Numero e Nombre:
Definición:
Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f ( x) x) = e x en el punto x = 0 es exactamente x 1. La función e es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo natural, también llamado logaritmo neperiano o logaritmo en base e. El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:
Y también como la serie:
El número e, al igual que el número , es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
Historia del numero e (De donde proviene proviene y como se calcula) El número e llega por primera vez a las matemáticas de forma muy discreta, se lo utilizaba constantemente pero sin llamarlo numero e o sin darse cuenta de sus uso somo lo podemos notar en el siguiente resumen histórico
y
y
y
En 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números, sin embargo, no se reconoció que estos fueran logaritmos en base e, ya que la base sobre la que se calculan los logaritmos no surgió en la manera en la que se pensaba en los logaritmos en aquel entonces, dicha tabla en el apéndice, aunque no tiene e l nombre del autor, es casi seguro que fue escrita por Oughtred. Unos años después, en 1624, e estuvo a punto de volver a la literatura matemática pero no lo logró. En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo base diez de e sin mencionar a e específicamente específicamente en su trabajo. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Si reconoció o no la conexión con los logaritmos es debatible y, aún si lo hubiera hecho, no había realmente razón para que se encontrara explícitamente explícitamente con el número e .
y
1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo, el número e es tal que el área bajo la hipérbola rectangular entre 1 y e es igual a 1. Ésta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales pero los matemáticos matemáticos de la época no lo entendían, aunque se estaban acercando lentamente a ello.
y
Huygens
Hacia
hizo otro avance en 1661 al definir una curva a la que llamo "logarítmica" pero no en x los términos en los que nosotros nos referimos a una curva exponencial, con la forma y = ka .
La notación e aparece por primera vez en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respecto a e en los años siguientes pero no fue sino hasta 1748 con la publicación de Introductio in Analysin infinitorum cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e, demostrando que:
e
= 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +... 1
n
y que e es el límite de (1 + / ) cuando n tiende a infinito. Euler dio una aproximación de e con 18 decimales, n
e
= 2.718281828459045235
Sin decir de dónde salió es probable que haya calculado el valor él mismo, pero de ser así no hay indicios de cómo lo hizo, de hecho, tomando unos 20 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +... se obtiene la aproximación dada por Euler.
Es interesante que Euler también haya dado el desarrollo de e en fracciones continuas y que haya notado un patrón en la expresión. Específicamente dio:
y
Euler no dio una prueba de que los patrones que encontró continuaran (lo cual sí sucede) pero s abía que si diera esta prueba sería equivalente a probar que e es irracional. Ya que, si la fracción continua para ( e 1)/2 siguiera el patrón mostrado por los primeros términos, 6,10, 14,18, 22, 26,... (sumando cuatro cada vez), entonces nunca terminaría; por ello ( e -1)/2 (así como e) no puede ser racional. Esto sin duda podría considerarse como el primer intento de probar que e no es racional.
Para tener una referencia del cálculo del número e podemos revisar este cuadro:
n
a
n
¨ 1 ¸ ! ©1 ¹ ª n º
n
n
a
n
¨ 1 ¸ ! ©1 ¹ ª n º
1
1
2
a
¨ 1 ¸ ! ©1 ¹ ! 2 ª 1 º
a
¨ 1 ¸ ! ©1 ¹ ª 2 º
1
2
10
10
1 ¸ ¨ ! ©1 ¹ ª 10 º
a
10
2 !
2,25
100
a
100
5
5
a
5
¨ 1 ¸ ! ©1 ¹ ! 2,48832 ª 5 º
n
1 ¸ ¨ ! ©1 ¹ ª 100 º
! 2,59374246 100 !
2,704813829
1000
1000
n p g
a
1000
a
n
1 ¸ ¨ ! ©1 ¹ ª 1000 º
p
! 2,716923932
e } 2,718281828
El numero e se aplica en las siguientes áreas:
y y y y y
Biología:
es usa para el crecimiento exponencial (de bacterias por ejemplo). Paleontología: es parte de la fórmula del Carbono14 y se usa en la datación de fósiles. Medicina forense: se usa en la fórmula que mide la pérdida de calor de un cuerpo inerte para saber el momento de su muerte. Lla razón áurea y a la espiral logarítmica: cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma que se relaciona con el número e. El cálculo de los i ntereses bancarios.
Bibliografía:
Paginas web http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler http://www.numeroe.com/ http://www.astroseti.org/vernew.php?codigo=2126 http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20060713105406AAHr5Qr
Documentos de la web numero%20e.doc doc www2.uah.es/jmmartinezmediano/mate0/Mate%200-16%20El%20 numero%20e.
