UK 1 Riset Operasi
Seorang pengusaha yang memiliki 3 buah pabrik sedang menghadapi masalah yang berkaitan dengan pembuangan limbah dari pabriknya. Selama ini ia membuang limbah tersebut ke sungai sehingga menimbulkan dua macam polutan. Setelah berkonsultasi dengan pihak berwenang, diperoleh informasi bahwa ongkos untuk memproses zat buangan dari pabrik I adalah Rp 15.000/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,1 ton dan polutan 2 sebanyak 0,45 ton dari setiap 1 ton zat buangan. Ongkos untuk memproses zat buangan dari pabrik II adalah Rp 10.000/ton denggan kemampuan mengurangi 0,2 ton polutan 1 dan 0,25 ton polutan 2. Untuk memproses 1 ton zat buangan dari pabrik III diperlukan biaya Rp 20.000 yang akan mengurangi 0,4 ton polutan 1 dan 0,3 ton polutan 2. Peraturan pemerintah mengharuskan perusahaan ini untuk dapat mengurangi polutan 1 paling sedikit 30 ton dan polutan 2 paling sedikit 40 ton. Formulasikan dan hitung hasil dari persoalan ini agar diperoleh ongkos total minimum!
Jawab :
x1 = pabrik 1 x3 = pabrik 3
x2 = pabrik 2
Fungsi tujuan : Zmin=15000x1+ 10000x2+ 20000x3
Fungsi kendala : (1) 0.1x1+ 0.2x2+ 0.4x3 30
(2) 0.45x1+ 0.25x2+ 0.3x3 40 x1 0, x2 0, x3 0
Berikut tabel nya :
Massa Polutan (ton)
Jumlah (ton)
Pabrik 1
Pabrik 2
Pabrik 3
Polutan 1
0.1
0.2
0.4
30
Polutan 2
0.45
0.25
0.3
40
Biaya Proses/ton (Rp)
15000
10000
20000
Berikut merupakan printscreen dari POM-QM :
Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa untuk mendapatkan ongkos seminimal mungkin maka yang dibuang dari pabrik 1 = 7,6923 ton, pabrik 2 = 146,1538 ton, dan pabrik 3 = 0 ton dengan biayanya total menjadi Rp 1.576.923,-
Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis produk yaitu produk X1 dan X2, dan diperlukan bahan baku A, bahan baku B, dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku A adalah 60 kg per hari, bahan baku B 30 kg per hari, dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja sebagai berikut :
Jenis input
Produk X1
Produk X2
Bahan baku A
2
3
Bahan baku B
-
2
Tenaga kerja
2
1
Kedua jenis produk memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp 40,- untuk produk X1 dan Rp 30,- untuk produk X2. Bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari. Selesaikan dengan menggunakan metode Grafik!
Jawab :
x1 = produk X1
x2 = produk X2
Fungsi tujuan : Zmax=40x1+ 30x2
Fungsi kendala : (1) 2x1+ 3x2 60 (3) 2x1+ x2 40
(2) 2x2 30 x1 0, x2 0
Menentukan tiap titik dengan memasukkan memisalkan x1, x2=0 pada tiap fungsi :
2x1+ 3x2=60 2(0) + 3x2=60 3x2=60 x2 = 20 (0, 20)
2x1+ 3x2=60 2x1 + 3(0)=60 2x1=60 x1 = 30 (30, 0)
2x2 = 30 x2 = 15 (0, 15)
2x1+ x2=40 2(0) + x2=40 x2=40 (0, 40)
2x1+ x2=40 2x1+ 0= 40 2x1=40 x1=20 (20, 0)
[didapat titik-titik = {(0, 20), (30, 0), (0, 15), (0, 40), (20, 0)}]
Berikut gambar grafik dari titik-titik yang telah didapat :
Berikutnya saling mengeliminasi satu persamaan dengan persamaan lainnya maupun mensubstitusikan nilai
Mensubtitusikan nilai dari (2) ke (1) dan (3)
2x1+ 3x2=60 2x1 + 3(15)=60 2x1=15 x1 = 7.5 (7.5, 15)
2x1+ x2=40 2x1 + 15 =60 2x1=45 x1 = 22.5 (22.5, 15)
Mengeliminasi x1 dari (1) dan (3)
(2x1+ 3x2=60) – (2x1+ x2=40) 2x2 = 20 x2 = 10
Mencari nilai x1 dengan memasukkan nilai x2 tersebut pada salah satu (1) atau (3)
2x1 + x2 = 40 2x1 + 10 = 40 2x1 = 30 x1 = 15 (15, 10)
[didapat titik baru lainnya = {(7.5, 15), (22.5, 15), (15, 10)}]
Karena titik (22.5, 15) tidak masuk ke dalam bagian yang diarsir (dilihat dari grafik), maka tidak masuk dalam titik yang mungkin sebagai titik maksimum. Dilihat dari grafik, terdapat 4 titik yang mungkin sebagai titik maksimum yaitu : {(0, 15), (7.5, 15), (15, 10), (20, 0)}. Setiap titik tersebut dimasukkan pada persamaan Zmax. Nilai akhir tertinggi, maka titik tersebutlah yang menjadi titik maksimumnya
(0, 15) 40x1+ 30x2 = 40(0) + 30(15) = 450
(7.5, 15) 40x1+ 30x2 = 40(7.5) + 30(15) = 300 + 450 = 750
(15, 10) 40x1+ 30x2 = 40(15) + 30(10) = 600 + 300 = 900
(20, 0) 40x1+ 30x2 = 40(20) + 30(0) = 800
Dapat dilihat dari hasil di atas bahwa titik (15, 10) merupakan titik maksimum. Dengan demikian, untuk mendapatkan untung terbesar, maka lebih baik untuk memproduksi 15 produk X1 dan 10 produk X2
(berikut ini merupakan printscreen dari POM-QM soal tersebut)
Setelah dijalankan, didapat hasil sebagai berikut :
Selesaikan masalah program linear berikut ini :
Maksimumkan Z=2x1- 2x2+3x3
Kendala : -x1+ x2+x3 4 (sumberdaya 1)
2x1- x2+x3 2 (sumberdaya 2)
x1+ x2+3x3 12 (sumberdaya 3)
x1 0, x2 0, x3 0
Selesaikan dengan menggunakan metode Simplek!
Jawab :
Fungsi tujuan : Z=2x1- 2x2+ 3x3 Z- 2x1+ 2x2- 3x3=0
Fungsi kendala :
(1) -x1+ x2+x3 4 -x1+ x2+x3+ x4 = 4
(2) 2x1- x2+x3 2 2x1- x2+x3 + x5 = 2
(3) x1+ x2+3x3 12 x1+ x2+3x3 + x6 = 12
(x4, x5, dan x6 merupakan variabel slack)
Fungsi tujuan dan fungsi kendala dimasukkan pada tabel berikut :
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
NK
Index
Z
1
-2
2
-3
0
0
0
0
x1
0
-1
1
1
1
0
0
4
x2
0
2
-1
1
0
1
0
2
x3
0
1
1
3
0
0
1
12
Selanjutnya memilih kolom kunci (dilihat dari baris nilai Z dengan nilai minus terbesar), didapat kolom kunci = -3 (x3). Berikutnya memilih baris kunci, ini ditentukan dari nilai index positif terkecil (index = NK dibagi nilai kolom kunci), diperoleh baris kunci = baris ke-3 (x2)
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
NK
Index
Z
1
-2
2
-3
0
0
0
0
x1
0
-1
1
1
1
0
0
4
4
x2
0
2
-1
1
0
1
0
2
2
x3
0
1
1
3
0
0
1
12
4
Didapat angka 1 sebagai angka kunci. Karena angka kunci sudah bernilai 1, maka baris kunci tidak perlu diubah. Lanjutkan untuk mendapatkan nilai pada kolom kunci (selain pada baris kunci) bernilai = 0
Baris Z
Baris lama : [-2 2 -3 0 0 0 0]
Koefisien(baris kunci): -3 [2 -1 1 0 1 0 2]
Baris baru : 4 -1 0 0 3 0 6
Baris x1
Baris lama : [-1 1 1 1 0 0 4]
Koefisien(baris kunci): [2 -1 1 0 1 0 2]
Baris baru : -3 2 0 1 -1 0 2
Baris x3
Baris lama : [1 1 3 0 0 1 12]
Koefisien(baris kunci): 3 [2 -1 1 0 1 0 2]
Baris baru : -5 4 0 0 -3 1 6
Maka didapat tabel baru sebagai berikut :
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
NK
Index
Z
1
4
-1
0
0
3
0
6
x1
0
-3
2
0
1
-1
0
2
1
x2
0
2
-1
1
0
1
0
2
-2
x3
0
-5
4
0
0
-3
1
6
1,5
Langsung tentukan kembali kolom kunci, baris kunci, dan angka kuncinya (untuk perhitungan selanjutnya).
Karena angka kunci bernilai 2, maka baris kunci dibagi 2 (supaya memperoleh angka kunci = 1) menjadi [-1,5 1 0 0,5 -0,5 0 1]
Baris Z
Baris lama : [4 -1 0 0 3 0 6]
Koefisien(baris kunci): -1 [-1,5 1 0 0,5 -0,5 0 1]
Baris baru : 2,5 0 0 0,5 2,5 0 7
Baris x2
Baris lama : [2 -1 1 0 1 0 2]
Koefisien(baris kunci): -1 [-1,5 1 0 0,5 -0,5 0 1]
Baris baru : 0,5 0 1 0,5 0,5 0 3
Baris x3
Baris lama : [-5 4 0 0 -3 1 6]
Koefisien(baris kunci): 4 [-1,5 1 0 0,5 -0,5 0 1]
Baris baru : 1 0 0 -2 -1 1 2
Maka didapat tabel baru sebagai berikut :
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
NK
Index
Z
1
2,5
0
0
0,5
2,5
0
7
x1
0
-1,5
1
0
0,5
-0,5
0
1
x2
0
0,5
0
1
0,5
0,5
0
3
x3
0
1
0
0
-2
-1
1
2
Dari tabel baru tersebut terlihat kalau pada baris Z sudah tidak terdapat angka bernilai minus, maka perhitungan pun dihentikan.
Dari tabel terakhir didapat :
x1 = 2
0,5x1 + x3 = 3 x3 = 2
-1,5x1 + x2 = 1 x2 = 4
maka, total dari x1 + x2 + x3 = 7
Berikut merupakan tampilan dari menjalankannya dengan POM-QM :
