are shown in table 2.74 for different n values. We can easily evaluate the energies of the stationary states by substituting these values in equation 2.74. Tablo 2.1: Values of the kn , la for different l and n values l
n=1
n=2
n=3
n=4
0 (s)
3.14159
6.28319
9.42478
12.5664
1 (p)
4.49341
7.72525
10.9041
14.0662
2 (d)
5.76346
9.09501
12.3229
15.5146
¨ 2.6. ORNEKLER
35 Energy Levels of Infinite Square Well
16
14
12
10
ka 8
6
4
2 n=1
n=2
n=3
n=3
all states
0
S.ekil 2.4: Eigenvalues of Infinite square well The eigenvalues as shown in table 2.1 are also displayed in figure 2.4. It is also possible to obtain a graphical solution to eigenvalue problem. The intersection of the curves f (ka) = sin ka and G(ka) = 0 determines the eigenvalues of the l = 0 state. The same hold for l = 1 and l = 2 and so on. These graphics and intersections of two curves are shown in figure 2.5. In the remaining part of this section, we will examine the s-state (l=0) wave function and probability density. The general solution given by 2.72 for l = 0 is ΨE00 (r) = Rn0 (r)Y00 (θ, φ)
(2.82)
where Rn0 is given by J0 (kr).
Rn0 (r) = A
sin(kr) r
(2.83)
The boundary condition REl (a)=0 requires that sin(ka) = 0
(2.84)
ka = nπ
(2.85)
or
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
36
f(ka) = sin(ka)
l=0
1
0.5
0
2
6
4
8
10
12
14
ka
–0.5
–1
l=1
15
g(ka) = ka
f(ka) = tan(ka)
10
5
0
2
4
6
x
8
10
12
14
–5
–10
–15
g(ka)=3ka/(3-(ka)^2)
S.ekil 2.5: The intersections of curves f (ka and g(ka) for l = 0(s − state), 1(p − state)and2(d − state).
¨ 2.6. ORNEKLER
37
1 R(r)
0
2 r
1
3
4
Legend n=1 n=2 n=3
S.ekil 2.6: Infinite square potential wave functions for different values of n. Therefore En0
n2 π 2 h ¯2 h ¯ 2k2 = = 2µ 2µa2
n=1,2,3,. . .
(2.86)
Therefore, the normalized wave function is r 2 sin(nπr/a) Rn0 (r) = a r and
r
2 sin(nπr/a) a r
Ψn00 (r) = Rn0 (r)Y00 (θ, φ) = r 1 sin(nπr/a) Ψn00 (r) = 2πa r
(2.87) r
1 4π
(2.88) (2.89)
The radial component of the full wave function is shown in figure 2.6 for different n values. Figure 2.7 shows the radial probability density, which gives the probability to find the particle between r and r + dr.
2.6.3
Finite Square Well
Let us consider the motion of a particle of mass µ in a spherically symmetric potential well:
−V for r ≤ a 0 V (r) = 0 r>a
(2.90)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
38
0.4
P(r) 0.2
0 2 r
1
3
4
Legend n=1 n=2 n=3
S.ekil 2.7: Normalized radial probability density, r2 R2 , for different n values (l = 0). The states of motion with a well-defined orbital angular momentum are characterised by the radial Schr¨odinger equation. There are two possible cases for the solution of this equation. In the case where E > 0 is called continuum solutions and E < 0 are called bound state solutions. Bound States
· ¸ d2 Rnl (r) l(l + 1) 2 + −κ − Rnl (r) = 0 r > a dr2 r2 · ¸ d2 Rnl (r) l(l + 1) 2 + k − Rnl (r) = 0 r ≤ a dr2 r2
(2.91) (2.92)
Where 2µ E h ¯2 2µ [E + V0 ] = h ¯2 2µ = V0 h ¯2
κ2 = −
(2.93)
k2
(2.94)
k02
(2.95)
For r < a, if we change variable to ρ = kr and write Rl (ρ) ≡ Rnl (r), we find that the radial function Rl (ρ) satisfies the spherical Bessel differential equation. As in
¨ 2.6. ORNEKLER
39
the case of free particle, the condition that Rl (ρ) must be zero at the origin restricts us to the spherical Bessel functions. Therefore, inside the well, we have Rnl (r) = Ajl (kr) r ≤ a
(2.96)
where A is a constant. For r > a, the equation is identical to the free particle equation, but E < 0. In order to put equation 2.91 in the form of the spherical Bessel differential equation, we must redefine ρ to be given by ρ = iκr. Since r > a, the domain of ρ does not extend down to zero, so that there is no reason to limit our choice to the spherical Bessel functions, which is regular at the origin. Instead, a linear combination of the spherical Bessel and Neumann functions (or Hankel functions) is perfectly admissible. So, the solution is Rnl (r) = Ah1l (iκr)
(2.97)
Rnl (r) = B(jl (iκr) + iniκr ) r > a
(2.98)
where B is a constant. First three functions h1l (iκr) are
h10 (κr) = −ieiκr µ ¶ i 1 h1 (κr) = − − 1 eiκr κr µ ¶ 3 3i 1 h2 (κr) = − − 2 2 + i eiκr κr κ r
(2.99) (2.100) (2.101)
The recurrence relation can be used to find higher values of l: h1l+1 (κr) =
2l + 1 1 h (κr) − h1l−1 (κr) kr l
(2.102)
From the continuity and normalization relations, we can determine the constants A and B in equation 2.98. Their ration may be eliminated from the continuity relation of the logaritmic derivative at the well surface, r = a, 0
0
h1 (iκr) j (ka) iκa l1 = ka l hl (iκr) jl (ka)
(2.103)
where prime denotes the differention to respective arguments. Since 2.103 relates κ with k, it fixes the eigenvalues of the energy in any given well.
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
40
Equation 2.103 after elementary but lengthy calculation leads an eigenvalue relation which may be written:
tan(ka) = −
k l=0 λ
λ2 ak tan(ka) = 2 2 2 ¡ k 2aλ +2k¢ + λ k0 − k ak p tan(ka) = l=1 k 2 a k0 2 − k 2 + k0 2
(2.104) (2.105) (2.106)
For (l = 0and1), the eigenvalues are shown in table 2.95 for different n values. We can easily evaluate the energies of the stationary states by substituting these values in equation 2.95. Tablo 2.2: Values of the kn , la for different l and n values l
n=1
n=2
n=3
0 (s)
2.85234
5.67921
8.42320
1 (p)
4.07500
6.95885
9.62405
The eigenvalues as shown in table 2.2 are also displayed in figure 2.8. For l = 2, the transcendental equation is even difficult to solve and we are not going to do it in this part. Another way to determine the eigenvalues is by finding the intersection of two curves f (k) and g(k) in equations 2.106 by using the parameters: k0 a2 =
2µV0 a2 h2 ¯
=
100. As it is seen from figure ?? that two curves f (k) and g(k) exactly intersects at these points. In the interior region, we see from equation ?? that u is sine function. The minimum requirement to have at least one bound state is therefore to satisfy the condition given by equation ??. In order to satisfy this, the ka must advance beyond π 2
in region r < a so that u has a negative slope at a; otherwise it is impossible to
have a decreasing exponential. That is, 2µ π2 2µ = k 2 a2 = 2 (V0 − B)a2 < 2 V0 4 h ¯ h ¯
(2.107)
¨ 2.6. ORNEKLER
41 Energy Levels of Finite and Infinite Square Wells 12
10
8
ka 6
4
2
n=1
n=2
n=3
all states
0
S.ekil 2.8: Comparison of the Finite (solid line) and Infinite (dotted line) square well ka values for l = 0(s − state)and1(p − state).
2.6.4
Delta Well
Consider following delta potential for the s-wave state −V δ(r − a) for r ≤ a 0 V (r) = 0 r>a
(2.108)
The Schr¨odinger equation for l=0 with B ≡ −E becomes d2 uE0 (r) 2µ + 2 [V0 δ(r − a) − B] uE0 (r) = 0 for r ≤ a dr2 h ¯ d2 uE0 (r) 2µ − 2 BuE0 (r) = 0 for r > a dr2 h ¯ The delta function has the following properties: 0 for r 6= a δ(r − a) = 1 for r = a
(2.109) (2.110)
(2.111)
For r 6= a the potential V (r) is zero, therefore the equation 2.110 becomes: d2 uE0 (r) − k 2 uE0 (r) = 0 in whole region except r = a dr2 where k 2 =
2µ B. h2 ¯
(2.112)
The solution for r < a is u1E0 (r) = Ae−kr + Bekr
(2.113)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
42
10 f(ka)=cot(ka)
8
6
4
2
0
2
6
4
8
10
ka –2
–4
–6
g(ka)
–8
–10
4
f(ka)
l=1
2 g(ka)
0
2
4
x
6
8
10
–2
–4
S.ekil 2.9: Finite square well: Intersections of curves f (ka and g(ka) for l = 0(s − state), 1(p − state)and2(d − state).
¨ 2.6. ORNEKLER
43
The solution for r > a is u2E0 (r) = Ce−kr
(2.114)
The interior solution must satisfy the boundary condition at r = 0, u1E0 (0), that is, A = −B. Hence, the solution for r < a becomes u1E0 (r) = A(e−kr − ekr ) or
(2.115)
u1E0 (r) = 2A sinh kr
(2.116)
The continuity of wave function at r = a requires that 2A sinh ka = Ce−ka
(2.117)
To math the derivatives at r = a as well, we need to apply lim²→0 sides of the equation 2.112. Using following properties Z a−² u(r)δ(r − a)dr = u(a) and lim ²→0 a−² Z a−² lim u(r)dr = 0 ²→0
R a−² a−²
dr to both
(2.118) (2.119)
a−²
We get h 0 i 2µ 01 2 lim uE0 (a + ²) − uE0 (a − ²) 2 V0 u(a) = 0 or ²→0 h ¯ 2µ −kCe−ka − 2kA cosh ka + 2 V0 Ce−ka = 0 h ¯ −ka taking Ce = 2A sinh ka from equation 2.117 2µ −kA sinh ka − kA cosh ka + 2 V0 sinh ka = 0 h ¯
(2.120) (2.121)
(2.122)
hence k coth ka =
2µ V0 − k h ¯2
The intersects of the curves f (k) = k coth ka and g(k) =
(2.123) 2µ V h2 0 ¯
− k gives the eigen-
values. In order them to intersect, the condition is 2µ V0 > k h ¯2
(2.124)
This is the minimum requirement to have at least one bound state. As shown in figure 2.10, by using following parameters: a=4.0, h ¯ = 1, µ = 1, we find k value as:k1 =0.999664. As it is seen from this figure that two curves f (k) and g(k) exactly intersects at this point.
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
44 4
f(k) = kcoth(ka)
3
2
1
0
0.5
1
2 k
1.5
2.5
3
3.5
4
–1 g(k) = 2-k –2
S.ekil 2.10: Plot of the functions f (k) and g(k).
2.6.5
Coulomb Potansiyeli
2 ˙ Indirgenmi¸ s m k¨ utleli bir par¸cacı˘gın u ¨c¸ boyutlu uzayda V (r) = − Zer potansiyelin-
deki hareketi i¸cin radyal Schr¨odinger denklemi; ∂ ∂r
µ r
2 ∂R
∂r
¶
·
2µ + 2 h ¯
µ
1 Ze2 +E 4πε0 r
¶
¸ ` (` + 1) − R (r) = 0 r2
(2.125)
Denklemi daha basit hale getirmek i¸cin; r α=
Ze2 λ= 4πε0 h ¯
8µE − h ¯
r
µ −2E
(2.126)
ρ = α · rd¨on¨ u¸su ¨m¨ u yapılırsa; ∂ ∂ρ ∂ = ∂r ∂ρ ∂r ∂ ∂ =α ∂r ∂ρ
⇒
⇒
∂2 ∂2 = ∂r2 ∂ρ2
µ
∂ρ ∂r
¶2
2 ∂2 2 ∂ =α ∂r2 ∂ρ2
(2.127)
(2.128)
Bu ifadeleri (2.3.1) denkleminde yerine yazarsak; · µ ¶ ¸ 2 ∂R 2µ 1 Ze2 ` (` + 1) 2 R α +α· ·α + 2 +E − α R=0 ∂ρ2 ρ ∂ρ 4πεo ρ ρ2 h ¯ 2∂
2
denklem α2 ’ye b¨ol¨ un¨ urse;
(2.129)
¨ 2.6. ORNEKLER
45
· µ ¶ ¸ 2µ 1 Ze2 ∂ 2 R 2 ∂R E ` (` + 1) + + 2 + 2 − R=0 ∂ρ2 ρ ∂ρ 4πε0 ρα α ρ2 h ¯
(2.130)
α’nın yukarıdaki de˘geri yerine yazılırsa, 2
2
∂ R 2 ∂R 2µ 2µE 1 Ze ´+ 2 ³ + 2 · + 2 h ¯ ∂ρ ρ ∂ρ h ¯ 4πε0 ρ √ h ¯ −8µE
µ
2
h ¯ −8µE
¶ −
` (` + 1) R = 0 (2.131) ρ2
Denklemde gerekli sadele¸stirmeler yapılırsa;
2
2
∂ R 2 ∂R 1 1 Ze 1 ` (` + 1) q + + − − R (ρ) = 0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ h ¯ 4πε0 ρ 4µ 4 ρ2
(2.132)
−8µE
"
2
2
∂ R 2 ∂R 1 Ze + + 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ 4πε0 h ¯
Ãs
4µ2 −8µE
!
# 1 ` (` + 1) − − R (ρ) = 0 4 ρ2
· ¸ λ 1 ` (` + 1) ∂ 2 R 2 ∂R + + − − R (ρ) = 0 ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ 4 ρ2
(2.133)
(2.134)
Elde edilen bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metodu ile ¸c¨oz¨ ul¨ ur. Ancak ¸co¨z¨ ume ge¸cmeden ¨once, denklemin asimtotik davranı¸sına bakalım. Radyal fonksiyonunun genel ¨ozelliklerinden, k¨ u¸cu ¨k ρ de˘gerleri i¸cin; lim R (r) ∼ = rl
(2.135)
r→0
¸seklinde olaca˘gı bilinmektedir. B¨ uy¨ uk ρ de˘gerleri i¸cin (ρ → ∞) denklemdeki
1 4
terimi
di˘gerlerini bastıraca˘gı i¸cin , yakla¸sık olarak; ³ ´ ∂ 2 ∂R ρ − 14 R ∼ = 0alınabilir. (2.2.4) ∂ρ ∂ρ ρ
ρ
Bunun genel ¸co¨z¨ um¨ u; R (ρ) = Ae− 2 + Be 2 olur. ¸co¨z¨ um¨ un ıraksak olmaması i¸cin ρ
B=0 olması gerekmektedir (¸cu ¨nk¨ u ρ → ∞ , e 2 → ∞olur). ρ
O halde ¸c¨oz¨ um R (ρ) = Ae− 2 ‘dir. (2.2.5) ρ
B¨ ut¨ un ρ ‘lar i¸cin ge¸cerli ¸c¨oz¨ um ise; R (ρ) = Ae− 2 f (g) (2.2.6) Bu durumda (2.2.6) denkleminin ¸c¨oz¨ um¨ u (2.134) denklemidir. (2.2.6) , (2.134)’ de yerine yazılırsa; ∂ 2f + ∂ρ2
µ
¶ · ¸ 2 ∂f 1 ` (` + 1) −1 + λ− − f =0 ρ ∂ρ ρ ρ2
(2.136)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
46
(2.136) ‘den f (ρ) ‘nin bulunması ile R (ρ) bulunmu¸s olur. (2.136) denklemi kuvvet serisi metodu ile ¸co¨z¨ ul¨ ur.
2
s
f (ρ) = a0 + a1 ρ + a2 ρ + · · ·· = ρ
∞ X
ai ρi
(2.137)
i=0
a0 6= 0 s ≥ 0gibi bir seri alınır Denklem (2.137) , (2.136)’de yerine yazılırsa;
∞ X © ª [(s + i) (s + i + 1) − ` (` + 1)] ai ρs+i−2 − (s + i + 1 − λ) ai es+i−1 = 0 i=0
(2.138)
Daha basit olarak yazılırsa;
[s (s + 1) − ` (` + 1)] a0 ρ
s−2
∞ X + [ {(s + j + 1) (s + j + 2) − ` (` + 1)}aj+1 −(s + j + 1 − λ) aj ] ρs+ j=1
(2.139) Bu durumda denklemin I. ve II. terimi ayrı ayrı sıfıra e¸sit olmalıdır. ¨once I.terimi dikkate alırsak;
s (s + 1) − ` (` + 1) = 0
⇒
s (s + 1) = ` (` + 1)
(2.140)
s = `ve s = − (` + 1) II.terimi dikkate aldı˘gımızda ise;
aj+1 = ρ = 0’da ρ−(`+1) =
1 ρ(`+1)
s+j+1−λ aj (s + j + 1) (s + j + 2) − ` (` + 1)
(2.141)
→ ∞ oldu˘gu i¸cin s = − (` + 1) ¸co¨z¨ um¨ u fiziksel olarak
kabul edilemez. s = ` kabul edilebilir ¸co¨z¨ umd¨ ur. (2.2.11) (2.2.11) denklemi, (2.141) ’da yerine yazılırsa;
aj+1 =
j+`+1−λ aj (j + l + 1) (j + l + 2) − ` (` + 1)
(2.142)
Burada serinin yakınsak olup olmadı˘gına bakılmalıdır. j 1 aj+1 = = j→∞ aj j·j j lim
(2.143)
¨ 2.6. ORNEKLER
47
2
Bu durum eρ ‘nin seri a¸cılımı ile aynıdır.
eρ = 1 +
X ρi ρ ρ2 ρ3 + + + · · ·· = 1! 2! 3! j!
(2.144)
Oran testi uygulanırsa; aj+1 j! j! 1 = = ≈ j→∞ aj (j + 1)! j! (j + 1ihmal ) j lim
(2.145)
ρ → ∞’da eρ → ∞ oldu˘gundan f (ρ) ıraksak olur. Bu sorunu a¸smanın yolu seri ¸co¨z¨ um¨ un¨ un sonlu sayıda bitmesini sa˘glamaktır. Bu ise tekrarlama ba˘gıntısında payın sıfır olmasıyla m¨ umk¨ und¨ ur. Payın sıfır olabilmesi i¸cin λ = n(2.2.13) ¸sartı yeterlidir. n = ` + 1, ` + 2, ` + 3 (burada n=temel kuantum sayısı,`= y¨or¨ unge kuantum sayısıdır). B¨oylece f (ρ) ve R (ρ)
ıraksamadan
kurtarılmı¸s oldu. (2.2.6),(2.137) ve (2.2.11) denklemlerinden 2
− ρ2
R (ρ) = Ae
`
ρ
∞ X
ai ρi
(2.146)
i=0
L (ρ) =
∞ X
ai ρi
(2.147)
i=0
tanımlanırsa, denklemin genel ¸sekli; ρ2
R (ρ) = Ae− 2 ρ` L (ρ)halini alır. (2.2.16) (2.137) , (2.2.11) ve (2.147) denklemlerinden f (ρ) = ρ` L (ρ)yazılır. (2.2.17) (2.2.17) ve (2.2.13), denklem (2.136) ’de yerlerine yazılırsa; 2
ρ ∂∂ρL2 + [2 (` + 1) − ρ] ∂L + [n − (` + 1)] L = 0Ba˘glı laguerre diferansiyel denklemi ∂ρ (2.2.18) P = 2` + 1ve q = n + ` (2.2.19) ¸seklinde tanımlanırsa, denklem; 2
ρ2 ∂∂ρL2 + (p + 1 − ρ)
∂Lpq ∂ρ
+ (q − p) Lpq = 0denklemine indirgenir (2.2.20)
Bu denklem ba˘glı laguerre diferansiyel denklemidir. ¸c¨oz¨ umleri ise Lpq ba˘glı laguerre polinomlarıdır. B¨oylece R (ρ) radyal dalga fonksiyonu ; ρ
Rn` (ρ) = An` ρ` e− 2 L2`+1 n+1 (ρ)elde edildi (2.2.21)
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
48
S¸imdi ise (2.2.21) denklemindeki An` ‘ yi bulalım. Bu ise normalizasyon ¸sartı kullanılarak bulunur; Z∞ ∗ Rn` Rn` r2 dr = 1
(2.148)
0
ρ = αr
(2.149)
dρ = αdr ⇒ dr =
dρ α
(2.150)
ρ2 r = 2 α 2
(2.151)
(2.2.21), (2.148) ’de yerine yazılırsa; A2n` α3
Z∞
£ ¤2 2 e−ρ ρ2` L2`+1 ρ dρ = 1 n+`
(2.152)
0
diklik ba˘gıntısından
R∞ 0
£ ¤2 2 e−ρ ρ2` L2`+1 ρ dρ = n+`
2n[(n+1)!]3 (n−`−1)!
yazılabilir.
s α3 (n − ` − 1)! 2n [(n + `)!]3
An` =
r α=
8µEn 8µ α =− 2 =− 2 h ¯ h ¯ 2
(2.153)
−8µEn h ¯2
(2.154)
µ ¶2 1 µZ 2 e4 1 − 4πε0 2¯h2 n2
(2.155)
µ
¶ 1 µ2 e4 Z 2 α =4 n2 ¯4 (4πε0 )2 h | {z } 2
1 a0
α2 = α=
2Z (a: a0 n
bohr yarı¸capı) (2.2.25)
(2.2.25) , (2.153) ’de yerine yazılırsa;
(2.156)
2
4Z 2 a20 n2
(2.157)
¨ 2.6. ORNEKLER
49 sµ An` =
2Z a0 n
¶3
(n − ` − 1)! 2n [(n + `)!]3
(2.158)
B¨oylece H atomunun dalga fonksiyonunun radyal fakt¨or¨ u; sµ Rn` =
2Z a0 n
¶3
(n − ` − 1)! − ρ ` 2`+1 e 2 ρ Ln+1 (ρ) 2n [(n + `)!]3
(2.159)
Hidrojen atomu i¸cin dalga fonksiyonları
` Ψn,`,m` (r, θ, ϕ) = Rn` (r) f`,m` (θ) gm` (ϕ) = Rn` (r) Υm ` (θ, ϕ)
sµ Ψn,`,m` (r, θ, ϕ) =
2Z a0 n
¶3
(2.160)
s (n − ` − 1)! e 2n [(n + `)!]3
− ρ2
ρ
`
L2`+1 n+1
(ρ)
2` + 1 (` − m` )! m` P (cos θ) 2 (` + m` )! ` (2.161)
(3.1) olur ve buna k¨ uresel harmonikler denir. Dikkat edilirse Ψ`,m` (θ, ϕ) ’ler sabit yarı¸caplı bir k¨ ure u ¨zerinde θ ve ϕ ’nin periyodik de˘gi¸simlerini temsil etmektedir. K¨ uresel harmonikler adını bu fiziksel anlamdan alırlar. Hidrojen atomu i¸cin enerji seviyeleri q q µ Ze2 n α = −8µE , ρ = αr ve λ = n tanımlanmı¸stı. , λ = 4πε0 ¯ h −2E h2 ¯ λ =n ¸sartını kullanırsak; Z 2 e4 µ 2 2 h ¯ (4πε0 ) 2E
(2.162)
µZ 2 e4 1 En = − 2 2 (4πε0 ) h ¯ 2n2
(2.163)
n2 = −
¶2 µe4 1 Z 2R 13, 6eV 1 Z2 2 2 = − 2 = − (2.164) En = − 4πε0 n n2 2¯ h n ³ ´2 4 µe 1 = 13, 6eV cinsinden yazılırsa, enerji denklemi Rydberg sabiti R = 4πε 2¯ h2 0 µ
2
En = − Zn2R = − 13,6eV .Kuantum seviyelerinin enerjileriEn = − 13,6eV form¨ ul¨ unden n2 n2 bulunur.
r
1 imϕ e 2π
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
50
Hidrojen atomunda elektron,enerjisi en d¨ u¸su ¨k olan n=1 seviyesinde kalır. Uyarılmı¸s seviyelerin ¨omr¨ u 10−8 sn seviyesi mertebesinde iken taban seviyesinin ¨omr¨ u sonsuzdur. B¨oylece Hidrojen atomunun enerji seviyelerini veren denklem elde edilmi¸s oldu.S¸imdi n=1,2,3,,, de˘gerlerine kar¸sılık gelen enerji seviyelerini g¨osterelim. En Seviyeler w E4 =
E1 16
4s (1) 4p (3) 4d (5) 4f (7) 16
E3 =
E1 9
3s (1) 3p (3) 3d (5)
9
E2 =
E1 4
2s (1) 2p (3)
4
1s (1)
1
E1 = −13, 6eV
Tablo 2.3: Hidrojen atomu i¸cin enerji seviyeleri ve dejenere de˘gerleri
S¸imdi,hidrojen atomu i¸cin buldu˘gumuz dalga fonksiyonlarına tekrar d¨onelim. Hidrojen atomu i¸cin dalga fonksiyonu
` Ψn,`,m` (r, θ, ϕ) = Rn` (r) f`,m` (θ) gm` (ϕ) = Rn` (r) Υm ` (θ, ϕ)
(2.165)
˙ b¨ol¨ ¸seklindeydi. Ilk umde de belirtti˘gim gibi bulunan b¨ ut¨ un bu sonu¸clar hidrojende (Z=1) oldu˘gu gibi di˘ger atomlarda da (Z¿1) ge¸cerlidir. A¸sa˘gıda hidrojen ve benzer atomların n=1,2 ve 3 i¸cin dalga fonksiyonları yer almaktadır.
Ψ100
Ψ200
1 = √ 4 2π
Ψ210
Ψ21±1
Ψ300
1 =√ 2π ½
1 = √ 4 2π
1 = √ 8 2π
1 = √ 81 3π
½
Z a0
Z a0
½
½
½
¾ 32 µ
Z a0
Z a0
¾ 23
Z a0
¾ 32
¾ 32
e
− Zr a
Zr 2− a0
(2.166)
0
¶ e
Zr − 2a
0
Zr Zr − 2a e 0 cos θ a0
Zr Zr − 2a e 0 sin θe±iϕ a0
¾ 32 µ ¶ Zr Zr 2Z 2 r2 − 3a 0 + e 27 − 18 a0 a20
(2.167)
(2.168)
(2.169)
(2.170)
¨ 2.6. ORNEKLER
51
Ψ310
Ψ31±1
√ ½ ¾ 32 µ ¶ Zr 2 Z Zr Zr − 3a = √ 6− e 0 cos θ a0 a0 81 3π a0
1 = √ 81 3π
Ψ320 =
½
1 √
Z a0
½
81 6π
Ψ32±1 =
1√ 81 π
Ψ32±2 =
¾ 32 µ
Z a0
¾ 32
n o 32
1√ 162 π
Z a0
Zr 6− a0
Zr Zr − 3a e 0 sin θe±iϕ a0
¢ Zr ¡ Z 2 r2 − 3a 2 0 3 cos θ − 1 e a20 Zr
Z 2 r2 − 3a0 e a20
n o 32 Z a0
¶
sin θ cos θe±iϕ
Zr
Z 2 r2 − 3a0 e a20
sin2 θe±2iϕ
(2.171)
(2.172)
(2.173)
(2.174)
(2.175)
52
¨ UM ¨ 2. KUANTUM FIZIGI ˘ TEKRAR BOL
B¨ ol¨ um 3 TEMEL KAVRAMLAR ve ˙ REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRILMASI 3.1 3.1.1
Bazı Temel Kavramlar C ¸ ekirde˘ gin K¨ utlesi, B¨ uy¨ ukl¨ ug ˘u ¨ ve Ba˘ glanma Enerjisi
C ¸ ekirde˘gin k¨ utlesi atomik k¨ utle birimi cinsinden ifade edilir. Atomik k¨ utle birimi (akb yada u),
12
C atomunun k¨ utlesinin
1 ’sine 12
e¸sit olan k¨ utledir.
1akb = 1u = 1.66.10−24 gr = 931.502
M eV c2
(3.1)
Proton ve n¨otronun k¨ utlesi,
mp = 1.00759uvemn = 1.008982u
(3.2)
¸seklindedir. G¨or¨ uld¨ ug˘u ¨ gibi protonun k¨ utlesi n¨otronun k¨ utlesine yakla¸sık e¸sittir. ¸cekirdek, A seklinde sembolize edilir. Burada A, Z ve N sırasıyla ¸cekirde˘gin k¨ utle Z XN ¸ numarası, atom numarası veya proton sayısı ve n¨otron sayısıdır. K¨ utle numarası A = Z + N ¸seklindedir. ¸cekirdekler A, Z ve N sayılarına g¨ore ¨ozel isimler alır; Atom numarası (Z) aynı, k¨ utle numarası (A) farklı olan ¸cekirdeklere izotop ¸cekirdek denir. ¨orne˘gin 1 H, 2 H ve 3 H gibi. ¸cekirdeklerin k¨ utlesi do˘gadaki izotoplarının a˘gırlık¸ca y¨ uzde oranları ile belirlenir. N¨otron sayısı aynı (N ), proton sayısı farklı olan ¸cekirdeklere 53
¨ UM ¨ 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN ˙ 54BOL SINIFLANDIRILMASI izoton denir. ¨orne˘gin 4 He ve 3 H gibi. K¨ utle numarası aynı (A) olan ¸cekirdekler ise izobar ¸cekirdeklerdir. C ¸ ekirde˘gin b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨ n¨ ukleer metotlarla (α sa¸cılması, hızlı n¨otron sa¸cılması gibi) veya elektromanyetik metotlarla (elektron sa¸cılması, ayna ¸cekirdekler, izotop etkisi v.s.) belirlenir. ¸cekirde˘gin yarı¸capı
R∼ = 10−15 m = 1f m mertebesindedir ki
atomun yarı¸capından 105 defa k¨ u¸cu ¨kt¨ ur (Ratom ∼ = 10−10 = 1A0 ). Elektron sa¸cılma deneylerinin sonu¸cları g¨osterir ki, n¨ ukleer yo˘gunluk ¸cekirdek i¸cinde yakla¸sık sabit, y¨ uzeyde ise hızlı bir ¸sekilde sıfıra gitmektedir (S¸ekil 2.1).
S.ekil 3.1: C ¸ ekirde˘gin y¨ uk yo˘gunlu˘gunun n¨ ukleer yarı¸capa g¨ore de˘gi¸simi. 1
N¨ ukleer yarı¸cap R ∝ A 3 ¸seklinde de˘gi¸smektedir. Deneysel ¸calı¸smalar sonunda 1
n¨ ukleer yarı¸capın R = r0 A 3 ¸seklinde de˘gi¸sti˘gi g¨or¨ ul¨ ur. Burada r0 sabiti deneysel olarak bulunabilir. Deneysel y¨ uk yo˘gunlu˘gu,
ρ(r) =
ρ0 1 + exp( r−R ) a
(3.3)
ifadesine uyar. Burada ρ0 ¸cekirde˘gin merkez yo˘gunlu˘gu, R ¸cekirde˘gin yo˘gunlu˘gunun yarıya d¨ u¸st¨ ug˘u ¨ mesafe ve a ise ¸cekirdek kabuk kalınlı˘gının bir ¨ol¸cu ¨s¨ ud¨ ur. t kabuk kalınlı˘gı olmak u ¨zere t = 4.4a dır. Kabuk kalınlı˘gı t, n¨ ukleer yo˘gunlu˘gun %90’ından %10’una d¨ u¸st¨ ug˘u ¨ uzaklık olarak tanımlanır. Yapılan deneyler t¨ um ¸cekirdeklerin 1
merkez yo˘gunluklarının aynı oldu˘gunu ve yarı¸capın A 3 ile de˘gi¸sti˘gini g¨ostermektedir.
3.1. BAZI TEMEL KAVRAMLAR
55
N¨ ukleer b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨n de˘geri bazı deneysel metotlarla bulunabilir. Bu deneyleri iki gurupta toplayabiliriz: a) N¨ ukleer metotlar b) Elektromagnetik metodlar. ¸cekirde˘gin ilk metotla elde edilen yarı¸capına n¨ ukleer yarı¸cap denir. N¨ ukleer yarı¸cap ¸cekirde˘gin merkezi ile gelen mermi ¸cekirde˘gin n¨ ukleer kuvvetten etkilenmeye ba¸sladı˘gı uzaklık olarak tanımlanabilir. Bu metotlarla elde edilen yarı¸caplar biraz daha b¨ uy¨ uk olacaktır. ¸cu ¨nk¨ u n¨ ukleer kuvvet bir ¸cekirde˘gin ger¸cek fiziki b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨nden biraz daha b¨ uy¨ uk uzaklıklara etkiyecektir. A¸sa˘gıdaki Tablo2.1’de n¨ ukleer kuvvetin yarı¸capı ve y¨ uk yarı¸capı farklı metotlarla bulunan de˘gerleri g¨osterilmektedir [7]. G¨or¨ uld¨ ug˘u ¨ gibi n¨ ukleer kuvvetin yarı¸capı y¨ uk yarı¸capından daha b¨ uy¨ ukt¨ ur.
Metot
r0 (fm)
A. Kuvvet Yarı¸ capı 1. Alfa sa¸cılması
1.414
2. Alfa bozulması
1.48
3. Hızlı n¨otronların sa¸cılması
1.37
B. Y¨ uk yarı¸ capı 1. Elektron sa¸cılması
1.26
2. Mezonik atom
1.2
3. Ayna ¸cekirdekler
1.28±0.05
4. Proton sa¸cılması
1.25±0.05
˙ 5. Izotopik kayma
1.20 1
Tablo 3.1: Farklı metotlarla bulunan n¨ ukleer yarı¸captaki (R = r0 A 3 ) r0 de˘gerleri. C ¸ ekirdekte proton ve n¨otronları bir arada tutan kuvvet n¨ ukleer kuvvettir. N¨ ukleonlar bir araya gelerek ¸cekirde˘gi olu¸sturduklarında olu¸san ¸cekirde˘gin k¨ utlesi bunu olu¸sturan n¨ ukleonların k¨ utlesinden k¨ u¸cu ¨kt¨ ur. Fark k¨ utle, k¨ utle kaybı olarak adlandırılır ve ∆E = ∆M c2 ¸seklinde enerji kar¸sılı˘gı vardır. Aslında n¨ ukleonların bir araya gelmesi sırasında a¸cı˘ga ¸cıkan bu enerji kaybı ba˘glanma enerjisidir. Kısaca ba˘glanma enerjisi n¨ ukleonları bir araya getirmek i¸cin gerekli olan enerjidir. Ba˘glanma enerjisi, Eb = (Zmp + N mn − mc )c2
(3.4)
¨ UM ¨ 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN ˙ 56BOL SINIFLANDIRILMASI ¸seklinde ifade edilir. ¸cekirdeklerin n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjilerinin bir sistemati˘gi yapıldı˘gı zaman S¸ekil 6.2’ dekine benzer oldu˘gu g¨or¨ ul¨ ur.
S.ekil 3.2: Kararlı ¸cekirdekler i¸cin n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjisinin atomik k¨ utleye g¨ore de˘gi¸simi. Bu ¸sekilden ¸cıkarılabilecek bazı sonu¸clar: 1.) C ¸ ekirdeklerin n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjileri yakla¸sık sabittir; A = 60i¸cin
B A
∼ = 8.7M eV maksimum de˘gerini alırken, A = 240 i¸cin,
B A
∼ = 7.5M eV de˘gerini
alır. Burada B ¸cekirde˘gin ba˘glanma enerjisi ve A ise atomik k¨ utlesidir. 2.) K¨ u¸cu ¨k k¨ utleli ¸cekirdeklerin bazılarında (sihirli sayılar) e˘gri kom¸su ¸cekirdeklere 16 g¨ore pik yapar; 42 He, 12 cekirdeklerin ba˘glanma enerjisi ¸cok b¨ uy¨ ukt¨ ur. Bu 6 C,8 O gibi ¸
¨ozelli˘gi sıvı damlası modeli a¸cıklayamaz, bunun i¸cin kabuk modeli geli¸stirilmi¸stir. 3.) E˘gri, f¨ uzyon ve fisyonun olabilirli˘gini do˘grulamaktadır; k¨ utle numarası b¨ uy¨ uk olan ¸cekirdekler kararsızdır. Kararlı olabilmesi i¸cin daha k¨ uc¸u ¨k ¸cekirdeklere b¨ol¨ un¨ urler. Bu sırada a¸cı˘ga ¸cıkan enerji ¸cok b¨ uy¨ ukt¨ ur. ¨orne˘gin 238 U’in n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjisi 7.5MeV, ikiye b¨ol¨ und¨ u˘gu ¨nde olu¸san par¸cacıkların ba˘glanma enerjisi 8.5MeV oldu˘gu i¸cin a¸cı˘ga ¸cıkan enerji 1MeV dir. 200 n¨ ukleon i¸cin 200MeV gibi devasa bir enerji a¸cı˘ga ¸cıkar. Benzer ¸sekilde iki hafif ¸cekirdek hızlandırıcılar aracılı˘gıyla ¸carpı¸stırıldı˘gında daha b¨ uy¨ uk k¨ utleli kararlı ¸cekirdek olu¸sur. Bu sırada yine dı¸sarıya enerji salınır.
3.2. SPIN, PARITE VE MOMENTLER
57
4.) ¸cekirdeklerin n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjisinin sabit olu¸su n¨ ukleonların yalnız kom¸su n¨ ukleonlarla etkile¸sti˘gini do˘grulamaktadır. Bu ise n¨ ukleer kuvvetin menzilinin neden ¸cok kısa oldu˘gunu a¸cıklar.
3.2
Spin, Parite ve Momentler
C ¸ ekirdeklerin toplam a¸cısal momentumu, y¨or¨ unge a¸cısal momentumu ile spin a¸cısal ~ + S). ~ momentumlarının toplamıdır (I~ = L N¨ ukleonların spini
1 2
dir. ¸cift N ve
¸cift Z ye sahip olan ¸cekirdeklerin spinleri ise sıfırdır. Ayrıca k¨ utle numarası (A) tek ise ¸cekirde˘gin spini bu¸cuklu, ¸cift ise tamsayı de˘gerler aldı˘gı deneylerle kanıtlanmı¸stır. I ≥ 1 ise ¸cekirde˘gin statik elektrik kuadropol momenti (Q) vardır. Elektrik kuadropol moment ¸cekirde˘gin ¸seklini belirler. E˘ger statik elektrik kuadropol momenti Q > 0 ise ¸cekirdek simetri ekseni boyunca yandan basık yani paroloidtir. formasyon parametresi β > 0 dır (S¸ekil 2.3’deki
24
Ayrıca de-
Mg ¸cekirde˘gi). E˘ger Q < 0
ise ¸cekirdek simetri ekseni boyunca u ¨sten basıktır yani obleidtir (S¸ekil 2.3’deki 12
C ¸cekirde˘gi).
I = 0 veya I =
1 2
ise Q = 0 dır ve ¸cekirde˘gin k¨ uresellikten
ayrılması ¸siddetli olmadı˘gı i¸cin k¨ uresel ¸cekirdekler gibi d¨ u¸su ¨n¨ ul¨ ur (S¸ekil 2.3’deki 160
Gd ¸cekirde˘gi). Ayrıca ¸cekirdeklerin statik magnetik dipol momentleri, Bohr mag-
netonu ile kar¸sıla¸stırıldı˘gında µN =
e¯ h 2mc
∼ ul¨ ur. Burada µN = 10−3 µB oldu˘gu g¨or¨
n¨ ukleer magnetondur[6].
S.ekil 3.3: Bazı ¸siddetli deforme olmu¸s ¸cekirdeklerin ¸sekilleri.
¨ UM ¨ 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN ˙ 58BOL SINIFLANDIRILMASI Bir sistemin veya ¸cekirde˘gin dalga fonksiyonu ya ¸cift (simetrik) ya da tek (antisimetrik) bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonu ¸cift ise yani b¨ ut¨ un koordinatların i¸sareti de˘gi¸stirildi˘ginde dalga fonksiyonu de˘gi¸smiyorsa ba¸ska bir de˘gi¸sle Ψ(x, y, z) = Ψ(−x, −y, −z) ise durumun paritesi ¸cifttir veya +1’ dir denir.
Dalga fonksiy-
onu tek ise yani b¨ ut¨ un koordinatların i¸saretleri de˘gi¸stirildi˘ginde fonksiyon i¸saret de˘gi¸stiriyorsa, ba¸ska bir de˘gi¸sle Ψ(x, y, z) = −Ψ(−x, −y, −z) ise durumun paritesi -1 dir denir.
3.3
C ¸ ekirdekte Uyarılmı¸s Durumlar
Atoma benzer olarak ¸cekirdekler n¨ ukleer reaksiyonlar sonucu uyarılabilir. E˘ger tek valans n¨ ukleon artı kapalı kabuk ¸sekline sahipsek, (bu alkali atomların tek valans elektronuna sahip olmasına benzerdir) d¨ u¸su ¨k uyarılmı¸s durumlar olacaktır. Bu tek par¸cacık seviyelerinin uyarılması ve bu seviyelerin belirlenmesi n¨ ukleer yapının kabuk modeli anlayı¸sı i¸cin ¨onemlidir [6]. N¨ ukleer reaksiyonlar sırasında hedef ve mermi ¸cekirdeklerin kompleks bir yapıda oldu˘gunu d¨ u¸su ¨n¨ ursek, gelen par¸cacı˘gın enerjisine ba˘glı olarak hedef veya mermi veya her ikisi de uyarılabilir. Uyarılma ¨oncelikle y¨ uzeydeki de˘gerlik n¨ ukleonlarından ba¸slar. Enerji ¸cok y¨ uksekse i¸cerdeki n¨ ukleonlarda uyarılabilir. Uyarılma sonucunda n¨ ukleon 2+ , 4+ , v.s. durumlarına sahip olur. N¨ ukleonlar bu uyarılmı¸s durumlarda uzun s¨ ure kalamaz, kararlı olabilece˘gi taban durumuna hareket eder. Bu hareketi sırasında dı¸sarıya enerjik γ − ı¸sınları yayınlarlar. Bu ı¸sınları analiz ederek kompleks ¸cekirdeklerin uyarılmı¸s enerji seviyeleri hakkında derin bilgiler edinebiliriz ki bu da kabuk modeli anlayı¸sının do˘grulu˘gu i¸cin ¨onemlidir. N¨ ukleon bir u ¨st uyarılmı¸s durumlardan taban durumuna ge¸cerken veya taban durumundan u ¨st uyarılmı¸s seviyelere ¸cıkarken verdi˘gi veya aldı˘gı d¨onme kinetik enerjisi,
E(I) =
h ¯2 [I(I + 1) − I0 (I0 + 1)] 2I
(3.5)
¸seklinde verilir. Burada I, uyarılmı¸s seviyelerin spini ve E(I) uyarılma enerjisidir. I0 ise E(I0 ) = 0 da taban durumundaki spindir. I ise ¸cekirde˘gin eylemsizlik momentidir. ¸cift N ve ¸cift Z ye sahip olan ¸cekirdekler i¸cin I0 = 0 ve bir ¸cok durumda yalnız ¸cift-I en d¨ u¸su ¨k banttadır [6].
¨ ¨ 3.4. NUKLEER KUVVET VE OZELLIKLERI
59
C ¸ ekirdeklerin d¨onme kinetik enerjisine ek olarak titre¸sim enerjisi de vardır. Bu titre¸sim enerjisi n¨ ukleonların yakla¸sık k¨ uresel harmonik osilasyon yapmasından kaynaklanır. Bu osilasyonların kuantası fononlar olarak adlandırılır ve enerjisi h ¯ ωλ ya sahiptir. ¸cift N ve ¸cift Z ¸cekirdeklerde uygun enerji spektrumu,
En(λ) = n(λ)¯ hωλ
(3.6)
¸seklindedir. Burada n(λ) = 0, 1, 2, ... de˘gerlerini alır ve fonon sayısı 2λ dır. Titre¸sim durumları arasındaki ge¸ci¸sler ¸cok ¸siddetli olur fakat d¨onme durumundaki kadar ¸siddetli de˘gildir [6].
3.4
¨ N¨ ukleer Kuvvet ve Ozellikleri
Mikroskobik sistemlerin i¸c dinamiklerini kuvvetler cinsinden direk olarak yazamayız. Fakat bir potansiyelden t¨ uretebiliriz. Dolayısıyla n¨ ukleer kuvvetleri anlamak i¸cin yazılan n¨ ukleer potansiyellerin ¨ozellikleri ¸cok ¨onemlidir. ¸cekirde˘gi dikkate aldı˘gımızda protonlar y¨ uklerinden dolayı birbirlerine elektrostatik kuvvet uygularlar, bunu Coulomb potansiyeliyle temsil edebiliriz. Bu itici potansiyeli ¸cok ¸siddetli olan ¸cekici n¨ ukleer potansiyel dengeler fakat n¨ ukleer potansiyel o kadar ¸siddetlidir ki n¨ ukleonlar birbirlerine ¸cok yakla¸sır. ¸cekirde˘gin bu ¸co¨k¨ u¸su ¨ merkezcil potansiyel tarafından ¨onlenir ki bu potansiyel yakla¸sık 0.5fm’ de etki etmeye ba¸slar. Bu u ¨¸c potansiyelin veya kuvvetin dengesi sonucu ¸cekirdek kararlı yapıda kalır. Proton sayısı b¨ uy¨ uk olan ¸cekirdeklerde n¨otronların, proton-proton etkile¸simini perdelemesine ra˘gmen Coulomb kuvveti n¨ ukleer kuvveti yener ve ¸cekirdek kararsız hale gelerek b¨ol¨ unmek zorunda kalır. Deneysel g¨ozlenirlerden ve teorik verilerden n¨ ukleer kuvvet hakkında a¸sa˘gıdakileri yazabiliriz: 1.) N¨ ukleer kuvvet kısa menzilli ¸cekici ve ¸cok ¸siddetlidir. Ancak n¨ ukleonlar arasındaki uzaklık 0.5fm’den daha az oldu˘gu zaman, n¨ ukleonlar itici ve ¸siddetli bir kuvvetle kar¸sıla¸sır ki bu Pauli dı¸sarlama prensibine uyar. 2.) N¨ ukleer kuvvetin menzili en fazla ¸cekirdek mertebesindedir; n¨ ukleonlar yalnız kom¸su n¨ ukleonlarla etkile¸sir. 3.) N¨ ukleer kuvvetler doyma karakteristi˘gi g¨osterir. Yani ¸cekirdek i¸cindeki n¨ ukleonların etkile¸sti˘gi n¨ ukleon sayısı sınırlıdır. B/A oranın n¨ ukleon sayısından
¨ UM ¨ 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN ˙ 60BOL SINIFLANDIRILMASI ba˘gımsız olu¸su bunu do˘grulamaktadır. Ayrıca yo˘gunlu˘gun ¸cekirdek i¸cerisinde sabit olu¸su buna delil olarak g¨osterilebilir. 4.) N¨ ukleer kuvvet y¨ ukten ba˘gımsızdır. Yani p-p, n-n ve p-n etkile¸simi i¸cin n¨ ukleer potansiyel aynıdır. 5.) N¨otron-proton sa¸cılma deneyleri y¨ uksek enerjilerde protonun n¨otrona n¨otronun protona d¨on¨ u¸st¨ u˘gu ¨n¨ u g¨ostermektedir. O halde ¸cekirdek kuvvetleri arasında bir de˘gi¸s toku¸s kuvveti olması gerekir.
3.5
N¨ ukleer Reaksiyonların Sınıflandırılması
N¨ ukleer reaksiyonların ger¸cekle¸smesi i¸cin mermi par¸cacıkların Coulomb bariyerini delmesi gerekir. Bunun i¸cin gelen par¸cacık lineer hızlandırıcılarla, siklotronlarla hızlandırılır veya n¨ ukleer reakt¨orlerde y¨ uksek enerjili ı¸sınlar kullanılabilir. N¨ ukleer reaksiyonlar,
a+A→B+b+Q
(3.7)
¸seklinde ifade edilirler veya daha kısa g¨osterimle A(a,b)B ¸seklinde g¨osterilirler. Burada a hızlandırılan par¸cacık, A hedef ¸cekirdek, B hedefte duran ve do˘grudan g¨ozlenemeyen a˘gır iyon, b tesbit edilen ve sayılabilen par¸cacık ve Q reaksiyon sırasında a¸cı˘ga ¸cıkan enerji veya reaksiyonun ger¸cekle¸smesi i¸cin gerekli olan enerjidir. Burada a ve b genellikle n¨ ukleon veya hafif ¸cekirdeklerdir. Q ifadesi,
Q = Ef − Ei = (mB + mb )c2 − (mA + ma )c2
(3.8)
¸seklinde verilir. E˘ger Q pozitif ise reaksiyon endotermiktir, yani dı¸sarı ısı salar. Q negatif ise reaksiyon ekzotermiktir, yani dı¸sardan ısı alan bir reaksiyondur [8]. N¨ ukleer reaksiyonlar y¨onetildi˘gi mekanizmaya g¨ore; bile¸sik ¸cekirdek reaksiyonları, direk reaksiyonlar ve bu ikisi arasındaki durum olan rezonans reaksiyonları olarak sınıflandırılabilir.
3.6. BILES¸IK C ¸ EKIRDEK REAKSIYONLARI
3.6
61
Bile¸sik ¸cekirdek Reaksiyonları
Bu t¨ ur reaksiyonlar, a + A → C ∗ → B ∗ + b reaksiyonu ¸seklinde bir C ∗ ara durumuna sahiptirler. Bile¸sik ¸cekirdek reaksiyonlarının meydana gelme s¨ uresi 10−22 sn den daha b¨ uy¨ ukt¨ ur. Bile¸sik ¸cekirdek reaksiyonları hafif ¸carpı¸smaya ihtiya¸c duydu˘gu i¸cin d¨ u¸su ¨k enerjilerde (10-20MeV) meydana gelirler. Tesir kesitleri direk reaksiyonlara g¨ore ¸cok b¨ uy¨ ukt¨ ur ve n¨ ukleonlar arası etkile¸sim rastgele oldu˘gu i¸cin a¸cıyla pek de˘gi¸sim g¨ostermez, gelen par¸cacı˘gın y¨on¨ une hafif¸ce ba˘glıdır. Bile¸sik ¸cekirdek modeline g¨ore, bile¸sik ¸cekirde˘gin belli bir son u ¨r¨ unler k¨ umesine bozunması i¸cin ba˘gıl olasılı˘gı, bile¸sik ¸cekirde˘gin olu¸sma ¸seklinden ba˘gımsızdır. Bozunma olasılı˘gı sadece sisteme verilen enerjiye ba˘glıdır. Etkin olarak bile¸sik ¸cekirdek nasıl meydana geldi˘gini unutur ve ¨oncelikle istatistiksel kurallara g¨ore bozunur [8].
3.7
Direk Reaksiyonlar
Direk reaksiyonlar a¸sa˘gıdaki ¨ozelliklere sahiptir: 1.) Y¨ uksek enerjilerde meydana gelirler ve reaksiyonun olu¸sma s¨ uresi bile¸sik ¸cekirdek reaksiyonlarına g¨ore daha kısadır (10−22 sn den daha kısa). 2.) Reaksiyon sırasında mermi ve hedef ¸cekirdek kontak yaparak ¸siddetli absorpsiyon meydana getirirler. 3.) Etkile¸sim genelde y¨ uzeyde, de˘gerlik n¨ ukleonları arasında meydana gelir. 4.) Tesir kesitleri bile¸sik ¸cekirdek reaksiyonlarınınkine g¨ore d¨ u¸su ¨kt¨ ur; Tesir kesitleri k¨ u¸cu ¨k a¸cılarda pik yaparken b¨ uy¨ uk a¸cılarda ¸siddetleri d¨ u¸smektedir. Reaksiyonun bile¸sik ¸cekirdek reaksiyonu mu yoksa direk reaksiyon mu olaca˘gı mermi par¸cacı˘gın enerjisine ba˘glıdır: 1MeV enerjili gelen n¨ ukleonun dalga boyu 4fm dir ve bu nedenle tek n¨ ukleonları g¨oremez. Bu durumda bile¸sik ¸cekirdek meydana gelmesi daha olasıdır. 20MeV lik bir n¨ ukleonun dalga boyu 1fm civarında olup direk
¨ UM ¨ 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN ˙ 62BOL SINIFLANDIRILMASI reaksiyonların meydana gelmesi daha olasıdır [8]. Elastik sa¸cılma : Bu t¨ ur reaksiyonlarda giri¸s kanalı (a + A), ¸cıkı¸s kanalına (B + b) e¸sittir. Yani A = B ve a = b ve Q = 0 dır. Di˘ger bir de˘gi¸sle ¸cekirdeklerin i¸c dinamiklerinde bir de˘gi¸sme olmamı¸stır. ¨ornek olarak,
n +208 P b → n +208 P b
(3.9)
elastik sa¸cılması verilebilir. ˙ Inelastik sa¸cılma : E˘ger gelen par¸cacı˘gın enerjisi Coulomb bariyerini a¸sabilecek kadar g¨ uc¸l¨ u ise A hedef ¸cekirde˘gi veya hem A hem de a uyarılabilir. Yani A(a, a)A∗ veya A(a, a∗ )A∗ . Tabi ki burada a nın kompleks bir ¸cekirdek oldu˘gunu d¨ u¸su ¨n¨ uyoruz. ˙ Inelastik sa¸cılma durumunda Q de˘geri sıfırdan farklıdır; Q = −Ex , yani uyarılma durumunun enerjisine e¸sittir. Di˘ger bir de˘gi¸sle gelen par¸cacı˘gın enerjisinin bir kısmı ˙ hedef ¸cekirde˘gin uyarılmı¸s durumlarına gitmi¸stir. Inelastik sa¸cılma durumuna ¨ornek olarak,
12
C +208 P b →12 C ∗ +208 P b∗
(3.10)
α +40 Ca → α00 +40 Ca∗
(3.11)
form¨ ulleri verilebilir[6]. Par¸ calanma Reaksiyonları : E˘ger mermi ¸cekirdek kompleks bir ¸cekirdekse, reaksiyon sırasında iki veya daha fazla bile¸sene ayrılabilir. Yani A(a, xy)A veya mermi hedefi uyarırsa A(a, xy)A∗ ¸seklinde yazılabilir. Burada mermi ¸cekirdek a = x + y ¸seklinde iki par¸caya ayrılmı¸stır[6]. ur reaksiyonlarda mermi ¸cekirdekten hedefe veya Transfer reaksiyonları : Bu t¨ hedeften mermi ¸cekirde˘ge n¨ ukleon transferi olur. ¨orne˘gin A(d, p)B reaksiyonunda d¨oterondan bir n¨ ukleon hedefe aktarılmı¸stır. Bu reaksiyon d¨oteron soyma reaksiyonu olarak bilinir. Bir di˘ger ¨ornek A(p, d)Breaksiyonunda mermi n¨ ukleon hedeften bir n¨ ukleon kopararak d¨oteron olu¸sturur. Yakalama Reaksiyonları : Bu t¨ ur reaksiyonlarda mermi ¸cekirdek hedefle birle¸serek uyarılmı¸s yeni bir ¸cekirdek olu¸sturur. Olu¸san ¸cekirdek kararlı hale ge¸cebilmek i¸cin fazla enerjisini γ − ı¸sınları ¸seklinde yayar. ¨ornek olarak,
3.7. DIREK REAKSIYONLAR
p +197 Au →198 Hg + γ
63
(3.12)
reaksiyonu verilebilir. Bu reaksiyonların dı¸sında mermi ve hedef ¸cekirdek birle¸serek,
a+A→B+b+c+Q
(3.13)
bi¸ciminde ikiden fazla u ¨r¨ un ¸cekirdek de olu¸sturabilir. ¨ornek olarak, α +40 Ca →39 K + p + α0
(3.14)
reaksiyonu verilebilir[6]. Rezonans Reaksiyonları : Bu t¨ ur reaksiyonlar direk reaksiyonlarla bile¸sik ¸cekirdek reaksiyonları arasındaki reaksiyonlardır. Rezonans durumu belli enerji de˘gerlerinde m¨ umk¨ un olabilir. Yani her enerji de˘gerinde rezonans olamaz. Rezonans durumunda etkile¸sim potansiyelinin olu¸sturdu˘gu dalgaların fazı ve genli˘gi bariyer i¸cinde ve dı¸sında yakla¸sık e¸sittir.
¨ UM ¨ 3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARIN ˙ 64BOL SINIFLANDIRILMASI
B¨ ol¨ um 4 C ¸ ekirdek Kuvvetleri 4.1
C ¸ ekirdek Kuvvetleri
C ¸ ekirdek fizi˘gini geli¸smeye ba¸sladı˘gı ilk zamanlarda yalnız iki ¸ce¸sit kuvvet biliniyordu. Bunlar elektromanyetik kuvvetler ve gravitasyonel kuvvetlerdir. C ¸ ekirdek kuvvetleri tabiatları bakımından ne elektromanyetik nede gravitasyoneldirler. N¨otron y¨ uks¨ uz oldu˘gu i¸cin bu kuvvetler eletriksel olamaz. Gravitasyonel kuvvetler de ¸cok k¨ u¸cu ¨k ba˘glanma enerjileri verdi˘ginden gravitasyonelde olamaz. C ¸ ekirdekte var olan ¸cekirdek kuvvetleri makroskobik fizikte kar¸sıla¸sılan kuvvetlerden ¸cok daha b¨ uy¨ ukt¨ ur. Di˘ger taraftan, Rutherford’un yaptı˘gı sa¸cılma deneyleri, ¸cekirde˘gin merkezinden on fermi gibi, k¨ u¸cu ¨k uzaklıklarda ¸cekirdek kuvvetlerinin, aynı ¸cekirde˘ge ait elektrostatik kuvvetlere nazaran ihmal edilebilecek kadar zayıf oldu˘gunu g¨ostermektedir. Bu y¨ uzden, ¸cekirdek kuvvetlerinin sonlu ve ¸cok kısa menzile sahip oldukları s¨oylenir. C ¸ ekirdek kuvvetlerinin elktromanyetik alana benzer ¸sekilde bir alanla tasfir edilebilece˘gini m¨ umk¨ un oldu˘gunu d¨ u¸su ¨nmek yanlı¸s olmaz. C ¸ ekirde˘gin elektromanyetik alanında elktriksel potansiyel, dı¸sardan itibaren Coulomb kanununa uygun sonu¸clar verecek ¸sekilde artar. Yakla¸sık 10−13 cm ’lik bir uzaklıkta maksimuma ula¸sır. Bu yakla¸sıma g¨ore ¸cekirdek bir potansiyel seddi ile ku¸satılmı¸s gibi var sayılır. C ¸ ekirdek protonlarının ¸cok k¨ u¸cu ¨k mesafelerde bir birleri u ¨zerinde ¸cok b¨ uy¨ uk kuvvet uygulamalarına kar¸sın, ¸cekirde˘gin sa˘glamlı˘gını koruması, potansiyel engelinin i¸cinde etkili olan ¸cekirdek kuvvetlerinden dolayıdır. N¨ ukleonlar arasında etkili olan bu ¸cekici kuvvetin ¸cıkı¸s yeri tam olarak a¸cıklanamamakla 65
¨ UM ¨ 4. C BOL ¸ EKIRDEK KUVVETLERI
66
birlikte n¨ ukleonlar arasında bir tanecik alı¸s veri¸sinin (π mezon alı¸sveri¸si ) sebep oldu˘gu ileri s¨ ur¨ ulmektedir. 1935 ’de Yukawa ¸cekirdek kuvvetlerinin mezon kuramını ortaya atmı¸stır. C ¸ ekirdeklerin ¸cok k¨ u¸cu ¨k boyutlu par¸cacıklar olması hesaba katan Yukawa, n¨ ukleonlar arsından mezon alı¸sveri¸si sonucunda, kısa mesafelerde etkiyen g¨ u¸cl¨ u bir kuvvetin ortaya ¸cıktı˘gını ¨one s¨ urd¨ u ve mezonun k¨ utlesini hesapladı. Ama bu kuram ¸cekirdeklerin b¨ ut¨ un ¨ozelliklerini tanımlamada yeterli olmadı. N¨ ukleon-nukleon kuvvetinin ¨ozelliklerini maddeler halinde verirsek; 1. Kısa mesafelerde, Coulomb kuvvetinden daha g¨ u¸cl¨ ud¨ ur. 2. Uzun mesafelerde, atomik boyut mertebesinde ihmal edilebilir derecede zayıftır. 3. Atomik yapıda elektronlar ¸cekirdek kuvvetlerinden etkilenmezler. C ¸ ekirde˘gin menzili ile sınırlıdır. ukleon -n¨ ukleon kuvveti n¨ ukleonların proton veya n¨otron olup olmamasından 4. N¨ hemen hemen ba˘gımsızdır. Bu ¨ozelli˘ge y¨ uk ba˘gımsızlı˘gı denir. 5. N¨ ukleon -n¨ ukleon kuvveti n¨ ukleonların spinleririnin paralel veya anti paralel olup olmamalarına ba˘glıdır. ukleon -n¨ ukleon kuvveti, n¨ ukleonları belirli bir uzaklıkta tutan itiici bir terim 6. N¨ i¸cerir. 7. N¨ ukleon -n¨ ukleon kuvvetinin merkezi olmayan bir tens¨or bile¸seni vardır. Kuvvetin bu bile¸seni merkezi kuvvetlerde bir hareket sabiti olan y¨or¨ ungesel a¸cısal momentumu korumaz. Genel olarak bu ¨ozelliklere sahip olan ¸cekirdek kuvvetlerinin ayrıntılı do˘gası g¨ un¨ um¨ uzde bile halen tam olarak anla¸sılamamı¸stır. Bu kuvvetlerin tabiatını a¸cıklamak i¸cin ¸cekirdek modelleri ortaya atılmı¸stır. Bu kuvveti anlamanın en g¨ uzel yolu d¨oteron atomunu incelemektir.
4.2
D¨ oteron Atomu
Bir d¨oteron 2 H ¸cekirde˘gi bir n¨otron ve bir protondan olu¸smaktadır. Bir n¨otr 2 H atomuna d¨oteryum denir. D¨oteron, n¨ ukleonların en basit ba˘glı halidir ve bu y¨ uzden
¨ 4.2. DOTERON ATOMU
67
n¨ ukleon-n¨ ukleon etkile¸smesini incelemek i¸cin ideal bir ¨ornektir. Bu nedenle d¨oteron, ¸cekirdek fizi˘gi i¸cin ¸cok ¨onemlidir. Hidrojenin uyarılmı¸s durumları arasındaki elektromanyetik ge¸ci¸slerin ¨ol¸cu ¨len Balmer serilerinin hidrojenin yapısını anlamayı sa˘gladı˘gı gibi ,d¨oteronun uyarılmı¸s durumları arasındaki elektromanyetik ge¸ci¸slerde onun yapısını anlamayı sa˘glamalı. Ancak, d¨oteronun hi¸cbir uyarılmı¸s durumu yoktur. D¨oteron ¨oyle zayıf ba˘glı bir sistemdir ki,yalnız uyarılmı¸s durumlar serbest bir proton ve serbest bir n¨otrondan ibaret olan ba˘glı olmayan sistemlerdir.
4.2.1
Ba˘ glanma Enerjisi
D¨oteronun ba˘glanma enerjisi ¸cok hassas ¨ol¸cu ¨lm¨ u¸s bir niceliktir ve u ¨¸c farklı yolla belirlenebilir. I. y¨ontem D¨oteronun k¨ utlesini spektroskopiyle do˘grudan belirleyebilir ve ba˘glanma enerjisini bulmak i¸cin; £ ¡ ¢ ¡ ¢¤ B = Zm 1 H + N mn − m 2 H c2 = 2, 22463 ∓ 0, 00004M eV
(4.1)
form¨ ul¨ un¨ u kullanabiliriz. Burada m(1 H) ve mn sırasıyla protonun ve n¨otronun k¨ utleleridir. II. y¨ontem Ba˘glanma enerjisi, 2 H’yi olu¸sturmak u ¨zere bir proton ve bir n¨otronu bir araya getirerek ve 1 H + n →2 H + γ reaksiyonunda yayınlanan γ ı¸sını fotonunun enerjisi ¨ol¸cu ¨lerek do˘grudan do˘gruya da belirlenebilir. Bu enerji fotonun g¨ozlenen enerjisinden k¨ u¸cu ¨k bir geri tepme d¨ uzeltmesi kadar daha k¨ u¸cu ¨kt¨ ur. Hesaplanan ba˘glanma enerjisi 2, 224589 ∓ 0, 000002M eV ’ dir ve k¨ utle spektroskopisi de˘geriyle uyum i¸cerisindedir. III. y¨ontem Fotobozunma denilen γ +2 H →1 H + n ters reaksiyonu kullanılarak enerji hesaplanan y¨ontemdir. Bu reaksiyonda bir γ ı¸sını bir d¨oteronu par¸calar. Bu olayı ger¸cekle¸stiren en k¨ u¸cu ¨k γ ı¸sını enerjisi ba˘glanma enerjisine e¸sittir. G¨ozlenen enerji de˘geri 2, 224 ∓ 0, 002M eV ’dir. Bu de˘gerde k¨ utle spektroskopisi de˘geri ile iyi uyum g¨ostermektedir. Normalde n¨ ukleon ba¸sına ortalama ba˘glanma
¨ UM ¨ 4. C BOL ¸ EKIRDEK KUVVETLERI
68
enerjisi, yakla¸sık olarak 8M eV ’dir. O halde d¨oteron tipik ¸cekirdeklere g¨ore ¸cok zayıf ba˘glıdır. D¨oteronun incelenmesini daha kolay yapmak i¸cin a¸sa˘gıdaki ¸sekilde g¨or¨ uld¨ ug˘u ¨ gibi, n¨ ukleon-n¨ ukleon potansiyelini u ¨¸c boyutlu bir kare kuyu olarak g¨osterebilece˘gimizi varsayalım. r < R i¸cin V (r) = −V0 r > R i¸cin V (r) = 0
S.ekil 4.1: D¨oteron atomu i¸cin kare kuyu potansiyeli Burada r proton ve n¨otron arasındaki uzaklı˘gı g¨osterir. R ise d¨oteronun ¸capıdır. D¨oteronun en d¨ u¸su ¨k enerji durumunun, hidrojen atomunun en d¨ u¸su ¨k enerji durumundaki gibi ` = 0 de˘gerine sahip oldu˘gunu kabul edelim. Radyal schr¨odinger denkleminin; h ¯2 − 2m
µ
d2 R 2 dR + dr2 r dr
¶
¸ · ` (` + 1) h ¯2 R = ER + V (r) + 2mr2
(4.2)
oldu˘gunu biliyoruz. B¨olgelere ayırdı˘gımız potansiyel kuyuyu I. b¨olgeden ba¸slayarak ¸co¨zersek;
1 d r2 dr
µ r
2 dR
¶
dr
· +
k12
¸ ` (` + 1) R (r) = 0 − r2
· ¸ 2m 2 k1 = 2 (E + V0 )i0 h ¯
(4.3)
II· b¨olge i¸cinse ¸su denklemi yazabiliriz; 1 d r2 dr
µ r
2 dR
dr
¶
· +
k22
¸ ` (` + 1) R (r) = 0 − r2
· −k22
¸ 2mE = h0 h ¯2
(4.4)
¨ 4.2. DOTERON ATOMU
69
I. denklemin ¸co¨z¨ um¨ u;
ρ = k1 r
(k1 sabit)
(4.5)
d¨on¨ u¸su ¨m¨ u yapılırsa;
dρ = k1 dr d2 ρ = k12 dr2
(4.6)
Bu iki denklem (4.3) denkleminde yerlerine yazılırsa;
ρ2
¤ d2 R dR £ 2 + 2ρ + ρ − ` (` + 1) R=0 dρ2 dr
(4.7)
denklemine ula¸sırız. Bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metodu ile ¸co¨z¨ ul¨ ur. Bu denklemin birbirinden ba˘gımsız iki ¸co¨z¨ um¨ u vardır; 1. ρ → 0’da ρ` olarak sonlu davranan ve j` ile g¨osterilen k¨ uresel bessel fonksiyonu 2. ρ → 0’da ρ−(`+1) olarak ıraksayan ¸co¨z¨ umler.Bu ¸co¨z¨ umler n` (ρ) ile g¨osterilir ve k¨ uresel neuman fonksiyonu diye adlandırılır. q π J` (ρ) = 2ρ J`+ 1 (ρ) ⇒J yarı tek tamsayılı → Bessel 2 q π n` (ρ) = 2ρ N`+ 1 (ρ) ⇒N yarı tek tamsayılı →Neuman 2
A¸sa˘gıda ilk iki k¨ uresel bessel ve neuman fonksiyonları yer almaktadır.
J` (ρ) n` (ρ)
sin ρ ρ
n0 (ρ) = −
cos ρ ρ
sin ρ cos ρ − ρ ρ
n1 (ρ) = −
cos ρ sin ρ − ρ ρ
J0 (ρ) =
J1 (ρ) =
(4.8)
(4.9)
(4.10)
J` (ρ)ve n` (ρ) ‘nin lineer bile¸simleri de ¸co¨z¨ umd¨ ur. B¨oylece (3.2.4) denkleminin (Bessel denkleminin) en genel ¸co¨z¨ um¨ u;
R`I = A` J` (ρ) + B` n` (ρ)
(4.11)
¨ UM ¨ 4. C BOL ¸ EKIRDEK KUVVETLERI
70
Ancak burada ρ (r) → 0 i¸cin n` ’de sonlu olmalıdır. Bunun i¸cin B=0 olmalıdır (¸cu ¨nk¨ u r → 0’da n` sonsuz oluyor). Yani genel ¸co¨z¨ um;
R` = A` J` (k1 r)
(4.12)
II· b¨olgede de aynı de˘gi¸simi uyguladı˘gımızda denklem;
ρ2
¤ d2 R dR £ 2 + 2ρ + ρ − ` (` + 1) R=0 dρ2 dr
(4.13)
Bu denklemin ¸co¨z¨ um¨ u de di˘ger denklemin(I· b¨olge denkleminin) ¸co¨z¨ um¨ uyle ¸cok benzerdir.
R`II (r) = C` J` (k2 r) + D` n` (k2 r)
(4.14)
(4.14) genel ¸co¨z¨ um¨ un¨ u basitle¸stirmek i¸cin C` = C` cos δ` ve D` = −C` sin δ` yazaca˘gız. Bu denklemler (4.14) denkleminde yerlerine yazılırsa; R`II (r) = C` [cos δ` J` (k2 r) − sin δ` n` (k2 r)]halini alır. ` = 0i¸cin ¸co¨z¨ umler yapılırsa;
R0I (r) = A0
R0II
sin k1 r k1 r
· ¸ sin k2 r cos k2 r (r) = C0 cos δo + sin δ0 k2 r k2 r
R0II (r) =
C0 sin (k2 r + δ0 ) k2 r
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.15) ve (4.17) denklemlerine ve birinci t¨ urevlerine sınır ¸sartını (r=R) uygularsak; R0I (r) |r=R = R0II (r) |r=R ve
dI R0 (r) |r=R dr
=
dII R0 (r) |r=R dr
A0 k2 sin k1 R = C0 k1 sin (k2 R + δ0 ) Di˘ger sınır ¸sartından;
(4.18)
¨ 4.2. DOTERON ATOMU
71
A0 k2 k1 R cos k1 R − A0 k2 sin k1 R = k1 [k2 R cos (k2 R + δ0 ) − sin (k2 R + δ0 )] (4.19) (4.18) , (4.19) denkleminde yerine yazılırsa;
A0 cos k1 R = C0 cos (k2 R + δ0 )
(4.20)
(4.20) denklemini, (4.19) denklemine b¨olersek;
k1 cot k1 R = k2 cot (k2 R + δ0 )
(4.21)
Bu denklem ` = 0, r → ∞, E¿0 ‘da d¨oteronun enerji seviyesini verir. Bu denklem V0 ve R arasındaki ili¸skiyi verir. Bu denklemin ¸co¨z¨ um¨ u ancak n¨ umerik olarak yapılabilir. D¨oteronun kuyunun tepesine ne kadar yakın oldu˘gu ¸sekilden g¨or¨ ulebilir. E˘ger n¨ ukleon-n¨ ukleon kuvveti biraz daha zayıf olsaydı d¨oteronun ba˘glı durumu mevcut olmayacaktı. D¨oteron, g¨ une¸s enerjisinin meydana gelmesini sa˘glayan protonproton f¨ uzyon ¸cevriminin ilk basama˘gıdır.
72
¨ UM ¨ 4. C BOL ¸ EKIRDEK KUVVETLERI
B¨ ol¨ um 5 ¨ TEMEL NUKLEER MODELLER N¨otronun 1932 yılında Chadwick tarafından ke¸sfinden sonra Heisenberg ¸cekirde˘gin i¸cinde proton ve n¨otronların bulundu˘gunu ve bunların bir n¨ ukleer kuvvetle bir˙ birine ba˘glı oldu˘gunu s¨oyledi. Otuzlu yıllarda pek ¸cok n¨ ukleer k¨ utle Aston (Ingiliz fizik¸ci Francis Williams Aston, 1877-1945) tarafından ¨ol¸cu ¨ld¨ u ve n¨ ukleon ba¸sına ba˘glanma enerjisinin yakla¸sık olarak sabit oldu˘gunu g¨ord¨ u. Yıllar yılı ara¸stırılmasına ra˘gmen ¸cekirdek kuvveti elektromanyetik kuvvet kadar iyi anla¸sılamamı¸s ve ¸cekirdek yapısının kuramı, atom yapısının kuramına g¨ore hen¨ uz tamamlanmamı¸stır. C ¸ ekirdek kuvveti tam olarak anla¸sılmasa bile ¸cekirdek ¨ozelliklerinin ve davranı¸sının belli ba¸slı y¨onlerini a¸cıklayacak ¸cekirdek modellerinin geli¸stirilmesinde ilerleme sa˘glanmı¸stır. A¸sa˘gıda bu modellerin bazıları a¸cıklanacaktır.
5.0.2
Sıvı Damlası Modeli
Bu model ¸cekirde˘gin ¨ozelliklerini a¸cıklamak i¸cin kullanılan ilk modeldir. (Von Weizsacker 1935) 1. C ¸ ekirde˘gin k¨ uresel olması, 2. N¨ ukleon ba¸sına d¨ u¸sen ba˘glanma enerjisinin Periyodik tablonun b¨ uy¨ uk bir b¨ol¨ um¨ unde sabit olmasının, 3. N¨ ukleer maddenin k¨ utle yo˘gunlu˘gunun Periyodik tablonun b¨ uy¨ uk bir b¨ol¨ um¨ unde sabit olması, 73
¨ UM ¨ 5. TEMEL NUKLEER ¨ BOL MODELLER
74
¨ozelliklerinin sıvı damlasının ¨ozelliklerine benzemesinden yola ¸cıkılarak bu model geli¸stirilmi¸stir. Bu modelin ¨ong¨ord¨ u˘gu ¨ yarı deneysel ba˘glanma enerjisi ba˘gıntısı ¸ce¸sitli de˘gi¸sikliklerden sonra ¸su hali almı¸stır:
Eb = Eh + Ey + Ec + Ea + Ec Z(Z − 1) a5 (A − 2Z)2 = a1 A − a2 A2/3 − a3 − a ± 3/4 4 1/3 A A A
(5.1) (5.2)
Denklemde yer alan katsayılar: a1 =14.1 MeV, a2 =13.0 MeV, a3 =0.59 MeV, a4 =19.0 MeV, a5 =33.5 MeV. Bu ifadenin terimlerini ¸su ¸sekilde a¸cıklayabiliriz. Eh hacim terimi: Bu terim her bir n¨ ukleonun t¨ um etrafının n¨ ukleonlarla ¸cevrili ˙ n¨ oldu˘gu varsayımına dayanılarak yazılmı¸stır. Iki ukleon arasındaki ba˘glanma enerjisi U olarak d¨ u¸su ¨n¨ uld¨ ug˘u ¨nde n¨ ukleon ba¸sına d¨ u¸sen ba˘glanma enerjisi 21 U olarak bulunur. Bir n¨ ukleon en k¨ u¸cu ¨k hacmi kaplayacak ¸sekilde paketlendi˘ginde 12 n¨ ukleona temas edece˘ginden sahip oldu˘gu ba˘glanma enerjisi 6U olarak elde edilir. Bir ¸cekirdekteki A tane n¨ ukleonun hepsinin i¸cte olması durumunda, ¸cekirde˘gin ba˘glanma enerjisi:
Eh = 6AU olacaktı. Eh enerjisi hacim enerjisi olarak anılır A ile do˘gru orantılıdır ve basit¸ce Eh = a1 AU ¸seklinde ifade edilir. EY Y¨ uzey terimi: Bu terim n¨ ukleonların t¨ um¨ un¨ un ortada olmamasından yani bir kısmının y¨ uzeyde olmasından dolayı hacim terimi i¸cin eklenen d¨ uzeltme terimidir. Ger¸cekte, ¸cekirde˘gin bazı n¨ ukleonları ¸sekilde g¨or¨ uld¨ u˘gu ¨ gibi 12 den daha az kom¸suya sahiptir. Bu t¨ ur n¨ ukleonların sayısı, ¸cekirdek y¨ uzeyinin b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨ne ba˘glıdır. R yarı¸caplı uy¨ uk bir ¸cekirde˘gin y¨ uz¨ol¸cu ¨m¨ u 4πR2 = 4πR02 A2/3 ‘dir. Dolayısıyla, ba˘g sayısı en b¨ de˘gerden az olan n¨ ukleonların sayısı, A2/3 ile orantılı olup bu, ba˘glanma enerjisini Ey = −a2 A2/3 kadar azaltır. Negatif Ey enerjisi bir ¸cekirde˘gin y¨ uzey enerjisi diye anılır. Bu en ¸cok, hafif ¸cekirdeklerde ¨onemlidir; ¸cu ¨nk¨ u bunlarda n¨ ukleonların daha b¨ uy¨ uk bir
75
S.ekil 5.1: Y¨ uzeydeki n¨ ukleonlar, ¸cekirde˘gin i¸c kısmındakilere g¨ore daha az sayıda n¨ ukleonla etkile¸sir bu y¨ uzden ba˘glanma enerjisi daha azdır. ¸cekirdek ne kadar b¨ uy¨ ukse, y¨ uzeydeki n¨ ukleonların sayısı o kadar azdır. (Modern Fizi˘gin Kavramları, Arthur Beiser) kesri y¨ uzeydedir. Do˘gal sistemler her zaman en d¨ u¸su ¨k potansiyel enerjili yerle¸simlere do˘gru gittiklerinden, ¸cekirdekler en b¨ uy¨ uk ba˘glanma enerjili yerle¸simlere do˘gru giderler.
Dolayısıyla, bir ¸cekirdek, bir sıvı damlasıyla aynı y¨ uzey gerilimi etkilerini
g¨osterecek ve di˘ger etkilerin yoklu˘gunda k¨ uresel olacaktır, ¸cu ¨nk¨ u, verilmi¸s bir hacim i¸cin en d¨ u¸su ¨k y¨ uz¨ol¸cu ¨m¨ une sahiptir. Ec Coulom terimi: Bu terim potansiyel enerjiden dolayı ba˘glanma enerjisine gelen katkıyı g¨osterir. Bir ¸cekirdekteki her proton ¸cifti arasındaki elektriksel itmede ba˘glanma enerjisini azaltmaya katkıda bulunur. Bir ¸cekirde˘gin Ec Coulomb enerjisi, Z tane protonu sonsuzdan ¸cekirdek b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨nde bir k¨ uresel toplulu˘ga getirmek i¸cin yapılması gereken i¸stir. Birbirinden r uzaklı˘gındaki bir ¸cift protonun potansiyel enerjisi ¸so¨yledir:
V =−
e2 4πε0 r
Z(Z-1)/2 tane proton ¸cifti oldu˘gundan Z(Z − 1) Z(Z − 1)e2 Ec = V =− 2 8πε0
µ ¶ 1 r ort
bulunur. Burada (1/r)ort , 1/r nin b¨ ut¨ un proton ¸ciftleri u ¨zerinden ortalaması alınmı¸s de˘geridir. Protonlar R yarı¸caplı bir ¸cekirdek i¸cine d¨ uzg¨ un olarak da˘gılmı¸slarsa (1/r)ort 1/R ye dolayisiyla 1/A1/3 ile orantılıdır: Ec = −a3 Z(Z−1) A1/3
¨ UM ¨ 5. TEMEL NUKLEER ¨ BOL MODELLER
76
Coulomb enerjisi, negatiftir. C ¸u ¨nk¨ u ¸cekirdek kararlılı˘gına kar¸sıt bir etkiden dolayı ortaya ¸cıkmı¸stır. Ea Asimetri terimi: Bu terim Z6=N durumunda ba˘glanma enerjisinde meydana gelen azalmayı g¨osterir. Z6=N durumunda ikisinin e¸sit oldu˘gu durumdakinden farklı ˙ enerji seviyesi arasında ε olarak daha y¨ uksekteki enerji durumları doldurulur. Iki kadar fark oldu˘gunu varsayarsak A0 yı de˘gi¸stirmeden N − Z = 8 gibi bir n¨otron fazlalı˘gı olu¸sturmak istersek , N = Z olan bir ¸cekirdekte
1 (N-Z) 2
= 4 n¨otronun
protonların yerine ge¸cmesi gerekir. Yeni n¨otronlar, yerlerine ge¸ctikleri protonlara g¨ore enerjileri 2 ε
= 4e/2kadar y¨ uksek olan d¨ uzeylere yerle¸seceklerdir. Yeni n¨otron
sayısının 1/2(N — Z)oldu˘gu genel durumda, her bir n¨otronun enerjisi 1/2(N — Z )ε/2 kadar artacaktır. Gereken toplam i¸s ¸s¨oyle bulunur: µ ∆E = (yeni notronlarin sayisi)
enerjideki artis yeni notron
¶
·
¸· ¸ 1 1 ε ε = (N − Z) (N − Z) = (N − Z)2 2 2 2 8 N=A-Z oldu˘gundan (N-Z)2 =(A-2Z)2 ve ε ∆E = (A − 2Z)2 8
3.2.9
bulunur. Bir ¸cekirdekteki n¨ ukleonların sayısı ne kadar b¨ uy¨ ukse, enerji d¨ uzey!eri arasındaki ε aralı˘gı o kadar k¨ u¸cu ¨k olup ε, 1/Aile orantılıdir. Bu sebepten N ile Zarasındaki farktan do˘gan Ea asimetri enerjisi ¸so¨yle yazilabilir:
Ea = −∆E = −a4
(A − 2Z)2 A
3.2.10
Asimetri enerjisi negatiftir, ¸cu ¨nk¨ u, ¸cekirde˘gin ba˘glanma enerjisini azaltır. E¸c ¸ ciftlenme terimi: Bu terim iki aynı n¨ ukleonun aynı olmayanlara g¨ore daha kuvvetli ba˘glanmasından kaynaklanır. E¸c ¸ciftlenme enerjisi ¸cift-¸cift ¸cerkidekler i¸cin pozitif, tek-¸cift ve ¸cift-tek ¸cekirdekler i¸cin 0, tek-tek ¸cekirdekler i¸cinse negatif de˘ger alır.
Ec = (±, 0)
a5 A3/4
3.2.11
77
5.0.3
3.2.2-Kabuk Modeli
Kabuk modeli u ¨zerine kurulan atom teorisi, atom yapısının karma¸sık yapısını a¸cıklamakta ¸cok ba¸sarılı olmu¸stur. Bu modelde kabuklar giderek artan enerjili elektronlarla, Pauli prensibine uyacak ¸sekilde doldurulur. En dı¸staki tabakanın doluluk oranı, atomun davranı¸sının bazı ¨onemli taraflarını belirler. Model, atomik ¨ozelliklerin esas olarak de˘gerlilik elektronları tarafından belirlendi˘gi varsayımına dayanır. Atomik sistemlerin, ¨ol¸cu ¨len bazı de˘gerleri modelin ¨ong¨ord¨ ukleri ile kar¸sıla¸stırıldı˘gında b¨ uy¨ uk bir uyum i¸cinde oldu˘gu g¨or¨ ul¨ ur. Proton ve n¨otronun ayırma enerjileri yarı deneysel ba˘glanma enerjisi form¨ ul¨ u ile hesaplanan de˘gerlerden sapmalar g¨ostermesi, n¨ ukleer kabukların varlı˘gını destekleyen kanıtlardan biridir. Ayrılma enerjisi, atomik iyonla¸sma enerjisi gibi N veya Z ile d¨ uzg¨ un olarak artar. Ayrılma enerjilerindeki ani ve kesikli davranı¸slar aynı proton ve n¨otron sayılarında ortaya ¸cıkar. Bu sayılara (N veya Z= 2,8,20,50,82 ve 126) sihirli sayılar denir. ¸cekirde˘gin kabuk modeli, sihirli sayıların varlı˘gını ve bazı di˘ger ¸cekirdek ¨ozelliklerini, n¨ ukleonların bir ortak kuvvet alanındaki davranı¸slarıyla a¸cıklama y¨on¨ unde bir giri¸simdir. Kabuk kuramı L.S ¸ciftleniminin sadece l de˘gerlerinin k¨ u¸cu ¨k oldu˘gu en hafif ¸cekirdekler i¸cin ge¸cerli oldu˘gunu kabul eder. Bu modelde, ilgili par¸cacıkların Si i¸csel spin a¸cısal momentumları, bir S toplam spini olu¸sturmak u ¨zere birbirleriyle e¸sle¸sirler. Li y¨or¨ unge a¸cısal momentumları, bunlardan ayrı olarak bir L toplam y¨or¨ unge momentumu olu¸sturmak u ¨zere birbirleriyle ba˘gla¸sırlar. Daha sonra S ve p h olan bir J toplam a¸cısal momenL, birbiriyle ba˘gla¸sarak, b¨ uy¨ ukl¨ u˘gu ¨ J(J + 1)¯ tumunu olu¸stururlar. Bir ara etkile¸sim bi¸ciminin ge¸cerli oldu˘gu bir ge¸ci¸s b¨olgesinden sonra, daha a˘gır ¸cekirdekler jj etkile¸simi g¨osterirler. Bu durumda ¨once her par¸cacı˘gın Si ye Li ’si p ba˘gla¸sarak, o par¸cacık i¸cin b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨ J(J + 1)¯h olan bir Ji olu¸sturur, sonra de˘gi¸sik Ji ler birbiriyle ba˘g1a¸sarak J toplam a¸cısal momentumunu o1u¸sturur1ar. jj etkile¸simi ¸cekirdeklerin b¨ uy¨ uk bir ¸co˘gunlu˘gu i¸cin ge¸cerlidir. Kabuk modeli sihirli sayılardan ba¸ska, bir¸cok ¸cekirdek olgusunu da a¸cıklar. ¨oncelikle, zıt spinli iki par¸cacık tarafından doldurulabilen enerji alt d¨ uzeylerinin varlı˘gı ¸cift Z ve ¸cift N’li ¸cekirdeklerin bolluk e˘gilimini a¸cıklar. Kabuk modeli ¸cekirdek a¸cısal momentumlarını da ¨onerebilir. ¸cift-¸cift ¸cekirdeklerde,
¨ UM ¨ 5. TEMEL NUKLEER ¨ BOL MODELLER
78
b¨ ut¨ un proton ve n¨otronlar, birbirlerinin spin ve y¨or¨ unge a¸cısal momentumlarını yok edecek ¸sekilde ¸ciftlenmelidirler. Dolayısıyla ¸cift-¸cift ¸cekirdeklerin ¸cekirdek a¸cısal momentumları g¨ozlendi˘gi gibi sıfır olmalıdır. ¸cift-tek ve tek-¸cift ¸cekirdeklerde, tek ba¸sına kalan “artık” n¨ ukleonun bu¸cuklu spini, ¸cekirde˘gin geriye kalan kısmının tam sayı a¸cısal momentumuyla birle¸serek yarım tamsayılı bir toplam a¸cısal momentum verir. Tek-tek ¸cekirdeklerin her birinin bir fazla n¨otronu ve bir fazla protonu bulunup bunların yarım tamsayılı spinlerini verece˘gi toplam a¸cısal momentum tamsayı olur. Bu ¨ong¨or¨ uyle her ikisi de deneyle do˘grulanmı¸stır. Spin-y¨or¨ unge etkile¸smesi i¸cin uygun bir ye˘ginlik kabul edildi˘ginde, her iki sınıf n¨ ukleonun da enerji d¨ uzeyleri S¸ekil 3.2.2’de g¨osterildi˘gi gibi dizilir. D¨ uzeyler; n, toplam kuantum sayısına e¸sit olan bir ¨onsayı, o d¨ uzeydeki her par¸cacık i¸cin l de˘gerini alı¸sılagelmi¸s bi¸cimde (l = 0, 1, 2, 3, 4. . . ’ ye kar¸sılık gelmek u ¨zere sırasıyla s, p, d, f, g,. . . ) belirten bir harf ve j’ye e¸sit olan bir alt indisle g¨osterilir. Spin-y¨or¨ unge etki1e¸smesi, belli bir j’ye kar¸sılık gelen her durumu, Ji ’nin 2j+1 tane m¨ umk¨ un y¨onelimi oldu˘gundan, 2j+1 alt duruma yarar. Ayrı ayrı tabakalar kavramıyla uyum i¸cindeki aralıklarla, d¨ uzeylerin birbirine olan uzaklıklarında b¨ uy¨ uk enerji bo¸slukları olu¸sur. Her ¸cekirdek tabakasındaki ¸cekirdek durumlarının sayısı, y¨ ukselen enerji sıralandırmasıyla 2, 6,12, 8, 22, 32, ye 44’t¨ ur. Dolayısıyla tabakalar, bir ¸cekirdekte 2, 8, 20, 28, 50, 82 ye 126 n¨otron veya proton bulundu˘gunda dolmu¸stur.
5.0.4
3.2.3-Kolektif Model
Aage Bohr ve Ben Mottelson tarafından ortaya atılan Kolektif model daha ¨once anlatılan sıvı damlası ve kabuk modelin birle¸stirilmesi sonucu olu¸smu¸s, ba¸sarılı sonu¸clar veren bir modeldir. Bu model; kabuk modelinde g¨or¨ ulen, ¸cekirdeklerin manyetik ve kuadropol momentlerini belirlemedeki eksiklikleri, bazı ¸cekirdeklerin uyarılmı¸s enerji seviyeleri i¸cin beklenen de˘gerlerinde meydana gelen hatalar giderilir. Bunun yanında ¸cift-¸cift olmayan b¨ ut¨ un ¸cekirdeklerin k¨ uresel olmayan ¸sekilleri ile d¨onen bir ¸cekirde˘gin merkezka¸c kuvvetinden do˘gan ¸sekil bozukluklarını da hesaba katar. A¸sa˘gıdaki ¸sekillerde (S¸ekil 3.2.3 ve 3.2.4) ¸cift-¸cift ¸cekirdeklerin kolektif davranı¸s ˙ 2+ uyarılmı¸s durumunun (S¸ekil 3.2.3) i¸ceren d¨ort farklı ¨ozelli˘gi g¨osterilmi¸stir. Ilk enerjisinin A’nın fonksiyonu olarak olduk¸ca d¨ uzg¨ un bi¸cimde azaldı˘gı g¨or¨ ulmektedir. A=150 ile A=190 arasındaki b¨olgede E(2+ ) de˘gerleri hem ¸cok k¨ u¸cu ¨k hem de sabittir.
79
S.ekil 5.2: Kabuk modeline g¨ore n¨ ukleon enerji d¨ uzeylerinin sıralanı¸sı (¨ol¸cekli de˘gil) Sa˘gdaki s¨ ut¨ undaki sayılar g¨ozlenen sihirli sayılara kar¸sılık gelir. (Modern Fizi˘gin Kavramları, Arthur Beiser)
¨ UM ¨ 5. TEMEL NUKLEER ¨ BOL MODELLER
80
Yine, kapalı kabuk yakınındaki ¸cekirdekler hari¸c E(4+ )/ E(2+ ) oranları (S¸ekil 3.2.4) A=150’den k¨ u¸cu ¨k ¸cekirdekler i¸cin kabaca 2,0 ve 150¡A¡190 ile A¿230 b¨olgelerinde 3,3 de˘gerine sahiptir.
˙ S.ekil 5.3: ¸cift-Z, ¸cift N’li ¸cekirdeklerin en d¨ u¸su ¨k 2+ durumların enerjileri. Izotoplar d¨ uz ¸cizgilerle birle¸stirilmi¸stir. (N¨ ukleer Fizik, K.S. Krane) Daha ¨once Kabuk modelinin, N=126’nın bir n¨otron sihirli sayı oldu˘gu yolundaki ¨ong¨or¨ u g¨ozlemle uyum i¸cindedir. Fakat, Z¿109 olan ¸cekirdekler bilinmedi˘ginden Z=126 ’nin bir proton sihirli sayısı olup olmadı˘gı do˘grulanamamaktadır. Hattˆa, Z= 82’den sonraki proton sihirli sayısının, ¸cekirdekteki protonların Coulomb potansiyel enerjilerinden dolayı, Z=126’dan k¨ u¸cu ¨k olması olasılı˘gı vardır. B¨ uy¨ uk Z i¸cin bu enerji, ¸cekirdek potansiyel enerjisine g¨ore ¨onem kazanır. Coulomb potansiyeli, d¨ u¸su ¨k l’ li proton d¨ uzeyleri u ¨zerinde daha b¨ uy¨ uk bir etkiye sahiptir ¸cu ¨nk¨ u, b¨oyle d¨ uzeylerin olasılık yo˘gunluklarının arttı˘gı ¸cekirdek merkezi civarında daha kuvvetlidir. Sonu¸cta proton d¨ uzeylerinin sırası Z= 114’¨ u bir proton sihirli sayısı yapacak ¸sekilde de˘gi¸stirir. Kollektif model bu sonucu biraz daha de˘gi¸stirerek Z=110’un Z=82’den sonraki proton sihirli sayısı i¸cin daha iyi bir aday oldu˘gunu ileri s¨ urer. Dolayısıyla Z=110 (veya 110 ile 114 arasında) ve N=184 olan bir ¸cekirdek iki kez sihirli ve di˘ger a˘gır ¸cekirdeklerden daha kararlı olmalıdır. B¨oyle bir ¸cekirdek veya ¸cekirdekler do˘gada veya laboratuarda hen¨ uz bulunamamı¸stır.
81
S.ekil 5.4:
¸cift-Z, ¸cift-N li ¸cekirdeklerin en d¨ u¸su ¨k 2+ ve 4+ durumlarının
˙ E(4+ )/E(2+ ) oranı k¨ utle numarasına kar¸sılık g¨osterilmi¸stir. Izotopları d¨ uz ¸cizgilerle birle¸stirilmi¸stir. (N¨ ukleer Fizik, K.S. Krane)
82
¨ UM ¨ 5. TEMEL NUKLEER ¨ BOL MODELLER
B¨ ol¨ um 6 N¨ ukleer Reaksiyon Modelleri 6.1
¨ ˙ NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
Bu b¨ol¨ umde a¸sa˘gıdaki konular i¸slenecektir. Yakla¸sim Metodlari, Born Yakla¸sımı, Glauber Yakla¸sımı, Bozulmu¸s Dalga Born Yakla¸sımı (Dwba), Reaksiyon Modelleri, Difraksiyon Modelleri, Fraunh¨ofer Difraksiyonu, Fresnel Difraksiyonu, Optik Model (Elastik Sa¸cılma), Double Folding Modeli
6.1.1
BORN YAKLAS ¸ IMI
Merkezi bir potansiyelden sa¸cılma durumunda Schr¨odinger denkleminin ¸co¨z¨ um¨ un¨ u integral formda yazmak m¨ umk¨ und¨ ur:
Lk (r)ψ(r) = U (r)ψ(r)
(6.1)
yazılabilir. Burada Lk (r) = ∇2 + k 2 dir. Denk.3.1. i soldan L−1 carpıp integre k (r) ile ¸ edilir ve ¸co¨z¨ um dalga fonksiyonuna homejen ¸co¨z¨ um de (V=0) eklenirse: Z ψ(r) = φk (r) +
0 0 U (r0 )ψ(r0 )L−1 k (r)δ(r − r)dr
(6.2)
Elde edilir. Burada φk (r) = eikr homojen ¸co¨z¨ umd¨ ur. Burada, 0 0 L−1 k (r)δ(r − r) = Gk (r − r )
(6.3)
Burada Gk (r − r0 ) ifadesi Green fonksiyonudur. Green fonksiyonunun ¨ozellikleri ve dirac delta fonksiyonunun integral bi¸cimi dikkate alınırsa, 83
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
84
1 Gk (R) = 4iπ 2 R
Z
qeiqR dq, k2 − q2
~ = ~r − r~0 R
(6.4)
elde edilir. Bu integral rezid¨ u teoremi yardımıyla ¸c¨oz¨ ulebilir ve q = +k i¸cin fiziksel olarak anlamlıdır. Buradan, 0
G+ k (r
1 eik|r−r | −r)=− 4π |r − r0 | 0
(6.5)
elde edilir. Bu ifade denk.3.2 de yazılarak,
ψk+ (r)
1 = φk (r) − 4π
Z
0
eik|r−r | U (r0 )ψk+ (r0 )dr0 |r − r0 |
(6.6)
Bu ifade daha ¨once ifade edilen asimtotik formun (denk.2.21) integral halidir. r nin b¨ uy¨ uk de˘gerlerinde,
1 r−r0
≈
1 r
ve k|r − r0 | ≈ kr − k.r0 yakla¸sımı yapılabilir.
Burada k 0 , k nın b¨ uy¨ ukl¨ ug˘u ¨nde ve r y¨on¨ unde bir vekt¨ord¨ ur. Bu durumda,
ψk+ (r)
eikr = φk (r) − 4πr
Z 0
0
e−ik .r U (r0 )ψk+ (r0 )dr0
(6.7)
Bu ifade denk.2.21 ile kar¸sıla¸stırılarak sa¸cılma genli˘gi, 1 f (θ, ϕ) = − 4π
Z 0
0
e−ik .r U (r0 )ψk+ (r0 )dr0
(6.8)
elde edilir ki bu daha ¨once kısmi dalgalar metodu ile elde etti˘gimiz sa¸cılma genli˘ginden ba¸ska bir ¸sey de˘gildir. Bu ifade de eksponansiyel terimin kısmi dalgalar formu yazılarak, denk.1.30 elde edilebilir. Born yakla¸sımına g¨ore, V potansiyeli gelen par¸cacı˘gın enerjisine g¨ore yeterince zayıfsa sa¸cılma dalgalarının genli˘gindeki de˘gi¸sim k¨ u¸cu ¨k olur. O halde sa¸cılan daluzlem dalgalar alınabilir. Bu yakla¸sıma g¨ore gaları temsil eden ψk+ (r) yerine gelen d¨ sa¸cılma genli˘gi, 1 fBA (θ, ϕ) = − 4π
Z 0
0
0
e−ik .r U (r0 )eik.r dr0
(6.9)
Bu ifade Born yakla¸sımı olarak bilinir. Sa¸cılma genli˘gi potansiyelin k¨ uresel simetrik olması sebebiyle azimutal a¸cıdan ba˘gımsızdır. S¸ekil 3.1’ den χ ~ = ~k − k~0 yazılabilir. Elastik sa¸cılma durumu i¸cin (|k| = |k 0 | = k), χ = 2k sin( 2θ ) ba˘gıntısı yazılabilir.
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
85
S.ekil 6.1: Gelen ve sa¸cılan dalga vekt¨orlerinin temsili g¨osterimi.
6.1.2
BOZULMUS ¸ DALGA BORN YAKLAS ¸ IMI
Bozulmu¸s dalga Born yakla¸sımı (DWBA), Potansiyeli iki potansiyelin toplamı, (U = U1 + U2 ) olarak ele alır. ¨oyle ki U2 potansiyelinin ilk Born yakla¸sımındakine benzer olarak U1 e g¨ore zayıf oldu˘gunu d¨ u¸su ¨n¨ ur. Bu yakla¸sım i¸cin ¨ozde˘ger denklemi,
[∇2 + k 2 − U1 (r)]χ1 (k, r) = 0
(6.10)
Bu denklemin ¸c¨oz¨ um dalga fonksiyonu χ1 (k, r)dalga fonksiyonu, χ+ 1 (k, r) ve χ− uper pozisyonu olarak yazılabilir ki, χ+ uzlem 1 (k, r) dalga fonksiyonlarının s¨ 1 (k, r) d¨ dalga ve giden sa¸cılmı¸s k¨ uresel dalgaların toplamıdır. χ− uzlem dalga ve 1 (k, r) ise d¨ gelen sa¸cılmı¸s k¨ uresel dalgaların toplamını temsil eder. Bu dalgalar kendi aralarında + ∗ zaman tersinirdir. Yani, χ− 1 (k, r)= [χ1 (−k, r)]
Born’ un ilk yakla¸sımına benzer tarzda en genel ¸c¨oz¨ um, r→∞
χ(k, r) −→
χ+ 1 (k, r)
eikr − 4πr
Z 0 0 ∗ 0 0 0 [χ− 1 (k , r )] U2 (r )χ(k, r )dr
(6.11)
Bu ifade ilk Born yakla¸sımındakine benzer olarak denk 2.21 ile kar¸sıla¸stırılırsa V2 potansiyelinden dolayı olu¸san sa¸cılma genli˘gi, 1 f2 (θ, ϕ) = − 4π
Z 0 0 0 0 0 χ− 1 (k , r )U2 (r )χ(k, r )dr
(6.12)
U2 potansiyeli U1 potansiyeliyle kar¸sıla¸stırıldı˘gında ¸cok zayıftır. Dolayısıyla U2 den sa¸cılan dalgaların genli˘gindeki de˘gi¸sme ¸cok k¨ u¸cu ¨k olaca˘gı i¸cin U1 +U2 den sa¸cılan dalgaları temsil edenχ(k, r0 ) yerine U1 den sa¸cılan dalgalar, χ+ s 1 (k, r) (bozulmu¸ dalga) kullanılabilir. (DWBA yakla¸sımı). O halde U2 potansiyelinden sa¸cılmayı temsil eden sa¸cılma genli˘gi,
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
86
1 f2 (θ, ϕ) = − 4π
Z 0 0 0 + 0 0 χ− 1 (k , r )U2 (r )χ (k, r )dr
(6.13)
Toplam sa¸cılma genli˘gi U1 ve U2 potansiyelinden dolayı olu¸san sa¸cılma genliklerinin toplamıdır, yani f (θ, ϕ) = f1 (θ, ϕ) + f2 (θ, ϕ) O halde, 1 fDW BA (θ, ϕ) = f1 (θ, ϕ) − 4π
Z 0 0 0 + 0 0 χ− 1 (k , r )U2 (r )χ (k, r )dr
(6.14)
Bu yakla¸sım metodu elastik, inelastik ve yeniden d¨ uzenleme reaksiyonlarına uygulanabilir. U1 potansiyelinden sa¸cılma elastik sa¸cılmayı, U2 potansiyelinden sa¸cılma inelastik sa¸cılmayı a¸cıklar. Aslında burada yapılan bir nevi pert¨ urbasyondur ve istenirse U potansiyeli bir¸cok potansiyelin toplamı olarak yazılır ve pert¨ urbasyonun derecesi artırılmı¸s olur. Bunu daha iyi anlayabilmek i¸cin Born serisini elde edelim; bunun i¸cin Schr¨odinger denklemini Green operat¨or¨ u formunda yazıp itere edelim: (E − H0 )ψ = V ψ ⇒ ψ = (E − H0 )−1 ψ = G0 (E)V ψ
(6.15)
Burada G0 (E) Green operat¨or¨ ud¨ ur. Buifadeye homejen ¸c¨oz¨ um ilave edilip itere edilirse,
ψ = φ + G0 V ψ
ψ = φ + G0 V φ + G0 V G0 V φ + ...
(6.16)
Bu ifade denk. 3.8 de yazılırsa sa¸cılma genli˘gi,
−m f (θ, ϕ) = 2π¯ h2
·Z
Z dre
−ik~0 .~ r
V (r)e
i~k.~ r
Z dr
0 −ik~0 .~ r
dr e
0
0
V (r)G0 (r, r )V (r )e
i~k.~ r0
¸ + ...(6.17)
B¨oylece sa¸cılma serisi elde etmi¸s olduk (Born Serisi). Bu serinin ilk terimi Born yakla¸sımı i¸cin buldu˘gumuz sa¸cılma genli˘gidir. ˙ terim elastik kanaldan sa¸cılmayı a¸cıklarken di˘ger terimler inelastik kanallarIlk dan sa¸cılmayı a¸cıklar ki bu ¸ciftlenim kanallar modeline benzer. Optik model ise elastik sa¸cılma potansiyelini V ile inelastik sa¸cılma potansiyelini (Kayıp akı) W ile temsil edilir. Born yakla¸sımının ge¸cerli olabilmesi i¸cin ya potansiyel ¸cok sı˘g olacak yada gelen par¸cacı˘gın enerjisi ¸cok y¨ uksek olacaktır. Daha genel bir ifadeyle,
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
87
S.ekil 6.2: Gelen ı¸sının bir ¸cok potansiyelden sa¸cılmasının temsili ¸sekli.
|V0 | 1 << E ka
(6.18)
olmalıdır. Burada V0 potansiyelin derinli˘gi ve adif¨ uzyon kalınlı˘gıdır. Buna g¨ore Born yakla¸sımı y¨ uksek enerji limitinde do˘gru olacaktır.
6.1.3
Born Yakla¸sımının Bazı Uygulamaları
Gaussyen Potansiyeli r 2
¸cekici Gaussyen potansiyeli V (r) = −V0 e−( R ) ¸seklinde verilir.
S.ekil 6.3: C ¸ ekici Gaussyen potansiyeli ve onun diferansiyel tesir kesiti. Biraz cebirle Born sa¸cılma genli˘gi, Z∞ f (θ) =
V (r)
sin χr 4πr2 dr χr
(6.19)
0
¸seklinde yazılabilir. Burada χ = 2k sin( 2θ ) dir. Gaussyen potansiyeli sa¸cılma genli˘ginde yazılırsa,
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
88 Z∞
r 2
e−( R )
f (θ) = −V0
(χR)2 3 sin χr 4πr2 dr = −(2π) 2 V0 R3 e− 2 χr
(6.20)
0
Buradan diferansiyel tesir kesiti, dσ 2 θ 2 = Ce−(2kR) sin ( 2 ) dΩ elde edilir. θ = 0 i¸cin tesir kesiti
dσ dΩ
=C =
2πµ2 2 6 V0 R h4 ¯
(6.21) maksimum de˘gerini alır. θ
arttık¸ca tesri kesiti azalacaktır. Kare Kuyu Potansiyeli ¸cekici kare kuyu potansiyeli r < R i¸cin V (r) = V0 , r > R i¸cin V (r) = 0 de˘gerini alır. Bu potansiyel i¸cin sa¸cılma tesir kesiti,
ZR f (θ) = −V0
sin χr (sin χR − χR cos χR) 4πr2 dr = −4πV0 R3 χr (χR)3
(6.22)
0
buradan sa¸cılma tesir kesiti, dσ ∼ (sin χR − χR cos χR)2 =C dΩ (χR)6
(6.23)
µ olur. Burada C = ( 2π¯ )2 16π 2 V02 R6 dır. h2
Kare kuyu potansiyelinden sa¸cılma optikteki difraksiyon ¸sekline benzerdir. Fakat potansiyel k¨o¸selerinden hafif¸ce de˘gi¸siyorsa, (Gaussyen potansiyeli gibi) Optik difrak˙ siyonla benze¸sim bozulur. Ikinci ve di˘ger maksimumlar bozulur yada g¨or¨ unemeyecek kadar k¨ u¸cu ¨k olur.
6.1.4
˙ MODEL OPTIK
N¨ ukleer reaksiyonları a¸cıklamak i¸cin geli¸stirilen modellerden biri de optik modeldir. Gelen par¸cacık kompleks hedefle etkile¸smesi sırasında gelen akının (Ji )bir kısmı hedefin uyarılmasından dolayı inelastik kanallara gider son durumda ise giden akı gelen akıdan uyarılmanın ¸siddeti oranında azdır. B¨oyle bir ger¸ce˘gi modellemek i¸cin reel etkile¸sim potansiyeli yeterli de˘gildir. Bunun i¸cin optik model geli¸stirilmi¸stir. Optik model uyarılmı¸s kanallarla etkile¸simi temsil eden sanal potansiyel kullanır.
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
89
Bu modele g¨ore toplam etkile¸sim potansiyeli komplekstir ve Vop = V + iW ¸seklinde temsil edilir. G¨or¨ uld¨ u˘gu ¨ gibi optik model akının hangi kanallara ve ne kadar miktarda gitti˘gi ile ilgilenmez sadece uyarılmı¸s kanallara giden net akı hakkında bilgi verir. ¨ Onceki b¨ol¨ umde elastik sa¸cılma teorisini yarı klasik yolla incelemi¸stik. Bu modelin tek farkı n¨ ukleer potansiyeli kompleks almasıdır. Radyal Schr¨odinger denklemi bu durumda, · ¸ 2m d2 Ul l(l + 1) + (E − Vop (r) − ) ul = 0 dr2 r2 h ¯2 Burada V (r) artık kompleks potansiyeldir yani,
Vop (r) = V (r) + iW (r)
(6.24)
(6.25)
¸seklinde sanal ve reel potansiyelde olu¸smaktadır. Bizim amacımız bu denklemi ¸c¨ozerek sa¸cılma matriks elementini elde edip buradan diferansiyel tesir kesitine ula¸smaktır. Denk3.25, (r < R) iken yani sa¸cılma merkezi civarında potansiyel setinin parametreleri ¸cok ¨onemlidir. (r < R) iken ise yani sa¸cılma merkezinin dı¸sında ihmal edilebilir ¸cu ¨nk¨ u Coulomb alanının olmadı˘gını d¨ u¸su ¨n¨ uyoruz. Bu denklemi analitik yolla ¸co¨zmek zor oldu˘gu i¸cin n¨ umerik y¨ontemler kullanılır. Denklemin genel ¸c¨oz¨ um formu,
Ul (r) = Fl (r) + iGl (r) + Sl [Gl (r) − iGl (r)]
(6.26)
Burada Fl (r) = krjl (kr) k¨ uresel Bessel fonksiyonlarıdır. Gl (r) = −krηl (kr) Neumann fonksiyonlarıdır. Fl (r) + iGl (r) gelen dalgaları, Gl (r) − iGl (r) giden dalgaları temsil eder. Bu da aslında aslında daha ¨once elde etti˘gimiz asimtotik formun ¨ozel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesinden ba¸ska bir ¸sey de˘gildir. Bu ¸c¨oz¨ ume sınır ko¸sulları uygulanarak sa¸cılma matriks elementi bulunabilir. B¨oylece sa¸cılma genli˘gi f (θ) ve diferansiyel tesir kesiti bulunabilir. Potansiyel kompleks oldu˘gu i¸cin S−matriks ve dolayısıyla dalga fonksiyonu kompleksdir. Matriks elementin l = 0 dan lmaks a kadar hesaplanması gerekir. Normalde dalga fonksiyonu l = 0 dal l = ∞ a kadardır. Fakat maksimum a¸cısal momentum kuantum sayısının u ¨zerinde kimsi dalgalar fark edilir da˘gılıma sahip de˘gildir. Sa¸cılma genli˘gi, diferansiyel tesir kesiti, reaksiyon tesir kesiti daha ¨once elde etti˘gimiz formla aynıdır.
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
90
S¸imdi modeli ger¸ce˘ge biraz daha yakın tanımlamaya ¸calı¸salım. Mermi ve hedef ¸cekirde˘gin y¨ ukl¨ u olduklarını kabul edelim. Dolayısıyla sa¸cılma genli˘gi daha ¨once elde etti˘gimizden farklı olacaktır. Toplam kompleks potansiyel bu sefer, V (r) = Uop + VC olacaktır. Coulomb potansiyelinin formunu ¸cok iyi biliyoruz. Bu durum i¸cin dalga denklemi r < R i¸cin ¨oncekine benzer yolla ¸c¨oz¨ ulebilir. Fakat r > R i¸cin artık Coulomb potansiyelinin etkisi dikkate alınmalıdır. Coulomb alanının varlı˘gında sa¸cılma genli˘gi, l=∞ 1 X f (θ) = fC (θ) + (2l + 1)(Sl − 1)e2iσl Pl (cos θ) 2ik l=0
(6.27)
S¸eklinde verilir. Denklemden g¨or¨ uld¨ ug˘u ¨ gibi Coulomb alanı n¨ ukleer sa¸cılma genli˘gini e2iσl kadar etkilemektedir ve toplam sa¸cılma genli˘gine fC (θ) kadarlık bir katkı getirmektedir. Burada σl Coulomb faz farkıdır. fC (θ) ise Coulomb sa¸cılma genli˘gidir. ve
fC (θ) = −
γ=
γ θ θ cos ec2 exp[2iσ0 − 2iγ ln(sin )] 2k 2 2
(6.28)
mZp ZT e2 Γ(1 + iγ) vee2iσ0 = 2 Γ(1 − iγ) k¯h
(6.29)
Coulomb faz farkına, γ ) (6.30) l+1 Tekrarlama ba˘gıntısı ile elde edilebilir. Burada σ0 en d¨ u¸su ¨k Coulomb faz farkıdır. σl+1 (γ) = σl (γ) + tg −1 (
Reaksiyon tesir kesiti,
σR =
π X (2l + 1)[1 − |Sl |2 ] k2 l
(6.31)
S¸eklinde daha ¨once elde edilenle aynıdır.sa¸cılma matriks elementi (dolayısıyla faz farkı δ) ve σl bulunarak sa¸cılma genli˘gi elde edilebilir. Buradan da diferansiyel tesir kesitine ula¸sılır.
6.1.5
˙ cin Optik Model Spinli Par¸cacıklar I¸
Gelen par¸cacıkların spine sahip olması durumunda, gelen par¸cacı˘gın spini ile hedef arasında bir spin-y¨or¨ unge etkile¸smesi do˘gar ve bunu temsil eden fenomonolojik
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
91
potansiyel, ¯ 2 1 df ~ ~ ~ S ~=( h VS (r) = VS0 (r)L. ) (US + iWS ) L.S mπ c r dr
(6.32)
¸seklinde verilir. Biz burada merminin s =
1 2
spinli par¸cacıklar oldu˘gunu farzederek sa¸cılma tesir
kesitine ula¸smak istiyoruz. En genel dalga fonksiyonu radyal, a¸cısal ve spin dalga fonksiyonlarının toplamı olaca˘gı a¸sikardır.
Ψ=
X Ujl (r) jlm
r
jls l λ Cmλµ i Yl (θ, φ)χµs
(6.33)
jls uresel Burada χµs spin fonksiyonu ve Cmλµ Clebsch-Gordon katsayısı ve Ylλ (θ, φ) k¨
harmoniklerdir. Raydal denklem her l de˘geri i¸cin spine ba˘glı olarak iki kısımda incelenebilir. Yani, · ¸ d2 Ul+ 2m l(l + 1) 0 + [E − VC (r) − V (r) − lVs (r)] − Ul+ = 0 dr2 r2 h ¯2 · ¸ 2m d2 Ul− l(l + 1) 0 + Ul− = 0 2 [E − VC (r) − V (r) − (l + 1)Vs (r)] − 2 2 dr r h ¯
(6.34) (6.35)
Burada Ul+ ve Ul− iki spin y¨onelimleri i¸cin radyal Schr¨odinger denklemleridir. ~ S ~ spinlerin y¨onelimine ba˘glı olarak l ve −(l + 1) ¸seklinde iki de˘ger G¨or¨ uld¨ ug˘u ¨ gibi L. almaktadır. Bu denklemlerden elde edilen sa¸cılma tesir kesiti
A(θ) = fC (θ) +
¤ 1 X£ (l + 1)Sl+ + lSl− − (2l + 1) e2iσl Pl (cos θ) 2ik l B(θ) =
1 X + (Sl − Sl− )e2iσl Pl1 (cos θ) 2ik l
(6.36)
(6.37)
Burada Pl1 (cos θ) asosiye Legendre polinomudur. Diferansiyel tesir kesiti, dσ = |A|2 + |B|2 dΩ
(6.38)
ve sa¸cılan ı¸sınların polarizasyon tesir kesiti, 2Im(AB ∗ ) P~ = n ˆ veˆ n= |A|2 + |B|2
~ki x~kf |~ki x~kf |
(6.39)
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
92
Bu form¨ ul polarize olmamı¸s gelen par¸cacıkların etkile¸simine uygundur. Absorpsiyon tesir kesiti, giden par¸cacıkların y¨ ukl¨ u olmaması durumunda elastik sa¸cılma tesir kesiti ve toplam tesir kesiti sıra ile, ¤ π X£ + 2 − 2 (l + 1)(1 − |S | ) + l(1 − |S | ) l l k2 l ¤ π X£ σe = 2 (l + 1)|1 − Sl+ |2 + l|1 − Sl− |2 k l ¤ 2π X £ σT = 2 (l + 1)(1 − ReSl+ ) + l(1 − ReSl− ) k l σA =
(6.40) (6.41) (6.42)
¸seklinde verilir.
6.1.6
Optik Potansiyelin ¨ ozellikleri
N¨ ukleer reaksiyon modellerini inceledi˘gimizde temel problemin deneysel dataları en iyi ¸sekilde fit edecek potansiyel setini bulmak oldu˘gunu g¨or¨ ur¨ uz. Potansiyelleri dikkate aldı˘gımızda Coulomb potansiyeli VC ve merkezcil potansiyelin Vcent. , ¨ozellikleri ¸cok iyi bilinmektedir.fakat n¨ ukleer potansiyelin ¸sekli ve parametreleri iyi bilinmemektedir. Temel problem aslında bu potansiyelin belirlenmesidir. N¨ ukleer potansiyelin ve di˘ger potansiyellerin nitel ¨ozelliklerine burada de˘ginmek isteriz. N¨ ukleer potansiyel kompleks olmak zorundadır, yani i¸cerisinde sanal potansiyel barındırmalıdır. |S| = 1 i¸cin absorpsiyon olmadı˘gı i¸cin S matrik her zaman |S| ≤ 1 olması gerekir. Sanal potansiyelinW (r) her yerde negatif olması gerekli olmakla birlikte yalnız sa¸cılma dalgasıyla her j de˘geri i¸cin integrali negatiftir [1]. Z |χj (r)|2 W (r)dr ≤ 0
(6.43)
olmalıdır. Burada χj (r) uygun sa¸cılma dalga fonksiyonunun radyal kısmıdır. Bir¸cok durumda absorpsiyon potansiyeli y¨ uzey yakınında pik yapar. Dolayısıyla etkile¸smenin ˙ cerdeki n¨ y¨ uzeyde oldu˘gunu d¨ u¸su ¨nmek yanlı¸s olmaz. I¸ ukleonlar etkile¸sime katılmaz sadece de˘gerlik n¨ ukleonları etkile¸sime katılır.
Fakat gelen par¸cacık enerjisi ¸cok
y¨ uksekse sanal potansiyel reel potansiyel formuna yakın davranır. N¨ ukleer potansiyeller enerji ba˘gımlıdır. Sanal potansiyel enerjiy artarken tipik olarak artar, yani gelen par¸cacı˘gın enerjisi arttık¸ca uyarılmı¸s kanalların sayısı artmakta, dolayısıyla bu etkile¸simi tanımlayın sanal potansiyelin ¸siddeti artmaktadır.
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
93
Reel potansiyeldeki de˘gi¸sme ¨ozellikle Coulomb bariyeri civarında anormal derecede g¨ozlenir ki bunu daha sonra tartı¸saca˘gız. Optik potansiyel prensipte nonlocal olmakla birlikte genelde local formda kabul edilir. Mermi ve hedef arasındaki antisimetrizasyon nonlocalli˘gin ¨onemli bir kayna˘gıdır. N¨ ukleon- ¸cekirdek sistemleri i¸cin Hartree-Fock potansiyeli buna a¸cık bir ¨ornektir [2]. Nonlocalli˘gi etkile¸simin sadece r ye ba˘glı olmaması bir r0 parametresine de ba˘glı olması gibi d¨ u¸su ¨nebiliriz. Dolayısıyla taban durumla uyarılmı¸s durumlar arasında bir etkile¸sim varsa veya uyarılmı¸s durumlar arasında bir etkile¸sim varsa bunları temsil eden potansiyel in nonlocal oldu˘gunu d¨ u¸su ¨nebiliriz. Gelen mermi veya hedef ¸cekirdek spine sahipse bunlar arasında bir spin-y¨or¨ unge etkile¸sim kuvveti oldu˘gunu dolayısıyla bunu temsil eden bir potansiyel oldu˘gunu d¨ u¸su ¨nebiliriz. E˘ger hem mermi hemde hedef ¸cekirdek spine sahipse bir spin-spin etkile¸sim potansiyeli olacaktır. Bir ¸cekirde˘gin spinini de˘gerlik n¨ ukleonları belirledi˘gi i¸cin etkile¸simin bu de˘gerlik n¨ ukleonları arasında olaca˘gını d¨ u¸su ¨nmek yanlı¸s olmaz. Dolayısıyla spin y¨or¨ unge etkile¸simini temsil eden Vso potansiyeli sanal potansiyele benzer olarak y¨ uzey b¨olgesinde pik yapar. Ayrıca efektif potansiyel angular momentum kuantum sayısına l, pariteye ve model uzayına ba˘gımlıdır.
6.1.7
Etkile¸sim Potansiyelinin ¨ ozellikleri
En genel durumda yani ¸cekirde˘gin y¨ ukl¨ u oldu˘gu ve merminin bir spine sahip oldu˘gu durumda fenomonolojik potansiyel,
Uef f = UN + VC + Vso + Vl
(6.44)
UN = −V fV (r) + VS gV (r) − i [WV fW (r) + WS gW (r)] h ¯ 2 1 dfS (r)~ Uso = −(Vso + iWso )( ) l.~s mπ c r dr l(l + 1) Vl = 2µr2
(6.45)
S¸eklinde tanımlanır. S¸imdi bu potansiyelleri sırasıyla inceleyelim:
(6.46) (6.47)
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
94
S.ekil 6.4: Wood-Saxon form fakt¨or¨ u ve onun derivatif ¸sekli.
6.1.8
Reel Potansiyel (VV , VS
˙ c b¨olgelerde potanReel potansiyel genellikle Wood-Saxon (WS) formunda se¸cilir. I¸ siyel yakla¸sık sabit y¨ uzeye do˘gru yakla¸sıldı˘gında tıpkı yo˘gunluk de˘gi¸simine benzer olarak yava¸sc¸a azalarak sıfıra gitmektedir. Ayrıca potansiyel negatiftir. Reel potansiyel mermideki nukleon sayısıyla yakla¸sık orantılıdır [2]. Reel potansiyelin g¨or¨ un¨ um¨ u bi¸cimsel olarak ¸sekil 3.4 e benzerdir sadece V0 ¸carpanı gelir. D¨oteron un potansiyeli bir n¨ ukleonunkinin iki katı triton un ki yakla¸sık u ¨¸c katı daha fazla derinli˘ge sahiptir ki bu b¨oyle devam eder [2]. N¨ ukleon sayısı yakla¸sık potansiyel deinli˘giyle orantılı olmakla birlikte a˘gır iyonlara do˘gru gidildik¸ce durum de˘gi¸secektir. Potansiyelin form fakt¨or¨ u,
fi =
1 , 1 + exp(xi )
VN =
V0 r − Ri vexi = 1 + exp(xi ) ai
xi = V, W
(6.48)
S¸eklinde verilir. i = V i¸cin reel potansiyel tanımlanır ve i = W i¸cin sanal potansiyel tanımlanır. Burada V , RV ve aV sırasıyla potansiyelin derinli˘gi, yarı¸capı ve y¨ uzey dif¨ uzyon kalınlı˘gıdır. a parametresi potansiyelin y¨ uzeyde %90 dan %10
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙ a d¨ u¸st¨ ug˘u ¨ mesafe olarak tanımlanır.
95
S¸ekil 3.4 den g¨or¨ uld¨ u˘gu ¨ u ¨zere potansiyel
merkezde maksimum ¸siddete sahipken y¨ uzeyde sıfıra gitmektedir. Ayrıca ¸cok kısa erimlidir. Bu form Wood-Saxon formu olarak bilinir. fV form fakt¨or¨ un¨ un karesi i¸cin Wood-Saxon kare (WS2 ) formu elde edilir ki bu form ¸cok sık kullanılır. S¸ekil 3.5 de WS ve WS2 ¸sekilleri kar¸sıla¸stırılmalı olarak verilmektedir . g¨or¨ uld¨ u˘gu ¨u ¨zere bu potansiyel formları arasındaki fark form fakt¨or¨ un¨ un yakla¸sık %90 a d¨ u¸st¨ u˘gu ¨ de˘gerlerde ve %10 a d¨ u¸st¨ ug˘u ¨ de˘gerlerde g¨or¨ ulmektedir.
S.ekil 6.5:
Wood-Saxon (WS)ve Wood-Saxon kare (WS2) form fakt¨orlerinin
kar¸sıla¸stırmalı ¸sekli Reel potansiyelin y¨ uzeysel formu gi (r) = −4ai
4 exp(xi ) dfi = , dr [1 + exp(xi )]2
Vsur =
V exp(xi ) r − Ri vexi = 2 [1 + exp(xi )] ai
xi = V, W (6.49)
i = V i¸cin elde edilir. i = W i¸cin sanal potansiyelin y¨ uzeysel fırmu elde edilir. Sanal Potansiyel : Absorpsiyon potansiyeli hacim ve y¨ uzeysel olmak u ¨zere iki kısımda incelenebilir. Hacimsel terim reel potansiyelinkine benzer olarak denk 3.46 da i = W i¸cin elde edilir ve bi¸cim olarak ¸sekil 3.4 deki f (r, R, a) form fakt¨or¨ une benzerdir.
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
96
W =
W0 r − RW vexi = 1 + exp(xi ) aW
(6.50)
Y¨ uzey absorpsiyon potansiyeli denk3.47 de i = W i¸cin elde edilir.
Wsur (r) =
4W0 exp(xW ) r − RW vexi = 2 [1 + exp(xW )] aW i
(6.51)
Y¨ uzeysel hacim potansiyeli ¸sekil 3.4 deki g(r, R, a) form fakt¨or¨ une benzerdir. Y¨ uzey potansiyeli r = RW de pik yapar. Merkezcil Potansiyel (Vl : Merkezcil potansiyel mermi ve hedefin ba˘gıl a¸cısal momentumundan do˘gar ki ¸siddeti,
Vl =
l(l + 1) 2µ¯h2
(6.52)
¸seklinde verilir. Denklemden g¨or¨ uld¨ u˘gu ¨ u ¨zere merkezcil bariyer a¸cısal momentum kuantum sayısına ba˘glıdır. Bu potansiyel ¸cekirde˘gin n¨ ukleer potansiyelinden dolayı kendi i¸cine ¸co¨kmesini ¨onleyen ¸cok ¸siddetli bir bariyerdir. Spin y¨ or¨ unge terimi (Vso : E˘ger mermi spine sahipse hedefle mermi arasındaki spin-y¨or¨ unge etkile¸siminden do˘gan bir potansiyel olu¸sur. Coulomb Potansiyeli (VC ): Hedef k¨ ure d¨ uzg¨ un y¨ uk yo˘gunlu˘guna sahipse mermi ve hedef arasındaki Coulomb potansiyeli,
VC =
Za ZA e2 r
,
r ≥ RC =
Za ZA e 2 r2 (3 − 2 ), 2RC RC
r ≤ RC
(6.53)
Burada Za ve ZA sırasıyla mermi ve hedefin y¨ uk¨ ud¨ ur. Mermi ve hedef birle¸smedi˘gi s¨ urece (overlap) Coulomb potansiyeli noktasal alınabilir. Coulomb potansiyeli i¸cin daha kesin potansiyel elde etmek amacıyla tek-folding ve ¸cift-folding potansiyeller yazılabilir. Tek folding i¸cin Coulomb potansiyeli, Z VC = e
g(r0 ) 0 dr r − r0
(6.54)
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
97
Burada ghedefin y¨ uk da˘gılımıdır ve elektron sa¸cılma deneylerinden elde edilir. (S¸ekil 3.11). E˘ger mermi ve hedef ¸cekirdekler kompleks yapıda ise ZZ ~ = VC (R)
g1 (~r1 )g2 (~r2 )
1 ~ + ~r2 − ~r1 | d~r1 d~r2 ve~r12 = |R r12
(6.55)
Denk 3.51 in r−1 ba˘gımlılı˘gı k¨ uc¸u ¨k r uzaklıklarında ¸cekirdekler u ¨st u ¨ste binmeye ba¸sladı˘gı zaman ge¸cerlili˘gini kaybeder. Ve noktasal olmayan da˘gılım kullanılır. Fakat RC nin hangi de˘gerde oldu˘gu sistemler i¸cin de˘gi¸smektedir.
S.ekil 6.6:
16
O+16 O sistemi i¸cin Coulomb potansiyelinin iki y¨ uk da˘gılımına g¨ore
de˘gi¸simi. Bu varsayımda nokta+d¨ uzg¨ un y¨ uk da˘gılımı bilgisayar kodlarında sıklıkla kullanılır. Daha ger¸cek¸ci bir RC kar¸sıla¸stırması vermek i¸cin iki ¸cekirde˘gin uzaklıklarının toplamından daha k¨ u¸cu ¨k RC uzaklı˘gına ihtiya¸c duyulur.S¸ekil3.7 g¨osteriyor ki
16
O+16 O sistemi i¸cin
RC = 4.3f m dir. Genel parametrizasyon, 1
1
RC = rC (Ap3 + AT3 ) d¨ ur.
16
(6.56)
O+16 O sistemi i¸cin rC = 0.85f m dir [26]. Deneysel analizlerden rC = 1.4f m
bulundu fakat kuantum mekaniksel d¨ uzeltmelerle rC = 1.2f m oldu˘gu g¨or¨ uld¨ u. Benzer ¸sekilde n¨ ukleer etkile¸sim uzaklı˘gı da denk 3.54 den bulunur r0 de˘geri ise deneysel data ile fit sırasında elde edilir.
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
98
6.1.9
˙ Hacim Integralleri (JV , JW ):
Hacim integrali deneysel datayı a¸cıklayan reel ve sanal potansiyellerin t¨ um uzay u ¨zerinden integralidir yani, 4π JV (E) = − Ap AT
Z
4π V (r)r drJW (E) = − Ap AT
Z
2
W (r)r2 dr
(6.57)
ve J(E) = JV (E) + iJW (E) ¸seklinde tanımlanır. G¨or¨ uld¨ u˘gu ¨u ¨zere hacim integrali enerjinin fonksiyonudur. Bu durum ¨ozellikle Coulomb bariyeri civarında bariz bir ¸sekilde g¨or¨ ul¨ ur ki bunun fiziksel ¨onemi a¸sa˘gıda tartı¸sıldı.
6.1.10
Coulom Bariyeri Civarındaki Reaksiyonlar ve E¸sik Anormalli˘ gi
Gelen n¨ ukleonun kompleks bir hedef ¸cekirdekten sa¸cılmasını d¨ u¸su ¨nelim ¨oyle ki gelen merminin enerjisi Coulomb bariyeri civarında olsun; u ¨¸c durum s¨oz konusudur. 1.) E˘ger mermi enerjisi Coulom bariyerinin altında ise Rutherford sa¸cılması g¨ozlenir. 2.) Gelen mermi enerjisi Coulomb bariyeri civarında ise elastik kanallarla inelastik kanallar arasında ¸ciftlenim olur, yani elastik kanaldan inelastik kanala akı ge¸ci¸si olur di˘ger bir deyi¸sle hedefin uyarıldı˘gını s¨oyleyebiliriz. Bu durumda potansiyel derinliklerinde anormal de˘gi¸simler g¨ozlenir. 3.) Mermi par¸cacı˘gın enerjisi Coulomb bariyeri u ¨zerinde ise Coulomb bariyeri ¸cok rahat bir ¸sekilde delinir ve n¨ ukleer reaksiyon olma olasılı˘gı artar. ¸cu ¨nk¨ u mermi artık n¨ ukleer potansiyelin alanına girmi¸stir. Ayrıca mermi enerjisi artırılmaya devam edilirse uyarılmı¸s kanal sayısı artar. Fenomonolojik optik model bu g¨ozlenirleri a¸cıklamak i¸cin yeterlidir. Bu u ¨c¸ durumu g¨oze alan global bir inceleme yapmak istersek n¨ ukleer potansiyelin veya onun hacim integrallerinin bu enerji b¨olgesindeki de˘gi¸simine bakmak yeterlidir. S¸ekil 3.8 den g¨or¨ uld¨ ug˘u ¨u ¨zere gelen par¸cacı˘gın enerjisi Coulomb bariyerine yakla¸stı˘gı zaman reel potansiyelin derinli˘ginde bir artma g¨ozlenmekte yakla¸sık Coulomb bariyerinde pik yapmaktadır. Gelen par¸cacı˘gın enerjisini artırmaya devam etti˘gimiz zaman yava¸s¸ca azalmakta y¨ uksek enerjilerde yakla¸sık sabit kalmaktadır. Sanal potansiyelin de˘gi¸simine baktı˘gımızda yakla¸sık Coulomb bariyerine kadar lineer olarak
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙ artmakta enerji artırılmaya devam edildi˘ginde ise sabit kalmaktadır.
99 Bu gelen
par¸cacı˘gın hedefte a¸cabilece˘gi kanal sayısının maksimuma ula¸sması olarak yorumlanabilir.
S.ekil 6.7:
16
O+208 Pb sisteminin Coulob bariyeri civarındaki davranı¸sı.
V (E)nin bu davranı¸sı ¨onceleri tam anla¸sılamadı˘gı i¸cin anormal davranı¸s olarak adlandırılıyordu fakat ¸simdi reel potansiyelin absorpsiyonun de˘gi¸simine e¸slik etmesi gerekti˘gi anla¸sılmı¸stır [27]. Elastik kanaldan absorpsiyon di˘ger kanallara ¸ciftlenimin varlı˘gına i¸saret eder ve bu ¸ciftlenim reel potansiyele dinamik polarizasyon potansiyeli olarak adlandırılan d¨ uzeltme artı¸sı verecektir. Niteliksel olarak ¸carpı¸sma y¨ uksek enerjilerde, ansızın olur ve ana ¨ozellik elastik kanaldan inelastik kanala akının absorpsiyonu ile sonu¸clanır. Oysa ki bariyer enerjisi altında ve yakınındaki s¨ ure¸clerde daha adyabatik ve uyarılmada s¨ozdedir (virtual). B¨oylece etkile¸sme dinamik polarizasyon potansiyeliyle temsil edilebilir [27]. Reel potansiyel V (E) = V0 + ∆V (E) ¸seklinde yazılabilir. Burada V0 enerjiden ba˘gımsızdır ve ∆V (E)dinamik poalrizasyon potansiyelidir. ∆V (E) ve W (E) nin kar¸sılıklı davranı¸sı dispersiyon ili¸skisi ile anla¸sılabilir. Sistematik olarak bu davranı¸s, P ∆V (E) = π
Z
∞ −∞
W (E 0 ) dE E0 − E
(6.58)
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
100
Burada P prensib de˘gerlerine i¸saret eder. Denklemden hemen g¨or¨ ur¨ uz ki W (E) nin herhangi hızlı ve lokalize de˘gi¸simine ∆V (E) e¸slik etmek zorundadır [27].
6.1.11
Potansiyeller Arasındaki ili¸ski ve G¨ u¸ cl¨ u Absorpsiyon Uzaklı˘ gı
Potansiyeller arasındaki ili¸skiyi anlamak i¸cin W/V oranını inceleyebiliriz. S¸ekil 3.9 da iki farklı potansiyel incelenmektedir (WS ve folding):
S.ekil 6.8: A˘gır iyon reaksiyonlarını tanımlamada kullanılan tipik potansiyeller, 12
C+12 C sistemi i¸cin 79MeV de fenomonolojik ve mikroskobik potansiyellerin
g¨or¨ un¨ u¸su ¨. Se¸cilen potansiyeller t¨ um data analizlerinde ana ¨ozellikler g¨osterdi˘gi bulundu. Potansiyeller enerji ba˘gımlı, reel kısımları derin (V ≈ 100 − 350M eV ) ve ima˙ jjiner kısımları sı˘g (W ≈ 7 − 30M eV ) bulundu. Ikinci kolondaki ¸sekiller bu potansiyellerin logaritmik formlarıdır: Reel ve imajiner kısmın ¸sekli her zaman farklıdır. ¨ozellikle y¨ uzeyden uzakta absorpsiyon, n¨ ukleer madde da˘gılımından daha hızlı azalır.
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
101
u ¨¸cu ¨nc¨ u kolonda imajiner ve reel kısmın oranları W/V , uzaklı˘gın fonksiyonu olarak g¨osteriliyor. Y¨ uzey yakınında W (r) ≈ V (r) oldu˘gu a¸cıktır [26]. S¸ekil 3.9 daki u ¨¸cu ¨nc¨ u kolondan g¨ u¸cl¨ u absorpsiyon yarı¸capı Rsar , W/V oranının maksimuma ula¸stı˘gı yer oldu˘gu g¨or¨ ulebilir. Farklı enerjilerde farklı sistemler i¸cin sistematik incelemeler g¨osterir ki W (r) nin 1
1
maksimum de˘geri 1.2-1.4 kere (Ap3 + AT3 ) uzaklı˘gında lokalle¸smi¸stir ve bu uzaklık artan enerjiyle azalır. Bu formalizmde pik yapan b¨olgeler sistemin g¨ u¸cl¨ u absorpsiyon uzaklı˘gı olarak i¸saretlenir ve hafif-a˘gır iyon dataları i¸cin imajiner potansiyelin uzaklı˘gından hafif¸ce b¨ uy¨ uk olur [26].
20
Ne+12 C,
14
N+12 C, 9 Be+12 C ve 9 Be+16 O
sistemleri W/V sitemati˘gine uymazlar. Bu sistemler i¸cin W (r) e˘grisi s¨ urekli artar, yani maksimuma sahip de˘gildir. Bu ¸cekirdekler di˘gerlerinde g¨ozlenen davranı¸slardan farklı davranı¸s sergilerler ki yapıları ¸cok a¸cık de˘gildir. ¸co˘gunlukla 4n veya α-par¸cacı˘gı ¸cekirdekleridir [26]. Sa¸cılma y¨ uzeyde dominanttır. Burada ‘y¨ uzey’ n¨ ukleer kuvvetin g¨ u¸cl¨ u etkimeye ba¸sladı˘gı b¨olge anlamındadır. Bu b¨olgenin yeri g¨ u¸cl¨ u absorpsiyon uzaklı˘gıyla (Rsar ) temsil edilir. Pratikte Rsar de˘geri, 1
1
Rsar = r0 (Ap3 + AT3 ) + ∆
(6.59)
S¸eklinde parametrize edilir. Burada Rsar k¨ utle numaraları Ap ve AT olan iki ¸cekirde˘gin merkezleri arasındaki uzaklıktır [26]. G¨ uc¸l¨ u absorpsiyon uzaklı˘gı n¨ ukleer yarı¸captan ∆ kadar farklıdır ve E/A ≈ 10 − 20M eV i¸cin yakla¸sık 2-3fm arasındadır. Rsar ˙ ¸cekirde˘gin n¨ uzaklı˘gı ve bu y¨ uzden ∆ aralı˘gı enerji artarken yava¸s¸ca azalır. Iki ukleer madde da˘gılımının herhangi ¨ozdeksel u ¨st u ¨ste binmesinde ¨once g¨ u¸cl¨ u absorpsiyon ger¸cekle¸sir.
6.1.12
Optik Model Analizleri
Deneysel sa¸cılma ve reaksiyon tesir kesiti datalarını a¸cıklayan potansiyel setleri bir bilgisayar kodu kullanılarak bulunur. Genellikle kullanılan reaksiyon kodları fresco ˙ [41]. Teorik olarak bulunan tesir kesitleri deneysel [40], Potelemly [44] , ve ECIS tesir kesitleri kar¸sıla¸stırılarak en uygun potansiyel seti se¸cilir. E˘ger potansiyeller fenomonolojik ise reel ve imajiner kısımlar genellikle W S, (W S)n , n = 1, 2 veya Wood-Saxon derivatif (WSD) olarak veya bunların kombinasyonu ¸seklinde se¸cilir.
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
102
S.ekil 6.9:
16
O+208 Pb sistemi g¨ u¸cl¨ u absorpsiyon mesafesindeki etkile¸simi sırasında
meydana gelen yo˘gunluk da˘gılımları. Reel potansiyel mikroskobik analizlerle de belirlenebilir (folding model). Folding model yardımıyla V (r) nin yarı¸capa g¨ore de˘gi¸sim dataları hesaplamaya direkt olarak katılır. Sanal kısımlar ise fenomonolojik olarak belirlenir. Deneysel dataları optimum fit etmek i¸cin normalizasyon katsayısıyla ve imajiner potansiyel parametreleri ile oynamak gerekir. Deneysel data ile teorik datalar arasındaki uyumu belirlemek i¸cin Nσ (σth − σex )2 1 X χ = Nσ i=1 (∆σex )2 2
(6.60)
S¸eklinde hata hesabı yapılır. Burada σth , σex ve ∆σex sırasıyla teorik tesir kesiti, deneysel tesir kesiti ve deneysel tesir kesitindeki hata oranıdır. Nσ ¨ol¸cu ¨lm¨ u¸s a¸cıların toplam sayısıdır. Diferansiyel denklemi ¸c¨ozmek i¸cin; her l de˘geri i¸cin denklem integre edilir. Her kismi dalga i¸cin dalga fonksiyonu i¸c b¨olgede n¨ umerik olarak hesaplanarak dı¸s dalga fonksiyonuna e¸sitlenir ve S−matriks her l de˘geri i¸cin elde edilir. R = 0 dan Rmaks a kadar alınırken ∆R step aralı˘gında alınır. Bu aralık potansiyellerin dif¨ uzyon kalınlı˘gına ba˘glıdır. ¸cok kısa veya keskin potansiyeller normalde daha k¨ u¸cu ¨k step aralı˘gına ihtiya¸c duyar. S−matriks bilinirse, tesir kesiti, ge¸ci¸s katsayısı ve a¸cısal da˘gılım hesaplanabilir.
6.1.13
˙ FOLDING MODEL
Folding model reel potansiyeli hesaplamak i¸cin, iki ¸carpı¸san ¸cekirde˘gin yo˘gunluk da˘gılımı u ¨zerinden n¨ ukleon-n¨ ukleon etkile¸siminin integrali ile hesaplanır. Elastik
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
103
sa¸cılma, inelastik sa¸cılma ve di˘ger s¨ ure¸cleri yakla¸sık yo˘gunluk ve etkile¸sim se¸cimi ile yapılabilir.
S.ekil 6.10: Koordinatlar kullanılarak a) tek folding ve b) ¸cift folding Folding potansiyelin ba¸slangı¸ctaki hesapları ‘tek-folding’ da bulundu. Bu yakla¸sımda fenomonolojik n¨ ukleon-¸cekirdek potansiyeli, Z ~ = UF (R)
~ − ~r2 ) d~r2 g2 (r2 )υ(R
(6.61)
¸seklinde tanımlanır. Burada g2 (r2 ) hedef ¸cekirde˘gin yo˘gunluk da˘gılımıdır ve υ(r) etkile¸sim terimidir. A˘gır iyon sa¸cılmaları i¸cin bu yakla¸sımla potansiyelin derinli˘gi oldu˘gundan yakla¸sık iki kat fazla bulundu˘gu i¸cin ¸cift-folding formu kullanıldı. O zaman etkile¸sim terimi υ(r) her iki yo˘gunluk da˘gılımı u ¨zerinden inte˘gre edildi [29]. Z ~ = UF (R)
Z d~r1
~ + ~r2 − ~r1 ) d~r2 g1 (~r1 )g2 (~r2 )υ(~r12 = R
(6.62)
¨ UM ¨ 6. NUKLEER ¨ BOL REAKSIYON MODELLERI
104
Burada gi , i. n¨ ukleonun taban durumundaki yo˘gunlık da˘gılımı ve υ(~r12 ) efek˙ tif n¨ ukleon-n¨ ukleon etkile¸simidir. Integral iki yo˘gunluk da˘gılımı u ¨zerinden oldu˘gu i¸cin ¸cift folding olarak adlandırılır. Bu denklem aslında daha ¨once ifade edilen Coulomb potansiyelinde
1 r12
terimi yerine etkile¸sim terimi υ(r12 ) ve y¨ uk da˘gılımı
yerine yo˘gunluk da˘gılımları konarak elde edilebilir. Burada yo˘gunluk da˘gılımları normalize edilmemi¸stir. Yo˘gunluklar, Z
Z ga (r)dr = ave
gA (r)dr = A
(6.63)
S¸eklinde normalize edilir. Hacim integralleri arasında, JF = Ja JA Jυ = aAJυ
(6.64)
S¸eklinde basit bir ili¸ski vardır. ¸cift folding integrali altı boyutta olmasına ra˘gmen pratikte Fouer transformuyla daha kolay integre edilir. ¸cekirdek yo˘gunlu˘gu (g) ve efektif etkile¸simin (υ) se¸cimi deneysel dataların fit edilmesi bakımından ¨onemlidir. efektif etkile¸simin merkezi kısmı,
υ12 = υ00 (r12 ) + υ01 (r12 )T~1 .T~2 + υ10 (r12 )~σ1 .~σ2 + υ11 (r12 )~σ1 .~σ2 T~1 .T~2
(6.65)
S¸eklinde verilir. Genellikle spin orbit terimi ve tens¨or terimi olacaktır [29]. Burada υ00 hem s = 0 hemde T = 0 durumu i¸cin ve υ01 terimi hem s = 0 hemde T = 1 durumu i¸cin efektif etkile¸simdir (υsT ). T~1 ve T~2 birinci ve ikinci ¸cekirde˘gin tens¨or terimleridir. s1 ve s2 ise spin terimleridir. E˘ger ¸cekirdeklerden biri veya her ikisi de N = Z durumuna sahipse (ve bu y¨ uzden izospin sıfırsa ) denk 3.63 de T = 0 da˘gılımı olabilir. Her iki ¸cekirdek i¸cin N 6= Z oldu˘gunda T = 1 da˘gılımı olur [29]. Genel durumda ¸cekirdekler k¨ uresel de˘gildir ve spin ba˘gımlıdır. E˘ger ¸cekirdeklerin yo˘gunluk da˘gılımı k¨ uresel de˘gilse potansiyelde k¨ uresel olmayan bile¸sen i¸cerecek ve bu bile¸senler y¨ uz¨ unden inelastik kanallarda artı¸s olacaktır. N¨ ukleer reaksiyon hesaplamalarında efektif etkile¸sim genellikle yo˘gunluk ba˘gımlıdır. ve υ(~r12 , g) = υ1 (r12 )e−β1 g(r) + υ2 (r12 )e−β2 g(r) S¸eklinde verilir. Birinci terim yo˘gunluk ba˘gımsız olarak da se¸cilebilir.
(6.66)
¨ ˙ 6.1. NUKLEER REAKSIYON MODELLERI˙
105
S.ekil 6.11: ¸cekirde˘gin yo˘gunluk da˘gılımı ve folding modelden elde edilen U (r) potansiyelinin kar¸sıla¸stırılması. C ¸ ekirde˘gin yo˘gunluk da˘gılımı ¸sekil 3.12 den g¨or¨ uld¨ u˘gu ¨u ¨zere r = 0 da yakla¸sık sabit iken y¨ uzeye yakla¸stık¸ca d¨ uzg¨ un bir ¸sekilde azalmaktadır. G¨or¨ uld¨ u˘gu ¨ u ¨zere yo˘gunlukla n¨ ukleer potansiyel arasında sıkı sıkıya bir ili¸ski vardır. ¸cekirde˘gin i¸c kesimlerinde yo˘gunlukla potansiyel de˘gi¸simi yakla¸sık aynı iken ¸cekirde˘gin y¨ uzeyi yakınlarında birbirlerinden bariz bir ¸sekilde ayrılır.
Index Planck, 18
106
