10
BAB I
PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang disiplin ilmu, mempunyai peranan sangat menonjol sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan, baik mempelajari teori ekonomi ilmu-ilmu sosial, matematika semakin banyak digunakan sebagai alat untuk mempermudah pemecahan masalah serta sebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan matematika dalam berbagai disiplin ilmu dinamakan sebagai matematika terapan, salah satunya adalah persamaan diferensial, maka model penggunaan diferensial ini dinamakan sebagai diferensial terapan atau aplikasi diferensial. Perhitungan diferensial merupakan suatu perhitungan yang menyangkut masalah perubahan fungsi, maka sebagai kaitan permasalahan yang muncul di dalam teori ekonomi di antaranya penghitungan Laba (keuntungan), Investasi serta Pajak.
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat pula di sidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi.
RUMUSAN MASALAH
Rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis.
BATASAN MASALAH
Batasan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan investasi.
BAB II
PEMBAHASAN
PENGERTIAN DIFERENSIAL
Derivative atau turunan dydx tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang menyertakan limit dari ΔyΔx, sewaktu x mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah-masalah kita dapat menafsirkan dx dan dy secara terpisah, dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan dy diferensial y. Pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel yang berkaitan dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.
Jika f'(x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan x merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), terdefinisikan oleh persamaan:
dfx=f'x=dydx x
Jika fx=x, maka f'x=1, dan dx= x. Jadi jika x merupakan variabel bebas, maka diferensial dx dari x sama dengan x.
Jika y=f(x), maka dy=f'xdx=dydxdx
PENERAPAN DIFERENSIAL PADA MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
2.1 Laba
Pada umumnya, ukuran yang sering kali digunakan untuk menilai berhasil atau tidaknya manajemen suatu perusahan adalah dengan melihat laba yang diperoleh perusahaan. Laba bersih merupakan selisih positif atas penjualan dikurangi biaya biaya dan pajak
Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau secara matematika dapat dinyatakan dengan rumus:
π=TR-TC
Di mana: π = Laba
TR = Penerimaan total
TC = Biaya total
Penerimaan total (TR) maupun biaya total (TC) adalah fungsi dari Q. oleh karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition) untuk suatu maksimum yaitu: mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian disamakan dengan nol, hasilnya adalah:
dπdQ=0
dTR-TCdQ=0
dTRdQ-dTCdQ=0
karena dTRdQ=MR dan dTCdQ=MC , maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi:
MR=MC
Jadi, syarat pertama untuk suatu banyak barang yang optimum secara ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. Tetapi syarat yang pertama belum menjamin adanya suatu maksimum atau minimum. Oleh karena itu, kita harus memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition), yaitu: derivative kedua dari fungsi laba terhadap Q harus lebih kecil dari nol, hasilnya adalah:
d2πdQ2<0
Jadi, syarat yang kedua cukup untuk membuat laba secara maksimum dengan banyaknya barang yang di produksi.
Contoh 1
Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah P=1000-2Q dan fungsi biaya perusahaan tersebut adalah C=Q3-59Q2+1315Q+2000, hitunglah Laba maksimum yang akan diperoleh perusahaan tersebut!
Diketahui:
P=1000-2Q
C=Q3-59Q2+1315Q+2000
Fungsi pendapatan : R = Fungsi permintaan × banyak unit yang di produksi
= 1000-2Q×Q
= 1000Q-2Q2
Fungsi biaya: C = Q3-59Q2+1315Q+2000
Fungsi Laba: π = pendapatan – biaya
π = 1000Q-2Q2-Q3-59Q2+1315Q+2000
π =-Q3+57Q2-315Q-2000
Turunan pertama: dπdQ = -3Q2+114Q-315
= Q2-36Q+105
= Q-35(Q-3)
Di peroleh Q1=3 atau Q2=35
Turunan kedua: d2πdQ2 = -6Q+114
Jika Q1=3, maka d2πdQ2 = -63+114=96, 96>0 (Laba minimum)
Jika Q2=35, maka d2πdQ2 = -635+114=-66, -66<0 (Laba maksimum)
Jadi, πmaks=-Q3+57Q2-315Q-2000
= -353+57352-31535-2000
= -42875+69825-11025-2000
= 26950-13025
= 13.925
Karena Q=35, maka:
P=1000-2Q
= 1000-235
= 1000-70
= 930
C=Q3-59Q2+1315Q+2000
= 353-59352+131535+2000
= 42875-72275+46025+2000
= 42875-24250
= 18.625
R= 1000Q-2Q2
= 100035-2(35)2
= 35000-2450
= 32.550
Jadi, dapat disimpulkan bahwa perusahaan harus menjual produknya sebesar Rp.930 per unit, dengan jumlah produk sebesar 35 unit agar dapat memaksimalkan laba sebesar Rp.13.925 dimana pendapatan perusahaan adalah Rp. 32.250, dan biaya yang di keluarkan adalah sebesar Rp.18.625.
2.2 Pajak
Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang dikenakan pemerintah terhadap setiap unit produksi dan dijual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan diberlakukannya sehingga akan diperoleh pajak maksimum.
Total pajak yang akan diterima pemerintah T=t×Q dimana t: tarif pajak yang dikenakan pemerintah, dan Q:jumlah barang yang diproduksi dan dijual oleh pengusaha sehingga diperoleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak.
Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah adalah:
Laba = Pendapatan – (Biaya + Pajak)
= R-C+T
= R-C-T
= R-C-t.Q
Contoh 2
Jika diketahui fungsi permintaan dari suatu perusahaan adalah P=-5Q+100 dan fungsi biaya perusahaan tersebut adalah C=5Q2-30Q, hitunglah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum serta total pajak maksimum yangdiperoleh oleh pemerintah!
Diketahui:
P=-5Q+100
C=5Q2-30Q
Fungsi pendapatan : R = Fungsi permintaan × banyak unit yang di produksi
= -5Q+100×Q
= -5Q2+100Q
Laba = Pendapatan – (Biaya + Pajak)
= R-C+T
= R-C-T
= R-C-t.Q
= -5Q2+100Q-5Q2-30Q-t.Q
= -10Q2+130Q-t.Q
Turunan pertama : Laba'= -20Q+130-t=0
130-t=20Q
20Q=130-t
Q=130-t20
Q=264-120 t
Turunan kedua : Laba "= 120 <0
Jadi, dengan memproduksi sebanyak Q=264-120t , pengusaha akan memperoleh laba maksimum.
Dari sudut pandang pemerintah:
Pajak : T=t(264-120t )
=264t-120t2
Turunan pertama : Pajak '=264-110t=0
t10=264
4t=260
t=65
Jadi, pengusaha dikenakan pajak sebesar Rp. 65 / unit
Q=264-120 65
=264-6520
=6,5-3,25
=3,25
Pajak yang diterima pemerintah atau yang dikeluarkan oleh pengusaha
T=t.Q
=65×3,25
=Rp.211,25
Jadi,pajak yang harus dikeluarkan oleh pengusaha jika ia menghasilkan 3,25 unit barang adalah Rp.211,25.
2.3 Investasi
Investasi yang lazim disebut juga dengan istilah penanaman modal atau pembentukan modal merupakan komponen kedua yang menentukan tingkat pengeluaran agregat. Tabungan dari sektor rumah tangga melalui institusiintitusi keuangan akan mengalir ke sektor perusahaan. Apabila para pengusaha menggunakan uang tersebut untuk membeli barang-barang modal , pengeluaran tersebut dinamakan investasi. Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan sejumlah dana yang ada saat ini dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa mendatang.
Investasi adalah suatu fungsi pendapatan dan tingkat bunga, dilihat dengan kaitannya I= (Y,i). Suatu pertambahan pada pendapatan akan mendorong investasi yang lebih besar, dimana tingkat bunga yang lebih tinggi akan menurunkan minat untuk investasi sebagaimana hal tersebut akan lebih mahal dibandingkan dengan meminjam uang. Walaupun jika suatu perusahaan lain memilih untuk menggunakan dananya sendiri untuk investasi, tingkat bunga menunjukkan suatu biaya kesempatan dari investasi dana tersebut daripada meminjamkan untuk mendapatkan bunga.
Contoh 3
Uang sejumlah Rp 5.000.000 diinvestasikan dengan bunga 8% tiap tahun, bertambah secara kontinu. Berapa jumlah uang itu sesudah 25 tahun?
Penyelesaian :
Ambil y(t) sebagai jumlah uang (modal tambah bunga) pada saat t. Maka laju pertambahan perubahan jumlah uang pada saat t diberikan oleh :
dydt=8100 y
Jelaslah bahwa persamaan ini adalah persamaan diferensial terpisah.
Sehingga:
yt=y0e8100t
Karena y0=5.000.000 (modal awal), maka diperoleh :
y25=5.000.000 × e810025
= Rp.36.945.280,49
Jadi, jumlah uang setelah 25 tahun kedepan adalah Rp. 36.945.280,49
BAB III
PENUTUP
Adapun penutup dari penulisan makalah diatas adalah:
Penerapan diferensial pada penentuan laba harus melalui 2 syarat untuk menentukan laba maksimum yang diperoleh pengusaha yaitu dπdQ=0 dan d2πdQ2<0.
Penerapan diferensial pada penentuan pajak yang harus memperhatikan tarif yang dapat membuat pemerintah memperoleh total pajak maksimum masih menggunakan prinsip dari penentuan laba.
Penerapan diferensial pada penentuan sebuah investasi menggunakan diferensial sederhana.
