I
Se llama todos los pares ordenados de números reales, es decir: ‚³
ez œ x, y Î x, y − f œ ‘
al conjunto ‚ de
‘2.
Diremos que los números complejos z 1 œ a, b y z 2 œ c, d son si, y sólo si a œ c y b œ d. Se define en ‚, la operación binaria interna llamada +: ‚ׂ qqqqqqp ‚ z1, z2 qqqqqp z1 z2 ³ a c, b d
donde z1 œ a, b ,
, por:
z 2 œ c, d .
Al número complejo – z œ – a, – b se le llama de z œ a, b y también se sabe que es único para cada z.
El número complejo e a œ !, ! se llama y, se sabe que es único. Þ
Þ
u
Se define en ‚, la operación binaria interna llamada , por: : ‚ׂ qqqqqqqqp ‚ z1 , z2 qqqqp z1 ·z2 ³ ac bd, ad bc
donde z1 œ a, b , z 2 œ c, d .
Al número complejo e m œ 1, 0 − ‚* se le llama y se sabe que es único.
Š
‹
z1 œ a2ab2 , a2bb2 − ‚* se le llama de z œ a, b − ‚* y también se sabe que es único. El inverso multiplicativo de z también se suele anotar 1z.
NGENIERÍA CIVIL ELÉCTRICA –
I
– Siglo XXI –
Lo establecido anteriormente se formaliza en el siguiente:
‚, +, ·
axiomas:
es un cuerpo. Es decir se satisfacen los siguientes
‚
[z w] u œ z [w u], a z, w, u − ‚. −‚
‚
z 0 œ 0 z œ z,
a z − ‚.
‚
Para cada z − ‚ existe – z − ‚ tal que: z – z œ 0 œ – z z. ‚
z w œ w z,
a z, w − ‚.
‚
[z · w] · u = z · [w · u],
a z, w, u − ‚. −
‚
Á
‚
z · 1 œ x œ 1· z,
a z − ‚.
‚
ef
ef
Para cada z − ‚Ï 0 existe x 1 − ‚Ï 0 tal que: z · z 1 œ 1 œ z 1 · z ‚
z · w = w · z,
a z, w − ‚.
‚
z · w u œ z · w z · u,
a z, w, u − ‚
z w · u œ z · u + w · u , NGENIERÍA CIVIL ELÉCTRICA –
I
a z, w, u − ‚
– Siglo XXI –
0, 1· 0, 1 œ 0·0 1·1, 0·1 1·0 œ – 1, 0 .
A continuación consideremos el número complejo 0, 1 y notemos que
Esta
del número complejo – 1 œ
se tiene que i 2 œ – 1 (acá se identificó – 1, 0 con
Luego si anotamos œ – 1).
evita las seudoparadojas como
ŠÈ– 1‹ œ È– 1 ·È– 1 œ È – 1 – 1 œ È1 œ 1. 2
O sea, z œ i es aquél número complejo tal que su cuadrado es – 1 y se llama .
Con la ayuda de esta unidad imaginaria podemos escribir
y mediante "la identificación x con x, 0 e y con y, 0 " anotar: z œ x, y œ x, 0 0, y œ x, 0 0, 1 · y, 0
z œ x iy
a lo que se denomina la .
"
En términos de esta nueva notación las operaciones ya presentadas " como sigue. z1 œ x1 iy1 œ x2 iy2 œ z2 si, y sólo si x 1 œ x 2 e y 1 œ y 2.
z · z œ x x y y i x y x y Þ z z œ z – z œ x x i y y z1 z2 ³ x1 x2 i y1 y2 Þ 1
2
1 2
1
1 2
2
1
z
1 2
2
2 1
1
z2 Á ! Ö z1 œ z1 z2 1 œ 2
2
1
2
x1 x2y1 y2 i(x2 y1x1 y2 ) x22 y22 x22y22
Se llamarán complejo z œ a ib, a los números reales dados y anotados por:
del número
Imz œ Imz ³ bÞ
Re z œ Rez ³ a
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El número complejo dado y anotado por z œ a ib se llamará el del número complejo z œ a ib.
¸ ¸ È
El número real no negativo, dado y anotado z ³ a 2 b 2 se del número complejo z œ a ib.
llamará el
• Las principales propiedades de la parte real, parte imaginaria, conjugación y módulo se dan en el siguiente Sean z, w − ‚, entonces z œz ×z−‘
z œz
z z œ 2Rez
w
z z œ 2i Imz
Re z w œ Rez Rew
w
Im z w œ Imz Imw
z w œ z w
w
zw œ z · w
kzk œ k z k œ k– zk ¸zw¸ = ¸z¸·¸w ¸ ¸z Î w¸ œ ¸z¸ Î ¸w¸, w Á ! ¸Rezw¸ Ÿ ¸z¸·¸w¸ ( ¸z w¸ Ÿ ¸z¸ ¸w¸ (
w
z œ r cos) isen)
¸¸
z w œ z w z Î w œ Š z Î w‹ , zz œ ¸z ¸ œ ¸z ¸ 2
wÁ!
2
) )
De la representación geométrica para z œ x iy, .
z Á !, obtenemos la
donde r œ z y ) es el ángulo definido por x œ rcos ), y œ rsen ). Un tal ángulo ) se denomina un , y se le acostumbra a denotar por argz. Es conocido de la trigonometría que si )" )2 œ 2k 1, para algún entero k. Se llamará Argz a aquel valor de ) que está en un intervalo de longitud 2 1 de la recta real previamente determinado, los más usuales son los intervalos [ !, 2 1[ o [– 1, 1[ .
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"
La relación
también se acostumbra a escribir: z œ r·cis
)
En términos de la forma polar, el producto, inversión, etc., de números complejos se pueden expresar de manera " ". Si z œ r·cis), w œ s·cis :, entonces
zw œ rs·cis z r w œ s ·cis z œ r ·cisn ,
z œ r·cis – )
Para w Á !:
n
n
)
:
)
:
)
w
1 1 w œ s ·cis – :
n − 0.
• El siguiente resultado es de gran operatividad y resalta la importancia de esta nueva forma de expresar los números complejos. .
cos isen œ cosn isen n , )
)
n
)
NGENIERÍA CIVIL ELÉCTRICA –
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)
n − 0
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Sea w − ‚ dado. Llamaremos número complejo z tal que
, a todo
zn œ w Si w œ ! entonces tiene una única raíz n-ésima, a saber z œ !. En el caso general suponga que: w œ rcis ) Á !. Por lo tanto wk œ
È r cisŠ n
)2k1
n
‹,
k œ 0, 1, . . ., n–1
son las
. Si x − ‘ entonces eix œ cosx isenx Para todo x − ‘ se verifica
cosx œ 12 eix eix
1 ix e eix senx œ 2i
.
"
È Œ 1iÈ 3 zœŒ 2 1i 3 2
Calcule
6!
6!
Determine la solución de la ecuación: z 2 œ 2i, que está en el primer cuadrante. Demuestre que si: z − ‚‡ y z 1 Îz − ‘, entonces Im z œ ! o z œ 1.
kk
È
3 Sea w1 œ 12 i 2
y
w2 œ w1 . Escribiendo w1 en forma
trigonométrica queda
w1 œ cos 1 Î3 isen 1Î3 , luego w 2 œ cos 1Î3 isen 1Î3 . Por la fórmula de De Moivre
60 w60 1 œ cos 601Î3 isen 60 1Î3 œ 1 y también w 2 œ 1.
En consecuencia z œ 0. NGENIERÍA CIVIL ELÉCTRICA –
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Þ
Escribiendo 2i en forma trigonométrica, se tiene
2i œ 2 cos 1Î2 isen 1Î2 . Ahora resolver la ecuación: z 2 œ 2i equivale a determinar las raíces cuadradas de 2i " ! œ
È2 ŒcosŒ
1 Î2!
" 1 œ
È2 ŒcosŒ
1Î221
2
1 1 È œ 2 i Œ È2 È 2 œ 1 i 2 –1 œ isenŒ 22 2 œ È 2Œ –È12 i È 2
isenŒ
2
1Î 2!
1Î 1
œ – 1 i.
Š ‹ × Šb a b b ‹ œ 0 × ˆa b ‰b b œ 0 × × bˆa b 1‰ œ 0 × b œ 0 o ˆa b 1 œ 0 ‰ × × Imz œ 0 o a b œ 1 × Imz œ 0 o kzk œ 1.
"
kk
a b z 1z œ z z 2 œ a ib a2 2 i a2 b2 − ‘ × b z 2
2 2
2
2
2
2
2
PPPPP
2
‘‘‘
NGENIERÍA CIVIL ELÉCTRICA –
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2
PPPPP
– Siglo XXI –
EL alumno deberá ser capaz de •
Visualizar la estructura ( ‚ , +, ·) como cuerpo .
•
Desarrollar las expresiones que involucren la suma resta , multiplicación y división con números complejos, expresados en la forma a, b o a ib .
•
Conocer y aplicar las propiedades de: conjugación, módulo, parte imaginaria y parte real de un número complejo.
•
Aplicar correctamente las propiedades que se deducen de la igualdad de números complejos.
•
Resolver ecuaciones en ‚.
•
Expresar un número complejo dado en forma canónica, en forma polar y viceversa.
•
Multiplicar, dividir, obtener potencias y raíces de números complejos expresados en forma polar.
Obtenga la forma a bi de los siguientes números complejos:
1 4i3 11i 1 i ’ 12i i “
"
4
Calcule:
1 i 1 i 3
1i i i
1i
A œ i"8 3i7 i2 (" i 4) ( i) 26.
È satisface la si-
Compruebe que el número complejo z œ 12 " i 3 3 1 guiente ecuación: z1 z œ 1.
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Factorice la expresión dada, en factores de primer grado, en el cuerpo de los números complejos.
: Si Como
x2 x 1
16 2 81 x 49
2x2 2x 1
3x 2 2x 1 Þ
ˆ ˆ È ‰‰ˆx ˆp i È q ‰‰.
q 0 entonces (x p) 2 q œ x p i q considere
Š Š ‹‹Šx Š 32 i ‹‹.
4x2 12x 13 œ 4 x 32 i
Suponga conocida la posición de z en el plano complejo. Describa geomé-tricamente la posición relativa de los siguientes números complejos. zz
z i
kzzk
1 z
z z
z2 .
Exprese en forma polar los siguientes números complejos: –4 –
– 6i
È 7 iÈ 21
– 2 i.
Š 12 1 iÈ 3‹
18
Compruebe que:
È2 iÈ 2
œ 1.
Realice las operaciones indicadas y reduzca a la forma más simple.
ŠÈ3 i‹
Š1 iÈ3 Š1 È 3‹i‹
1i 1i
ŠÈ3 i‹Š1iÈ 3‹ . 1i
3
2
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3
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Calcule: las raíces cuadradas de i. las raíces cúbicas de 1 i. las raíces cuartas de – 16i y de 1.
È
las raíces cuartas de – 2 i2 3 y compruebe gráficamente. las raíces cuartas de
Š8È2i8È 2‹. Œ 384 È 3 128i
Resuelva las siguientes ecuaciones: "
z2 z 1 œ !
2z2 3z 2 œ !
z4 1 œ !
2 2iz 11 9iz 16 6i œ ! 2
Utilice el Teorema de De Moivre para deducir que:
cos 5α œ cos5 α 10cos 3 αsen 2 α 5cos αsen 4 α.
Exprese en forma binomial y polar: e1i
e1i1Î6
PPPPPPP
‡ ‡ ‡ PPPPPPP
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e1i .
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