Pengertian Transformasi dan Jenis-Jenis Transformasi
Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain sebagai berikut.
Transformasi dibagi menjadi 4 (empat), yakni translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi.
Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik atau objek sepanjang garis lurus berdasarkan jarak dan arah tertentu.
Berdasarkan Gambar di atas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut.
Px,yTabP'x+a, y+b
Keterangan:
P'menyatakan hasil translasi
a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+, kebawah-)
Perhatikan contoh hasil translasi pada gambar di bawah ini :
Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(-8, 3), B(-5, 5), C(-2, 1) . Jika ditranslasikan :
120 menjadi FGH dengan F4, 3,G7, 5, H10, 1
0-6 menjadi HIJ dengan H-8,-3, I-5,-1, C3-2,-5
Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa:
Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.
Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.
Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah satu jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan mengggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan.
Pencerminan terhadap sumbu x
Px,yMxP'x, -y
Pencerminan terhadap sumbu y
Px,yMyP'-x, y
Pencerminan terhadap titik asal O (0,0)
Px,yM0P'-x, -y
Contoh 1 :
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat
A2(-3,9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat
A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat
A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Pencerminan terhadap garis y = x
Pa,bMy=xP'a', b' atau Px,yMy=xP'y, x
Pencerminan terhadap garis y = -x
Px,yMy=-xP'-y, -x
Contoh 2 :
Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:
terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat
P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat
P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)
Pada cermin datar, tampak oleh kita bahwa jarak objek dengan cermin adalah sama dengan jarak bayangan objek tersebut ke cermin. Misalkan garis x = h adalah cermin dan titik P(a,b) adalah objek. Jarak titik P terhadap sumbu y adalah a. Jarak cermin x = h ke sumbu y adalah h. Karena jarak benda ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin maka jarak bayangan ke sumbu y adalah 2h sehingga jarak bayangan ke objek adalah 2h – a.
Pencerminan terhadap garis x = h
Pa,bMx=hP'(2h-a,b) atau Px,yMx=hP'(2h-x, y)
Pencerminan terhadap garis y = k
Pa,bMy=kP'(a,2k-b) atau Px,yMy=kP'(x,2k-y)
Contoh 3 :
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat
A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat
A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)
Dari Gambar contoh 1, 2 dan 3 dapat diketahui bahwa:
Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun (objek) dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Jarak bangun (objek) dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu titik ke titik lain dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu.
Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):
Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)
Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)
Contoh :
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:
+90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
+270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(9, -3), B3(3, -3), C3(3, -6)
+180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Dari gambar pada contoh di atas dapat diketahui bahwa:
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
Dilatasi (Perkalian/perubahan skala)
Dilatasi adalah suatu transformasi yang memperbesar atau memperkecil bangun tetapi tidak mengubah bentuk.
Dilatasi dengan pusat di titik O (0,0) dengan faktor skala k
Px,yM(0,k)P'(kx,ky)
Dengan kx = x' dan ky = y'
Dilatasi dengan pusat A (a, b) dengan faktor skala k
Px,yMAa,b,kP'[p+kx-p, q+ky-q]
Dengan p+kx-p=x' dan q+ky-q=y'
Contoh :
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:
dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)
Dari gambar pada ontoh di atas diketahui bahwa:
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1, maka bangun akar diperbesar dan terletak secara terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.Jika k= 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.Jika 0 < k< 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.Jika –1< k< 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.Jika k< –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
Jika k > 1, maka bangun akar diperbesar dan terletak secara terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Jika k= 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
Jika 0 < k< 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Jika –1< k< 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Jika k< –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
