FACULTAD DE I NGENIER´IA IA ´ I NGENIER´IA IA M EC ANICA ´ M ATEM ATICA ´ M ODELACION
´ Diseno n˜ o Optimo para un Resorte Helicoidal
[email protected]ζ Gu´ Guaqueta a´ queta C´ Cardenas a´ rdenas Jairo Andr es e´ s
[email protected] May 16, 2016
optimizaci´on o´ n es la t´ tecnica e´ cnica que permite desde Resumen—La optimizaci la ingenier´ ingenier´ıa ıa obtener los resultados m´ mas a´ s efecitovs posibles en cualquier proceso, empleando la menor cantidad de recursos. Para Para hacer hacer un buen buen proce proceso so de optim optimiz izaci aci´on o´ n se requ requier ieree ´ ´ realizar una manipulaci´ manipulacion on matem´ matematica atica previa y acorde al tema que debemo debemoss enfren enfrentar tar.. Si los result resultado adoss son positi positivos vos,, se ver´ vera´ reflejado un ahorro considerable en los par´ parametros a´ metros que deseamos calcular. Index Terms—Esfuerzo
cortante, Deformaci´ Deformacion, o´ n, Ley de Hooe.
I. INTRODUCCI INTRODUCCI ´ ON
III. DESARROLLO DESARROLLO EL PROBLEMA PROBLEMA Enunciado.
Se desea determinar la sensibilidad del proceso optimizaci´on on de diseo de un resorte helicoidal sometido a una carga de compresi on o´ n c´ıclica. ıclica. Se requieren los valores optimos o´ ptimos de los diferente diferentess par´ parametros a´ metros para resortes resortes con masa m´ m ´ınima. ınima. En este caso se desea desea conocer conocer la sensibilidad sensibilidad del modelo modelo de optimizaci on ´ para diferentes combinaciones de esfuerzo cortante admisible y frecuencia de carga, para dos valores de carga diferentes, de acuerdo a los valores presentados en las Tablas (1), (2) y (3).
E
L presente documento muestra tres diferentes soluciones a problemas de optimizaci´n encontrabl encontrables es f acilmena´ cilmente en el campo de la ingeier´ ingeier ´ıa; ıa; cada problema se abord abord o´ desde la obtenci on o´ n de la funci on o´ n objetivo y sus respectivas restricc restriccione iones, s, la aplicaci aplicacion o´ n del teorem teoremaa de Lagran Lagrange ge y la final comprobaci´on on y soluci´on on de las ecuaciones encontradas mediante el servidor NEOS. El prime primerr proble problema ma busca busca optimi optimizar zar los di ametros a´ metros de cuadro engranajes que conforman un tren de transmisi´on de potencia, potencia, buscando buscando hallar hallar la relaci relaci on o´ n de transimis transimisiion o´ n mas a´ s cercana a 1/6.931. En el segundo item se desea hallar los par´ parametros a´ metros dimension dimensionales ales m as a´ s adecua adecuados dos para para obtene obtenerr el ´ Finalm menor menor costo costo en un tanque tanque de presi presion. Finalment ente, e, en el ultimo u´ ltimo ejercicio ejercicio se pretende pretende hallar las dimension dimensiones es de un resorte para que soporte la mejor relaci on o´ n de carga posible.
II. OBJETIVOS OBJETIVOS
Figura 1: Esquema del resorte helicoidal.
A. GENERAL
Optimizar tres casos diferentes de problemas orientados a la ingenier´ ingenier´ıa ıa mediante manipulaci on o´ n matem´ matematica. a´ tica.
´ B. ESPEC IFICOS •
•
Aplica Aplicarr el teorem teoremaa de Lagran Lagrange ge en cada cada uno de los problemas de optimizaci on o´ n planteados. Solucionar Solucionar los sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones obtenidos obtenidos mediante el servidor libre NEOS.
ζ Estudiante ζ Estudiante de Ingenier´ıa ıa Mec´anica. anica.
65
τ adm [Ksi ] 70 75 80
Tabla I: Valores de esfuerzo cortante admisible.
ω0 [Kz ] 70 75
65
80
Tabla II: Valores de frecuencia de carga.
8
P[lbf] 16 24
Tabla III: Valores de carga aplicada.
1
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Clasificaci´ on de Variables
Antes de abordar el problema es necesario clasificar las variables y los par a´ metros enunciados con el fin de obtener una perspectiva exacta de lo que realmente necesitamos obtener. En la tabla (4) se encuentran todas los parmetros seleccionados y clasificados debidamente. Variables Conocidas
Variables de Disen˜ o
Par´ametros
Despreciads
Esfuerzo cortante admisible (τ adm ) Frecuencia de carga (ω0 ) Carga aplicada (P) N´umero de espiras activas (N) Di´ametro medio (D) Di´ametro del alambre (d) Deformaci´on m´ınima (∆) N´umero de espiras inactivas (Q) M´odulo de rigidez de material (G) Densidad del material (ρ) Esfuerzo cortante m´aximo Constante de rigidez Frecuencia natural
conocidas para cada caso, dejando unicamente las variables de dise˜no que seran resueltas:
R1 = 1 − R2 =
P D3 N ≤0 718750d4
(7)
0, 6366P D(4D − d) 1 , 5661P + 2 −1≤ 0 d3 (D − d)τ adm d τ adm R3 = 1 − R4 =
14058d D2 N ω0
≤
0
(8)
(9)
D + d −1 ≤0 1, 5
(10)
los dominios de los valores admisibles para cada una de las variables de dise n˜ o son:
Tabla IV: Fusionando celdas.
0, 05in ≤ d ≤ 0, 2in
(11)
0, 25in ≤ D ≤ 1, 3in
(12)
2in ≤ N ≤ 15in
(13)
Modelo Matem´ atico
Conocemos que la funci´on objetivo del problema se encuentra ligada a la minimizaci o´ n de la masa en el resorte. Podemos entonces escribir la funci´on objetivo como:
M =
1 (N + Q)π 2 Dd2 ρ 4
(1)
La ecuaci´on (1) tiene presentes algunos valores constantes que funcionan u´ nicamente como multiplicadores del resultado optimo, ´ por tanto no se tendr a´ n en cuenta en el an a´ lisis que se va a realizar. Reescribiendo (1) se tiene:
M = (N + Q)Dd2
τ adm ≥
8P D3 N
8P D (4D − d) 0 , 615d [ + ] πd 3 4(D − d) D
2
G sρ
Dext ≥ D + d
(4) Figura 3: Definici´on de restricciones en Matlab™
(5) (6)
Realizando una manipulaci o´ n a las ecuaciones (3-6), restando el termino que se encuentra solo al resto de la inecuaci o´ n y dividiendolo entre el mismo, obtenemos las siguientes restricciones sujetas a los valores que tomen las variables 2
Figura 2: Definici´on de funci´on objetivo en Matlab™.
(3)
Gd4
d ω0 ≤ 2πD 2 N
La solucio´ n num´erica del problema se realiz o´ mediante programaci o´ n en el software Matlab ™. En un archivo se cargo´ la funcio´ n objetivo (figura 2) mientras que en un segundo las cuatro restricciones del problema de diseo fueron consideradas (figura 2).
(2)
Las relaciones fundamentales que interfieren en el problema son la constante el´astica, el esfuerzo cortante de un elemento circular curvo, la frecuencia natural y la ley de hooke. Simplificando estas relaciones obtenemos:
∆≤
Resultados
Antes de visualizar los resultados alcanzados, cabe recordar que el valor de la masa es un valor escalado, ya que al omitir los valores constantes presentes en la funci o´ n objetivo se altera el valor exacto de la masa. Sin embargo para efectos del an´alisi se har´a caso omiso a este efecto causado y se tratar´a la masa escalada como la masa real, al momento de analizar la sensibilidad param e´ trica del diseo.
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Frecuencias Valores N D d Feval
ω0 [Hz] 80 12.0542 0.3841 0.0525 0.0149
ω0 [Hz] 90 12.0542 0.3841 0.0525 0.0149
Tabla V: Valores o´ ptimos con Frecuencias Valores N D d Feval
ω0 [Hz] 80 11.8964 0.3654 0.0504 0.0129
P =8
ω0 [Hz] 80 9.729 0.3865 0.0500 0.0113
P =8
ω0 [Hz] 80 7.7124 0.4176 0.0500 0.0101
ω0 [Hz] 90 7.7124 0.4176 0.0500 0.0101
Tabla VIII: Valores o´ ptimos con
Frecuencias Valores N D d Feval
ω0 [Hz] 80 10.8452 0.4769 0.0715 0.0313
ω0 [Hz] 80 10.7217 0.4533 0.0687 0.0272
ω0 [Hz] 80 10.6078 0.4324 0.0661 0.0238
P =16
ω0 [Hz] 90 10.7217 0.4533 0.0687 0.0272
Tabla X: Valores o´ ptimos con
Frecuencias Valores N D d Feval
P =8
ω0 [Hz] 90 10.8452 0.4769 0.0715 0.0313
Tabla IX: Valores o´ ptimos con
Frecuencias Valores N D d Feval
lbf y
P =8
P =16
ω0 [Hz] 90 10.6078 0.4324 0.0661 0.0238
Tabla XI: Valores optimos ´ con
P =16
ω0 [Hz] 110 12.0542 0.3841 0.0525 0.0149
τ adm = 65Ksi
ω0 [Hz] 100 11.8964 0.3654 0.0504 0.0129
ω0 [Hz] 90 9.7277 0.3865 0.0500 0.0113
Tabla VII: Valores o´ ptimos con
Frecuencias Valores N D d Feval
lbf y
ω0 [Hz] 90 11.8964 0.3654 0.0504 0.0129
Tabla VI: Valores o´ ptimos con
Frecuencias Valores N D d Feval
ω0 [Hz] 100 12.0542 0.3841 0.0525 0.0149
τ adm = 70Ksi
ω0 [Hz] 100 9.7277 0.3865 0.0500 0.0113
lbf y
P =16
lbf y
ω0 [Hz] 110 10.5022 0.4137 0.0638 0.0210
τ adm = 80Ksi
A continuaci´on se presentan las gr´aficas obtenidas para la ´ de algunas combinaciones de resultados obtenidas variaci on en las tablas, con el fin de visualizar el comportamiento de los mismo y poder as´ı determinar su sensibilidad en la variaci´on de la masa. Las gr´aficas fueron realizadas mediante el software GNU Plot.
ω0 [Hz] 110 9.7290 0.3865 0.0500 0.0113
ω0 [Hz] 110 7.7124 0.4176 0.0500 0.0101
ω0 [Hz] 110 10.8452 0.4769 0.0715 0.0313
Figura 4: Masa vs Frecuencia con
P =
8 lbf y
τ adm = 65Ksi
Figura 5: Masa vs Frecuencia con
P =
8 lbf y
τ adm = 75Ksi
ω0 [Hz] 110 10.7217 0.4533 0.0687 0.0272
τ adm = 70Ksi
ω0 [Hz] 100 10.6078 0.4324 0.0661 0.0238
lbf y
Tabla XII: Valores o´ ptimos con
ω0 [Hz] 100 10.5022 0.4137 0.0638 0.0210
τ adm = 65Ksi
ω0 [Hz] 100 10.7217 0.4533 0.0687 0.0272
lbf y
ω0 [Hz] 90 10.5022 0.4137 0.0638 0.0210
τ adm = 80Ksi
ω0 [Hz] 100 10.8452 0.4769 0.0715 0.0313
lbf y
ω0 [Hz] 80 10.5022 0.4137 0.0638 0.0210
τ adm = 75Ksi
ω0 [Hz] 100 7.7124 0.4176 0.0500 0.0101
lbf y
ω0 [Hz] 110 11.8964 0.3654 0.0504 0.0129
Frecuencias Valores N D d Feval
ω0 [Hz] 110 10.6078 0.4324 0.0661 0.0238
τ adm = 75Ksi
3
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Figura 9: Masa vs Esfuerzo con Figura 6: Masa vs Frecuencia con
P =
16 lbf y
τ adm = 70Ksi
Figura 7: Masa vs Frecuencia con
P =
16 lbf y
τ adm = 80Ksi
Figura 10: Masa vs Carga con
P =
τ adm=
16 lbf y
ω0 = 80Hz
65 Ksi y
ω0 = 80Hz
IV. C ONCLUSIONES
Figura 8: Masa vs Esfuerzo con
4
P =
8 lbf y
ω0 = 80Hz
A partir de los datos encontrados y las curvas graficadas, se concluye que en primera instancia la frecuencia de carga (w0 ) no es sensible al problema y por lo tanto, su variaci o´ n no cambiar´a en la optimizaci o´ n del mismo. Esto se puede verificar en las figuras (4), (5), (6) y (7), para las cuales la masa o´ ptima se mantiene constante durante la variaci´on de w0 . Desde el punto de vista del esfuerzo cortante admisibel τ adm , vemos que su variaci o´ n afecta notablemente el proceso de optimizaci´o n en la masa, ya que amedida que el esfuerzo se incremente, la masa o ´ ptima disminuye, figuras (8) y (9); estodebido a que precisamente e´ ste valor porporcionar´a mayor resistencia al resorte. As ´ı pues, se clasifica su sensibilidad como media. Finalmente, variando la carga (P) vemos que la masa ´optima tambi e´ n cambia, ya que a medida que la carga aumenta, se
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requiere de mayor masa para que el resorte act u´ e de manera eficiente, figura (10). R EFERENCIAS [1] Taller 01 Modelaci´ on matem´ atica usando ecuaciones diferenciales ordinarias , n.a, n.d. Modelaci’on Matem a´ tica, Bogot´a CO: Universidad Nacional de Colombia. [2] TNonlinear Integer and Discrete Programming in Mechanical Design Optimization , E. Sandgren. School of Mechanical Engineering, West Lafayette: Purdue University.
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