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Aritmetica de Los Numeros

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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

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Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos

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Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 3 1. Dados z 1 = -3+4i , z 2 = 5-2i , z 3 = 2 y z 4 =7i , calcular: a) ( z 1 - z 2) z 3

b) z 1 z 4 + z 3 z 4

f)

g)

z 1 z 2

( z

1

+

z 2

)

c)

−1

d) z 1 + z 3-1

z 1 + z 4 - 5 z 2

z 2

h) z 12 z 3

i)

z 1

Solución

a) Para calcular ( z 1 - z 2) z 3, en primer lugar se calcula la operación del paréntesis y a contin multiplica el resultado por z 3: 3 3 3 ( z – (5-2i )) = (-3-5+(4+2)i ) = (-8+6i ) = -12+9i z 1 - z 2) z 3 = (-3+4i – 2 2 2 b) En primer lugar se calculan z 1 z 4 y z 3 z 4 para después sumar los resultados: z 1 z 4 =

(-3+4i ) 7i = -21i +28 +28i 2 = -28-21i

z 3 z 4 =

3 21 i 7i = = 2 2

z 1 z 4 + z 3 z 4 =

-28-21i + +

21 21 i = -28 2 2 i

Notar que otra forma de obtener este resultado es sacar factor común z 4 quedando: z 1 z 4 + z 3 z 4 = ( z 1 + z 3) z 4 =

⎛ −3 + 4i + 3 ⎞ 7i = ⎛ −3 + 4i ⎞ 7i = −21 i + 28i 2 = −28 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠

c) En primer lugar se calcula la operación z 1 + z 4 - 5 z 2 = -3+4i + 7 i – – 5(5-2i ) = -28+21 se calcula su conjugado,

z 1 + z 4 - 5 z 2

= -28-21i

Master your semester 1with 2 Scribd d) El inverso de z es z = 3 = 3 y, por tanto, z + z & The New York Times2 3

3

-1

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3

2 -7 Read Free For = 30 Days Sign up to vote title i + i = -3+4 + 3 on this 3 +4

-1



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e) Para calcular el inverso de z 2 = 5-2i se se puede proceder de dos formas:

 

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g) En primer lugar, se realiza la suma de z 1 y z 2, después se calcula el conjugado de este y finalmente el inverso de éste último: z 1 + z 2 =

-3+4i + 5-2i = -3+5+(4-2)i = 2+2i

z 1 + z 2

= 2-2i

( z

)

1

+

z 2

−1

=

1 1(2+2i ) 2+2i 2+2i 1 1 = = = = + i 2-2i (2-2i )( 2+2i ) 4-4i 2 8 4 4

Observar que se podría haber invertido el orden de realización de las dos últimas opera que se verifica

( a + bi )

−1

= (a+bi )-1

3 3 3 3 -21 h) z 12 z 3 = (-3+4i )2 = (9-24i +16i 2) = (9-24i -16) = (-7-24 i ) = - 36i 2 2 2 2 2

i) Se efectúa el cociente multiplicando numerador y denominador por el conju denominador: 5-2i (5-2i )(-3-4i ) -15-20i +6i +8i 2 -15-14i -8 -23-14i -23 14 = = = = 9+16 = -3+4i (-3+4i )(-3-4i ) 9-16i 2 25 = 25 - 25 z 1 z 2

j) En primer lugar se calcula el denominador You're Reading a Preview 3 full access with a = free3+7 trial.i 2Unlock z 3 + z 4 = 2 + 7i 2 y, multiplicando numerador y denominador por elWith conjugado del denominador, el cociente Download Free Trial z 1 -3+4i (-3+4i )(3-7i ) -9+21i +12i -28i 2 -9+33i +28 19+33i 19 = 2 z 3 + z 4 = 3+7i = (3+7i )(3-7i ) = 9-49i 2 9+49 = 58 = 58

2. Dados los números complejos z 1 = 2- i y z 2 = 3+6i , determinar el número x que verifica de las siguientes igualdades: a) z + x = z b) z x = 1 c) z + z + x = 1 d) z + x = - z e) z x = z Master your semester with Scribd  Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title  Solución & The New York Times Useful Not useful   1

2

2 1

1

2

2 2

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a) Despejando tiene x = z 2 - z 1 = 3+6i – (2-i ) = 3-2+(6+1)i = 1+7i x se Special offer for students: Only $4.99/month. 1

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2

z 2

= (3+6i )2 = 9 + 36i + 36i 2 = 9 + 36i – 36 = -27+36i

Así, x = - z 12 - z 22 = -(3-4i ) - (-27+36i ) = -3 + 4i + 27 - 36i = 24-32i e) Al ser z 2 no nulo, se puede despejar x obteniéndose x =

z 1

. Para calcular este co

z 2

multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: x

2-i (2-i )(3-6i ) 6-12i -3i +6i 2 6-15i -6 -15i -1 = z = 3+6i = (3+6i )(3-6i ) = = 9+36 = 45 = 3 i 9-36i 2 2 z 1

3. Determinar una ecuación de coeficientes reales cuyas soluciones en

C sean -3, 2+ i y 2-

Solución Si -3, 2+i y 2-i son las soluciones de una ecuación, esta ha de ser proporcional a ( x -(-3)) ( x -(2+i )) ( x -(2-i )) = 0 realizando el producto del primer miembro de la ecuación se tiene ( x -(-3)) ( x -(2+i )) ( x -(2-i )) = ( x +3) ( x -2-i ) ( x -2+i ) = ( x +3) (( x -2)2-i 2) = ( x +3) ( x 2-4 x = ( x +3)You're ( x 2-4 x +5) = x - x 2 - 7 x + 15 Reading a 3Preview

Unlock full access with a freeindicada trial. Por tanto, una de las ecuaciones que cumplen la condición es x 3 - x 2 - 7 x + 15 = 0

Download With Free Trial 4. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga por raíces los complejos -4i y -5+2i . Solución

Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz imagin también su conjugada, las cuatro raíces del polinomio buscado son -4 i , 4i , -5+2i y -5-2i .

Master your semester with Scribd  Por tanto, el polinomio es cualquiera proporcional a: Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title  & The New York Useful Not useful i ) ( x -4i ) ( x i x i ( x -(-4i )Times ) ( x -4i ) ( x -(-5+2i )) ( x -(-5-2i )) = ( x +4 + 5-2 ) ( + 5+2 )=  Special offer for students: Only $4.99/month. 2 2 2

Cancel anytime.

= ( x - 16i ) (( x +5) - 4i 2) = ( x 2+16) ( x 2+10 x +25+4) = ( x 2+16) ( x 2+10 x +29) =

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5. Dada una ecuación polinómica de grado 4 de coeficientes reales, responder a las cuestiones. a) ¿Cuántas soluciones imaginarias puede tener si una de sus raíces es real? b) Si 8i y 5-3i , son dos soluciones, ¿cuáles son las otras soluciones? Solución

a) Como el polinomio es de grado 4, tiene 4 raíces reales o imaginarias. Teniendo en cuen tiene una raíz imaginaria tiene también su conjugada y q ue una de sus raíces es real, se de este polinomio de grado 4 o no tiene raíces imaginarias o tiene 2.

b) Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz imagin también a su conjugada, las otras dos soluciones serán las conjugadas de las dadas, es d 5+3i .

6. Resolver en

R y en C las siguientes ecuaciones:

a) x 4 + 3 x 2 - 10 = 0

b) x 3 + 5 x 2 + 6 x = 0

c) x 4 + 2 x 2

You're Reading a Preview

Solución

Unlock full access with a free trial. a) x 4 + 3 x 2 - 10 = 0 es una ecuación bicuadrada, por lo que haciendo t = x 2 se obtiene la polinómica de segundo grado, t 2 + 3t -10 = 0, cuyas soluciones son: Download With Free Trial 2 -3 ± 3 - 4.1.(-10) -3 ± 49 -3 ± 7 ⎪⎧-5 = = = ⎨ t = 2 2 2 ⎩⎪2

•

Considerando la solución

t

= -5, se obtiene x 2 = -5, de donde x = ±

•

Considerando la solución

t

= 2, se obtiene x 2 = 2, de donde x = ±

Por tanto, lassemester soluciones en Rwith son x Scribd = 2 y x = Master your anteriores, x = 5 i y x = - 5 i . & The New York Times

-5 = ±

5

2

2 y las soluciones en C son, además  Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title



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2 Cancel anytime. b) Factorizando el polinomio, la ecuación x 3 + 5 x 2 + 6 x = 0 queda x ( x +5 x +6) = 0, y te Special offer for students: Only $4.99/month. cuenta que para que el producto de dos factores sea 0 basta que lo sea uno de ellos, se ob



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7. Determinar el módulo, el argumento, la forma polar y la forma trigonométrica de los números complejos: 5 a) 2+2i b) -2+2i c) 2-2i d) -2-2i e) - 5 f) 3 i g) Solución

En todos los apartados se representa el número complejo para ayudar a determinar su arg a) El módulo y el argumento de 2+2i son:

22+22 = 8 = 2 2 π 2 arg(2+2i ) = arctg 2 = arctg 1 = 4 l2+2i l =

⎛

π

Por tanto, la forma polar de 2+2 i es (2 2)π /4 y la forma trigonométrica 2 2 cos + i sen ⎝ 4 b) El módulo y el argumento de -2+2 i son:

You're Reading a Preview full access with a free trial. (-2)2+22 = 8 = 2 Unlock 2 3π 2 arg(-2+2i ) = arctg = arctg (-1) = -2 4 Download With Free Trial

l-2+2i l =

Por tanto, la forma polar y trigonométrica de -2+2 i son, respectivamente: l-2+2i l = (2 2)3π /4 c) El módulo y el argumento de 2-2 i son: Master your semester with Scribd & The New York Times l2-2i l Only = $4.99/month. 22+(-2)2 = 8 = 2 2 Special offer for students: 7π -2 arg(2-2i ) = arctg = arctg -1 =

3π ⎞ ⎛ 3π l-2+2i l = 2 2 cos 4 + i sen 4 ⎝ ⎠

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d) El módulo y el argumento de -2-2 i son:

(-2)2+(-2)2 = 8 = 2 2 5π -2 arg(-2-2i ) = arctg = arctg 1 = -2 4 l-2-2i l =

⎛ 5π Por tanto, la forma polar de -2-2 i es (2 2)5π /4 y la forma trigonométrica 2 2 cos 4 + ⎝ e) De la figura se concluye de forma inmediata que el módulo y el argumento de

l- 5l =

-

i

5 son:

5

arg(- 5) = π

Por tanto, la forma polar de

-

5 es

5π y la forma trigonométrica

5 (cosπ + i senπ)

You're Reading a Preview 5 f) De la figura se concluye de forma inmediata que el módulo y el argumento de i son: 3 Unlock full access with a free trial.

5 3

i =

5 3

Download With Free Trial

5 ⎞ π arg⎛ 3 i ⎝ ⎠ = 2 Por tanto, la forma polar de

5 es 3 i

⎛ 5 ⎞ y la forma trigonométrica 5 ⎛ cos π + i sen π ⎞ 3 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠π /2

Master g) El your módulo semester y el argumento with de 3 +Scribd i son: & The New York Times 2

2

Special offer for students: i l =$4.99/month. l 3 + Only ( 3) +1 =

1

4=2

π


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8. Determinar la forma binómica de los siguientes números complejos: a)

⎛

π

π ⎞

π

⎛

3 cos 6 + i sen 6 ⎝ ⎠

π ⎞

b) 3 cos 2 + i sen 2 ⎝ ⎠

c) 13π /4

d)

2π /3

Solución a) El número complejo

π

⎛

π ⎞

3 cos + i sen está dado en forma trigonométrica y para o 6 ⎠ ⎝ 6 forma binómica basta hacer operaciones, así:

π

⎛

π ⎞

3 cos + i sen = 6 ⎠ ⎝ 6

π

⎛

⎛ 3 + i 1 ⎞ = 3 + i 3 2 ⎠ 2 2 ⎝ 2

3

π ⎞

b) El número complejo 3 cos 2 + i sen 2 está dado en forma trigonométrica y para o ⎝ ⎠ forma binómica basta hacer operaciones, así:

⎛

π

π ⎞

3 cos 2 + i sen 2 = 3 (0+i 1) = 3i ⎝ ⎠

c) El número complejo 13π /4 está dado en forma polar, para obtener su forma binóm escribir su forma trigonométrica y hacer operaciones, así: You're Reading a Preview ⎛ cos 3π + i sen 3π ⎞ = - 2 + 2 i 13π /4 = 1Unlock a free trial.2 4 access with 4 2 ⎝ full ⎠ d) El número complejo

2π /3 está dado en forma polar, para obtener su forma binóm Download With Free Trial

escribir su forma trigonométrica y hacer operaciones, así:

π

⎛

2π /3 =

π ⎞

2 cos 3 + i sen 3 = ⎝ ⎠

Master your semester with Scribd & The New York Times a) z z b) z + z

3 ⎞ 2 6 ⎛ 1 2 2 + 2 i = 2 + 2 i ⎝ ⎠

⎛

π

π ⎞



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 Not useful

9. Dados los números complejos z 1 = 2- i , z 2 = 4 π , z 3 = 3 cos 4 + i sen 4 y z 4 = 1 - 3 i ⎝ ⎠  Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title operaciones que se indican a continuación expresando los resultados en forma binómica:  1

2

Special offer for students: Only $4.99/month. z 2

1

3

c) z 43

4

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d) z 1 z 3 3

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π ⎞ 2 ⎞ 3 ⎛ 2 ⎛ π b) Expresando z 3 en forma binómica queda z 3 = 3 cos 4 + i sen 4 = 3 2 + i 2 = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 2 3 2 4+3 2 3 2-2 i = i . sumando este resultado con z 1 se obtiene z 1 + z 3 = 2 - i + + 2 2 2 2

c) El cálculo de potencias de un número complejo se simplifica si éste se expresa en form trigonométrica.

Para calcular la expresión polar de z 4 = 1 - 3 i es necesario calcular su módulo y su argum l1- 3 i l =

12+(- 3)2 =

arg(1 - 3 i ) = arctg

4=

- 3 5π = 1 3

y así la forma polar de 1 - 3 i es 25π /3 Por tanto, z 43 =

(

3

)

25π /3

=2

3

3.5π /3

= 85π= 8π

3 π+i senπ) = 8(-1+0i ) = -8 z 4 = Y la expresión binómica del resultado es 8π = 8(cos You're Reading a Preview

Unlock full access with a free trial.

d) La forma binómica de z 3, obtenida en el apartado b), es z 3 =

Download With Free Trial

resultado por z 1 se obtiene: z 1 z 3 =

(2-i )

3 2 3 2 2 + 2 i , y multiplic

3 2 3 22 9 2 3 2 ⎛ 3 2 3 2 ⎞ i = 3 2 +3 2 i i i = i + + 2 ⎠ 2 2 2 2 ⎝ 2

e) En este caso resulta más sencillo calcular el cociente en forma polar, para lo que expresar numerador y denominador en dicha forma: z 2 =

4π

Master your⎛ semester with Scribd π π ⎞ z = 3 cos + i sen 4 ⎠ = 3π /4 ⎝ 4 Times & The New York 3

Special offer for students: Only $4.99/month. z 2

4π

y realizando la división queda z = 3 3




4 4 = ⎛ 3 ⎞π-π /4 = ⎛ 3 ⎞3π /4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Conamat Segundo 15

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π

⎛

π ⎞

2π /2 = 2 cos 2 + i sen 2 = 2(0+i 1) = 2i ⎝ ⎠ 3π ⎞ ⎛ 3π 23π /2 = 2 cos 2 + i sen 2 = 2(0+i (-1)) = -2 i ⎝ ⎠

Notar que en este caso al ser z 2 = 4π = -4, un número real, su raíz cuadrada se pued como sigue: =

z 2

-4 = ± 4

-1 = ± 2i .

g) Al estar z 2 expresado en forma polar, el cálculo de su cuarta potencia es inmediato, z 2

4

= (4π)4 = 444π = 2560

que expresado en forma binómica es z 24 = 2560 = 256(cos0+i sen0) = 256(1+i 0) = 256

Como en el apartado anterior, notar que al ser z 2 = 4π = -4, un número real, su potencia puede calcular como sigue: z 2

⎛

π

4

= (-4) 4 = 256

π ⎞

h) Como z 3 = 3 cos 4 + i sen 4 tiene por expresión polar z 3 = 3π /4 , sus raíces cúbicas son: ⎝ ⎠ 3 3 3 3 You're Reading a Preview 3(π /4+2k π)/3 para k = 0, 1, 2 es decir, 3π /12, 39π /12 y 317π /12 Unlock full access with a free trial.

La forma binómica de cada una de las tres raíces es: 3

3

3

3π /8 = 39π /8 =

317π /8 =

3

3

3

π π ⎞ Free π 3 Trial π 3 With ⎛ Download 3 cos + i sen = 3 cos + i 3sen 12 ⎠ 12 12 ⎝ 12 9π ⎞ ⎛ 9π 3 cos 12 + i sen 12 = ⎝ ⎠

⎛ ⎝

3 cos

17π 17π ⎞ + i sen = 12 12 ⎠


9π 3 9π 3cos 12 + i 3sen 12

3

3

3cos

17π 3 17π + i 3sen 12 12


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