OSCILACIONES ELECTROMAGNETICAS
Verificar los tres tipos de respuesta en el comportamiento de un circuito RLC serie excitado por un voltaje constante.
Sea el circuito de la Figura 1, que ha permanecido como se muestra por mucho tiempo. Si en t=0 el conmutador S se pasa de la posición 1 a la 2, a partir de ese instante se tendrá: V
v R
vL
vC
(1)
O sea:
V
R i L
di dt
vC
(2)
Dado que:
i
C
dvC dt
(3)
La ecuación (2) puede escribirse: 2
d vC dt
2
R dvC L dt
1
LC
vC
V
LC
(4)
O bien: 2
d vC dt Donde
0
2
2
dvC dt
O
2
vC
O
2
V
(5)
recibe el nombre de frecuencia natural no amortiguada y
el de constante de
amortiguación, siendo: 1
O
R
LC
2L
(6)
Para la ecuación (5), dependiendo de la naturaleza de las raíces de su ecuación característica, pueden darse tres tipos de soluciones o r espuestas de vC; estas se describen a continuación:
1.
Respuesta sobre amortiguada. Si
R 2 L
ó
0
C
, la solución de la ecuación (5)
resulta ser:
vC
1 V 1 e 1 1
1 t
2
1
1
2
t 1
1 1 2
e
2
1
(7)
Dónde:
1 1
2.
2
1 O
2
2
Respuesta con amortiguamiento crítico. Si
0
ó
2
O
(8)
2
R 2 L
C
(valor conocido como
resistencia crítica) la solución de la ecuación (5) es:
vC
t 1 t V1 e e
(9)
Dónde:
1
(10)
3.
Respuesta subamortiguada u oscilatoria. Si
0
ó
R 2 L
C
, la solución de (5) es:
O t v C V 1 e sen t tg 1
(11)
Dónde:
1
(12)
Y 2
O
2
(13)
Esta última es la frecuencia natural amortiguada; luego, el periodo de oscilaciones viene dado por:
T
2
(14)
En la figura 2, se representan los tres tipos de respuesta de v C. Para el análisis práctico de un circuito como el de la Figura1, la fuente de tensión continua V y el conmutador S pueden reemplazarse por un generador de funciones que entregue una onda cuadrada oscilando entre 0 y V; de esta manera, el voltaje sobre el capacitor se hace periódico y puede ser estudiado por un osciloscopio. En tal caso, puede ser necesario considerar la resistencia de salida del generador de funciones, R0, así como la resistencia óhmica del v VC Res uesta
V
Res uesta con
inductor, RL. En la Figura 3, se tiene un circuito que emplea un generador de funciones, con su resistencia de salida, RO, mostrada explícitamente. Del mismo modo se
Ro
RL
L
muestra la resistencia óhmica del inductor, R L. Si las
R
resistencias presentes se reúnen en una resistencia total, RT=RO+RL+R, el circuito es similar al de la Figura 1 y todo el análisis realizado para aquel caso es válido
+ Vg
C
-
para éste, siempre que se sustituya R por RT. Figura 3. En el caso oscilatorio, α y ω pueden determinarse
experimentalmente midiendo el periodo T y el primer máximo del voltaje sobre el capacitor, designado vCMM, con las siguientes ecuaciones:
EXP
2 T
ln
V v CMM
V
EXP
2
(15)
Obtener del generador de funciones una onda cuadrada que oscile entre 0.0 [V] y +4.0 [V] a una frecuencia de 1.0 [KHz]. Montar el circuito de la Figura 4, en el osciloscopio usar como señal de disparo la señal del canal con pendiente positiva y ajustar el nivel de disparo al mínimo posible.
Respuesta Sobre amortiguada: Colocar la resistencia variable, R, en su valor máximo. Medir el voltaje sobre el capacitor para diferentes instantes de tiempo y llenar la Tabla 1 de la hoja de datos. Medir el valor de R.
Respuesta con amortiguamiento crítico: Disminuir R hasta tener amortiguamiento crítico. Llenar la Tabla 2. Me dir el valor de R.
Respuesta subamortiguada: Colocar R en su valor mínimo. Llenar la Tabla 3. Es recomendable observar con el osciloscopio unos tres ciclos o periodos y hacer mediciones en los puntos correspondientes a los mínimos, máximos y a las intersecciones con el nivel +4.0 [V]. Medir el valor de R. Medir T y vCMM.
Respuesta Sobre amortiguada:
En base a la tabla 1 de la hoja de datos, elaborar una tabla t-v c-exp -v c-teo . Esta última magnitud debe evaluarse en base a la ecuación correspondiente del FUNDAMENTO TEORICO y considerando la resistencia total en el circuito. Dibujar la curva v c-teo vs t y, en el mimo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a v c-exp : T [μs]
− [V]
− [V]
0 15 25 40 60 100 150 200 300 400 500 600
0 0,5 0,72 1,25 1,75 2,5 3,2 3,5 3,8 3,9 4 4
0 0,51 0,7 1,28 1,79 2,49 3,22 3.58 3,77 3,85 3,92 3,98
T - Vc teo 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
200
400
600
800
Respuesta con amortiguamiento crítico:
Repetir el punto anterior para la tabla 2: T [μs]
− [V]
− [V]
0 10 20 30 40 50 60 80 100 150 200
0 0,45 1,25 1,8 2,5 2,8 3,25 3,5 3,8 3,95 4
0 0,48 1,21 1,76 2,57 2,78 3,22 3.58 3,77 3,91 3,98
T - Vc teo 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
50
100
150
200
250
Respuesta subamortiguada:
Repetir el punto 1 para la tabla 3: T [μs]
− [V]
− [V]
0 49 75 115 150 180 225 210 280 325 420 425 430
0 4 6,4 4 2,6 4 4,8 4 3,5 4 4,2 4 5,8
0 4 6,41 4 2,57 4 4,72 4 3,47 4 4,18 4 5,03
T - Vc exp 7 6 5 4 3 2 1 0 0
100
200
300
400
Comparar los valores experimentales y teóricos de α y w: Se obtiene un error muy bajo por lo que el experimento se considera como exitoso, usando las ecuaciones 15.a y 15.b.
Deducir la ecuación 15.a:
500
En el caso de la respuesta oscilatoria ¿Por qué causa física el voltaje sobre el capacitor continúa aumentando después de que ha alcanzado el voltaje de excitación V?: Esto es posible en un capacitor de un gran dieléctrico, y placas conductoras, como el capacitor está cargado ya por él tendrá un voltaje Vc de sí mismo. Y como V pasa por la resistencia R y la bobina L, esta llegar con menor carga diferencial de potencial al capacitor, el cual aumentara su carga, y esta permanecerá así cargada por un instante pequeño.
En el caso de la respuesta oscilatoria ¿Por qué causa física disminuye la amplitud de las oscilaciones? La amplitud de las oscilaciones se mantendría constante si la oscilación fuera ideal vale decir por ejemplo en un circuito LC ideal donde no existe pérdida de energía, pero en el circuito, RLC se produce perdidas de energía debido a que en la resistencia se produce efecto Joule, y también aunque menor en el inductor, ya que también posee resistencia RL.
Cuando la señal del generador cae a 0 [V] (lo que equivale a regresar el conmutador de la figura 1 de la posición 2 a la 1) también se presentan fenómenos transitorios en v c . ¿a qué se debe esto? Cuando se procede a cargar un circuito en nuestro caso RCL se tiene que tomar muy en cuenta que la carga no se hace en un momento si no que es muy paulatinamente. Por este caso cuando el voltaje de la fuente disminuye, el voltaje tanto del inductor como del capacitor descenderá pero en una forma lenta.
Se pudo realizar con éxito los puntos de los objetivos del laboratorio y poder observar los tipos de amortiguamiento. Lo interesante de este laboratorio fue que solo de obtuvieron los valores de respuesta de amortiguamiento variando la resistencia mediante un potenciómetro colocándolo con el valor mínimo para sub. Amortiguado y con el valor más alto para sobre amortiguado y en un valor predeterminado para amortiguamiento crítico. Y las comparaciones de los valores experimentales con los teóricos no se obtuvo un margen de grande en todo caso fue pequeño (aceptable) menor que 6 % .
