A. M ĐU Trong mt vài năm tr li đây thì trong các đ thi vào l p 10 trung h h c
ph thông , các bài toán v ph v ph phươ ng trình b b c hai có s s dng t t i h h th thc Vi- Et xu xut ươ ng hi hin khá ph ph bi bin . Trong khi đó n ni dung và th th i lư lư ng ng v v ph phn này trong sách giáo khoa l li r rt ít, lư lư ng ng bài t tp chư chưa đa d dng . Ta cũ cũng th thy đ gi gii đư c các bài toán có liên qua đn h h th thc Vi – Et, hc sinh c cn tích h h p nhi nhiu ki kin th thc v v đi s s , thông qua đó h hc sinh có cách nhìn tng quát hơ hơ n v v hai nghi nghim c ca ph phươ ng trình b b c hai v v i các h h s. ươ ng Vy nên nhóm toán chúng tôi xây d d ng chuyên đ này ngoài m mc đích giúp h hc sinh nâng cao ki kin th thc còn giúp các em làm quen v v i m mt s s dng toán có trong đ thi vào l l p 10 trung h hc ph ph thông Ni dung chính c ca chuyên đ gm : Nhm nghi Nh nghim c ca ph phươ ng trình b b c hai m mt n ươ ng I. ng dng 1 ng
II.
ng dng 2 ng
Lp phươ phươ ng ng trình b bc hai
III. ng ng dng 3
Tìm hai s s bi bit t tng và tích c ca chúng
IV. ng ng dng 4
Tính giá tr tr ca bi biu th thc nghi nghim c ca ph phươ ng trình ươ ng
V.
VII. ng ng dng 7
Tìm h h th thc liên h h gi gia hai nghi nghim c ca ph phươ ng trình sao ươ ng cho hai nghi nghi m này không ph ph thu thuc vào tham s s Tìm giá tr tr tham s s ca phươ phươ ng ng trình th tha mãn bi biu th thc ch cha nghi nghim Xác đnh d du các nghi nghim c ca ph phươ ng trình b bc hai ươ ng
ng dng 8 VIII. ng
Tìm giá tr tr l n nh nht, giá tr tr nh nh nh nht c ca bi biu th thc nghi nghim
ng dng 5 ng
VI. ng ng dng 6
B. NI DUNG CHUYÊN Đ : NG DNG CA H TH C VI-ÉT TRONG GII TOÁN NG Cho phươ phươ ng ng trình b bc hai: Có hai nghi nghim Suy ra:
x1 + x2 x1 x2
Vy đt :
=
ax2 + bx + c = 0 (a≠0) x1
=
−b −
(−b −
=
−b −
∆ −b+
2a ∆ )(− b + 4a 2
∆
;
2a ∆
∆)
=
=
(*)
− 2b
2a b
2
=
−∆
4a 2
- Tng nghi nghim là S : S = x1 + x2 =
x2
−b
a = −b
a
4 ac c = 4a 2 a
=
−b +
2a
∆
- Tích nghi nghim là P : P = x1x2 =
c a
Như vy ta th Như thy gi gia hai nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình (*) có liên quan ch cht ch ch v i các h h s a, b, c. ni dung c ca Đnh lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hi hiu m mt s s ng d dng c ca đnh lí này trong gi gii Đây chính là n toán.
I. NHM NGHIM CA PHƯƠ NG NG TRÌNH : 1. D ng đ c bi t: Xét phươ phươ ng ng trình (*) ta th thy : a) N Nu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0
a+b+c=0
Như vây phươ Như phươ ng ng trình có m mt nghi nghim x1 = 1 và nghi nghim còn l li là x2 = b) N Nu cho x = − 1 thì ta có (*)
2
a.( − 1) + b( − 1) + c = 0
a
−
c a
b+c=0
Như vy phươ Như phươ ng ng trình có m mt nghi nghim là x1 = −1 và nghi nghim còn l li là x2 = h th thc VI-ÉT đ nh nhm nghi nghim c ca các phươ phươ ng ng trình sau: Ví d : Dùng h 2 2 1) 2 x + 5 x + 3 = 0 (1) 2) 3 x + 8 x − 11 = 0 (2)
−c
a
Ta th thy : Phươ Phươ ng ng trình (1) có d dng a
−
b + c = 0 nên có nghi nghim x1 = −1 và x2 =
Phươ Phươ ng ng trình (2) có d dng a + b + c = 0 nên có nghi nghim x1 = 1 và x2 =
−3
2
−11
3
nghim c ca các phươ phươ ng ng trình sau: Bài tp áp dng: Hãy tìm nhanh nghi 2 2 1. 35 x − 37 x + 2 = 0 2. 7 x + 500 x − 507 = 0 2 3. x − 49 x − 50 = 0 4. 4321 x 2 + 21x − 4300 = 0 2. Cho ph ươ ng trình , có m t h s chư a bi t, cho tr ư c m t nghi m tìm m tìm nghi m còn l i và ch ra h s c a phươ ng trình : Phươ ng ng trình 2x− 2 px+ 5 = 0 . Có m mt nghi nghim b bng 2, tìm p và nghi nghim th th hai. Víd : a) Phươ b) Phươ Phươ ng ng trình x2 + 5 x+ q= 0 có m mt nghi nghim b bng 5, tìm q và nghi nghim th th hai. c) Cho phươ phươ ng ng trình : x2 − 7 x+ q= 0 , bi bit hi hiu 2 nghi nghim bng 11. Tìm q và hai nghi nghim ca phươ phươ ng ng trình. d) Tìm q và hai nghi nghim c c a phươ phươ ng ng trình : x2 − qx+ 50 = 0 , bi b it phươ ph ươ ng ng trình có 2 nghi nghim và có mt nghi nghim b bng 2 l ln nghi nghim kia.
Bài gii: a) Thay x1 = 2 v à phươ phươ ng ng trình ban đ u ta đ ư c : 1 4 − 4 p + 5 = 0 ⇒ p = 4 5 5 T x1x2 = 5 suy ra x2 = = x1 2 b) Thay x1 = 5 v à phươ phươ ng ng trình ban đ u ta đ ư c 25 + 25 + q = 0 ⇒ q = − 50 − 50 − 50 = = − 10 T x1x2 = −50 suy ra x2 = 5 x1
c) Vì vai trò c ca x1 và x2 bình đng nên theo đ bài gi gi s x1 − x2 = 11 và theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = 7 , ta x− x = 11 1x = 9 gi gii h h sau: 1 2 ⇔ x x + = 7 1 2 x2 = −2 Suy ra q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trò c ca x1 và x2 bình đng nên theo đ bài gi gi s x1 = 2 x2 và theo VI-ÉT ta có x1x2 = 50 . Suy ra x = −5 2 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔ 2 x2 = 5 V i x2 = −5 th ì x1 = −10 V i x2 = 5 th ì x1 = 10
II. LP PHƯƠ NG NG TRÌNH BC HAI 1. L p phươ ng trình b c hai khi bi t hai nghi m x1 ; x2 mt phươ phươ ng ng trình b bc hai ch cha hai nghi nghim trên Ví d : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lp m S = x1 + x2 = 5 Theo h h th thc VI-ÉT ta có vy x1 ; x2 là nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình có d dng: P x x 6 = = 1 2 2 2 x − Sx+ P= 0 ⇔ x − 5 x+ 6 = 0 Bài t p áp d ng: 1. x1 = 8 x2 = -3 v 2. x1 = 3a x2 = a v 3. x1 = 36 x2 = -104 v 4.
x1 = 1 + 2 v x2 = 1 − 2 2. L p phươ ng trình b c hai có hai nghi m tho mãn bi u th c ch a hai nghi m c a m t phươ ng trình cho tr ư c: phươ ng ng trình : x 2 − 3 x + 2 = 0 có 2 nghi nghim phân bi bit x1; x2 . Không gi gii phươ phươ ng ng trình trên, hãy V í d : Cho phươ lp phươ phươ ng ng trình b bc 2 có n là y tho tho mãn : y1 = x2 + Theo h th c VI- ÉT ta c ó: 1 1 S = y1 + y2 = x2 + P = y1 y2
=
( x2 +
x1
1
+ x1 +
)( x1 +
1x
1 x2
x2
1
= ( x1 + x2 ) +
Vy phươ phươ ng ng trình c cn l lp có d dng: hay
1
x1
và y2 = x1 +
1
= ( x1 + x2 ) + x2
+
x1
) = x1 x2 + 1+ 1+
1
1 x2
x1 + x2 x1 x2
=3+
3 9 = 2 2
1 9 = 2 2 x x 1 2 y2 − Sy+ P= 0 9 9 y2 − y+ = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y+ 9 = 0 2 2 =
2 + 1+ 1+
Bài t p áp d ng:
1/ Cho phươ phươ ng ng trình 3 x 2 + 5 x − 6 = 0 có 2 nghi nghim phân bi bit x1; x2 . Không gi gii phươ phươ ng ng trình, Hãy l lp phươ phươ ng ng trình b bc hai có các nghi nghim y1 = x1 +
1 x2
và y2 = x2 +
1 x1
5 1 (Đáp s s: y 2 + y − = 0 hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 ) 6 2
2/ Cho phươ phươ ng ng trình : x 2 − 5 x − 1 = 0 có 2 nghi nghim x1; x2 . Hãy l lp phươ phươ ng ng trình b bc 2 có n y tho tho mãn y1
4
= x1
và y2
4
= x2
(có nghi nghim là lu lu th tha b bc 4 c ca các nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình đã cho).
(Đáp s s : y 2 − 727 y + 1 = 0 ) 3/ Cho phươ phươ ng ng trình b bc hai: x2 − 2 x− m2 = 0 có các nghi nghim x1; x2 . Hãy l lp phươ phươ ng ng
trình bc hai có
các nghi nghim y1; y2 sao cho : (Đáp s s
a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3
b) y1 = 2x1 −1 và y2 = 2 x2 − 1
a) y2 − 4 y+ 3 − m2 = 0
b) y2 − 2 y− ( 4 m2 − 3) = 0
)
III. TÌM HAI S BIT TNG VÀ TÍCH CA CHÚNG Nu hai s s có T Tng b bng S và Tích b bng P thì hai s s đó là hai nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình : 2 2 (điu ki kin đ có hai s s đó là S − 4P ≥ 0 ) x − Sx+ P = 0 s a, b bi bit t tng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4 Ví d : Tìm hai s Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình : x 2 + 3 x − 4 = 0 gi gii phươ phươ ng ng trình trên ta đư c x1 = 1 và x2 = −4 Vy nu a = 1 thì b = − 4 nu a = − 4 thì b = 1 s a và b bi bit T Tng S và Tích P Bài t p áp d ng: Tìm 2 s 1. S = 3 và P=2 2. S = − 3 và P=6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 − y2 s a và b bi bit Bài t p nâng cao: Tìm 2 s 2 2 1. a + b = 9 và a + b = 41 2. a − b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 bit t tng c ca hai s s a và b , v vy đ áp d dng h h th thc VI- ÉT thì c cn tìm tích H ư ng d n: 1) Theo đ bài đã bi ư ng n: ca a v à b. 81 − ( a 2 + b2 ) 2 2 2 = 20 T a + b = 9 ⇒ ( a + b) = 81 ⇔ a + 2 ab + b = 81 ⇔ ab = 2 x = 4 Suy ra : a, b là nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình có d dng : x 2 − 9 x + 20 = 0 ⇔ 1 x2 = 5 Vy: Nu a = 4 thì b = 5 nu a = 5 thì b = 4 2) Đã bi bit tích: ab = 36 do đó c cn tìm t tng : a + b Cách 1: Đ t c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36 x = −4 Suy ra a,c là nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình : x 2 − 5 x − 36 = 0 ⇔ 1 x2 = 9 Do đó n nu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9 nu a = 9 thì c = 4 nên b = 4 2 2 2 2 Cách 2: T ( a − b ) = ( a + b) − 4 ab ⇒ ( a + b) = ( a − b) + 4 ab = 169 a + b = −13 2 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ a + b = 13
x1 = −4
*) V V i a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình : x 2 + 13 x + 36 = 0 ⇔
x2
= −9
Vy a = −4 thì b = −9 x1 = 4
*) V V i a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình : x 2 − 13x + 36 = 0 ⇔
x2
=9
Vy a = 9 thì b = 4 3) Đã bi bit ab = 30, do đó c cn tìm a + b: T : a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b )
2
=
a
2
+
2
b
+ 2 ab =
a + b = −11
61+ 2.30 = 121 = 112 ⇒
a + b = 11 x1 = −5
*) N Nu a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình: x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔
x2
= −6
Vy n nu a = −5 thì b = −6 ; n nu a = −6 thì b = −5 x1 = 5
*) N Nu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình : x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔
x2
=6
Vy n nu a = 5 thì b = 6 ; n nu a = 6 thì b = 5.
IV. TÍNH GIÁ TR CA CÁC BIU TH C NGHIM dng này điu quan tr trng nh nht là ph phi bi bit bi bin đi bi biu th thc nghi nghim đã cho v v Đi các bài toán d bi biu th thc có ch cha t tng nghi nghim S và tích nghi nghim P đ áp d dng h h th thc VI-ÉT r ri tính giá tr tr ca bi biu th thc i bi u th c đ làm xu t hi n : ( x1 + x2 ) và x1 x2 1. Bi n đ Ví d d 1
a) x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 b) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) c) x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( 1 1 x +x d) + = 1 2 x1
Ví d d 2
x1 − x2
x2
=
2
− 3 x1 x2
2 x12 + x22 −
) 2 x12 x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2
2
−
2 x12 x22
x1 x2
?
2
2
2
Ta bi bit ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 T các bi biu th thc đã bi bin đi trên hãy bi bin đi các bi biu th thc sau: 2 2 1. x1 − x2 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….) 2. x13 − x23 3. x14 − x24
( = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) ( = ( x12 + x22 ) ( x12 − x22 ) =…… )
2
− x1 x2
=……. )
4. x16 + x26 ( = ( x12 )3 + ( x22 )3 = ( x12 + x22 ) ( x14 − x12 x22 + x24 ) = ……..) Bài t tp áp d dng 5. x16 − x26
6. x15 + x25
7. x17 + x27
8.
2. Không gi i phươ ng trình, tính giá tr c a bi u th c nghi m 2 a) Cho phươ phươ ng ng trình : x − 8 x + 15 = 0 Không gi gii phươ phươ ng ng trình, hãy tính
1. x12 + x22
(34)
2.
1 x1
+
1 x2
8 15
1 x1 − 1
+
1 x2 − 1
3.
x1 x2
+
x2 x1
34 15
4. ( x1 + x2 )
2
(46)
b) Cho phươ phươ ng ng trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không gi gii phươ phươ ng ng trình, hãy tính: 1 1 9 1. + 2. x12 + x22 (65) x1 x2 8 c) Cho phươ phươ ng ng trình : x 2 − 14 x + 29 = 0 Không gi gii phươ phươ ng ng trình, hãy tính: 1 1 14 1. + 2. x12 + x22 (138) 29 x1 x2 d) Cho phươ phươ ng ng trình : 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 Không gi gii phươ phươ ng ng trình, hãy tính: 1 1 1 − x1 1 − x2 + 1. + (3) 2. (1) x1
x2
3. x12 + x22
x1
(1)
4.
x1 x2 + 1
x2
+
x2 x1 + 1
5 6
e) Cho phươ phươ ng ng trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghi nghim x1 ; x2 , không gi gii phươ phươ ng ng trình, tính 6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22 Q= 5 x1 x23 + 5 x13 x2
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22 HD: Q = 5 x1 x23 + 5 x13 x2
6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 2 5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
6.(4 3 ) 2 − 2.8 17 = = 5.8 (4 3 ) 2 − 2.8 80
V. TÌM H TH C LIÊN H GI A HAI NGHIM CA PHƯƠ NG NG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIM NÀY KHÔNG PH THUC (HAY ĐC LP) V I THAM S loi này, ta làm l ln lư lư t theo các bư bư c sau: Đ làm các bài toán lo - Đt điu ki kin cho tham s s đ phươ phươ ng ng trình đã cho có hai nghi nghim x1 và x2 (thư (thư ng ng là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - Áp d dng h h th thc VI-ÉT vi vit S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham s s - Dùng quy t tc c cng ho hoc th th đ tính tham s s theo x1 và x2 . T T đó đưa ra h h th thc liên h h gi gia các nghi nghim x1 và x2. Ví d 1: Cho phươ phươ ng ng trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghi nghim x1; x2 . Lp h th thc liên h h gi gia x1; x2 sao cho chúng không ph ph thu thuc vào m. phươ ng ng trình trên có 2 nghi nghim x1 và x2 th ì : Đ phươ m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ 1 ⇔ ⇔ ⇔ 4 2 ' 0 5 4 0 m ≥ − ≥ m ≥ ( 1 ) ( 4 ) 0 m m m − − − ≥ 5
Theo h h th c VI- ÉT ta có : 2m 2 x1 + x2 = m − 1 x1 + x2 = 2 + m − 1 (1) ⇔ 4 m − x. x = x. x = 1 − 3 (2) 1 2 1 2 m −1 m −1
Rút m t (1) ta có : 2 2 = x 1+ x 2 − 2 ⇔ m− 1 = m −1 x1 + x2 − 2 Rút m t (2) ta có : 3 = 1 − x1 x2 m −1
⇔
m− 1 =
(3)
3
(4)
1 − x1 x2
nht các v v ca (3) và (4) ta có: Đng nh 2 x1 + x2 − 2
=
3 1 − x1 x2
⇔
2 (1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2) ⇔ 3( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0
Ví d d 2: Gi x1; x2 là nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 . Ch Chng minh r rng bi biu th thc A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8
không ph ph thu thuc giá tr tr ca m.
phươ ng ng trình trên có 2 nghi nghim x1 và x2 th ì : Đ phươ m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ 1 ⇔ ⇔ ⇔ 4 2 5 4 0 m − ≥ m ≥ ( 1 ) ( 4 ) 0 m m m − − − ≥ '≥0 5
Theo h h th thc VI- ÉT ta c ó : 2m x x + = 1 2 m − 1 thay v ào A ta c ó: 4 m − x .x = 1 2 m − 1 2m 6m + 2 m − 8 − 8(m − 1) 0 m−4 A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3. + 2. −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 4 Vy A = 0 v v i m mi m ≠ 1 và m ≥ . Do đó bi biu th thc A không ph ph thu thuc vào m 5 Nhn xét: - Lư Lưu ý điu ki kin cho tham s s đ phươ phươ ng ng trình đã cho có 2 nghi nghim - Sau đó d d a vào h h th thc VI-ÉT rút tham s s theo t tng nghi nghim, theo tích nghi nghim sau đó đng nh nht các v v ta s s đư c m mt bi biu th thc ch cha nghi nghim không ph ph thu thuc vào tham s s. Bài t p áp d ng: 1. Cho phươ phươ ng ng trình : x2 − ( m+ 2 ) x+ ( 2 m− 1) = 0 có 2 nghi nghim x1 ; x2 . Hãy l lp h h th thc liên h h gi gia x1 ; x2 sao cho x1; x2 đc l lp đi v v i m. 2
2
2
thy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m − 4m + 8 = ( m − 2) + 4 > 0 H ư ng d n: D th ư ng n: do đó phươ phươ ng ng trình đã cho luôn có 2 nghi nghim phân bi bit x1 và x2 Theo h h th thc VI- ÉT ta có m = x1 + x2 − 2(1) x1 + x2 = m+ 2 ⇔ x1 x2 + 1 . 2 1 x x m = − 1 2 m = 2 (2)
T (1) và (2) ta có:
x1 + x2 − 2 =
x1 x2 + 1
2
⇔
2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0
2. Cho phươ phươ ng ng trình : x2 + ( 4 m+ 1) x+ 2 ( m− 4 ) = 0 . Tìm h h th thc liên h h gi gia x1 và x2 sao cho chúng không ph ph thu thuc vào m. 2
2
thy ∆ = ( 4m + 1) − 4.2(m − 4) = 16m + 33 > 0 ư ng n: H ư ng d n: D th nghi nghim phân bi bit x1 và x2
do đó phươ phươ ng ng trình đã cho luôn có 2
Theo h h th thc VI- ÉT ta có
x1 + x2 = −(4 m+ 1) 4 m = −( x1 + x2 ) − 1(1) ⇔ . 2 ( 4 ) x x m = − 1 2 4 m = 2 x1 x2 + 16(2)
T (1) và (2) ta có: −( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0
VI.TÌM GIÁ TR THAM S CA PHƯƠ NG NG TRÌNH THO MÃN BIU TH C CH A NGHIM ĐÃ CHO v i các bài toán d dng này, ta làm như như sau: Đi v - Đt điu ki kin cho tham s s đ phươ phươ ng ng trình đã cho có hai nghi nghim x1 và x2 (thư (thư ng ng là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - T T bi biu th thc nghi nghim đã cho, áp d dng h h th thc VI-ÉT đ gi gii phươ phươ ng ng trình (có n là tham s s). - Đi chi chiu v v i điu ki kin xác đnh c ca tham s s đ xác đnh giá tr tr cn tìm. phươ ng ng trình : mx 2 − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0 Ví d 1: Cho phươ Tìm giá tr tr ca tham s s m đ 2 nghi nghim x1 và x2 tho tho mãn h h th thc : x1 + x2 = x1. x2 kin đ phươ phươ ng ng trình c ó 2 nghi nghim x1 và x2 l à : Bài gi gii: Điu ki m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 m ≥ −1 ∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0 ∆ ' = 9 ( m −1) ≥ 0 ∆ ' = 3 ( m − 21) − 9( m − 3) m ≥ 0
6(m − 1) x + x2 = 1 m Theo h th c VI- ÉT ta c ó: x x = 9(m − 3) 1 2 m 6(m − 1)
=
9(m − 3)
m
m
⇔ 6( m − 1) =
v à t gi thi t: x1 + x2
= x1 x2 .
Suy ra:
9( 9( m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7
(tho (tho mãn điu ki kin xác đnh ) v i m = 7 thì phươ phươ ng ng trình đã cho có 2 nghi nghim x1 và x2 tho Vy v tho mãn h h th thc : phươ ng ng trình : x2 − ( 2 m+ 1) x+ m2 + 2 = 0 . Ví d 2: Cho phươ Tìm m đ 2 nghi nghim x1 và x2 tho tho mãn h h th thc : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 Bài gi gii: Điu ki kin đ phươ phươ ng ng trình có 2 nghi nghim x1 & x2 là : 2
2
∆ ' = ( 2m + 1) − 4(m + 2) ≥
0
4m 2 + 4 m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0 7 ⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥ 4 ⇔
x1 + x2 = x1. x2
Theo h h th thc VI-ÉT ta có:
x1 + x2 = 2 m+ 1 2 x1 x2 = m + 2
và t t gi gi thi thit 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 . Suy ra
3(m 2 + 2) − 5( 2m + 1) + 7 = 0 2 ⇔ 3m + 6 − 10m − 5 + 7 = 0 m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔ m = 4 ( KTM ) 3 2
nghim x1 và x2 tho tho mãn h h th thc : Vy v v i m = 2 thì phươ phươ ng ng trình có 2 nghi
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài tp áp dng 1. Cho phươ phươ ng ng trình : mx 2 + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0 Tìm m đ 2 nghi nghim x1 và x2 tho tho mãn h h th thc : x1 − 2 x2 = 0 2. Cho phươ phươ ng ng trình : x2 + ( m− 1) x+ 5 m− 6 = 0 Tìm m đ 2 nghi nghim x1 và x2 tho tho mãn h h th thc: 4 x1 + 3 x2 = 1 3. Cho phươ phươ ng ng trình : 3 x2 − ( 3 m− 2 ) x− ( 3 m+ 1) = 0 . Tìm m đ 2 nghi nghim x1 và x2 tho tho mãn h h th thc : 3 x1 − 5 x2 = 6
Hư ng ng dn cách gii: v i các bài t tp d dng này ta th thy có m mt điu khác bi bit so v v i bài t tp Ví d 1 và ví d d 2 ch Đi v Ví d ch + Trong ví d d thì bi biu th thc nghi nghim đã ch cha s sn t tng nghi nghim x1 + x2 và tích nghi nghim x1 x2 nên ta có th th vn dng tr trc ti tip h h th thc VI-ÉT đ tìm tham s s m. + Còn trong 3 bài t tp trên thì các bi biu th thc nghi nghim l li không cho s sn như như vy, do đó v vn đ đt ra đây là làm th th nào đ t bi biu th thc đã cho bi bin đi v v bi biu th thc có ch cha t tng nghi nghim x1 + x2 và tích nghi nghim t đó v vn d dng tươ tươ ng ng t t cách làm đã trình bày Ví d 1 và ví d d 2. Ví d x1 x2 ri t 16 BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤ 15 −( m − 4) x1 + x2 = m -Theo VI-ÉT: x x = m + 7 1 2 m
(1)
x1 + x2
- T T x1 − 2 x2 = 0 Suy ra:
= 3 x2
2( x1 + x2 ) = 3 x1
⇒ 2( x1 + x2 ) 2
= 9 x1 x2
(2)
- Th Th (1) vào (2) ta đưa đư c v v ph phươ ươ ng ng trình sau: m 2 + 127m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128 BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96 x1 + x2 = 1 − m (1) 5 6 x x m = − 1 2 x1 = 1 − 3( x1 + x2 ) ⇒ x1 x2 - T T : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) − 1
- Theo VI-ÉT:
⇔ x1 x2 =
= [1 − 3( x1 + x2 )] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]
7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 )2 − 1
(2)
m = 0
- Th Th (1) vào (2) ta có phươ phươ ng ng trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔
m = 1
(tho (tho mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì ∆ = (3m − 2)2 + 4.3(3m + 1) = 9m2 + 24m + 16 = (3m + 4)2 ≥ 0 v i m mi s s th thc m nên phươ phươ ng ng trình luôn có 2 nghi nghim phân bi bit. 3m − 2 x + x2 = 1 3 (1) - -Theo VI-ÉT: x x = −(3m + 1) 1 2 3 8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6 ⇒ 64 x1 x2 = [5( x1 + x2 ) + 6] .[ 3( x1 + x2 ) − 6] - T T gi gi thi thit: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6 (2) 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 )2 − 12( x1 + x2 ) − 36 36 m = 0 - Th Th (1) vào (2) ta đư c phươ phươ ng ng trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ (tho (tho mãn ) m = − 32 15 ⇔
VII. XÁC ĐNH DU CÁC NGHIM CA PHƯƠ NG NG TRÌNH BC HAI 2 Cho phươ phươ ng ng trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điu ki kin đ ph phươ ươ ng ng trình có 2 u u nghi nghim: trái d u, , cùng d u, , cùng d ươ ươ ng, cùng âm …. Ta l lp b bng xét d du sau:
Du nghim
x1
x2
u trái d
±
m
u, , cùng d u
±
±
ươ ng, cùng d ươ ng,
+
+
S>0
cùng âm
−
−
S<0
S = x1 + x2
P = x1 x2
P<0 P>0 P>0 P>0
∆
Đi u ki n chung
0 ∆≥0 ∆≥0 ∆≥0
0 ; P < 0. ∆≥0 ;P>0 ∆≥0 ; P>0; S>0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
∆≥
∆≥
Ví d d: Xác đ nh tham s m sao cho phươ ng ng trình:
nghim trái d du. 2 x2 − ( 3 m + 1) x + m2 − m − 6 = 0 có 2 nghi phươ ng ng trình có 2 nghi nghim trái d du thì Đ phươ ∆ = (3m + 1)2 − 4.2.(m2 − m − 6) ≥ 0 ∆ = (m − 7)2 ≥ 0∀m ∆ ≥ 0 2 ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m < 3 m −m−6 0 P < ( 3 ) ( 2 ) 0 P m m = − + < 0 P = < 2
Vy v v i −2 < m < 3 thì phươ phươ ng ng trình có 2 nghi m trái d du.
Bài tp tham kho:
1.
2
mx − 2 ( m + 2 ) x + 3 ( m − 2 ) = 0
có 2 nghi nghim cùng d du.
2. 3mx 2 + 2 ( 2m + 1) x + m = 0 có 2 nghi nghim âm. 3. ( m − 1) x 2 + 2 x + m = 0 có ít nh nht m mt nghi nghim không âm. VIII. TÌM GIÁ TR L N NHT HOC GIÁ TR NH NHT CA BIU TH C NGHIM
v bt đng th thc: trong m mi trư trư ng ng h h p n nu ta luôn phân tích đư c: c: Áp d dng tính cht sau v A + m C = k − B
Thì ta th thy :
(trong đó A, B là các bi biu th thc không âm ; m, k là hng s s) (v ì A ≥ 0 )
C
≥
m
C
≤
k (v ì B ≥ 0 )
(*)
⇒ min C = m ⇔ A = 0 ⇒ max C = k ⇔ B = 0
Ví d 1: Cho phươ phươ ng ng trình : x2 + ( 2 m− 1) x− m = 0
Gi x1 và x2 là các nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình. Tìm m đ : 2
2
A = x1 + x2 − 6 x1 x2
Bài gi gii: Theo VI-ÉT:
có giá tr tr nh nh nh nht.
x1 + x2 = −(2 m− 1) x1 x2 = − m 2
A = x12 + x22 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2
Theo đ b ài :
2
= ( 2m − 1) + 8m
4 m 2 − 12m + 1 2 = ( 2m − 3) − 8 ≥ −8
=
Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0
hay m =
3 2
Ví d 2:
Cho phươ phươ ng ng trình : x2 − mx+ m− 1 = 0 Gi x1 và x2 là các nghi nghim c ca phươ phươ ng ng trình. Tìm giá tr tr nh nh nh nht và giá tr tr l n
nht c nh ca bi biu th thc sau: B =
2
x1 +
2 x1x2 + 3 2 x2 + 2 ( x1 x2 + 1) x1 + x2
Ta có: Theo h h th thc VI-ÉT thì :
x1 x2
=
=
m
m−1
2 x1 x2 + 3 2 x1 x2 + 3 2( m− 1) + 3 2 m+1 = = = 2 2 2 2 2 x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2 m +2 m +2 b t đ đưa v v dng như như ph phn (*) đã hư hư ng ng d dn Cách 1: Thêm b Ta bi bin đi B như như sau: 2 2 2 m + 2 − ( m − 2m + 1) ( m − 1) B = =1− m2 + 2 m2 + 2 2 ( m − 1) 2 Vì ( m − 1) ≥ 0 ⇒ 2 ≥ 0 ⇒ B ≤1 m +2 Vy max max B=1 B=1 ⇔ m = 1 V i cách thêm b b t khác ta l li có: ⇒ B =
B =
1 2 1 2 m + 2m + 1 − m 2 2 2 m +2
1 2 1 2 2 m + 4m + 4 ) − ( m + 2 ) ( 2 m + ( ) 1 2 2 = − 2 m +2 2 ( m2 + 2 ) 2
= 2
( m + 2) 1 Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ B≥− 2 2 2 ( m + 2) 1 Vy min B = − ⇔ m = −2 2 v gi gii phươ phươ ng ng trình b bc 2 v v i n là m và B là tham s s, ta s s tìm điu ki kin cho tham s s B đ Cách 2: Đưa v phươ phươ ng ng trình đã cho luôn có nghi nghim v v i m mi m. 2m + 1 2 B= 2 (V (V i m là n, B là tham s s) (**) ⇔ Bm − 2 m + 2 B− 1 = 0 m +2 Ta có: ∆ = 1 − B( 2 B− 1) = 1 − 2 B2 + B phươ ng ng trình (**) luôn có nghi nghim v v i m mi m thì ∆ ≥ 0 Đ phươ 2 2 hay −2 B + B+ 1 ≥ 0 ⇔ 2 B − B− 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B+ 1) ( B− 1) ≤ 0 1 B ≤ − 2 B + 1 ≤ 0 2 1 B ≥ 1 B − 1 ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ B ≤ 1 2 B + 1 ≥ 0 2 B ≥ − 1 2 B − 1 ≤ 0 B ≤ 1 Vy: ma maxx B=1 B=1 ⇔ m = 1 1 min B = − ⇔ m = −2 2 Bài tp áp dng 1. Cho phươ phươ ng ng trình : x2 + ( 4 m+ 1) x+ 2 ( m− 4 ) = 0 .Tìm m đ bi biu th thc A= ( x1 − x2 )2 có 2
giá tr tr nh nh nh nht. 2. Cho phươ phươ ng ng trình x2 − 2( m− 1) x− 3 − m= 0 . Tìm m sao cho nghi nghim x1; x2 th tha mãn điu ki kin x12 + x22 ≥ 10 . 3. Cho phươ phươ ng ng trình : x2 − 2( m− 4) x+ m2 − 8 = 0 xác đnh m đ phươ phươ ng ng trình có 2 nghi nghim x1 ; x2 th tha mãn a) A = x1 + x2 − 3 x1 x2 đt giá tr tr l n nh nht b) B = x12 + x22 − x1 x2 đt giá tr tr nh nh nh nht 4. Cho phươ phươ ng ng trình : x2 − ( m − 1) x − m2 + m − 2 = 0 . V V i giá tr tr nào c ca m, bi biu th thc C = x12 + x22 dt giá tr tr nh nh nh nht. 5. Cho phươ phươ ng ng trình x2 + ( m+ 1) + m= 0 . Xác đnh m đ bi biu th thc E = x12 + x22 đt giá tr tr nh nh nh nht.
C. KT LUN Do th th i gian có h h n và m mc đích chính c ca chuyên đ là áp d dng cho h h c sinh đi trà, riêng m mc VII và VIII dành cho h h c sinh khá gi gii nên lư lư ng ng bài t tp còn đơ n gi gin và chư chưa th tht s s đa d dng, đy đ, do đó không tránh kh kh i thi thiu sót, rât mong các đng nghi nghip tham gia góp ý xây d d ng đ chuyên đ ca chúng tôi có kh kh năng áp dng r rng rãi và có tính thi thi t th thc hơ hơ n! n! Chúng tôi xin chân thành c c m ơ n! n!
Ngư i vi t
Ngô Qu c H ư ư ng Dươ ng Th Nam
