Oscilaciones amortiguadas La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.
Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad F velocidad F r r ==-λ v, donde λ es una constante que depende del sistema sis tema físico particular. odo odo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad ! de sentido contrario a ésta. La ecuaci"n del movimiento se escribe ma=-kx-λv #xpresamos la ecuaci"n del movimiento en forma de ecuaci"n diferencial, teniendo en cuenta que la aceleraci"n es la derivada segunda de la posici"n x posici"n x,, ! la velocidad es la derivada primera de x de x..
La soluci"n de la ecuaci"n diferencial tiene la siguiente expresi"n
La características esenciales de las oscilaciones amortiguadas$ • •
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La amplitud de la oscilaci"n disminu!e con el tiempo. La energía del oscilador también disminu!e, debido al traba%o de la fuerza F fuerza F r r de de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. #n el espacio de las fases &v-x &v-x'' el m"vil describe una espiral que converge hacia el origen.
(i el amortiguamiento es grande, γ puede ser ma!or que ω 0, ! ω puede llegar a ser cero &oscilaciones críticas' o imaginario &oscilaciones sobreamortiguadas'. #n ambos casos, no ha! oscilaciones ! la partícula se aproxima gradualmente a la posici"n de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilaci"n amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Condiciones iniciales
La posici"n inicial x0 ! la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A ! la fase inicial ϕ . Para t=0, x0=A·senϕ v0=) Aγ ·senϕ +Aω ·cosϕ #n este sistema de dos ecuaciones se despe%a A ! ϕ a partir de los datos de x0 y v0
Ejemplo$
(ea una oscilaci"n amortiguada de frecuencia angular propia ω0*+ rad-s, ! cu!a constante de amortiguamiento γ*. s)+. (abiendo que la partícula parte de la posici"n x0*/ con velocidad inicial nula, v0*, escribir la ecuaci"n de la oscilaci"n amortiguada. La frecuencia angular de la oscilaci"n amortiguada ω es
/=A·senϕ =−7Α·senϕ 099.751 A·cosϕ La ecuaci"n de la oscilaci"n amortiguada es x=/.+1exp&)t '1sen&22./t++./' 3omo vemos la amplitud A no es / ni la fase inicial φ es 4-5, como en las oscilaciones libres
Posiciones de retorno Las posiciones de máximo desplazamiento, son aquellas en las que la velocidad del m"vil es cero. #n la expresi"n de la velocidad ponemos v* ! despe%amos el argumento ωt+φ tan&ωt+φ'*ω/γ
Las posiciones de los puntos de retorno son
(i el m"vil parte de la posici"n x0 con velocidad v0*, la fase vale tanφ*ω/γ, y A=x0 / senφ
Ejemplo:
Las sucesivas posiciones de los puntos de retorno para ω0*+ rad-s, γ*. s)+ del e%emplo del apartado anterior son$ t 0*, x0*/ t 1*.6+, x1*)7.+ t 2*.86, x2*6.55 t 3*.27, x3*)5./9 ! así, sucesivamente.
La energía del oscilador amortiguado La energía de la partícula que describe una oscilaci"n amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula ! de la energía potencial del muelle elástico deformado.
:ntroducimos las expresiones de la posici"n x ! de la velocidad v de la partícula en funci"n del tiempo t .
(i la constante de amortiguamiento γ es peque;a, como hemos visto en el e%emplo del apartado anterior ω0≈ω
La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una peque;a ondulaci"n debida al segundo término entre paréntesis, tal como apreciamos en la figura
Actividades (e introduce • • •
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la posici"n inicial x0, en el control de edici"n titulado Posición la velocidad inicial del m"vil v0, en el control de edici"n titulado Velocidad. la constante de amortiguamiento <, en el control de edici"n titulado Cte. amortiguamiento la frecuencia angular natural del oscilador ω 0 =+ rad-s no se puede modificar
(e pulsa el bot"n titulado Empieza. Probar con los siguientes valores de la constante de amortiguamiento γ $ / &amortiguadas', + &críticas', ++ &sobreamortiguadas'. •
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(e observa la posici"n del m"vil en funci"n del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t . #l valor de la posici"n x del m"vil se muestra en la esquina superior izquierda. La tra!ectoria del m"vil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha. La energía total del m"vil en funci"n del tiempo, gráfica E-t , en la parte inferior derecha.
Oscilaciones amortiguadas ( <
0
)
Las condiciones iniciales determinan los valores de la amplitud inicial A ! de la fase inicial φ . #n nuestro caso son$ t= , x= , y v=v0.
#sta ecuaci"n nos da la posici"n ! velocidad del c.m. del bal"n deformado en funci"n del tiempo.
La figura nos muestra la representaci"n gráfica de la posici"n del c.m. del bal"n en funci"n del tiempo. =espués de haber completado un semiperiodo de oscilaci"n P -5=π/ω , &línea de color ro%o' el c.m. del bal"n se ale%a de la pared con una velocidad v dada por
(e define el coeficiente de restituci"n e como el cociente entre la velocidad final v tras el choque entre la velocidad inicial v0 %ustamente antes del choque con la pared.
Podemos comprobar, que el coeficiente de restituci"n depende de dos parámetros que describen nuestro modelo simplificado, la frecuencia de la oscilaci"n amortiguada ! la constante de amortiguamiento.
3omo podemos apreciar, si la constante de amortiguamiento es cero, γ *, no ha! rozamiento interno entre las diversas partes del bal"n, no ha! pérdidas de energía, el choque es perfectamente elstico, ! e!".
