Uvod: Prednosti Mathcad-a
Mathcad je jedinstveni i vrlo jak inženjerski programski alat za rad s jednadžbama, tekstom i
grafovima. Za razliku od drugih matematiþkih programskih paketa, Mathcad izvodi matematiþke proraþune na isti naþin kao i korisnik, raþun izgleda i organiziran je kao da je ruþno napisan na papiru. Mathcad -ovo korisniþko suþelje je prazan radni list (worksheet) u kome korisnik upisuje svoje
jednadžbe, crta podatkovne grafove ili funkcije, ispisuje tekst uz proraþun bilo gdje na radnom listu. Umjesto da prisiljava korisnika u korištenju i uþenju programerskih sintaksi, Mathcad koristi pristupaþni i intuitivni matematiþki jezik.
U uobiþajenom programskom jeziku, na primjer, kvadratna jednadžba ima sljedeüu formu:
x=(-B+SQRT(B**2-4*A*C))/(2*A)
U tabliþnom kalkulatoru, kvadratna jednadžba se izvodi nad üelijama i poprima sljedeüi oblik:
+(-B1+SQRT(B1*B1-4*A1*C1))/(2*A1)
U Mathcad -u, ista kvadratna jednadžba je oblika kao da je preuzeta iz udžbenika ili ruþno pisanog proraþuna:
x
b
b
2
4ac
2a
Velika prednost Mathcad -ovih jednadžbi i grafova je da su isti “živi”, konstantno se obanvljaju. Promjenom bilo kog podatka, varijable ili jednadžbe, Mathcad üe trenutaþno iznova izraþunati sve matematiþke izraze, trenutaþno obnoviti sve grafove. Korištenjem Mathcad -a mogu se riješiti razliþiti tehniþki problemi – od vrlo jednostavnih, do vrlo složenih, i to numeriþki ili simboliþki. Vizualizacija jednadžbi i podataka je vrlo jednostavna koristenjem 2D i 3D grafova. Mathcad sadrži sve potrebne 1
programske alate za cjelovito rješavanje inženjersih problema, od poþetka do kraja, daje korisniku moguünost analize problema, razrade ideja, analize podataka, ..., te prezentaciju rješenja i razmjenu podataka. Sve je to zbog bogatog i veü spomenutog pristupaþnog matematiþkog jezika.
A Kratki pregled moguünosti Mathcad-a
U Mathcad-u je moguüe:
1. Izvoditi matematiþke operacije sa ugraÿenim funkcijama i matematiþkim operatorima Matematiþki operatori dostupni su preko posebnih matematiþkih alatnih traka do kojih se može lako pristupiti na vrhu stranice preko Math alatne trake. Za unos izraza, prvo je potrebni kliknuti na radnom listu na željeno mjesto i tu üe se pojaviti crveni kurzor, nakon toga se klikne na željeni matematiþki operator iz bilo koje od posebnih matematiþkih alatnih traka. Pregled svih ugraÿenih matematiþkih funkcija može se preko izbornika Insert , te odabirom Function ili klikom na gumb Insert Function (umetni funkciju):
Crveni kurzor
Math alatna traka
Insert Function gumb
Evo nekoliko primjera. Ovi su primjeri u programu izraþunati na 15 decimala, ali se rezultat obiþno prikazuje s mnogo manje decimala – potrebno je kliknuti na brojþani rezultat i odabrati u izborniku 2
Format opciju Result , nakon toga promijeniti broj decimala kroz polje Number of decimal places u
komunikacijskom prozoru. Isti komunikacijski prozor se otvara i duplim klikom na brojþani rezultat kome se mijenja broj prikazanih decimala.
Za donji izraz iskoristite funkcije drugi korjen i potenciranje iz Calculator matematiþke alatne trake . Takoÿer utipkajte znak = za dobivanje rezultata. Za osnovne raþunske operacije koristite znakove + , - , * i / na tipkovnici.
1.83 837 7 10 100
3
3
5
2.3142353232
Brojne standardne inženjerske i matematiþke funkcije veü su ugraÿene u Mathcad .
3
log( 1347 47.2 .2) sin
5
S 2.976
Funkcije i operatori u Mathcad -u mogu raþunati i s kompleksnim ko mpleksnim brojevima ...
( 2.3
4.7i )
3
e
3
2i
148.613
47.498i
... i mjernim jedinicama. Pregled svih ugraÿenih mjernih jedinica moguü je odabirom opcije Unit u Insert izborniku ili klikom na Insert Unit gumb.
Insert Unit gumb
2350 23 50 km 1 652.78 m sec 1 hr
3
2. Definirati vlastite varijable i funkcije
Definicijski simbol := nalazi se na Evaluation alatnoj traci
, ili se može unijeti preko tipkovnice sa
znakom dvotoþke (:).
a
4
a
a 6
Kad se promijeni definicija varijable, Mathcad trenutaþno izraþunava i obnavlja sve rezultate koji ovise o promijenjenoj veliþini.
f( x)
sin ( x) x a
f( 10 ) 0.218
Provjera: Kliknite desno od brojke 4 u definiciji za a i pojaviti üe se okvir za promjenu (editiranje) vrijednosti:
Nakon toga pritisnite [Backspace] jednom da se pojavi kuüica za unos veliþine:
Sada utipkajte 3. Kliknite mišem bilo gdje na ekranu i prethodni numeriþki rezultati üe se promijeniti
3. Izraþunavati funkcije i izraze za nizove brojeva 4
Operator za niz brojeva .. nalazi se na Matrix numeriþkoj alatnoj traci
ili se može unijeti preko
tipkovnice sa znakom toþka-zarez (;). Definiraj niz z kako slijedi:
z
0 .5 2
Za ispis gornjeg niza brojeva potrebno je ukucati z=. Za ispis vrijednosti funkcije f ovog niza brojeva potrebno je samo ukucati f(z)=, za izraþun donjeg eksponencijalnog izraza ...
z
f ( z)
exp( f( z) ) z
0 0.5 1 1.5 2
0 3.835 3.366 2.66 1.819
0 23.156 28.959 21.444 12.326
Promjenom 2 u definiciji za z na 4, Mathcad üe za gornje rezultate automatski ispisati veüe tabele s rezultatima.
4. Crtati grafove funkcija
Koristite X-Y Plot gumb
koji se nalazi na Graph numeriþkoj alatnoj traci
ili se može unijeti
preko tipkovnice sa znakom (@). Nakon toga unesite izraze koje želite grafiþki prikazati tako da popunite kuüice za unos veliþine po sredini x i y osi. Izraze je moguüe unijeti samo na y-osi, a Mathad üe odabrati osnovni niz brojeva na x-osi. Moguüe je unijeti i nekoliko izraza za simultano iscrtavanje grafova, oni tada unose sa znakom zarez (,), nakon þega se pojavljuje nova kuüica za unos veliþine.
5
4
f( x)
2
sin( x) 0
2
10
0 x x
10
5. Raþunati sume (redove) i integrale
Operatori za sumiranje i integriranje nalaze se na Calculus numeriþkoj alatnoj traci
. Za unos
izraza, kliknite na radni list da se pojavi crveni kurzor, nakon toga odaberite željeni operator iz alatne trake i popunite sve kuüice za unos veliþine.
10 1 n=0
1
2.7182818
n
1 1
2
dx 0.785
x
0
6
6. Izvoditi matriþni raþun
Za unos matrice pritisnite Matrix or Vector operator
koji se nalazi na Matrix
numeriþkoj
alatnoj traci ili koristite preþac istovremenim pristiskom tipki Ctrl M . U otvorenom prozoru Insert Matrix unosi se broj redova i stupaca željene matrice. Nakan toga potrebno je popuniti brojþane
vrijednosti u kuüice za unos podataka unutar matrice. Potrebno je definirati matricu A kao 3x3 matricu sa sljedeüim vrijednostima:
A
4
5
1
5
0
12
7 2
8
Za izraþun inverzne matrice potrebno je utipkati A^-1= A^-1=. .
0.074 0.117 0.184 A
1
0.135 0.12
0.163
0.031 0.132 0.077 Za izraþun determinante zadane matrice koristite Determinant operator
koji se nalazi na Matrix
numeriþkoj alatnoj traci:
A 326
7. Rješavati nultoþke jednadžbe Mathcad -ova funkcija za pronalaženje nultoþaka funkcije je root. Prije pozivanja funkcije root
potrebno je definirati probližnu vrijednost za traženu nultoþku pošto neke funkcije posjeduju više od jedne nultoþke, root funkcija üe pronaüi nultoþku koja je najbliža zadanoj poþetnoj vrijednosti. Za zadanu kvadratnu funkciju f(x) potrebno je izraþunati obje nultoþke: 2
f ( x)
x
3
x 7
7
Gornju funkciju moguüe je vizualuzirati na X-Y grafikonu 40
iz Graph numeriþke alatne trake
.
0
30 f ( x)
20 10 0
10 10
0
5
0
5
10
x
Iz grafa je vidljivo da postoje dvije nultoþke, jedna pozitivna na poziciji oko +3, te jedna negativna na poziciji oko -6. Za pronalazak pozitivne nultoþke definirati üemo poþetnu toþku za pronalazak nultoþke:
x 3 root ( f ( x) x)
3.3218253805150195
Za pronalazak negativne nultoþke, moguü je i slijedi raþun:
x 6
x2 root ( f ( x) x)
x2 6.321825380514135
Indeks 2 u varijabli x2 upisuje se na naþin x.2. Za razliku od pozitivne nultoþke, negativna nultoþka je na ovaj naþin trajno pohranjena u varijabli x2 . Provjera:
11
5.676 u 10
f x2
Kako se radi o numeriþkoj, a ne analitiþkoj (simboliþkoj) analizi, gornje nultoþke su odreÿene na visok stupanj toþnosti, ali nisu egzaktne. Toþne vrijednosti gornjih nultoþki su:
§ 93 3 · · ¨ 2 2 ¸ § 6.3218253804964775 ¨ 93 3 ¸ © 3.3218253804964775 ¹ 2 2 ¹ © 8
8. Izraþunavati sisteme jednadžbi Mathcad omoguüava jednostavno rješavanje sistema jednadžbi i nepoznanica korištenjem Given-Find
blok funkcije. U sklopu ove blok funkcije potrebno je popisati se sve jednadžbe koje vežu nepoznate varijable. Kod linearnih sistema postoji jedinstveno rješenje sistema jednadžbi (npr. presjek 2 pravca), no kod nelinearnih sistema rješenje ne mora biti jedinstveno (npr. presjek pravca i parabole). Iz tog razloga, prije Given-Find bloka potrebno je definirati poþetne vrijednosti za svaku nepoznatu varijablu kao poþetne vrijednosti za pronalazak rješenja. Znak jednakosti u izrazima unutar Given-Find bloka je “logiþki” jednako
iz Boolean numeriþke alatne trake
x0 0
y 0 0
5 x0 y 0
2
2 x0 y 0
10
, ili pritisak na tipke Ctrl +
Given
Find x0 y 0
§ 4 · © 18 ¹
Gornji sistem predstavlja presjek 2 pravca, a traženo rješenje je toþka presjaka
f 1( x) 5 x 2
x0y0
:
f 2( x) 2 x 10 60
0
40 f 1( x) 20 0 f 2( x) 20
40 60 10
0
5
0
5
10
x
Ovaj sistem moguüe je riješiti i matriþnim raþunom na naþin :
§ 5 © 2
1 · 1 ¹
1
§ 2 · § 4 · © 10 ¹ © 18 ¹ 9
9. Linearna int erpo erpol acija acija U inženjersk oj oj prak si si k oriste oriste se razne iskustvene tablice za odreÿivanje vrijednosti k oje oje su potrebne za daljnji proraþun. Tablice su nastale prik upljanjem upljanjem rezultata ek sperimenata sperimenata i predstavljaju disk retni retni sk up up podatak a, a, tj. u tablicama se nalaze samo one vrijednosti podatak a k oje oje su ek sperimentalno sperimentalno odreÿene. Za odreÿivanje meÿuvrijednosti k oristi oristi se interpolacija.
Najþešüe se upotrebljava linearna interpolacija. Linearna interpolacija može se objasniti na sljedeüi naþin:
x
Uzimu se dvije susjedne toþk e podatak a
x
ovisnost izmeÿu dviju toþak a aprok simira simira se linearnom funk cijom. cijom.
x
Pomoüu funk cije cije interpolacije odreÿuje se vrijednost funk cije cije za poznati
i
,
:
Primjer: Iz tablice su oþitani toplinsk i k apaciteti apaciteti vode
i
. Treba izraþunati
.
Rješenje:
ciju za linearnu interpolaciju: linterp( Mathcad sadrži ugraÿenu funk ciju može ak tivirati tivirati prek o gumba Insert Function
,
cija se , ). Funk cija
na alatnoj traci Standard toolbar, a
nalazi se u sk upini upini naredbi Interpolation and prediction.
Funk cija cija linterp ( zadani vek tori tori
, ) daje vrijednost linearne interpolacije za poznati , ak o su
,
i
.
Pri tome:
x
je ve k tor tor realnih podatak a, a, poredanih po rastuüem redosljedu
x
je vek tor tor realnih podatak a, a, k oji oji sadrži jednak i broj podatak a k ao ao
x
je vrijednost nezavisne varijable za k oju oju trebamo interpolirati rezultat
Preporuk a je da vrijednost
zadovoljava uvjet
.
Slijedi rješenje primjera u Mathcad-u
Primjer: Iz tablice su oþitani toplinsk i k apaciteti apaciteti vode
Rješenje u Mathcad-u: C p
t
( 29 29.2 .228 28 29 29.3 .38 83 )
( 200
300 )
T
T
29.329
linterp t C p 265
i
. Treba izraþunati
.
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
1.zad.
α 56.45 deg
x
2.zad.
PA1 PA 1 vježba 3
β 24.33 deg
25.472 sin( α) cos( 3 α
2
x
tan ta n( 2. 2.71 718 8 π)
2 β)
α 35.7 deg ( sin( α)
x
f
tan( α β) )
0.6 7 4
3 x
y
1 x
4.zad.
a 15.6
x
5.zad.
3
0.123 b
1
cos
2
cos β
22.5836865
x
0.1735340
f
3.344271
2.5
§ π · © 18 ¹
§ ©
log 18
x y
2 · 1 ¹
y
7.59 ( 0.354 b
c 12.3
c)
0.113 a
13 ( 0.354 b
c) x
ln( b )
61.0200076
b 26.87
§ a © a b
0.269
· 1 · § 3 b ¹ 3 log© a b a ¹ 2
2.03
2
ln( b )
2
α
2
log( a)
3
y
b 18.2
a 37.03
x
x
1.348
β 22.15 deg
tan( 2 α)
3.zad.
10. ožujak 201 2011. 1.
log ( a) 0.85 ( a b)
5
x
1.49356
6.zad.
α0 2 deg
M t1 5.12 4
IP 66 cm
α α0
7.zad.
Q0 19
k N
Mt2 2.1
m
k N
a 300 mm
Mt1
3a
G IP
Mt2
G IP
a
0.19781 rad
gm
ρ 0.984
k W
cw 4187
3
cm QV
8.zad.
G 37 GPa
m
Q0
ρ cw ΔT
976.5829
J k g
ΔT 17 K
K
L hr
dm 0.1m Wa 151990N q
39k N
W b 0.063MN
x a 102cm
H 6325 mm
b 53.7 dm
Pq 42136N
x b 0.0022k m
F 1.54
Wa x a W b x b Pa
H 3
q b
F Pq
H 2
F
Pa 917 91734. 34.6 6N
9.zad.
m0 928 gm
v 0 12.9
k m
hr
Given m0 v0 2
2
= m0 g
δ Find( δ)
§ c δ2 · R © 2 ¹
61.233 mm
g 9.81
m 2
s
R 50 cm
c 0.75
N mm
δ 10 mm
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo 1.zad.
a 48.87
PA1 PA 1 vježba 4
b 22.42
vc 17.85
§ vc · 52.765 © b ¹
α asin
c b cos( α)
O a
b
10. ožujak 201 2011. 1.
§ vc · 21.423 © a ¹
β asin
deg
a cos( β)
c
130.3494
deg
59.059
2.zad.
§ 1 1 1 1 · ¨ 2 3 1 3 ¸ ¨ 3 1 4 4 ¸ © 1 2 2 1 ¹
1
§ 5 · § 2 · ¨ 21 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 33 ¸ ¨ 1 ¸ © 7 ¹ © 5 ¹
3.zad. Odredi graniþni iznos težine utega Q kod koje üe sustav utega zadan na slici biti još u ravnotežnom položaju? Zadatak 5.5:
Zadano:
α 15 deg
μ0 0.25
G1 200 N
φ atan μ0
G2 350 N
14.036 deg
Nakon mehaniþke analize, gornji problem prelazi u sistem 4 jednadžbe s 4 nepoznanice F1 ,F 2 ,S 2 , i F12 .
Matriþna metoda:
§ cos(φ) ¨ sin( φ) A ¨ 0 © 0 1
x A
b
sin( φ) cos( φ) sin( φ) cos( φ) T
x
1
· 0 0 ¸ 1 sin( α φ) ¸ 0 cos( α φ) ¹
0
§ 0 · ¨ G1 G2 ¸ b ¨ 0 ¸ ©
( 132.887 600.149 274.477 265.614 ) m
¹
G2
k g
2
s
l 24.23 m
4.zad.
α 11.62 deg
γ 90deg
β
43.77 deg
ϕ 90deg
α
101.62 deg
δ 180deg
ϕγ
l
c
sin( ϕ)
sin( δ) c
x
sin si n( 90 90de deg g)
β 46.23 deg
34.61 deg
41.7 41 .79 9m
sin( β)
l
30.173 30. 17396 96 m
tan( β) tan( β)
tan( α)
30.173 30. 17396 96 m
5.zad. Kolika treba biti težina valjka G za jednoliko spuštanje utega Q, ako je faktor trenja na svim dodirnim površinama jednak? Zadatak 5.3:
Zadano: Q 150 N
μ 0.3
μ S2 Q e
φ atan( μ)
16.699 deg
π 2
93.634 93. 634 m
k g
2
s
Nakon mehaniþke analize, gornji problem prelazi u sistem 3 jednadžbe s 3 nepoznanice F AN,F BN, i G.
2. Matriþna metoda: m etoda:
§ μ 1 A
1
¨ © μ 1
x A
μ
1
μ
0 ¹
b
§ S2 · b ¨ 0 ¸ © S2 ¹
0 ·
¸
T
x
( 16 168. 8.06 062 2 14 144. 4.05 053 3 21 211. 1.27 277 7)m
k g
2
s
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
1.zad.
PA1 PA 1 vježba 5
57 28 ·T § XY © 43 4 ¹ x C 168
x
f ( x)
y C f x C
¢0²
linterp XY
10. ožujak 201 2011. 1.
100 200
¢² XY 1 x
321.6552 400
0
300
¢1²
200
XY
f ( x)
100
yC
0
0
100 200 100
0
100
¢0²
XY
2.zad.
§ 0 t0_ σ0 © 0% f ( x)
1
3
7
28
25% 50% 70% 90%
¢1²
linterp t0_σ 0
200
x xC T
· 98% ¹ 90
x 0 % 1% 1% 100%
¢² t0_ σ0 0 x
0.8
¢1² 0.6
t0_ σ0 x
0.4
0.2
0
0
20
40
60
¢0²
t0_ σ0
f ( x)
80
3.zad.
n
1
Fmax 150
4
c 2.5
a
Fmax n
f1_F( x )
a x
n
ΔLmax
§ 0 ΔL_F © 0
f ( x)
ΔLmax 100
2
8.5
26
41
63
56.41 80.99 107.11 120.03 133.64
f2_F ( x )
c x
¢0²
T
· 148.09 ¹ 95
linterp ΔL_F
¢² ΔL_F 1 x
x
0 5 100
150
¢1²
100
ΔL_F
f2_F( x) 50
0
0
20
40
60
¢0²
ΔL_F
80
100
x
5.zad. Kolika treba biti težina valjka G za jednoliko spuštanje utega Q, ako je faktor trenja na svim dodirnim površinama jednak? Zadatak 5.3:
Zadano: Q 150 N
μ S2 Q e
μ 0.3
φ atan( μ)
16.699 deg
π 2
93.634 93. 634 m
k g
2
s
Nakon mehaniþke analize, gornji problem prelazi u sistem 3 jednadžbe s 3 nepoznanice F AN,F BN, i G. 1. Rješenje pomoüu "Given - Find" blok funkcije:
FAN 0 N
FBN 0 N
G 0 N
r 1 m
Given
μ FAN FBN
S2 = 0
FAN μ FBN
G=0
μ FAN r μ FBN r S2 r = 0
FAN
T
FBN G Find FAN FBN G
( 168 68.0 .062 62 14 144. 4.0 053 21 211. 1.27 277 7)m
k g
2
s
6.zad. OPRUGA SIGURNOSNOG SIGURNOSNOG VE NTILA Potrebno je konstruirati cilindriþnu zavojnu tlaþnu oprugu iz patentirane žice C klase za sigurnosni ventil 20 bar i nazivnog otvora NO 6 mm. Maksimalna dužina podizanja pladnja je 4 mm pri sili F2=1.25*F1. Proraþun za M9x1.
p a 1 bar
p 20 bar
d v 6 mm
A
dv
2
4
π
2
28.274 mm
Δf
4 mm mm
G 81.4 GPa p A = p a A F1 F1 p
pa A 53 53.7 .72 2N
F2 1.25 F1
Fmax F2
67.1 67 .15 5N
dop karakteristika opruge: opr
§ 0.5 © 5
f_ τdop( d )
1200 · 800 ¹
¢0²
linterp opr
¢1²
mm opr
MPa d
Pretpostavljene vrijednosti vrijednosti za opru oprugu: gu: d
1.5 mm
Dsr 6 mm
τdop f_ τdop( d ) 3
d
2
1111.11 MPa
Fmax Dsr
π τdop
0.974 mm
d 1 mm mm
τdop f_ τdop( d)
1155.56 MPa
τ1
8 F1 Dsr d
3
820.8 MPa
π
8 Fmax Dsr
τmax
d
3
1026.0 MPa
π
Karakteristika opruge: c=
ΔF
F2
c
Δf
F1
Δf
3.36
N mm
Broj radnih navoja: n r
d
4
G
3
8 Dsr
14.03
c
Ukupan broj navoja: n uk = nr ( 1.5 2 )
n uk 15.5
Dužina blokiranja opruge: LB n uk d c=
ΔF
15.5 mm f 1
Δf
F1 c
f 2
16 mm
F2 c
20 mm
Dužina neoptereüene opruge: L0 LB
f 2
35.5 mm
7.zad. Za koliko kg je teži 1 m3 vode pri temperaturi od 50°C u odnosu na 70°C? 3
V 1 m
Gustoüa vod vode e (temperaturna (temperaturna funkc ija):
§ 0 gustoca © 62.42 f_ ρ( T)
§ ©
4
20
¢0²
linterp gustoca
¢1²
°Cgu gust stoc ocaa
lb 3
ft
T
· 60.65 ¹ 80
T ·
¹
m2 f_ ρ T2 V 987.618 k g
T1 70°C
60
62.42 62.28 61.92 61.39
T2 50°C
Δm m2
40
m1 f_ ρ T1 V 977.447 k g m1
10.172 k g
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
1.zad.
§ 1.80 XY © 3.80
''PA1'' ''PA 1''
13.80 23.10 37.90 48.20 56.90 · 6.22
¢² XY 1
α 36.218 deg
sin( α)
f ( x )
x 0 XY
slop sl opee XY
T
N 2
14.69 24.47 33.99 35.01 ¹
¢0²
k
vježba 6
¢0²
l intercept XY
0.732383
¢² XY 1 3.748984
α atan( k )
x
k
l
0.590865
y 0 XY
N 0
y0
N 1
f x 0
1.5209
40
30
¢1²
XY
20
f ( x) 10
y0
0
10
0
20
40
¢0²
XY
2.zad.
§ 39 XY © 29.60 x C
k
155.3 ·
60
x x0
T
108.88 ¹
65.6 ¢0²
slop sl opee XY
f ( x )
k
x
y C f x C
¢² XY 1
l
48.558
0.7127
¢0²
l intercept XY
¢² XY 1 1.8042
200
¢1²
0
100
XY
f ( x) yC
0
0
100 100
0
100
¢0²
XY
3.zad.
200
x xC
§ 7.59 11.77 27.88 35.71 45.94 52.00 · XY © 14.44 54.01 118.05 171.26 209.3 250.7 ¹ k
f ( x)
¢0²
slo lope pe XY
k
y
f1( y )
x
l
y 0 f ( 0 )
l
xx0 f1( 0)
k
aa y 0
P
¢² XY 1 5.063253
T
¢0²
l intercept XY
¢² XY 1
16.3553
3.2302
bb xx0
aa bb 2
26.4154
0
100 ¢1²
XY
f ( x)
200
300
0
10
20
30
¢0²
XY
40
x
50
60
16.355305
4.zad.
§ 4 t0_ ρ0 © 999.972 t 0 30°C f ( x)
10
15
¢0²
ρ0
40
· 983.2 ¹ 60
T
dm 10cm
masa 1k g
linterp§ t0_ρ 0
masa
30
999.7026 999.13 998.2071 995.6502 992.2
¢1²
°C t0_ρ 0
k g
3
© V
20
m
x ·
ρ0 f t0
¹
k g
3
m
3
995.6502
x 4 4. 4.1 6
1.004369 dm
995
¢1²
t0_ ρ0
¢0²
lint li nter erp p t0 t0_ _ ρ0
¢1² t0_ ρ0 x
990
985
980
0
20
40 t0_ ρ0 x
60
VELV Proiz Proizvodno vodno strojarst strojarstvo vo
''PA1'' ''P A1''
vježba 7
Funkcija root, tri glavna sluþaja u kojima koristimo funkciju root:
x x x
odreÿivanje nultoþaka odreÿivanje nultoþak a odreÿivanje ekstrema funkcije (nultoþka derivacije) odreÿivanje vrijednosti apscise sjecišta funkcija (nultoþka razlike funkcija)
Zadane su funkcije f ( x ) 7 x g ( x)
2
12x
2
5x
7x
2
13
Nultoþke funkcije g(x): x 1 1.5
x 1 root g x1 x 1
1.373
x 2
x 2 root g x2 x 2
0.789
1
Minimum funkcije f(x) x 3
1
§ d f x x · 0.357 3 3 dx 3 © ¹
x 3 root
Sjecište funkcija f(x) i g(x):
x 4
1
x 5 3
x 4 root g x4
f x4 x4 0.907
x 5 root g x5
f x5 x5 3.307 x
5 4.99 5
1
400
300
f ( x) g( x)
g x1
200
g x2
f x3
100
f x4
f x5
6
4
2
0
2
4
6
100 x x x1 x2 x3 x4 x5
2
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
''PA1'' ''PA 1''
vježba 7
Hidrauliþkii s ustav za nav Hidrauliþk navodnjav odnjavanje anje zelene površine površine usisava us isava vodu gustoü gustoü e =1000 kg/m3 s podzemnog bunara dubine h0=4 m. Pumpa je tipa GRUNDFOS UP 25-80, a koeficijenti svih lokalnih ( 1, 2,...) i ukupnog linijskog gubitka (L ) specificirani su na slici. Karakteristika pumpe H(Q) dana je tabelarno, gdje je H visina dobave pumpe [m], a Q protok vode kroz pumpu [m 3/h]. Strujni presjek cijevi instalacije je du=27.2 mm. Potrebno je odrediti satnu potrošnju vode za navodnjavanje Q0? Kolika je satna potrosnja vode u sluþaju prikljuþenja dodatne pumpe prikljuþene serijski iza postojeüe, Qs?
3
ρ 1000 k g m
h0 4 m
ζ1 3
ζ3 5
ζ2 2
2
d u 27 27.2 .2 mm
ζ4 1
g 10 m s
ζL 10
************************************************************************************************************************ 4Q f_v( Q d ) 2
d π f_Hg ( Q d ) h 0
§ 0 data © 8.4
ζ1
1
2
3
4
ζ3 ζL 5
6
3
hr
2
2g
7
· 1.6 ¹ 8
7.8 7.3 6.6 5.9 5.0 4.0 2.8
m
Q 0 0. 0.1
2 ζ2
f_v( Qd )
§ ¢0² f_H p ( Q) linterp data ©
T
hr
¢1²
data
· m Q ¹
3
10
m
hr
3
Q0 0
3
m
3
m
Q0 ro root ot f_H f_H p Q0
f_HgQ0 du Q0 3.150
hr
6.49 495 5m 6.
f_Hg Q0 d u
f_H p Q0
m
hr
6.49 495 5m 6. 3
Qs Q0
Qs root 2 f_H p Qs
f_HgQs du Qs 4.934
10.119 119 m 10.
f_Hg Qs d u
2 f_H p Qs 20
Q0
Qs
3 1 m hr
3 1 m hr
m
hr
10.119 119 m 10.
15 f_H p( Q )
10
f_Hg Q du 2f_H p( Q)
5
0
0
2
4
6
8
10
Q 3 1 m hr
1
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
''PA1'' ''PA 1''
vježba 7
U hidrauliþk hidrauliþk i s ustav iz prethod prethodnog nog primjera ugraÿe ugraÿena na je nakon rekonstrukc ije sustava s ustava nova pumpa pumpa tipa GRUNDFOS UP 32-80. Odredite novu satnu potrošnju vode Q0? Koliko iznosi mehaniþka (P0=gHQ) i elektriþna snaga pumpe (iz priloženog dijagrama)? Koliki je u tom sluþaju stupanj djelovanja pumpe?
3
ρ 1000 k g m
h0 4 m
2
d u 27 27.2 .2 mm
g 10 m s
ζ1 3 ζ2 2 ζ3 5 ζ4 1 ζL 10 ************************************************************************************************************************ 4Q f_v( Q d ) 2
d π f_Hg ( Q d ) h 0
§ 0 data
7.9
¨ © 145
ζ1
2 ζ2
ζ3 ζL
2
2g
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 ·
7.6
7.2
6.8
6.3
5.8
5.3
4.8
4.2
3.6
3.0
2.4
T
¸
170 190 220 235 250 255 260 265 266 265 265 ¹
§ ¢0² f_H p ( Q) linterp data ©
m
§ ¢0² f_P p ( Q) linterp data ©
m
3
m
Q 0 0. 0.1
f_v( Qd )
hr
3
hr 3
hr
· ¹
¢² data 1
m Q
¢² data 2
W Q
· ¹
3
11
m
hr
3
3
m
Q0 0 hr
Q0 ro root ot f_H f_H p Q0
f_HgQ0 du Q0 3.259
6.67 67 m 6.
f_Hg Q0 d u
f_H p Q0
P0 ρ g f_H p Q0 Q0
m
hr
6.67 67 m 6.
60.3 60 .39 9W
223.88 .889 9W 223
f_P p Q0
ηP
10
f_P p Q0
26.9 26 .973 73 %
Q0 3 1 m hr
8
f_H p( Q )
P0
6
f_Hg Q du
4
2
0
0
5
10 Q
3 1 m hr
1
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
''PA1'' ''PA 1''
vježba 8
( A B C ) ( 5 40 67 ) f ( x ) A x
§ x1 ·
2
Bx
C
§ y1 ·
§ f x1 · § 173 · ¨ y2 ¸ ¨ f x2 ¸ ¨ 22 ¸ ¨ y ¸ ¨ f x ¸ © 102 ¹ © 3 ¹ © 3 ¹
§ 4 ·
¨ x2 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ x ¸ © 7 ¹ © 3 ¹
§ x1 · X
§ y1 ·
¨ x2 ¸ ¨x ¸ © 3 ¹
Y
¨ y2 ¸ ¨y ¸ © 3 ¹
Poznate su tri toþke na paraboli drugog reda: P1 , P 2 i P 3. Odredite koordinate tjemena ove parabole?
x1 x2 x3
( 4 173 ) y2 ( 1 22 ) y3 ( 7 102 ) y1
************************************************************************************************************************ § d f x x · x 4.000000 x 0 0 x 0 root f x0 147 0 0 0 dx 0 © ¹
200
0
x0
f x0 100
f ( x) Y
0
0
100
200
0
5 x X
1
Poznate su tri toþke na paraboli drugog reda, P1, P 2 i P 3. Odredite koord k oordinate inate maks imuma ove parabole? parabole? Zadano: P1=(-4, -173), P 2=(-1, 22) i P 3=(7, 102) - jednadžba parabole drugog reda je oblika: y=A*x2+B*x+C, - A, B i C su nepoznati k oeficijenti zadane parabole parabole (mogu (mogu se odre odrediti diti Given-Find meodom ili matriþnim raþunom) - definirati funkc iju f(x) za opis gornje parabole, parabole, - za tjeme parabole iskoristiti uvijet f'(x0) (prva (prva derivacija derivacija funkcij funkcije e =0) - tražen maksimum funkcije y0=f(x0)
x1
y1
( 4
173 )
x2
y2
( 1
22 )
x3
y3
( 7
102 )
§ x1 · X
¨ x2 ¸ ¨x ¸ © 3 ¹
y=Ax A x1 A x2 A x3
§ y1 ·
2
Y
Bx
¨ y2 ¸ ¨y ¸ © 3 ¹
C
2
B x1
C = y1
2
B x2
C = y2
2
B x3
C = y3
§ x 2 1 ¨ M ¨ x 2 2 ¨ 2 © x3 AA 0
x 1 1 · x2 x3
§ y1 ·
¸ 1¸ ¸ 1 ¹
b
BB 0
¨ y2 ¸ ¨y ¸ © 3 ¹
x M
1
b
§ 5 ·
§ A ·
40
¨ ¸ © C ¹
¨ ¸ © 67 ¹
B
§ 5 ·
x
40
¨ ¸ © 67 ¹
CC 0
Given AA x 1 AA x 2 AA x 3
2
BB x 1
CC = y1
2
BB x 2
CC = y2
2
BB x 3
CC = y3
( AA BB CC ) f ( x ) A x g ( x)
x 0 0
d dx
2
T
Find( AA BB CC)
Bx
( 5 x
C
40 67 )
5 4.99 10
f ( x) x 0 root g x0 x 0
4
y 0 f x 0
147 2
200
x0 y0
100 Y f ( x)
0
g( x) 2
d
2
f ( x) 100
dx
200
300 5
0
5
10
X x x
3
VELV Proiz Proizvodno vodno strojarst strojarstvo vo
A ( 6
T
12
''PA1'' ''P A1''
T
B ( 1 5 0 )
0)
vježba 8
C ( 7
4
T
0)
T
ABC augment( A B C A)
Poznate su tri toþke u ravnini (x,y): A, B i C. Odredite površinu trokuta omeÿenog zadanim toþkama korištenjem Heronove formule. Takoÿer odredite parametre oružnice koja opisuje ovaj trokut. T
( 6 12
T
(1 5 0 )
T
(7
xA
yA
A
xB
yB
B
xC
yC
C
4
0)
0)
************************************************************************************************************************ 5
0
0
0
¢1² 5
ABC
10
15 10
5
0
5
10
¢0²
ABC
f_L( A B)
B0 A0
2
a f_L( AB )
18.385
b f_L( B C)
10.817
c f_L( C A)
15.264
f_s( a b c) f_P( a b c)
f_P( a b c)
a
b 2
c
B1 A1
f_s( a b c)
f_s( a b c) (f_ f _s( a b c) 82.5
2
22.233
a) ( f_s( a b c)
[ (B
A)
b) ( f_s( a b c)
u
(C
A) ] [ ( B 2
c)
A) u ( C
A) ]
82.5
1
X0
( 0
Y0 R
0 10 )
Given
X0
xA X0
2
yA Y0
2
xB X0
2
yB Y0
2
xC X0
2
yC Y0
2
T
FindX0 Y0 R
Y0 R
A ( 6
12 )
B ( 1 5 )
2
= R
2
= R
2
= R
( 2.191 3.627
C ( 7
9.198 )
4 )
§ 6 12 · 1 5 ¸ XY stack ( A B C A) ¨ ¨ 7 4 ¸ © 6 12 ¹
2
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
§ 1 1.19 VIJCI ¨ ¨ 1.59 © 1.99
10
''PA1'' ''PA 1''
11
50
51
100
101
vježba 8
500
501 1000 ·
T
¸ 1.29 ¸ 1.59 ¹
1.19 1.09 1.09 1.05 1.05 0.99 0.99 0.95 0.95 1.59 1.49 1.49 1.45 1.45 1.35 1.35 1.29 1.99 1.75 1.75 1.69 1.69 1.65 1.65 1.59
¢0² VIJCI¢1² N ¢0² ¢2² f_IM( N) linterpVIJCI VIJCI N ¢0² ¢3² f_KR( N) linterpVIJCI VIJCI N f_M6( N)
linterp VIJCI
f_UK N1 N2 N3
N1 f_M6N1 N2 f_IMN2 N3 f_KRN3
U veleprodaji vijþane robe poznate su cijene za tri proizvoda, cijene su ovisne o naruþenoj koliþini prema tablici: ... ... ... ************************************************************************************************************************
a)
f_UK( 47 157 89)
413.59
b)
f_UK( 189 36 22)
279.25
c)
f_UK( 600 249 137 )
d)
N 100
1132.20
N root( f_UK ( N N N) N 652 N N
1
2500 N)
f_UK( N N N)
2497.16
f_UK( N N N)
2500.99
652.74
1
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
''PA1'' ''PA 1''
vježba 9
Numeriþki odredite i prikažite na grafu kubnu aproksimaciju funkcije koja prolazi kroz toþke þije su koordinate zadane u matrici XY. Na grafu prikažite rezultate dobivene interpolacijskim funkcijama lspline, pspline i cspline
XY
§ 0 1 © 5 4
2 3
4
5 6 9 10 ·
5 2
2
4 7 1
¢0²
fl_X fl _XY Y( x ) interp lspline XY
¢0²
¢0²
interp cspline XY
df_X df _XY Y( x )
d dx
3 ¹
¢² ¢² ¢² XY 1 XY 0 XY 1 x
fp_X fp _XY Y( x ) interp pspline XY fc_X fc _XY Y( x)
T
¢² ¢² ¢² XY 1 XY 0 XY 1 x
¢² ¢² ¢² XY 1 XY 0 XY 1 x
ddf_ dd f_X XY( x )
fc_X fc _XY Y( x )
d dx
df_X df _XY Y( x ) z 0 0. 0.1 10
10
5
¢1²
XY
fl_ l_X XY( z) 0 fp_X fp _XY Y( z) fc_X _XY Y ( z)
5
10
0
2
4
6
¢0²
XY
z
8
10
Poznate su tri toþke na paraboli drugog reda, P1, P 2 i P 3. Odredite koord k oordinate inate maks imuma ove parabole parabole i prikažite najbolju kubnu aproksimaciju ove funkcije. Zadano: P1=(-4, -173), P2 =(-1, 22) i P 3=(7, 102).
x1
( 4
y1
173 )
§ x1 ·
y=Ax
2
( 1
( 5
40 67 )
22 )
x3
y3
§ y1 ·
¨ x2 ¸ ¨x ¸ © 3 ¹
X
y2
x2
Y
A 0
Bx
¨ y2 ¸ ¨y ¸ © 3 ¹
C
B 0
C 0
Given A x1 A x2 A x3
2
B x1
C = y1
2
B x2
C = y2
2
B x3
C = y3 T
( A B C ) Find( A B C) f (x)
g( x ) x0 0
Ax d dx
2
Bx
x
C
5 4.99 10
f ( x) x0 root g x 0 x0
y0 f x 0
147
4
( 7
102 )
200
x0 y0
100 Y f ( x)
0
g( x) 2
d
2
f ( x) 100
dx
200
300 5
0
5
10
X x x
x1
y1
( 4
173 )
x2
y2
( 1
22 )
x3
y3
( 7
102 )
A x1 y 1
B x2 y 2
T
XY augment A
BT CT 1
¨ © 7
¢0²
pll_X p _XY Y ( x ) interp lspline XY
dp_XY ( x )
¢0²
¢0²
interp cspline XY d
pc_X pc_ XY ( x ) dx
22
¸
102 ¹
¢² ¢² ¢² XY 1 XY 0 XY 1 x
pp_ p p_X XY ( x ) interp pspline XY pc_ p c_X XY ( x )
§ 4 173 ·
T
C x 3 y 3
¢² ¢² ¢² XY 1 XY 0 XY 1 x
¢² ¢² ¢² XY 1 XY 0 XY 1 x
ddp_ dd p_X XY( x)
d dx
dp_XY ( x) x
5 4.9 10
200
100
¢1²
XY
0
pl_ p l_X XY( x) pp_ p p_XY XY( x) pc_ p c_XY XY( x) f ( x)
100
200
300 5
0
5
¢0²
XY
x
10
VELV Proiz vodno strojarst strojarstvo vo
''PA1'' ''PA 1''
vježba 10
1. zadatak - simboliþko raþunanje 3
f (x)
k
f (2 )
f ( 5 )
ª 3 ¬ k ( 3 k )
¦
0
º o x3 6 x2 12 x 8 ¼
3 k
64
27 3
ox
f (x)
k
x 2
d
fd( x )
dx
6x
12 x 2
o3x
f ( x)
´ ff ( x ) µ ¶
2
f ( x ) dx
x
o
8
12 x
12
3
3xy
4
4
2x
2
8x
2
y
6x
2. zadatak - proširivanje izraza (x d dx d dx
3
3
y) expand
(x
y)
(x
y ) expand
3
ox
o 3 (x
3
y)
2
3x y
3
2
2
o3x
6xy
3y
2
3. zadatak - skraüivanje izraza x
e
2
3x
x
2 ln ln( a)
4
4
2x
simplify
5 simplify
oa
o3x
6
2
4. zadatak - limesi
lim x
x
2
o ∞ 3x
lim
x o a lim
x o 0
2 o 6
1
3a
3x a
b
2
sin( x ) x
o
3
a
b 2
o1
1
5. zadatak - rastavljanje na faktore x
4
4x
3
7x
2
22x
24 factor
o (x
3) ( x
4) ( x
2) ( x
1)
6. zadatak - sustavi s jednom jednadžbom 1 2
x
x = 2 solve x
o
4 3
x 0 Given 1 2
x
x=2
Find( x)
4
3
x x x
3
5x
2
4x
20
! 0 solve x o 5 x
2 x 2
7. zadatak - rješavanje sustava jednadžbi
§ x 2 π y = a · solve § x · o § a 2 π b b 4 a · © 4 x y = b ¹ © y ¹ © 8 π 1 8 π 1 ¹ Given x 2πy=a 4 x y = b
§ a 2 π b · Find( x y)
o¨
8π
1
¸ ¨ b 4 a ¸ © 8 π 1 ¹
7. zadatak - spremanje rješenja sustava Given x 2πy=a 4 x y = b
§ a 2 π b · H( a b)
Find( x y)
H( 8 5 )
§ 0.97 · © 1.119 ¹
o¨
8π
1
¸ ¨ ¸ © 8 π 1 ¹ b
4a
2
H( 8 5 )
1
1.119
§ a 2 π b · H( a b)
8π
o¨
1
¸ ¨ b 4 a ¸ © 8 π 1 ¹
Given x 2πy=a 4 x y = b
§ a 2 π b · 8π
o¨
1
¸ ¨ b 4 a ¸ © 8 π 1 ¹ § a 2 π b ·
M Find( x y)
M
8π
o¨
1
¸ ¨ ¸ 8 1 π © ¹
a 1
b
4a
b 10
c 12
8. zadatak - korištenje nekoliko simboliþkih naredbi uzastopce ili istovremeno
ax
2
b
x
solution a x
2
b x
solution
8.606
sol a x
2
a a
b b
1
§ 13 5 · § 1.3944487245360107069 · float o © 8.6055512754639892931 ¹ © 13 5 ¹
c = 0 solve x o
b
x
solve x c
float
solve x c
o
float
o
§ 1.3944487245360107069 · © 8.6055512754639892931 ¹
§ 1.3944487245360107069 · © 8.6055512754639892931 ¹
c c
9. zadatak - riješenje jednadžbe za razliþite varijable ax
2
b
x
c solve a
o
c
bx
x ax
2
b
x
c solve b
o
ax
2
2
c
x
3
ax
2
b
x
c solve c
2
o a x b x
§
b
¨ 2 ¨ 2 sol a x b x c solve x o ¨ ¨ b ¨ 2
© b
o 1
sol sol
1
2
b
2
b
2
4ac
2 a b
2
4ac
2
· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
a
4ac
2 a
8.606
Zadatak 10
§ 0 · 1
¨ ¸ 2 X ¨ ¸ ¨3¸ ¨4¸ ¨ ¸ © 5 ¹ fl( x )
§ 0.008923 · ¨ Y ¨ ¨ ¨ ¨ ©
0.532 0.602 0.166 0.451 0.057
¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹
interp( lspline ( X Y) X Y x)
fc( x ) interp( cspline( X Y) X Y x)
x 0 0. 0.1 5
fp( x) interp( pspline ( X Y) X Y x) 0.8
0.6 Y fl( x) fp( x) 0.4 fc( x) 0.2
0
0
1
2
3
4
5
X x
4
