UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” ´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA
trabajo de Matematica Basica
´ PARABOLA
“
”
Presentado por:
Burga Regalado Alexander Cruz Ugaz Carlos Joel Flores Cruz Efrain Fustamamnte Bustamante Ricardo Jauregui Seclen Franco
LAMBAYEQUE
2012
− PERU´
Codigo: 112369 G Codigo: 112374 K Codigo: 115658 J Codigo: 112377 J Codigo: 115660 D
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola abola
P´ agina: ¢2 ¡
1. Halle el vertice vertice , el foco y la ecuaci´ on de la directriz , de cada una de las siguientes on parabolas . a ) x2
− 4x − y + 3 = 0 (x − 4x + 4) − 4 − y + 3 = 0 (x − 2) = (y + 1) 2
2
V = (2, (2, 1) p =
1 4
>0 − F = (2, (2, −1 + ) → F = (2, (2, −3/4) directriz: L : y = −1 − 1/4 = − b ) 3y − 4x + 12y 12y + 16 = 0 (y + 2) = ( )(x )(x − 1) 1 4
5 4
2
2
4 3
V = (1, (1, 2) p =
−
1 3
>0
F = (1 + 13 , 2)
(4/3, −2) − → F = (4/ directriz: L : x = 1 − 1/3 = c ) 4x − 8x − 3y − 2 = 0 4(x 4(x − 1x) = 3(y 3(y + 2) (x (x − 1) = ( )(y )(y + 2) 2 3
2
2
2
V = (1, (1, 2) p =
− F = (1, (1, −2 +
3 16
3 4
>0
3 ) 16
→ F = (1, (1, −29/ 29/16) directriz: L : y = −2 − 3/16 = − d ) y − 6x + 6y 6y + 15 = 0 (y + 3) = 6(x 6(x − 1) 35 16
2
2
V = (1, (1, 3) p =
−
3 2
>0
F = (1 + 32 , 3)
− → F = (5/ (5/2, −3) directriz: L : x = 1 − 3/2 = − 1 2
2. Halle Halle la ecuaci´ ecuacion o´n de la parabola a ) V = (2, (2, 5), 5),
(2, 3) F = (2,
−
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola abola
P´ agina: ¢2 ¡
1. Halle el vertice vertice , el foco y la ecuaci´ on de la directriz , de cada una de las siguientes on parabolas . a ) x2
− 4x − y + 3 = 0 (x − 4x + 4) − 4 − y + 3 = 0 (x − 2) = (y + 1) 2
2
V = (2, (2, 1) p =
1 4
>0 − F = (2, (2, −1 + ) → F = (2, (2, −3/4) directriz: L : y = −1 − 1/4 = − b ) 3y − 4x + 12y 12y + 16 = 0 (y + 2) = ( )(x )(x − 1) 1 4
5 4
2
2
4 3
V = (1, (1, 2) p =
−
1 3
>0
F = (1 + 13 , 2)
(4/3, −2) − → F = (4/ directriz: L : x = 1 − 1/3 = c ) 4x − 8x − 3y − 2 = 0 4(x 4(x − 1x) = 3(y 3(y + 2) (x (x − 1) = ( )(y )(y + 2) 2 3
2
2
2
V = (1, (1, 2) p =
− F = (1, (1, −2 +
3 16
3 4
>0
3 ) 16
→ F = (1, (1, −29/ 29/16) directriz: L : y = −2 − 3/16 = − d ) y − 6x + 6y 6y + 15 = 0 (y + 3) = 6(x 6(x − 1) 35 16
2
2
V = (1, (1, 3) p =
−
3 2
>0
F = (1 + 32 , 3)
− → F = (5/ (5/2, −3) directriz: L : x = 1 − 3/2 = − 1 2
2. Halle Halle la ecuaci´ ecuacion o´n de la parabola a ) V = (2, (2, 5), 5),
(2, 3) F = (2,
−
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola abola
P´ agina: ¢3 ¡
F = (2, (2, 5 + p + p)) = (2, (2, 3) 5 + p + p = p =
2
(x
− 2) = 4 p( p(y − 5) (x − 2) = −32(y 32(y − 5) 2
−3
−8
Y
Y R
S x
b ) V = (5, (5, 2), 2),
F = (7, (7, 2) F = (5 + p, + p, 2) = (7, (7, 2)
2
(y
− 2) = 4 p( p(x − 5) (y − 2) = 8(x 8(x − 5) 2
p = 2 Y
V
F
2
7
5
c ) L : y = 5,
2 p = 5
F = (7, (7, 2) ( 2) (x 7)2 = 4( −27 )(y )(y
−−
p =
7 2
−
X
− − 3) (x − 7) = −14(y 14(y − 3) 2
V 3/2
7
−2
F
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola abola
P´ agina: 4
¢ ¡
d ) L : x =
−2 y V = (5, (5, −1) (y + 1) p = 5 − (−2)
2
(y + 1)2
p = 7
F = (5 + 7, 7, 1)
− F = (12, (12, −1)
= 4 p( p(x
− 5) = 28(x 28(x − 5)
e) V = (2, (2, 6) y extremos del lado recto (6,8) y (-2,8) AB = 4 p (x 2)2 = 4 p( p(y 6)
|√ | 8 = 4 p
− (x − 2)
2
p = 2
2
− = 8(y 8(y − 6)
f ) L : x = 1 y del punto (7,1) 2 p = 7 ( 1) (y 1)2 = 4 p( p(x
−
−−
p = 4 V = (7
− 4, 1)
− (y − 1)
2
− 3) = 16(x 16(x − 3)
F = (3, (3, 1)
DIRECTRIZ
V
F
1 −1 3
7
3. Demuestre Demuestre que la longitud del lado recto de cualquier cualquier par´ abola abola mide 4 p p unidades
||
RR′ : lado lado rect rectoo d[F, L] = 2 p p
||
d[R, R′ ] = 2d[R, F ] F ] Ademas d[R, F ] F ] = d[R, L] = d[F, L] entonces d[R, R′ ] = 2d[R, F ] F ] = 2d[ p, p, L] = 2(2 p p )
||
d[R, R′ ] = 4 P
| |
4. El ancho de un reflector parabolico es 12m y su profundidad es 4m. Localizar el foco Diametro = 12m , r=6m Ecuacion x2 = 4 py (6, (6, 4)
2
∈ P : x
= 4 py
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola abola
P´ agina: ¢5 ¡
x2 = 4 py 62 = 4 p(4) p(4) 36 = 4 p 4 p(4) (4)
→ p = 9/4
Foco a 9/ 9/4 del vertice Y 6m
12
(6,4)
4m
X
5. Halle Halle la ecuacion ecuacion y la longitud longitud del lado recto de la parabola parabola con vertice vertice y foco en (5,6). Encuentre ademas los extremos del lado recto. V = (2, (2, 2), 2),
F = (5, (5, 6)
vector unitario =VF F
(3, (3,4) 5
− V =
Ecuacion del lado recto LRR : (5, (5, 6) + T ( T ( 4, 3)
−
′
(x, y )(3, )(3, 4) = (5, (5, 6)(3, 6)(3, 4) 3x + 4y 4y = 15 + 24
4y = 39 → 3x + 4y
Longitud de RR′ d(V, F ) F ) = p p
||
∥(3, (3, 4)∥ = p p > 0 → p = 5 d[RR′ ] = 4| p p| d[RR′ ] = 4(5) → d[RR′ ] = 20 Extremos del lado recto: Vector unitario V F ⊥ F R = 2P V 4,3 5
− F = 2(5)( − ) R − (5, (5, 6) = (−8, 6) R = (−3, 12) R
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¢6 ¡
F R′ = 2P V ⊥ 3 R′ = F + 2(5)( 4,− ) 5
R′ = (5, 6) + (8, 6)
−
R′ = (13, 0)
y
P
6
F
V P’
5
x
6. Dado los 3 puntos ( 1, 2), (1, 1) y (2, 1)
−
−
a ) Halle la ecuacion de la recta paralela que pase por los puntos dados y talque
su eje focal sea paralelo al eje X P : y 2 + ay + bx + c = 0
∈ P → 2a − b + c = −4 . . . (α) (1, −1) ∈ P → −a + b + c = −1 . . . (β ) (2, 1) ∈ P → a + 2b + c = −1 . . . (θ) ( 1, 2)
−
Sumando (α) y (β ) a + 2c =
−5 . . . (A) a − 32/7 = −5 a = −3/7 Restando (2α) y (θ) 5a + 3c =
−9 . . . (B)
Restando (5A) y (B) 5a + 10c =
−25 ∧ −5a − 3c = 9
→ c = −16/7 En (β )
→ −a + b + c = −1 + b − = −1 → b = 6/7 3 7
16 7
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola 3 7
P : y 2
6 7
P´ agina: 7
¢ ¡
16 7
− y+ x− =0 P : 7y − 3y + 6x − 16 = 0 2
b ) Halla la ecuacion de la parabola que pasa por los puntos dados y tal que su
eje focal sea paralela al eje y P : x2 + ax + by + c = 0
∈ P → −a + 2b + c = −1 . . . (γ ) (1, −1) ∈ P → a − b + c = −1 . . . (α) (2, 1) ∈ P → 2a + b + c = −4 . . . (β ) ( 1, 2)
−
Sumando (α) y (β ) b + 2c =
−2 . . . (i)
Restando (2γ ) y (β ) 2a + b + c =
−2a + 4b + 2c = −2 ∧ 5b + 3c = −6 . . . (u)
−4
Restando (i) y (u) (b + 12c =
−2)5 ∧ 5b + 3c = −6 −10c + 3c = 4 → c = − → en (u): 5b = −6 − 3(−4/7) → b = − 4 7
6 7
Luego en (α): 6 7
4 7
9 7
− = −1 → a = − P : x − x − y − = 0 P : 7x − 9x − 6y − 4 = 0 7. Grafique la ecuaci´ on (2x + y − 3)(x a+
9 7
2
6 7
9 7
2
2
+ y2
2
− 4)(x − 8y) = 0
Se iguala cada uno de los parentisis a cero obteniendose: Una recta (2x + y
− 3)
Una circuferencia (x2 + y2 Una parabola (x2
− 8y)
− 4)
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¢8 ¡ Y
L
(0,3) P
(2,0)
X
C
8. Demuestre que los centros de todas las cuerdas de la par´ abola de ecuaci´ on x2 = 4 py, con pendiente m=3, se encuentran en una recta, y halle la ecuaci´ on de esta recta. Considere P > 0
P : x
2
= 4 py Y
P
P2
m2
P1
L2
L1
m1 P2 P1
X
L
P 1 = (x1 , y1 ) P 1 = (x1, y 1) P 2 = (x2 , y2 ) P 2 = (x2, y 2) Considere la familia de cuerdas paralelas
{L
α
: y = mx + bα
pero m = 3 ahora, Lα
⇒ {L ∩ P
}
α
: y = 3x + bα
}
x2 = 4 p(3x + bα ) x2
=0 − 12 px − 4 pb √ −− ± − − − x = √ y = 18 p ± 6 4 p − pb α ( 12 p)
( 12 p)2 4(1)( 4 pbα ) 2(1) 2 α
= 6 p
± 2√ 9 p − pb 2
α
£
Serie de Ejercicios de Par´ abola
⇒
P´ agina: ¢9 ¡
9P − 2√ √ (6P + 2 9P √ (6P − 2 9P √ (6P + 2 9P
P 1 = (x1 , y1 ) = (6P
2
P 1 = (x1, y 1) =
2
P 2 = (x2 , y2 ) = P 2 = (x2, y 2) = P 1 +P 1 2 P 2 +P 2 2
m1 =
2 2
= ( 6P +6P , 18P +b 2
√ 4P − P b , 18P − 6√ − P b , 18P + 6√ 4P − P b , 18P − 6√ 4P − P b , 18P + 6 4P
2
1
2
1
2
2
2
2
+18P +b1 ) 2 2 ( 6P +6P , 18P +b2 +18P +b ) 2 2 1
− Pb − Pb − Pb − Pb
1
+ b1 )
1
+ b1 )
2
+ b2 )
2
+ b2 )
= (6P, 18P + b1 )
m2 = = = (6P, 18P + b2 ) Como L paso por m1 y m2 entonces L : y = 6 p, como m = 3 entonces L : y = 3(2P ) L : y = 2 pm 9. Halle el centro de la circuferencia que pasa por (0, 1) y que es tangente a la curva y = x2 en (2,4). Y LT
C(h,k) r (2,4) A
X
L5 : y
− 4 = m(x − 2) y = mx − 2m + 4 esto en y = x =0 x = mx + 2m − 4 = 0, → m − 2m + 16 = 0 (m − 4) = 0 → m = 4 L : y − 4 = 4(x − 2) → L : 4x − y − 4 = 0 2
2
2
2
T
T
d[c, A] = r h2 + (k ( 2 4r )2 7
2
− 1)
= r2
+ (3 + √ r17 )2 = r 2 → r = (h, k) = (2, 4) + r( −√ 4,1 )
− √
17
4r √ 4+r (h, k) = (2 − √ , ) 17 17 → h = 2 − √ 4r17 → h = −16/5 → k = 4 + √ 517 → k = 53/10
√
13 13 10
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦10 ¥
Centro de la Circuferencia c(h, k) = ( 16/5, 53/10)
−
10. Halle la Ecuaci´ on del lugar Geoemtria del punto P = (x, y) tal que la distancia de p al vertice de la parabola y2 = 8x es el doble de la distancia de P al foco de la parabola. Y
4p=8 p=2
V F
X
d( p, y) = 2d( p, F )
√ x
2
+ y2 = 2 (x
3x2 + 3y 2 (x
−
8 2 ) 3
2
− 2) + y − 16x = −16
+ y2 =
2
16 9
11. Si una parabola con eje focal vertical tiene su foco en (0,4) y su laso recto de longitud 12. hallar su ecuaci´on RR′ = 12 = 4 P
| | → P = ±3 *V = (0, 4 − 3) = (0, 1) → x *V = (0, 4 + 3) = (0, 7) → x 1 2
2
2
= 4(3)(y
− 1) = 4(−3)(y − 7)
entonces x2 = 12(y entonces x2
− 1) = −12(y − 7)
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦11 ¥
Y
V2
( 0, 7)
R F(0,4)
(0,1)
R’
V1
X
12. Sean (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) los extremos de una cuerda focal de la par´ abola y 2 = 4 px, demuestre que: L:x=−p
E(−p,y1)
Y p c(x1+x2)
R(p,2p)
Q(−p,y1+y2/2)
R(x1+x2/2,y1+y2/2)
F(p,0)
G(−p,y2)
X
D(x2,y2)
R’(p,−2p)
a ) La longitud de esta cuerda focal es x1 + x2 + 2 p
|
CD = CF + F D . . . (α)
|
ademas CF = CE F D = DG luego CE =
∧
(x1 + p)2 + 02 ,
CE = x1 + p
DG =
(x2 + p)2 + 02
| DG = |x + p| en (α) CD = |x + p + x + p| CD = |x + x + 2 p| |
2
1
1
2
2
b ) La distancia desde el punto medio de esta cuerda focal a la recta directriz es
la mitad de esta longitud en a. [ (x
RQ = RQ = RQ =
1
+x2 ) 2
+ p]2 + 02
x1 +x2 + p 2 1 x + x2 + 2 p 2 1
|
|
|
|
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦12 ¥
13. Sea p = (r, s) un punto de la parabola y 2 = 4 px. En p se traza una perpendicular a OP de tal manera que esta recta corta el eje X en el punto Q. Prueba que P Q = (4 p, s)
−
P : y2 = 4 px p
∈ P → s
2
= 4 pr
0 *mL = sr− −0 =
Y
s r
L1
s 0 r a
− = s *mL1 = − r−a
L
Luego L1
⊥L m .m = −1 . − = −1 s = (a − r)r → 4 pr = (a − r)r L
P(R,S)
L1
s s r r a 2
Q(a,0)
X
a = 4 p + r . . . (α) Luego P Q = Q
− (r, s) P Q = (4 p, −s) = (a, 0)
− P
14. Un cometa se mueve en una o´rbita parab´ o lica, con el sol en el foco. Cuando el cometa est´ aa4
× 10
7
millas del sol, la recta desde el sol hace un a´ngulo de 60◦
con ele eje de la orbita (dibuja en la direcci´ o n en la cual la o´rbita se abre). halle la distancia minima del cometa al sol, es decir, al foco. Como SQ = d(Q, L)
∥ ∥
DIRECTRIZ L T
P
2P
P
S 30°
2 2x10
Q
4
× 10
7
2 p = 2
=2
× 10
× 10
7
p = 107 millas
7
+ 2P
60°
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦13 ¥
15. Halle los angulos en que se interceptan las parabolas y2 = 4x+4 con y 2 = 64 16x P 1 : y2 = 4x + 4 Resolviendo P 2 : y2 = 64 16x 4x + 4 = 64 16x
−
→
x=3
−
−
→ y = ±4
A = (3, 4) B = (3, 4) LT : y
− 4 = m(x − 3)
1
y = mx
−
− 3m + 4
LT1
Luego en P 1
Y
2
− 3m + 4) − 4x − y = 0 m x +x(6m−3m −4)+(9m −24m+12) = 0 (mx
2 2
△=
2
2
A
LT2
0
2
(2m
2
2
2
− 6m − 4) − 4m (9m − 24m +12) = 0 64m − 64m + 16 = 0 4m − 4m + 1 = 0 (2m − 1) = 0
X
2
B
2
2
m1 = 1/2 LT : y + 4 = m(x 2
y = mx
− 3m − 4
− 3)
Luego en P 2
m2x2 + x( 6m2 △=
−
0
( 6m2
−
6m2
− 8m
2
+ 16) + (9m2 + 24m
2
2
2
− 8m + 16) − 4m (9m
+ 24m
− 256m + 256 = 0 m − 4m + 4 = 0 (m − 2) = 0
− 46) = 0
− 48) = 0
2
2
m2 = 2
Luego mLT = 1
→ mL
T 1 .mLT 2
−1/2, = −1
mLT = 2 1
∴
α = 90◦
16. Se traza una recta tangente a la parabola y 2 = 4 px en el punto P = (x, y) de la curva. sea A el punto donde esta recta tangente corta al eje de la parabola , F el
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 14
¦ ¥
foco y PD la recta paralela al eje de la parabola y que intersecta a la directriz en D. Demuestre que APFD es un rombo. Como P (x0 , y0 ) es un punto conocido de la tangente L y la parabola
P (ie.
P (x0 , y0 ) es un punto de contacto) entonces por teorema: L tiene por ecuaci´ on L : y0 y = 2 p(x + x0) Como A( a, 0) L entonces 0 = 2 p( a + x0) AD =D A = ( p + a, y0 )
−
∈
− = P − D
DP
Lqqd
−
−→ AP
− = (x + p, 0) − − → ; DF = (2 p, −y ) 0
= (x0 + a, y0 )
0
= (2x0, y0 ) L
⇒ a =−→x = F P −→ = AF
0
− p, y ) = (P + a, 0) −→ −−→ AP DF
= (x0
, donde
0
= (a
= (9x0, y0 )(2 p, y0 ) = 4 px0
L
P(x0,y0)
X
F(p,0)
A(−a,0)
17. Halle angulo formado por las rectas que pasan por el origen y por los puntos que trisecan la cuerda 2x + 3y x2 = 98 y,
p=
2
− 12 = 0 de la parabola 2x − 9y = 0
9 8
Y
12 3b 2
∈ L, 2a + 3b = 12 → a = − *A ∈ P, a = b → b = ⇒ 2a + 3( ) − 12 = 0 a + 3a − 18 = 0 (a + 6)(a − 3) = 0 * si a = 3 entonces b = 2 → A = (3, 2) si a = 6 entonces b = 8 → B = (−6, 8) mL = 2/3, mL = −4/3 → tan α = *A
2
2a2 9
9 2
2a2 9
L1
2
1
2
tan α = 18
→ α = arctan(18)
L2
A B
X
2
+ 43
3
1
−
8 9
0
= (x0 + P, 0)
Y
D
− p, y ) −y
−
0
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦15 ¥
18. Una piedra arrojada hacia arriba formando un angulo agudo con la horizontal describe el arco de una parabola y a una distancia de 16m , halle el parametro p de ´esta par´abola, si la altura m´axima alcanzada es 12m.
Y
x2 = 4 py
X
82 = 4 p(12) 64 24
=p
p =
12
4 3
16
19. En la parabola y2 = 8x encuentra un punto para el cual su vector focal mide 10 unidades D(P, F ) = (x (x
2
− 2)
2
+ y 2 = 100
− 2) + 8x = 100 x − 4x + 4 + 8x = 100 x + 4x − 96 = 0 (x − 8)(x+12) = 0 entonces x = 8 y x = −12 y = (8)(8) entonces y = ±8 p = (8, ±8)
R
2
11
2
2
F(1,0)
10
R’
→ R′ = (a, −√ 8a) = (8, −8) 20. Halle la ecuacion de la cuerda comun a la parabola y 2 = 18x , y a la circuferencia (x + 6)2 + y2 = 100 L:x=2 21. Halle en la parabola x2 = 4y un punto para el cual su vector focal mide 17 unidades A
2
2
∈ P :√ x = 4y → a = 4b a = ±2 b √ √ A = (2 b, b), B = (−2 b, b)
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
C : (x + 6)2 + y 2 = 100, c = ( 6, 0),
−
P´ agina: ¦16 ¥
P : y2 = 18
A(2,4)
r = 10
2
→ (x + 6) + 18x = 100 x + 30x − 64 = 0 (x − 2)(x + 32) = 0 pero x > 0 → x = 2
(−6,0)
2
F
(4,0)
B(2,−4)
→√ d[f, A] = 17 (2 b) + (b − 1) = 289 b + 2b − 288 = 0 → (b + 18)(b − 16) = 0 pero b > 0 → b = 16 2
2
2
A B
17
17
F(0,1)
√
− √
A = (2 b, b) = (8, 16),
B = ( 2 b, b) = ( 8, 16)
−
22. El espejo del faro de un auto tiene la forma de una parabola en su seccion transversal, halle el parametro de esta parabola , si el diametro del faro mide 20cm y la profundidad de 15 cm. El eje OX es eje del faro y el origen se ubica en la parte profunda del espejo Diametro AB = 20, 2
r = 10
→ (15, 10) ∈ P : y = 4 px 10 = 4(15) p → p = 5/3 2
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 17
¦ ¥
Y A
(15,10)
10 15 X
B
23. Halle la longitud de la cuerda focal de la par´abola y 2 + 8x = 0, que sea paralela a la recta 4x + 3y = 7. y2 =
−8x,
P =
mL = −34
L : 4x + 3y = 7,
−2 entonces F = (−2, 0)
L//Lc entonces mLC = −34 4 3
− 0 = − (x + 2) : 3y = −4x − 8
entonces LC : y LC
Hallando los puntos de contacto de LC con la circuferencia , y2 = x = −8y
2
entonces 3y = y2 8
−8x entonces
y2 8
−4( − ) − 8
2
2
− 8 entonces 6y = y − 16 entonces y − 6y − 16 = 0 (y − 8)(y − 2) = 0 Si y = 8 ⇒ x = −8 ⇒ P = (−8, 8) Si y = −2 ⇒ x = − ⇒ Q = (− , −2) 3y =
0
1 2
1 2
0
Luego la distancia entre las dos rectas es : ( 8 + 12 )2 + (8 + 2)2 =
D=
225 4
−
+ 100 = D=
625 4
25 2
24. Demuestre que la longitud del radio vector (vector focal) de cualquier punto p = (x1 , y1) de la parabola y 2 = 4 px es x1 + p p
∈ P : y
2
F P =
(x1 , y1 )
=
− p)
(x1
y12 = ypx 1
= 4 px, 2
− ( p, 0)
+ y12 = 2
|F P | = (x + p) |F P | = |x + p| 1
1
x21
||
− 2x p + p 1
|
2 1
+ 4 px1
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦18 ¥ Y
P(X,Y)
F(P,0) X
25. Halle la longitud del vector focal del punto de la parabola de ecuacion y2 16x = 0
−
cuya ordenada sea igual a 12 y2
V = (0, 0),
− 16x = 0,
4 p = 16
d[P, F ] = d[P, L] ( (4
2
− x)
|F P | = P
F
→p=4>0
+ ( 122 ))2 = x + 4 2
−
= (9, 12)
| →x=9
|
− (4, 0) = (5, 12) Y
(x,12)
12
F
(4,0) X
d(P, F ) = 13 26. Halle la ecuaci´ on de la circuferencia que pasa por el vertice y los extremos del lado recto de la parabola y2 = 4x V = (0, 0)
4 p = 4
→p=1 Ecuacion de la circuferencia: C : x + y + Ax + By + C = 0 (0, 0) ∈ C : (0) + (0) + A(0) + B(0) + C = 0 → C = 0 (1, 2) ∈ C : (1) + (2) + A(1) + B(2) + 0 = 0 → A + 2B = −5 . . . (1) (1, −2) ∈ C : (1) + (−2) + A(1) + B(−2) + 0 = 0 → A − 2B = −5 . . . (2) 2
2
2
2
2
2
2
de (1) y (2) tenemos: A=-5 y B=0 2
C:x
+ y2
− 5x = 0
2
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦19 ¥ Y
(1,2)
2
X
F(1,0)
2
(1,−2)
27. Demuestre que los extremos del lado recto de una parabola cualquiera se une mediante rectas tangentes a la parabola con el punto de interseccion del eje focal y la directriz Sea y2 = 4 px,
p>0
La ecuaci´ on de la cuerda que pasa por el foco perpendicular al eje es x = + p y2 = 4 px y2 = 4 p2 y= 2 x =p
⇒
R( p, 2 p)
⇒
2
±
2
⇒ y = 4 p ⇒ y = ±2 Ademas L : x = − p R′ ( p, −2 p)
2 p 2 p
Luego mL = 1
L1 :
=1
y = mx + b
mL = −2 p2 p = 1 L2 : y = mx + b 2
2 p = 1( p) + b b=p L1 : x
− y + p = 0
L2 :
−
−2 p = −1( p) + b b = − p x + y − p = 0 Y
L
R(p,2p)
(−p,0) V(0,0)
F(p,0) X
R’(p,−2p)
Luego L1
∩L
2
: 2x + 2 p = 0 entonces x = p y y = 0
−
28. Una circuferencia cuyo centro es el punto (-1,4) pasa por el foco de la parabola y2 + 16x = 0 Demuestre que es tangente a la recta directriz de la parabola y2 + 16x = 0 y2 =
−16x → p = −4
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola (x + 1)2 + (y
− 4)
2
P´ agina: ¦20 ¥
= 52
en x=4 tenemos: (4 + 1)2 + (y
2
− 4)
= 25
→y=4 L
Y
C(−1,4)
F(−4,0)
(0,0) X
x=4
entonces el punto de tangencia es: (4,4) 29. Demuestre que la longitud del radio vector (o vector focal) de cualquier punto P (x1 , y1 ) de la parabola (y
2
− h) es igual a |x − h + p| y de la parabola (x − h) = 4 p(y − k) es igual a |y − k + p| (y − k) = 4 p(x − h) p ∈ P entonces (y − k) = 4 p(x − h) |F P | = (x − h − p) + (y − k) = (x − h − p) + 4 p(x − h) = (x − h) − 4(x − h) + p + 4 p(x − h) = (x − h) + 2 p(x − h) + p = [(x − h) − p] |F P | = x − h − p (x − h) = 4 p(y − k) p ∈ P entonces (x − h) = 4 p(y − k) |F P | = (x − h) + (y − k − p) = 4 p(y − k) + [(y − k) − p] = 4 p(y − k) + (y − k) − 2 p(y − k) + p |F P | = y − k + p 2
− k)
= 4 p(x
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
30. Halle la longitud del vector focal del punto de la parabola de ecuacion x2 + 4y + 2x
− 19 = 0. cuya abscisa es 3 x + 2x + 1 − 1 = 19 − 4y (x + 1) = −4y + 20 (x + 1) = −4(y − 5) → p = −1 2
2 2
d[P, F ] = d[P, L] ( 42 + (y
2 2
2
− 4) ) = |y − 6|
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦21 ¥
y=1
|F P | = P − F |F P | = (3, 1) − (−1, 4) Y y=6
V
(−1,5)
F(−1,4) p(3,y)
3
−1
X
|F P | = 5 31. Halle e identifique la ecuaci´ on del lugar geometrico del centro de una circuferencia que es siempre tangente a la recta x=1, y a la circuferencia de ecuaci´ on x2 +y2 = 9. L
Y
p(h,k)
C
C
V1
V2
c
X
x=1
k h
a ) L : y
k h
−0= x⇒L:y = x ⇒ L ∩ C = Q(x, y) x + y = 9 ⇒ x + ( x) = 9 2
2
k h
2
2
2
x2 = √ h9h+k 2
2
x = √ h3h+k 2
donde
2
( )
∗
y = √ h2k+k el radio de , es d(P, x 2
2
− 1) = h − 1 entonces tiene por ecuaci´on (x − h) + (y − k) = (h − 1) x − 2hx + h + y − 2ky + k = h − 2h + 1 Como Q(x, y) ∈ C ⇒ x + y = 9 entonces 8 + k + 2h = 2hx + 2ky, reemplazando en (*) √ + √ =6 h +k k + 2h + 8 = √ 2
2
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6h2 h2 +k2
6k2 h2 +k2
2
2
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦22 ¥
elevando al cuadrado y acomodando tenemos: k4
2
2
+ 4h2 + 4hk2 + 32h + 64 = 0
− 2k − 32h
reemplazando k por y y hpor x se tiene el lugar geom´etrico y4
2
2
− 20y − 32x
+ 4xy 2 + 32x + 64 = 0
factorizando: [y 2
2
− 4(x + 1)][y + 8(x − 2)] = 0 lo cual; y − 4(x + 1) = 0 ∨ y + 8(x − 2) = 0 Si y − 4(x + 1) = 0 entonces y = 4(x + 1) es una parabola con vertice V = (−1, 0) ademas x + 1 ≥ 0 y x ≤ 1, restringida por la recta x = 1 lo cual x ≥ −1 ∧ x ≤ 1 ≡ −1 ≤ x ≤ 1 2
2
2
2
1
para y2 = 4(x + 1) Si y 2 + 8(x
− 2) = 0 entonces y
2
=
−8(x − 2)
es una parabola con vertice V 2 = (2, 0) ademas x
− 2 ≥ 0 y x ≤ 1, restringida por la recta x = 1 lo cual x ≥ 2 ∧ x ≤ 1 ≡ 1 ≤ x ≤ 2 para y = −8(x − 2) 2
el lugra geom´etrico seria
∴
{(x, y)/y
2
=
−8(x − 2), 1 ≤ x ≤ 2} ∪ {(x, y)/y
2
− ≤ x ≤ 1}
= 4(x + 1), 1
32. Halle la ecuacion de la recta tangente para la parabola y el punto de contacto dado a ) x2
− 4y = 0;
(2, 1)
L : y = mx + b P (2, 1)
∈ L ⇒ 1 = 2m + b ⇒ b = 1 − 2m ⇒ L : y = mx + 1 − 2m y = m(x − 2) + 1 . . . (∗) Y
L
F
(0.1) (2,1)
X
L
∩ P :
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦23 ¥
x2 = 4(m(x x2
− 2) + 1) − 4mx + 8m − 4 = 0
por la condicion de tangencia descriminante = = ( 4m)2 16m2 m2
− 32m + 16 = 0
−
− 4(1)(8m − 4) = 0
− 2m + 1 = 0 (m − 1) = 0 entonces m = 1 2
esto en *: L : y = 1(x
− 2) + 1 y =x−1
b ) x2 + 4y + 2x + 9 = 0;
=x
−1
(3, 6)
−
x2 + 2x + 1
− 1 = −4y − 9 (x + 1) = −4y − 8 (x + 1) = −4(y + 2) → p = −1 Teorema: (x − h)(x − h) = 4 p[( ) − k] (3, −6) = (x , y ) (−1, −2) = (h, k) (3 − (−1))(x − (−1)) = 4(−1)[( − ) − (−2)] 4(x + 1) = −4[ − ] 2(x + 1) = −y + 2 2x + 2 = −y + 2 2 2
y+y0 2
0 0
0
y 6 2
y 6+4 2
Y
3 X
−1
−6
y=
(3,−6)
−2x c ) y − 6y + 5x − 11, (−1, −2) y − 6y + 9 − 9 + 5x − 11 = 0 (y − 3) = −5x + 20 (y − 3) = −5x + 20 (y − 3) = −5(x − 4) → p = −5/4 2 2
2 2 2
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 24
¦ ¥
V(4,3)
Y 3
−1 4
X
−2
(−1,−2)
33. Halle la ecuaci´ on de la recta tangente de pendiente -1 a la parabola y 2 = 8x y2 = 8x,
V = (0, 0),
8 = 4 p
y = mx + b y=
→2=p>0
−x + b
pero y 2 = 8x y2 = 8(b y2
− y) + 8y − 8b = 0 = y
2
+ 8y + 16
−8b = 16 b = −2
Y
(2,4)
L:m=−1
F(2,0) X 2p
(2,−4)
→ y = −x − 2 34. Halle la ecuaci´ on de la recta tangente a la parabola de ecuaci´on: x2 +4x+12y 8 = 0 que sea perpendicular a la recta de ecuaci´ on 3x x2 + 4x + 12 y x2 + 4x + 4
−8=0
−y+1=0
− 4 + 12y − 8 = 0 (x + 2) = −12y + 12 (x + 2) = −12(y − 1) . . . (1) L : 3x − y + 1 → m = 3 pero L ⊥ L → m .m = −1 ⇒ m = −1/3 L : y = mx + b → y = − x + b . . . (2) de (1) y (2) tenemos: x + 12b − 8 = 0 = b − 4ac = 0 2 2
T
T
T
1 3
T
2
2
−
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦25 ¥
0
− 4(1)(12b − 8) = 0 −48b + 32 = 0 → b = 2/3
reemplazando en (2) tenemos: y = −31 x +
2 3
→L
T
: 3y = 2
−x
35. Halle la ecuaci´ on de la recta tangente a la parabola y 2 paralela a la recta x
− 2y + 4 = 0
− 2x + 2y + 3 = 0 que sea
y2
− 2x + 2y + 3 = 0 y + 2y + 1 − 1 − 2x + 3 = 0 (y + 1) = 2(x − 1) . . . (1) → V = (1, −1) L : y = mx + b L : x − 2y + 4 = 0(m = 1/2) L//L → m = m → m = 1/2 2
2
T
T
T
T
y = 12 x + b . . . (2)
de (1) y (2): x2 + (4b 4)x + 4b2 + 8b + 12 = 0 = (4b 4)2 4(1)(4b2 + 8b + 12) = 0
−
− − 16b − 32b + 16 − 16b − 32b − 48 = 0 → b = −1/2 L :y= − 2
2
x 2
T
1 2
x = 2y + 1
36. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes tratadas desde el punto (3, 3) a la parabola x2 x2
− 3y − 8x + 10 = 0
− 3y − 8x + 10 = 0 x − 8x + 16 − 16 − 3y + 10 = 0 (x − 4) = 3(y + 2) . . . (1) → V = (4, −2) L : y = mx + b, pero (3, −3) ∈ L −3 = m(3) + b → b = −3 − 3m y = mx − 3 − 3m . . . (2) 2
2
(2) en (1) tenemos: x2
− 8x + 16 = 3(mx − 3 − 3m + 2) x − x(8 + 3m) + 19 + 9m = 0 = (8 + 3m) − 4(1)(19 + 9m) = 0 64 + 48m + 9m − 76 − 36m = 0 9m + 12m − 12 = 0 → m = 2/3 m = −2 2
2
2
2
Reemplazando los valores de m
−
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦26 ¥ Y
L
4
X
−2 V −3
y=
−2x + 3 ∧
y = 23 x
−5
37. Halle las ecuaciones de las recas tangentes trazadas desde el punto (4, 1) a la parabola x2 + 3y
− 6x + 9 = 0
x2 + 3y
− 6x + 9 = 0 (x − 3) = −3y . . . (1) → V = (3, 0) (4, 1) ∈ L 1 = m(4) + b → b = 1 − 4m y = mx + 1 − 4m . . . (2) 2
De (2) en (1) tenemos: x2
− 6x + 9 = −3(mx + 1 − 4m) x − x(6 − 3m) + 12 − 12m = 0 = (6 − 3m) − 4(1)(12 − 12m) = 0 3m + 4m − 4 = 0 → m = 2/3 m = −2 2
2
2
Reemplazando m en y tenemos: Y
L:y=mx+b
1
1
3y = 2x
−5 ∧
y=
−2x + 9
2
3
4
X
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 27
¦ ¥
38. Halle el angulo agudo formado por las tangentes a la parabola de ecuaci´ on y 2 + x
− 4y + 6 = 0 trazadas desde el punto (1,1)
Sea
2
LT : y
− 1 = m(x − 1), P : y + x − 4y + 6 = 0 y = mx − m + 1 En P se tiene: m x + m + 1 − 2m x + 2mx − 2m − 4mx + 4m − 4 + x + 6 = 0 x m − x(2m + 2m − 1) + (m + 2m + 3) = 0 △=0 (2m + 2m − 1) − 4m (m + 2m + 3) = 0 m = 1/6 12m + 4m − 1 = 0 ⇒ (6m − 1)(2m + 1) = 0 m = −1/2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
tan θ =
m2 m1 1+m1 .m2
−
1 6
+
= 1−
1 2 1
=
173 6 11
12
=
12
8 11
Y
L:y=mx+b
L1
1
1
−2
X
8 θ = arctan( 11 )
39. Con respecto a la parabola y 2
− 2x + 6y + 9 = 0; halle los valores de T para los
cuales las rectas de familia x + 2y + T = 0
a) cortan a la parabola en dos puntos diferentes. b) son tangentes a la parabola. c) no cortan a la parabola. y2
− 2x + 6y + 9 = 0; halle los valores de T, los cuales las rectas de la familia
x + 2y + T = 0 teneos que x =
−2y − t
Reemplazando en la ecuacion de la parabola y2
− 2(−2y − t) + 6y + 9 = 0
y2 + 4y + 6y + 2t + 9 = 0
y2 + 10y + 2t + 9 = 0, tenemos que
= descriminante
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦28 ¥
− 4(1)(2t + 9) = 64 − 8t, entonces : a) > 0 → 64 − 8t > 0 → t < 8 b) = 0 → 64 − 8t = 0 → t = 8 c) < 0 → 64 − 8t < 0 → t > 8 40. Demuestre que la par´ abola y − 4y +8x − 20 = 0,
= 100
2
y 2 4y +4x+4 = 0, son ortogoP 1 : y2 4y + 8x 20 = 0 ; P 2 :
−
− − (y − 2) = −8(x − 3) 4 p = −8 p = −2 2
nales entre si en cada uno de sus puntos de intersecci´ on.
V = (3, 2)
Y
L1 L2
Q1
V1
V2
X
Q2
L2 L1
Vemos los puntos de interseccion de P 1 con P 2 , entonces resolviendo (y 2)2 = 8(x 3)
− (y − 2) 0
2
=
− − 4x
= 4x + 8(x
12x
=
24
x
=
2
− 3)
⇒ Q = (2, 2 + 2√ 2) y Q 1
2
(y
2
− 2) y−2 y √ = (2, 2 − 2 2) ⇒
= 4x = 4(2) = 8 = =
√ ±2 √ 2 2±2 2
Por teorema: La tangente a la parabola P : (y k)2 = 4 p(x h) en cualquier punto
− − R(x , y ) de la curva tiene por ecuaci´ on L : (y − k)(y − k) = 2 p[(x −h)+(x −h)] ∗ 1
1
1
1
entonces nuestro caso:
√
a ) Para el punto Q1 = (2, 2 + 2 2), participan P 1 y P 2
1) Para P 1
√ − 2)(y − 2) = 2(1)[(2 − 0) + (x − 0)]
entonces L1 : (2 + 2 2
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦29 ¥
√ − 2) = 2(x + 2) √ y = √ x + 2 + 2, donde m 2 2(y
1 2
1
1 = √ (pendiente) 2
2) Para P 2
√ − 2)(y − 2) = 2(−2)[(2 − 3) + (x − 3)] √ 2 2(y − 2) = −4(x − 4) √ entonces L2 : (2 + 2 2
−2 x + 4 2 + 2, donde m2 = √ −2 (pendiente) y = √ 2 2 1 √ Como m1 .m2 = √ ( −22 ) = 2
√ (2, 2 + 2 2)
b ) Para el punto Q2 = (2, 2
1) Para P 1 entonces L1 : (2
−1, entonces P
1
es ortogonal a P 2 en Q1 =
− 2√ 2), participan P y P 1
2
− 2√ 2 − 2)(y − 2) = 2(1)[(2 − 0) + (x − 0)]
−2√ 2(y − 2)√ = 2(x + 2) y = − √ x − 2 + 2, donde m = − √ (pendiente) 2) Para P √ entonces L : (2 − 2 2 − 2)(y − 2) = 2(−2)[(2 − 3) + (x − 3)] −2√ 2(y − 2)√ = −4(x − 4) y = √ x − 4 2 + 2, donde m = √ (pendiente) − ( √ ) = −1, entonces P es ortogonal a P Como m .m = √ √ (2, 2 − 2 2) 1 2
1 2
1
2
2
2 2
2 2
2
1
2
1 2
2 2
1
2
en Q2 =
41. En cualquier punto P de la parabola , no tiende al vertice, la tangente y la normal cortan al eje de la parabola en los puntos A y B respectivamente. Demuestre que los puntos A,B y P equidistan del foco Sea la par´abola y 2 = 4 px y T (x0 , y0 ) punto de tangencia Y
T(x0,y0)
Lt
A(x2,0) V
D(x1,0)
x
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola LT : y
P´ agina: ¦30 ¥ 2 p y0
2 p y0
− y = m(x − x ); m = L : y − y = (x − x ) Si y=0 → −y = 2 px − 2 px (α) Como T (x , y ) ∈ P → y = 4 px y entonces en (α) se tiene −4 px = 2 px − 2 px → x = −x → x = −x esto es V B = −V A o sea V es pto medio de AB 0
0
2 0
0
T
0
0
0
2 0
0
0
0
0
0
1
2
42. Demuestre que toda circuferencia que tiene como di´ ametro una cuerda focal de una par´ abola, es tangente a la par´abola. Supongamos que la ecuacion de la par´ abola es x2 = 4 py,
p>0
Y
F(0,p)
L=y=−p
Cualquier recta que pase por el foco tendra por ecuaci´ on: y = mx + p Luego: x2
− 4 p(mx + p) = 0 − 4 p = 0 x − 4 pmx √ ± x= √ √ x = 2 pm − 2 p m + 1 = 2 p[m − m √ √ x = 2 pm + 2 p m + 1 = 2 p[m + m 2
2
48m
1
16 p2 m2 +16 p2 2 2 2
2
Como
x2 4 p
=y
entonces y1 = p[m y2
− √ 1 + m ]
2 2
√ = p[m + 1 + m ]
2 2
donde P 1 = (x1 , y1 ),
2
+ 1]
2
+ 1]
√ 2m m − √
= p[2m2
2
+ 1 + 1]
= p[2m2 + 2m m2 + 1 + 1]
P 2 = (x2 , y2 ) puntos de corte.
Ademas la circuferencia que tiene por diametro dicha cuerda es la que tiene como centro en el punto medio de P 1 ,
P 2 y radio a la distancia del centro a uno de sus
puntos ie: d(P 1 , P 2 ) = 2a donde C = punto medio=(2 pm, p(2m2 + 1))
∥ √
√
entonces 2r = d(P 1 , P 2 ) = (4 p m2 + 1, 4 pm m2 + 1)
∥
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
√
P´ agina: ¦31 ¥
√
= 4 p m2 + 1 m2 + 1 = 4 p(m2 + 1) entonces r = 2 p(m2 + 1) Adem´as dichas circuferencias sera tangentes a la directriz y + p = 0 entonces p(2m2 + 1) + p = r entonces r = 2 p(m2 + 1)
|
|
⇔ d(c, L) = r
Luego queda demostrado que es tangente. 43. Si desde un punto exyerior P se trazan rectas tangentes a una parabola, el segmento de rectas que une a los puntos de contacto se llama cuerda de contacto. Si Q = (x1, y1 ) en un punto exteriro a la parabola y 2 = 4 px demuestre que la ecuacion de la cuerda de conctacto de Q es y
P : y
2
= 4 px,
y = mx (mx
Q = (x1 , y1 )
− mx
1
− mx
1
2 1
∈ P entonces y
⊥ y = 2 p(x + x ) 1
= 4 px1 ademas L : y y1 = m(x x1 )
−
+ y1 , luego reemplazamos en la ecuacion de la parabola:
−
+ y1 )2 = 4 px
m2 x2 + m2 x21 + y12
2
− 2m x
1
+ 2my1 + 2mxy1 = 4 px
m2 x2 + x( 2m2 x1 + 2my1 4 p) + (m2 x21 + y12 2mx1y1) = 0 = 0 entonces (2my1 2m2 x1 4 p)2 4m2 (m2 x21 + y12 2mx1 y1 ) = 0
−
−
16m2 x1 p
−
2
− 16my p + 16 p = 0 16m x − 16my p + 16 p = 0 m x − my √ + p ± − 2
2
1
1
−
−
−
−
1
1
1 y12 4x1 p m= , pero y12 = 2x1 4x1 p 1 entonces m = y1 4 px 2x1 y1 (x x1) LT : y y1 = 2x 1 y1
±√
− 2x y − 2x y 1
1 1
= xy1
2x1 y = 2x1 y1 + xy1 [2x1 y
− y (x 1
1
−
− −x y
4 px1
→m=
y1 2x1
1 1
y + x)] 2x
y2 yy 1 = 2x11 (x1 + x) px1 LT : yy 1 = 42x (x + 1
1 1
x1 ) LT : yy 1 = 2 p(x + x1 )
44. Demuestre que la cuerda de contacto de cualquier punto de la directriz de una par´abola pasa por su foco Considere y 2 = 4 px Sea P 0 (x0 , y0 ) el punto desde el cual se traza las tangentes a la parabola.
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦32 ¥ Y
p>0
P1
p
p
F
X
P0
P2
L
Sean P 1 (x1 , y1) y P 2 (x2 , y2) las correspondientes pintos de contacto . La ecuacion de las tangentes en P 1 y P 2 son y1 : y = 2 p(x + x1 ) y y2 : y = 2 p(x + x2), esto es por teorema como estas tanhentas pasan por el punto P 0 , entonces y1 : y0 = 2 p(x0 + x1) y y2 : y0 = 2 p(x0 + x2) Ahora bien , la recta y0 : y = 2 p(x + x0 ) que pasa por P 1 y P 2 es l cuerda de contacto Sea P ( p, y) un punto de la directriz L, la ecuacion de la uerda de contacto que
−
pasa por P tiene de ecuacion:
− py = 2 p(x − p) y como se puede coprobar , pasa por el foco correspondiente F ( p, 0) ie.- F ( p, 0) p(0) =
−
∈ {− py = 2 p(x − p)} ya que 2 p( p − p)
0 = 0, se satisface lo cual completa la prueba.
45. Demuestre que el lugar geometrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de una par´ abola es una recta paralela al eje focal. Esta recta se llama Diametro de la Par´ abola. Considere
P : y
2
p>0
= 4 px,
Sea Lα : y = mx + bα familia de cuerdas paralelas
{
}
ahora , intersectando Lα y2 = 4 px (mx + bα )2 = 4 px
2 2
⇒ m x + (2m α − 4 p)x + b √ ± − −
2mcbα+4 p
⇒x= −
∩ P
(2mbα 4 p)2 2m2
b 2 2 4m bα
2 α
=0
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦33 ¥ Y
P>0
P2 P1 L M1
eje focal
M2 F
X
P1 P2
L
de
⇒
√
2 p mbα 4 p( p mbα ) donde : x = , m2 2 p 4 p( p mbα ) y= m
√ ±
Como
±
√ √
−
−
esto en la familia.
−
lo cual : 2 p−mb P 1 = ( P 2 = .. .
−
√ √
+4 p( p mb1 ) 2 p+4 , m2 2 p mb2 +4 p( p mb2 ) 2 p+4 ( , m2 1
−
−
p( p mb1 ) ) m p( p mb2 ) ) m
−
; P 1 =
−
; P 2 =
M 1 es punto medio de P 1 y P 1
⇒ ⇒
√ √ −
√ √ −
2 p mb1 4 p( p mb1 ) 2 p 4 ( , m2 2 p mb2 4 p( p mb2 ) 2 p 4 ( , m2
− −
−
−
−
−
.. .
p( p mb1 ) ) m p( p mb2 ) ) m
M 1 = ( P +P ) = ( 2 p−mmb , 2m p ) 2 1
1
1
2
) = ( 2 p−mmb , 2m p ) M 2 es punto medio de P 2 y P 2 M 2 = ( P +P 2 La ecuaci´ on de L que pasa por M 1 , M 2 , . . . , es : L:y
−
L:y=
2 p m
=
2 p , m
p 2m
2p−mb2
m2
− −
2p
m
2p−mb1
(x
m2
−
2 p mb1 ) m2
−
2
2
2
2
=0
lo cual es paralela al eje focal: y = 0
46. Halle la ecuaci´on del diametro de la parabola x2 = 16y para un sistema de cuerdas paralelas de pendiente 1/2 por propiedad: x2 = 4 py entonces el diametro sera : x = 2 pm
→ x = 2(4)(
1 ) 2
x=4
50. Por los puntos extremos de una cuerda de 24 unidades de longitud, perpendicular al eje focal de la par´abola y2
− 12x − 8y + 52 = 0, pasan dos rectas tangentes que
se intersecan en un punto Q. Hallar el per´ımetro del tri´ angulo formado por los extremos de la cuerda y Q R = (6, 10), L1
R′ = (6, 2)
− : y − 10 = m(x − 6)
− −
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 34
¦ ¥
L1 Y
(y
− 4) (y − 4)
2 2
− 52 + 16 = 12(x − 3) . . . (α)
R
= 12x
V = (3, 4),
6
V(3,4)
Q
F = (6, 4)
F(6,4)
6
|RR′| = 4 p = 4(3) = 12 d(F, R) = 2 p = d(F, R′ ) = 6
R’ X
L2
y = mx
− 6m + 10, esto en α: (mx − 6m + 6) = 12(x − 3) m x + 3m + 36 − 12m x + 12mx − 72m − 12x + 36 = 0 x m + x(−12m + 12m − 12) + (36m − 72m + 72) = 0 = 0 → 144m +144m +144 − 288m +288m − 288m − 144m 2
2 2
2
2
2
2
2
2
4
3
2
4
+288m3
−
+288m3
−
288m2 = 0 144m2
− 288m + 144 = 0 m − 2m + 1 = 0 → m = 1 → L : y = x − 6 + 10 2
T
LT 1 : y = x + 4
L2 : y + 2 = m(x y = mx
− 6)
− 6m − 2, esto en α (mx − 6m − 6) = 12(x − 3) m x + 36m + 36 − 12m x − 12mx + 72m − 12x + 36 = 0 m x + x(−12m − 12m − 12) + (36m + 72m + 72) = 0 = 0 → 144m +144m +144+288m +288m − 288m − 144m 2
2 2
2
2
2 2
2
2
4
2
3
2
288m2 = 0
144m2 + 288m + 144 = 0 m2 + 2m + 1 = 0
→ m = −1 L : y = −x − 6 − 2 L : y = −x − 2 Luego L ∩ L : x + 4 = −x − 8 x = −6, y = −2, → Q = (−6, −2) √ √ √ d(Q, R) = (−12) + (−12) = 144 + 144 = 288 = 12 2 T 2 T 2
T 1
T 2
2
2
4
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola d(Q, R′ ) =
( 12)2 + 02 =
−
P´ agina: ¦35 ¥
√ 144 = 12
entonces el perimetro es d(Q, R) + d(R, R′ ) + d(Q, R′ )
√
√
= 12 2 + 12 + 12 = 24 + 12 2 Perimetro =12(2 +
√ 2)
62. En cierta parabola la distancia del v´ ertice al foco F es 1, P es un punto de la p´arabola que dista 5 unidades del foco. Q es la proyecci´on de P sobre la directriz, R es la intersecci´on de la directriz con el eje focal. calcular el ´area del cuadril´ atero PQRF. V(vertice), F(foco), l(directriz), h(eje focal) sabemos que : *d(F, r) = d(V, R) 1 = d(V, R) *d( p, F ) = d( p, l) 5 = d( p, l) Nos piden area de PQRF Por pitagoras: x2 + 32 = 52
→ S
P QRF
→x=4
= S AQRF + S △P AF = 8 +
4,3 2
L
P 5 3 F
1
2 V 1
R
Q
S P QRE = 14u2 63. El cable de un puente colgante est´ a soportado por dos torres de 15m, de alto y situado a 120m. Una de la otra. Si el punto m´as ba jo del cable est´ a a 3m sobre el piso del puente, hallar la longitud de una barra que esta a 30m a la derecha del punto m´as ba jo del cable y que va, en forma vertical, del cable al piso del puente. V(vertice)= punto m´ as bajo, F(foco) vemos que es una parabola que pasa por el origen de coordenadas cuya ecuacion , tiene la forma x2 = 4 py . . . (1)
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦36 ¥ y
A(−60,12)
B(60,12)
F 12m
y1 15m 60m
V
30m
X
30m
3m
piso 120
Como B(60,12), pertenece a la parabola , entonces en (1) (60)2 = 4 p(12) 3600 = 48 p
→ p = 75, esto en (1)
x2 = 4(75)y = 300y . . . (2)
Ademas p(30, y1 ) pertenece a la parabola , entonces en (2) (60)2 = 300y1 900 = 300y1
→y
1
=3
me piden : d( p, piso) = y1 + 3 = 3 + 3 = 6m 64. Hallar el punto de la parabola y = 2 + 5x tangente es de 45.
2
−x
en el que la inclinaci´on de la recta
Y
L V(5/2,33/4) punto de tangencia
P(x,y)
y
45° A(−x0,0)
x0
X
x
2
P : y = 2 + 5x
−x y = −[x − 5x − 2] = −[(x − 5/2) − 25/4 − 2] y = −[(x − 5/2) − 33/4] y − 33/4 = −(x − 5/2) → (x − 5/2) = −(y − 33/4) . . . (*) de acuerdo a la ecuaci´ on de la parabola (x − h) = 4 p(y − k) y comparando con 2
2
2
2
2
2
(*)
→ v = (5/2, 33/4) 4p=-1→ p = −1/4 → | p = |1/4 h=5/2, k=33/4
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 37
¦ ¥
L tiene por ecuaci´on: L : y
− 0 = m(x − (−x )) y = m(x + x ), como tan 45 = −1 = m → L : y = x + x ademas P = P ∩ L → y = 2 + 5x − x y y = x + x → x + x = 2 + 5x − x → x − 4x + (x − 2) = 0 . . . (α) 0
0
0
2
0
2
0
2
0
por condici´ on de tangencia: discriminante= = ( 4)2 4(1)(x
− −
− 2) = 0 → x
0
= 6...β
→ L : y = x+ x = x+6...θ β en α : x − 4x + (x − 2) = x − 4x + (6 − 2) = x − 4x + 4 = 0 entonces x = 2, esto en θ ⇒ y = 2 + 6 = 8 0
2
∴
2
0
2
el punto pedido es P (x, y) = (2, 8)
65. Hallar los puntos de la parabola y = x2 + 2x + 25 en los que las rectas tangentes pasen por el origen. L2
L1
A
B
V(−1,24)
P : y = x
2
+ 2x + 25
y = (x + 1)2 + 24
→ y − 24 = (x + 1)
2
A y B puntos de tangencia
hallemos las ecuaciones de L1 y L2 L1 pasa por el origen
→ L : y = m x...α L 2 pasa por el origen → L : y = m x . . . β Se observa del grafico : A = L ∩ P entonces reemplazando L en P y = m x = x + 2x + 25 entonces x + (2 − m )x + 25 = 0 . . . θ 1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
por condici´ on de tangencia discriminante= = (2 m1 )2
−
− 4(1)(25) = 0
1
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola 2
(m1 m1
P´ agina: ¦38 ¥
2
− 2) = (2,5) − 2 = ±10 → m = 12 o m = −8 Si m = −8 → L : y = −8x . . . α m = −8 en θ → x + 10x + 25 = 0 → x = −5 esto en α : y = −8x = −8(−5) = 40 → A = (−5, 40) considere m = 12 = m → L : y = 12x . . . β m = 12 en θ → x − 10x + 25 = 0 → x = 5 esto en β : y = 12x = 12(5) = 60 → B = (5, 60) 1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
66. Dada la par´abola y 2 = 20x, hallar la ecuaci´on de la cuerda que pasa por el punto (2,5) y se divide en el por la mitad. Sean P 1 (x1 , y1) y P 2 (x2 , y2) los extremos de la cuerda Y
p1
p
p2
0
2 1
Si P 1(x1 , y1 )
F
X
∈ P → y = 20x P (x , y ) ∈ P → y = 20x 1
2
1
2 2
2
2
Restando miembro a miembro ambas ecuaciones de tiene: y12 y22 = 20(x1 x2 )
−
Recuerde que
− → (y +y )(y −y ) = 20(x −x ) entonces 1
2
1
2
1
y1 y2 x1 x2
2
− = m es la pendiente de la cuerda −
y1 y2 x1 x2
− = −
20 y1 +y2
. . .(*)
Ademas , como P (2, 5) busca el segmento P 1 P 2 p1 + p2 2 (x1 ,y1 )+(x2 ,y2 ) 2 y1 +y2 x1 +x2 2 2
→p= =( → (2, 5) = y5= →2= → x + x = 4 y y + y = 10 1
2
1
2
Luego, en (*): m =
20 y1 +y2
x1 +x2 y1 +y2 , 2 ) 2
=
20 10
=2
por tanto, la ecuacion de la cuerda es:
− 5 = m(x − 2) ↔ y − 5 = 2(x − 2) ↔ y = 2x + 1 67. Sean y = x − 8x + 21, x = 1, las ecuaciones de una parabola y una recta. y
2
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦39 ¥
Hallar el ´area del trapecio formado por la tangente a la parabola en el punto de intersecci´ on de la recta, los ejes coordenados y la recta dada. Y
C(0,y1) P:y=x2−8x+21
B(1,y0)
V(4,5)
A(1,0) X
x=1 L
y = x2
2
− 8x + 21 → y = (x − 4) + 5 → y − 5 = (x − 4) → V = (4, 5) B(1, y ) ∈ P → y = 1 − 8 + 21 → y = 14 → B(1, 14) L tiene por ecuacion : L : y − 14 = m(x − 1) ↔ L : y = mx + (14 − m) Como L es taangente a P → y = mx + (14 − m) = x − 8x + 21 x + (−8 − m)x + (7 + m) = 0 2
0
0
0
2
2
Por condicion de tangencia descriminante = = ( 8 m)2 64 + 16m + m2
− −
− 28 − 4m = 0
− 4(1)(7 + m) = 0
m2 + 12m + 36 = 0 (m + 6)2 = 0
→ m = −6
→ L : y = −6x + 20 c(0, y ) ∈ L → y = 20 → c(0, 20) 1
1
nos piden S trapecio = ( B+b )h = ( |OC |+2 |AG| ) OA = 2 68. La directriz L de una par´ a bola es 3x
| |
20+14 ,1 2
= 17u2
− 4y + 5 = 0 y su foco f=(6,2). Hallar la
distancia del v´ertice a la directriz y las coordenadas del v´ertice. La pendiente de L es m1 = 3/4 Como L
⊥ L entonces m .m = −1, donde m m = −1 → m = − Entonces , la ecuacion de L esta dad por L : y − 6 = m (x − 2) = − (x − 2) L : 3y + 4x − 30 = 0 3 4
1
2
2
2
2
4 3
4 3
2
pendiente de
L
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
Como p = L
P´ agina: 40
¦ ¥
∩L L:3x−4y+5=0
Y
V(x0,y0)
F(6,2)
L
X
entonces resolviendo: L : 3x
− 4y + 5 = 0 . . . α L : 3y + 4y − 30 = 0
Resolviendo estas dos ecuaciones tenemos que : y = 22/5 esto en α
→ x = 21/5 → p(x, y) = (21/5, 22/5)
Sabemos que : V es punto medio de P F 21/5+6,22/5+2 0 2 3(51/10) 4(16/5)15
→ V (x , y )( d[v, L] = | √ − − 0
2
entonces d[V,
2
3 +( 4) L] = 32
= ( 51 , 16 )) 10 5
| = |75/10| = 5
75 50
=
3 2
69. Una circuferencia tiene su centro en el foco de la par´ abola de ecuacion y 2 36 = 0 y pasa por el v´ertice de ´esta. Hallar su ecuaci´ on.
− 12x −
2
P : y − 12x − 36 = 0 y2 = 12(x + 3)
Y
P
C
p V(−3,0)
Comparando, esto con y 2 = 4 p(x sale que V (h, k) = V ( 3, 0) 40 = 12
→p=3
−
F(0,0)
X
− h)
F = (h + p, k) = ( 3 + 3, 0) = (0, 0)
−
Como la ecuacion de la circuferencia donde:
2
C esta dada pot : (x − h) + (y − k)
2
= r2 . . . α
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 41
¦ ¥
C (h1, k1 ) coincide con el foco ie: C (h1 , k1 ) = (0, 0) r=p=3 esto en α (x
2
− 0) 2
C:x
+ (y
− 0)
2
= 32
+ y2 = 9
70. Dada la par´abola y 2
− 2y − 4x + 7 = 0, hallar la ecuaci´on de la circuferencia cuyos
centros est´ a en el v´ertice de la par´ abola y que pasa por los puntos de intersecci´on
de la par´abola con una recta perpendicular al eje de la par´ abola y que pasa por el foco. L
Y
C P1
F
V
X P2
2
P : y − 2y − 4x + 7 = 0 (y − 1) − 4x + 6 = 0 → (y − 1) = 4(x − 6/4) = 4(x − 3/2) Comparando con : (y − h) = 4 p(x − h) 2
2
2
V (h, k) = (3/2, 1),
p = 1, 2 0
Como p1
F = (h + p, k) = (3/2 + 1, 1) = (5/2, 1)
∈ P entonces y − 2y − 4(5/2) + 7 = 0 → (y − 1) − 10 + 6 = 0 → (y − 1) = 2 → y − 1 = ±2 ⇒ p = (5/2, 3) y p = (5/2, −1) 0
2
0
2
0
2
0
1
2
la ecuacion de la circuferencia esta dado por: (x
−h ) 1
2
+ (y
2
−k ) 1
= r2
donde: C (h1 , k1 ) = V (h, k) = (3/2, 1) 2
2
2
→ C : (x − 3/2) + (y − 1) = r p ∈ C → (5/2 − 3/2) + (3 − 1) = r → r = 5 ∴ C : (x − 3/2) + (y − 1) = 5 71. Cu´al es el valor de k = ̸ 0 para que las coordenadas del v´ertice de la par´abola 2
1
2
2
2
2
2
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola x2
P´ agina: 42
¦ ¥
− 2kx − 2y = 0 sumen cero? Y
P
X F(2,−3/2)
V(2,−2)
x2
− 2kx − 2y = 0 . . .(*)
Completando cuadrados: (x2
2
2
− 2kx + k ) − k − 2y = 0 (x − k) = k + 2y = 2(y + ) 2
k2 2
2
el v´ertice de la par´abola est´ a dadp por V = (k,
−
k2 ) 2
como me piden que: k+(
−
k2 ) 2
=0
k2 k=0 2 2 k 2k =0 2
−
−
− 2) = 0 ̸ 0→k=2 como K = esto en (*): P : x − 4x − 2y = 0 (x − 2) = 2(y + 2) k(k
2
2
72. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la y2 = 10x,
y = mx + 6
y = 2x + b . . . (I ) y2 = 10x (2x + b)2 = 10x 4x2 + 4xb + b2 4x2 + x(4b
− 10x = 0
− 10) + b
2
=0
Luego ∆ = 0 2
(4b
2
− 10) − 4(4)(b) = 0 16b − 80b + 100 − 16b = 0 2
2
P : y
2
= 10x de pendiente 2.
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 43
¦ ¥
−80b = −100 entonces b =
5 4
Luego: y = mx + b y = 2x +
5 4
73. Hallar las tangentes a las
P : (y + 2)
2
= 4(x
− 1) que pasa por (−5, −1)
Y
L1
X V
P(.5,−1)
P
L2
V=(1,-2) I) L : y = mx + b
−1 = −5m + b x = y−5m+1 m
II) Reemplazamos en
P
y 2 + 4y + 16 = 4[ y−5m+1 m my 2
− 1] + y(4m − 4) + 28m − 4 = 0
△=0 (4m − 4) − 4(28m − 4)m = 0 6m + m − 1 = 0 m = 1/3 ∧ m = −1/2 ∧ 3y − x = 2 ∴ x + 2y = −7 2
2
74. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y 2 = 16x que son perpendiculares a 5x
− 2y = 6
75. Probar que las parabolas y 2 = 4(x + 1);
y2 = 9
rectos. y2 = ∴
−4(
3 )(x 2
−
− 6x se intersecan en angulos
3 ) 2
El lado recto intersecan en las dos parabolas hacen que formen angulos rectos.
76. Las rectas tangentes en los puntos P = (x1 , y1 ),
Q = (x2 , y2 ) de la par´abola
y2 = 4 px se intersectan en un punto T. Demuestre que:
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 44
¦ ¥
I) m1 .m = 5 2
−1 .m = −1
L:5x−2y=6
m = −52 II) Si L
Y
∈ P
P
y = −52 x + b 5b 5y 2 y 2 = 16 (5b 2 5y) 2
x= III)
−
−
y = 40y
△=0
1600 = b= ∴
X
− 40b = 0
−80b
L1
−10
2x + 5y + 50 = 0 a) T = ( y4 py , y 1
2
1
+y2 ) 2
b) el X.intersecto de PQ es :
−y y /(4 p). Hallando las rectas tangentes : 1 2
Y P(x1,y1)
T F(p,0) X
Q(x,y)
L1 : y
−y
1
= m(x
−x ) 1
y = mx mx1 + y1 Luego: (mx mx1 + y1 )2 4 px = 0
−
m2 x2 + (2my1
−
−
2
2 1
− 2m x − 4 p)x + (y 1
+ m2 x21
condicion de tangencia: ∆ = 0 (2my1 p2
2
2
1
2
− my p + m x p = 0 m x − my + p = 0 √ ± − ±√ 1
2
1
m=
2
2 1
− 2m x − 4 p) − 4m (y
y1
1 y12 4x1 p 2x1
+ m2 x21
y1 0 , 2x1
1 1
− 2mx y ) = 0
1
=
− 2mx y ) = 0
pues y12 = 4x1 p
1 1
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
m=
1
L1
1
L1
¦ ¥
y1 2x1
L1 : y L1
P´ agina: 45
y1 2k1 y1 y12
y12 2 p
− y = (x − x ); pero = 2x : y − y = (2 p)(x − x ) : yy − y = 2 px − 2 px : yy = 2 px − 2 px + 4 px , pues y = 4 px 1
1
1
1
2
1
1
1
2 1
1
1
L1 : yy 1 = 2 px + 2 px1
L1 : 2 p(x + x1 ) entonces y =
2 p(x+x1 ) y1
analogamente : para L2 en Q(x2, y2 ) L2 : yy 2 = 2 p(x + x2 ) entonces y = 2 p (x+x y
2
)
2
entonces x=
x2 y1 y2
2 p(x+x1 ) 2) = 2 p(x+x y1 y2 x1 y2 entonces x = y41 py2 y1 2 = y1 +y 2 2 ) T = ( y14 py2 , y1 +y 2
− −
Luego: y
entonces
77. En el punto P=(r,s) de la par´ abola y2 = 4 px, se traza la recta tangente y normal PN. Demuestre que:
−−→ − −→ − − → b) ∥F P ∥ = ∥F N ∥ a) P N = (2 p, s)
c) el a´ngulo LEP es recto, donde L es la intersecci´ on de la recta tangente con la recta directriz.
−−→ ⊥ −→ LP , donde K es el Y- intercepto de la recta tangente (Haciendo x=0)
d) F K
LT en el punto P (r, s) es: donde mLT =
r 2s
D
Y
P(r,s)
K
L
V
y
−s=
s (x 2r
entonces LN
− r) ⊥L
T
entonces mLN = −r2s
F(p,0)
N
X
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
∈L r = 2a − 2r a=
N
¦ ¥
2s r
entonces LN : y pero N
P´ agina: 46
− s = − (x − r) entonces −s = − (Q − r) 2s r
3r 2
ademas : mLN =
s a r
− − =− −−→ entonces P N = N − P = ( P N = ( , −s) ademas: (− )( ) = −1
s
3r 2
s 2s −r = − = − r
3r , 0) 2
r 2
2s r
r
2
− (r, s)
s 2r
s2 = r 2
4 pr = r2 4 p = r a = 32 (4 p) a = 6 p entonces P N = ( 4 p , s) 2
−
P N = (2 p, s)
−
d) Como P (r, s) es un punto de contacto entre L y P entonces por teorema: L : sy = 2 p(x + 5) L : 2 px
− sy + 2 pr = 0 −−→ entonces P N = (2 p, −s) Como K (0, k ) ∈ L entonces −sk = −2 pr entonces k = k = (0, ) −−→ ademas F = ( p, 0) entonces F K = K − F = (−P, ) Pero P (r, s) ∈ P entonces s = 4 pr entonces 2 pr = ⇒ −F→u = (− p, ) = (− p, ) 1
1
1
2 pr s
2 pr s
2 pr s s2 2
2
s2 2
s
s 2
Se observa que: ( p, s/2) =
1 2
1 2
− − (2 p, −s), − ∈ R. −F→k = r−→ P U , con r = −1/2 ∈ R −→ −→ P U . . . (∗) ⇒ −FK// −→ −→ pero, por hipotesis P U ⊥ LP de esto y * −−→ −→ sale que F K ⊥ LP 78. Hallar A y B para que la recta y = λx + B sea tangente : a)y2 = 4 px;
b)x2 =
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 47
¦ ¥
4 py a ) y 2 = 4 px,
y = λx + β
entonces λ2x2 + β 2 + 2βxλ λ2 x2 + x(2βλ ∆=0 4β 2 λ2
2
− 4 p) + β
− 4 px = 0
=0
2
2 2
− 16βλP + 16 p − 4β λ
=0
p = λβ
b ) x2 = 4 py,
x2
y = λx + β
− 4 pλx − 4 pβ = 0
∆=0
16 p2 λ2 + 16 pβ = 0 p = −λβ 2
79. A=(-9,3) y B=(-1,-5) los extremos del lado recto de una parabola . Hallar la ecuacion de la parabola , su vertice V, Su foco y la ecuaci´on de la directriz L2
Q2
V2
A
2 L1 F(.5,−1) 2
Q1
1,1) u⊥ = (−√ 2
√ 2 u = (1,1)
| | √ 8 ,2 √ | p| = 2 √ 2 4 p =
2
1,1 ) V F = 2 2( √ 2
V = ( 7, 3)
− √ − P : y′ = 8 2x′ L: diectriz.
√ N = (−5, −9) ∴ L : (−5, −9) + t(−1, 1) √ 2 NB = 4 2 (1,1)
V1 B
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 48
¦ ¥
80. Para que valor de la pendiente m , la recta y = mx + 3 es tangente a la parabola y2 = 12x? m2 x2 + 6mx + 9 m2 x2 + x(6m ∆=0
− 12x = 0 . . . (α),
y = mx + 3
− 12) + 9 = 0
36m2
2
Luego en (α) : x2 + 6x + 9
− 12x = 0
− 144m + 144 − 36m m = 1 ⇒ y = x+3 x2
− 6x + 9 = 0 (x − 3) = 0
=0
2
x = 3 entonces y = 6 ∴
81.
el punto de tangencia seria P 0 = (3, 6)
P es la parabola cuyo vertice y Foco son (1,1) y (17/5, 21/5) respectivamente? a ) Hallar los puntos de
u=
( 12 , 16 ) 5 5 , 4
P si la distancia al vertice es 4√ 5
F A = ( −516 , 12 ) 8 entonces 5 4
A( 3, 9) B(49/5, 3/5)
− − b ) Si C es la circufrencia cuyo centro es el vertice de P y cuyo radio mide 6u . Hallar los puntos de interseccion A y B de P y C 82. El vertice de la parabola P (−3, 1), su directriz es paralela a la recta 3x + 4y = 6 y uno de los extremos de su lado recto es (8, −1) encontrar. a ) Ecucion vectorial de P Y R
LF
u L:3x+4y+k=0
F
V(−3,1)
u=(4/5,−3/5)
X
P0
R’(8,−1)
P : y ′2 = 4 px′ . . . (α) x′ = [(x + 3, y x′ =
3x+4y+5 5
− 1)](
3 4 , ) 5 5
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola y ′ = [(x + 3, y y′ =
4x 3y+15 5
−
P´ agina: 49
¦ ¥
4 5
− 1)]( , −
3 ) 5
Luego reemplazando x′ , y ′ en (α) (4x 3y+15)2 25 2
−
=
4 p(3x+4y+5) 5 2
− 24xy + 120x − 90y = 20 p(3x + 4y + 5) Como: (8, −1) ∈ P ⇒ 2500 = 500P ⇒ P = 5 ⇒ P : 16x + 9y − 24xy − 180x − 440y − 275 = 0 P : 16x
+ 9y + 225 2
2
b ) Las coordendas del foco y el punto de intersecci´ on del eje Focal con la Directriz
D
F = v + pu⊥ F = ( 3, 1) + 5( 35 , 45 )
−
d(V, L) = 5
|3(−3)+4(1)+k| = 5 5 k = 30
⇒ L : 3x + 4y + 30 = 0 Eje Focal: (−3, 1) + t(3, 4) L : 4x − 3y + 5 = 0 L ∩ L = P 3x + 4y + 30 = 0 ⇒ 4x − 3y + 15 = 0 25y = −75 y = −3 ⇒ x = −6 → P = (−6, −3) F F
0
(3x + 4y = 4x
− 3y
=
−30)(4) −15(−3)
0
c ) Las Ecuaciones vectoriales y cartesianas del eje focal y Directriz de
La Directriz
Eje Focal
L : ( 6, 3) + r( 4, 3)
L1 : ( 3, 1) + t(3, 4)
− −
− y = − (x + 6) − 3 4y = −3x − 18 − 12
−
3 4
4y + 3x + 30 = 0
m=
4 3
y = 43 (x + 3) + 1 3y = 4x + 12 + 3 3y
− 4x − 15 = 0
d ) Las coordenadas del otro extremo del Lado recto.
RL = 20 (−4,3) 5 RL = ( 16, 12)
− L = (−16, 12) + (8, −1)
P
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦50 ¥
L = ( 8, 11)
−
83.
P es la par´abola cuyo foco es (7,8) y la intersecci´on dele je focal con la directriz de P es (-1,2). a) Encuentre las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta tangente a la par´ abola, en el punto P 0 cuya prdenada es 16 y cuta abscisa es menor de 10. b)¿ En qu´ e punto corta a la directriz de la par´ abola, la recta tangente en P 0 ? c) ¿ C´ u al es la longitud de la cuerda focal contenida en la recta que forma un ´angulo de 45◦ con el eje focal?. LT
P0 Y
L
F
u
V
P(−1,2)
X
d[F, L] = 2 p
√ 64 + 36 = 2 p p = 5
−→u = (
4 3 , ) 5 5
y′2 = 20x′ . . . (α) L : ( 1, 2) + t( 3, 4)
−
L : 4x + 3y
−
−2=0 ⇒ V = F − pu = (7, 8) − 5( ) = (3, 5) entonces V = (3, 5) − x′ = (x − 3, y − 5)( , ) → x′ = − y′ = (x − 3, y − 5)(− , ) → y ′ = − 9x + 16y + 121 − 24xy + 66x − 88y = 100(4x + 3y − 27) P : 9x − 24xy + 16y − 334x − 388y + 2821 = 0 Como P (x, 16) ∈ P ⇒ 9x − 384x + 4096 − 334x − 6208 + 2821 = 0 9x − 718x + 709 = 0 → x = 1 entonces P = (1, 16) 4,3 5
4 2 5 5 3 4 5 5
2
2
2
2
0
2
2
0
4x+3y 27 5 3x+4y 11 5
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola adem´as: mLT = LT : y
2 p y0
−y y − 16
=
LT
:
LT
:
0
=
P´ agina: ¦51 ¥
2(5) 16
=
5 8
mLT (x 5 8
5x
−x ) (x − 1) 0
− 8y + 123 = 0
(1, 16) + t(8, 5)
Ec. general Ec. vectorial
84. Los extremos del lado recto de una parabola
P son (-9,12) y (7,0) y las compo-
nentes del vector V F (V: vertice , F: foco) son positivos. Encontrar las ecuaciones vectoriales de la parabola
P y de su directriz L. R(−9,12)
Y
F 5 L 5
V
R’(7,0)
X
Q0
−u = ∥ − ∥ , → −→u = −
R R′ RR′ ( 16,12) 20
−→u = u⊥
( 4,3) 5 (3,4) = 5
−
F = R + R′ F = ( 1, 6)
− 4 p = D|RR′ | = (−16)
2
+ 122
4 p = 20 ∴ p
=5
V + pu⊥ = F V + 5 (3,4) = ( 1, 6) 5 V = ( 4, 2)
−
−
Q0 + pu⊥ = V Q0 + 5 (3,4) = ( 4, 2) 5 Q0 = ( 7, 2) L : Q0
− − −v + t→
−
L : ( 7, 2) + t( 4, 3),
− −
−
t
∈R
85. Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice (-2,-3) y un extremo del lado recto es B = ( 2, 7). Hallar ademas el foco y la ecuaci´on vectorial de la recta directriz.
−
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: ¦52 ¥
R(−2,7)
2p
p
L
V (−2,−3)
d[V, R] =
√ 5 p
R’
2
√ 5 p √ p = 2 5 √ y′ = 8 5x′ 2
10 = 2
a ) 1era soluci´ on :
V R = P u + 2 pu⊥ = (0, 10)
√ √ √ √ 2 5u = 4 5u
− √
√
(2 5u1 , 2 5u2 ) + ( 4 5u2, 4 5u1 ) = (0, 10) 1
2
u1 = 2u2
√
√ →u = ( √ ) u = √ ⇒ − √ F = (−2, −3) + 2 5( √ ) F = (2, −1) D : (x, y) = (−6, −5) + t(−1, 2) 2 5u2 + 4 5u1 = 10 2
2,1 5
2 5
2,1 5
b ) 2da soluci´ on
→u ⊥ = (0, 10) − 2 p− √ √ √ √ (2 5u , 2 5u ) − (−4 5u , 4 5u ) = (0, 10) √ √ 2 5u = −4 5u u = −2u √ √ 2 5u − 4 5u = 10 →u = ( −√ ) − ⇒− u = √ ⇒ u = √ →u f = V + p− √ F = (−2, −3) + 2 5( −√ − ) F = (−6, −1) D : (x, y) = (2, −5) + t(−2, 1) V R = pu 1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1 5
1
1
2,1 5
2 5
2, 1 5
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola 86. ... d[V, F ] = 5
u=
(4,3) 5 ( 3,4) 5
P´ agina: ¦53 ¥
si a¡10
u⊥ = −
| p| = 5
a ) * x′ = ((x, y)
x′ = (a
− v)u
− 3, 11)
(4,3) 5
4a+21 5
x′ =
*y ′ = ((x, y) y ′ = (a
− v)u⊥
( 3,4) 5
− 3, 11) −
y ′ = −3a+53 5
* y′2 = 20x′ ( 3a + 53)2 = 100(4a + 21)
−
9a2 + 709 = 718a entonces a = 1 ∴
x′ = 5
∧
y′ = 10
y ′ = x′ + b entonces b = 5 entonces y′ = x′ + 5
2
P : x − 6x + 5y − 11 = 0. N es una recta normal a P en el punto (−2, −1). Hallar la ecuacion de otra parabola P cuyo eje es N y que pasa por el foco de P y por el punto de intersecci´ on de los ejes Focales de P y P .
87. Sea la parabola
1
1
Sea L tangente y = mx + 2m
△=0
m = 2,
−1
m1 = a+1 5
−1/2 = a = −7/2 ∴ V ′ (3, −7/2)
−1/2
√ 5 entonces u⊥ = (−√ 2,1) u = (1,2) 5 √ 5 *x′ = (0, 25/4) (2,1) x′ =
√
5 5 4
√ 5 *y ′ = (0, 25 ) (1,2) 4 y′ =
5 2
√ 5
y′2 = 4 px
| p| = √ 5 5 4
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 54
¦ ¥
√
y′2 = 5 5x′ 88. F=(9,8) es el Foco de una parabola ,
Q = (11, 22)
∈ P y Cp ⊥ F Q = 10, siendo u el vector direccional del eje Focal con ambas componentes positivo. Si la recta √ L tangente a P en Q intersecta al eje Focal en el punto A tal que d[A, Q] = 10 17. Hallar la ecuacion de P (el vector u es unitario). P
u
t
LT
Y
Q
10
10 F(9,8) V
A
X
C pu F Q = F H = 10
| |
⊥
⇒ |F H | = 10 ademas : |V F | = 10 ⇒ p = 10 F Q = 10u + 10u⊥
4 3 5 5
(2, 14) = 10u + 10u⊥ V = F
− 10(
4 3 , 5 5
V = (1, 2)
⇒u=( , ) ) = (9, 8) − (8, 6)
y′2 = 4(10)x′
P : y′2 = 40x′ 90. Sea P una parabola con vertice V = (4, −12) y sea la recta T : p +t(1, 2) tangente a P . Si una recta L que pasa por V y es perpendicular al eje focal se intersecta con T en (−2, −4), Hallar la ecuacion de P 0
T : P 0 + t(1, 2)
T : ( 2, 4) + t(1, 2) entonces m = 2
− −
6,8) = (−3,4) u⊥ = (−10 5
u=
(4,3) 5
y = 2x
I) Transformacion: x′ = (x
− 4, y + 12)
x′ = ( 4x−5 16 +
(4,3) 5
3y+36 ) 5
( 3,4) 5
∧ y′ = (x − 4, y + 12) − 3x+12 5
∧ y′ = −
+
4y+48 5
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola x′ =
4x 16+3y+36 5 2
−
P´ agina: ¦55 ¥
∧ y′ =
4y 3x+60 5
−
entonces y′ = 4 px′
( 4y−3x+60 )2 = 4 p( 4x−16+3y+36 ) 5 5 determinante cero: p2
− p − 6 = 0 entonces p=3 a ) Ecuacion P : y ′2 = 12x′
91. Dada la Parabola (x
− 3)
2
= 12(y
de la forma y = 12 x + b.
P : (x − 3)
2
= 4(3)(y
L : y = 12 x + b entonces: (x x2 + 9 x2
− 3)
2
− 2)
v(3, 2),
= 12( 12 x + b
− 6x = 6x + 12b − 24 − 12x + 33 − 12b = 0
− 2) encontrar la ecuacion de la recta tangeente | p| = 3
− 2)
Determinante igual a cero 144
− 4(33 − 12b) = 0 36 = 33 − 12b entonces b = −1/4 L :y= − x 2
T
1 4
LT : 4y = 2x
−1
92. Una parabola cuyo v´ertice esta en el eje y y su eje focal est´a contenido en la recta y = 3x + 4, pasa por el punto p = (2, 20), Halle la ecuacion de la parabola y de su recta directriz D. y2 = 4 px . . . (α)
−→u = ( √
√ 310 )
x′ = [(x, y)
− (0, 4)]( √
1 , 10
x′ =
1 , 10
√ 310 )
3 , 10
√ 110 )
x+3y 12 10
√ −
y′ = [(x, y)
− (0, 4)]( √ −
y 3x 4 10 12) y 2 +9x2 +16 6xy 8y+24x = 4 p(x+3y 10 10 12) 400+36+16 240+48 160 Como Q(2, 20) = 4 p(2+60 10 10 10 = 4 p(50) 10 10 p = 20
⇒ y′ = −√ − ⇒ en (α) : √ √
− −
∈P⇒
−
√ − −
√ −
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
√ 10
⇒ y ′2 =
5 2
P´ agina: ¦56 ¥
x′
√ 10
x+3y 12 10
⇒ y + 9x − 6xy − 8y + 24x + 16 = ( √ − ) P : 45x + 5y − 25xy√ − 43y + 112x + 92 = 0 D : (x, y) = (0, 4) − ( √ , √ ) + t(− √ , √ ) D : (− , ) + t(−3, 1) 2
5
2
2
10 20
1 10
3 10
3 10
1 10
1 27 20 20
Q(2,20) Y
L:y=3x+4 u
V(0,4)
X
94. La circuferencia C : (x
2
2
− 8) = 25 es tangente a una parabola P en P = (x , y ), y > 7. La recta L : 4x − 3y + 12 = 0 es normal a P y c en P y corta al eje focal de P en el punto R (foco de P ). Si |C p | = |P R| y si la distancia d[ p , eje Focal] = 4, Hallar la ecuacion de la parabola P . C es el centro de la circuferencia, y la abscisa del vertice es menor 0
0
0
− 3)
+ (y
0
0 0
0
0
0
0
que 6.
c(3, 8),
r = 5,
C : (x − 3)
V = (3, 4) p0
∈C
p0
2
+ (y
4x0 +12 3
∈L :y = − 3) + (y − 8) = 25 2
N
0
2
→ (x (x − 3) + ( − ) = 25 25x − 150x = 0 x =0 → y =4 x (x − 6) = 0 x = 6 → y = 12 pero y > 7 → P = (6, 12) adem´as: P R = 4v − 3v ⊥ P R = (3, 4) ⇒ R = (3, 4) + P 0
4x0 12 2 3
2
0
0
2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
R = (9, 16)
Luego : Q = P 0 + 4v Q = (6, 12) + 4(0, 1)
0
2
− 8)
= 25 LN : 4x
− 3y + 12 = 0 con vertice
§ ¤
Serie de Ejercicios de Par´ abola
P´ agina: 57
¦ ¥
Q = (6, 16)
∈ eje focal tenemos u//QR ⇒ u = (1, 0)
entonces la recta directriz L = 1, V = (5, 16) con P = 4
P : (y − 16)
2
= 16(x
− 5)
95. Los puntos A = (60, 13) y B=(-4,61) pertenecen a una parabola
P y son simetricos
respecto al eje Focal. Desde un punto Q que se encuentra sobre el eje focal con abscisa 20 , se traza un recta tangente a de
P que pasa por B. Hallar: a) la ecuacion
P , b) las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde Q. Lt1 LF B
H u
V
a
Lt2 A
Q
⊥
u = |aa | = ( 35 , 45 ) H = A+B 2 ⊥
H = (28, 37), entonces y′2 = 4 px′ . . . (α) LF : (28, 37) + t(3, 4) LF : 4x Q
− 3y = 1
∈ L entonces 4(−20) − 3m = 1 m = −27 entonces Q = (−20, −27) F
donde V =
Q+H 2
V = (4, 5) 3x+4y 32 5 4x+3y+1 5
3 4 5 5 4 3 5 5
x′ = [(x
− 4, y − 5)]( , ) entonces x′ = y′ = [(x − 4, y − 5)]( − , ) entonces y ′ = −
−
entonces en (α), se tiene : ( 4x+3y+1)2 25 2
−
−32) = 4 p (3x+4y 5 2
P : 16x + 9y − 24xy − 8x + 6y + 1 = 20 p(3x + 4y − 32) B ∈ P : 40000 = 20 p(200) entonces p = 10 y′2 = 40 px′ a )
2
2
P : 16x − 24xy + 9y − 608x − 794y + 6401 = 0