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Propriedades Dielétricas dos Materiais Este capítulo trata sobre a interação entre ondas eletromagnéticas e materiais dielétricos, mais especificamente sobre a permissividade relativa de materiais dielétricos. Serão abordadas aqui as dependências da permissividade relativa em função da temperatura e da salinidade. São apresentados gráficos ilustrando o efeito da variação da temperatura e da salinidade tanto na parte real quanto na imaginária da permissividade relativa, em especial do efeito dessa dependência sobre a água. A partir disso, será possível identificar algumas freqências de operação que apresentem mel!or resultado no desenvolvimento de um sensor de medição de va"ão bifásica por micro#ondas. A teoria sobre permissividade permissividade dielétrica descreve descrev e como um material se comporta na presença presenç a de um campo elétrico, e o entendimento dessa teoria se fa" necessária para compreender o funcionamento do medidor de fração de água apresentado neste trabal!o. $asicamente, o medidor monitora a mudança da frequência de resson%ncia associado & permissividade relativa do meio que está presente em uma cavidade ressonante que forma uma parte do medidor.
Introdução 'ma onda eletromagnética propaga#se através de algum meio, denominado meio de propagação. Este meio apresenta características que afetam a interação da onda eletromagnética com o meio, como por e(emplo, a permissividade elétrica ou constante dielétrica ϵ , a permeabilidade µ e a condutividade σ . )untamente com a frequência, estes par%metros determinam o comportamento da onda eletromagnética.
=1 *este trabal!o, traba l!o, consideramos os materiais como sendo não magnéticos, ou se+a, considera#se considera#se que µr =1 portanto µ=µ0=4π·10-7 [NA-2 ]. Assim, este capítulo reali"a uma análise mais detal!ada sobre a permissividade permissividade do meio. -uitas propriedades elétricas das moléculas como a permissividade/ podem ser relacionadas com as aç0es dos n1cleos que competem pelas cargas dos elétrons ou pelo efeito da ação do n1cleo competindo com a influência de um campo elétrico e(terno aplicado. A água é uma molécula polar e isso significa que !á um momento de dipolo elétrico permanente. Este momento de dipolo provém das cargas parciais dos átomos na molécula provocadas pelas diferenças das eletronegatividades. *a presença de uma campo elétrico esse momento dipolo é modificado pela ação do campo e(terno. 'm dipolo dipolo elétrico é constituído c onstituído por duas cargas c argas elétricas puntiformes q e -q separadas por uma dist%ncia R. Essa configuração é representada por um vetor, o momento de dipolo elétrico, que tem o sentido da carga negativa para positiva. 2uando o campo elétrico aplicado &s moléculas se altera lentamente, o momento de dipolo tem tempo para se orientar e a molécula gira acompan!ando a modificação do campo. 3orém, quando a frequência do campo é muito elevada superior a 45567"/ a molécula não pode alterar sua posição com tal rapide" para acompan!ar o campo. 2uando duas cargas q1 e q2 estão separadas por uma dist%ncia r no no vácuo, a energia potencial da respectiva respectiva interação é
V={q1q2 }/{4π rϵ r ϵ 0 }.
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3orém, quando as mesmas cargas estão imersas num meio, como por e(emplo o ar ou a água, a energia potencial se redu" a
V={q1q2 }/{4π rϵ} r ϵ} , em que ϵ é é a permis per missivi sividade dade do meio, FatGins8 Fat Gins8fisi fisicoH coH . Sendo a permissividade permissividade ϵ=ϵ 0ϵ r r e e uma ve" que ϵ 0 é a permissividade permissividade do vácuo vácu o e tem seu valor constante constant e e igual a ϵ 0=8,8541878176·10 -12 F/m. Iesta forma, toda a análise deste capítulo será reali"ada sobre a permissividade relativa ϵ r r . Iiferente do vácuo, materiais normais, como por e(emplo a água, apresentam uma resposta para o campo elétrico e(terno que geralmente depende da frequência. Essa dependência com a frequência ilustra o fato que a polari"ação do material não ocorre instantaneamente para um campo aplicado, e isso pode ser representado por uma diferença de fase. 3or esta ra"ão a permissividade é geralmente tratada como um =ϵ r r -!ϵ -!ϵ r r " " ,, para poder representar a magnitude e a fase de uma campo aplicado com n1mero comple(o ϵ r r =ϵ uma determinada frequência #. 2uando uma onda eletromagnética propaga#se num meio, o campo elétrico $ desta desta onda polari"a o material. Entretanto, quando um material apresenta perdas, ou se+a, tem condutividade σ / não nula, surge um atraso entre o campo elétrico e a polari"ação do meio figura fig83olari"acao/. J nível das perdas depende da diferença entre a fase do campo elétrico e da polari"ação, Flsbu micro:aveH . Kesultado da polari"ação de material em função de um campo elétrico $ incidente. incidente. 2uanto maior as perdas, maior será o aquecimento no meio, provocado por uma densidade de corrente % fluindo no meio. Esta densidade de corrente está relacionada diretamente com a condutividade do meio σ , pois
%=σ $ . A tangente de perdas &'()*+ é definida como sendo
&'()*+={ϵ r r "}/{ϵ "}/{ϵ r r }. }. " está A parte imaginária imaginária da permissividade permissividade ϵ r r " está associada as perdas do meio, e seu valor é sempre positivo "0/. 3ara um caso ideal de um meio sem perdas, tem#se a parte imaginária nula, ou se+a ϵ r r "=0 "=0, ϵ r r "0 Flsbumicro:aveH . afeta A parte real da permissividade ϵ r r afeta o campo elétrico de uma onda em propagação e também muda a afeta afeta a velocidade de propagação relação entre os campos elétricos e magnéticos. Ao mesmo tempo, ϵ r r propagação da onda. Em uma cavidade ressonante, isto altera a frequência de resson%ncia de forma a deslocá#la para uma frequência maior ou menor. Este deslocamento da frequência de resson%ncia em função da variação do valor da permissividade relativa é o princípio de funcionamento do medidor descrito neste trabal!o. A equação da velocidade de fase equação eq8Lp/ ilustra como a permissividade afeta a velocidade com que a uma onda eletromagnética propaga#se no meio. 3ara o vácuo, tem#se uma velocidade de propagação ·108m9s. 3ara outros meios não magnéticos com poucas perdas, pode#se de apro(imadamente ·10 apro(imar a velocidade de propagação como sendo ≅
V ={1}/{{µϵ}} {}/{{ϵ {}/{{ϵ r r }} {·108 }/{{ϵ }/{{ ϵ r r }}. {·10 ≃
≃
ϵ num As equaç0es eq8comprimento e eq8comprivac permitem calcular o comprimento de onda num meio dielétrico. Jbserva#se que o comprimento de onda num dielétrico é menor que o comprimento de onda no espaço livre 0 & mesma frequência. ϵ ={1}/{{µϵ}}={}/{{ϵ ={1}/{{µϵ}}={}/{{ϵ r }}, B d B5
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ϵ { {0 }/{{ϵ }/{{ ϵ r r }}. }}. ≃ ≃
Mada material apresenta um valor de permissividade. Em geral, esse valor está entre a permissividade do ar =1/ e a permissividade da água ϵ r r =81 =81/. A tabela tab8permimat apresenta alguns valores de ϵ r r para para ϵ r r =1 diferentes materiais, FEletromag8ufscH .
FEletromag8ufscH FEletromag8ufscH . 3ermissividade 3ermissividade relativa ϵ r r 3ermissividade ϵ r r -aterial Ar 4,5 3 olietileno 4,5@ -ade -adeiira Sec Secaa 4,@ 4,@ # >,5 >,5 Neflon B,5 3 etrOleo B,4 Pleo mi mineral eral B,D Solo seco B,= $orrac!a D,5 3apel 3apel is isolan olante te D,5 D,5 *Qlon D,4 3 arafina D,B 2uart"o D,= Lidro C,5 3 orcelana ,5 Rlco Rlcool ol etí etílico B@,5 B@,5 Rgua Rg ua destil destilada ada =4,5 A permissividade depende tanto da frequência como das propriedades físicas dos materiais, tais como umidade, densidade, temperatura e condutividade. *a prO(ima seção será discutida a dependência da permissividade permissividade da água com estes fatores. fat ores.
Permissividade da Água Esta seção utili"a a água como e(emplo para ilustrar a dependência da permissividade com a variação da temperatura e da frequência. *o entanto, a água apresenta uma condutividade na presença de sal, o que não ocorre com o ar e Oleo, por e(emplo. A água é uma molécula formada por dois gases figura figura fig8agua4/, fig8agua4/, o o(ig o (igênio ênio e o !idrogênio, !idrogênio, porém nas na s condiç0es ambientes de temperatura e pressão BDM, 4 atm/ a água é um líquido. Estrutura da molécula de água FlsbuTestrutureH .
=81, considerando pressão e temperatura 3ara a água pura, o valor da permissividade relativa é ϵ r r =81 ambientes. Montudo, a água é um Otimo solvente que dissolve vários tipos de subst%ncias polares e também iUnicas, como por e(emplo o sal. 3or isso, a água na nature"a é raramente pura e geralmente possui sais e minerais dissolvidos, dissolvidos, os quais afetam o valor va lor da permissividade. permissividade. *as prO(imas seç0es, será discutida a variação do valor da permissividade relativa da água para a mudança de temperatura, concentração de sal e frequência. -ais informaç0es sobre a permissividade da água, podem ser encontradas nas referências8 FAgua8dielrefH , Flsbumicro:aveH , F*Qfors8booGH .
Permissividad Permissividadee Relativa e sua Dependência com a Frequência Frequência D d B5
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Esta seção trata sobre a dependência da permissividade relativa com a variação da frequência. Esta dependência é muito importante para poder definir a frequência de operação. 3or e(emplo, uma aplicação como em fornos de micro#ondas, escol!e#se uma frequência de operação em que as perdas se+am elevadas, " se+a em outras palavras, em que a parte imaginária ϵ r r " se+a má(ima. 3or outro lado, para uma aplicação em instrumentação, dese+a#se encontrar um ponto de operação em que as perdas se+am mínimas, para que uma grande parcela do sinal transmitido se+a recebido pela antena receptora. Iesta forma, é muito importante compreender a variação do valor da permissividade em função da frequência. A variação de ϵ r r na na fai(a de micro#ondas é causada pela mudança polar das moléculas. Essa dependência da freqência é descri de scrita ta pela relação de IebQe
ϵ r r =ϵ =ϵ r3 !ϵ r r " , r3{ϵ r r-ϵ r3 r3}/{1!#}=ϵ r r !ϵ que pode ser separada em parte real eq8debQeKeal 22 ϵ r r =ϵ =ϵ r3 r3{ϵ r r-ϵ r3 r3}/{1# },
e parte imaginária eq8debQemag 22 ϵ r r "={)ϵ "={)ϵ r r-ϵ r3 r3+#}/{1!# },
onde é é o tempo de rela(ação, ϵ r é a permissividade relativa para bai(as frequências região estática/, r é enquanto ϵ r3 é a permissividade Optica ou infinita frequências elevadas/ e seu valor é ϵ r3 r3 é r3=4,. J tempo de rela(amento / é a medida de tempo necessária para a água rotacionar, também considerado como atraso para as partículas responderem a mudança de campo. J tempo de rela(ação / para água doce é obtido através de8
={4π r }/{9:}, }/{9 :}, onde r é é o raio molecular, 9 a a constante de $olt"mann 9=1,80650·10 -1{%}/{;}/, a viscosidade e : a a temperatura em Velvin. J raio molecular r da da água é a metade da dist%ncia entre as moléculas de J(igênio, J(igênio, e vale r=0,14(m , FlsbuTestrutureH . A viscosidade da água também depende da temperatura. 3ara B5M é de =1,00·10- <' e para B@M é =8,0·10-4 <' . Ao resolver a equação eq8WS$'8Kela( para B5M, B5M , tem#se =8,5451 e para B@M obtém#se =7,45. 3ara água salgada pode pode ser obtido através da equação equa ção eq8*Qfors8 e q8*Qfors8Kele(N Kele(N,, F*Qfors8booGH , Flsbumicro:aveH , FNrel8:aterH FNrel8AnalQsisH FNrel8AnalQsisH . Ao resolver a relação de IebQe equação eq8debQe/, em função da frequência #, é possível ilustrar a variação de ϵ r r , tanto a parte real quanto a imaginaria, para a mudança da frequência, como representado na figura fig8permiMomple(. 3ermissividade da água doce a B@M em função da frequência.
éé constante em bai(as e em altas freqências, e a transição ocorre 3ercebe#se que a parte real ϵ r r lentamente lentamente na vi"in!ança vi"in!ança da freqência de rela(ação, que pode ser encontrada através at ravés da equação r> ={1}/{2π}. *o entanto, a parte imaginária ϵ r r " " é é pequena tanto em bai(as freqências quanto em altas, r> ={1}/{2π} porém na região de transição apresenta aprese nta um valor elevado, isso considerando água pura. Em bai(as freqências, onde a polari"ação sempre ocorre completamente, as perdas por ciclo são proporcionais & freqência, pois a fricção em fluídos viscosos viscosos é diretamente proporcional pro porcional & velocidade do movimento. 3or outro lado, em altas frequências, as perdas desaparecem com o aumento da frequência, " tem pois a polari"ação polari"ação desaparece de saparece também. *a frequência frequênc ia de polari"ação, ϵ r r " tem seu valor má(imo, que pode ser facilmente calculado pela equação eq8Ermag-a(.
ϵ r r " "m'? m'?={ϵ r r -ϵ -ϵ r3 r3}/{2}. > d B5
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A relação de IebQe é baseada em três constantes ϵ r e em em que a permissividade Optica ϵ r3 não é r@, ϵ r3 r3 e r3 não afetada pela variação da temperatura. Entretanto, a permissividade estática ϵ r e o tempo de rela(ação r e sofrem alteraç0es. Mom o aumento da temperatura, ϵ r diminui por causa do aumento da desordem. )á o r diminui tempo de rela(ação é é inversamente proporcional & temperatura devido ao fato que todo movimento é mais rápido em temperaturas mais elevadas. J gráfico apresentado na figura fig8permiMomple( é construido sobre a solução da relação de IebQe. 3or outro lado, um trabal!o reali"ado de forma e(perimental para água pura é apresentado na figura quanto quanto ϵ r r " " são fig8dieletricg!" FAgua8dielrefH . Nanto ϵ r r são ilustrados em função da frequência. 3ermissividade relativa da água para B@M, obtida e(perimentalmente para 5,4 # 455567", FAgua8dielrefH .
Permissividade Relativa e sua Dependência com a Temperatura ee ϵ r r " " . Além disso, afeta também o tempo de rela(ação. A temperatura afeta ϵ r r e e consequentemente consequentemente ϵ r r Mom o aumento da temperatura, a água torna#se um material pobre em absorção de micro#ondas. J gráfico da figura fig8ErKealNemp ilustra como é afetada a permissividade relativa da água doce variando a freqência de 45-7" a 4N7" e ao mesmo tempo a temperatura de 5 a >5M em passos de @M, enquanto o " para gráfico fig8ErmagNemp ilustra ϵ r r " para o mesmo caso. As setas indicam o sentido do aumento da temperatura. 3ermissividade relativa da água para uma variação de temperatura e de frequência. Xator de perdas da água para variação da temperatura e frequência. Y possível perceber que em altas freqências a permissividade Optica ϵ r3 não é significativamente afetada r3 não com a mudança de temperatura. A permissividade estática ϵ r depende da temperatura e pode ser r depende apro(imada pela equação eq8ErstaticNemp para água doce não condutiva/, considerando variaç0es de temperatura entre #D@M e 455M. -& ϵ r r)&+=A ,
onde A=87,8506 e e =0,004562, portanto ϵ r r):=25BC+=78,6 .
Permissividade Relativa e o Eeito de !ons "ondutivos Esta seção trata sobre os efeitos dos íons condutivos dissolvidos na água. Js efeitos aqui analisados são referentes & permissividade e como consequência a interação de água salina com micro#ondas. A permissividade permissividade da água depende depe nde crucialmente da condutividade, c ondutividade, consequentemente consequent emente da quantidade q uantidade de sal salinidade/. A permissividade de um meio não condutivo é dada por eq8debQe. *o entanto, quando um meio apresenta condutividade, surge um novo termo associado & parte imaginária da permissividade. 3ortanto, se a condutividade é con!ecida, pode#se representar a permissividade pela equação eq8Ercondutiva ou eq8IebQeMond. Equivalentemente, ela também pode ser obtida através da equação eq8Ercondutiva, que é a equação de IebQe considerando íons condutivos.
ϵ r r =ϵ =ϵ r r-!)ϵ -!)ϵ r r"{σ}/{#ϵ "{σ}/{#ϵ 0 }+, ϵ r r =ϵ =ϵ r3 r3{ϵ r r-ϵ r3 r3}/{1!#}-!{σ}/{#ϵ 0 }. J efeito da condutividade diminui com a frequência, pois o termo # está no denominador de eq8IebQeMond. Assim, a condutividade tem grande influência em bai(as freqências, mas não na fai(a de 67". E como a condutividade está associada a um termo puramente imaginário, ela afeta apenas a parte imaginária imaginária da permis pe rmissividade. sividade. Montudo, íons condutivos condut ivos introdu"em perdas no material, mate rial, porém para uma @ d B5
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apro(imação de primeira ordem isto não afeta o comprimento de onda. As equaç0es eq8*Qfors8Er, eq8*Qfors8Kele(N e eq8*Qfors8Mond apresentam apro(imaç0es para curvas da permissividade permissividade relativa, tempo de rela(ação re la(ação e condutividade c ondutividade da água, considerando a presença pre sença de sal diluído, diluído, F*Qfors8booGH e F*Qfors8ApplicH F*Qfors8ApplicH . Zrs[<==,4\@#>,D\4S]5,4CD=SB#5,>5D>\N]5,C@\B>^45#DNB ]5,>DBC\^45#4SN #5,>B=@C^45#BSBN]5,>>>4^45#@SBNB# 5,\BB=C^45#>SNB, _^454B<4\,D\#4,4DS]5,44>4SB#5,C=5BN]5,\@=C@^45#BNB ]5,@=CB\^45#4SN#5,@>@^45#BSBN]5,=B@B4^45#>SBNB #5,=@\C^45#DSNB#5.C@D5D^45#4^ e(pN/, `<5,=>=D S]5,B@CCB^45#BSB]5,>@=5B^45#4 SN SN #5,D4@=^45#B SBN]5,D\B==45#> SBNB#5,4C\4>^45#D SNB, onde ϵ r3 é a salinidade do meio, representada pela porcentagem de sal em relação ao peso total r3=4, e D é do meio e N é a temperatura em graus Melsius. A salinidade é também comumente e(pressa em m partes por mil!ão/ onde 1m={1}/{1.000.000} . 3or e(emplo, 5E equivale equivale a D@Gppm, pois {5E}/{19E}=5.000m ou 59m. Em relação & água do mar, é possível encontrar na literatura um valor médio da condutividade de 4 Dm(/m, porém esse valor é apenas uma média utili"ada para ilustrar a condutividade. Sabe#se que esse valor depende da temperatura, concentração de sal, pressão, entre outros fatores. Iesta forma, para diferentes profundidades e locali"aç0es, têm#se diferentes valores de condutividade e permissividade para a água do mar. 3ortanto, é possível encontrar diferentes valores de condutividade para água do mar na J'Gr'&Gr I FVaQe8seaH apresenta que literatura. 3or e(emplo, um estudo reali"ado pelo N'&G('> J'Gr'&GrI a média da condutividade dos oceanos é de ,27 Dm(/m e(cluindo águas rasas/, e que para água profundas com apro(imadamente >555m de profundidade e temperatura tempera tura de 5M 5 M com concentração concent ração de sal de D@Vppm, tem#se uma condutividade 6K superior & da d a superfície. A tabela t abela Nab8Sal Nab8SalinitQ initQ apresenta os valores de condutividade para diferentes temperaturas e concentração de sal na água do mar. Mondutividade elétrica da água do mar sob pressão atmosférica, FVaQe8seaH . Nemperatura Salinidade E· E· 9E -1/ M B5 B@ 5 @ 45 4@ B5 B@
σ D· m-1/ 4.>@ B.54@ B.D55 B.@\@ B.\54 D.B4
D5
D@
>5
B.4D B.@BD B.\5C D.B=@ B.>CC B.\5\ D.D>C D.= B.=44 D.D4D D.=5= >.B\ D.45 D.D@ >.B\5 >.=D D.@>B >.44 >.== @.D\ D.\BC >.CB4 @.D5B @.\>
A condutividade esta diretamente relacionada com a concentração de sal diluído em um meio, e esta afeta o valor da permissividade elétrica de uma solução de água com sal diluído. 3or e(emplo, a figura e e a figura " de de uma fig8ErKealMond ilustra a constante dielétrica ϵ r r figura fig8ErmagMond fig8ErmagMond a parte imaginária imaginária ϵ r r " solução de água com sal diluído a D@Gppm, em função da frequência. Monsidera#se uma variação de
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temperatura entre 5 e >5M. As lin!as sOlidas ilustram a permissividade da água pura enquanto as lin!as pontil!adas para água salina. As setas ilustram ilustram a variação das da s curvas da permissividade permissividade com o aumento de temperatura. Iiagrama Iiagrama da permissividade permissividade real rea l de água pura lin!a sOlida/ sOlida/ e de uma subst%ncia subst% ncia de água com sal diluído lin!a trace+ada/, ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 5 # 455M. Iiagrama Iiagrama da permissividade permissividade imaginária imaginária de água pura lin!a sOlida/ e de uma subst%ncia de água com sal diluído lin!a trace+ada/, ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 5 # 455M. Em bai(as frequências, os íons condutivos são capa"es de responder e se mover com a mudança do ". Mom o aumento da potencial elétrico, produ"indo aquecimento por fricção, aumentando a umentando as perdas perda s ϵ r r " temperatura, a água absorve menos energia nas frequências de micro#ondas. 3orém, com a presença de sal a água torna#se mel!or absorvedora de micro#ondas com o aumento da temperatura Flsbumicro:aveH . Ao manter a temperatura fi(a é possível ilustrar de forma clara a variação da permissividade para diferentes concent c oncentraç0es raç0es de sal. As figuras figuras fig8ErKealSali fig8ErKealSali e fig8ErmagS fig8ErmagSali ali mostram a dependência dependê ncia de ϵ r r em função da freqência e do aumento da salinidade para uma temperatura constante de B@M. Js gráficos são construídos com co m base nas fOrmulas eq8*Qfors8Mond, eq8*Qfors8Kele(N e eq8*Qfors8Er.
em 3ermissividade relativa da água ϵ r r em função da frequência & B@M, para variaç0es da concentração de sal de 5 # @5/Gppm em passos de @Gppm. " em Xator de perdas da água ϵ r r " em função da frequência frequência & B@M, para variaç0es da concentração de sal de 5 # @5/Gppm em passos de @Gppm. Momparando os gráficos fig8ErKealSali fig8ErKealSali e fig8ErmagS fig8ErmagSali ali para água á gua salina com o apresentado apresent ado na figura fig8permiMomple( para água pura, pode#se perceber que a parte real sofre uma pequena variação de seu " sofrem valor para o acréscimo da salinidade. *o entanto, as perdas representadas por ϵ r r " sofrem um grande aumento com a salinidade. 3ortanto, um alimento contendo sal absorve com maior facilidade as micro#ondas do que um alimento sem sal, com maiores perdas e consequente maior aquecimento, o que é interessante para um forno de micro#ondas. 3or outro lado, em aplicaç0es de instrumentação esse aumento das perdas é ruim, pois se tem uma grande atenuação do sinal eletromagnético. Montudo, observando a figura fig8ErmagSali conclui#se que o efeito da salinidade é redu"ido com o aumento da frequência. Mom efeito, pode#se observar que a partir de D55-7" +á é possível operar com instrumentação, porém é somente na fai(a de 67" que as perdas do material dominam as da salinidade. Wevando em conta o pro+eto do medidor de fração de água, que será discutido no prO(imo capítulo, é possível fa"er fa"er uma análise, e +ustificar +ustificar que é praticamente impossível impossível pro+etar uma cavidade para operar o perar como medidor de fração de água na frequência de 4567", em que as perdas pela presença de sal são mínimas. sso porque as dimens0es da cavidade seriam muito pequenas para operar com a primeira resson%ncia em 4567". 3or e(emplo, uma cavidade cilíndrica preenc!ida com água, operando em 4567", seu raio deve ser menor que 4mm, o que é incompatível com a aplicaç0es na industria do petrOleo. 3ara desenvolver o pro+eto do medidor de fração de água para um escoamento bifásico de água e Oleo é crucial o entendimento do comportamento da permissividade em uma mistura de dois materiais e em diferentes fraç0es. *a prO(ima seção será abordado o comportamento da permissividade em misturas equivalentes de diferentes líquidos.
Permissividade Relativa Equivalente para Mistura de Dois Meios 3ara misturas dielétricas e(istem formulas para calcular a permissividade efetiva de uma mistura como uma função das permissividades que constituem a mistura. A mistura pode ser !omogênea ou não. J uso
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do conceito de mistura efetiva implica que a mistura responde & e(citação eletromagnética como se fosse !omogênea.
=ϵ -!ϵ" A permissividade efetiva pode ser comple(a, ϵ =ϵ -!ϵ" , em que a parte real e imaginária são certamente médias da parte real e imaginária das componentes dos materiais. A mistura pode ser analisada pela sua estrutura, que é o meio principal, muitas ve"es denominado de Xase Montínua, e a adição de bol!as esféricas, de acordo com a figura fig8-i(ture s p!erical. p!erical. As duas componentes da mistura são denominadas de fases e o material incluído sobre a fase principal é denominado de convidado. 'ma 'ma simples mistura mistura com inclus0es esféricas em um meio !omogêneo. A fOrmula de $rggeman $rggeman eq8$ruggman84 eq8$ruggman84 estima a permissividade permissividade de uma mistura de dois materiais, como por e(emplo, Oleo e água. A permissivi permissividade dade da mistura ϵ m? m? é determinada pela permissividade e o volume relativo das fraç0es de cada fase, assim como pela estrutura da mistura. Esta fOrmula representa a parte real de uma mistura de água9!idrocarboneto com elevada precisão. A equação representa misturas constituídas de um escoamento contínuo de água contendo bol!as distribuídas !omogeneamente de Oleo, FSi!vola8artiH , FSi!vola8-i(H e F*Qfors8ApplicH . {1}/{}=1- = {ϵ L> -ϵ m? -ϵ M L> -ϵ m? }/{ϵ L> L> -ϵ M }·){ϵ M M }/{ϵ m? m? }+ L> =O ,
onde ϵ L> é a fração L> , ϵ O e ϵ m? m? são respectivamente, as permissividades do Oleo, da água e da mistura e L> é de volume relativa do Oleo enquanto que O é a da água. A figura fig8$ruggeman apresenta a curva para diferentes fraç0es de água e Oleo para uma mistura bifásica segundo a fOrmula de $rggeman. Esse =81 e do Oleo como ϵ r r =2,1 =2,1. resultado considera um caso ideal com permissividade da água ϵ r r =81 3ermissividade relativa equivalente para uma mistura de água e Oleo pela fOrmula de $rggeman, para um caso ideal, com pressão e temperatura ambiente. Em casos onde o escoamento de água contínuo apresenta bol!as de Oleo e de gás é necessário aplicar duas ve"es a formula de $rggeman. $rggeman. *os casos apresentados apresentad os até aqui, assume#se que os materiais que comp0em a mistura não apresenta m perdas. Ju se+a, está sendo tratada tra tada apenas a penas a parte part e real da permissividade permissividade de cada c ada fase, logo da mistura mistura também. Nodo o esforço reali"ado até o presente momento foi para determinar uma permissividade equivalente, considerando uma mistura !omogênea com adição de geometrias esféricas de um material. Montudo, vale salientar que na prática têm#se outros casos de misturas, como por e(emplo, aquelas em que o escoamento não é !omogêneo ou para partículas com outras geometrias adicionadas & mistura, como elipsOides. E(istem na literatura outras fOrmulas para estimar misturas com outras geometrias, porém não serão consideradas neste ne ste trabal!o, t rabal!o, FSi!vola8-i(H FSi!vola8-i(H e FSi!vola8artiH FSi!vola8artiH .
#um$rio *este capítulo foi apresentada apresenta da uma formulação sobre permissividade permissividade dielétrica de materiais, +untamente com suas dependências da temperatura, frequência e salinidade. Nambém foi apresentada a equação de $rggeman que determina a permissividade efetiva de uma mistura de água9Oleo. Esta formulação será aplicada no capítulo c!a8Sensor, onde serão abordadas as cavidades ressonantes utili"adas como sensores, seu pro+eto e funcionamento.
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... % Permissividade %============================================================================== \chapter{Propriedades Dielétricas dos Materiais} \label{cha:permis} Este capítulo trata sobre a interação entre ondas eletromagnéticas e materiais dielétricos, mais especificamente sobre a permissividade relativa de materiais dielétricos. Serão abordadas aqui as dependências da permissividade relativa em função da temperatura e da salinidade. São apresentados gráficos ilustrando o efeito da variação da temperatura e da salinidade tanto na parte real quanto na imaginária da permissividade relativa, em especial do efeito dessa dependência sobre a água. A partir disso, será possível identificar algumas freqüências de operação que apresentem melhor resultado no desenvolvimento de um sensor de medição de vazão bifásica por micro-ondas. A teoria sobre permissividade dielétrica descreve como um material se comporta na presença de um campo elétrico, e o entendimento dessa teoria se faz necessária para compreender o funcionamento do medidor de fração de água apresentado neste trabalho. Basicamente, o medidor monitora a mudança da frequência de ressonância associado à permissividade relativa do meio que está presente em uma cavidade ressonante que forma uma parte do medidor. %============================================================================== \section{Introdução} \label{sec-cap4-int} Uma onda eletromagnética propaga-se através de propagação. Este meio apresenta características eletromagnética com o meio, como por exemplo, a dielétrica $\epsilon$, a permeabilidade $\mu$ e com a frequência, estes parâmetros determinam o eletromagnética.
algum meio, denominado meio de que afetam a interação da onda permissividade elétrica ou constante a condutividade $\sigma$. Juntamente comportamento da onda
Neste trabalho, consideramos os materiais como sendo não magnéticos, ou seja, considera-se que $\mu_{r}=1$; portanto $\mu=\mu_{0}=4\pi\cdot10^{-7}[NA^{-2}]$. Assim, este capítulo realiza uma análise mais detalhada sobre a permissividade do meio. Muitas propriedades elétricas das moléculas (como a permissividade) podem ser relacionadas com as ações dos núcleos que competem pelas cargas dos elétrons ou pelo efeito da ação do núcleo competindo com a influência de um campo elétrico externo aplicado. A água é uma molécula polar e isso significa que há um momento de dipolo elétrico permanente. Este momento de dipolo provém das cargas parciais dos átomos na molécula provocadas pelas diferenças das eletronegatividades. Na presença de uma campo elétrico esse momento dipolo é modificado pela ação do campo externo. Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas elétricas puntiformes \textit{q} e \textit{-q} separadas por uma distância \textit{R}. Essa configuração é representada por um vetor, o momento de dipolo elétrico, que tem o sentido da carga negativa para positiva. Quando o campo elétrico aplicado às moléculas se altera lentamente, o momento de dipolo tem tempo para se orientar e a molécula gira acompanhando a modificação do campo. Porém, quando a frequência do campo é muito elevada (superior a 100GHz) a molécula não pode alterar sua posição com tal rapidez para acompanhar o campo. Quando duas cargas $q_{1}$ e $q_{2}$ estão separadas por uma distância \textit{r} no vácuo, a energia potencial da respectiva interação é \begin{equation} V=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi r\epsilon_{0}}. \label{eq:defiPermiVac} \end{equation} Porém, quando as mesmas cargas estão imersas num meio, como por exemplo o ar ou a água, a energia potencial se reduz a \begin{equation}
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... V=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi r\epsilon} , \label{eq:defiPermiLiq} \end{equation} \noindent em que $\epsilon$ é a permissividade do meio, \cite{atkins:fisico}. Sendo a permissividade $\epsilon=\epsilon_{0}\epsilon_{r}$ e uma vez que $\epsilon_{0}$ é a permissividade do vácuo e tem seu valor constante e igual a $\epsilon_{0}=8,8541878176\cdot10^{-12}F/m$. Desta forma, toda a análise deste capítulo será realizada sobre a permissividade relativa $\epsilon_{r}$. Diferente do vácuo, materiais normais, como por exemplo a água, apresentam uma resposta para o campo elétrico externo que geralmente depende da frequência. Essa dependência com a frequência ilustra o fato que a polarização do material não ocorre instantaneamente para um campo aplicado, e isso pode ser representado por uma diferença de fase. Por esta razão a permissividade é geralmente tratada como um número complexo $\epsilon_{r}=\epsilon_{r}'-j\epsilon_{r}"$ , para poder representar a magnitude e a fase de uma campo aplicado com uma determinada frequência $\omega$. Quando uma onda eletromagnética propaga-se num meio, o campo elétrico \textit{E} desta onda polariza o material. Entretanto, quando um material apresenta perdas, ou seja, tem condutividade ($\sigma$) não nula, surge um atraso entre o campo elétrico e a polarização do meio (figura \ref{fig:Polarizacao}). O nível das perdas depende da diferença entre a fase do campo elétrico e da polarização, \cite{lsbu_microwave}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth] {figs/Diagrama_Polariazacao2.eps} \caption{Resultado da polarização de material em função de um campo elétrico \textit{E} incidente.} \label{fig:Polarizacao} \end{figure} Quanto maior as perdas, maior será o aquecimento no meio, provocado por uma densidade de corrente $J$ fluindo no meio. Esta densidade de corrente está relacionada diretamente com a condutividade do meio $\sigma$, pois \begin{equation} J=\sigma E . \label{eq:densidadeCorr} \end{equation} A tangente de perdas $tan(\delta)$ é definida como sendo \begin{equation} tan(\delta)=\frac{\epsilon_{r}"}{\epsilon_{r}'}. \label{eq:tanperdas} \end{equation} A parte imaginária da permissividade $\epsilon_{r}"$ está associada as perdas do meio, e seu valor é sempre positivo ($\epsilon_{r}"\geq0$). Para um caso ideal de um meio sem perdas, tem-se a parte imaginária nula, ou seja $\epsilon_{r}"=0$, \cite{lsbu_microwave}. A parte real da permissividade $\epsilon_r'$ afeta o campo elétrico de uma onda em propagação e também muda a relação entre os campos elétricos e magnéticos. Ao mesmo tempo, $\epsilon_r'$ afeta a velocidade de propagação da onda. Em uma cavidade ressonante, isto altera a frequência de ressonância de forma a deslocá-la para uma frequência maior ou menor. Este deslocamento da frequência de ressonância em função da variação do valor da permissividade relativa é o princípio de funcionamento do medidor descrito neste trabalho. A equação da velocidade de fase (equação \ref{eq:Vp}) ilustra como a permissividade afeta a velocidade com que a uma onda eletromagnética propaga-se no meio. Para o vácuo, tem-se uma velocidade de propagação de aproximadamente $c\cong3 \cdot10^{8}$m/s. Para outros meios não magnéticos com poucas perdas, pode-se aproximar a velocidade de propagação como sendo
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\begin{equation} V_{p}=\frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}\simeq\frac{c}{\sqrt{\epsilon_{r}}}\simeq\frac{3 \cdot10^{8}}{\sqrt{\epsilon_{r}}}. \label{eq:vprogag} \end{equation} %A relação freqüência e comprimento de onda \eqref{eq:comprimento}, dependem do meio de propagação ($\epsilon_{r}$), e isso permanece igual para velocidade de propagação, ou seja, menor velocidade significa que o comprimento de onda em um meio dielétrico ($\lambda_{\epsilon}$) é menor que no espaço livre ($\lambda_{0}$), essa relação pode ser facilmente percebida em \eqref{eq:comprivac}. As equações \eqref{eq:comprimento} e \eqref{eq:comprivac} permitem calcular o comprimento de onda ($\lambda_{\epsilon}$ num meio dielétrico. Observa-se que o comprimento de onda num dielétrico é menor que o comprimento de onda no espaço livre $\lambda_{0}$ à mesma frequência. \begin{equation} \lambda_{\epsilon}=\frac{1}{f\sqrt{\mu\epsilon}}=\frac{c}{f\sqrt{\epsilon_{r}}}, \label{eq:comprimento} \end{equation} \begin{equation} \lambda_{\epsilon}\simeq\frac{\lambda_{0}}{\sqrt{\epsilon_{r}'}}. \label{eq:comprivac} \end{equation} Cada material apresenta um valor de permissividade. Em geral, esse valor está entre a permissividade do ar ($\epsilon_{r}=1$) e a permissividade da água ($\epsilon_{r}=81$). A tabela \ref{tab:permimat} apresenta alguns valores de $\epsilon_r'$ para diferentes materiais, \cite{Eletromag:ufsc}. \begin{table}[!ht] \caption{Permissividade relativa $\epsilon_r'$ \cite{Eletromag:ufsc}.} \begin{center} \begin{tabular}{| l | r | } \hline Material & Permissividade $\epsilon_r'$ \\ \hline Ar & 1,0 \\ \hline Polietileno & 1,05 \\ \hline Madeira Seca & 1,5 - 4,0 \\ \hline Teflon & 2,0 \\ \hline Petróleo & 2,1 \\ \hline Óleo mineral & 2,3 \\ \hline Solo seco & 2,8 \\ \hline Borracha & 3,0 \\ \hline Papel isolante & 3,0 \\ \hline Nylon & 3,1 \\ \hline Parafina & 3,2 \\ \hline Quartzo & 3,8 \\ \hline Vidro & 6,0 \\ \hline Porcelana & 7,0 \\ \hline Álcool etílico & 25,0 \\ \hline Água destilada & 81,0 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \label{tab:permimat} \end{table} A permissividade depende tanto da frequência como das propriedades físicas dos materiais, tais como umidade, densidade, temperatura e condutividade. Na próxima seção será discutida a dependência da permissividade da água com estes fatores. %Além disso, é sempre dependente da frequência. Nas seções seguintes, serão discutidas as dependências da permissividade. Em geral, as abordagens realizadas são sobre a permissividade da água. Logo, os exemplos apresentados serão também sobre a água.
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%============================================================================== \section{Permissividade da Água} Esta seção utiliza a água como exemplo para ilustrar a dependência da permissividade com a variação da temperatura e da frequência. No entanto, a água apresenta uma condutividade na presença de sal, o que não ocorre com o ar e óleo, por exemplo. A água é uma molécula formada por dois gases (figura \ref{fig:agua1}), o oxigênio e o hidrogênio, porém nas condições ambientes de temperatura e pressão (23ºC, 1 atm) a água é um líquido. %Além disso, a água apresenta outro fenômeno surpreendente, que é a possibilidade de transformar água em temperatura ambiente em gelo, apenas aplicando um campo elétrico da ordem de $10^6$ V/m, e ao manter este campo elétrico a água permanece congelado mesmo em temperatura ambiente, \cite{Water:Frez}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figs/Molecula_Agua.eps} \caption{Estrutura da molécula de água \cite{lsbu_Westruture}.} \label{fig:agua1} \end{figure} Para a água pura, o valor da permissividade relativa é $\epsilon_{r}=81$, considerando pressão e temperatura ambientes. Contudo, a água é um ótimo solvente que dissolve vários tipos de substâncias polares e também iônicas, como por exemplo o sal. Por isso, a água na natureza é raramente pura e geralmente possui sais e minerais dissolvidos, os quais afetam o valor da permissividade. Nas próximas seções, será discutida a variação do valor da permissividade relativa da água para a mudança de temperatura, concentração de sal e frequência. Mais informações sobre a permissividade da água, podem ser encontradas nas referências: \cite{Agua:dielref}, \cite{lsbu_microwave}, \cite{Nyfors:book}. %============================================================================== \subsection{Permissividade Relativa e sua Dependência com a Frequência} Esta seção trata sobre a dependência da permissividade relativa com a variação da frequência. Esta dependência é muito importante para poder definir a frequência de operação. Por exemplo, uma aplicação como em fornos de micro-ondas, escolhe-se uma frequência de operação em que as perdas sejam elevadas, em outras palavras, em que a parte imaginária $\epsilon_{r}"$ seja máxima. Por outro lado, para uma aplicação em instrumentação, deseja-se encontrar um ponto de operação em que as perdas sejam mínimas, para que uma grande parcela do sinal transmitido seja recebido pela antena receptora. Desta forma, é muito importante compreender a variação do valor da permissividade em função da frequência. A variação de $\epsilon_r$ na faixa de micro-ondas é causada pela mudança polar das moléculas. Essa dependência da freqüência é descrita pela relação de Debye \begin{equation} \epsilon_{r}=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'}{1+j\omega \tau}=\epsilon_{r}'+j\epsilon_{r}" , \label{eq:debye} \end{equation} \noindent que pode ser separada em parte real \eqref{eq:debyeReal} \begin{equation} \epsilon_{r}'=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'} {1+\omega^{2}\tau^{2}}, \label{eq:debyeReal} \end{equation}
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... \noindent e parte imaginária \eqref{eq:debyeImag} \begin{equation} \epsilon_{r}"=\frac{(\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}')\omega\tau}{1+j\omega^{2} \tau^{2}}, \label{eq:debyeImag} \end{equation} \noindent onde $\tau$ é o tempo de relaxação, $\epsilon_{rs}'$ é a permissividade relativa para baixas frequências (região estática), enquanto $\epsilon_{r\infty}'$ é a permissividade óptica ou infinita (frequências elevadas) e seu valor é $\epsilon_{r \infty}'=4,9$. %Se a permissividade muda com a frequência, ela depende também do comprimento de onda ($\lambda$), e pode-se definir ($\epsilon_r'$) em função do comprimento de onda, como apresentado na equação \eqref{eq:debyeComp} % %\begin{equation} %\epsilon_{r}'=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'} {1+(\lambda s/\lambda)^{2}}, %\label{eq:debyeComp} %\end{equation} %\noindent onde $\lambda_s$ é o comprimento de onda crítico para valores máximos de perdas. O tempo de relaxamento ($\tau$) é a medida de tempo necessária para a água rotacionar, também considerado como atraso para as partículas responderem a mudança de campo. O tempo de relaxação ($\tau$) para água doce é obtido através de: \begin{equation} \tau=\frac{4\pi\eta r^{3}}{kT}, \label{eq:LSBU:Relax} \end{equation} \noindent onde $r$ é o raio molecular, $k$ a constante de Boltzmann ($k=1,3806503\cdot10^{-13}\frac{J}{K}$), $\eta$ a viscosidade e $T$ a temperatura em Kelvin. O raio molecular $r$ da água é a metade da distância entre as moléculas de Oxigênio, e vale $r=0,14nm$, \cite{lsbu_Westruture}. A viscosidade da água $\eta$ também depende da temperatura. Para 20ºC é de $\eta=1,003\cdot10^{-3}Pa\;s$ e para 25ºC é $\eta=8,90\cdot10^{-4}Pa\;s$. Ao resolver a equação \eqref{eq:LSBU:Relax} para 20ºC, tem-se $\tau=8,5451ps$ e para 25ºC obtém-se $\tau=7,4533ps$. Para água salgada $\tau$ pode ser obtido através da equação \eqref{eq:Nyfors:RelexT}, \cite{Nyfors:book}, \cite{lsbu_microwave}, \cite{Trel:water} \cite{Trel:Analysis}. Ao resolver a relação de Debye (equação \eqref{eq:debye}), em função da frequência $\omega$, é possível ilustrar a variação de $\epsilon_r$, tanto a parte real quanto a imaginaria, para a mudança da frequência, como representado na figura \ref{fig:permiComplex}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth] {figs/Er_Agua_Doce_Complexa_LOG.eps} \caption{Permissividade da água doce a 25ºC em função da frequência.} \label{fig:permiComplex} \end{figure} % - figura Er complexa em escala lienar %\begin{figure}[!ht] % \centering % \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figs/Permi_Doce_Complexa.eps} % \capt captio ion{ n{Pe Perm rmis issi sivi vida dade de da água água doce oce a 25ºC 25ºC em funç função ão da freq freqüê üênc ncia ia em escala linear} % \label{fig:permiComplexLinear} %\end{figure}
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... Percebe-se que a parte real $\epsilon_r'$ é constante em baixas e em altas freqüências, e a transição ocorre lentamente na vizinhança da freqüência de relaxação, que pode ser encontrada através da equação $f_{rel}=\frac{1}{2\pi\tau}$. No entanto, a parte imaginária $\epsilon_r"$ é pequena tanto em baixas freqüências quanto em altas, porém na região de transição apresenta um valor elevado, isso considerando água pura. Em baixas freqüências, onde a polarização sempre ocorre completamente, as perdas por ciclo são proporcionais à freqüência, pois a fricção em fluídos viscosos é diretamente proporcional à velocidade do movimento. Por outro lado, em altas frequências, as perdas desaparecem com o aumento da frequência, pois a polarização desaparece também. Na frequência de polarização, $\epsilon_r"$ tem seu valor máximo, que pode ser facilmente calculado pela equação \eqref{eq:ErImagMax}. \begin{equation} \epsilon_{r}"_{max}=\frac{\epsilon_{r}'-\epsilon_{r\infty}'}{2}. \label{eq:ErImagMax} \end{equation} A relação de Debye é baseada em três constantes $\epsilon{}_{rs}''$, $\epsilon_{r} {}_{\infty}'$ e $\tau$ em que a permissividade óptica $\epsilon_{r}{}_{\infty}'$ não é afetada pela variação da temperatura. Entretanto, a permissividade estática $\epsilon{}_{rs}'$ e o tempo de relaxação $\tau$ sofrem alterações. Com o aumento da temperatura, $\epsilon{}_{rs}'$ diminui por causa do aumento da desordem. Já o tempo de relaxação $\tau$ é inversamente proporcional à temperatura devido ao fato que todo movimento é mais rápido em temperaturas mais elevadas. O gráfico apresentado na figura \ref{fig:permiComplex} é construido sobre a solução da relação de Debye. Por outro lado, um trabalho realizado de forma experimental para água pura é apresentado na figura \ref{fig:dieletric_ghz} \cite{Agua:dielref}. Tanto $\epsilon_r'$ quanto $\epsilon_r"$ são ilustrados em função da frequência. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.75\textwidth]{figs/dieletric_exp_ghz.eps} \caption{Permissividade relativa da água para 25ºC, obtida experimentalmente para 0,1 - 1000GHz, \cite{Agua:dielref}.} \label{fig:dieletric_ghz} \end{figure} %Uma outra forma de representar a dependência da freqüencia em $\epsilon_r$ é utilizando o gráfico de cole-cole, que representa a permissividade relativa ($\epsilon_r'$) pelo fator de perdas ($\epsilon_r"$) variando a freqüência. Para representar o gráfico de cole-cole é utilizado a equação de Debye \eqref{eq:debye}, graficando a parte real pela imaginária, obtêm-se então a figura \ref{fig:colecole}, \cite{Nyfors:book} \cite{Agua:dielref}. %\begin{figure}[!ht] % \centering % \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Diagrama_Cole-Cole_1.eps} % \caption{Diagrama de cole-cole para água pura} % \label{fig:colecole} %\end{figure}
%============================================================================== \subsection{Permissividade Relativa e sua Dependência com a Temperatura} A temperatura afeta $\epsilon_r$ e consequentemente $\epsilon_r'$ e $\epsilon_r"$. Além disso, afeta também o tempo de relaxação. Com o aumento da temperatura, a água torna-se um material pobre em absorção de micro-ondas. O gráfico da figura \ref{fig:ErRealTemp} ilustra como é afetada a permissividade relativa da água doce variando a freqüência de 10MHz a 1THz e ao mesmo tempo a temperatura de 0 a 40ºC em passos de 5ºC, enquanto o gráfico \ref{fig:ErImagTemp} ilustra $\epsilon_{r}"$ para o mesmo caso. As setas indicam o sentido do aumento da temperatura.
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... \begin{figure}[!ht] \centering % \incl includ udeg egra raph phic ics[ s[wi widt dth= h=0. 0.9\ 9\te text xtwi widt dth] h]{f {fig igs/ s/di diel elet etri ric_ c_fr freq eq_t _tem emp. p.ep eps} s} \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_Real_0_40Graus_ok_Corel.eps} \caption{Permissividade relativa da água para uma variação de temperatura e de frequência.} \label{fig:ErRealTemp} %dielFrecTemp \end{figure} \begin{figure}[!ht] \centering % \incl includ udeg egra raph phic ics[ s[wi widt dth= h=0. 0.9\ 9\te text xtwi widt dth] h]{f {fig igs/ s/di diel elet etri ric_ c_fr freq eq_t _tem emp. p.ep eps} s} \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_Imag_0_40Graus_ok_Corel.eps} \caption{Fator de perdas da água para variação da temperatura e frequência.} \label{fig:ErImagTemp} \end{figure} É possível perceber que em altas freqüências a permissividade óptica $\epsilon_{r \infty}'$ não é significativamente afetada com a mudança de temperatura. A permissividade estática $\epsilon_{rs}'$ depende da temperatura e pode ser aproximada pela equação \eqref{eq:ErstaticTemp} para água doce (não condutiva), considerando variações de temperatura entre -35ºC e 100ºC. \begin{equation} \epsilon{}_{rs}'(t)=A e^{-bt}, \label{eq:ErstaticTemp} \end{equation} \noindent onde $A=87,85306$ e $b=0,00456992$, portanto $\epsilon_{rs}'(T=25ºC)=78,36$. %Pode-se utilizar a representação de cole-cole para ilustrar a dependência de temperatura e freqüência da permissividade relativa, como apresentado na figura \ref{fig:coletempfreq}. As linhas vermelhas representam a variação da temperatura de 0ºC a 100ºC com passos de 20ºC. Enquanto as linhas azuis representam a variação da temperatura em uma freqüência fixa. %\begin{figure}[!ht] % \centering % \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/cole-cole_temp_freq.eps} % \capt captio ion{ n{Di Diag agra rama ma de Cole Cole-C -Col ole e pa para difer iferen ente tes s fre freqü qüên ênci cias as e tem tempe pera ratu tura ras} s} % \label{fig:coletempfreq} %\end{figure} %============================================================================== \subsection{Permissividade Relativa e o Efeito de Íons Condutivos} Esta seção trata sobre os efeitos dos íons condutivos dissolvidos na água. Os efeitos aqui analisados são referentes à permissividade e como consequência a interação de água salina com micro-ondas. A permissividade da água depende crucialmente da condutividade, consequentemente da quantidade de sal (salinidade). A permissividade de um meio não condutivo é dada por \eqref{eq:debye}. No entanto, quando um meio apresenta condutividade, surge um novo termo associado à parte imaginária da permissividade. Portanto, se a condutividade é conhecida, pode-se representar a permissividade pela equação \eqref{eq:Ercondutiva} ou \eqref{eq:DebyeCond}. Equivalentemente, ela também pode ser obtida através da equação \eqref{eq:Ercondutiva}, que é a equação de Debye considerando íons condutivos. \begin{equation} \epsilon_{r}=\epsilon_{r}'-j\left(\epsilon_{r}"+\frac{\sigma}{\omega\epsilon_{0}} \right),
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... \label{eq:Ercondutiva} \end{equation} \begin{equation} \epsilon_{r}=\epsilon_{r\infty}'+\frac{\epsilon_{rs}'-\epsilon_{r\infty}'}{1+j\omega \tau}-j\frac{\sigma}{\omega\epsilon_{0}}. \label{eq:DebyeCond} \end{equation} O efeito da condutividade diminui com a frequência, pois o termo $\omega$ está no denominador de \eqref{eq:DebyeCond}. Assim, a condutividade tem grande influência em baixas freqüências, mas não na faixa de GHz. E como a condutividade está associada a um termo puramente imaginário, ela afeta apenas a parte imaginária da permissividade. Contudo, íons condutivos introduzem perdas no material, porém para uma aproximação de primeira ordem isto não afeta o comprimento de onda. %A equação \eqref{eq:DebyeCond} possibilita uma aproximação para propriedades das moléculas de água. No entanto existem algumas dificuldades que podem reduzir a precisão da aproximação, como por exemplo, a viscosidade interna do fluído. Por outro lado, existem na bibliografia algumas aproximações para curvas de permissividade incluindo condutividade \cite{Nyfors:book} e \cite{Nyfors:Applic}. As equações \eqref{eq:Nyfors:Er}, \eqref{eq:Nyfors:Rele \eqref{eq:Nyfors:RelexT} xT} e \eqref{eq:Nyfors:Cond \eqref{eq:Nyfors:Cond} } apresentam aproximações para curvas da permissividade relativa, tempo de relaxação e condutividade da água, considerando a presença de sal diluído, \cite{Nyfors:book} e \cite{Nyfors:Applic}. \begin{equation} \begin{array}{l} \epsilon_{rs}'=88,195-4,3917S+0,16738S^{2}-0,40349T+0,65924\cdot10^{-3}T^{2} \\+0,43269\cdot10^{-1}ST -0,42856\cdot10^{-2}S^{2}T+0,4441\cdot10^{-5}S^{2}T^{2}\\0,92286\cdot10^{-4}ST^{2}, \label{eq:Nyfors:Er} \end{array} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{l} \tau\cdot10^{12}=19,39-1,137S+0,11471S^{2}-0,6802T+0,95865\cdot10^{-2}T^{2}\\+0,58629 \cdot10^{-1}ST-0,54577\cdot10^{-2}S^{2}T+0,82521\cdot10^{-4}S^{2}T^{2}\\-0,87596 \cdot10^{-3}ST^{2}-0.65303\cdot10^{-17}\cdot exp(T), \label{eq:Nyfors:RelexT} \end{array} \end{equation} \begin{equation} \begin{array}{l} \sigma=0,87483 S+0,25662\cdot10^{-2}S^{2}+0,45802\cdot10^{-1} ST\\-0,37158 \cdot10^{-2} S^{2}T+0,3928810^{-4} S^{2}T^{2}-0,16914\cdot10^{-3} ST^{2}, \label{eq:Nyfors:Cond} \end{array} \end{equation} \noindent onde $\epsilon_{r\infty}'=4,9$ e $S$ é a salinidade do meio, representada pela porcentagem de sal em relação ao peso total do meio e T é a temperatura em graus Celsius. A salinidade é também comumente expressa em $ppm$ (partes por milhão) onde $1ppm=\frac{1}{1.000.000}$. Por exemplo, $35g$ equivale a 35kppm, pois $\frac{35g}{1kg}=35.000ppm$ ou $35kppm$. Em relação à água do mar, é possível encontrar na literatura um valor médio da condutividade de $4\;Siemens/m$, porém esse valor é apenas uma média utilizada para ilustrar a condutividade. Sabe-se que esse valor depende da temperatura, concentração de sal, pressão, entre outros fatores. Desta forma, para diferentes profundidades e localizações, têm-se diferentes valores de condutividade e permissividade para a água do mar. Portanto, é possível encontrar diferentes valores de condutividade para água do mar na literatura. Por exemplo, um estudo realizado pelo \emph{National Physical Laboratory} \cite{Kaye:sea} apresenta que a média da condutividade dos oceanos é de $3,27\; Siemens/m$ (excluindo águas rasas), e que para água profundas com aproximadamente 4000m de profundidade e temperatura de 0ºC com concentração de sal de 35Kppm, tem-se uma condutividade $6\%$ superior à da superfície. A tabela \ref{Tab:Salinity} apresenta os valores de condutividade para
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... diferentes temperaturas e concentração de sal na água do mar. \begin{table}[!h] \caption{Condutividade elétrica da água do mar sob pressão atmosférica, \cite{Kaye:sea}.} \label{Tab:Salinity} \begin{center} \begin{tabular}{|c|r|r|r|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Temperatura} \multicolumn{1}{|c|}{T emperatura} & \multicolumn{5}{|c|}{S \multicolumn{5}{|c|}{Salinidade($g\cdot alinidade($g\cdot kg^{-1}$)} \\ \cline{2-6} ºC & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{5}{c|}{$ \multicolumn{5}{c|}{$\sigma$ \sigma$ ($S\cdot m^{-1}$)} \\ \hline 0 & 1.745 & 2.137 & 2.523 & 2.906 & 3.285 \\ 5 & 2.015 & 2.466 & 2.909 & 3.346 & 3.778 \\ 10 & 2.300 & 2.811 & 3.313 & 3.808 & 4.297 \\ 15 & 2.595 & 3.170 & 3.735 & 4.290 & 4.837 \\ 20 & 2.901 & 3.542 & 4.171 & 4.788 & 5.397 \\ 25 & 3.217 & 3.926 & 4.621 & 5.302 & 5.974 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} A condutividade esta diretamente relacionada com a concentração de sal diluído em um meio, e esta afeta o valor da permissividade elétrica de uma solução de água com sal diluído. Por exemplo, a figura \ref{fig:ErRealCond} ilustra a constante dielétrica $\epsilon_r'$ e a figura \ref{fig:ErImagCond} a parte imaginária $\epsilon_r"$ de uma solução de água com sal diluído a 35kppm, em função da frequência. Considera-se uma variação de temperatura entre 0 e 40ºC. As linhas sólidas ilustram a permissividade da água pura enquanto as linhas pontilhadas para água salina. As setas ilustram a variação das curvas da permissividade com o aumento de temperatura. \begin{figure}[!ht] \centering %\includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Diagrama_Er_Salinidade_.eps} \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_real_Temp_0_40_Condu_0_4Sm_OK.eps} \caption{Diagrama da permissividade real de água pura (linha sólida) e de uma substância de água com sal diluído (linha tracejada), ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 0 - 100ºC.} \label{fig:ErRealCond} %DiagramaSalEr \end{figure} \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth] {figs/Er_Imag_Temp_0_40_Condu_0_4Sm_OK.eps} \caption{Diagrama da permissividade imaginária de água pura (linha sólida) e de uma substância de água com sal diluído (linha tracejada), ambas em função da frequência, para uma variação de temperatura de 0 - 100ºC.} \label{fig:ErImagCond} \end{figure} Em baixas frequências, os íons condutivos são capazes de responder e se mover com a mudança do do potencial elétrico, produzindo aquecimento por fricção, aumentando as perdas $\epsilon_r"$. Com o aumento da temperatura, a água absorve menos energia nas frequências de micro-ondas. Porém, com a presença de sal a água torna-se melhor absorvedora de micro-ondas com o aumento da temperatura \cite{lsbu_microwave}.
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... Ao manter a temperatura fixa é possível ilustrar de forma clara a variação da permissividade para diferentes concentrações de sal. As figuras \ref{fig:ErRealSali} e \ref{fig:ErImagSali} mostram a dependência de $\epsilon_{r}$ em função da freqüência e do aumento da salinidade para uma temperatura constante de 25ºC. Os gráficos são construídos com base nas fórmulas \eqref{eq:Nyfors:Cond}, \eqref{eq:Nyfors:RelexT} e \eqref{eq:Nyfors:Er}. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Ers_Real_Var_Sal_25C.eps} \caption{Permissividade relativa da água $\epsilon_r'$ em função da frequência à 25ºC, para variações da concentração de sal de (0 - 50)kppm em passos de 5kppm.} \label{fig:ErRealSali} \end{figure} \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Ers_Imag_Var_Sal_25C.eps} \caption{Fator de perdas da água $\epsilon_r"$ em função da frequência à 25ºC, para variações da concentração de sal de (0 - 50)kppm em passos de 5kppm.} \label{fig:ErImagSali} \end{figure}
Comparando os gráficos \ref{fig:ErRealSali} e \ref{fig:ErImagSali} para água salina com o apresentado na figura \ref{fig:permiComplex} para água pura, pode-se perceber que a parte real sofre uma pequena variação de seu valor para o acréscimo da salinidade. No entanto, as perdas representadas por $\epsilon_r"$ sofrem um grande aumento com a salinidade. Portanto, um alimento contendo sal absorve com maior facilidade as micro-ondas do que um alimento sem sal, com maiores perdas e consequente maior aquecimento, o que é interessante para um forno de micro-ondas. Por outro lado, em aplicações de instrumentação esse aumento das perdas é ruim, pois se tem uma grande atenuação do sinal eletromagnético. Contudo, observando a figura \ref{fig:ErImagSali} conclui-se que o efeito da salinidade é reduzido com o aumento da frequência. Com efeito, pode-se observar que a partir de 300MHz já é possível operar com instrumentação, porém é somente na faixa de GHz que as perdas do material dominam as da salinidade. Levando em conta o projeto do medidor de fração de água, que será discutido no próximo capítulo, é possível fazer uma análise, e justificar que é praticamente impossível projetar uma uma cavidade para operar como medidor de fração de água na frequência de 10GHz, em que as perdas pela presença de sal são mínimas. Isso porque as dimensões da cavidade seriam muito pequenas para operar com a primeira ressonância em 10GHz. Por exemplo, uma cavidade cilíndrica preenchida com água, operando em 10GHz, seu raio deve ser menor que 1mm, o que é incompatível com a aplicações na industria do petróleo. Para desenvolver o projeto do medidor de fração de água para um escoamento bifásico de água e óleo é crucial o entendimento do comportamento da permissividade em uma mistura de dois materiais e em diferentes frações. Na próxima seção será abordado o comportamento da permissividade em misturas equivalentes de diferentes líquidos. %============================================================================== \section{Permissividade Relativa Equivalente para Mistura de Dois Meios} Para misturas dielétricas existem formulas para calcular a permissividade efetiva de uma mistura como uma função das permissividades que constituem a mistura. A mistura pode ser homogênea ou não. O uso do conceito de mistura efetiva implica que a mistura responde à excitação eletromagnética como se fosse homogênea. A permissividade efetiva pode ser complexa, $\epsilon_{eff}=\epsilon'_{eff}-j \epsilon"_{eff}$, em que a parte real e imaginária são certamente médias da parte real e imaginária das componentes dos materiais.
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!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... A mistura pode ser analisada pela sua estrutura, que é o meio principal, muitas vezes denominado de ``Fase Contínua'', e a adição de bolhas esféricas, de acordo com a figura \ref{fig:Mixture_spherical}. As duas componentes da mistura são denominadas de fases e o material incluído sobre a fase principal é denominado de ``convidado''. \begin{figure}[!hb] \centering \includegraphics[width=0.4\textwidth] {figs/Mixture_spherical.eps} \caption{Uma simples mistura com inclusões esféricas em um meio homogêneo.} \label{fig:Mixture_spherical} \end{figure} A fórmula de Brüggeman \eqref{eq:Bruggman:1} estima a permissividade de uma mistura de dois materiais, como por exemplo, óleo e água. A permissividade da mistura $\epsilon_{mix}$ é determinada pela permissividade e o volume relativo das frações de cada fase, assim como pela estrutura da mistura. Esta fórmula representa a parte real de uma mistura de água/hidrocarboneto com elevada precisão. A equação representa misturas constituídas de um escoamento contínuo de água contendo bolhas distribuídas homogeneamente de óleo, \cite{Sihvola:arti}, \cite{Sihvola:Mix} e \cite{Nyfors:Applic}. \begin{equation} \frac{\epsilon_{Oil}-\epsilon_{mix}}{\epsilon_{Oil}-\epsilon_{W}} \cdot\left(\frac{\epsilon_{W}}{\epsilon_{mix}}\right)^{\frac{1}{3}}=1-\phi_{Oil}= \phi_{w}, \label{eq:Bruggman:1} \end{equation} \noindent onde $\epsilon_{Oil}$, $\epsilon_{w}$ e $\epsilon_{mix}$ são respectivamente, as permissividades do óleo, da água e da mistura e $\phi_{Oil}$ é a fração de volume relativa do óleo enquanto que $\phi_{w}$ é a da água. A figura \ref{fig:Bruggeman} apresenta a curva para diferentes frações de água e óleo para uma mistura bifásica segundo a fórmula de Brüggeman. Esse resultado considera um caso ideal com permissividade da água $\epsilon_{r}=81$ e do óleo como $\epsilon_{r}=2,1$. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figs/Bruggman.eps} \caption{Permissividade relativa equivalente para uma mistura de água e óleo pela fórmula de Brüggeman, para um caso ideal, com pressão e temperatura ambiente.} \label{fig:Bruggeman} \end{figure} Em casos onde o escoamento de água contínuo apresenta bolhas de óleo e de gás é necessário aplicar duas vezes a formula de Brüggeman. Nos casos apresentados até aqui, assume-se que os materiais que compõem a mistura não apresentam perdas. Ou seja, está sendo tratada apenas a parte real da permissividade de cada fase, logo da mistura também. Todo o esforço realizado até o presente momento foi para determinar uma permissividade equivalente, considerando uma mistura homogênea com adição de geometrias esféricas de um material. Contudo, vale salientar que na prática têm-se outros casos de misturas, como por exemplo, aquelas em que o escoamento não é homogêneo ou para partículas com outras geometrias adicionadas à mistura, como elipsóides. Existem na literatura outras fórmulas para estimar misturas com outras geometrias, porém não serão consideradas neste trabalho, \cite{Sihvola:Mix} e \cite{Sihvola:arti}. %\begin{equation} %\epsilon_{eff}=\epsilon_{e}+3\digamma\epsilon_{e}\frac{\epsilon_{i}-\epsilon_{e}} {\epsilon_{i.}+2\epsilon_{e}-\digamma\left(\epsilon_{i}-\epsilon_{e}\right)}, %\label{eq:MaxwellGarnett} %\end{equation}
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4C95@9B54> BD 4
!ttp899:ebcac!e.googleusercontent.com9searc!;q?3p?@... % %\noindent onde $\digamma=\eta V$, sendo $V$ o volume e $\eta$ a viscosidade, e $\digamma$ é uma quantidade adimensional da fração do volume do material incluído na mistura; $\epsilon_{e}$ e $\epsilon_{i}$ são, respectivamente, a permissividade da fase principal e do material inserido à mistura. % %A formula de Maxwell Garnett é amplamente utilizada em muitos campos de aplicações, por ser simples e satisfazer à limitação do desaparecimento de uma fase % % %\begin{equation} %\digamma\rightarrow0\Rightarrow\epsilon_{eff}=\epsilon_{e}, %\label{eq:MaxwellGarnett:1} %\end{equation} % %\noindent e ao desaparecer a fase contínua % %\begin{equation} %\digamma\rightarrow1\Rightarrow\epsilon_{eff}=\epsilon_{i}. %\label{eq:MaxwellGarnett:2} %\end{equation} % % Assim, se a fase principal $\epsilon_{e}$ corresponde a $100\%$ da fração, a permissividade efetiva será o proprio valor de $\epsilon_{e}$. Entretanto, se a fase correspondente a $\epsilon_{e}$ apresenta $0\%$ da fração, o valor da permissividade efetiva será o valor da fase convidada $\epsilon_{i}$, pois esta representa $100\%$ do fluído. % %Para misturas diluídas com $\digamma<<1$, a regra de Maxwell Garnett corresponde a % %\begin{equation} % \epsi epsilo lon_ n_{e {eff ff}= }=\e \eps psil ilon on_{ _{e} e}+3 +3\d \dig igam amma ma\e \eps psil ilon on_{ _{e} e}\f \fra rac{ c{\e \eps psil ilon on_{ _{i} i}\epsilon_{e}}{\epsilon_{i.}+2\epsilon_{e}}. % \label{eq:MaxwellGarnett:3} %\end{equation} % %O tratamento básico de misturas como um meio efetivo corresponde a um modelo idealizado para uma mistura de duas fases com componentes dielétricas isotrópicas e inclusão de geometrias esféricas de outro material. Existem alguns ``materiais'' na prática que seguem esse modelo razoavelmente bem, como por exemplo, nuvens, neblina e a garoa (chuva leve). A neblina é formada por gotas de água no ar que são certamente esféricas e a mistura é muito diluída \cite{Sihvola:arti}. %============================================================================== \section{Sumário} Neste capítulo foi apresentada uma formulação sobre permissividade dielétrica de materiais, juntamente com suas dependências da temperatura, frequência e salinidade. Também foi apresentada a equação de Brüggeman que determina a permissividade efetiva de uma mistura de água/óleo. Esta formulação será aplicada no capítulo \ref{cha:Sensor}, onde serão abordadas as cavidades ressonantes utilizadas como sensores, seu projeto e funcionamento.
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