180
CAPITULO VI
OPERADORES MATEMATICOS
OPERADOR MATEMATICO:
3
2
Si:Vx • y = x - y ,
Es un símbolo matemático que por sí sólo no tiene significación; pero que en la matemática tiene una enorme importancia.
Hallar: (4 * 27) * (6V2 1 * 512)
Solución: ...... Operadores matemáticos clásicos
Operadores matemáticos arbitrarios Ejemplo:
-1
V >U°g> sen, eos, tg,ctg,sec, esc, J, I, 11, [], n
*, #, A, □ ,
a, 0, %, ©,
Se define en Z:
□> !> O, A o— o>
2a + 7 ; si “a” es par a+ 3 ; si “a” es impar
a=
Ejemplo: OPERACION MATEMATICA Es una estructura matemática que relaciona operadores matemáticos con cantidades mediante una “Ley de formación”.
Calcular: (9 ) - (6 ) Solución: .........
Operaciones Usuales:
Ejemplo: Su respuesta se deduce por su ley que se supone conocida ya que son operaciones universales.
x x+2
Si: A =
XX = O p e r a c i o n e s N O U s u a l es es 4 * 3
7
=
9 02
=?
# 5 =? f(2) = ?
Su respuesta depende de la ley de formación que se dé en cada caso
VxGZ-{0;2}
x x-2
181
OPERACIONES EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA
Se define en el conjunto: A = {a, b, c, d}
Fila de entrada
a£c Columna J b de entrada I C
b* c = . d* b = .
Ejemplo:
_d
a
d
a
b
c
a
b
c
_
b
a
b
c
d
b c
c d
d a
d a
c d
b c
c d
d a
a b
d
a
b
b c
Va,bGA^ a*b = b*a El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.
Ejemplo: En el conjunto:
Ejemplo: En N se define la adición:
A={1,2,3,4} se define: 1 2 3 4 1
1 2 3 4
2 3 4 1 2
5 + 8 = 8 + 5 ^ la adición es conmutativa en N. 4 1 2 3
1 2 3 4
Ejemplo: En N se define la sustracción: 6-9^ 9-6^ la sustracción no es conmutativa en N.
Entablas: (1 2)(2 4) (3 Calcular: E =
3)(4 1) 2. Conmutativa:
Solución:,
PROPIEDADES: Se define en el conjunto A, una operación representada mediante el operador (*). 1. Clausura:
Va.bGA^ a*bGA Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto A.
a b
a b
b c
c d
d a
c d
c d
d a
a b
b c
Criterio de la diagonal: 1. Se ordena la filayla columna de entrada. En el mismo orden y a partir del vértice del operador. 2. Se traza traza la diagonal principal (desde el vértice del operador). 3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal yen forma simétrica queden elementos iguales. 4. Si en todos los casos los elementos son iguales, la operación es conmutativa. 5. Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, la operación no es conmutativa.
181
OPERACIONES EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA
Se define en el conjunto: A = {a, b, c, d}
Fila de entrada
a£c Columna J b de entrada I C
b* c = . d* b = .
Ejemplo:
_d
a
d
a
b
c
a
b
c
_
b
a
b
c
d
b c
c d
d a
d a
c d
b c
c d
d a
a b
d
a
b
b c
Va,bGA^ a*b = b*a El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.
Ejemplo: En el conjunto:
Ejemplo: En N se define la adición:
A={1,2,3,4} se define: 1 2 3 4 1
1 2 3 4
2 3 4 1 2
5 + 8 = 8 + 5 ^ la adición es conmutativa en N. 4 1 2 3
1 2 3 4
Ejemplo: En N se define la sustracción: 6-9^ 9-6^ la sustracción no es conmutativa en N.
Entablas: (1 2)(2 4) (3 Calcular: E =
3)(4 1) 2. Conmutativa:
Solución:,
PROPIEDADES: Se define en el conjunto A, una operación representada mediante el operador (*). 1. Clausura:
Va.bGA^ a*bGA Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto A.
a b
a b
b c
c d
d a
c d
c d
d a
a b
b c
Criterio de la diagonal: 1. Se ordena la filayla columna de entrada. En el mismo orden y a partir del vértice del operador. 2. Se traza traza la diagonal principal (desde el vértice del operador). 3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal yen forma simétrica queden elementos iguales. 4. Si en todos los casos los elementos son iguales, la operación es conmutativa. 5. Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, la operación no es conmutativa.
182
Ejemplo:
Ejemplo:
a*b = 2 4 1 3
3 1 2 4
4 2 3 1
1 3 4 2
Se define: ab
2 4 1 3
2 Calcular el elemento neutro
Entablas: Ordenando:
Ejemplo:
a b
d a
a b
b c
c d
c d
b c
c d
d a
a b
*
2 2 4 6 8
4 4 6 8 2
6 6 8 4 4
8 8 2 2 6
2 4 6 8
Criterio:
1 2 3 4
3 4 1 2
4 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 1
^e =, 1. Se verifica que la operación sea conmutativa. 2. En el cuerpo de la tabla se buscan: una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna de entrada. Donde se intercepten, se encontrará el elemento neutro “e”.
4. Elemento inverso: Va£A,3 a" -i -i
elemento inverso de “a”/a* a = a *a = e 3. Elemento Neutro: 3e E A/Va^a*e = e* a ^a e = elemen elemento to neutro I) En la adición el elemento neutro es el cero (0). a+0=0+a=a multiplicación el elemento neutro II) En la multiplicación es el uno(1). ax1=1xa=a
Calcular: 3' 1;4'1;6'1
Solución: Calculando “e”se sabe: a*e =
a a + e-2 = a^-e = 2 Luego se 3*3"1=2
sabe:
a*a1=e
Ejemplo: Se define: a*b = a + b + 3 Calcular el elemento neutro Ejemplo: Sedefine: a*b = a + b-2
3*3"1=2 3 + 3"1-2 = 2
^3" = 1
183
Ejemplo:
Se sabe: a*a1=e 4*4"1=2 4 + 4"1-2 = 2 ^4"1 = 0 También:
Entablas:
1 3 5 7
3 5 7 1
5 7 1 3
7 1 3 5
1 3 5 7
Hallar: E = [(3*5"1)*(1"1*7)]"1*71 Solución: Por definición de la tabla: í --------------------i 1* í 1 = ..........= 1 * 5 ^ i 1 = 5 í --------------------- ] 3* 31 =......... =3 * 3 ^ 31 = 3 l -------------------1 5* 5 1 =......... =5 * 1 ^ 5 1 = 1 í --------------------i 7* 7 1 =......... = 7* 7 ^ 7' 1 = 7 Luego, reemplazando: E =..........................................
E=
184
1.
PRACTICANDO 01 06. Se define:
Si: a * b = 3a + b-8
2a + b; si a > b
Calcule: E = 2*6
a#b =
a)3 d)5 2.
b)2 e)7
a + b;sia
Se define:
Hallar: (2 #1)#(2#3) a) 10 d) 15
1
3a * 2b = Va -VF (27 * 6)
b) 12 e) 16
c) 13
07. Se define: f(x) = (x 2)
Hallarel valorde: (12 2)
Hallar:f(3) + f(4) + f(5)
a)1 d)0
b)2 e)4
c)3
a) 15 d) 11
b) 13 e) 14
08. Si:f(x + 2) = x + 3x
03. Si: = ab-bc
Calcular: f (7)
(n-2)* =7
1 Se verifica que la operación sea conmutativa 2 Se busca el elemento neutro “e”.
a)2 d)-1
c) 12
b)30 e)36
a) 40 d)45
Hallar “x”.
3x -1 8
-4
' 3x-1;six>3 F(x)= i x 2-2;si -2 < x < 3 2x +
2
b)2 e)6
185
09. Dada la función definida por:
x a)1 d)5
c)35
c)4
3; six<-2 Calcule:
04. Si:a0b = a -3b J = F(2) + F(-1) + F(-3)+F(4) Hallar: (2 01) +(4 02) c
)7
a) 10 d) 13 05. Si: a*b=
b) 11 e) 14
c) 12
ab + ba; (a + b);par
a) 9 d) 11 10. Se define:
x* = x2-(n + 2)x + 6n + 1
ab;(a + b):impar
Calcular“n”si:
Calcular: (2*1)*(1*3) a) 30 d)36
15. Si:
b) 13 e)8
b)28 e)29
c)32
b)1 e)-2
a) 11 d)9
b) 21 e)7
c)0
186
11. Si se cumple: m&n = (m + n)
Calcule:valorde: E=8#9 26. Hallarel
...
a)1 d)5
Además: 7 & 2 = 81 2 & 1 = 3 2 & 3= 125 Calcular: E = 2Q2° *7 b)2 a)1 d)5 e)7
b)2 e)7
16. Si:
c)3
2
c)3
2
a + 2b
9 a©= ---------y 3b = a + bz 4
Hallar: “b” b)2 e)3
a)1 d)5
c)4
12. Si: X+5 = 3X+5 17. Si A*B = 2A-B, A#B = 2B-A Calcular: Además: (2*A)#(2*3) = (8*A) Hallarel 12 a) 43 d) 51
b)24 e)27
c)34
valordeA. a) 5 d)8
b)6 e)9
c)7
b _ c-d 18. Si: a#b = ----- ;
13. Si:
eAf=e.f ; g*h = g-h Hallar:{[(7#9)$2]A1}*0 a)0 d)3
3x - 4\ = x + 1
b)3 6 a) 8 e)2 d) Calcule: 7 51 14.
c) 34
c)2
Calcule: E = 125 # 27 19. Sean a y b números reales. Si a * b es igual a la parte entera de a(a + b)/5 + b/5 y si a # b es igual a la parte entera de axb/5. Elvalorde(11,5 * 15,1)#16,5 es:
Si:
a) 16 d) 15
5a# b“ = a“ 2b a) 13 d) 21
b)1 e)4
b)23 e)27
c) 24
c) 14 b)
17 e) 19
20. Si: R * = 3R + 1 ................................ (5< R < 9) P *2P Hallar: 24*-4* + 8*-6*-15* c) 16
a #b =(a + b)
a) 24 d) 10
b) 18 e)8
187
21. Si:x¡y = xy-yx ó x?y="\/xy 1
A A A A A A E = 8 .3 - 5 . 7 + 4 . 9
Hallar: [(3 ¡2)? 4] a)1 b)2 e)-2 d)4 oo o- A
-
.
Sabiendo que: c)3 :
=—
, = ---------
—
© Hallar:
y =3y-1 a) 40 d)80
@)
a)1 d)4
= a2 + a+ 1
[5*12]*[14*6]*[3*2] b)3140 a)3410 e)3240 d)3230 28. Si aAb = Vab +ab
Hallar:
Hallar: b)1 e)4
a) 42 d)33 25. Hallar:
29. Si: a*b = 8 y a#b = 9 Hallar: a *b
+
.16
b)31 e)40
donde: @
b)4 e)8
a) 3 d)6
b2 + b 1 ................. 1
0/ M Ñ1 M
1/4
c)5
a) 3
c)28
> 2, si
0<
y=N
a) 3
b)3-V"^ c)2'\/"3n
d)4
e^VT1
24
0
<8
15. Si:
E = [1A4 + 4A9 + 9A16 + 16A25+1]'
c)0
a + a + 1 ................ 0
Hallar:
c)3220
156
Si además: (aj -■
®
c)70
Hallarel valorde:
23. Sifa) = a2 + a )
24. Si: [a] ¡
b)60 e)90
27. Si: A*B = 6A + 2B
c)3
b)2 e)5
a) 2 d)3
x =4x + 2...(Si“x” esperar)
M
ba
b)72
.27 c)2
36
e)2 d)3" 30. Sean a, b, c números positivos. Si definimos: a*b = a + b, siayb son pares, a * b = a. b., si a ó b no es par. Entonces: (1*3) *6 es igual a: c) 15
a) 11 d)9
b) 21 e)7
188
PRACTICANDO 02
1. Si:
4. Si: aD^b= a2 - b2, Hallarel valor
J°F(x)=F(a + b)-F(a-b)
de:
Además: F(x) = 4x + 3 r 3 Calcule: E =J1 F(x)
a) 7 d) 10 2. Se define:
(4^ □ 3) - (3D4).
c)9
b)8 e) 11
® =(x+1)
a) 15 d)-7
b) 14 e)0
c)7
5. Si: aLb=^/IIF Hallar: E= (22 L 28) - (15 L 17)
2
b)4 e)1
a) 5 d)2
Hallar“n” en:
c)3
(|||) =100 a) 3 6. Sabemos que: <^¡> = 3 a n
b)2
c)'\/“3
-1 Hallarentonces:
3. El resultado de la operación:
1
eJV2 -1
[(3*2)* (4*3)] *(2*4) = 3 Corresponde a la tabla: I.
II.
a)45 d) 41/3 e)56 7.Si: nLm = (m + n)/2- 1/(2m„ )
234 234 2
3
4
2
3
2
3
2
4
4
2
3
Hallarel valor de: 3
3
4 2 3
4
3
42
4
333
24 a) Sólo I d)lyll
4
4
3
b) Sólo II c) Sólo I e)lylll
E = 2L [4L [8L f6L ¡32L[...]]|
a)0 d)4
b)1 e)8
c)2
8. Sea (+) la operación definida en: A = {a, b, c} mediante la tabla:
+ A B C a)2a d)c
a a b c
b b c a
c c a b b)2b e)byd
Hallar: E = 4a + 3b + 2c c)2c
189
9. Si:M + N = (a2 - 4bc)
(2 *3) *(3 *2)
a=M+ N b = N-M c = a-b
c) 143 a) 84 b)96 e) 121
Hallar: 1 + 3 2 ía + b;si: a>b d) 132
a+ b2;si:a
%
14.Si: (A^B)
B (A-B)
Además:N = 1 x 2 x 3%x 4 . . . . . . % .. xN
Hallar: E = (7<& 5) + (8 ^ 3)
Calcular E =
a) 56 d)28
1
5
7
9
3 4
11 13 15 17 14 36 18 20
b)77 e) 100
11
c) 144
15. Si: A*= 2b-ab ; a*b = a + (a#b), además: x#y = y2- x Calcular el valor de:
b)1 e)2/5
a) 2 d) 1/3
i(2*3)
c) 1/2 M=A
(-2*1)
11. Si : A V B =
A + B a) -4 d) -7
A - B
Además : 8 V B = 7 ; B = ? ? b)4 a) e)6 3 d) 12. Si:7 50 ** 14 = 45 20 **
c)-2 e)-5
3
16. Dados: A9B=A'
c)5
A+B
AOB=B
+
e)82
A% B Calcular: (3 %-1)si:
12 = 17 180 **
2HHI5
25 = 173
a) 128 d)76
b)-
x=
206
Hallar: (122 ** 10) + (91 ** 25) c)93 b)205
b) 81 c)9^rr e)8'\'f2
c)0
190
+ 1)
22. Si: aìb = ab + b - a , 13. Definimos: a*b(5Ì = X) = [(7Ì4)Ì10], hallar “x” en:
17. S i a ^ b = a + b + 3ab, Hallar “x”en: a^x = 1 a)
1/3(a + 1) b) (a+1)/(3a+1) c) (1-a)/(3a+1) d) -(a + 1)/(3a
23. (a + b)
e)
b) 16 c)64 4 i p+
19. Se define[|J corno |_^| = ———
b)3 e)0
hallar: a)25 d) 18
c) 16
b)-5 e) 20
25. Si:(x) x2 4 ; =x(x + 4) Calcular el valor b)4y-2 e)4 y 12
H
Si:
c) 1/2
8
m
a)4y2 d)-2
c)40
24. Definamos la operación: (a) =2a;siaesimpar (a) =a;siaes paro cero
Hallar“m”en:
m =
x)
SI:mVn = (2m + 3n 1), hallar “x” en: (x + 1)V (2x + 2) = 7 a)1 d)y4
m%n = m2-n2, Hallar“r -s”en: (r%s)-(r#s) = (1/2)"3 a) 8 d)32
b)30 e) 65
a) 50 d)25
e)a + 3 -1 18. Si : a#b =
1/2
luego determinar: (xì
c)4
de: R= O +
) R+H + 15 a) 10 d) 13
R = 14
b) 11 e) 15
c) 12
26. Si: x^y = x + y ;a#b = ab + ab
3
simplificar la expresión: 5#3
a ar:
M=
X a) 105 d) 81
2^3 b) 120 e) 60
b) 3 e)1
a)4 d)6
c) 125
Además: x%y = y2-x y*x =2xy-y
21. Si: /B\= (B + 1)2,hallar“D”en: = 100
Hallar: E = (2Q-2(^)-3) b) e)^ '-vy-
9 c)>/'3l-1
1 27. Si: pQqQr = (q%r)'P 'W (r *q)%p
a)-3 d) 1/9 a) 9 d)1
b)9 e)1
c)5
191
28. Se define S como:
32. Si S^E = (S + E)(See); (a + b^b) = 2ab Hallar: 3^-2 a) 4 d)20
b)5 e)25
c) 10
-1 -1
Hallar“x”en:a s b = xsc
a) a d)d
b)b e)otro valor
c)c
33. Sean A//B = A + B N ;si 1 < N < 5 ; A//B=A+B + N;si5
Ay B. 29. De acuerdo a la siguiente tabla, hallar: R=[(a ab)a(ba c)] ac
Hallar: (12//15)//(3//1) b)4 e)0
a) 9 d)36
c)45
34. Si:[j]] = x +x + x +................... +x" Hallar el valor de: E = f4l -h \2\ a)e d)b
b)d e)a
c)c
a)1+x -IX
b)1 +x
2
4
^
d)x +x
6
C)X
+2
2
e)x +x
35. Dado la siguiente tabla: Hallar 30. Si. f(n j
el valor de:
Calcular: f (101) ;sif (5) = 2 a) 101/2 d)80
b)50 e)36
c)5/2
1
3
1
2
3
2
3
1
M = (323*212)*(111 *231)
31. Sia#b = a + b ; p ^ q = p - q ,
a)122 d)321
hallar “x + y” si se sabe que: .. .. .. j # ^1 + 2+1+y + j + | + ^+...)=12
yjyjy .... j 0 (4+2+i+^-+|+|....)=-6
b)211 e)332
c) 311
36. Si se sabe que: 32 # 10 = 26 50 # 33 = 58 18 # 17 = 26 Hallar “x” en
50#x = x#30 a) No se puede b)5 d)4 e)0
c)6
c) 10
a) 5 d) 13
b)7 e) 15
192
PRACTICANDO 03 Se define:
(b V a)a
Ini x + 1 | = | 3 l n | | x | - 2 | n x 1 Además: | n | 0 |
=
|2|y| n 1=3
Hallar: a + b, si se sabe que: a =1 0 + b
Hallar:
a)0 d)3
c)8
b) 17 e) 11 m/—i
a) 10 d) 12
b)1 e)4
Se define: m0n =Vn Hallar:
Si: m 0 n = m2-n2
1O0(xyz) Si:20x = 304 =
Hallarx(positivo)en: (x-10)03 = 91
50z a)x3 d)x 3.
6. Siendo: aVb =
b)^6 e)x
b)28 e)22
a) 18 d)26
c)x
Si: a a b =
c)2
c)20
Se define: a0b = 1
Hallar“x”: xa(2-x) = 2' « 6
b)64 e)32
c) 128
a) 30 d)8 Siendo: f x = 2x + 8x-9n Además:
X
F(x)
a
Resolver: [3 0(x + 2)] + [4 0(x 3)]-[120(x-1)] = 2 a)2 d)6
b)3 e)4
c)5
2
8a
Si: a * b = V " a 2 - b '
-138
Hallar: E = [(5*9)*3]*5 Señale la Hallar: “m”, sabiendo que “n” y “a” son enteros
alternativa correcta:
positivos. a) 16 d) 12 5. Se define
b) 18 e) 10
c) 14
■£ f a x + b \_ a x
f \ ax - b / b
a) Entre 1 y 1 b) Entre 2 y 25 c) Entre 1,5 y 2 d) Entre2y3 e) Entre 2,5 y 3 10. Sedefineen I R : a 0 b = b(a+1-b) + a Indicar el menor valor entero positivo “M”, tal que:
Calcular: [f 2 + f 3 ] -y
4
a)2y
a)1
d) 1d)7
b)31 e)9
c)5
50x< M c) 14
11. La operación n* es definida como n* = n(n +1). Entonces el valor de (2*) (3*) (4*) es:
Hallar: (314) (-21-3)
b)240 c)360 e) 1 440
a) 120 d)720
12. Si la operación □ es definida como:
a)1 d)4
i-i n + 2
0 = ---------7-
18.
Entonces:[4] =? b)3/2 e) /4
a) 3/8 d)3/7
c)4
[ 13. Definimos: a * b = -
a2 +
a>b
I
+ ) 1+3b
Entonces hallar: E = (4*5) + (5#4) c)0
c)8
b) 19 e)71
20. Hallarel valor de: [(2*3)*(4*2)] [(2*1)*(2*2)] Usando los valores de la tabla adjunta:
6*4 Entonces: -i—— es igual a: 8 A5 b) 10/13 e)1 1/21
*
2
3
4
1
1
3
4
1
2
3
1
2
3
4
c)1 19/13 a)1 d)4
b)2 c)3 e) Otro valor
= ad -bc Hallar y en:
4 1 6 5
21. La operación ^ es definida como:
e) 2
1 +3 b
c) 143
a)29 d)60 b)9 e)N.A.
c)
19. Se define las operaciones: -b a#b = (a + b)*(a-b) a*b = (a + b). (a-b)
aAb=2a-b p*q = 3p + q.
16. Si:
e)
, 1-b 1+3b
3b
15. Se definen estas operaciones:
a) 2 d)1/2
1+b b )^3b
1
+
3*6 a)21 d) 10
c)3
Considerando la operación: a®b = a + b + 3ab Hallarelvalordexen: b©x=1
d
b2:si: a < b Entonces hallar: (2 *3) *(3 *2) a) 84 b)96 e) d) 121 132 14. Si:(x+1)*2y = x(y+1) Hallar:
b)2 e)5
a)
b:si: a
193
17. Si:alb = 2a + b cuando a > b alb = 3a bcuandoa
3 X 1 y
5 1 X y Q =n(n + 1) a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
194
Entonces el valor de ^
es: a) 120 d)720
a)1 d)7
b)3 e)9
c)5
b)240 e) 1 440
c)360
195
22. Definimos: a*b=
3x +
28. Sea la operación: (x) =
a2 + b ; s i : a > b
2 2x Entonces, el valor de x en: ((x)) =x es:
a + b;si:a
entonces, hallar: (2 * 3) * (3 * 2) a) 13 d) 16
c) 15
b) 14 e) 17
a)1 d)4
b)2 c)3 e) Otro valor entero
29. Se define, las operaciones: n =2n -5 n =2n
23. Definamos la operación: (a) = 2a; si a es impar (a) = a
Hallarx en: [x~] = (6) -f 3
;si a esparo cero a) 17 d) 12
hallar:((3) + 7> 6 a) 25 d) 18
c) 16
b)-5 e)20
b)7 e) 19 1
30. S i : a * b * c =
c) 15 (a + b + c)
Hallar“x” en:
( 5 * 1 * x ^
24. Si:aAb = 2a + 3b;hallar:3A4
7*Q*
a) 18 d) 21
25. Sabiendo que para todo número impar n, se define: _ n = 1+3 + 5 + ............. + n
b)600 e)625
c)400
(/^\) =x(x + 6)
b)H
c) LH
e)0
a) 10 d)1 32. Sedefine:a® =
c)8
b) 14 e) 16 1
■ (a2 + b2)
2mn 27. Se define: m O n = -
m + n
Luego. Hallar: x =
a) 7 d) 11
c)2
Según esto hallar el valor de: /%\
¿Cuál es equivalente al producto de[U y [~4~l?
d) [10
J
b)5 a) e)4 3 d) 31. Se 6definen las operaciones:
26. Se define la operación: [x] = x - 1
a) [12
*1*2 =
X
(J^)= x2 -9
hallar el valor de: 35 - 25 a) 100 d)425
v
c) 15
b) 17 e)23
7 9
Calcular el valorde: R =
(203)0(103) (103)
30 0 42
0(1 0 2)
(2 0 6) 0 (12 0 20)
b)8 e) 12
c) 10
a)1,512 d)5,215
b)2,152 e) 1,125
c)5,125
196
38.
33. Se define:
Se define: 5a-3b; si:(a>b) 2a + a0b = -
= ab
b;si(a
Entonces hallar: 39.
b)64 e)6
a) 20 d) 10
c)0
c)98
Se define:
Hallar“x”,
(707)0(305) = x(507) 34. Se define: a#b = a b Calcular: 22222 # 22 221 a)1 d)444443
b)2 e)44 443
c) 44 443
35. Si: f(3x 5)= 5x + 9' +-\jx + ' \ ' Hallar: f(19) c) 12 a) 10 d)9
b) 11 e) 13
Hallar“x”:(4 0 x ) # 6 = O,83
c)3
(4a3)(2a1) 1 a (2 a 3)
a) 6 d)8
b)5 e)4
Si: x = 3x - 5 Calcular:
Hallar“x”.(x#a) + (x#b) = 3 a +
(CTÍ) +
b)3 e)6
c)7
m +n n
42. Se define: m#n =
© = = 2x -3
a)1 d)5
c)5
41. Si: aab = 2 a - b
Calcular: (205)0(4010)
d)4 37.
b)4 e)7
a) 3 d)6
36. Se define: a9b = 8a-3b
b)2 e)5
c)5
40. Sedefinen:a#b = ab-1 +1 a0b=a-b
Calcular:
a)1
b)3 e)2
a)1 d)7
c)4
a)a + b
b).
d)1
b e)ab
ab
c)
ab a + b
co 'ÑT
03 CO
co
O
'ò'
i'-
co
II co I
X, c\T
co
it it
*
CNI 00 CO CO
I
X co
_QCD
C\l LO
S''ór
it CO
II
_ç ô
c it E _o <7 co O > CD ^r
CO CO
_c o
W i'^r
COTD
■5- ^
"co
CO T3
X
co
i
X 00
II c\T c ^r
CD
c
4—
CD T3 CD
w
_ c o "c o
X ^r
T — CNI
CNI +
+
00 +
+
c
c
CNI CNI co CO
c
o co
CNI CO
co
o
TD
_o
C D
196
PROBLEMAS PROPUESTOS
5. Se define en R 0= 1 calcule
= a x>/"b
1. SedefineenZ
Calcule
[M+T
+ +1 1
+ 1
------ v -------
A) 70 D) 62
B) 72 E) 65
Se define en R /x\
C) 60
80 D) — 81
k
D)0
1 3 B)— C) — 81 81
A) 81
= 2x-5
Calcule
80 operaores
-
E)1
6. Se define en R =-\(x + 1 ;(x) = x
E)7
calcule el valor de m en la siguiente ecuación 2x+3+1
3. Se define en R 0 = además [Y] = 5 Calcule 1671 A)-1
B) -2
D) -4
E)-5
4. Se define en R = (x - 83)x Calcule
A) 1 D)4
C) -3 D)5
E) 17
2 7. Se define en R a - b ; a < b a+b;a=b b2-a;a>b
A) -12 D) -4
B) 10 E)-6
C)6
197
8. Se define en N
calcule E = [(-5 * -3)] *4 + (5 * 7 ) * - 6
B)2 E) 100
C)3
A =
A) -14 D) 10
B) -24 E) 14
C)-4
D) 1
E)1
198
2ab A 3ba = V a 2 + b2 halle el valor de E = (128 ^ 243) (2^9) B)3'sfïÔ _ E)6
A)5VTÔ""
C)5
D)7
12. Se define en R -^a(b * a) = a*b donde a * b > 0 calcule E = 16*2 + 8*8 C) D) 6 4 B) 32 16
13. Se define en 9. Se define en R
/A =— (x2 + 1
/ n-l\ = n (n + 2 )
/ A ) 8
/\ n-l\
)
A. =y[53
A)2 D)6
B)5 E)3
C)4
C)2 14. Si[x] = n*^ n < z < n + 1 ; V x e R , n e Z halle P(2) en [2,5] + [-2,5]-[-0,1] + a2 P(a) = a - [-1,08]
10. Se define en R
A
2
halle a2 + b2
E)4
= m(m + 24); m>0
m
24
además
calcule E = f^lx/4\
B) 1
R
'x*y\ =(x + y)
= n 1
A)0 D)3
E)
= 4x -4 0
A)4 D)
B)2
-2
E)1
C)-1
halle A) -2
B)2
D)
E)
-
26
26
11. Se define la operación en Z
C)3
15. Se define en R una operación que relaciona dos elementos mediante el operador * como el doble producto de sus términos, multiplicando por el inverso multiplicativo de la suma de los mismos.
halle A =
n i] — * * — —
.3 2^
l~x~l = |x + 5l+ 2 además
3^
IÍ0l=10 calcule 70
A) 1 D)4
| A) -12 D) -4
B) 10 E)-6
C)6
199
PROBLEMAS Calcule: / 2
PROPUESTOS 1.
Se define la siguiente operación V A*VB*VC
A +D
A)-1 D)2
Calcule M = 1*2*3 A)1
B)3
D)5
E)2
B)-2 E)3
C) 1
C)4 ■J~T
6.
2. S i a * b = a - b m ym0n = - + 1 n Halle el valor de x en
Si se cumple que [a^ = (a 6) (y[b) 27
64
Calcule:
(4 *5) 0x = 5/6 A) 24 D)2 A)3 D)6
B)-3 E)5
C) -6
(nTj)-(n^) = 4 que: Si se cumple 23 A 12 = 15 33 A21= 18 A) 271A 22 = 36 B)2 D)4 10 A 8 3 = 11 E)5 halle E = (12A11)<10A11)
C)6
Fb =_s_ c bxc
3. S i ® = x - 2 x + 3 Calcule el valor de n en 4.
Si
B)4 E)8
Calcule: -2 S= Pl + P3 + Pô >—3 >— 5 >—7 C)3 A) 1/70
B) 1/71
D)
E) 71/70
E
2 69 71
C) 70/71
69/71
Se define la siguiente operación para tres x+
casos. Se define “V ^ > ( í )
_ x 2
Calcule el valor de m en la siguiente ecuación. A) 64
B) 36
D) 25
E) 49
5. Si
C) 81
x+1\= 3 X - 2
n - l\= 4
D) 25
E) 49
200
9. Se define la operación O en R como
C) 1
A)-1 D)2
B) 1 E)0
C)2
201
9. Se define la operación O en R como 2
|a -1 ;a
(a2-b2;a > b
A)-1 D) -2
a* b = 5 a ; a * b > 0 a + 2 =a + 1 Calcule 1 3 * 2 9
C) 1
A ) 8 D ) 1 3
10. Si m©n =
m(m + 2n) + n(n - 4m)
15.
M(x2-2) =V x 2 + 1 , halle M(-1) B) 1/16 E) 1/4
D)8
C) 10
Entonces el2 valor deE = 9
Si
Calcule 5©3 1/8
B)8 E)
m(m - 2n) + n(n + 4m) A)
C) 1
14. Si
Calcule ((3 © 2)0 5)0 2 B)0 E)2
B)0 E)4
A)-1 D)2
C) 16
A)-\¡2 D)
B)s[3 2 E)0
C)1
16. Sisecumple f(x+1) = f(x) + 2x+1y además f ( 1 ) = 1 Calcule f(16)
11. Se define (x) = 2 x + 1 Además (0)=5 B)-1 E)3
A) 2 12. SiD)2
C) 1
D) 190 17. Si
0 +©+(xT}) = 10 @ = 2 halle el valor de
D) 9/16
B) 15/4
C) 149
E) 310 + 1 | =r~x ~i + 1
A) -
B) -1
2 D)
E)2
C)0
1
® + © + ® + © + . . ,
A) 45/8
B) 256
halle el valor de: OH-[ü>]
® + ® + © + ®4
A =
A) 210
C) 17/4
18. Si /x2 + 4\ = x + 1 halle el valor de:
E)3
13. Si fn = (-1)" + 1
A n - F 1 + F 2 + f 3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + f n
A)-1 D) -2
B) 1 E)0
C)2
202
9. Se define la operación O en R como
Calcule M= A.
C) 1
A)-1 D)2
' ^99
100
B) 1 E)0
C)2
203
19. SedefineenR
A)7 D) 11
2
M(x) = Ax + Bx + R(x) y R(x) = x+1 Si M(M(0)) = 0 Calcule A + B
A)-1 D)0
B)-2 E)3
B)9
C) 10
E) m m13 m m 25. Si mA n = — + — + — + —-+...;n>m, nn n n C)2
1 1 20. Sia*b = — - T - ; a, b e Z * a b Calcule E = 1*3 + 3*5 + 5*7 + ... + 1 5 * 1 7
halle el valor de E = (1A2)(2A3)(3A4)...(99A100) A) 20!
B) 50!
D) 100!
E) 200!
C) 99!
26. Si(^) = x Además (?)= 64 halle el valor de "x" en (729^1 =
A) 1/17
B) 16/17
D) 15/17
E) 17/16
C) 17/15
A)2 D)5
2n + 5 n + 1
21.
25mx + 16 B)3 E)6
C)4
27. Se define la operación [x + 3 ] = x 2 - 3 Calcule [[1] + [2]] A)5
B) 5/6
C) 6/5
D) además: Hx~l=^ E) 8/5
A)6
B) -2
D)
E) 22
A)3
B)V¿~ E)^¡5
C) 16
28. Si se cumple que m*n = (2n) 2 - 3m, halle 13 =
7/5 M =x10x2 + 1 Halle A =
x-
22. A)4 Si A(x + 2) = 2x B)2 D)8Calcule E)
C) 1/2
23. Si aAb = a(a + 2b) 1/8+ b(b - 4a)A (a*b)D1 =4a+1 halle 2002 2*2 C)4 B)2 A)3
E)2001
24. Si x+1 = 3 x - 1 , h a l l e e l v a l o r d e n e n
D)\/3" D)2000
C)2
29. Si ® = -(x3 + 2) (mln> (m + n)
@ = 746
halle a3 - b3 A)6
B) 12
D)
E) 48
36
C) 18 n + 3 + n-2 -55
204
x 38. Se define iyj
, , R/i P(4) P(9) P(16) calcule M= ------------+---------+ ---------P(2) P(3) P(4) A)2 D)8
B)4
34. Sabemos A) 15 que * b2 = 2(VF * a2) - ab D)Va" 15V2 >/3 * 2 Calcule
C)6 A)"\Í2" D)2
E) 10
31. Sedefine
~W~ C) 1
B)V3 E
)
Calcule B)-1 E)9
A) -
A) -9
B)9
D)-9
E) -
C) 18
6
C)-7
D)7
21 32. Se define las operaciones A y (*) de la siguiente manera:
36. Sia#b = a-2(b#a) halle E = 1#5
* (a + b)Ab = (a + 2b)*b y , , 2(m + 1) • (m - n)*n = --------- - -----
A)2
B)3
D) 1
E)
C)4
21'
halle 6A2 A)-7 D)-9
B)8
C) 11
= ( x - 1) ( x 1)
37.
E)
+ x+
17 halle el valor de m en
33. Si
” x - 3x + 2 \ = x
+ 2 Donde:
+ 3x
x>0
Calcule "x", en: 25 operadores
x_+_2^^. = 420 A) 106
B) 108
D) 112
E) 114
C) 110
B) 12
C) 15
E) 25
C)3
205
B)-v/Ti E) 250
30. Si P =ax
Calcule:
Vb
16
42. Si logba * logab = 1
25
a+b l°gab
#b
además a = (logba) A) 800
B) 900
D)1200
E) 600
C) 400
, halle el
valorde E = 2#3 + 3#2
A) — 4
39. Si fFI = - ^ - l ; n * 1 , n -1
I
B)-!N
2 C
C)o c
5
calcule R = 43. En el conjunto A= {1, a, a2} se define la operación * dada por la tabla. C)3
A) 1
*
D)4
a a 40. Si /2x + 3\ -6x + 5
Calcule w = a' + (a )'
x- 1|\_ = 6x + 8 Calcule
A) a(a + 1) B ) a 2 +1 C) a2(a + 1) D)(a + 1)2 E)2a+1
A
A)2 D)
B) 52
38
E) 16
44. Se define en B= {1, 2, 3, 4} la operación #, mediante la siguiente tabla: C)-2
2 1 3 4
n\ = 2 n - 1
40. Si
Calcule el valor de la expresión E =,
1 a a a a a a 2 a 1 a 2
12 3 4 2341 3 4 12 4 12 3
Además (3#1)#x = 2#4 Calcule [(x#x) # (2#3)]#4 A) 1
B)2
D)4 A) 10 D) 20
E)5
206
45. Definimos (*) en el conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8} mediante la tabla siguiente 0 0 4 2 6 4 8 6 0 8 2
2 6 8 0 2 4
*
4 8 0 2 4 6
8 2 4 6 8 0
0 4 6 8 0 2
Calcule x en (x' 1 * 2' 1) * (6 * 8)'1 = 2 Además 1 A)2 a' : elemento B)4 inverso D)8 de a E)0
Marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda I. II. III. IV.
A) VVFF B) VFVF C) VFVV D) FVFV E) FVVF C)6
46. En el conjunto M = {a; b; c; d} se define la operación # mediante la tabla.
48. Se define en el conjunto A = {a; b; c; d;} la operación definida mediante la siguiente tabla.
a b c d a d b c d
#
abcd
a b c d
b c c d d a a b
d a b c
¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A) El elemento neutro es a. B) La operación # es conmutativa. C) Cada elemento de M tiene su inverso. D) Hay varios elementos neutros.
A
12 4 5
2 3 4
4351 12 4 5 2532
abcd b a d e a d e b a
c b
Halle E
= [(d * a'1)'1 * b'1] b
donde
a' 1: Elemento inverso
de a. A)a D)d
B) be E)d
C) c.d
E) El elemento neutrobes único. 49. Se define en R aAb = a + b - 7 , calcule (5'1 A6'1)2 Observación: a'1 elemento inverso de a. A) 10
B) 36
D) 81
E)
Se define en A = {1;2; 3; 4; 5} la siguiente tabla:
47.
[1Ax]A3 = 3 ; s i x = 1 Se cumple la propiedad conmutativa Se cumple la propiedad de clausura El elemento neutro es 3
C) 49
100 = a + b - 5 , además 50. Definimos en R a*b n'1: elemento inverso de n. Halle (1- 1*2'1)*(33)'1
A) 10 D) 50
B) 20 E)0
C) -30
207
10. Hallar:
' PROBLEMAS PROPUESTOS
(SE > 2 , s ¡ :
a + 2b a + b2
1- Si: a®-
0 6 . S i : x ¡ y = x y - y x ó x ? y =-\^xy"
y ®"T
Hallar: [(3 ¡2 ) ? 4 ] b)2 a)1 d)4 e)-2
Hallar: “b”
b)2 e)3
a)1 d)5
15
c)3
c)4
Si A*B = 2A-B , A#B = 2B-
07. Si: A
1 5 ^ ^ — 5 A 2 _ 2B2 y (A,B>------- ---
A Además: (2* A ) # ( 2 * 3 ) = ( 8 * A) Hallar: ■ ^4,6^
Hallar el valor de A. b)6 e)9
a)5 d)8
c)7
a+b c-d Si: a # b = — ^ ¡ c $ d = — ^ — eAf = e.f ; g*h = g- h
a)1 d)4 Si©=a2
4.
a) 16 d) 15
c) 14
b) 17 e) 19
a em s: ®" s b) 1 e)4
a d)3 Si: [a] =
El valor-de (11,5*15,1)# 16,5 es:
Si:R* = 3R+1 ........ (5< R < 9)
[a] =a2 + a+ 1
es
c)2 b) 1 e) Sean ayb números4 reales. S i a * b e s igual a la parte entera de: a(a + b)/5 + b / 5 y s i a # b es igual a la parte entera d e a x b/5.
+ a y
c)3
Hallar:
Hallar:{[(7#9)$2] A 1}*0 a)0 d)3
b)2 e)5
® =
a ar:
c
a2 + a + 1
.......... 0 < a < 6
b2 + b1
. . .. . .1 < b < 5
@+ (D
P * = 2 P ......................... (R > 9)
a) 42 Hallar: 2 4 * - 4 * + 8 * - 6 * - 1 5 *
b) 1 e)7
2
b) 31
c) 28
208
a*b = a + b, s i a y b son pares. a*b = a . b . , s i a ó b n o e s par.
0
VM" y VF = N
Entonces: ( 1 * 3 ) * 6 es igual a:
b) 3>/^ c) 2V3~ e)2>/2"
a) 24 d) 10
b) 18 e)8
c) 15
16. Definimos la operación entre los números “a” y“b”
como sigue: 11. Hallarelvalorde: AA E = 8 .3 Sabiendo que:
a*b=a+b-1
A A AA 5.7 + 4 . 9
El valor d e ( 2 * 3 ) * 2 e s : a)3 d)6
b)4 e)7
c)5
x =4x + 2 .... (Si “x” es par)
17. Definimos la operación entre números enteros: a*b = 2 a , s i 0 < b < 2 0 y a * b = b + 1 en otros casos, entonces: ( 5 * 2 1 ) * 3 e s igual a :
y =3 y- 1 a) 40 d) 80
c) 70
b) 60 e) 90 12. SiA*B = 6A + 2B
a)4 b) 14 d) e) 44 28 18. Si: aAb = 4-4-, y a+b x*y = x - 2 y entonces 6 A 2es:
Hallar el valor de : [5*12]*[14*6]* [3*2] a)3410 d)3230
13.
b)3140 e)3240
c) 3220
Sia A b = Vab" + ab Hallar:
E = [1A4 + 4A9 + 9A16 + 16A25+ 1]'
Si a* b = 8
b) 3 Á e)2
1 / 4
b)4 e)8
c)5 a)3 d)6 14.
a) -% d) Yz
a#b = 9
ba
Hallar: a *b a) 316 d) 324
a) 11 d)9
b) 72 e) 236
c) 227
c) 16
d) 33
e) 40
c) 22
c) 1/4
209
10. Hallar:
15 (SE > 2 , s ¡ :
'
