Sadržaj 5.
JEDNODIMENZIONALNA ANALIZA TOKA .............................................................. 2 5.1.
IMPULS I/ILI PROMJENA KOLIČINE KRETANJA ............................................ 2
5.2.
URAĐENI PRIMJERI ................................................................................................ 7
5.2.1. PRIMJER: JEDNAČINA IMPULSA I KOLIČINE KRETANJA MLAZNICA ....................................................................................................................... 7 5.2.2. PRIMJER: JEDNAČINA IMPULSA I KOLIČINE KRETANJA KOLJENO ......................................................................................................................... 9 6.
POTENCIJALNO STRUJANJE FLUIDA ..................................................................... 12 6.1.
RAVANSKO STRUJANJE NESTIŠLJIVOG FLUIDA ......................................... 12
6.2.
STRUJNA FUNKCIJA ............................................................................................. 13
6.3.
POTENCIJALNO STRUJANJE .............................................................................. 15
6.4.
SLAGANJE STRUJANJA ........................................................................................ 19
6.5.
ANALIZA POTENCIJALNIH STRUJANJA .......................................................... 20
6.5.1.
RAVANSKO STACIONARNO STRUJANJE FLUIDA .................................. 20
6.5.2.
POTENCIJALNI USAMLJENI VRTLOG ...................................................... 23
6.5.3.
STRUJANJE U POLJU USAMLJENOG IZVORA I PONORA ..................... 26
6.5.4.
SUPERPOZICIJA IZVORA I PONORA ISTIH INTENZITETA .................. 28
6.5.5.
DVOPOL ILI DIPOL ......................................................................................... 30
6.5.6.
SUPERPOZICIJA DVOPOLA I PARALELNOG STRUJANJA.................... 33
6.6.
METODE ODREĐIVANJA FUNKCIJE POTENCIJALA .................................... 37
6.6.1.
RAČUNSKE METODE ..................................................................................... 37
6.6.2.
METOD ANALOGIJE ...................................................................................... 39
6.7.
URAĐENI PRIMJERI .............................................................................................. 41
6.7.1.
PRIMJER: POTENCIJALNO STRUJANJE (1) .............................................. 41
6.7.2.
PRIMJER: POTENCIJALNO STRUJANJE (2) .............................................. 42
6.7.3.
PRIMJER: SLAGANJE POTENCIJALNIH STRUJANJA ............................ 44
6.7.4.
PRIMJER: POTENCIJALNO OSNOSIMETRIČNO STRUJANJE .............. 46
5.
JEDNODIMENZIONALNA ANALIZA TOKA
Dimenzionalnost kretanja se određuje prema broju nezavisnih geometrijskih koordinata. U
opštem slučaju kretanja su trodimenzionalna. Međutim, ako osobina oso bina toka zavisi od jedne koordinate, kaže se da je kretanje jednodimenzionalno. Najčešći oblik jednodimenzionalnog toka je kretanje u strujnoj cijevi, cijevi, gdje su promjene osobina, normalno na strujnu liniju zanemarljive u
odnosu na promjene niz istu. To znači da su osobine fluida normalno no rmalno na osu strujne cijevi konstantne.
IMPULS I/ILI PROMJENA KOLIČINE KRETANJA
5.1.
U velikom broju problema mehanike fluida, od interesa je određivanje sile kojom fluid pri kretanju djeluje na potopljeno tijelo ili uopšte na čvrstu konturu. U tim slučajevima poznavanje detaljnih karakteristika toka, npr. brzine i pritiska, u svakoj tački fluidnog polja nije neophodno nego je od interesa poznavanje ukupnog dejstva fluida na tijelo. Pri rješavanju takvih problema koristi se osnovna jednačina dinamike o promjeni količine kretanja u integralnom obliku. Posmatraće se dejstvo fluida pri prolasku kroz graničnu površinu slici 5.1.
kao što je prikazano na
Slika 5.1.: Grani Grani č n i na čna a povr š šina
Granična površina može biti nepokretna ili translatorno translatorno pokretna sa konstantnom ko nstantnom brzinom. brzinom.
Prema Njutnovim zakonima, promjena brzine tijela t ijela nastaje kao posljedica dejstva sila. Drugi Njutnov zakon primijenjen na materijalni element mase ima oblik:
gdje su:
brzina kretanja fluidnog elementa,
(5.1.)
rezultujuća sila koja djeluje na fluidni element, količina kretanja.
Prema jednačini 5.1., vremenska promjena količine ko ličine kretanja je jednaka rezultujućoj sili koja djeluje na fluidni element. Na osnovu ovoga, o voga, se može napisati:
gdje su:
količina kretanja mase unutar granične zapremine
i-ta sila koja djeluje na posmatranu pos matranu fluidnu fluidnu masu.
Primjenom zakona transformacije (na član zapreminu može se pisati:
odnosno:
(5.2.)
,
) između sistemskog pristupa i pristupa za graničnu
(5.3.)
Prvi član jednačine 5.3. predstavlja promjenu količine kretanja mase unutar granične zapremine, fiksirane u odnosu na koordinatni sistem
. Ako je kretanje stacionarno, brzina u proizvoljnoj tački ostaje konstantna, a tako i količina kretanja fluidnog elementa kada prolazi
kroz tu tačku, te je doprinos ovog člana jednak nuli. Drugi član predstavlja uticaj promjene količine kretanja uslijed ulaza i izlaza fluida iz granične površine. U ovom članu brzina igra dvostruku ulogu. U skalarnom proizvodu određuje da li se radi o ulazu ili izlazu fluida iz granične zapremine. Ako je ugao između vektora i manji od predznak proizvoda je pozitivan i kroz taj segment granične površine fluid fluid
izlazi iz granične zapremine. Naprotiv, ako je u ao veći od g
, a manji od , predznak proizvoda
je negativan i označava ulaz fluida u graničnu zapreminu. Osim ovoga, brzina se pojavljuje i kao intenzivna osobina količine kretanja.
Desna strana jednačine predstavlja sumu svih vanjskih sila koje djeluju na graničnu zapreminu fluida. Kao što je već napomenuto, napo menuto, vanjske sile se mogu podijeliti na zapreminske i površinske.
Zapreminske sile potiču od vanjskog polja, kao što su gravitaciono i elektromagnetno. U slučaju slučaju gravitacionog polja, zapreminska sila je:
(5.4.)
gdje je ubrzanje Zemljine teže.
Pravac djelovanja gravitacione sile prolazi kroz težište granične zapremine. zapre mine. Površinske sile djeluju na graničnu površinu i predstavljaju de jstvo okolnog fluida i dejstvo čvrste konture koji su u kontaktu ko ntaktu sa graničnom površinom. U opštem slučaju, granična površina se sastoji od segmenta konture koja prolazi kroz fluid, segmenta konture koji se poklapa sa konturom čvrste površine i segmenta koji presijeca konturu čvrstog tijela, npr. kroz oslonac. Zato
se površinske sile prikazuju kao suma tri komponente:
(5.5.)
(5.6.)
(5.8.)
(5.9.)
određena je veličinom normalnih i tangencijalnih napona na odgovarajućem segmentu konture. ko nture. Dominantan uticaj ima hidrostatički pritisak, te se može Komponenta fluidne konture napisati:
predstavlja dejstvo dejstvo čvrste konture, reakciju elemenata uslijed dejstva fluidne mase, koja se na fluid prenosi pomoću normalnih i tangencijalnih napona, određenih o dređenih tenzorom Komponenta napona
, (5.7.)
Dejstvo sile reakcije oslonca, nastale u presjeku granične površine i čvrstog tijela, izračunava se pomoću tenzora napona :
Konačno, korištenjem jednačina 5.3., 5.4. i 5.5. se može napisati:
Ilustracije radi, jednačina 5.9. je primijenjena za određivanje sile
, kojom fluid u
stacionarnom kretanju djeluje na redukciono koljeno prikazano na slici 5.2.
Na dijelu slike 5.2. (a) je prikazano redukciono koljeno, a na dijelu 5.2.(b) je prikazan poligon sila - vektorski dijagram.
Granična površina označena crtkanom linijom ima segment konture koja prolazi kroz fluid:
i segment konture u dodiru sa čvrstim tijelom:
Slika 5.2.: Djelovanje fluida na redukciono koljeno
Obzirom da je strujanje stacionarno, član jednačine 5.9. je:
Drugi član jednačine 5.9. se može napisati po segmentima granične površine kao:
Doprinos trećeg člana sa desne strane jednačine 5.10. je:
obzirom da su vektori
i
po konturi
međusobno normalni.
(5.10.)
U slučaju kada su brzine fluida u presjecima
ili, obzirom da je maseni protok
i
nepromjenjive, imamo:
,
predstavlja težinu fluida unutar granične zapremine, tj.:
Zapreminska sila
Okolni fluid djeluje na graničnu površinu u presjecima
Smjer sila pritiska
i
i
, te se može napisati:
određuje vrijednost relativnog pritiska
i
jer isti mogu biti veći
ili manji od nule. Pretpostavlja se da su relativni pritisci konstantni u posmatranom presjeku,
se može odrediti ako se poznaje raspored normalnih i tangencijalnih napona na konturi . Alternativno, jednačina 5.9. se može iskoristiti za određivanje ako su poznati ostali članovi te vektorske jednačine. Dejstvo reakcije konture
Reakcija oslonca , u ovom slučaju, nije poznata jer granična površina ne siječe noseće elemente konstrukcije.
Koristeći naprijed navedene izraze, može se napisati:
(5.11.)
Na slici 5.2.(b) je prikazan vektorski dijagram – poligon sila.
Prema III Njutnovom zakonu dejstvo fluida na čvrstu konturu je jednak negativnom dejstvu konture na fluid, tj.:
(5.12.)
Navedeni izraz 5.12. uz pomoć vektorskog dijagrama, se koristi za određivanje dejstva fluida na element, kako bi se mogli dimenzionisati nosači koljena:
ili
(5.13a.)
(5.13b.)
Postavljeni uslov o konstantnosti brzina u svim tačkama presjeka predstavlja uslov jednodimenzionalne analize toka. On se svodi na to da je brzina u bilo kojoj tački presjeka predstavnik brzinskog polja u cijelom presjeku. Uslov jednodimenzionalne analize proširen na bilo koju vektorsku veličinu kaže da je dovoljno poznavanje posmatrane vektorske veličine samo u jednoj tački presjeka za poznavanje tog vektorskog polja u cijelom presjeku. Ukoliko je to vektorsko polje – polje brzina, onda pod uslovima jednodimenzionalne analize slijedi da u posmatranom presjeku strujne linije moraju biti paralelne ili bar približno paralelne kako bi brzine u svim tačkama presjeka bile praktično međusobno jednake. Drugim riječima, u presjecima gdje se može primijeniti princip jednodimenzionalne analize kretanja na polje brzina, konvekcijalno ubrzanje je jednako nuli.
Da bi se princip jednodimenzionalne analize kretanja mogao primijeniti na fluks količine kretanja i u slučajevima nejednolikog rasporeda brzina po presjeku potrebno je uvesti koeficijent korekcije, koji u sebi sadrži efekt promjene brzine po poprečnom presjeku toka. Sa koeficijentom korekcije stvarni protok količine kretanja kroz neki presjek, izražen preko srednje brzine protoka u tom presjeku, bio bi:
(5.14.)
(5.15.)
gdje je jedinični vektor normale na površinu.
Koeficijent korekcije ili Bazenov koeficijent za količinu kretanja se određuje iz:
Koeficijent korekcije uzima u obzir nekonstantnost rasporeda brzina. Njegova vrijednost je
uvijek veća od jedan. Na primjer, za slučaj laminarnog kretanja fluida u cijevi okruglog poprečnog presjeka je:
5.2.
URAĐENI PRIMJERI
5.2.1.
PRIMJER: JEDNAČINA IMPULSA I KOLIČINE KRETANJA MLAZNICA
Prema slici 5.3., prečnik mlaznice na ustima je , a na kraju u presjeku . Brzina vode na izlazu je . Zanemarujući težinu vode u mlaznici i otpore trenja naći silu
kojom voda djeluje na mlaznicu, odnosno prirubnicu.
Slika 5.3.: Mlaznica RJE Š ENJE
Iz jednačine kontinuiteta dobivamo:
Iz Bernulijeve jednačine za izlazni i presjek
, dobivamo:
Slika 5.4. Vektorski dijagram
5.2.2.
PRIMJER: JEDNAČINA IMPULSA I KOLIČINE KRETANJA KOLJENO
Kroz konično horizontalno polukružno koljeno, slika 5.5., protiće voda u količini od Prečnik koljena se postepeno mijenja od na ulazu do na izlazu. Radijus krivine koljena je . Pritisak u ulaznom presjeku je . Odrediti statičku i dinamičku reakciju koljena, zanemarujući hidraulične otpore i težinu vode u koljenu.
RJE Š ENJE
Iz jednačine kontinuiteta:
.
Slika 5.5.: Konično koljeno
Iz Bernulijeve jednačine:
koljeno se nalazi u horizontalnoj ravni, te je
Statička reakcija koljena je:
.
Slika 5.6.: Reakcija koljena, vektorski dijagram
Dinamička reakcija koljena je:
6.
POTENCIJALNO STRUJANJE FLUIDA
6.1.
RAVANSKO STRUJANJE N ESTIŠLJIVOG FLUIDA
Ponekad se fluid kreće tako da je strujna slika identična ili skoro identična u svim ravnima koje su paralelne nekoj referentnoj ravni. Tada se go vori o ravanskom strujanju fluida. Ovdje se ne
misli na kretanje fluida u tankom sloju, što ima drukčiju fizičku interpretaciju. Kao primjer ravanskog strujanja može poslužiti, naravno uz izvjesna ograničenja, kretanje vode kroz velike pravougaone kanale. U prirodi nema r avanskih strujanja jer se slike strujanja razlikuju čak i kad su ravni paralelne.
Međutim, međusobne razlike su toliko male da oslanjanje na pretpostavku o istovjetnosti strujanja ne vode pogrešnim zaključcima. Prednost ovakvog uproštenja se sastoji prvenstveno u tome da se kretanje fluida može posmatrati u jednoj od paralelnih ravni, a da se izvedeni zaključci mogu primijeniti i za strujanje kroz sve ostale ravni. Zato, kada se govori o tački u ravni, podrazumijeva se da je to trag prave koja je normalna na ravan. Protok kroz izabranu krivu
u ravni znači da fluid u jedinici vremena prolazi kroz odgovarajuću cilindričnu površinu, koja graniči sa paralelnim ravnima čija su rastojanja jedinična.
Pri ravanskom strujanju, brzina se uvijek može smatrati paralelnom ravni, npr.
pa je:
nije dovoljan da strujno polje definišemo kao ravansko, jer se fluid može kretati u paralelnim slojevima raznim brzinama. Potrebno je još, da projekcije brzine i , kao uopšte i sve veličine koje se odnose na ravansko strujanje budu nezavisne od promjenljive , a da zavise Uslov
jedino od i , eventualno, i od vremena . Zato, pri ravanskom strujanju, izvod
veličine mora biti jednak nuli.
ma koje
Za vrtlog se dobiva izraz:
iz kojeg se saznaje da vektor
stoji uvijek normalno na ravan kretanja.
(6.1.)
Jednačina kontinuiteta nestišljivog fluida postaje:
a gradijent bilo koje funkcije
:
(6.2.)
(6.3.)
6.2.
STRUJNA FUNKCIJA
Diferencijalna jednačina strujne linije (strujnice) pri ravanskom strujanju je:
(6.4.)
Ova jednačina se može integraliti kada se lijeva strana dovede do oblika potpunog diferencijala 1 , neke funkcije . Ako je navedena jednačina 6.4. egzaktna , onda njena lijeva strana predstavlja potpuni diferencijal, u protivnom treba tražiti integralni faktor kojim bi se lijeva strana pomnožila i tako dovela do potpunog diferencijala.
Kada je jednačina egzaktna može se neposredno napisati: a kako je:
to se poređenjem ova dva izraza, 6.5. i 6.6., dobiva:
Vidi se da jednakost drugih izvoda:
funkcije
(6.5.)
(6.6.)
(6.7.)
može postojati jedino kada je:
(6.8.)
što predstavlja uslov da bi početna jednačina bila egzaktna. Ovaj uslov je uvijek ispunjen pri strujanju nestišljivog fluida, koji se ovdje posmatra, jer se podudara sa jednačinom kontinuiteta 6.2.:
koja se mora zadovoljiti.
Jednačine 6.7.,
1
Egzaktna diferencijalna jednačina
Jednačina totalnog diferencijala
određuju funkciju koja zavisi od promjenljivih i , a u opštem slučaju i od vremena . Tada se diferencijalna jednačina 6.4., odnosno 6.5., strujne linije svodi na:
ili poslije integralenja:
(6.9.)
(6.10.)
Za određenu vrijednosti konstante , jednačina 6.10. predstavlja jednačinu krive linije u ravni , koja se može mijenjati u toku vremena. Uvažavajući naprijed navedeno, jednačina 6.10. predstavlja cilindričnu površinu u prostoru. Za proizvoljne vrijednosti konstante dobiva se sistem krivih linija u ravni. To je, ustvari, sistem strujnih linija, odnosno sistem strujnih površina.
Funkcija
se naziva strujna funkcija .
Kada je strujanje stacionarno, strujna funkcija ne zavisi od vremena, strujne linije su nepromijenjene u ravni i poklapaju se sa putanjom fluidnih elemenata. Primjenom strujne funkcije
može se vrtlog , iz izraza 6.1., predstaviti kao:
gdje je, u opštem slučaju,:
(6.11.)
Laplasov operator ili Laplasian.
Pri potencijalnom strujanju, kada je
, funkcija
mora zadovoljiti Laplasovu jednačinu:
(6.12.)
može poslužiti i za izračunavanje protoka kroz proizvoljnu krivu u ravni , odnosno kroz cilindričnu površinu normalnu na ravan , ograničenu paralelnim ravnima Funkcija i
, vidi sliku 6.1.:
Slika 6.1.: Protok kroz proizvoljnu krivu AB u ravni 0xy
Ako
predstavlja usmjereni element krive
Iz izraza 6.13. i 6.14. slijedi:
Obzirom da strujna funkcija
, onda je:
(6.13.)
(6.14.)
ne zavisi od , dobiva se:
Prema izrazu 6.15., protok kroz konturu
(6.15.)
jednak je razlici vrijednosti koje ima strujna funkcija
u krajnjim tačkama krive. 6.3.
POTENCIJALNO STRUJANJE
Poznavanje rasporeda brzina i pritisaka nekog strujanja u prostoru i vremenu problem je riješen jer se ostale veličine mogu dobiti iz ovih poznatih rješenja. Činjenica da je brzina vektorska funkcija, sa matematske tačke gledišta, otežava nalaženje rješenja. Ako je moguće naći skalarnu funkciju preko koje se može izraziti brzinsko polje onda se rješenje problema strujanja fluida znatno uproštava jer se ono svodi na nalaženje odgovarajuće skalarne funkcije.
Ako skalarna funkcija
zadovoljava uslov da su komponente brzine izvod te funkcije
u odgovarajućim pravcima, tj.:
(6.16.)
onda možemo reći da je strujanje potencijalno . Funkcija koja zadovoljava ovaj uslov je funkcija potencijala brzine i ona u potpunosti definiše polje brzine. Polja, za koja se može specificirati skalarna funkcija na ovaj način, se nazivaju potencijalna polja (npr., polje gravitacionih sila je definisano funkcijom potencijala , gdje je osa
usmjerena naviše).
Funkcija
ima karakteristike funkcije potencijalnog polja. Da je ona pot encijal brzine pokazuje
činjenica da se iz njenih izvoda dobivaju komponente brzina. Obzirom da ona opisuje njihovu kontinualnu raspodjelu u funkciji koordinata i vremena, kao nezavisno promjenljivih veličina, onda je funkcija polja. Obuhvatajući oba njena svojstva slijedi da je funkcija zaista funkcija
potencijalnog polja.
Primjenom izraza 6.16. za komponente brzina na neke k inematske karakteristike strujanja dolazi se do dopunskih svojstava potencijalnog strujanja fluida. Ako se iste uvrste u izraz za komponente vrtloženja, izraz 3.71.:
dobiva se:
(6.17.)
Iz navedenih jednačina u izrazu 6.17., koje predstavljaju uslove nevrtložnosti elemenata fluida
može se doći do osnovnih svojstava potencijalnog strujanja fluida. Nevrtložnost je usko vezana za odsustvo dejstva sila viskoziteta. Fluid u kojem je moguće zanemariti viskozitet je idealan fluid. Prema ovome, u principu, teorija potencijalnog strujanja
fluida se primjenjuje na kretanje idealnog fluida. Međutim, u prirodi ne postoji neviskozan fluid, ali pri kretanju realnog, viskoznog, fluida dolazi do formiranja zona u kojima sile viskoziteta ne
dolaze do izražaja. Na takva strujanja se može primijeniti teorija potencijalnog strujanja. To su slučajevi u zonama izrazito velikog ubrzanja fluida gdje je strujanje, većinom i nevrtložno (isticanje i prelijevanje, konvergentno strujanje, neki slučajevi kretanja tijela kroz fluid, otvoreni tokovi konstantnog pritiska na slobodnoj površini i slično).
Ako ravansko strujanje ima potencijal brzine
S druge strane, iz izraza 6.7., imamo:
, biće:
(6.18.)
Izjednačavajući izraze za komponente brzina dobiva se:
(6.19.)
Jednačine 6.19. se nazivaju Koši2-Riemanovim3 jednačinama. One pokazuju da strujne ( ) i ekvipotencijalne linije ( ) predstavljaju dva sistema, međusobno normalnih linija. To dokazuje, skalarni proizvod gradijenta ovih funkcija je jednak nuli:
što znači da su gradijenti međusobno normalni.
zadovoljava Laplasovu jednačinu4. Ovo se lako može dokazati, uvrštavanjem komponenti brzine izraženih preko funkcije potencijala u jednačinu kontinuiteta. Svaka od funkcija
i
Tako se dobiva:
(6.20.)
Analogno, uvrštavanjem komponenti brzine, izraženih preko strujne funkcije, u uslov nevrtložnosti ( ), dobiva se:
gdje je
(6.21.)
Laplasov operator ili Laplasian.
Kako Laplasova jednačina istovremeno izražava uslov kontinuiteta i nevrtložnosti, to skalarna funkcija koja opisuje neko strujanje fluida u zoni toka, a zadovoljava Laplasovu jednačinu, pokazuje da je u toj zoni toka zadovoljen uslov kontinuiteta i da je u njoj strujanje nevrtložno. Dobivene jednačine 6.20. i 6.21. su Laplasove homogene parcijalne linearne diferencijalne jednačine drugog reda. Rješenja Laplasovih jednačina su harmonijsk e funkcije i bilo koja od njih 2 3 4
Augustin Cauchy Bernhard Riemann
Funkcije koje zadovoljavaju Laplasovu jednačinu (neprekidne i sa neprekidnim parcijalnim izvodima prvog i
drugog reda) nazivamo Laplasovim ili harmonijskim funkcijama.
predstavlja potencijal brzine, odnosno strujnu funkciju. Ako je taj potencijal harmonijski u cijeloj zoni toka, izuzev u nekim tačkama, onda su te tačke, tačke singulariteta.
Jednačine 6.20. i 6.21. pokazuju još jedno važno svojstvo funkcija i . Naime, ako postoji kretanje potencijala i strujne funkcije , onda može postojati i kretanje potencijala i strujne funkcije
(
).
Samo se jedna od funkcija mora naći primjenom Laplasove jednačine, a druga se dobiva iz KošiRiemanovih uslova. Neka je, npr., poznat potencijal brzine i neka se traži strujna funkcija .
Koši-Riemanovi uslovi glase, prema jednačinama 6.19.:
Ako se integrali prva jednačina, od vrijednosti do , dobiva se:
(6.22.)
Mora se pretpostaviti funkcija
koja je za sada nepoznata funkcija od . Ako se dobiveni izraz 6.22. uvrsti u drugu jednačinu 6.19. Koši-Riemanovih uslova, dobiva se:
Obzirom da funkcija
zadovoljava Laplasovu jednačinu, može se napisati:
Uvrštavanjem izraza 6.24. u izraz 6.23. dobivamo:
Integralenjem dobivog izraza 6.25. o d vrijednosti do , dobiva se:
Na kraju se nalazi vrijednost za:
(6.23.)
(6.24.)
(6.25.)
(6.26.)
Da se je pri traženju funkcije pošlo od druge jednačine 6.19. Koši-Riemanovih uslova, dobio bi se izraz:
Ovaj izraz 6.27. je ekvivalentan izrazu 6.26.
(6.27.)
Postupak za iznalaženje potencijala brzine , kada se zna strujna funkcija , analogan je sa već prikazanim.
Za neke oblike strujanja pogodnije je strujnu sliku opisati u polarnom koordinatnom sistemu . Komponente brzine i Koši-Riemanovi uslovi, sada glase:
(6.28.)
(6.29.)
a Laplasova jednačina za ravansko strujanje je data izrazom:
6.4.
SLAGANJE STRUJANJA
U ovom poglavlju će se izložiti način na koji se dolazi do predstave o složenim strujanjima, a na osnovu poznatih jednostavnijih strujanja.
Ravansko potencijalno strujanje je potpuno definisano funkcijom potencijala i strujnom funkcijom . Ove funkcije daju i analitičku i grafičku predstavu o kretanju. Zna se da su one vezane Koši-Riemanovim uslovima i da svaka od njih zadovoljava Laplasovu jednačinu. Dakle, ne mogu se izabrati bilo kakve funkcije i , i smatrati da su one upravo funkcije koje određuju neko strujanje. Ali, svaki par funkcija koje zadovoljavaju Koši-Riemanove uslove uvijek daju
sliku nekog mogućeg strujanja. Ne ulazeći u analizu kako će se one prilagoditi graničnim uslovima, očigledno je da takvih funkcija ima beskonačno mnogo.
Pretpostavimo da su određene dvije funkcije
i
Njima odgovara potencijalno strujanje, potencijala brzine
koje zadovoljavaju uslove:
i strujne funkcije
.
Neka su
i
, drugi par funkcija koje, takođe, zadovoljavaju uslove:
Ove funkcije određuju drugo strujanje sa potencijalom brzine
i strujnom funkcijom
.
Koši-Riemanovi uslovi su linearne parcijalne diferencijalne jednačine, pa ih moraju zadovoljiti i funkcije:
što znači da njima odgovara neko novo strujanje potencijala brzine i strujne funkcije . Dobivene zbirne funkcije takođe zadovoljavaju Koši-Riemanove uslove. Dakle, poznavanjem pojedinih jednostavnih strujanja, moguće je upoznati nova, često, vrlo složena strujanja. 6.5.
ANALIZA POTENCIJALNIH STRUJANJA
Primjeri potencijalnog strujanja fluida koji će se navesti, se odnose na najjednostavnije slučajeve stacionarnog ravanskog strujanja fluida.
6.5.1.
RAVANSKO STACIONARNO STRUJANJE FLUIDA
Najjednostavniji primjer strujanja fluida je stacionarno, kod kojeg su strujne linije međusobno
paralelne. Paralelno strujanje se karakteriše konstantnom brzinom fluidnog polja. Ako je pravac brzine određen uglom u odnosu na na slici 6.2.,
, u bilo kojoj tački osu, kao što je pokazano
komponente brzine u i pravcu su:
Iz izraza za komponente brzine i Koši-Riemanovih uslova, dobiva se:
(6.30.)
Slika 6.2.: Ravansko stacionarno strujanje fluida
Ako se integrali prva jednačina 6.30., dobiva se:
(6.31.)
Izvod funkcije 6.31., po drugoj promjenljivoj je:
Ako ovaj izvod izjednačimo sa drugom jednačinom iz 6.30., Koši-Riemanovih uslova, dobiva se: odnosno:
Uvrštavanjem izraza 6.32. u izraz 6.31. dobiva se: Dobivena funkcija
(6.32.)
(6.33.)
zadovoljava jednačinu kontinuiteta u obliku Laplasove jednačine.
Analogno, strujna funkcija
se određuje iz prve jednačine 6.30. Koši-Riemanovih uslova:
Ako izvod ove funkcije 6.34., po drugoj promjenljivoj,
(6.34.)
izjednačimo sa istim članom iz druge jednačine 6.30. Koši-Riemanovih uslova, dobiva se:
odnosno:
(6.35.)
Uvrštavanjem nepoznate funkcije, izraz 6.35., u izraz 6.34., dobiva se:
(6.36.)
Vrijednosti konstanti i su proizvoljne, te mogu biti izjednačene sa nulom. Strujne linije su pravci pod uglom prema osi. Ekvipotencijalne linije su pravci normalni na linije Dobiveni izrazi 6.33. i 6.36. za i uzimajući:
i
se mogu transformisati u polarni koordinatni sistem, ,
i
Za slučaj strujanja paralelnog sa
osom, funkciju u Dekartovom sistemu, postaju:
, izrazi za funkciju potencijala brzine i strujnu
a u polarnom koordinatnom sistemu su:
Za ovaj slučaj strujanja, strujne linije su paralelne sa paralelne sa
osom, a ekvipotencijalne linije su
osom.
U cijelom strujnom polju stacionarnog strujanja nema tačaka singulariteta, jer su date funkcije potencijala harmonijske u cijeloj zoni toka. Zbog toga je cirkulacija po bilo kojoj zatvorenoj liniji jednaka nuli. Ovo je prikazano na izdvojenoj zatvorenoj liniji , slika 6.2. Vodeći računa o usvojenom smjeru linije po kojoj se vrši integralenje (pozitivan smjer je smjer supr otan kretanju kazaljke na satu) i pravcu brzine, dobiva se:
Dakle, u polju potencijalnog toka je cirkulacija, po zatvorenoj krivoj, jednaka nuli.
6.5.2.
POTENCIJALNI USAMLJENI VRTLOG
U slučaju rotacije fluida u koncentričnim krugovima oko neke ose, tako da se brzina u njemu mijenja obrnuto proporcijalno sa rastojanjem od o se rotacije, sistem strujnih i potencijalnih linija
će biti kao na slici 6.3.
Slika 6.3.: Potencijalni usamljeni vrtlog
Za ovaj vid strujanja fluida, funkcija potencijala izražena u cilindričnim koordinatama, je:
(6.37.)
Komponente brzine u bilo kojoj tački ovog toka, izražene preko funkcije potencijala, su:
ili u Dekartovom koordinatnom sistemu:
(6.38.)
(6.39.)
Da bi se odredila strujna funkcija, treba primijeniti Koši-Riemanove uslove 6.28. Iz prve jednačine se dobiva:
(6.40.)
Ako se nađe izvod za po drugoj promjenljivoj i izjednači sa drugom jednačinom iz KošiRiemanovih uslova 6.28., odrediće se nepoznata funkcija :
(6.41.)
Uvrštavajući dobiveni izraz 6.41. u izraz 6.40. za , i usvajajući da je
, dobiva se:
(6.42.)
Funkcija potencijala 6.37. i strujna funkcija 6.42. u Dekartovom koordinatnom sistemu glase: (6.43.) (6.44.)
U ovom slučaju se vidi, da su strujne linije sistem koncentričnih krugova sa aksijalnom i radijalnom komponentom brzine jednakom nuli, a tangencijalna komponenta je duž svake strujne linije konstantna. Sa druge strane, sistem potencijalnih linija se sastoji od sistema radijalnih linija, kao sto je prikazano na slici 6.3.
Fluid kruži u strujnoj ravni oko ose rotacije (koordinatni početak) u koncentričnim krugovima sa
smjerom suprotnim smjeru kretanja kazaljke na satu . Na konstantnom rastojanju od centra krugova brzine su istog intenziteta. Ali, ukoliko se odmičemo od centra, intenzitet brzina opada obratno proporcijalno radijusu i u beskonačnosti teži nuli . Ukoliko se primičemo osi rotacije brzina teži beskonačno velikoj brzini .
U prirodi nisu poznate tako velike brzine pa je jasno da posmatrano strujanje ne može važiti za brzinu ose rotacije. Na osnovu navedenog, strujno polje se može podijeliti na dvije oblasti:
prvu, koja je veoma prostrana i gdje se brzine ponašaju prema zakonu
drugu, vrlo malu, u kojoj naprijed navedeni zakon ne vrijedi. Ova oblast, singularna oblast , ima podređenu ulogu prema prostranstvu toka. Obično se pretpostavlja da u njoj
fluid rotira kao čvrsto tijelo, nepromijenjenom ugaonom brzinom. Singularna oblast se naziva i vrtložnim jezgrom. Može se smatrati da fluidni elementi iz singularne oblasti pr ipadaju jednom jedinom vrtložnom vlaknu po kojem se cjelokupno kretanje fluida naziva strujanje u polju usamljenog vrtloga.
Pri analiziranju i određivanju cirkulacije, nailazi se na dva slučaja:
kad integralska kriva ne obuhvata tačku singulariteta, kad integralska kriva obuhvata tačku singulariteta.
U prvom slučaju, kriva
(slika 6.3.) ne obuhvata vrtložno jezgro pa se nalazi:
Integrali duž dijelova i
integralske krive jednaki su nuli uslijed ortogonalnosti vektora
. Kako je:
na putu
i
na putu
, dobiva se:
(6.45.)
Izrazom 6.45. je pokazano da je u polju usamljenog vrtloga cirkulacija po zatvorenoj krivoj, koja
ne obuhvata tačku singulariteta, jednaka nuli. U drugom slučaju, ako se za integralnu krivu uzme bilo koja od strujnih linija, koncentrični krug, tako da je obuhvaćena tačka singulariteta, onda će cirkulacija po njoj biti:
(6.46.)
Dakle, cirkulacija nije više jednaka nuli. Rezultat se neće promijeniti kada se singularitet obuhvati proizvoljnom krivom. Ako se površina podjeli u niz elementarnih kružnih isječaka, vidi se da jedino integrali duž elementarnih lukova daju doprinos cirkulaciji. Zbir svih pojedinih
integrala opet je
. Cirkulacija je konstantna
i ne zavisi od veličine
jezgra. Prema tome jezgro se može svesti na tačku, tačku singulariteta. Dobiveni izraz 6.46. za cirkulaciju, daje fizičko značenje konstante , kao jačine vrtloga:
Funkcija potencijala i strujna funkcija se mogu p isati:
6.5.3.
(6.47.)
(6.48.)
STRUJANJE U POLJU USAMLJENOG IZVORA I PONORA
Primjenom svojstva o zamjeni uloga funkcije potencijala i strujne funkcije na prethodni slučaj, izraz 6.48., dobiva se novi vid strujanja fluida poznat kao izvor ili ponor , definisan funkcijom potencijala i strujnom funkcijom kao:
(6.49.)
(6.50.)
U ovom slučaju umjesto konstante , uzeta je konstanta , da bi se ovaj vid strujanja razlikovao od prethodnog.
Komponente brzina, izražene preko funkcije potencijala, su:
Iz izraza 6.50. se vidi da je polje brzina predstavljeno samo radijalnom brzinom. Njena apso lutna
vrijednost se povećava sa približavanjem centru i u njemu postaje beskonačno velika, tačka singulariteta.
Karakter strujanja u ova dva slučaja zavisi od konstante
. Za , sa povećanjem radijusa (pozitivan smjer), brzina je pozitivna i smjer strujanja je od centra u polje. Za , sa istim smjerom , brzina je negativna i smjer strujanja je iz polja prema centru. Za prvi slučaj se kaže da je strujanje u polju usamljenog izvora, a u drugom, da je strujanje u polju usamljenog ponora. Strujanje je dvodimenzijalno (ravansko), strujne linije su radijalni pravci, a potencijalne linije
koncentrični krugovi, kao što je prikazano na slici 6.4.
Slika 6.4.: Strujanje u polju usamljenog izvora
, koja se može odrediti iz veličine protoka kroz jediničnu cilindričnu površinu, koja obuhvata liniju izvora ili ponora. Intenzitet izvora ili ponora je definisan konstantom
gdje je
(6.51.)
(6.52.)
jedinični protok (izdašnost) izvora ili ponora, dimenzija:
Iz izraza 6.51. se dobiva intenzitet (jačina) dvodimenzionalnog izvora ili ponora:
Izrazi 6.51. i 6.52. imaju iste dimenzije,
.
U Dekartovim koordinatama funkcija potencijala i strujna funkcija, za slučaj izvora, glase:
(6.53.)
(6.54.)
a u cilindričnim koordinatama:
Za slučaj ponora, smjer brzine se mijenja za
, te se izrazi za funkciju potencijala i strujnu funkciju dobivaju iz izraza 6.53 i 6.54. zamjenom .
6.5.4.
SUPERPOZICIJA IZVORA I PONORA ISTIH INTENZITETA
Posmatraće se rezultujuće strujanje nastalo superpozicijom (sabiranjem) izvora i ponora, jediničnih protoka , postavljenih na osi na i udaljenosti od koordinatnog početka, kao što je prikazano na slici 6.5.(a).
Slika 6.5.: Superpozicija izvora i ponora
Za proizvoljnu tačku
strujna funkcija je:
(6.55.)
Uvrštavajući izraz 6.54. za strujnu funkciju izvora i ponora, dobivamo:
Koristeći sliku 6.5.(a), dobivamo slijedeće odnose:
Sada strujnu funkciju, iz izraza 6.56., možemo napisati kao:
(6.56.)
(6.57.)
(6.58.)
Koristeći trigonometrijsku relaciju za razliku arkusa dva ugla, izraz 6.58. se može napisati:
Jednačine strujne linije se dobivaju za
(6.59.)
, što uvrštavamo u izraz 6.59. za strujnu funkciju:
Poslije sređivanja dobiva se:
Izraz 6.61. predstavlja jednačinu kruga sa centrom na
osi, u tački:
(6.60.)
(6.61.)
i sa radijusom:
Na slici 6.5.(b) su punom linijom nacrtane strujne linije dobivene promjenom vrijednosti konstante . Za , iz izraza 6.61. se dobiva . Ovo znači da segmenti luka kruga povezuju izvor i ponor, odnosno da cijeli protok iz izvora biva zahvaćen ponorom.
Na sličan način potencijal superponiranog strujanja postaje:
Iz geometrijskih odnosa na bazi slike 6.5.(a) je:
(6.62.)
tako da se funkcija potencijala može pisati kao:
6.5.5.
(6.63.)
DVOPOL ILI DIPOL
Interesantna strujna slika se dobije kada se izvor i ponor istovremeno približavaju koordinatnom početku sistema, kao na slici 6.6.
Slika 6.6.: Dvopol ili dipol
Ako su izvor i ponor istog jediničnog protoka (izdašnosti), cijeli protok izvora će biti zahvaćen ponorom ne uzrokujući nikakvo kretanje. Neto protok je jednak nuli.
Analizirat će se slučaj kada udaljenost teži nuli , a jedinični protok beskonačnosti , tako da proizvod teži konačnoj vrijednosti : Uz označavanje kao na slici 6.6.(a), potencijal nastalog strujanja je:
Kada
Obzirom da
i
(6.64.)
(6.65.)
, dobiva se:
i količnik
je male vrijednosti. Razvojem logaritamske funkcije u red se
dobiva:
(6.66.)
Zanemarujući članove višeg reda u izrazu 6.66. i uvrštavanjem u izraz 6.65., dobiva se:
Primjenom teoreme kosinusa na trouglove prikazane na slici 6.6.(a), dobiva se:
Oduzimajući drugu jednačunu od prve, u izrazu 6.68., dobiva se: Uvrštavajući izraz 6.69. u izraz 6.67., dobiva se:
(6.67.)
(6.68.)
(6.69.)
odnosno:
ili u Dekartovom koordinatnom sistemu:
Ekvipotencijalne linije se dobiju iz izraza 6.71. uz uslov
:
(6.70.)
(6.71.)
ili poslije sređivanja:
(6.72.)
Izraz 6.72. predstavlja parametarsku jednačinu sa parametrom , odnosno predstavlja familiju krugova sa centrom na
i radijusom:
što pokazuje da je
osi i sa koordinatama centra:
osa tangenta na ekvipotencijalne linije.
Na osnovu funkcije potencijala
Strujnu funkciju
, izraz 6.70., dobivamo komponente brzine:
dobivamo primjenom Koši-Riemanovih uslova 6.28.:
i već prikazanog načina izvođenja:
ili u Dekartovom koordinatnom sistemu:
Strujne linije se dobivaju za
(6.73.)
(6.74.)
, analogno kao i kod ekvipotencijalnih linija: (6.75.)
Jednačina 6.75. sa vrijednošću parametra predstavlja familiju krugova sa centrom na tački:
i radijusom:
osi u
osa je tangenta na krugove – strujne linije.
6.5.6.
SUPERPOZICIJA DVOPOLA I PARALELNOG STRUJANJA
Posebno zanimljivu sliku strujanja daje superpozicija dva prethodno analizirana nevrtložna
strujanja: dvopol i paralelno strujanje (slika 6.7.a). Neka paralelno strujanje ima konstantnu brzinu u pravcu ose, i neka je dvopol lociran u centar koordinatnog sistema . Kako su
oba strujanja nevrtložna, strujna funkcija superponiranog strujanja je:
Ako se usvoji cilindrični koordinatni sistem dobiva se:
Strujne linije se dobivaju za , ili iz izraz 6.76. je:
(6.76.)
(6.77.)
Od posebnog interesa je nulta strujna linija
Slika 6.1.: Superpozicija dvopola i paralelnog strujanja
Jednačina 6.77. je zadovoljena za:
Dakle, nulta strujna linija je
osa i krug radijusa:
Veličina radijusa zavisi od jačine dvopola i brzine paralelnog tečenja . Kako kroz nultu strujnu liniju nema protoka fluida ista se može smatrati kao čvrsta kontura. Dobivena slika strujanja odgovara nevrtložnom strujanju oko cilindra, radijusa . Zato je pogodno da se strujna funkcija 6.76. izrazi pomoću radijusa :
(6.78.)
Komponente brzine su:
(6.79.)
Koristeći se dobivenim izrazima 6.78., 6.79., Koši-Riemanovim uslovima 6.28. i već poznatim načinom se može odrediti funkcija potencijala brzine, kao: (6.80.)
Raspored brzine po konturi cilindra se određuje iz uslova
:
Promjena brzine po periferiji cilindra grafički je prikazana na slici 6.7.(c). Za i , brzina . Ove tačke se nazivaju zaustavnim tačkama i označene su sa i . Maksimalna brzina fluida se postiže u tačkama cilindra za i iznosi , tj. brzina je dva puta veća od brzine u neporemećenom toku. Jedan od problema mehanike fluida je određivanje sila kojom fluid djeluje na okolna tijela. Interesantno je odrediti kojom silom fluid djeluje na cilindar radijusa . Uobičajeno je da se rezultujuća sila po jedinici visine tijela razloži na komponente: silu u pravcu strujanja i silu u pravcu koji je normalan na pravac neporemećenog strujanja. Tada se prva sila naziva silom otpora
, a druga silom uzgona
, slika 6.8.
Slika 6.2.: Sile otpora i uzgona
Da bi se odredila sila kojom fluid djeluje na cilindar, analizirat će se raspored pritisaka kod nevrtložnog strujanja na bazi poznatog rasporeda brzina i Bernulijeve jednačine. Primjenjujući Bernulijevu jednačinu na strujanje neporemećenog toka, dovoljno daleko od cilindra, i stanje na konturi cilindra, dobiva se:
Obzirom da je strujanje u horizontalnoj ravni
i
(6.81.)
, dobiva se:
ili u bezdimenzijalnoj formi:
(6.82.)
Bezdimenzionalni raspored pritiska, izraz 6.82., je prikazan na slici 6.8., i za njega vrijedi:
Strujanje je neviskozno, sile uslijed dejstva pritiska predstavljaju jedine sile kojim fluid djeluje na cilindar. Na elementarnu površinu djeluje sila . Komponente otpora i uzgona, od dejstva sile su:
Integralenjem prve jednačine izraza 6.83. uz uvrštavanja vrijednosti za simetričan raspored pritisaka u odnosu na osu:
(6.83.)
, dobiva se, obzirom na
(6.84.)
Za silu uzgona se dobiva:
Dakle sile otpora i uzgona su jednake nuli, a time je i rezultujuća sila jednaka nuli
(6.85.) .
Činjenica da pri opstrujavanju potopljenog tijela realnim fluidom uvijek postoji određena sila, a da je pri potencijalnom opstrujavanju tog tijela ona jednaka nuli, poznata je kao Dalamberov paradoks.
6.6.
METODE ODREĐIVANJA FUNKCIJE POTENCIJALA
U poglavlju 6.5. se polazilo od poznate funkcije potencijala i strujne funkcije, i njihovim
ispitivanjem se došlo do rješenja za strujanje fluida pri odgovarajućim konturnim (graničnim) uslovima. U inženjerskoj praksi najčešći slučajevi su upravo suprotni. Za date konturne uslove potrebno je naći sistem strujnih linija i linija potencijala, da bi se preko njih došlo do rješenja problema. U osnovi problem se svodi na rješavanje Laplasove diferencijalne jednačine strujanja, koje treba da zadovolje ove funkcije pri datim konturnim uslovima. U zavisnosti od uslova toka i
oblika granica, njihovo rješenje može biti egzaktno ili približno. 6.6.1.
RAČUNSKE METODE
Za egzaktno rješavanje Laplasove jednačine na raspolaganju nam stoje metode rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednačina. One se baziraju na korištenju Furjeovih5 redova, Ležandrovih6 ili Beselovih7 funkcija, na metodu integralnih jednačina i dr. Ove matematske metode fizike su pogodne za matematski definisane konture. Za kompleksniji oblik konture, koje
je teško definisati, mora se prići približnim numeričkim metodama rješavanja Laplasove jednačine. 6.6.1.1.
METOD KONAČNIH RAZLI KA
Ovom metodom se diferencijalne jednačine, u ovom slučaju Laplasove, prevode u sistem algebarskih diferencijalnih jednačina. Da bi se došlo do potrebnog stepena tačnosti rješenja, prvobitno rješenje je potrebno sukcesivno popravljati (metod relaksacije), radi čega i konačno rješenje predstavlja približno rješenje postavljenog problema. Postoji čitav niz metoda prevođenja diferencijalnih jednačina u sistem algebarskih diferencijalnih jednačina kao i njihovo rješavanje. 5
Joseph Fourier Andrien-Marie Legendre 7 Friedrich Bessel 6
Ovdje se daje klasičan primjer prevođenja razvijanjem u Tajlorov8 red i rješavanje dobivenog sistema metodom relaksacije, koji zahtjeva pretpostavljanje vrijednosti funkcije potencijala u pojedinim tačkama mreže. Ovaj metod je pogodan za primjenu računara, mada se u tu svrhu sve više koristi metod Gausove9 eliminacije ili inverzije matrice, i dr.
Postupak prelaska sa Laplasove diferencijalne jednačine na algebarski diferentni izraz koji opisuje dati tok, pokazan je na primjeru dvodimenzijalnog strujanja fluida oko neke čvrste granice, slika 6.9.
Slika 6.3.: Metod konač nih razlika
U čvornim tačkama nacrtane kvadratne mreže se trebaju pretpostaviti vrijednosti potencijala. Njihove konačne vrijednosti trebaju biti takve da je za svaku tačku zadovoljena Laplasova jednačina. Tako na primjer, za tačku mora biti:
(6.86.)
Izvodi potencijala u tački se mogu izraziti približno preko vrijednosti potencijala u okolnim tačkama: . U tom cilju funkcija , u okolini tačke , se može aproksimirati Tajlorovim polinomom kao:
Za tačku , 8 9
Brook Taylor Carl Friedrich Gauss
, dobivamo:
i za tačku ,
:
Sabiranjem izraza 6.87. i 6.88., dobiva se:
Na sličan način se može dobiti izraz za tačke i :
(6.87.)
(6.88.)
(6.89.)
(6.90.)
Zanemarujući sve članove reda veličine i veće, algebarski izraz kao najjednostavnija aproksimacija Laplasove jednačine za tačku je:
(6.91.)
Na isti način će se dobiti odgovarajući algebarski izrazi za sve tačke kvadratne mreže, posmatrajući ih kao i tačku . U ovako formiranom sistemu jadnačina potrebno je izvršiti korekciju pretpostavljenih vrijednosti potencijala u pojedinim tačkama metodom relaksacije, do k se ne dođe do vrijednosti koje će zadovoljiti posljednji izraz sa odgovarajućom tačnošću. Ovakav metod je mukotrpan i dug ukoliko se ne koriste računari. Osnovna prednost ove metode je u mogućnosti dobivanja strujne slike za konturne granice bilo kakve konfiguracije. 6.6.2.
METOD ANALOGIJE
Uslov da karakteristična veličina neke pojave zadovoljava Laplasovu jednačinu, pored primjera strujanja idealnog fluida, susreće se i u nizu drugih fizičkih pojava. Takve su: provođenje toplote ili elektriciteta, naponsko stanje membrane, prostiranje magnetnih i drug ih talasa, laminarno
strujanje izrazito viskoznog fluida, itd. Svaka od ovih pojava može poslužiti kao model (analog) odgovarajućem potencijalnom strujnom polju fluida. Koji od navedenih uzeti kao model za posmatrano strujanje fluida zavisi od najpodesnije eksperimentalne opreme. 6.6.2.1.
MEMBRANSKA ANALOGIJA
Izohipse tanke trodimenzionalne elastične membrane (od tanke gume ili filma sapunice) projektovane na horizontalnu ravan odgovaraju strujnim linijama dvodimenzionalnog potencijalnog strujanja fluida. Pretpostavlja se da je membrana tako tanka da su njena krutost kao i sile gravitacije zanemarljive. Nadalje, pretpostavlja se da su unutarnji naponi svugdje i u svim pravcima isti, a da su ugibi membrane tako maleni da se sekundarni naponi uslijed njih mogu
zanemariti. Problemi k od ove metode određivanja strujne slike su isključivo tehničke prirode –
formiranje membrane traženih karakteristika i određivanje izohipsi na njoj, odnosno nagiba površine membrane u pojedinim tačkama. 6.6.2.1.
ELEKTRO ANALOGIJA
Ako analitički oblici strujne funkcije i funkcije potencijala nisu poznati, strujna mreža se može
približno odrediti pomoću analogije sa električnim potencijalom. Analogija sa električnim poljem napona posebno je pogodna, zato što se električne veličine mogu lako mjeriti. Za homogeni električni provodnik polje napona je definisano jednačinom:
gdje je
veličina napona.
Jednačina je identična sa jednačinom koja važi za funkciju potencijala brzine i strujnu funkciju
. Dakle, raspored napona u polju provodnika je analogan rasporedu funkcije potencijala brzine,
ako su granični uslovi slični. Analogno, električno polje mora biti i geometrijski slično fluidnom polju. Čvrsta kontura u fluidnom polju analogno odgovara ploči izolatora u električnom polju. Konstantan potencijal brzine odgovara dobrom provodniku. Na slici 6.10. je prikazano određivanje potencijala brzine pri opstrujavanja cilindra u dvodimenzionalnom kanalu. Dovoljno daleko ispred i iza cilindra raspored brzina je konstantan, što pokazuje da je
normalno na osu kanala. Taj dio polja izrađen je od dobrog provodnika i spojen sa izvorom potencijala (baterija). Cilindar i bočne konture izrađene su od izolatora, a oblast koja odgovara fluidnom polju izrađena je od homogenog električnog provodnika u obliku ravne ploče.
Slika 6.4.: Elektro analogija
Mjerenje rasporeda električnog potencijala homogenog električnog provodnika ostvareno je pomoću Vistonovog10 mosta. Kada je most u ravnoteži galvanometar pokazuje nulti otklon i vrijedi:
gdje su:
razlika potencijala između elektrode i bilo koje tačke (tačka N), razlika potencijala između elektroda
,
električni otpori koji su unaprijed poznati i definišu se pomoću kliznog reostata.
Praktično, kada se želi odrediti željena površina potencijala , električni otpornici se podešavaju prema navedenom izrazu, kako bi dali isti količnik. Tada se sondom traže tačke na provodniku za koje je most u ravnoteži. Te tačke leže na ekvipotencijalnoj liniji. U svakoj tački tako dobivenog sistema ekvipotencijalnih linija brzina je normalna na njih, a njena veličina je jednaka gradijentu potencijala u toj tački. Na taj način se dolazi do odgovarajućeg sistema strujnih linija.
6.7.
URAĐENI PRIMJERI
6.7.1.
PRIMJER: POTENCIJALNO STRUJANJE (1)
Funkcija potencijala brzine ravanskog potencijalnog strujanja nestišljivog fluida je:
Odrediti linije konstantnog pritiska uz pretpostavku da je strujna ravan horizontalna. RJE Š ENJE
Strujna ravan je horizontalna:
.
Za određivanje linija konstantnog pritiska uzimamo:
10
Sir Charles Wheatstone
Linije konstantnog pritiska su koncentrični krugovi.
6.7.2.
PRIMJER: POTENCIJALNO STRUJANJE (2)
Pri ravanskom potencijalnom strujanju idealnog nestišljivog fluida specifične težine , u vertikalnoj ravni , projekcije brzine su:
Odrediti:
a) Funkciju potencijala brzine . b) Strujnu funkciju i skicirati strujnu sliku. c) Zakon rasporeda relativnog pritiska ako se pretpostavi da je pritisak u koordinatnom početku atmosferski , a osa usmjerena prema gore.
Š ENJE RJE a)
b)
Slika 6.5.: Strujna slika
c) Koristeći Bernulijevu jednačinu, dobivamo:
Za
, imamo:
Napomena: Uslov ortogonalnosti ekvipotencijalnih i strujnih povr š ina dvodimenzionalnog strujnog toka je:
6.7.3.
PRIMJER: SLAGANJE POTENCIJALNIH STRUJANJA
Ravansko strujanje nestišljivog fluida je određeno funkcijom potencijala brzine:
a) Naći strujnu funkciju. b) Napisati jednačinu nulte strujnice i skicirati strujno polje. c) Izračunati protok kroz konturu omeđenu tačkama
RJE Š ENJE
a)
b)
Slika 6.6 .: Složeno potencijalno strujanje
Strujno polje, slika 6.12., predstavlja opstrujavanje kružnog cilindra (dipol) sa paralelnom strujom u pravcu ose.
c)
PRIMJER: POTENCIJALNO OSNOSIMETRIČNO STRUJANJE
6.7.4.
11
Data je funkcija potencijal brzine osnosimetričnog prostornog strujanja nestišljivog fluida:
a) Pokazati da je ova funkcija harmonijska. b) Odrediti odgovarajuću strujnu funkciju . c) Skicirati strujne linije u ravni simetrije (meridijanskoj ravni) i naznačiti smjer strujanja. d) Ako je
i ako su
pozitivnog dijela
zadani u metrima, odrediti strujnu povr šinu oko
ose tako da između te povr šine i ravni
protiće
fluida. RJE Š ENJE
a) Svaka funkcija koja je neprekidna i ima neprekidne izvode prvog i drugog reda i koja zadovoljava Laplasovu parcijalnu diferencijalnu jednačinu naziva se harmonijska funkcija. Prelaz na cilindrične koordinate se izvodi preko smjene:
Laplasova jednačina u cilindričnom koordinatnom sistemu je:
Prema tome funkcija je harmonijska.
b) Komponente brzine u cilindričnom koordinatnom sistemu su:
11
Za strujanje koje je istovjetno u svim ravnima koje prolaze kroz neku osu, kaže se da je osnosimetrično.
c) Nulte strujnice su koordinatne ose i , odnosno u prostoru ravan osa . Jednačina strujnih linija u meridijanskoj ravni je:
o strujanje Slika 6.7.: Osnosimetri čn
, a u prostoru obrtne povr šine koje nastaju rotacijom
Strujne linije su hiperbole u ravni strujnih linija oko ose.
Smjer strujanja se određuje prema komponentama brzine:
d) Protok pri osnosimetričnom strujanju između dvije strujne povr šine je:
i
