Paulo Quileili
COLEÇÃO PROVAS COMENTADAS
Raciocínio Lógico ESAF 3a edição
&
£ d ito m ^ e i r a
Rio de Janeiro
2009
Copyright © Editora Ferreira Ltda., 2005-2009 1.ed. 2005; 2. ed. 2008; 3. ed. 2009 Capa Bruno Barrozo Luciano
Diagramação Bruno Barrozo Luciano e Diniz Comes dos Santos
Revisão Fiávia Bozzi Costa
Esta edição foi produzida em abri! de 2009, no Rio de Janeiro, com as famílias tipográficas Syntax (9/10,8) e Minion Pro (12/14), e impressa nos papéis Chambril Chambril 70g/m2 70g/ m2e e Caroiina 240g/m2 na gráfica Sermogr Sermograf. af.
CIP-BRASJL, CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE UVROS, RJ. Q58r 3.ed. Quilelli, Paulo, 1946Raciocínio lógico ESAF / Paulo Quilelli. - 3.ed. - Rjo de Janeiro : Ed. Ferreira, 2009. 184p.-(Provas comentadas / da ESAF) ISBN 978-85-7842-068-0 1. Lógica simbólica e matemática - Problemas, questões, exercidos. 2. Matemática - Problemas, questões, exercidos .3. Serviço público - Brasil - Concursos. I. Escola de Administração Fazendária (Brasil). II. Titulo. III. Série. 09-1556. CDD: 511.3 CDU: 510.6 06.04.09
09.04.09
011957
Editora Ferreira Ferreira
[email protected] www.editoraferreira.com.br TO DO S O S DIREITOS RESERVADOS - É proib proibida ida a repro reproduç dução ão total total ou pardal, de qualquer forma ou por qualquer meio. A violação dos direitos de autor (Lei n° 9.610/98) é crime estabelecido peío artigo 184 do Código Penal. Depósito legal na Bibíioteca Nacional conforme Decreto n° 1.825, de 20 de dezembro de 1907.
impresso no BrasiUPrinted in Brazii
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CIP-BRASJL, CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE UVROS, RJ. Q58r 3.ed. Quilelli, Paulo, 1946Raciocínio lógico ESAF / Paulo Quilelli. - 3.ed. - Rjo de Janeiro : Ed. Ferreira, 2009. 184p.-(Provas comentadas / da ESAF) ISBN 978-85-7842-068-0 1. Lógica simbólica e matemática - Problemas, questões, exercidos. 2. Matemática - Problemas, questões, exercidos .3. Serviço público - Brasil - Concursos. I. Escola de Administração Fazendária (Brasil). II. Titulo. III. Série. 09-1556. CDD: 511.3 CDU: 510.6 06.04.09
09.04.09
011957
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Sumário Parte 1 - Resumo teórico teórico C o n ju n to .......... ................ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... .......... ........... ........... ........... ........... ......... 1 P e rtin rt in ê n c ia..... ia ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... .......... ........... .......... .... 1 Representação Represe ntação do c o n ju n to ........... ................. ............ ........... ........... ........... ........... ........... .......... ........... ........... ........... ........... ........... ........ 1 Igualdade ........... ;.................................................................................................. 1 Conjunto Con junto vazi va zio.......... o................ ........... ......... .... ............................-................................................. 2 Conjunto Conj unto u n itá it á rio ri o ........... ................. ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........... ............ ........... .......... ........... ............ ............ ............ .......... 2 ............................................................................ .............. 2 Conjuntos Numéricos............. .............................................................. Relaç Re lação ão de I n c l u s ã o ........... ................. ........... ........... ............ ........... .......... ........... ............ ............ ........... .......... ........... ............ ........... ....... 3 Interseção Interseção de con c onjun juntos tos... ...... ...... .....................................................................................4 União de c on jun ju n tos......... to s............... ............ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... .......... ...........4 ......4 Diferença de conjuntos................................ ............... ......................................... 5 Conju Co njuntos ntos U n ive iv e rso rs o ............ ................. ........... ............ ........... .......... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ........... ........... ..........5 ....5 Conj Co njun unto to C o m p le m e n ta r ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... 5 Conjun Con junto to das P a r te s ........... ................. ........... ........... ............ ........... .......... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ............ ......... ... 6 Lógica............................................... *.................................................................... 6 O pera pe raçõ ções es L ó g ic a s ........... ................ ........... ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... .......... ........... ........... ........ ... 8 Tautologia ..................................................................................:....................... 11 .....................................................ii ......... ........................................ 11 Contradição ..................................................... C o n tin ti n g ên c ia...... ia ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... .......... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........ ... 1 2 Implicação Lógica ............... .....l................. ..................................................... 12 Equival Equivalênc ência ia L óg ica ......... ..............I....... ............................................ .......... 13 Proposição Contrapositiva ......... ...................... .............................................. 13 Regras de Negação ..................................... .................................................... 14 Argumentação Lógica............................................. ...................................... 15 Quantificadores ............................................................................................... 16 Diagramas Lógicos.......................................................................................... 16 Negação de Sentenças Sentença s com Q uant ua ntif ific icad ador ores es...... ........... ........... ............ ............ ........... .......... ........... .......... .... 17 .
.
.
lll
Matriz .............. .................„......... .................................................................. 18 .
.
Operações ........................................................................................................
20
Determinante .......................... .........................................................................2 2
Sistema L in e ar..................................................................................................25 Análise C o m b in ató ria ....................................................................................30 Probabilidade.......................................................................................................34 Parte 2 - Provas resolvidas ' Prova 01 - Agência Nacional de Águas-ANA/2009 ...................................... 37 Prova 02 - Controladoria Geral da União/TFC/2008 .................................. 45 Prova 03 - Vários cargos/MPOG/ENAP/SPU/2006 ...................................... 51 Prova 04 - Analista de Finanças e Controle/AFC/2006 ................................... 63 Prova 05 - Técnico administrativo/Aneel/2006 ............... *........................... 73 Prova 06 - Auditor-íiscal do Trabalho/AFT/2006 .......................................... 79 Prova 07 ~ Auditor-fiscal da Receita Estadual/AFRE-MG/2005 ...... ............ 83 Prova 08 ~ Gestor fazendário/Gefaz-MG/2005 ............ ................................. 87 Prova 09 - Analista de Planejamento e Orçamento/MPOG/2005 ............... 91 Prova 10 - Técnico/Área administrativa/MPU/2004.2 ............................... 101 Prova 11 - Técnico/Área administrativa/MPU/2004.1 ................................. 111 Prova 12 -
Analista/Área administrativa/MPÜ/2004 ................................ 121
Prova 13 - Analista de Finanças e Controle/CGU/2003-2004 .............. 133 Prova 14 ~ Auditor-fiscal do Trabalho/MTE/2003 ..... ................................ 143 Prova 15 - Auditor do Tesouro Municipal/Prefeitura do Recife/2003 ...... 151 Prova 16 - Analista de Finanças e Controle/AFC / 2 0 0 2 ............................... 155 Prova 17 ~ Analista/Serpro/2001 ..................................................................... 161 Prova 18 - Técnico de Finanças e Controle/SFC/2000 ................................ 171
IV
Resumo Teórico Conjunto Uma Um a ideia intuitiva de conjunto pode po de ser: ser: conjunto é uma coleção de obje E ntendem-se -se objetos como núme nú meros, ros, pessoas, pessoas, animais, pontos, etc., etc., que são são tos. Entendem os elementos do conjunto. É usual o emprego de letra maiúscula para representar conjunto, e de le tra minúscula para representar um elemento desse desse conjunt conjunto. o.
Pertinência Se a é elemento elem ento do conjun co njunto to A: j a e Ã| lê-se “a “a perten pert ence ce a A” A” Se a não é elemento eleme nto do d o conjunt co njuntoo A:|a g Aj lê-se “a não perte pe rtence nce a A” A”.
Representação Representação do conjunto co njunto a) Através de seus elementos colocados entre chaves e separados por vírgula: A = {1 , 2 , 3,4} b) Através de d e um u m a pro p ropr pried iedad adee de seus se us elementos: elem entos: B - {x | x é primo prim o m enor en or que q ue 10}, onde “j” “j” lê-se “tal “tal que” c) Através Através de diagrama diagra ma (diagrama (diagram a de Venn) Venn)
Igualdade Dois conjuntos conjun tos A e B são iguais se todos os elementos de A forem elemen elem en tos de B e todos os elementos elem entos de B forem elementos de A. A- B Nota: A = {2,5,7} B = {2,2, 5,7,7,7} C = {7, 5, 2 } A=B=C 1
Provas Comentadas da Esaf
Conjunto vazio A ~ {x e N | x 2 - -9} O conjunto A não tem nenh ne nhum um elemento, elemento, logo logo,, A é vazi vazio. o. A = {}
ou
A = 0
Conjunto unitári un itárioo A = {x {x | x é a capit ca pital al do Brasil} A é um conjunto que qu e possui um só element elemento: o: A - {Bra {Brasí síli lia} a},, logo, logo, A é conjun co njunto to unitár u nitário. io.
Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Nú meros Naturais: Naturais: N - {0,1 {0 ,1,2 ,2,, 3 ,4, ,4 , 5, 6 ,...} Conjunto Conjun to dos Números Núm eros Naturais Não Nulos: Nulos: N* - { 1 ,2 ,3 ,4 ,5,6 ,5 ,6 ,... ,. ..}} Conjunto dos Números Número s Inteiros Inteiros:: Z = {. {..., -4, -4, -3, -3, -2,-1 -2 ,-1,0 ,0,1 ,1,2 ,2,3 ,3,4 ,4,.. ,...} .} Conjunto dos Números Núme ros Inteiros Não Nulos: Nulos: Z* = {..., -4, -3, -2,-1,1,2,3,4,...} Conjunto dos Números Inteiros Não Negativos: Z, = {0, +1,4-2, +3, +4,,..} Conjunto dos Números Inteiros Não Positivos: Z_= {..., -4, -3, -2,-1,0} Conjunto dos Números Inteiros Estritamente Negativos: Z > {..., ..., -4, -3, -2, -2, -1 } Conjunto dos Números Inteiros Estritamente Positivos: Z+—{+1, +2, -f-3,4-4,...} Paulo Quilelli
2
Resumo Teórico
Conjunto dos Números Núm eros Racion Racionai ais: s: Q = {xj {x j x =
, p e Z e qeZ*}
“São São todos os números n úmeros que podem pode m ser colocados colocados sob forma de fração com o numerador sendo um inteiro inteiro e o denominador sendo sendo um u m número inteiro inteiro não nulo” Conjunto dos Números Núm eros Racionai Racionaiss Não Nulos: Nulos: Q* = {x {x | x = —, p e Z* e q e Z*} ______ __ ^ ____ ______ __ __________ ____ ____ Conjunto dos Irracionais: Irracionais: _ _
1 = 1/2, y5,e,7T,...} “São todos os números que não podem ser obtidos pela divisão de dois números núm eros inteiros” inteiros” Conjunto dos Números Reais: 8t = Q u I "Todos os números racionais e todos os números irracionais são núme ros reais”. Notas:
1 ) N c Z c Q c R (todo núme nú mero ro natural natur al é inteiro, inteiro, é racional e é real) real) 2) Z+ - N 3) Diagrama Diagrama dos Conjuntos C onjuntos Numéricos
Relação de inclusão Se todos os elementos de A são também elementos de B, dizemos que "A está contido co ntido em B” B” ou que "A é subconju subc onjunto nto de B” B” A cB Ou, Ou , então, entã o, que “B “B cont co ntém ém A”. B A 3
Provas Comentadas da Esaf
Raciocínio Lógico
Provas Comentadas da Esaf
A negativa se faz: í A £ Bl A não é subconjunto de B ou A não está contido em B. B í>AJ B não contém A. Notas:
1) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo: ÍM c M 1 Ou todo conjunto contém a si mesmo: ÍM 3 MÍ 2)
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: I 0 c P L qualquer que seja P.
Interseção de conjuntos A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elemen tos que pertencem a A e pertencem a B. Ex.: A = {1,2 , 3,4} e B = {2 , 3, 5, 6 } AnB= {2,3} Logo A n B = {x [ x e A A xe B} Onde A = e
União de conjuntos A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os ele mentos de A e todos os elementos de B. Ex.: A = {1 , 2 , 3,4} e B = {2,3,5,6} A u B = {1,2, 3,4 ,5, 6 } Logo |AuB= {x xe Av xe B} OndeV =ou
Propriedades
Au A=A A n A —A Au 0 = A An 0 = 0 Au B= Bu A AnB=BnA Paulo Quilelli
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Resumo Teórico
Resumo Teórico
(AuB )uC (AnB )nC Au(BnC) An(BuC)
= Au(BuC ) = An(B nC) = (AuB)n(AuC ) = (AnB)u(AnC)
Diferença de conjuntos A diferença entre um conjunto A e um conjunto B é o conjunto formado por todos os elementos de A que não são elementos de B. Ex.: A - {1,2,3,4} e B = {2,3, 5,6} A - B = {1,4} Logo A - B = { x | x e A A x ^ B }
Conjunto universo Quando definimos um conjunto para fazermos uma operação matemáti ca qualquer, a esse conjunto denominamos Conjunto Universo (U). Ex.: A solução da equação x + 5 = 3, sendo U = Z, é -2, mas, se U = N, a equação não tem solução.
Conjunto complementar A condição para que exista o complementar de A em relação a B é que A seja subconjunto de B. Então, determina-se o complementar de A em relação a B pela diferença B - A. Se A C B , então C* = B —A Ex.: 1) A = (1, 2, 5} e B = {1,2,4, 5} . A diferença B - A = {4} pode ser chamada de complementar de A em re lação a B, porque A C B . <={4} 2) A = {1,2, 3,4} e B = {1,2,4,6,7} A diferença B - A = {6, 7} não pode ser chamada de complementar de A em relação a B, porque A ÇZ B. Neste caso, não existe o complementar de A em relação a B. 5
Raciocínio Lógico
Provas Comentadas da Esaf
5) Complementar de A em relação ao conjunto universo U A
C
_
Qy ” A ~ A . Propriedades *A ~ A = 0 * A -0 =A *0 - A = 0 *A u  = U * A n A = 0 *Sendo n (A) o número de elementos de A,n(AuB) = n(A)-f n(B)-n(AnB) *n(AuBuC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AnB) - n(AnÇ) - n(BnQ + n(AnB nQ
Conjunto das partes O Conjunto das Partes de A é o conjunto formado por todos os subcon juntos de A: ~P(Ã7 Ex.: A = {1,2, 3} P (A) - { 0 , {1}, {2}> {3}, {1,2}, {1,3}, (2}3}, {1,2,3}} Nota: O número de elementos do Conjunto das Partes ou o número de subconjuntos de um conjunto de n elementos é 2Q.
n (A) = n => n [P(A)j = 2a Ex.: A = {1, 2,3} n (A) = 3 => n [P(A)j = 23= 8 LÓGICA Proposição: É uma sentença fechada declarativa que exprime um pensa mento que pode ser verdadeiro ou falso e que normalmente é designada pelas letras p, q, r ,... Ex.: p: China é um país asiático Paulo Quilelli
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Resumo Teórico
Não são proposições as interrogativas, as imperativas e as exclamativas, pois não podem ser classificadas de verdadeira ou falsa. Ex.: Quem está aí? Feche o olho. Feliz aniversário! Valores Lógicos: Os valores lógicos de uma proposição são a verdade (V), se a proposição for verdadeira, e a. falsidade (F), se a proposição for falsa.
Princípios básicos da lógica Io) Princípio do terceiro excluído: Toda proposição só pode ser falsa ou verdadeira, exduindo-se qualquer outra hipótese. 2o) Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadei ra e falsa ao mesmo tempo.
Exercício Determ inar o valor lógico das proposições abaixo: 1) O 2 é o único número natural par que é primo 2) Manaus é a capital do Pará 3) -2 < -9 4) D. Pedro II foi o último Imperador do Brasil
(V ) (F ) (F ) (V )
As sentenças declarativas (proposições) possuem valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F). As sentenças interrogativas, imperativas ou exclamativas não são pro posições e, por conseguinte, não possuem valor lógico. São proposições: a) Fernanda Montenegro é artista premiada. b) Uma tonelada tem 1.000 gramas. , Não são proposições: a) Obina é craque? (interrogativa) b) Feliz aniversário! (exdamativa) c) Vá embora, (imperativa)
.\
Conectivos: São expressões utilizadas para, a partir de proposições simples, formar proposições compostas. Essas expressões são representadas por sinais lógi cos. São eles: A., e V., ou s e ... então -¥ O . se, e somente se 7
Provas Comentadas da Esaf
Raciocínio Lógico
Provas Comentadas da Esaf
Exemplos:
Manuela foi nadar e Rafaela foi ao cinema. Curitiba é a capital do Paraná ou o rio Amazonas está na Região Norte. Se João é médico, en tão sabe biologia. „ Um triângulo é equilátero se, e somente se, os três lados forem congruentes. Proposições Compostas: São proposições formadas por duas ou mais propo sições simples, utilizando-se os conectivos e, ou> então ou se, e somente se. Tàbélas-verãade: São tabelas que representam todas as possibilidades dos valores lógicos (V ou F) das proposições simples ou compostas.
OPERAÇÕES LÓGICAS Negação (~ ou ~0 A negação de p é não p (~p) ou (-»p). Se p é verdade, então ~p é falsa, e, se p é falsa, então ~p é verdade. Tabela-verdade
Ex.: Se “Maria vai à praia” for uma proposição verdadeira, então “Maria não vai à praia” é uma proposição falsa. Sendo p: A questão não é difícil, então: ~p: A questão é difícil. ~p: Não é verdade que a questão não é difícil. ~p: É falso que a questão não é difícil. Conjunção (A) “p e q” (pAq) será verdadeira, se p for verdadeira e q for verdadeira, e será falsa nos casos restantes. Paulo Quilelli
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Resumo Teórico
Resumo Teórico
Tabela-verdade p V V F F
p A q V F F F
q V F V F
Ex.: A Terra gira em torno do Sol e a Lua gira em torno da Terra (V). A Terra gira em torno de Plutão e a Lua gira em tom o da Terra (F).
Disjunção (ou) Na língua portuguesa não temos outra palavra para distinguir os dois sen tidos da palavra “ou” Exemplo: P: Paulo é professor ou engenheiro. Q: Paulo é carioca ou cearense. Na proposição P, o “ou” é inclusivo , pois aceita a interseção: engenheiro ou professor, podendo ser engenheiro e professor. Desta forma, o símbolo lógi co é “v”. Na proposição Q, o “ou” é exclusivo, não aceita a interseção: carioca ou cea rense, mas não ambos, carioca e cearense. Assim, o símbolo lógico é “V”
Disjunção indusiva (V) “A princesa é bonita ou form osã” Entende-se que “a princesa é bonita” pode ser verdade, “a princesa é formo sa” também pode ser verdade, assim como “bonita e formosa” também. Isso ca racteriza a disjunção indusiva. “p ou q” (p V q) será falsa sempre que p for falsa e q for falsa, e será ver dadeira nos casos restantes. Tabela-verdade PV V F F
q
v
F V F
p V q V V V F
Ex.: Suíça é um país africano ou 5 + 9 = 21. (F) Paris é a capital da França ou 5 > 8. (V ) 31 é um número primo ou 10 é um número par. ( V ) 9
Raciocínio Lógico
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Disjunção exclusiva (V) “José nasceu em Pernambuco ou em São Paulo.” Entende-se que não pode ser verdade nascer em Pernambuco e em São Paulo. Aqui a interseção não existe, é falsa. “p ou q, mas não ambos” (p V q) será falsa sempre que os valores lógicos de p e q forem ambos verdadeiros ou ambos falsos, e verdadeira quando os va lores lógicos forem contrários. Tabela-verdade q V
p V q
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p V
'
F
Condicional (—>) “se p, então q” (p —>q) é sempre verdadeira, exceto quando p é verda deira e q é falsa. Tabela-verdade P V
q v
v
V
F
F
F
V p
V v
F
Ex.: Se a bola de futebol é cúbica, então a borboleta é peixe. Se o Brasil é campeão, então 4-1-3 = 9. Se 4 é ímpar, então 3 é menor que 9.
(V) (F ) (V)
Nota: Chamando de p a proposição ”6 é número inteiro” e de q % é nú mero real”, a proposição composta "se 6 é núm ero inteiro, então 6 é real” enten de-se como p —>q.
“6 ser número inteiro” (p) é condição suficiente para “6 ser real” (q), enquanto que “6 ser real” (q) é condição necessária para "6 ser núm ero in teiro” (p). Paulo Quilelli
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Resumo Teórico
Bicondicional (<->) “p se, e somente se, q” (p <-» q) só será verdadeira se ambas forem verdadei ras ou ambas forem falsas, e será falsa quando tiverem valores lógicos contrários. Tabela-verdade p V V F F
p
<í V F V F
>
Ex.: Paris fica na França se, e somente se, a baleia é mamífero. ( V ) Tiradentes foi inconfidente se, e somente se, 8 < 2. (F) A Terra é plana se, e somente se, 3 é um número irracional. ( V ) Notas:
1) p é condição necessária e suficiente para q, ou ainda, q é condição ne cessária e suficiente para p, na bicondicional p(v) «->q(v). 2) Chamando de p “Flamengo é campeão” e de q “Flamengo somou mais pontos”, a proposição composta “Flamengo é campeão se, e somente se, somou mais pontos” entende-se como p<~~>q. “Flamengo é campeão” é condição neces sária e suficiente para “Flamengo somou mais pontos”, assim como “Flamengo somou mais pontos” é condição necessária e suficiente para “Flamengo é campeão”.
Tautologia Ê toda proposição verdadeira sempre, independente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Ex.: p V ~p
, P V F
~P F• V
...: 'P v ~P V V '
“Chove ou não chove” é uma proposição tautológica por ser sempre verdadeira.
Contradição É toda proposição sempre falsa, independente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Ex,: p A ~p 11
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Raciocínio Lógico
Provas Comentadas da Esaf
p V F
p A~p F F
~P F V
“Chove e não chove” é uma contradição por ser sempre falsa.
Contingência É toda proposição composta que não é tautológica nem contraditória, isto é, a sua tabela-verdade possui os valores lógicos V e F. Ex.: A proposição composta (pA~q) (~pvr) é uma contingência. P V V V V F F F F
r
q V v
V F V F V F V F
F F V V F F
~q F F V V F F V V
' P A~q F F V V F F F F
~P F F F F V V V V
~pVr (pA~q) V F V F V V V V
(~pvr) F V V F F F F F
Implicação lógica p => Q (P implica Q) lê-se “P implica Q”. P só implicará Q se a condicional P => Q for tautológica, isto é, for sem pre verdadeira. Ex.: p A q => p V q Vamos verificar pela tabela verdade se a condicional (p tautológica. P V V F F
q V F V F
A
q) *» (p v q) é
p-> q
"ip
->pVq
(p^q)<-^(->pVq)
V F V V
F F V V
V F V V
V V V V
A condicional é tautológica, p Aq implica p v q. Caso uma proposição não implicar outra denotamos p or =£. Ex.: (p A q) =£ (p v q)
Paulo Quiielli
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Resumo Teórico
Resumo Teórico
Equivalência lógica P <=> Q (P eqüivale a Q ou P é equivalente a Q). P só será equivalente à Q se a bicondicional P -o Q for tautológica, isto é, for sempre verdade. Exemplo: Vamos verificar se a proposição “se faz sol vou à praia” é equiva lente a “não faz sol ou vou à praia”, expressas logicamente por: (p -* q) <=> (“>p Vq). Façamos a tabela-verdade para verificar se a bicondicional: (p q) (ip Vq) é tautológica. p V V F F
q V F V F
P —^
•np
->p V q
(p -> q) <-> (-.p V q)
V F V V
F F V V
V F V V
V V V V
A bicondicional é tautológica, portanto são equivalentes as duas proposições. Conclusão: para que a bicondicional seja tautológica é necessário que a tabela-verdade de p q seja ordenadamente igual à tabela-verdade de -ip v q. Podemos, então, definir que duas proposições são equivalentes quando têm a mesma tabela-verdade. Proposição contrapositiva
'< ~q —» ~p é chamada de proposição contrapositiva de p —>q. São propo sições equivalentes: ‘ (p —»q) <=>(-rq —>~p) P V V F F
q V ' F V F
p
q
“P F F V V
’V F V V
..~q ...~q.-»~p F V F V
V F v
v
Sendo verdadeira a proposição “Se x2é ímpar, então x é ímpar” (p —>q), será verdadeira também a proposição “Se x é par, então x2 é par*((_q_> ~p). Caso uma seja falsa, a outra tam bém será.
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Raciocínio Lógico
Provas Comentadas da Esaf
REGRAS DE NEGAÇÃO Regras de Morgan ~(p A q) <=> ~p v ~q p V V F F
q V F V F
~{pAq) F V V V
pA q V F F F
~<1 F V F V
~p F F V V
~pV~<5 F V V V
Ex.: A negação de “Lilian é bonita e Rodrigo estuda” é “Lilian não é boni ta ou Rodrigo não estuda”.
~(p v q) <=> ~p P V V F F
pVq V V V F
q V F V F
~(pVq) F F F V
a
~q ~q F V F V
~P F F V V
~pA~q F F F V
Ex.: A negação de “Manuela é nadadora ou 2 + 2 = 5” é “Manuela não é nadadora e 2 + 2 * 5”
Negação da condicional ~ (p —>q ) <í=>p A~q P V V F F
q V F V F
p~4q V F V V
~(pH>q) F V F F
~q F V F V
. pA~q
..
F V F F
Ex.: A negação de “Se faz sol vou à praia” é “Faz sol e não vou à praia”
Negação da bicondicional ~(p B q ) « ( p A ~q) V (~P A q) P V V F F Paulo Quilelli
q V F V F
p O q V F F V
~(p^q) F V V F
~P F F V V
~q pA ~q F F V V F F V F 14
~pAq F F V F
(pA~q)V(~pAq) F V V F
Resumo Teórico
Ex.: A negação de “Dois lados de um triângulo são congruentes se, e somente se, os seus ângulos opostos são congruentes” é “Dois lados de um triângulo são congruen tes e seus ângulos opostos não são congruentes” ou “Dois lados de um triângulo não são congruentes e seus ângulos opostos são congruentes”
Argumentação lógica Sejam P1, P2>P3,
Pn e Q proposições quaisquer simples ou compostas.
Chama-se argumento uma seqüência finita de proposições Pj, P2, ...., Pn que infere uma proposição Q. P j, P2, ..., Pn são as premissas e Q a conclusão. Representamos por: »^2 »^3 ’ ***’ Lê-se: P}>P2, ..., Pn acarretam Q ou inferem Q ou Q decorre de Px, P2,...»Pn Um argumento P1, P2, P ai- Qé válido (legítimo) se, e somente se, a con dicional (Pxa P2A P3 ..., Pn) -» Q for tautológica, o que se conclui que é válido o argumento quando a conclusão Q é verdadeira sempre que todas as premissas forem verdadeiras. Quando um argumento não é válido, diz-se que é um SOFISMA ou FALÁCIA ou ILEGÍTIMO. Exemplos: 1) Se chove, Paulo vai ao cinema. Paulo não foi ao cinema. Logo, não choveu.
,
>
Representação simbólica: p'“-> q>~q!— p
P V V F F
q V F V F
V p - » q V F V V 15
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Q F V F V
~P F F V V Raciocínio Lógico
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A quarta linha é a única em que se tem as duas premissas verdadeiras. Verificamos aí que a conclusão também é verdadeira. Logo, o argumento é válido. 2) Pt: Se chove, a rua se molha. P2: A rua está molhada. Q: Choveu. Representação simbólica: p —> q , q b p Q P V v F F
P2 q V F y F
P. p ^ q V F V V
Se houver alguma linha em que as premissas sejam verdadeiras e a con clusão seja falsa, o argumento não é válido (é sofisma). Na linha 3, isso é verifi cado; logo, esse argumento é um sofisma.
Quantificadores Para se representar expressões do tipo: ♦ todo elemento do conjunto dos naturais não é negativo; ♦ existe gente que é honesta nas favelas; Todo e existe são os quantificadores. V (lê-se para todo, qualquer que seja) é quantificador universal. 3 (lê-se existe, existe pelo menos um) é o quantificador existencial, de seleção.
Diagramas lógicos Utilizamos o diagrama de Venn para analisar algumas proposições.
Paulo Quilelli
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Resumo Teórico
Resumo Teórico
Io) P —» Q pode ser entendido como P c Q (todo P é Q)
3o) A n B = 0 (conjuntos disjuntos) é nenhum A é B
4o) P
Q pode ser entendido como P <=Q e Q c P (todo P é Q e todo Q é P)
Negação de sentenças com quantificadores ~(vx)(p)
(3x)(~p)
Ex.: A negação de “Todos os alunos desta turma são estudiosos” é “Existe algum aluno desta turm a que não é çstudioso” ~(3x)(p) <=» (vx)(~p) Ex.: A negação de “Existe algum atleta preguiçoso” é “Todos os atletas não são preguiçosos”.
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Raciocínio Lógico
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MATRIZ É uma tabela de elementos dispostos, ordenadamente, em linhas e colunas. 1. Matriz Genérica
onde* í '[ | {
*^ a °ráem d° elemento j é a ordem da coluna do elemento m é o número de linhas da matriz n é o núm ero de colunas da matriz
Exemplo: /I 2 3\ (1) M = L q g é a matriz do tipo 2 x 3 (2 linhas por 3 colunas); é uma matriz retangular. (2) Na matriz anterior, o elemento 2 é o aJ2>pois é da primeira linha e se gunda coluna. O elemento 5 é o a21>segunda linha e prim eira coluna. 2. Matriz Linha (m = 1) B = (l 4 -3 7)m
3. Matriz Co luna (n = 1)
0 4. Matriz Nula
as Todos os seus elementos (a..) são nulos (a. = 0) _ 0 0 01 paj-a qualquer i ou j. ” 0 0 0 2x3 Paulo Quilelli
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Resumo Teórico
5. M atriz Q uadrad a (m = n) '4 1 - 3 Os elementos da diagonal principal são: 4,0 e 9 e A= 2 0 5 os da diagonal secundária são: -3, 0 e 6. 6-2 9 Obs.: A soma dos elementos da diagonal principal chama-se traço da matriz. T(A) —a15+ a22 + a33—4 + 0 + 9 = 13 6. Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada na qual os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. D
4
0
0
0 - 8
0
0 0 0
7. M atriz Triangular: é toda matriz quadrada em que todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principal são nulos. 6 2 —3 4 1 0 0' 0 5 1 2 Ex.: A 4 3 0 ou D = 0 0 - 3 7 5 -2 7 0 0 0 8 8. M atriz Identid ade ou Unidade: é uma matriz diagonal na qual os ele mentos da diagonal principal são iguais a 1. 1 0] 0 lj
1 0 0 |3 _ 0 1 0 0 0 1
9. M atriz Transposta: dada úma matriz A, a sua transposta A1terá suas colunas, respectivamente, iguais às linhas de A e, consequentemente, terá suas linhas, respectivamente, iguais às colunas de A. '4 7 ' -1 8 » » 9 -2
4 -1 9 Á* = 7 8 —2
Propriedades da matriz transposta Ia) (AO^A 2a)(A + B)t = At + Bt 3a) (K.A)1= JLA\ K constante 4a) (A.B)1= B*. A1 19
Raciocínio Lógico
Provas Comentadas da Esaf
10. Matrizes Iguais: terão seus elementos, respectivamente, iguais. Se A = B, então a..i) = b... i} '2 1 ‘ a b logo: a = 2, b = 1, c - 4, d - 6 . Ex.: 4 6 c d 11. Matriz Oposta: se A e B são opostas então A = -B 1 4 -1-4 1 Ex.: A 0 - 3 2 B — 0 3 - 2 12. Matriz Simétrica: um a matriz A, quadrada, é dita simétrica se A = A*. 2 ~4 2 -4 Ex.: A = - 4 5 -4 5 13. Matriz Anti-simétrica: uma matriz A, quadrada, é dita anti-simétri ca se A = -A1. 0 1 -5 se i —) ãij = 0 - 1 0 6 a« ——a;; se i# j 5 -6 0 OPERAÇÕES Adição e Subtração: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem. Ex.: /4 (1) - 5 \
0
1 \ 3 - 1\ / 4 + 3 1 - 1 \ 17 7 + 4 7 — _ 5 4. 4 7 + 7 = - 1 8 2 I ^0 + 8 —6 + 21 \ 8 ~ 6
0 \ 14 ~ 4
(2)
~6 8 -5 ) 0 1 3)
17 - 4 \1 2
5 \ _ / - 6 - 7 8 - (-4) - 5 - 5 13 12 - 10 1-2 3 - ( ~ 6 ) j " \ - l -1 9
Propriedades: ( 1 ) (A + B) + C = A + (B + C) (2 ) A + B = B + A
Multiplicação de Matriz por Constante: multiplica-se cada elemento da matriz pela constante. Paulo Quilelli
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Resumo Teórico
Resumo Teórico
1 ~3 0 5
4 x 1 4 x ( —3)' 4x0 4x5
4 -12' 0 20
Multiplicação de Matriz por Matriz: só podemos multiplicar matrizes em que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto terá o núm ero de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Ex.: '
'
A2 x 4 Y B4 x3 = P 2 x3 A
(2)A3s4 x B3x4 = não existe o produto (3) /I —3\ (~ 2 1\ \2 0 j x ^ 4 6y
/I x (-2 ) + (-3 ) x 4 1x 1 + (—3) x 6 \ /—14 -1 7\ ^ 2 x (—2) + 0 x 4 2xl + 0 x 6 j ~ \ - 4 2)
Obs.: Em geral, o produto de matrizes não tem a propriedade comutativa A x B # B x A (verifiqueos exemplos anteriores). Sendo In matriz unitária de ordem n, tem-se que An .1n - An. * 14. M atriz Inversa (A_I) Dizemos que A”1é a matriz inversa de A se: AxA "1 = A4 x A =1 a 2 51 A-i r § - 5 ' 3 8j Í A ~ [- 3 2
1 0 ; AxA“l = 0 L
Propriedades da m atriz inversa: Ia) (A'1)'1- A 2a) (A.B)"1- B^.A'1 3a) (Ac)'1- (A’1)* Exercício resolvido: Determinar X na equação A.X.B = C. A_1.A.X.B = A'KC IX B = A 1.C X.B = A~\C X.B.B1= A^.C.B'1 X.I = A^.C.B'1 Logo: X - A'l.C.B'1 21
Raciocínio Lógico
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DETERMINANTE É uma função que associa matrizes quadradas a números reais. 1) Matriz l x l Ex.: A = [ -3 ]
=> A - [ aH] => det. A —} a } = au = > det A = j - 3 1 = -3
2) Matriz 2x2 Calcula-se o determinante fazendo a diferença entre o produto dos elemen tos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 1 2 1 2 Ex.: A = 3 4 => det. A = 3 4 1 x 4 ~~2 x 3 3) Matriz 3 x 3 (Regra de Sarrus) 10 3 Ex.: A = 4 5 - 1 7 8 2 1 det A =
=
X X /xx\ 8
J
105
/ /
10 + 96 + 0-(105 - 8 + 0) = 106 - 97 = 9
1
4
0
/
3
w
5 - 1
\
• Repetem-se as duas primeiras linhas (ou as duas primeiras colunas); • Faz-se uma seta para a direita pegando a diagonal principal; • Fazem-se mais duas setas para a direita, paralelas à diagonal principal (toda as setas com três elementos); • Faz-se uma seta para a esquerda pegando a diagonal secundária; • Fazem-se mais duas setas para a esquerda, paralelas à diagonal secundária; • Faz-se o produto dos três elementos de cada seta; • Finalmente, faz-se a diferença entre a soma dos produtos das principais e a soma dos produtos das secundárias. Paulo Quilelli
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