Corporación Educacional Philippe Cousteau Departamento de Matemática Profesora Fany Gutiérrez
Nota:
Matemática IV medio Prueba Nº2: Función inversa, compuesta y función potencia Nombre: ________________________________________________Curso: IV°B Fecha: __/___/2017 Puntaje ideal: 44 puntos Puntaje obtenido: ____ puntos Con 26 puntos se obtiene nota 4.0 (A) Indicadores: - Determinan la función inversa de una función. - Determinan la función compuesta entre dos funciones. - Comprueban la veracidad de la función inversa, mediante la función compuesta. - Comprenden y aplican las propiedades de la función compuesta. - Reconocen las características de la función potencia, a través de su gráfica. Instrucciones: - Lea atentamente el texto y cada pregunta de la prueba antes de responder. - Responda las preguntas de alternativas con lápiz pasta. Se prohíbe el uso de corrector. - Responda el desarrollo con lápiz grafito, escribiendo su respuesta final con lápiz pasta.
Selección múltiple I. Comprensión lectora. Lea el siguiente texto y luego responda: (2 puntos c/u) Funciones y su historia En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área 𝐴 de un círculo es función de su radio 𝑟 (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, 𝐴 = 𝜋 · 𝑟 2 ). Del mismo modo, la duración 𝑇 de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia 𝑑 de 150 km depende de la velocidad 𝑣 a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, 𝑑 / 𝑣). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación 𝑓(𝑥) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San Petersburgo en 1736. Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo. Durante el siglo XIX Julius Wilhelm, Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado. Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.
De acuerdo al texto anterior, responda marcando con un círculo la alternativa que considere correcta: 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es 2. ¿En qué siglo el concepto de función se verdadera? comenzó a estudiar como un objeto matemático independiente? a) La variable independiente es el área del círculo y la dependiente es el radio a) XVII b) XIX b) La variable dependiente es la duración c) XX del viaje en tren y la independiente la d) XVI velocidad c) La variable independiente es el radio de la circunferencia y la dependiente es el número 𝜋 d) La variable independiente es la velocidad y la dependiente es la distancia recorrida por el tren
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3. ¿Quién propuso la definición moderna 4. ¿Con el desarrollo de qué teoría surgió de función numérica? la definición actual de función? a) b) c) d)
Wilhelm Cantor Weierstrass Dirichlet
a) b) c) d)
Teoría de números Teoría de dependencia Teoría de conjuntos Teoría de cálculo
II. Contenido: Lea atentamente cada pregunta, luego escoge y marca una alternativa para cada enunciado (en la pregunta que lo requiera se debe agregar desarrollo) (2 puntos c/u) 1. Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, entonces su función 2. Si se tiene la función 𝑓(𝑥) = inversa 𝑓 −1 (𝑥) es: ¿cuánto es 𝑓 −1 (𝑥)? a) 𝑓 −1 (𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑥+1 b) 𝑓 −1 (𝑥) = 2 𝑥−1
c) 𝑓 −1 (𝑥) = 2 d) 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥 − 2
3. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1, entonces el resultado de 𝑓 ∘ 𝑔, es? a) b) c) d)
𝑓(𝑔(𝑥)) = 6𝑥 − 8 𝑓(𝑔(𝑥)) = 6𝑥 − 9 𝑓(𝑔(𝑥)) = 6𝑥 + 7 𝑓(𝑔(𝑥)) = 6𝑥 + 6
a) 𝑓 −1 (𝑥) =
𝑥+1 8
b) 𝑓 −1 (𝑥) =
−𝑥+8 𝑥
c) 𝑓 −1 (𝑥) =
𝑥+8 8
d) 𝑓 −1 (𝑥) =
𝑥−8 𝑥
8
,
𝑥+1
4. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 ? a) b) c) d)
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝐷𝑜𝑚 𝑓
= ℝ y 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ = ℝ y 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ+ 0 = ℝ y 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ− 0 = ℝ y 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ+
5. ¿Cuál es la función compuesta 𝑔 ∘ 𝑓 6. ¿A cuál de las siguientes funciones le 𝑥+5 corresponde la función inversa entre las funciones 𝑓(𝑥) = 8 y 3𝑥−5 𝑓 −1 (𝑥) = ? 𝑔(𝑥) = 8𝑥 + 3? 7 a) b) c) d)
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 + 6 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 + 8 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 + 1 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 + 2
a) 𝑓(𝑥) =
5𝑥+7 3
b) 𝑓(𝑥) =
5𝑥+3 7
c) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+5 7
d) 𝑓(𝑥) =
7𝑥+5 3
7. ¿Cuál(es) de las siguientes 8. ¿En cuál(es) de las siguientes funciones afirmaciones es (son) verdadera(s), su recorrido es igual a ℝ? con respecto a las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1? I) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
I) 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓
II) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 4
II) 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝑥
III) 𝑓(𝑥) = 6𝑥 5
III) 𝑓(𝑔(3)) = 7 a) b) c) d)
Solo I Solo I y II Solo II y III I, II y III
a) b) c) d)
Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
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9. ¿Cuál(es) de las siguientes gráficas representa una función potencia de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , donde 𝑛 es par y 𝑎 es mayor que cero?^
a) b) c) d)
Solo I Solo II Solo I y III Solo I y II
10. ¿Cuál de las siguientes gráficas podría representar a la función 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 ?
Desarrollo I. Determine la función inversa de las siguientes funciones y compruébela a través de la función compuesta 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝑥 (4 puntos c/u): 1. 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 5
2. 𝑓(𝑥) =
3𝑥−5 2
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II. Demuestre que se cumple que 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓, usando las siguientes funciones: (Nota: se debe calcular la compuesta en ambos sentidos de cada función y verificar que son distintas las funciones obtenidas en cada caso) (4 puntos c/u) 1. 𝑓(𝑥) = 8 − 3𝑥 y 𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 12
2. 𝑓(𝑥) =
𝑥+4 6
y 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 1