Permütasyon & Kombinasyon & Olasılık & İstatistik

İLK SÖZ Herşeyin çok hızlı tüketildiği bir zamanda hayatımıza giren YENİ liklerin birçoğu daha anlaşılmadan tekno çöplüklere dönüşüyor. BİLGİ ise artık eskisi gibi değil, heryerde; zamandan ve mekandan bağımsız ulaşabiliyoruz. Oyunun yeni kuralı bilmekten çok, bilgiyi yorumlamaya dayanıyor. Bu süreçte siz öğrenci arkadaşlarımıza düşen, bilmekten çok YORUM lamak olacaktır. Bu kitapla amaçladığımız davranış biçimi soruları tek başınıza yorumlayarak çözmenizdir. Artık öğretmen de öğrenci de sizler olacaksınız. Bu kitapla bizim size sağlamak istediğimiz fayda evde tek başınıza yorumladığınız sorulara farklı bir bakış açısı kazandırmaktır. Herşey gönlünüzce...

Fikret ÇELENK & Merve ÇELENK

I

Copyright © Akıl Fikir Mektebi - Fikret Çelenk Bu kitabın ve sistemin her hakkı saklıdır. Tüm hakları Eğitim Atölyem Fikret Çelenk’e aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin, biçim ve sorular yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz, yayımlanamaz. Görsel Tasarım, Grafik ve Dizgi Bahtım KIRBAŞ BASKI NEŞE MATBAASI Esenyurt / İstanbul Tlf : 0(212) 886 83 30 Genel Dağıtım Akıl Fikir Mektebi Nailbey Sokak No : 24-26 Daire : 5 Kadıköy / İstanbul GSM : 0532 263 97 27 www.akilfikirmektebi.com Birinci Basım, Eylül 2013

II

MATEMATİK

PERMÜTASYON

SAYMA Bir irin en farklı n tane a1, a2, ..., an) la ın verilen sıra a göre el e e ilmesi r m , la ların ar ılması ile lunur.

A

a

www.akilfikirmektebi.com

eli nin 3 farklı tişörtü, 5 farklı gömleği vardır. B nlar an irini gi e ek ka farklı se im a a ilir

lan

eli

4 yol

na göre çarpma işlemi kullanmak yanfarklı seçim yapabilir.

b)

4 yol

B

3 yol

C

144 farklı şekil-

de gidilir ve dönülür.

ğı için çarpma yoluyla çözebiliriz. 15

A

3 yol

A dan C ye ⇒ 4.3.3.4

Tişört ve gömleği aynı anda kullanaca3.5

12 farklı şekilde gi-

4 yol

3 tişörtten 5 gömlekten birini birini

b)

ön -

3 yol

A dan C ye ⇒ 4.3 dilir.

lış olur. 8

ekil e gi ilir ve

Bu gidiş ve dönüşlerde yollar ard arda ve aynı anda kullanılacağı için çarpma kullanmalıyız. a) A B C

eli, ya tişört giyecek ya da gömlek.

5

farklı

Gi erken k llanılan l ön te k llanılmamak artı la ka farklı ekil e gi ilir ve ön l r

Bu işlemleri aynı anda yapmayacağı-

3

a farklı ekil e gi ilir a l r

Ti ört n st ne gömlek gi e ek lan eli ka farklı se im a a ilir a)

C

A kentinden C kentine gidebilecek güzergahlar yukarıdaki şekilde verilmiştir. Buna göre, A kentinden C kentine

a1.a2.a3. ... . an

a

B

3 yol

farklı seçim yapa-

A

bilir.

4 yol

2 yol

B

3 yol

A dan C ye ⇒ 4.3.2.3

3 tişörtten 5 gömlekten birini birini

4

gidilir ve dönülür.

C

72 farklı şekilde

ki inin katıl ığı ir sınav a arı ön n en ka farklı ekil e s n lanır

A 1, 2, 3 B a, b, c, d, e kümeleri veriliyor. a

Bir kişi için başarılı veya başarısız olmak üzere 2 durum vardır. 1. kişi için . 2. kişi için ... 12. kişi için ... 2 2 2 ⇒

a)

b)

k mesin en B k mesine ka tane ire ir f nksi n tanımlana ilir

212 farklı şekilde sonuçlanabilir.

a)

4 farklı mektup 6 posta kutusuna; a farklı ekil e atılır er k t a en k ir tane atmak artı la ka farklı ekil e atılır

Fonksiyon belirtmesi için A kümesindeki her elemanın, B kümesindeki bir eleman ile eşleşmesi yeterlidir. 1 in gidebileceği 5 farklı; 2 nin gidebileceği 5 farklı ve 3 ün gidebileceği 5 farklı eleman olduğundan; A dan B ye; ⇒ 5.5.5 nabilir.

1. mektup için → 6 p.k ⎫ ⎪ 6.6.6.6 2. mektup için → 6 p.k ⎪ ⎪ 4 ⎬ ⇒ 6 farklı 3. mektup için → 6 p.k ⎪ şekilde ⎪ atılabilir. ⎪ 4. mektup için → 6 p.k ⎭

b)

125 tane fonksiyon tanımla-

Bire bir fonksiyon olması için A kümesindeki her eleman, B kümesindeki farklı bir eleman ile eşleşmelidir. 1 in gidebileceği 5 farklı eleman varken, 2 nin gidebileceği 4 ve 3 ün gidebileceği 3 farklı eleman vardır.

1. mektup için → 6 p.k ⎫ ⎪ 2. mektup için → 5 p.k ⎪ 6.5.4.3 ⎪ ⎬ ⇒ 360 farklı 3. mektup için → 4 p.k ⎪ şekilde ⎪ atılabilir. 4. mektup için → 3 p.k ⎪⎭

A dan B ye; ⇒ 5.4.3 vardır.

5

60 tane bire bir fonksiyon

PERMÜTASYON

a

k mesin en B k mesine ka tane f nksi n tanımlana ilir

A

0, 2, 3, 5, 6

kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı; a

a farklı sa ı azıla ilir akamları farklı ka farklı sa ı azıla ilir


Bu tarz soruların çözümünde kısıtlama hangi basamakta ise, o basamaktan başlayın 5

5

⇒ 4.5.5

üzler Onlar Birler

{}

4

5

2

d)

100 farklı sayı

3

4

3

üzler Onlar Birler

⇒ 4.4.3

40 farklı sayı

2

+

üzler Onlar Birler

4

3

{}

48 farklı sayı

Rakamları farklı olabilmesi için, onlar basamağına 4 ve birler basamağına 3 rakam yazılabilir. 6

4.3.1

1

üzler Onlar Birler

{0}

2 6

⇒ 3.3.2 4

⇒ 4.5.2

Çift sayı olabilmesi için birler basamağından başlamalıyız ve 0 ı ayrıca düşünmeliyiz.

3

üzler basamağına 0 gelemeyeceğinden yüzler basamağına 4 rakam, diğer basamaklara ise 5 er rakam yazılabilir.

b)

3 5

Tek sayı olabilmesi için birler basamağına 2, yüzler basamağına 4 ve onlar basamağına 5 farklı rakam yazabiliriz.

akamları farklı ka farklı ift sa ı azıla ilir

4

⎧0 ⎫ ⎪⎪2 ⎪⎪ ⎨3 ⎬ ⎪5 ⎪ ⎪⎩6 ⎪⎭

üzler Onlar Birler

a farklı tek sa ı azıla ilir

a)

⎧2 ⎫ ⎪3 ⎪ ⎨5 ⎬ ⎪6 ⎪ ⎩ ⎭

18

12

30 farklı sayı

, , , , rakamlarını k llanarak rakamları ir irin en farklı lan, asamaklı ve en k k ka eği ik sa ı azıla ilir

A

kümesinin elemanları kullanılarak yazılan rakamları birbirinden farklı beş basamaklı doğal sayılar yazılıp büyükten küçüğe doğru sıralanıyor.

(1999 - ÖSS) üzler basamağı 5 ve 6 olan sayıların tamamı, 7 olan sayıların ise bir kısmı 780 den küçük olacaktır.

{} 2

4

3

1

+

ır

24

a)

2

3

1

30 farklı sayı

{9}

A 1, 2, 3, 4 k mesinin elemanları la, en az iki asamağın aki rakamı a nı lan asamaklı ka sa ı azıla ilir

1

4

4

4

üzler Onlar Birler

4.4.4

4.3.2

64

4

3

b)

2

üzler Onlar Birler

24

40 farklı sayı

3

2

1

4

3

2

1

9 ile başlayan 4 24 tane sayı yazılabilir. 7 ile başlayan 4 24 tane sayı yazılabilir.

Dolayısıyla 5 ile başlayan en büyük sayı ⇒ 24 24 1 49. sayı olur.

RAKAMLARI FARKLI 3 BASAMAKLI SAYILAR

–

4

{7}

(2006 - ÖSS) Sorunun anlatmak istediği şey yazılan üç basamaklı sayıların rakamlarının farklı olmamasıdır. A kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek tüm üç basamaklı sayılardan, rakamları farklı üç basamaklı sayıları çıkarırsak cevabı bulmuş olacağız. TÜM 3 BASAMAKLI SAYILAR

59731 sayısı 5 ile başlayan en büyük sayıdır.

üzler Onlar Birler

6

sa ı ka tır

9 ile başlayan → 4 dır.

24 tane sayı var-


24 tane sayı var-


24 tane sayı var-

72. sayı 5 ile başlayan en küçük sayı olmalıdır. Cevap : 51379 dur. 7

PERMÜTASYON

1.2.3

sa ısı a tan ka ın ı sıra aBa tan

5 6

üzler Onlar Birler

2.4.3

a

{}

5 6

1, 3, 5, 7, 9

Dört asamaklı sa ıların ka tanesin e rakamı l n r

Bir testte 8 soru ve her sorunun 4 tane cevap seçeneği vardır. B testin eva ana tarı

azılabilecek tüm 4 basamaklı sayılardan, 5 rakamının hiç kullanılmadığı 4 basamaklı sayıları çıkarmalıyız.

Tüm 4 Basamaklı Sayılar


9

10

10

10 +

Binler üzler Onlar Birler

9.10.10.10

8.9.9.9

a

9

9

9

Binler üzler Onlar Birler

9000

t r la ilir

r ar a gelen er angi iki s r n n eva ı a nı lma a ak ekil e ka farklı l t r la ilir

5 Rakamının kullanılmadığı 4 basamaklı sayılar

8

a farklı ekil e l

a)

5832

1. soru için → 4 seçenek 2. soru için → 4 seçenek 3. soru için → 4 seçenek

4.4.4...4 8 tane

48 farklı

8. soru için → 4 seçenek

3168 farklı sayı b)

1. soru için → 4 seçenek 2. soru için → 3 seçenek 3. soru için → 3 seçenek 8. soru için → 3 seçenek

8

4.3.3...3 7 tane 7

4.3 farklı

PERMÜTASYON

A

a, b, c, d, e ,f

k mesinin ka ın a

n, r irer ğal sa ı ve n r lmak zere, n elemanlı ir k menin r li sıralanıına n nin r li erm tas n enir ve n, r ile gösterilir

a

a

a ve a

n! dir. (n − r )!

a)

= n.(n − 1).(n − 2)...(n − r + 1)

erm tas

nlarının

l n r l n r

a ve P(n, r ) =

l

l n r

Tüm 3 lü permütasyonlarından a nın bulunmadığı 3 lü permütasyonlar çıkarılırsa cevap bulunur. (6, 3) (5, 3) ⇒ 6.5.4

n,

n, n

n,

n

5.4.3

120

60

60 tane

n

, b)

(6, 3)

(4, 3)

Tüm 3 lü a ve b nin bulunmadığı 3 lü permütasyonları permütasyonları

6.5.4 (n l ⇒

(n 2

n

1, 2)

12

ğ na göre, n ka tır 1).(n 3n

2) 2

4.3.2

120

24

96 tane

(n, 2)

12

a, b, a ve b nin yanına bir eleman daha seçmeliyiz ve daha sonra bunları sıralamalıyız.

n.(n 1) 2

12

n –n

14

2n ve n

⎛4⎞ ⎜1 ⎟ .3 ! → 4.6 = 24 tane ⎝ ⎠

7 bulunur.

3 elemanı sıraladık

9

PERMÜTASYON

Tüm 3 lü a nın bulunmadığı 3 lü permütasyonları permütasyonları

a


a)

4 farklı tarih, 4 farklı edebiyat ve 2 farklı felsefe kitabı bir kitaplığın rafına; a farklı ekil e izile ilir nı t r en kita lar ir ara a laak ekil e ka farklı ekil e izileilir E e i at kita ları ir ara a la ak ekil e ka farklı ekil e izile ilir 4 tarih 4 edebiyat 10 kitap bir rafa; (10, 10)

b)

a

2 felsefe toplam a)

10 şekilde dizilebilir.

b)

3456 farklı şekilde

4 Tarih

5 .4 şekilde oturabilirler. Kızların kendi aralarındaki sıralaması

Felsefelerin kendi arasındaki sıralaması

1 kitap

E1 E2 E3 E4

K1 K2 K3 K4 + 4 erkek Toplam 5 kişi yanyana

toplam 3 kitap varmış gibi davranırız.

Edebiyatların kendi arasındaki sıralaması

8 şekilde dizilebilir.

1 kişi

T1 T2 T3 T4 + E1 E2 E3 E4 + F1 F2

Tarihlerin kendi arasındaki sıralaması

Toplam 8 kişi yan yana; (8, 8)

Bir arada olacak kitapları tek bir kitap gibi düşünüp, en son kendi içindeki sıralamalar ile çarpmalıyız.

3 .4 .4 .2

4 erkek, 4 kız arkadaş sinemaya gidip aynı sıradan yan yana 8 bilet alıyorlar. a farklı ekil e t ra ilirler ızlar ir ara a lmak iste iklerine göre, ka farklı ekil e t ra ilirler Belli iki erkek a lar a t rmak artı la, ka farklı ekil e t ra ilirler

B A

2 Felsefe

6 kişi

A B

aradaki 6 kişi, 6 koltuğa;

Toplam 7 kitap; 7 .4 şekilde

6 .2 farklı şekilde

Edebiyatların kendi arasındaki sıralaması

A ve B nin kendi aralarındaki yer değişimi

10

D İ E EL E n ki i n

varlak

T

Y N

evli ift, e ler an ana la ak i im e varlak ir masa a ka farklı ekil e t ra ilirler

ir masa etrafın a

ekil e sıralanır

n tane farklı nesne ir alka a a ileziğe (n – 1)! ekil e sıralanır 2

a

(4

Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir masada; a farklı ekil e t ra ilirler nne ve a a aima yanyana olaak i im e ka farklı ekil e t r rlar nne ile a a arasın a en k k k t rmak zere, ka farklı ekil e t r rlar

4 kişi

1) . 2 . 2 . 2 . 2

1. çiftin 2. çiftin 3. çiftin 4. çiftin yer yer yer yer değiştirmesi değiştirmesi değiştirmesi değiştirmesi

⇒

3 .(2 )4

6.16

96 farklı şekilde PERMÜTASYON

a)

Ç1 + Ç2 + Ç3 + Ç4

5 kişi yuvarlak bir masa etrafında; (5

1)

24 farklı şekilde oturabilir.

1 kişi

b)

A, B

3 çocuk

arklı lar aki ana tar alka eklin eki mask ts z ir ana tarlığa ka farklı ekil e izile ilir

toplam 4 kişi yuvarlak masada; (4

1) .2 ⇒ 6.2

12 farklı şekilde.

Yuvarlak Anne ile Babanın masa kendi arasında yer değiştirmesi

1 kişi

A, K.Ç, B (3 1) .2

2 çocuk ⇒ toplam 3 kişi... 4 farklı şekilde.

Yuvarlak Anne ile Babanın kendi aramasa sında yer değiştirmesi (Çocuk daima arada kalacak)

11

Anahtarlık sorularında çift yönlü bakabildiğimiz için sıralamaların yarısı yalan olur. Dolayısıyla 5 anahtar; Yuvarlak (5 – 1)! 12 farklı şekilde 2 Anahtarlık

zdeş 4 mavi, 3 kırmızı ve 2 beyaz boncuk halka şeklindeki bir demire dizilerek bilezik yapılacaktır. Buna göre, ilezik ka farklı esen i ere ilir

TE L E T Y N n tane farklı nesnenin n1 tanesi ir iri ile öz e , n2 tanesi ir iri ile öz e , nk tanesi ir iri ile öz e ve n1 + n2 + ... + nk n lmak zere, n nesne


a

a)

b)

4 mavi

3 kırmızı

2 beyaz

9 boncuk

Dairesel

( 9 − 1) !

n! ekil e sıralanırlar n !.n !. ... n ! 1 2 k

2. 4 !." 3 !.# 2! ! # $

farklı desen içerebilir.

Tekrarlı

MARMARA kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek; arfli ka kelime ile a la an arfli ka kelime ile a la ı ile itme en arfli ka kelime MM

AAA

RR

7 harf

7! farklı kelime yazılabilir. 2!.3!.2! ⎛3 ⎞ ⎜ 7 si A ile ⎟ 7 ! 2 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ 2 !.3 !.2 ! ⎟ . 7 M ile başlar. ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ si R ile ⎟ 7 ⎝ ⎠ ⎛ 7! ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ 2 !.3 !.2 ! ⎟ . ⎜ 7 ⎟ . ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ M ile başlayanlar

Bir irin en farklı ma eni ara atıl ığın a sinin azı, n n t ra gel iği ka farklı r m var ır TTTT

A ile bitmeyenler

12

YY ⇒

6! 4!.2!

15 durum

a

a)

A

1110044 sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek birbirinden farklı 7 basamaklı; a tane ğal sa ı azılır a tane tek ğal sa ı azılır ile a la ı ile iten ka tane saı azılır

C

an areket e en ir ki i en kısa yolan e gitmek isti r

111 00 44 sayısının rakamları ile,

a

⎛ 7! ⎞ 5 ⎜ 3 !.2 !.2 ! ⎟ . 7 sayı yazılabilir. ⎝ ⎠ a)

Aa a a

a B

00 44 ) 1

A dan C ye gidilebib lecek yollar; b aaaabbb b ababbaa C aabbbaa

⎛ 6! ⎞ 4 ⎜ 2 !.2 !.2 ! ⎟ . 6 sayı yazılabilir. ⎝ ⎠

7! = 35 farklı yol 4 !.3 !

Tekrarlı 0 ın başa gelmediği durumlar

b)

A dan B ye ; aaab B den C ye ; abb

1 ( 11 00 4) 4

4!

3!

3 ! → B ⎯⎯⎯ 2! → C A ⎯⎯⎯ 4 yol

⎛ 5! ⎞ ⎜ 2 !.2 ! ⎟ sayı yazılabilir. ⎝ ⎠

⇒ 4.3

Dikkat edersek 0 ın başta olması 7 basamaklı durumunu bozmuyor. 13

3 yol

12 farklı yol vardır.

PERMÜTASYON

( 11

a farklı ekil e gi e ilir B n ktasın an ge mek artı la ka farklı ekil e gi e ilir

Tekrarlı 0 ın başa gelmediği durumlar

b)

Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir.

B

K

B

A

K

U

L

A A U A

K

A

B

A

K

U

L

A

K

B

A

K

U

L

K


Y karı an a ağı a B L kelimesi ka farklı ekil e k n r K 1

1

A 1

1 1

A

K

A 2

B

3 4

1

B A

K

B

3 6

A

K

4

1

A

K

K

5

10

10

5

U

U

U

U

15

20

L

15

L

35

1

L

35

A

A

70

K

70 farklı şekilde okunabilir. 14

1. Ali nin 5 farklý þortu, 4 farklý pantolonu 3. Farklý renklerde 4 þapkasý, 3 gömleði vardýr. Bunlardan birini giyecek olan Ali kaç farklý seçim yapabilir? A) 4

B) 5

C) 9

D) 20

ve 5 eteði olan Natasha kaç farklý þekilde giyinebilir? A) 120 B) 80

C) 60

D) 30

E) 12

E) 25

TEST KODU : 21201

olan bir kiþi, bir gömlek ve bir kravatý kaç farklý þekilde giyebilir?

ve bir baþkan yardýmcýsý kaç farklý þekilde seçilebilir?

A) 40

A) 8

B) 42

C) 48

D) 56

E) 62

15

B) 15

C) 28

D) 56

E) 64

PERMÜTASYON

2. Farklý renklerde 7 gömlek, 6 kravatý 4. 8 kiþilik bir komisyondan, bir baþkan

5. 4 Rus, 7 Hollandalý arasýndan 1 Rus 7. Kilitli bir kasanýn þifresi 4 hanelidir. ve 1 Hollandalý kaç farklý þekilde seçilebilir? A) 4

B) 7

C) 11

D) 22

E) 28

Ýlk iki hanesinin sesli harflerden ve son iki hanesinin çift rakamlardan oluþtuðu biliniyorsa, kaç farklý þifre oluþturulabilir? A) 1120

B) 1200


D) 3200

C) 1600 E) 6400

6. 11 kiþilik bir futbolcu kafilesinden 8. A kentinden B kentine 5 farklý yol, B ken1 kaleci, 1 stoper ve 1 forvet kaç farklý þekilde seçilebilir? A) 720 B) 800 C) 880 D) 900 E) 990

tinden C kentine 6 farklý yol vardýr. Buna göre, A kentinden C kentine B den geçmek koþulu ile kaç farklý þekilde gidilebilir? A) 11

16

B) 30

C) 120 D) 56

E) 65

9. A kentinden B kentine 3, B kentinden 11. C kentine 4 farklý yol vardýr.

!

Buna göre, A kentinden C kentine hem giderken hem de dönerken B ye uðramak koþuluyla kaç farklý þekilde gidip gelinebilir? A) 12

B) 24

C) 48

D) 72

"

#

$

A kentinden D kentine gidilebilecek güzergahlar yukarýdaki þekilde verilmiþtir.

E) 144

A) 24

B) 30

C) 36

D) 42

E) 48

TEST KODU : 21201

Buna göre, A kentinden D kentine kaç farklý þekilde gidilebilir?

10. !

"

#

$

12. A = { a, b, c } B = { 1, 2, 3, 4} olduðuna göre,

Buna göre, giderken kullandýðý yolu dönüþte kullanmamak koþuluyla kaç farklý þekilde gidip dönebilir?

A kümesinden B kümesine kaç farklý fonksiyon tanýmlanabilir?

A) 900 B) 720 C) 240 D) 120 E) 30

A) 24

17

B) 64

C) 81

D) 120 E) 144

PERMÜTASYON

A kentinden D kentine gidip dönmek isteyen bir araç yukarýdaki þekilde verilen güzergahý kullanacaktýr.

13. 6 kiþinin katýldýðý bir sýnav baþarý yö- 15. 4 farklý mektup, 4 posta kutusuna kaç nünden kaç farklý biçimde sonuçlanabilir?


A) 6

B) 12

C) 36

D) 48

farklý þekilde atýlabilir? A) 512 B) 256 C) 128 D) 24

E) 16

E) 64

14. Yan yana 5 binadan oluþan bir sitenin dýþ cepheleri beyaz, kýrmýzý, kum beji ve lila renkleriyle boyanacaktýr. Yan yana gelen iki bina ayný renkte boyanmayacaðýna göre, kaç farklý þekilde boyanabilir? A) 324 B) 212 C) 120 D) 72

16. 4 farklý mektup, 6 posta kutusuna her kutuya en fazla 1 tane atýlmak þartýyla kaç farklý þekilde atýlabilir? A) 24

E) 24

18

B) 120 C) 360 D) 720 E) 1296

1.

3. Üç basamaklý rakamlarý tekrarsýz kaç

A = {2, 3, 4, 5, 6}

farklý doðal sayý vardýr?

kümesinin elemanlarý ile üç basamaklý kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60

B) 72

A) 900 B) 648 C) 612 D) 504 E) 472

C) 108 D) 120 E) 125

TEST KODU : 21202

4. Beþlik sayma düzeninde, üç basa-

A = {2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarý ile rakamlarý farklý üç basamaklý kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60

B) 72

C) 108 D) 120 E) 125

19

maklı rakamlar tekrars z ka sa azıla ilir A) 30

B) 48

C) 60

D) 72

farklı E) 96

PERMÜTASYON

2.

5. Üç basamaklý doðal sayýlarýn kaç ta- 7. nesinde 3 rakamý bulunur?

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarý ile üç basamaklı en k k ka farkl sa azılabilir?

A) 333 B) 312 C) 298 D) 252 E) 124


A) 60

6.

8.

A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarý ile rakamlarý farkl asamakl ka farklı tek sa azıla ilir A) 60

B) 90

C) 120 D) 196 E) 210

20

B) 84

C) 98

D) 112 E) 120

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarý ile 400 den küçük kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60

B) 92

C) 108 D) 120 E) 144

9.

11. Dört basamaklý rakamlarý tekrarsýz 5

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

ile bölünebilen kaç farklý doðal sayý yazýlabilir?

kümesinin elemanlarý ile üç basamaklı, rakamlar tekrars z en k ka farklı sa az la ilir A) 101 B) 100 C) 99

D) 98

A) 9000

E) 97

B) 4536 D) 1008

C) 2268 E) 952

TEST KODU : 21202

12.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarý ile üç basamaklı, rakamlar tekrars z en k ka farklı ift sa az la ilir A) 65

B) 72

C) 82

D) 92

E) 102

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarý ile en az iki basamaðýndaki rakamý ayný olan üç basamaklý kaç farklý doðal sayý yazýlabilir? A) 60

21

B) 65

C) 75

D) 120 E) 125

PERMÜTASYON

10.

13.

15.

A = {1, 2, 4, 6} kümesinin elemanlarý kullanýlarak üç basamaklý, 3 ile tam bölünebilen kaç farklý sayý yazýlabilir? A) 12

B) 16

C) 18

D) 22

E) 24 I. şekil

II. şekil

25 özde kareden olu an I. şeklin her satýr ve her sütundan sadece bir özdeþ kare karalanarak II. şekildeki desenler elde ediliyor. www.akilfikirmektebi.com

Buna göre, en çok kaç farklý desen elde edilebilir? A) 64

14. A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4} olduðuna göre, A dan B ye kaç farklý bire bir fonksiyon yazýlabilir? A) 24

B) 48

C) 64

D) 72

E) 81

22

B) 72

C) 80

D) 120 E) 720

1. 5 kişilik arkadaş grubu 5 kişilik bir araba- 3. ya bineceklerdir ve arabayı ehliyeti olanlardan biri kullanacaktır. B ara a a farklı ekil e ine iliklerine göre, ka ki inin e li eti varır A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

mekt sta k t s na ka farklı ekil e atıla ilir A) 72

B) 64

C) 48

D) 24

E) 12

E) 5 TEST KODU : 21203

farklı yeleği olan Efe, pantolon üzerine gömlek ya da pantolon üzerine gömlek ve yelek giyecektir.

a en k ir mekt atılmak k la ka farklı ekil e atıla ilir

Buna göre, Efe kı afetleri ile ka farklı ekil e gi ine ilir

A) 72

A) 20 B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

23

B) 64

C) 48

D) 24

l E) 12

-

PERMÜTASYON

2. 4 farklı pantolonu, 5 farklı gömleği ve 2 4. 3 mektup 4 posta kutusuna, her kutu-

5.

erkesin ir irine f t ğraf ver iği ir gr ta t lam f t ğraf el eği tiriğine göre, gr ta ka ki i var ır


A) 10

6.

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

B) 11

C) 12

D) 13

ki inin katıl ığı ir sınav a arı ön n en ka farklı i im e s n lanabilir? A) 31

erkesin ir iri ile t kala tığı ir gr ta t lam t kala ma l ğ na göre , gr ta ka ki i var ır A) 10

7.

8.

E) 14

24

B) 64

C) 69

D) 128 E) 256

ki i, tane k lt ğa ka farklı ekilde oturabilir? A) 120 B) 100 C) 90

D) 80

E) 18

, , , , rakamları k llanılarak rakamları ir irin en farklı lan, asamaklı ve en k k ka eği ik sa ı azıla ilir A) 46

B) 42

C) 36

D) 30

11.

A = {0, 1, 3, 4, 6} k mesinin elemanları ile e asamaklı, rakamları tekrarsız ile öl ne ilen ka farklı sa ı azıla ilir

E) 24

A) 30

B) 36

C) 40

D) 48

E) 52

(ÖSS - 1999) TEST KODU : 21203

12.

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 3, 6, 7, 9}

k mesinin elemanları ile asamaklı, rakamların an sa e e iri lan ka farklı tek sa ı azıla ilir

k mesinin elemanları ile asamaklı, rakamları tekrarsız ile öl ne ilen ka farklı sa ı azıla ilir

A) 18

A) 12

B) 21

C) 24

D) 27

E) 33

25

B) 18

C) 24

D) 30

E) 36

PERMÜTASYON

10.

13.

15. Bir testte 10 soru ve her sorunun 5 tane

A = {1, 2, 3, 4}

cevap seçeneği vardır.

k mesinin elemanları ile azıla ile ek iki asamaklı sa ıların t lamı ka tır

Buna göre, testin eva ana tarı ka farklı ekil e l t r la ilir

A) 360 B) 380 C) 400 D) 420 E) 440

A) 5.29

B) 5.218


D) 510

14.

C) 220 E) 10!

16. Bir testte 15 soru ve her sorunun 5 tane

A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin elemanları yalnız bir kez kullanılarak 4 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. Bu kelimelerin kaç tanesi sesli harf ile a la ı sessiz arf ile iter

cevap seçeneği vardır. Ard arda gelen herhangi iki sorunun eva ı a nı olmayacak ekil e ka farklı eva ana tarı l t r la ilir 14

A) 5.2

B) 5.2 D) 4.513

A) 840 B) 600 C) 490 D) 200 E) 98

26

28

C) 2 E) 15!

31

1.

3.

P(5, 3) – P(5, 2) i leminin s n A) 40

B) 45

ka tır C) 50

D) 55

2P(6, n) = 3P(5, n) olduğuna göre, n ka tır

E) 60

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

TEST KODU : 21204

4.

3P(2n, 1) = 2P(n, 2) olduğuna göre, n ka tır A) 4

B) 5

C) 6

P(n + 1, n – 1) + P(n, n – 2) =4 P(n, n) olduğuna göre, n ka tır

D) 7

E) 8

A) 4

27

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

PERMÜTASYON

2.

5.

raların a E i ile B n n e l nğ ki i ir sıra a E i ve B i an ana gelme e ek ekil e ka eği ik i im e t ra ilir


A) 30

B) 48

C) 60

D) 72

7. Bir irin en farklı matematik, fizik,

E) 90

kim a kita ı ir rafa, a nı t r en kita lar an ana gelmek k l la ka farklı ekil e sıralana ilir A) 720 B) 432 C) 362 D) 288 E) 72

6. Bir irin en farklı, matematik, fizik, 8. 4 farklı matematik, 2 farklı kimya ve kim a kita ı ir kita lık rafına an ana ka farklı ekil e izile ilir A) 4!

B) 5!

C) 6!

D) 7!

E) 8!

3 farklı fizik kitabı bir rafa dizilecektir. er iki matematik kita ı arasın a ir fizik kita ı lması artı la ka farklı ekil e izile ilir A) 2!.4!.3! D) 5!.4!

28

B) 4!.3!.4!

C) 3.3!.7!

E) 4!.3!.3!

9. 5 doktor ile 4 hemşire düz bir sırada 11. oturacaklardır. İki kt r n arasına ir em ire gelmek artı la ka farklı ekil e t rabilirler? A) 288

B) 576 D) 1440

kız ve erkek arka a , a ta ve s n a kızlar lmak zere ve erkeklerden herhangi ikisi yan yana olmamak k l ile ka farklı ekil e izilirler A) 72

B) 144 C) 180 D) 216 E) 288

C) 720 E) 2880 TEST KODU : 21204

yan yana oturacaklardır.

yorlar ve aynı sıradan bilet alıyorlar.

Erkeklerden herhangi ikisi yan yana t rma a ak ekil e ka farklı ekilde oturabilirler?

ızlar aima an ana lmak artı la ka farklı ekil e t ra ilirler

A) 288

B) 720 D) 2160

C) 1440

A) 8!

B) 4!.4! D) 7!

E) 2880

29

C) 4!.5! E) 5!

PERMÜTASYON

10. 4 kız ve 3 erkek arkadaş düz bir sırada 12. 4 erkek ve 4 kız arkadaş sinemaya gidi-

13.

ğretmenler yan yana olmak şartıyla 2 öğretmen ile 5 öğrenci fotoğraf çektirecektir.

15.

ki i arka sıra a, ki i e ön sıra a rmak k l ile ka eği ik z verebilirler? A) 1200

B) 960


D) 600

14.

A) 24

B) 36

C) 60

D) 72

E) 120

C) 720 E) 360

16.

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile üç basamaklı ve rakamları tekrarsız sayılar yazılıp küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre, a tan

ki i, an ana izilmi lan san al e e ka farklı ekil e t rabilirler?

ki i araların a san al e kalma a ak ekil e, an ana izilmi san al e e ka farklı ekil e oturabilirler? A) 24

sa ı ka tır

A) 245 B) 252 C) 312 D) 314 E) 315

30

B) 48

C) 60

D) 72

E) 120

1.

3.

MARMARA kelimesinin arflerinin erleri eği tirilerek anlamlı a a anlamsız arfli ka farklı kelime azıla ilir

ANTALYA kelimesin eki arflerin erleri eği tirilerek arfli anlamlı a a anlamsız N ile a la an T ile iten ka söz k azıla ilir

A) 840 B) 420 C) 210 D) 105 E) 30

A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30 TEST KODU : 21205

4. “ATÖLYEM” kelimesinin harfleri ile

Buna göre, sadece ikisinin üst yüzüne azı gele eği ka farklı r m var ır A) 12

B) 15

C) 18

D) 21

E) 24

anlamlı a a anlamsız azıla ile ek 7 harfli kelimelerin kaç tanesinde sesli arfler alfa etik sıra a l n r A) 1680

B) 840 D) 210

31

C) 420 E) 105

PERMÜTASYON

2. 6 madeni para havaya atılıyor.

5. “ATÖLYEM” kelimesindeki harflerin 7. erleri eği tirilerek arfli anlamlı a a anlamsız kelimelerin ka ın a L arfi T ve arflerinin arasın a l nur? A) 1440

B) 1480


D) 1700

6.

sa ısının rakamlarının erleri eği tirilerek sekiz asamaklı ka farklı sa ı azıla ilir A) 160 B) 200 C) 240 D) 280 E) 320

C) 1680 E) 1780

8.

MATEMATİK kelimesinin arflerinin erleri eği tirilerek azıla ile ek arfli kelimelerin ka ın a arfin en emen s nra A harfi (MA, MA, …) gelir? A) 1260

B) 1200 D) 1080

44544333

1123456 sa ısının rakamları er efasın a irer kez k llanılarak azıla ilen asamaklı sa ıların ka tanesin e rakamları an ana ır A) 200 B) 240 C) 360 D) 480 E) 720

C) 1140 E) 1020

32

9.

z e kırmızı, mavi ve n k z ir i zerine ka ekil e sıralana ilir A) 720

B) 840 D) 1080

e az farklı

11.

C) 960

110012 sa ısının rakamlarının erleri eği tirilerek altı asamaklı ka farklı sa ı azıla ilir A) 40

E) 1260

B) 50

C) 60

D) 80

E) 90

TEST KODU : 21205

ğal sayılara palindrom sayı denir.

656900

Buna göre, e asamaklı ve tek lan ka tane alin r m sa ı var ır

sa ısının rakamlarının erleri eği tirilerek azıla ilen altı asamaklı ğal sa ıların ka tanesi ifttir

A) 400 B) 420 C) 440 D) 500 E) 520

A) 72

33

B) 76

C) 80

D) 84

E) 90

PERMÜTASYON

10. Tersten okunuşu kendisine eşit olan do- 12.

13.

!

"

Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokak-

15.

! #

larını göstermektedir. A dan B ye en kısa ekil e gi ile ilir

l an ka farklı

A) 15

D) 24

B) 16

C) 21

Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını gös" termektedir.

an areket e i e ğra arak B n ktasına en kısa l an gi e ek lan ir kimse ka eği ik l izle ebilir?

E) 28

B) 18

C) 16

D) 12

E) 9


A) 24

14.

akamları ar ımı lan ört asamaklı ka farklı sa ı azıla ilir A) 24

B) 36

C) 48

D) 60

16.

E) 72

88800333 sa ısının rakamlarının erleri eği tirilerek sekiz asamaklı, ile a la ı ile iten ka farklı sa ı azıla ilir A) 45

34

B) 60

C) 75

D) 90

E) 105

1.

3.

2200555 sa ısının rakamlarının erleri eği tirilerek e i asamaklı ka farklı tek sa ı azıla ilir A) 72

B) 60

C) 56

D) 48

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları yalnız bir kez kullanılarak altı basamaklı sayılar yazılıyor. B sa ıların ka tanesin e tek ve ift sa ılar kten k ğe ğr sıralanmı lar ır

E) 42

A) 240 B) 180 C) 120 D) 60

E) 20 TEST KODU : 21206

4.

2233456 sa ısının rakamları ile asamaklı ile a la ı ile itme en ka farklı sa ı azıla ilir A) 60

B) 72

kız ve erkek öğren i, kız öğren ilerden herhangi ikisi yan yana gelmemek artı la z ir sıra a ka farklı ekil e sıralana ilirler A) 48

C) 108 D) 120 E) 144

B) 120 D) 480

35

C) 360 E) 720

PERMÜTASYON

2.

5.

7.

ELMAS kelimesin eki arflerin erleri eği tirilerek elde edilen kelimeler alfabetik sıra a g n la ak ekil e izilirse a tan kelimenin ilk arfi ne l r A) E

B) L

C) M

D) A

E) S


Şekildeki balonlara alttan başlayacak şekilde atış yapmaya başlayan Kerim alttaki balonu patlatmadan bir üsttekini patlatamıyor. Buna göre, erim al nları ka ik ekil e atlata ilir

(Her atış tam isabettir ve atış yapılan balon patlar.) A) 280 B) 560 C) 1120

6. On bir rakamdan oluşan TC. kimlik numarasını unutan bir kişi, numarasının içinde 7 tane 3, 2 tane 5 ve 2 tane 0 olduğunu hatırlıyor. Buna göre, ki i en çok kaç denemee T kimlik n marasını la ilir A) 1600

B) 1740 D) 1900

C) 1820 E) 1980

36

eği-

D) 7!

E) 8!

8.

farklı n ak, ekil e ağıtıla ilir A) 42

B) 84

ğa ka

C) 504 D) 64

farklı

10. 3 tane madeni 1 ¨, kumbaralara istenen sa ı a atılmak s reti le eği ik ankalar an alınmı farklı k m araa ka eği ik ekil e atıla ilir

E) 212

A) 10

B) 21

C) 24

D) 35

E) 45

(ÖSS - 2004) TEST KODU : 21206

9.

A) 42

B) 84

ğa ka farklı

C) 504 D) 64

11.

!

E) 212 "

#

$

A) 6

37

B) 12

C) 18

n ktasın an D n ktasına en kısa l an gitmek isteyen bir ki i B l ndan geçmek artı la ka farklı l izleyebilir? D) 24

E) 30

PERMÜTASYON

öz e n ak, ekil e ağıtıla ilir

14.

'

12.

" !

!

"

! " !

!

! # # # # $ $ $ % % & Y karı an a ağı a T LYE ka farklı ekil e k n r B) 16

C) 20

D) 30

! " # $ # " ! ! " # $ % $ # " ! ! " # $ # " ! ! " # " !

kelimesi

! " ! !

E) 35

ukarıdaki şekilde ortadaki A harfinden başlayarak ardışık harfler takip ediliyor. a farklı ekil e ARMUT” kelimesi okunur? A) 15

13. A

"#

%$Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını gösB termektedir.

!


A) 12

! " # " !

A dan B ye en kısa ekil e gi ile ilir

l an ka farklı

A) 27

D) 39

B) 31

C) 35

E) 43

38

B) 30

C) 60

D) 120 E) 240

1. Be ki i

varlak ir masa etrafın a ka farklı ekil e t ra ilirler A) 720 B) 120 C) 60

D) 48

3.

E) 24

ki ilik ir aile varlak masa etrafına, anne ile a a arasın a en k k t rmak artı la ka farklı ekilde oturabilirler? A) 12

B) 18

C) 24

D) 36

E) 48

TEST KODU : 21207

nne, aile ne ve k l ler?

a a ve ktan l an ir varlak ir masa etrafın a, ana anın aima an ana lması ile ka farklı ekil e t ra ilir-

A) 6!

B) 2.5! C) 5!

4.

D) 2.4! E) 4!

nne, a a ve ktan l an aile, anne ile a a arasına en az ir k t rma k l la, varlak ir masa etrafın a, ka farklı ekil e t ra ilirler? A) 120 B) 96

39

C) 72

D) 48

E) 36

PERMÜTASYON

2.

5. Dört erkek, dört kız arkadaş yuvarlak bir 7. masada yemek yiyeceklerdir. ızlar ir ara a t rmak iste iğine göre, ka farklı ekil e t ra ilirler A) 4!

B) 5!


D) 4!.4!

evli ift, e ler an ana la ak ekil e varlak ir masa etrafın a ka farklı ekil e t ra ilirler A) 16

B) 18

C) 20

D) 24

E) 26

C) 7! E) 4!.5!

6. Bir aile yuvarlak masa etrafında çocuk- 8. Bir grupta, 4 baba ve her babanın 2 şer lardan herhangi birisi anne ile babanın arasında olacak şekilde 48 değişik biçimde oturabilyor. Buna göre, A) 7

B) 6

aile e ka C) 5

ire var ır

D) 4

E) 3

çocuğu olmak üzere toplam 12 kişi vardır. er a a ken i klarının arasın a kalmak artı la, gr varlak ir masa etrafın a ka farklı ekil e t rabilirler? A) 96

40

B) 108 C) 144 D) 192 E) 288

9.

öğretmen ve öğren i varlak ir masa etrafın a, öğretmenler aima ir ara a lmak k l la ka farklı ekil e t ra ilirler

11.

A) 200 B) 210 C) 220 D) 230 E) 240

erkek, kız arka a varlak ir masa etrafın a kızlar an er angi ikisi an ana lma a ak ekil e ka farklı i im e t ra ilirler A) 60.6!

B) 8! D) 4!.9!

C) 8.6! E) 5!.9! TEST KODU : 21207

10.

A) 1200

B) 1240 D) 1440

12. Dört erkek, dört kız arkadaş yuvarlak bir

C) 1400

masada akşam yemeği yiyeceklerdir. İki erkek arasın a ir kız t rmak k l la ka farklı ekil e t ra ilirler? A) 36

E) 1560

41

B) 72

C) 96

D) 144 E) 288

PERMÜTASYON

kt r ve em ire varlak masa etrafın a, er angi iki kt r an ana t rmamak k l la ka farklı ekli e t ra ilirler

13.

raların a evli iftin l n ğ ki ilik ir gr , er karı k a an ana lmak artı la, varlak ir masa etrafın a ka farklı ekil e oturabilirler?

14. Fİ ASKO kelimesinin harfleri tahtaya 16.

A) 720 B) 360 C) 120 D) 60

E) 30

% ' &

A) 7

B sıralamaların ka tanesin e saat yönünde “FİKO” okunabilir? B) 24

C) 48

D) 72

zdeş 4 mavi, 5 kırmızı boncuk ile bir bilezik yapılacaktır. B ilezik ka farklı ekil e l labilir?

% & '

" # $

# $ ! "

çizili bir çember etrafında sıralanacaktır.

A) 6

farklı ana tar ir alka a ka farklı ekil e takıla ilir

B) 4.5! C) 3.5! D) 2.5! E) 5!

!


A) 6!

15.

E) 144

42

B) 14

C) 28

D) 56

t r E) 72

1.

3. 3 evli çift ile 3 bekardan oluşan 9 kişi-

A : {1, 2, 3, 4, 5, 6}

lik arkadaş grubu bir kanapeye aşağıdaki koşullara uygun olarak oturacaktır.

kümesinin elemanları ile rakamları farklı, dört basamaklı sayılar yazılacaktır. B

Çiftlerin her biri eşleriyle yan yana olacaktır.

sa ıların ka tanesin e rakamı rakamının s l tarafın a er alır

A) 52

B) 60

C) 72

D) 80

Bekarlar yan yana olmayacaktır.

E) 84

A) 144

B) 288 D) 768

C) 576 E) 1152

PERMÜTASYON

2. 12 soruluk bir testte her sorunun 5 seçeneği vardır. r ı ık s r ların eva ları farklı lmak artı la ka eği ik eva ana tarı l t ra ilir A) 512 B) 12! C) 11!

4.

P(n, 3) = 49 – n n–2 olduğuna göre, n ka tır A) 7

D) 5.222 E) 511

43

B) 8

C) 9

TEST KODU : 21208

Buna göre, ki iler kana e e ka farklı ekil e t ra ilir

D) 10

E) 11


5.

7.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} k mesinin l erm tas nlarının kaç tanesinde 3 eleman olarak bulunur?

, , , rakamlarını k llanarak i erisin e rakamı l nan, rakamları ir irin en farklı ka tane ğal sa ı azıla ilir

A) 40

A) 28

B) 60

C) 80

D) 100 E) 120

B) 30

C) 46

D) 49

E) 51

6. Bir ma eni ara arka arka a kez atı- 8. Bir marketteki s tl , fın ıklı ve itter lın a ka farklı A) 16

B) 20

r m l C) 24

çikolatalardan toplam 6 tane alacak ir ki inin ka farklı se eneği var ır

r

D) 28

E) 32

A) 28

44

B) 84

C) 8!

D) 63

E) 36

9.

11.

MERVE kelimesin eki arflerin erleri eği tirilerek anlamlı a a anlamsız arfli ka farklı kelime azıla ilir

kız ve erkek varlak ir masa etrafına er ir erkeğin sağın a ve s l n a iki er kız l na ak ekil e ka farklı i im e t ra ilirler

A) 36

A) 6!

B) 48

C) 60

D) 66

E) 72

B) 2.6! C) 3.6! D) 6.6! E) 9!

TEST KODU : 21208

12.

A = {1, 2, 3, 4, 5}

KAÇAMAK

k mesinin elemanları ile l t r la ile ek rakamları farklı e asamaklı sa ıların ka ın a rakamı rakamınan ön e k llanılır

kelimesin eki arflerin erleri eği tirilerek azılan e i arfli kelimelerin kaç tanesinde M harfi tam ortada bulunur?

A) 40

A) 40

B) 60

C) 80

D) 120 E) 240

45

B) 60

C) 80

D) 100 E) 120

PERMÜTASYON

10.

13. Aslı ile Ozan’ın da aralarında bulunduğu 15. a, ve 6 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır.

a+b+c=8 olduğuna göre, ka farklı a, ,

zan ın s l n aki ilk ki inin slı lması artı la ka farklı ekil e t rabilirler?


A) 18

14. a, ve

B) 24

C) 30

D) 36

A) 165 B) 135 C) 90

enklemi sağla an sıralı l s var ır D) 45

D) 45

E) 21

16. Bir fabrikada üretilen ambala ların üzeri-

a+b+c=8

A) 165 B) 135 C) 90

enklemi sağla an sıralı l s var ır

E) 48

ğal sa ılar ır

olduğuna göre, ka farklı a, ,

zitif tam sa ılar ır

ne aşağıdaki özdeş 4 uzun 8 kısa çizgilerle oluşturulan barkodlar yerleştirilecektir.

E) 21

Buna göre, am ala ların zerine ka farklı ekil e ark erle tirile ilir A) 990 B) 825 C) 495 D) 425 E) 330

46

MATEMATİK

K M İ A

BİN

Y N

1D 2H 2D 1H 3D ⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟.⎜ ⎟ + ⎜ ⎟.⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝! #"# $ ! #"# $ 18 + 12 + 1 = 31 farklı şekilde

n, r birer doğal sayı ve n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısına n nin


r li kombinasyonu denir ve C(n, r) veya ⎛ n ⎞ ile gösterilir. ⎜r ⎟ ⎝ ⎠

1H 2D + 3D ⎛4⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟.⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ ⎝! #"# $ % 12 + 1 = 13 farklı şekilde

⎛ n⎞ n! P(n, r ) ⎜ ⎟= = dir. r! ⎝ r ⎠ (n − 1)!.r !

a

4 hemşire, 3 doktor arasından 3 kişilik bir sağlık ekibi a farklı ekil e l t r la ilir i kt r la ak ekil e ka farklı eki l t r la ilir En az i kt r la ak ekil e ka farklı eki l t r l r En k i em ire la ak ekil e ka farklı eki l t r l r

ükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. er iki lke e en az irer öğren i gi e eğine göre, öğren i ka farklı gr lama ile gön erile ilir A 1 öğrenci

a)

4H

3D

7 personel

⎛7⎞ 7! = 35 farklı şekilde ⎜ ⎟= 3 !.3 ! 4 ⎝ ⎠

2 öğrenci 3 öğrenci

1D 2H ⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 3.6 = 18 farklı şekilde ⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠

4 öğrenci

48

B ⎛5⎞ ⎛4⎞ . =5 4 öğrenci ⇒ ⎜⎝1 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎛5⎞ ⎛3⎞ 3 öğrenci ⇒ ⎜ 2 ⎟ . ⎜ 3 ⎟ = 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛5⎞ ⎛2⎞ 2 öğrenci ⇒ ⎜ 3 ⎟ . ⎜ 2 ⎟ = 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5 ⎞ ⎛1⎞ 1 öğrenci ⇒ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 5 4 1 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 30 farklı gruplama

ki ilik ir s r gr arasın an ki ilik ir takım ve takımın i inen e ir ka tan ka farklı ekil e se ile ilir

K 2, 1, 0, 1, 2, 3 k mesinin elemanlı alt k melerin en ka tanesinin elemanları ar ımı ir negatif tam sa ı a e ittir (2008 - ÖSS)

⎛8⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⇒ 56.5 = 280 farklı şekilde ⎝ 5 ⎠ ⎝1 ⎠

2 oz. 1 Neg. ya da 3 Neg. sayı seçilmelidir. ⎛3⎞ ⎛2⎞ YOK ⇒ 6 tanesidir. ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Takım Kaptan

3 ü aynı

6 sı farklı

1 ders

3 ders

0 ders

4 ders +

⎛3⎞ ⎛6⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 60 ⎝1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛3⎞ ⎛6 ⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 15 ⎝0⎠ ⎝4⎠

Küçüğe 1 bilye

Küçüğe 2 bilye

Küçüğe 3 bilye

⎛ 5 ⎞ ⎡⎛ 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ ⎤ ⎜ ⎟ . ⎢⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎥ ⎝1 ⎠ ⎣⎝1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝1⎠ ⎦

75 farklı seçim Aynı saatte olan derslerden en fazla 1 tanesi seçilebilir. 49

Büyük kardeşin aldığı bilye

⇒ 5. 4

Ortancaya 3 bilye

6

4

Ortancaya 2 bilye

Ortancaya 1 bilye

70 farklı biçimde dağıtılır.

KOMBİNAS ON

5 farklı bilyenin tamamı, yaşları farklı 3 kardeş arasında paylaştırılacaktır. B kar e ler en en ğ , iğer ikisi ise en az irer il e ala ak iim e a la ım ka farklı ekile a ıla ilir (2013 - YGS)

Devam zorunluluğu olan, 9 dersin üçü aynı saattedir. ers se e ek ir öğren inin ka farklı se eneği var ır


n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C(0, 0) C(6, 3) 3.C(m, m 1) e itliğin e m ka lmalı ır (1989 - ÖYS)

⎛ 18 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ n + 1⎠ ⎝ 2n − 4 ⎠ olduğuna göre, n nin ala ile eği eğerlerin t lamı ka tır i) ii)

0! C(0, 0) = = 1 dir. 0! 6! C(6, 3) = = 20 dir. 3 !.3 ! m! C(m, m − 1) = = m dir. (m − 1)!.1! ⇒ 1 + 20 = 3m ve m = 7 dir.

⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛11⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝5⎠ ⎝6⎠ t

⎛ n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ = n dir. ⎝ 1 ⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ise, i) r = p dir. ⎝ r ⎠ ⎝p⎠ ii) r + p = n dir.

2

l n z

⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 247 ⎝n⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ olduğuna göre, n ka tır

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ n ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 2 dir. 0 1 2 ⎝ n⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

lamının e itini

⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛11⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ dir. ⎝4⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎛11⎞ ⎛11⎞ ⎛12 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ dır. ⎝5⎠ ⎝6⎠ ⎝6⎠

ELLİ LE

2

n + 1 = 2n − 4 ⇒ n = 5 bulunur. (n + 1) + (2n − 4) = 18 ⇒ n = 7 bulunur. + 12 cevabımız olur.

⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ n ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 2 dir. 0 1 2 3 n ⎝ $⎠ ⎠ ## ⎠ ⎝ " ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝!### ##

2

⎛ n ⎞ ⎛ 2n ⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ dir. ⎟+⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ r − 1⎠ ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠

1

n

247

⇒ 2n

n

248

⇒n 50

8 bulunur.

2

247 n

Ge metrik

m inas

er angi tane n kta ile ⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ka ar ⎝2⎠ ⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ka ar ⎝3⎠

n r

ğr sal

lemleri lma an n

ğr gen

⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ka ar em er izile ilir ⎝3⎠

a

a

a)

⎛7⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ +1 ⎝2⎠ ⎝2⎠ Doğrusal olan noktalar aynı doğruyu belirtir.

Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 nokta ile; a farklı ğr izile ilir a farklı gen izile ilir

d doğrusunu da eklemeliyiz.

⎛7⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠

İki noktadan bir doğru geçer.

Doğrusal olan 3 nokta üçgen belirtmez

⎛8⎞ ⎜ ⎟ = 28 farklı doğru çizilebilir. ⎝2⎠ çgen için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır. ⎛8⎞ ⎜ ⎟ = 56 farklı üçgen çizilebilir. ⎝3⎠ 51

KOMBİNAS ON

a)

4 tanesi aynı doğru üzerinde olan 7 noktadan a farklı ğr izile ilir a farklı gen izile ilir

A

B

C

D

Aşağıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir.

d

1

E

F

G

H

K

d

A

2

d1 // d2 olmak üzere, kö eleri n kta an lan ka gen izile ilir B


l ⎛4⎞ ⎛5⎞ ⎛4⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟.⎜ ⎟ + ⎜ ⎟.⎜ ⎟ 2 1 ⎝ 1⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d1 den d2 den

C

kö eleri n kta an gen l t r la ilir (2004 - ÖSS)

d1 den d2 den

2 nokta 1 nokta 1 nokta 2 nokta

⇒ 6.5

4.10

AC kenarındaki doğrusal üçlüler

70 farklı üçgen çizilebilir.

⎛9⎞ ⎛4⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠

l

AB kenarındaki doğrusal 3 lüler

⎛9⎞ ⎛4⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠

⇒

9 noktadan d1 den d2 den 3ü

⇒ 84

3 nokta 3 nokta

4

10

lan ka


52

84

4

1


9 farklı doğrunun 3 ü birbirine paralel

farklı em erin en

ve 5 tanesi de sabit bir A noktasından geçmektedir. B na göre,

k ka kesim

n ktası var ır İki farklı çemberin en çok 2 kesim noktası vardır.

ğr en fazla ka

n kta a kesi ir 2 doğrunun 1 kesim noktası vardır. ⎛9⎞ ⎜ ⎟ = 36 farklı kesim noktası oluşur. ⎝2⎠ Fakat paralel doğrular kesişmeyeceğinden; ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = 3 kesim noktası azalır. ⎝2⎠

Dolayısıyla;

⎛5⎞ ⎜ ⎟ = 10 kesim noktası daha azalır. ⎝2⎠ ⇒ 36 3 yi unutma

farklı eli sin en

k ka

kesim

n ktası var ır

10 + 1 → A noktasını ekleme-

İki farklı elipsin en çok 4 kesim noktası vardır.

⇒ 24 farklı kesim noktası oluşur.

Dolayısıyla;

53

⎛5⎞ ⎜ ⎟ .4 = 40 farklı kesim noktası oluşur. ⎝2⎠

KOMBİNAS ON

5 doğruda sabit bir A noktasından geçtiğine göre,

⎛6⎞ ⎜ ⎟ .2 = 30 farklı kesim noktası oluşur. ⎝2⎠

BİN

Aşağıdaki şekil 15 birim kareden oluşmuştur.

L

a ve reel sa ılar, n sa ı lmak zere

zitif ir tam

⎛ n ⎞ n 0 ⎛ n ⎞ n−1 1 ⎛ n ⎞ n− 2 2 ⎛ n⎞ 0 n ⎟ .a .b + ⎜ ⎟ a .b + ⎜ ⎟ .a .b + ... + ⎜ ⎟ a .b ⎝1 ⎠ ⎝2⎠ ⎝0⎠ ⎝ n⎠

( a + b )n = ⎜

a

a tane ik örtgen var

a ılımına in m a ılımı enir

a tane kare var www.akilfikirmektebi.com

a a)

d

1

d

2

d

3

d

4

d

5

d

n

ifa esinin a ılımın a n

tane terim var ır

6

a rim

y

1

y y

2

n

a ılımın a a tan r

te-

⎛ n ⎞ n −r r ⎜ ⎟ a b dir. ⎝r ⎠

3

y

4

⎛6⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ = 15.6 = 90 tane dikdörtgen 2 ⎝ ⎠ ⎝2⎠

a

⇒

2-2 lik 2.4 8

a ılımın a rta aki terim

⎛ 2n ⎞ n n ⎜ ⎟ .a .b ⎝n⎠

Düşeyden ataydan 2 doğru 2 doğru

1-1 lik 3.5 15

2n

3-3 lük 1.3 3 26 tane kare

atsa ılar t lamı i in eğerlerin erine az

a it terim i in 54

ilinme en

in ss n

a

y)6

(3

(

a terim var ır at sa ılar t

a)

6 olduğundan; 1

7 terim vardır.

1 ve y 1 yazarsak kat sayılar toplamını buluruz: 26

...

8

+ ...

2

nin 4. kuvveti-

k.

li terimi elde etmek için ni almalıyız.

lamı ka tır

n

1)6

12

8

6

(3.1

2)6

olduğuna göre, k ka tır

ifadesinin açılımında; a

2

⇒

⎛6⎞ 2 4 2 ⎜ ⎟ .( x ) .(2) 2 ⎝ ⎠

⇒

15. 8.4 ⇒ 60.

8

dir. k

60 bulunur.

64 bulunur. KOMBİNAS ON

( ifa esi

2y)5

a ıl ığın a a tan ısı ka

(2

in azalan k vvetlerine göre

ifa esinin a ılımın a

terimin katsa-

⎛5⎞ 2 3 ⇒ ⎜ ⎟ . ( x ) . ( −2y ) 3 ⎝ ⎠

3 2

li terimin

kat sa ısı ka tır

l r Baştan (r

3y)5

⎛5⎞ 3 2 ⎜ ⎟ .(2 x) .(−3y) ⎝2⎠

1). terim

⎛ n ⎞ n −r r ⎜ ⎟ .a .b dir. ⎝r ⎠

⇒ 10.x2 .(−8y3 ) = − 80.x2 .y3 katsayısı ( 80) dir. 55

⇒

10.(8 3).(9y2)

⇒

720. 3.y2 bulunur.

3 2

y li terimi verir.

2 n

2

) a ılımın a

4 4

teriminin

9

⎛ 2 1⎞ ⎜ 2x − x ⎟ ⎝ ⎠ a ılımın a sa it terim ka tır

kat sa ısı ka tır ⎛4⎞ 2 2 2 2 ⎜ ⎟ .( x ) .(−2y ) ⎝2⎠ 4

4

.y4 lü terimi oluşturur. Sabit terim için

4

⇒

6. .(4y )

⇒

24. 4.y4 bulunur.

in üssünü 0 yapmalıyız.

( )

⎛9⎞ 2 ⎜ ⎟ . 2x ⎝r ⎠

⇒

9 −r

r

⎛ −1 ⎞ . ⎜ ⎟ = k.x0 ⎝ x ⎠ !" #0 # $

⎛9⎞ 9 −r r 18 − 3r = k.x0 ⎜ ⎟ . ( 2 ) . ( −1) .x ⎝r ⎠ r = 6 bulunur.


⇒

⎛9⎞ 3 6 ⎜ ⎟ .2 . ( −1) = 672 bulunur. 6 ⎝ ⎠

⇒

6

⎛ 2 1 ⎞ ⎜x − 3 ⎟ x ⎠ ⎝ ifa esinin a ılımın a rta aki terimi l n z (a

(

⇒

6

+ y4)

18

...

olduğuna göre, a 12

⎛ 2n ⎞ b)2n ⇒ ⎜ ⎟ .an.bn ortanca terimi verir. ⎝n⎠

li terim için

3

k. kt

12

.ya + ...

lamı ka tır

ün 4. kuvvetini almalıyız...

( ) .(y )

⎛6⎞ 3 ⎜ ⎟ x ⎝2⎠

3

⇒

3

⎛ 6 ⎞ 2 3 ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ .( x ) . ⎜ 3 ⎟ ⎝x ⎠ ⎝3⎠ 1 −20 20.x6 . − 9 ⇒ 3 bulunur. x x

⇒

56

12

4

8

4

6−4

15.x .y bulunur. k = 15 ve a = 8 dir. a + k = 8 + 15 = 23 bulunur.

8

⎛ 1 ⎞ ⎜ 2x − 2 ⎟ x ⎠ ⎝ ifa esinin a ılımın a katsa ısı ka tır

7

–7

⎛2 2⎞ ⎜x −x ⎟ ⎝ ⎠ ifa esinin a ılımın a katsa ısı ka tır

li terimin

r

⇒

⎛8⎞ 8 − r ⎛ −1 ⎞ − . ⎜ 2 ⎟ = k.x 7 ⎜ ⎟ . (2x ) ⎝x ⎠ ⎝r ⎠ ⎛8⎞ n 8−r 1 8−r . 2r = k.x −7 . ( −1) .x ⎜ ⎟ . (2) r x ⎝ ⎠

⎛7⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟.⎜ ⎟ ⎝r ⎠ ⎝x⎠

−7 !"#

⇒

−448.x

−7

r

= k.x8

8 !"# −7

⎛7⎞ 7−r r 3 . ( −1) .x r ⎜ ⎟ . (2) ⎝r ⎠

= k.x

8

r = 5 bulunur. ⎛7⎞ 2 5 ⎜ ⎟ .2 . ( −1) = − 84 bulunur. 5 ⎝ ⎠

bulunur.

(a

b

c)n ifadesinin açılımında;

(n + 1).(n + 2) tane terim vardır. 2

57

KOMBİNAS ON

⎛8⎞ 3 5 −7 ⎜ ⎟ .2 . ( −1) .x 5 ⎝ ⎠

( )

. − x2

li terimin

⎛7⎞ 1 7−r r 2 8 . ( −1) . 7 − r .x r = k.x ⎜ ⎟ . (2) r x ⎝ ⎠

⎛8⎞ 8−r r . ( −1) .x8 − 3r = k.x −7 ⎜ ⎟ . (2) ⎝r ⎠ r = 5 bulunur. ⇒

7−r

8

(2a

c)n

3b

ifa esinin a ılımın a tane terim l ğ na göre, n ka tır (n + 1).(n + 2) = 78 2 ⇒ (n + 1).(n + 2) = 156 !"# !" $ $ # 12


⇒

13

n = 11 bulunur.

(2a

3b

c)12

ifa esinin a ılımın a a3 l ka tane terim var ır

2a yı 1. terim, (3b şünürsek;

c) yi de 2. terim gibi dü-

⎛12 ⎞ 3 9 ⎜ ⎟ ( 2a ) . ( 3b − c ) bulunur. ⎝9⎠ ⇒

(3b

c)9 açılımında ise;

9 1 10 terim vardır. Bu terimlerin her birinde a3 çarpan olarak bulunur. 58

1.

C(0, 0)

C(7, 4)

4C(a, a

3.

1)

olduğuna göre, a ka tır A) 9

B) 12

C) 15

D) 18

C(n

1, n

1)

36

e itsizliğini ger ekle en ka ğal sa ısı var ır

E) 20

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

farklı n E) 8

TEST KODU : 21301

olduğuna göre, in ala ile eği eğerler t lamı ka tır A) 8

B) 12

C) 16

D) 20

E) 24

59

⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛n + 6⎞ ⎟ = 31 ⎟+⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎝2⎠ ⎝n − 2⎠ ⎝n + 5⎠ ⎛ n ⎞ olduğuna göre, ⎜ ⎟ eğeri ka tır ⎝ n − 1⎠ A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

KOMBİNAS ON - BİNOM

4.

⎛ 16 ⎞ ⎛ 16 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ 2x − 7 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠

2.

5.

36.C(n, n

3)

(n, 4)

A) 12

B) 10

C) 9

D) 7

⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 127 ⎝n⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠

7.

olduğuna göre, n ka tır

olduğuna göre, n ka tır

E) 6


A) 7

6.

2 (

1, 3)

olduğuna göre, A) 2

B) 3

8.

3C( , 3) ka tır

C) 4

D) 5

D) 4

E) 3

lamının eğeri ka tır

A) (11 )2 D) 211

60

C) 5

⎛11⎞ ⎛11⎞ ⎛11⎞ ⎛11⎞ ⎛11⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝10 ⎠

t

E) 6

B) 6

B) 29

C) 210 E) (11 )

9.

⎛12 ⎞ ⎛12 ⎞ ⎛13 ⎞ ⎛14 ⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝4⎠ ⎝5⎠ ⎝6⎠ t lamının s n a ağı akiler en angsii ir ⎛15 ⎞ A) ⎜ ⎟ ⎝5⎠

⎛15 ⎞ B) ⎜ ⎟ ⎝6⎠

B) 30

B) 32

C) 35

D) 36

E) 37

⎛16 ⎞ C) ⎜ ⎟ ⎝5⎠

⎛18 ⎞ E) ⎜ ⎟ ⎝6⎠

elemanlı ir k menin k me sa ısı ka tır A) 32

A) 28

C) 28

elemanlı alt

D) 24

12.

elemanlı ir k menin en az 2 elemanlı alt k melerinin sa ısı ka tır A) 28

E) 20

61

B) 37

C) 69

D) 247 E) 255


10.

elemanlı ir k menin en k 2 elemanlı alt k melerinin sa ısı ka tır

TEST KODU : 21301

⎛16 ⎞ D) ⎜ ⎟ ⎝6⎠

11.

13.

A

15.

ç, ı, n, a, r

k mesinin elemanlı alt k melerinin ka tanesin e a ve a r arfi l n r A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

A

a, t, ö, l, y, e, m

k mesinin elemanlı alt k melerinin ka tanesin e en k sesli arf l n r

E) 12

B) 16

C) 20

D) 24

E) 31


A) 12

14.

A

16.

f, i, k, o, 1, 3

k mesinin elemanlı alt k melerinin ka tanesin e en az ir rakam l n r A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

A

k mesinin elemanlı alt k melerinin ka tanesinin elemanları t lamı tek sa ı ır A) 72

E) 15

62

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

B) 60

C) 50

D) 45

E) 40

1. 5 rus ve 4 almandan oluşan bir gruptan, 3. 5 rus ve 4 almandan oluşan bir arkadaş ki ilik ir eki se ile ilir A) 84

ka

eği ik

ekil e

grubundan, en az si r s lan ekil e se ile ilir

B) 105 C) 126 D) 169 E) 189

A) 40

B) 60

C) 75

ki i ka

eği ik

D) 90

E) 105

TEST KODU : 21302

si r s ve si zen i lmak zere, i ka eği ik ekil e se ile ilir A) 52

B) 56

C) 60

D) 64

ki-

zorundadır.

İlk s r an en k ikisini anıtlamak k l ile ka farklı se im a ailir

E) 68

A) 81

63

B) 72

C) 64

D) 48

E) 42


2. 5 rus ve 4 almandan oluşan bir gruptan, 4. Bir öğrenci 9 sorudan 5 ini yanıtlamak

5. Behlül ve Bihter’in de aralarında bulun- 7. Behlül ve Bihter’in de aralarında bulunduğu 9 kişiden 4 kişilik bir grup oluşturulacaktır.

duğu 9 kişi, 4 ve 5 kişilik iki gruba ayrılacaktır.

Bi ter ve Be l l ir ara a isteme iklerine göre, gr ği ik ekil e l t r l r

Be l l ve Bi ter a nı gr ta lmak zere ka farklı se im a ıla ilir


A) 35

B) 42

C) 56

D) 70

l nmak ka e-

A) 21

6. Behlül ve Bihter’in de aralarında bulun- 8. duğu 9 kişiden 4 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Bi ter ve Be l l en en az irinin araların a l n ğ gr ka eğiik ekil e l t r la ilir A) 98

B) 91

C) 80

D) 71

B) 35

C) 42

D) 56

E) 63

E) 105

E) 62

64

T rk ile s öğren i arasın an en az iri T rk lmak zere, ki ilik ir gr ka farklı ekil e l t r la ilir A) 35

B) 41

C) 42

D) 46

E) 50

9. 8 kişi arasından 5 kişilik bir ekip seçile- 11. cektir. Eki e gire ek ki i elli l ğ na göre , ka farklı eki l t r la ilir A) 24

B) 20

C) 15

D) 12

eng en, a ı, ge ik arasın an ikisi eng en la ak ekil e, a van ka eği ik i im e se ile ilir A) 135 B) 120 C) 105 D) 90

E) 72

E) 10

TEST KODU : 21302

rulacaktır.

leklik vardır.

B

s r an takıma gire ek ki i elli l ğ na göre , takım ka eği ik ekil e l t r la ilir

B k t an ör kırmızı, iri si a , ikisi e az ka farklı ileklik se ile ilir

A) 33

A) 480 B) 520 C) 560 D) 600 E) 640

B) 154 C) 84

D) 56

E) 42

65


10. 16 sporcudan 11 kişilik bir takım oluştu- 12. Bir kutuda 6 kırmızı, 4 siyah, 5 beyaz bi-

13. 8 farklı arabadan 3 ünü alacak olan Ali 15. 10 kişiden 7 si A şehrine, 3 ü de B şehrialdıklarından birinide kızına verecektir.

ne gidecektir.

li, kızına vere eği e i e i ka farklı ekil e se e ilir


A) 205 B) 194 C) 180 D) 172 E) 168

B eki ler ka farklı ekil e se ile ilir A) 240 B) 120 C) 80

D) 60

E) 40

14. 10 öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip, bu 16. 11 kişilik bir kafileden 5 kişi İzmir’e, 6 kişi ekip içinden de bir başkan seçilecektir.

Ankara’ya gidecektir.

Bir a kan ve e en l an eki ka eği ik i im e l t r la ilir

B iki gr ka t r la ilir

A) 210

A) 458 B) 462 C) 480 D) 490 E) 848

B) 504 D) 1200

C) 840 E) 5040

(1988 - ÖYS)

(1986 - ÖYS)

66

eği ik i im e l

-

1. Matematik olimpiyatları için A ve B ülke- 3. Bir kutuda 1 beyaz, 3 siyah, 4 kırmızı lerine gönderilmek üzere 6 öğrenci seçilmiştir.

kalem vardır. er renkten en az ir tane lmak zere, kalem ka farklı ekil e se ile ilir

er iki lke e en az iki öğren i gön erilmek artı la, ka farklı se im a ıla ilir A) 35

B) 42

C) 50

D) 56

A) 60

B) 72

C) 84

D) 96

E) 108

E) 72 TEST KODU : 21303

ükseköğretim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere 5 öğrenci seçilmiştir.

4. Bir atölyede 6 usta, 5 çırak vardır.

er iki lke e en az irer öğren i gie eğine göre, öğren i ka farklı gr lama ile gön erile ilir

Bir sta g n e san al e, ir ırak g n e san al e a a il iğine göre, g n e san al e a a ile ek ir eki ka farklı ekil e se ile ilir

A) 10

A) 60

B) 20

C) 25

D) 30

E) 40

(2003 - ÖSS)

67

B) 50

C) 40

D) 30

E) 20


2.

5. 9 seçmeli dersten üç tanesi aynı saatte 7. 3 ü ehliyetli olan 8 kişi 5 kişilik bir arabayverilmektedir.

la tatile gidecektir.

ers se mek iste en ir öğren i ka farklı e im a a ilir


A) 60

B) 65

C) 70

D) 72

a farklı ekil e se im a ıla ilir A) 15

6. 10 dersten 3 ü aynı saattedir.

C) 70

D) 90

E) 105

8. Bir açık büfede 9 farklı yemek, 5 farklı tatlı ve 2 farklı salata çeşidi bulunuyor.

ers se mek iste en ir öğren i ka farklı se im a a ilir A) 70

B) 45

E) 76

Bir k n k farklı emek, farklı tatlı ve salata ı ka farklı ekil e se e ilir

B) 105 C) 112 D) 126 E) 160

A) 1920

B) 1880 D) 1660

68

C) 1680 E) 1440

9.

asker arasın an asker arasın an ekil e se ile ilir A) 420

B) 630 D) 1050

asker ve se ilen n a ı ka farklı

11. a b c olmak üzere,

C) 840

a eklin e sa ı azıla ilir A) 84

asamaklı ka

ğal

B) 120 C) 240 D) 420 E) 900

E) 1260

TEST KODU : 21303

lacaktır.

B s r an takıma gire ek ki i elli l ğ na göre , takım ka eği ik i im e k r la ilir A) 36

B) 48

C) 56

D) 112 E) 336

(1985 - ÖYS)

69

a eklin e sa ı azıla ilir A) 84

asamaklı ka

ğal

B) 120 C) 240 D) 420 E) 900


10. 10 sporcudan 5 kişilik bir takım oluşturu- 12. a b c olmak üzere,

13. Bir lokantada biri 4 , diğeri 5 kişilik olan 15. iki yuvarlak masa vardır. ze ve G ne in e arasın a l n ğ ki i, masalara ze ve G ne a nı masa a t rmamak artı la ka farklı ekil e t r rlar (Masa a imin nere e ot r nemsi dir.) B) 70

C) 84

D) 91

A) 216 B) 208 C) 192 D) 176 E) 168

E) 105


A) 42

evli iftin l n ğ ki i arasınan sa e e evli iftin l n ğ ki i ka farklı lla se ile ilir

14.

er ve er ki ilik iki varlak masa a ki i ka farklı ekil e t ra ilir A) 2688

B) 1344 D) 448

16. 5 evli çift arasından 3 kişi seçilecektir.

C) 672

B ki i arasın a i evli ift l nmamak artı la ka farklı se im a ıla ilir

D) 312 A) 240 B) 360 C) 400 D) 480 E) 560

70

1.

3. n elemanlı bir kümeminin r li bütün kom-

⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ = 21 ⎝n − 2⎠ olduğuna göre, n ka tır A) 6

B) 7

C) 8

binasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterilmektedir. C(n, 2) D) 9

E) 10

C(n, 3)

e itliğin e n ka A) 3

B) 4

4C(n, 1)

lmalı ır

C) 5

D) 6

E) 7

(1991 - ÖYS) TEST KODU : 21304

4. Bir

olduğuna göre, in ala ile eği eğerler t lamı ka tır A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

71

k mesinin en k elemanlı alt k me sa ısı l ğ na göre , k mesinin eleman sa ısı ka tır A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11


⎛ 26 ⎞ ⎛ 26 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ 3x ⎠ ⎝ x + 6 ⎠

2.

5.

A

7. 15 kişilik bir kafilede erkeklerden oluştu-

f, i, k, r, e, t

rulabilecek ikişerli grupların sayısı bu kafiledeki kızların sayısına eşittir.

k mesinin elmanlı alt k melerinin ka tanesin e f l n r, e l nmaz


A) 6

6. A B

B) 10

C) 18

D) 21

E) 28

a, t, ö, l, y, e, m

B) 6

kafile e ka kız var ır

A) 12

C) 8

B) 10

D) 6

E) 4

8. 20 kişilik bir kafilede kızlardan oluştu-

a, t, ö

A N B la ak ekil e elemanlı ka farklı N k mesi azıla ilir A) 4

B na göre,

C) 12

D) 18

E) 24

rulabilecek ikişerli gurupların sayısı, erkeklerden oluşan ikişerli gruplardan 57 fazladır. B na göre, ka kız var ır A) 15

72

B) 13

C) 11

D) 9

E) 7

9.

A

11.

m, e, r, v, ü

k mesinin örtl erm tas nlarının ka tanesin e m arfi l n r A) 54

B) 68

C) 72

D) 80

E) 96

s r l k ir sınav a en az s r eva lamak z r n a lan ir öğren i s r ları ka farklı ekil e eva la ailir A) 29

B) 35

C) 105 D) 120 E) 128

TEST KODU : 21304

A

k mesinin l ka tanesin e a l nmaz A) 12

12. Bir irin en farklı

a, b, c, d, e, f

B) 24

erm tas nlarının l n , e arfi -

C) 36

negatif, zitif sa ı arasın an ar ımları zitif lan sa ı ka farklı ekil e se ile ilir A) 270 B) 250 C) 200 D) 170 E) 110

D) 42

E) 48

73


10.

13. 17 kişinin katıldığı bir toplantıda herkes 15. 4 hemşire 6 doktor arasından 4 kişilik bir birbirleriyle tokalaşacaktır.

sağlık ekibi oluşturulacaktır.

B na göre, ka ir

İ in e en az em ire lerin sa ısı ka tır

t kala ma ger ekle-


A) 136 B) 142 C) 148 D) 154 E) 160

14.

l nan eki -

A) 275 B) 235 C) 195 D) 135 E) 85

farklı a akka ı ifti arasın an a akka ılar ift lmamak artı la s l, sağ a akka ı ka eği ik ekil e seilir

16. Bir pansiyonda biri 2, diğerleri 3 kişilik üç

A) 210 B) 315 C) 441 D) 630 E) 735

A) 510 B) 530 C) 540 D) 560 E) 580

74

tane oda bulunuyor. ki i ansi k nakla a ilir

n a ka farklı ekil e

1. D zlem e er angi ma an n kta ile ka farklı zile ilir A) 32

B) 28

C) 24

ğr sal ğr

D) 20

li-

3.

er angi ğr sal lma an n kta an ka farklı zlem ge er A) 15

B) 21

C) 28

D) 31

E) 35

E) 16

TEST KODU : 21305

ma an n kta ile ka l t r la ilir A) 56

B) 42

C) 30

ğr sal lfarklı gen

D) 28

4. D zlem e er angi ikisi aralel lma-

E) 24

an farklı kesi e ilir A) 48

75

B) 42

ğr en C) 40

k ka n kta a D) 36

E) 32


2. D zlem e er angi

5. Bir

zlem e aralel lan farklı ğr en k ka n kta a kesi ir

A) 36

B) 33

C) 31

D) 30

7. Aynı düzlemde bulunan ve birbirine paralel olmayan 8 doğrunun 5 i bir A noktasından geçmektedir.

E) 28

Buna göre, ğr lar en fazla kaç n kta a kesi irler B)18

C) 17

D) 16

E) 15


A) 19

6.

a e e aralel farklı ka n kta a kesi ir A) 13

B) 16

C) 21

D) 31

ğr en az

8. 11 farklı doğrudan 4 ü birbirine paralel, 3 ü sabit bir A noktasından geçmektedir. B ğr ların kesi imin en en fazla ka tane n kta el e e ile ilir

E) 69

A) 47

76

B) 49

C) 51

D) 53

E) 55

9.

farklı em erin en n ktası var ır A) 10

B) 16

C) 20

k ka D) 25

kesim

$

11.

%

&

'

(

!"

E) 36 )

*

+

!#

,

ukarıdaki şekilde, d1 üzerinde 5 ve d2 üzerinde 4 nokta vardır.

A) 30

10.

B) 45

C) 60

n kta ile

D) 90

E) 120

TEST KODU : 21305

l ğ na göre , 1 2 ka farklı am k izile ilir

)*

! # $

%

&

'

(

)+

Y karı aki n kta k llanılarak ka farklı gen izile ilir

Y karı aki var ır

A) 56

A) 36

B) 50

C) 48

D) 45

E) 42

77

B) 45

ekil e ka C) 55

farklı D) 66

gen E) 78


12.

"

13. Birbirine paralel iki doğrudan birinde 15.

!

andaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir.

2, diğerinde k tane nokta alınıyor. ö eleri ka farklı A) 2k

k n kta an se ilen gen izile ilir C) k2

B) 4k

D) 2k2

E) 4k2

"

#

ö eleri gen l A) 64

n kta an t r la ilir

B) 69

C) 74

lan ka

D) 79

E) 84


(2004 - ÖSS)

14.

!

"

#

$

%

&

'

(

16.

)

ukarıdaki şekilde 9 nokta vardır. ö eleri n ktalar gen izile ilir A) 84

B) 80

C) 76

lan ka D) 74

farklı E) 72

Y karı aki var ır

ekil e ka

A) 120 B) 105 C) 90

78

farklı D) 75

gen E) 60

6

1.

(3

y)

3.

24

ifa esinin a ılımın a ka ır A) 12 B) 24

C) 25

terim var-

D) 224 E) 324

⎛ 1 ⎞ ⎜a − 4 ⎟ a ⎠ ⎝ ifa esinin a ılımın a a–9 l katsa ısı ka tır A) 20

B) 15

C) 10

terimin

D) 15 E) 20

TEST KODU : 21306

⎛ 4 1 ⎞ ⎜x − 3 ⎟ x ⎠ ⎝

6

4.

ifa esi in azalan k vvetlerine göre a ıl ığın a a tan terimin katsa ısı ka tır A) 20 B) 60 C) 120 D) 20

E) 60

1 ⎞ ⎛ 2 ⎜x + ⎟ x⎠ ⎝

ifa esinin a ılımın a sa ısı ka tır A) 224

11

li terimin kat

B) 112 D) 112

79

8

C) 72 E) 224


2.

5.

(

2

2y2)n 4 4

a ılımın a ka tır

7. l terimin kat sa ısı

A) 48 B) 24 C) 12

D) 24

1 ⎞ ⎛ 2 ⎜x + ⎟ x⎠ ⎝

8

ifa esinin a ılımın a sa ısı ka tır

E) 48

A) 112

(1997 - ÖYS)

11

li terimin kat-

B) 56 E) 56


D) 112

C) 28

6. (

2y)8

8

....

16a 3y5

8.

....

e itliğin e a angi sa ı ı göstermekte ir A) 248 B) 200 C) 148 D) 112 E) 96

7

⎛2 2⎞ ⎜x − x ⎟ ⎝ ⎠ ifa esinin a ılımın a sa ısı ka tır A) 84

(1988 - ÖYS)

B) 48

(1990 - ÖYS)

80

C) 28

8

li terimin kat-

D) 48 E) 84

9.

(2

3

5y4)n

...

A. 6.y8

e itliğini sağla an A i in, ranı ka tır n A) 600

ve n

eğerleri

11.

⎛ 2 1⎞ ⎜x + x ⎟ ⎝ ⎠

8

ifa esinin a ılımın a rtan a terim a ağı akiler en angis ir

B) 150 D) 150

...

C) 75

A) 70

E) 300

B) 70 D) 84

2

2

C) 70 E) 84

4

4

TEST KODU : 21306

(

3

y2)10

...

A. n.yn

e itliğini sağla an ve n i in, n t lamı ka tır

... eğerleri

12.

A) 222 B) 219 C) 218 D) 217 E) 216

6

⎛ 2 4⎞ ⎜x + x ⎟ ⎝ ⎠ ifa esinin a ılımın a rta aki terimin kat sa ısı ka tır A) 1280

B) 1240 D) 1120

81

C) 1200 E) 1080


10.

6

13.

6

⎛ 1 ⎞ ⎜ 2x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝ ifa esinin sa it terimi ka tır A) 60

B) 80

15.

C) 120 D) 180 E) 240

⎛ 1 ⎞ ⎜x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝ ifa esinin a ılımın aki sa it terim ka tır A) 15

B) 16

C) 18

D) 20

E) 22


(1996 - ÖYS)

14.

8

1⎞ ⎛3 ⎜ x + x⎟ ⎝ ⎠ ifa esinin a ılımın aki sa it terim ka tır A) 15

B) 17

C) 21

D) 25

16.

E) 28

82

(3

2

y3)6

ifa esinin a ılımın aki katsa ılar t lamı ka tır A) 16

B) 24

C) 32

D) 48

E) 64

-

1.

10

1 ⎞ ⎛ 2 ⎜x − ⎟ x⎠ ⎝

3.

ifa esinin a ılımın a a tan a ağı akiler en angisi ir A) 45

15

D) 54

B) 54 16

15

E) 45

terim

C) 45

12

⎛ 3 1⎞ ⎜x − x ⎟ ⎝ ⎠ ifa esinin a ılımın a an terim ka tır A) 220

16

ağlı

B) 180 D) 180

15

e

lma-

C) 120 E) 220 TEST KODU : 21307

9

4.

ifa esinin a ılımın aki sa it terim ka tır A) 72

B) 84

C) 90

D) 96

E) 102

83

8

⎛ 2 1 ⎞ ⎜x + 3 ⎟ x ⎠ ⎝ ifa esinin terimlerin en l ğ na göre , k ka tır A) 28

B) 56

C) 70

D) 78

iri

k

–4

E) 84


2.

⎛ 2 1⎞ ⎜x − x ⎟ ⎝ ⎠

5. (

3

2y)8

24

...

A.

m

7.

...

e itliğin e m ka tır

n

A) 28

C) 112 D) 224 E) 448

B) 56

l

.yn

ğ na göre ,

(3

2y)23

ifa esinin a ılımın a min katsa ısı ka tır

a tan

teri-

A) 210.313.C(23,10) B) 211.312.C(23,11) C) 211.312.C(23,12) D) 212.311.C(23,12) E) 213.311.C(23, 11)


(1998 - ÖYS)

8. 6.

(4

y)4

...

olduğuna göre, a

a. b.y t

...

lamı ka tır

8

1⎞ ⎛3 ⎜ x − x⎟ ⎝ ⎠ ifa esinin a ılımın a katsa ısı ka tır A) 112

A) 240 B) 251 C) 259 D) 264 E) 270

l

B) 56 D) 28

84

–4

terimin C) 28

E) 56

9.

4 ve y 5

5 4y

11.

2 olduğuna göre, 10 3y2

y5

c)9

ifa esinin eğeri ka tır A) 16

A) 8

C) 64

5 y4

3b

ifa esinin a ılımın a a5 ar anının l n ğ ka terim var ır

B) 32

10 2y3

(2a

D) 128 E) 256

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

(1991 - ÖSS)

TEST KODU : 21307

( 3

3

2)6

12.

ifa esinin a lımın aki ras lerin t lamı ka tır A) 20

B) 24

C) 31

D) 35

nel terimE) 40

(3

y

4z)15

ifa esinin a ılımın a ka ır

terim var-

A) 142 B) 136 C) 132 D) 128 E) 120

85


10.

13.

(a

b

c)n

ifa esinin a ılımın a ğ na göre, n ka tır B) 11

C) 12

terim D) 13

l n-

(

3y

2)4

ifa esinin a ılımın aki katsa ılar t lamı ka tır

E) 14

A) 16

B) 18

C) 20

D) 24

-

E) 32


A) 10

15.

14. (a2 2b 3c)5 ... m.a4.b2.c ...

16.

e itliğini sağla an m eğeri ka tır A) 480

B) 360 D) 120

(

ay

7z)8

ifa esinin a ılımın aki katsa ıların t lamı l ğ na göre , a nın alaile eği eğerler t lamı ka tır

C) 120 E) 360

A) 4

86

B) 8

C) 16

D) 32

E) 64

1.

!"

!#

!$

!%

3.

!& !' !( !)

Y karı aki ekil e ka farklı kare varır

!*

ukarıdaki şekilde;

B) 45

C) 36

D) 30

E) 20

d5 // d6 // d7 // d8 // d9 olduğuna göre, ekil e ka farklı aralelkenar var ır A) 12

B) 18

C) 30

D) 42

E) 60

4. Y karı aki ekil e ka farklı gen var ır

ik ört-

tane öz e kalem, ğa ve er ğ n en az kalem alması k l la ka farklı ekil e ağıtıla ilir

A) 60

E) 20

A) 18

B) 45

C) 36

D) 30

87

B) 21

C) 24

D) 30

E) 35


2.

TEST KODU : 21308

A) 60

d1 // d2 // d3 // d4

5.

7. Bir sinemada 8 salon bulunmaktadır.

)*

3 salonda aynı film, diğerlerinde ise farklı filmler gösterilmektedir.

(

Buna göre, a nı g n e farklı filme gitmek iste en enasi ka farklı seim a a ilir

' !

"

#

$

%

&

)+

A) 25

ukarıdaki şekilde, ard arda gelen noktalar eşit uzaklıktadır.

B) 28

C) 31

D) 35

E) 42


d1 ⊥ d2olduğuna göre, kö eleri n kta lan ka farklı ik gen izile ilir A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

8.

6.

z

asamaklı ir sa ı ır y

z

9

artını sağla an ka farklı A) 36

Y karı aki var ır A) 70

B) 65

ekil e ka C) 60

farklı D) 54

gen E) 48

88

B) 45

C) 52

D) 56

z azılır E) 63

9.

kız, erkekten l an ir gr tan se ilen kız, erkek, erkekler an ana gelmek artı la ka farklı sıralanırlar

(3 5

2)7

ifa esinin a ılımın aki ras rimlerin t lamı ka tır

nel te-

A) 480 B) 550 C) 620 D) 700 E) 740

⎛5⎞ ⎛7⎞ B) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ .3 ! ⎝2⎠ ⎝4⎠ ⎛12 ⎞ D) ⎜ ⎟ .4 ! ⎝2⎠

TEST KODU : 21308

⎛5⎞ ⎛7⎞ A ) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ .4 ! ⎝2⎠ ⎝4⎠ ⎛5⎞ ⎛7⎞ C) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ .3 !.4 ! ⎝2⎠ ⎝4⎠

11.

⎛12 ⎞ ⎛ 7 ⎞ E) ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ .3 ! ⎝ 2 ⎠ ⎝4⎠

10.

Buna göre, A ∪ B k mesinin eleman sa ısı ka tır A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

12.

E) 24

( 5

89

2)12

ifa esinin a ılımın a ras an ka terim var ır A) 12

(2004 - ÖSS)

3

B) 11

C) 10

D) 9

nel

lmaE) 8


kümesi, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak oluşturulan ve rakamları birbirinden farklı olan 4 basamaklı bütün doğal sayıların kümesidir. nun elemanlarından 4 rakamı 1 rakamının solunda olanlar A kümesini, 4 rakamı 2 rakamının sağında olanlar B kümesini oluşturuyor.

13.

farklı kesi ir A) 15

em er, en

k ka

n kta a

15. 5 farklı bilyenin tamamı, yaşları farklı 3 kardeş arasında paylaştırılacaktır.

B) 20

C) 30

D) 45

B kar e ler en en ğ , iğer ikisi ise en az irer il e ala ak i im e a la ım ka farklı ekil e a ıla ilir

E) 60

A) 45

B) 50

C) 60

D) 70

E) 75


(YGS - 2013)

14.

farklı eli s, en kesi ir A) 15

B) 20

C) 30

k ka D) 45

n kta a

16.

E) 60

90

farklı ik örtgen, en n kta a kesi ir

k kaç

A) 80

E) 10

B) 60

C) 40

D) 20

MATEMATİK

A

K

OLASILIK

Bir zar atılma deneyinde;

Bir la ın lmasının a a lmamasının matematiksel eğerine L L enir rneğin, ir ma eni ara z ir zemine atıl ığın a t ra gelmesi, ir zar atıl ığın a st z ne ift sa ı gelmesi gi i

rnek uzay, E mesidir ve s(E)

arın tek gelme olayı A kümesi olsun, A 1, 3, 5 kümesidir ve s(A) elemanlıdır.


ÖRNEK UZAY

1, 2, 3, 4, 5, 6 kü6 elemanlıdır.

3

Bir madeni paranın ard arda iki kere atılması deneyinde.

atematiksel ir ene e l a ile ek t m r mlara rnek za a ı verilir rnek za E ile, örnek za aki r mların sa ısı ise s E ile gösterilir

Örnek uzay; E

( ,

), ( , T), (T,

mesidir ve s(E)

), (T, T) kü-

4 elemanlıdır.

Paralardan en az birinin yazı gelmesi olayı A kümesi olsun.

Bir madeni para düzgün bir zeminde ard arda n kez atıldığında toplam 2n durum oluşur.

A ( , T), (T, ), ( , ) kümesidir ve s(A) 3 elemanlıdır.

Bir zar ard arda n kez atıldığında oluşan tüm durumların sayısı 6n dir.

AYRIK OLAY nı örnek za a ait farklı iki la ın

OLAY

kesi imleri

k me ise,

ra AYRIK OLAYlar enir

Matematiksel ir ene in örnek za ının er alt k mesine L Y enir

ile B a rık la lar ise, A 92

B=

ir

la la-

L

L

N

B

İY N

E örnek ir irin s n etkilemi la ır

E örnek za ının t m alt k melerinen l

an k me en,

,

aralığı-

na tanımlanan ve a ağı aki artları sağla an f nksi N si

İY N

na OLASILIK

enir

n genel e

lasılık f nk-

(E)

B

(A)

E

0 dır. (İMKANSI

(A dir. i

1 dir.

B)

(A)

(B)

(A

B)

A

B) B)

NE

Y

s sB

0 dır.

=

A ve B bağımsız olaylarsa; (A

L

E ise,

A ve B ayrık olaylarsa; (A

ii

(A)

L

nl ir örnek za ın t m elemanlı alt k melerinin lasılıkları e it ise, örnek za a E L L NE Y enir E l ml ir E örnek za ın a

Aı ifadesi A olayının değilini göstermek üzere, (Aı)

ir

ve

1 dir.

1 dir. (KESİN O A )

A ise, O A )

B

ile

(A). (B) dir. 93

İstenilen D r m a ısı T m D r mların a ısı la ının lasılığı l n r

O ASI IK

(A)

za ın a, k me en ve en farklı iki la ve B lla ının lasılığı, B la ını rsa ve B B iki rneğin

Bir ara ile ir zarın irlikte atılması ene in e, aranın t ra ve zarın asal sa ı gelme la ları ir irin en ağımsız la lar ır

ile gösterilir

A olayı, E örnek uzayının bir alt kümesi olmak üzere, 0

L YL

a

Bir torbada eşit boylarda 3 beyaz, 4 siyah, 5 kırmızı bilye vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin; i a renkli lma lasılığı ka tır Be az ve a kırmızı renkli lma lasılığı ka tır Be az renkli lmama lasılığı ka tır


Bu torbada 3B

4S

Beyaz bilye sayısı Siyah bilye sayısı Kırmızı bilye sayısı Tüm bilyelerin sayısı a

5K ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

a

12 bilye vardır.

s(B) s(S) s(K) s(E)

3 4 5 12 dir.

3K 4E 7 kişi arasından 3 kişi seçmek bize tüm durumların sayısını verecektir.

Siyah renkli bilye çekme olasılığı (S) ile gösterilirse s(S) 4 1 (S) bulunur. s(E) 12 3 Beyaz veya kırmızı renkli bilye çekme olasılığı (B K) ile gösterilirse; s(B) s(K) 3 5 2 (B K) bus(E) 12 3 lunur.

⎛ 7 ⎞ 7 .6 .5 = 35 dir. s(E) = ⎜⎜ ⎟⎟ = 3! ⎝3⎠ a

⇒

Beyaz renkli bilye çekme olasılığı (B)

1K 2 E + ⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ 3 . 6 +

ile gösterilir. s(B) s(E) (B) 1

⇒

(Bı)

⇒

(Bı)

1 1

3 12

1 bulunur. 4

(B) 1 3 bulunur. 4 4

⇒ 94

1 kız, 2 erkek seçmek için; ⎛3⎞ ⎛4⎞ 4 .3 = 18 dir. ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = 3. 2 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 18 bu seçeneğin cevabı olur. 35 En az 1 kız bulunması için;

ile gösterilirse, çekmeme olasılığı (Bı) (B)

3 kız ve 4 erkekten oluşan bir gruptan rastgele 3 kişi seçilecektir. Seçilen bu grupta kız erkek l nma lasılığını l n z En az kız l nma lasılığını l n z En k kız l nma lasılığını l n z

2 K 1E + 3 K ⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝3⎠ 3 . 4 + 1 = 31 dir.

31 bu seçeneğin cevabı olur. 35

En çok 1 kız bulunması için; 2E + 3 ⎛ ⎞ ⎛4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ 3 . 6 + 1K

⇒

e

3E

3K

⎛4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ 4 = 22 dir.

⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝3⎠ 1 +


⇒

Bir torbada bulunan özdeş 3 kırmızı, 4 siyah, 5 yeşil bilye arasından rastgele üçü çekiliyor. B na göre n n e a nı renkte lma lasılığı ka tır n n e farklı renkte lma lasılığı ka tır Birin inin kırmızı, ikin inin si a ve n n n e e il lma lasılığı ka tır Birinin e il lma lasılığı ka tır En az irinin e il lma lasılığı ka tır

Bu torbada 3K 4S 5 Tüm durumların sayısı;

çünün de aynı renkli olması durumu; 3S

3 Y

⎛4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝3⎠ 4 +

⎛5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠ 10 = 15 dir.


çünün de farklı renkte olması durumu; 1S

1K

1Y

⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ 3 . 4 . 5 = 60 dır. ⇒


Sıra belli ise KOMBİNAS ON kullanma K ve S ve sırası için; P(K) . P(S) . P( Y) 3 4 5 60 . . = bulunur. 12 11 10 1320

12 bilye vardır.

⎛12 ⎞ s(E) = ⎜⎜ ⎟⎟ = 220 dir. ⎝3⎠ 95

O ASI IK

a

a

1 eşil ve 2 diğer renklerden seçilmeli; 5 eşil renkte a

7 diğer renklerden


⇒

e

⎛5⎞ ⎛7⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ = 5.21 = 105 bulunur. 220 220 ⎛12 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠

Bu şıkta değilinden de gidebiliriz; En az birinin yeşil olabilmesi için tüm durumlardan, yeşilsiz durumları çıkarmak yeterli olacaktır. ⎛7⎞ eşilsiz Durumlar; ⎜⎜ ⎟⎟ 35 dir. ⎝3⎠ ⎛12 ⎞ Tüm durumlar; ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠

⇒

220 dir.

Bir çift zar atıldığında üst yüze gelen sayıların; T lamlarının lma lasılığı ka tır T lamlarının en az ğı ka tır

lma lasılı-

T lamlarının en ğı ka tır

lma lasılı-

k

ar ımlarının ift sa ı lma lasılığı ka tır e

ar ımlarının ift sa ı lma lasılığı ka tır

f

arların a nı gelme lasılığı ka tır

g

arların farklı gelme lasılığı ka tır En az irinin gelme lasılığı ka tır

220 − 35 185 = bulunur. 220 220

2 zar atıldığında oluşabilecek tüm durumların sayısı; s(E) 62 36 dır.

a

Toplamlarının 10 olduğu durumlar A

⇒ 96

(4, 6), (5, 5), (6, 4) ve s(A)

3 bu şıkkın cevabı olur. 36

3 dür.

Toplamlarının en az 10 olduğu durumlar ise, 10 ve 10 dan büyük olduğu durumlardır. A

⇒

e

Çarpımlarının çift sayı olabilmesi için; tüm durumlardan çarpımlarının tek olduğu durumları çıkarabiliriz. 36

(4, 6), (5, 5), (6, 4) , (5, 6), (6, 5), (6, 6) 144424443 14243 123 10 11 12

Tüm Durumlar

s(A) 6 dır. 6 bu şıkkın cevabı olur. 36

⇒

A ⇒

1

(5, 6), (6, 5), (6, 6) ve s(A) 3 dür. 3 33 bu şıkkın cevabı olur. 36 36

A (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6) ve s(A) 6 durum vardır. 6 bu şıkkın cevabı olur. 36

g

arların farklı gelme olasılığı; 1

⇒ Çarpımlarının tek sayı olabilmesi için;

⇒

arların aynı geldiği durumlar;

(Aynı gelme olasılığı)

ile bulunabilir. 6 30 1 bu şıkkın cevabı olur. 36 36

A (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)

Zarlardan en az birinin 6 geldiği durumlar;

ve s(A) 9 durum vardır. 9 bu şıkkın cevabı olur. 36

A (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) ⇒ 97

ve s(A) 11 dir. 11 bu şıkkın cevabı olur. 36

O ASI IK

⇒

11 ve 12 olduğu durumlar;

27


f Bu şıkta değilinden gitmek daha kolaydır. En çok 10 olabilmesi için, toplamlarının 11 ve 12 olmaması gerekir.

9

Tek Çift olduğu olduğu Durumlar Durumlar

a

n n azı, sılığı ka tır En az ka tır www.akilfikirmektebi.com

En az 3 ünün yazı geldiği durumlar;

Bir madeni para ard arda 5 kez atılıyor. B na göre ırası la Y, T, Y, T, Y i imin e gelme lasılığı ka tır sinin t ra gelme la-

n n

En k ka tır

TT

5 3 .2

azı gelme

⇒

irinin t ra gelme

lasılığı

T 5 4 5 ⇒

1. nin , 2 nin T, 3. nün , 4.nün T ve 5.nin

⇒

.

1 2

.

1 2

.

1 2

.


TT⇒

5 5 1

6 durum vardır.

6 bu şıkkın cevabı olur. 32 4 evli çift arasından rastgele iki kişi seçiliyor. e ilen iki ki inin ir iri ile evli lma lasılığı ka tır

1 2

4 evli çift aslında toplam 8 kişi demektir.

3 ünün , 2 sinin T geldiği durumlar sıra önemli olmadığından;

⇒

10 5 1 16 durumdur. 16 bu şıkkın cevabı olur. 32 En çok birinin tura geldiği durumlar; 1 Tura ya da 0 Tura dır.

Sıra önemli ise; 1 2

5 5

lasılığı

Bir madeni paranın ard arda 5 kez atılması deneyinin örnek uzayı; s(E) 25 32 elemanlıdır. a

T

5 4

⎛4⎞ İstenilen Durum → 1 çift seç → ⎜⎜ ⎟⎟ = 4 ⎝ 1⎠

5 (Tekrarlı ermütasyon) 3 .2

⎛8⎞

10 farklı durum oluşur.

Tüm Durumlar → 2 kişi seç → ⎜⎜ ⎟⎟ = 28 2


⇒

⎝ ⎠

98

4 bu sorunun doğru cevabı olur. 28

A 1, 2, 3, 4 olmak üzere,

ve B

Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru üzerinde ve ayrıca C, D noktaları bir çember üzerindedir.

2, 1, 0

A

B kartez en ar ım k mesin en alınan er angi ir a, elemanı i in a t lamının sıfır lma lasılığı ka tır

s(A).s(B) dir.

⇒

(1, 1), (2, 2)

kümesinin elemanlar toplamı 0 dır. s(A) ⇒

E

T M D R M AR → 5 noktadan 2 sini rastgele seçmemizi istiyor.

12 Tüm durumların sayısını verir.

İstenilen durumların kümesi A olsun; A

D

⎛5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝2⎠

10 Tüm durumların sayısıdır.

İSTENİ EN D R M → 1 noktayı çemberin üzerinden (C ve D den) diğer 1 noktayı ise çemberin üzerinde olmayanlardan (A, B, E den) seçmemizi istiyor.

2 olduğundan

2 bu sorunun cevabı olur. 12

⇒

⇒ 99

⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = 6 istenilen durumların sayı⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ sıdır. 6 bu sorunun cevabı olur. 10

O ASI IK

4.3

C

B n ktalar an se ile ek lan erangi iki n kta an alnız irinin em ere ait lma lasılığı ka tır

(2010 - YGS)

s(A B)

B

Aşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üzerinde bulunmaktadır.

A ve B aynı örnek uzaya ait iki olaydır. 1 1 2 , P(B) = ve P( A ∪ B) = 4 2 3 olduğuna göre, B ka tır P( A) =

(A


(A)

(B)

(A

B)

olduğundan,

B

e i n kta an rastgele se ilen n ktanın ir gen l t rma lasılığı a ağı akiler en angisiir ( ynı o r erin e i no tanın bir en ol şt rma ı ı ab l e ile e tir.) (2008 - ÖSS)

⇒

2 1 1 = + − P( A ∩ B) 3 4 2

⇒ P( A ∩ B) =

T M D R M AR → 7 noktadan 3 ünü rastgele seçmemizi istiyor. ⇒

B)

3 2 1 − = bulunur. 4 3 12

A ve B bağımsız iki olaydır. 2 1 ve P(B) = 5 3 olduğuna göre, B ka tır P( A) =

⎛7⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 35 Tüm durumların sayısıdır. ⎝3⎠

A ve B bağımsız iki olay olduğundan; ⇒ (A B) (A) . (B) dir. İSTENİ EN D R M → çgen oluşturabilmesi için seçilen tüm 3 lülerden doğrusal olan 3 lüleri çıkarmalıyız.

2 1 2 . = bulunur. 5 3 15 (A

⇒

⎛7⎞ ⎛3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ .3 ⇒ 35 − 3 = 32 dir. ⎝3⎠ ⎝3⎠

⇒

⇒


⇒ 100

B) (A) (B) (A B) 2 1 2 + − 5 3 15 9 bu sorunun cevabı olur. 15

A ve B ayrık iki olaydır.

alnızca A, B ve C atlarının koştuğu

1 11 ve P( A ∪ B) = 3 21 olduğuna göre, Bı ka tır

bir yarışta, yarışı A veya B atlarının ka1 zanma olasılığı dir. 2

P( A) =

A ve B ayrık iki olaysa, A ⇒ (A B) 0 olur. (A

B)

(A)

B

B ve a

dir.

lasılığı (B)

(A

B)

(B)

ğ na göre, B atının

E

A, B, C olduğuna göre, ve bu atla-

rın yarışı aynı anda kazanmaları mümkün

4 bulunur. 21 (B) 1 olduğundan;

olmadığına göre, A, B ve C ayrık olaylardır. (E)


(B)

(B)

101

(A)

(A)

(B)

(B)

(C)

(B) 1 2 2 3

1 dir.

(A veya B nin kazanma olasılığı) (B veya C nin kazanma olasılığı)

(A) (B) (C) 14442443 1 1 bulunur. 6

(C)

7 6

O ASI IK

(Bı)

l

arı ı kazanma

arı ı kazanma lasılığı ka tır

11 1 = + P(B) − 0 21 3 ⇒

atlarının

a

Ali ve eli bir hedefe birer kez atış yapıyorlar. Hedefi vurma olasılıkları sıra4 3 sıyla ve dir. 9 8 B na göre Yalnız li nin e efi v rma lasılığı ka tır

A

a


e efin v r lma lasılığı ka tır Ali nin ve eli nin hedefi vurma olasılıkları sı4 3 rasıyla (A) ve ( ) dir. 9 8 a

eli nin hedefi ıskalama olasılığı; ( ı)

1

5 dir. 8 4 5 20 . bulunur. 9 8 72

( ) ı

(A). ( )

Ali ve eli nin hedefi vurma olasılıkları, ⇒

(A). ( )

4 3 . 9 8

12 bulunur. 72

İkisinin de hedefi ıskalama olasılığı; 5 5 25 (Aı). ( ı) . dir. 9 8 72 Hedefin vurulma olasılığı; 1 ⇒

1

( urulmama olasılığıdır) 25 47 dir. 72 72

B

A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında 5 beyaz, 2 kırmızı bilye vardır.

İkisinin ir en e efi v rma lasılığı ka tır

A torbasından rastgele bir bilye çekiliyor ve rengine bakılmadan B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından bir bilye çekiliyor. B na göre, B t r asın an ekilen il enin kırmızı renkte lma lasılığı ka tır Aynı anda her iki torbadan birer bilye alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B torbasından alınan A ya) atılıyor. B i lemlerin s n n a t r alaraki kırmızı ve e az il e sa ılarının a langı taki le a nı lma lasılığı ka tır Torbalardan biri rastgele seçiliyor ve seçilen torbadan bir bilye çekiliyor. ekilen il enin e az renkte l ğ ilin iğine göre, il enin t r asın an ekilmi lma lasılığı ka tır

102

a

Kırmızı

Kırmızı

⇒

8

15 49

23 bulunur. 49

Beyaz top ya A torbasından ya da B torbasından çekilebileceğine göre; ⇒ A

Beyaz

B

Kırmızı

A torbasından çekilen top Kırmızı veya Beyaz renkli olabilir.

⇒

Buna göre; ⇒

den Beyaz 1 3 1 5 . . 2 7 2 7 3 5 8 bulunur. 14 14 İstenilen

⇒

A dan beyaz A dan beyaz B den beyaz Tüm

Kırmızı

Beyaz

Kırmızı

A

B

3 3 = 14 = dir. 8 8 14

Beyaz

A dan Kırmızı, B den Kırmızı veya A dan Beyaz, B den Beyaz 4 . 2 7 7

3 . 5 7 7

103

O ASI IK

⇒

A dan Kırmızı, B den Kırmızı veya A dan Beyaz, B den Kırmızı 4 . 3 3 . 2 7 8 7 8 12 6 18 bulunur. 56 56

İstenilen Durum ⇒ A dan beyaz 1 3 3 . tür. 2 7 14 Tüm Durum ⇒ A dan beyaz veya B


Ayşe nin belirleyeceği sayı ve torbadan çektiği sayı hem 1. şartı hem de 2. şartı aynı anda sağlamalıdır. art Toplamları en fazla 9 olmalı art Çarpımları en az 9 olmalı

Bir torbada 1 den 9 a kadar numaralanmış dokuz top bulunmaktadır. Ayşe, 1 den 9 a kadar bir sayı belirleyecek ve daha sonra torbadan rastgele bir top çekecektir. Topun üzerinde yazılı olan sayı ile belirlediği sayının toplamı en fazla 9 ve çarpımı en az 9 olursa Ayşe oyunu kazanacaktır. e angi sa ı ı elirlerse n kazanma lasılığı en ksek l r (2013 - LYS)

Belirle iği a ı

eke ile eği t

lar

1 olursa

Oyunu kazanamaz.

2 olursa

5, 6 ve 7 nolu topları çekerse kazanır.

3 olursa

3, 4, 5 ve 6 nolu topları çekerse kazanır.

4 olursa

3, 4 ve 5 nolu topları çekerse oyunu kazanır.

5 olursa

2, 3 ve 4 nolu topları çekerse oyunu kazanır.

6 olursa

2 ve 3 nolu topları çekerse oyunu kazanır.

7 olursa

2 nolu topu çekerse oyunu kazanır

8 olursa

Oyunu kazanamaz.

9 olursa

Oyunu kazanamaz.

Buna göre, Ayşe nin belirleyeceği sayı 3 olursa oyunu kazanma olasılığı en yüksek olur.

104

LL L L E örnek za ının iki la ı ve B ls n B lmak zere B la ının ger ekle mesi alin e, la ının ger ekle mesi lasılığına N N B YE B L LL L L enir ve B i imin e gösterilir B

B B

ir

O ASI IK

İki zar birlikte atılıyor. arların üst yüzüne gelen sayıların toplamı 6 olduğu biliniyor. B na göre, zarların st z ne a nı sa ıların gelmi lasılığı ka tır arların üst yüzüne gelen sayıların toplamı 6 olduğuna göre; ⇒

rnek uzay; (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) 5 elemanlı olacaktır.

⇒

İstenilen durum ise; (3, 3) 1 elemanlıdır.

⇒

İstenilen durum Tüm durumlar

1 dir. 5

105

1. Bir madeni para arka arkaya 4 kez atılı- 3. Bir zar arka arkaya 3 kez atılıyor. yor.

B ene in örnek za ı ka elemanlıır

B ene in örnek za ı ka elemanlıır A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

A) 18

B) 36

C) 72

D) 144 E) 216

E) 32

TEST KODU : 21401

4. İki zar ve

Buna göre, l a ile ek t m rın sa ısı ka tır

r mla-

ma eni aranın irlikte atılması ene inin örnek za ı ka elemanlı ır

A) 5

E) 32

A) 288 B) 216 C) 144 D) 72

B) 10

C) 16

D) 24

107

E) 36

OLASILIK

2. 5 para havaya atılıyor.

5. İki madeni para ve bir zar atılıyor.

7. Okuma yazma bilmeyen Bestami arkadaşını ziyarete gidiyor.

araların farklı ve zarın tek gelmesi la ının eleman sa ısı ka tır A) 3

B) 6

C) 12

D) 18

Bestami nin an an ğr ka tır

E) 24


A) 1

6. İ in e

kırmızı, e az t l nan ir t r a an rastgele t se me ene in e örnek za ın eleman sa ısı ka tır A) 36

B) 30

C) 21

D) 12

B)

1 2

tane ka ı zili lan zile asma lasılığı C)

1 4

D)

1 8

E)

1 12

8. Bir kutudaki 69 bardaktan 31 i kırılmıştır. t an rastgele se ilen ir ar ağın sağlam lma lasılığı ka tır A)

E) 6

108

31 69

B)

31 38

C)

38 69

D)

31 69 E) 100 100

9. Bir torbada 5 kırmızı, 3 sarı ve 2 mavi top 11. Aynı büyüklükteki 40 nohut ile 10 leblebi vardır. B t A)

tanesi karıştırılıyor.

t r a an rastgele ekilen n kırmızı lma lasılığı ka tır 1 6

B)

1 5

C)

1 4

D)

1 3

E)

ir

B karı ım an alınan ir tanenin le le i tanesi lma lasılığı z e ka tır

1 2

A) 10

B) 20

C) 40

D) 60

E) 80

TEST KODU : 21401

matematik, fizik kita ı arasın an rastgele alınan ir kita ın fizik kita ı lma lasılığı ka tır A)

3 5

B)

3 8

C)

5 8

D)

1 2

E)

12. Bir torbada 1 den 15 e (1 ve 15 dahil)

1 3

kadar numaralandırılmış 15 kart vardır. T r a an rastgele ekilen ir kartın ile tam öl ne ilen ir sa ı lma lasılığı ka tır A)

109

1 2

B)

2 5

C)

1 3

D)

1 5

E)

1 15

OLASILIK

10.

13.

A

50,

Z+}

15. İki madeni para aynı anda atılıyor.

k mesin en rastgele se ilen ir saının, ile kalansız öl ne ilen ir sa ı lma lasılığı ka tır


6 A) 25

1 B) 5

4 C) 25

2 D) 5

14. Bir ift zar atıl ığın a st sa ıların t ka tır A)

1 12

B)

lamının

1 9

C)

5 36

lma

D)

1 6

Birinin azı, iğerinin t ra gelme lasılığı ka tır A)

11 E) 50

ze gelen lasılığı

E)

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 6

E)

3 4

16. Hilesiz iki zar atılıyor.

7 36

arların st zlerine gelen sa ıların a nı lma lasılığı ka tır A)

110

1 2

B)

1 3

C)

1 6

D)

1 18

E)

1 36

1. Bir torbada aynı büyüklükte 4 kırmızı, 3. Bir grupta 3 erkek ve 2 kız öğrenci vardır. 5 beyaz, 7 yeşil kalem vardır. astgele alınan ir kalemin kırmızı vea e az lma lasılığı ka tır 1 5 A) B) 16 16 (ÖSS - 1988)

1 C) 4

7 D) 16

B gr tan se ile ek iki ki inin ikisinin e erkek lma lasılığı ka tır 1 3 2 B) C) 5 10 3 (ÖYS - 1987) A)

9 E) 16

D)

1 2

E)

3 5

TEST KODU : 21402

2. Bir torbada 5 beyaz, 4 kırmızı top vardır. 4. Bu torbadan rastgele 2 top çekiliyor.

5 4 B) 18 15 (ÖYS - 1981) A)

n a e az lma lasılı-

C)

3 13

D)

2 11

E)

8 7 B) 15 10 (ÖYS - 1988)

1 5

A)

111

C)

2 7

D)

1 5

E)

1 3

OLASILIK

ekilen t ğı ka tır

kız, erkek öğren i l nan ir k l kafilesin en rastgele öğren i se ilirse, öğren iler en irinin kız, iğerinin erkek lma lasılığı ka tır

!

5.

"

#

$

7. Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane

%

yeşil mendil vardır. Bu torbadan geriye atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. B iki ekili in irin isin e mavi, ikin isin e e e il men il ekme lasılığı ka tır

Şekildeki A, B, C, D ve E noktaları bir doğru üzerinde ve ayrıca C ve D noktaları bir çember üzerindedir.

7 20 B) 12 49 (ÖYS - 1989) A)


B n ktalar an se ile ek lan erangi iki n kta an alnız irisinin em ere ait lma lasılığı ka tır 2 2 B) 3 5 (ÖYS - 1990) A)

C)

3 5

D)

5 6

E)

nı an a ekilen iki il e en irinin e az ö r n n si a lma i timali ne ir C)

2 11

D)

4 33

E)

D)

10 21

E)

5 21

8. Bir torbaya eşit sayıda kırmızı ve

bilye vardır.

6 1 B) 11 11 (ÖYS - 1992)

10 45

7 10

6. Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi

A)

C)

5 33

beyaz bilyeler konuyor. Bu torbadan geri konulmamak üzere çekilen iki bilyenin ikisininde kırmızı renkte olma olasılığı 8 tür. 33 İlk A) 30

r m a t r a a ka B) 32

(ÖYS - 1989)

112

C) 34

il e var ır

D) 36

E) 38

9. Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. 11. İ in e kırmızı, sarı ve mavi il e B t r a an rastgele ekilen il een irinin e az, iğer ikisinin si a lma lasılığı ka tır

l nan ir t r a an rastgele se ilen il e en er irinin farklı renkte lma lasılığı ka tır

3 3 B) 10 19 (ÖYS - 1995)

16 4 B) 55 15 (ÖYS - 1986)

A)

C)

4 15

D)

5 14

E)

5 13

A)

C)

3 13

D)

2 11

E)

11 55

TEST KODU : 21402

B

am ller en rastgele se ilen am l en n n e z k lma lasılığı ka tır

1 1 B) 36 42 (ÖYS - 1984) A)

C)

1 48

D)

1 55

E)

1 62

bulunan bir torbadan ard arda üç bilye alınıyor. Birin isinin mavi, ikin isinin kırmızı ve n s n n sarı lma lasılığı ka tır A)

113

16 55

B)

4 15

C)

1 4

D)

8 1 E) 165 64

OLASILIK

10. Bir kutudaki 12 ampulden, 4 ü bozuktur. 12. İçinde 4 kırmızı, 4 mavi ve 4 sarı bilye

13. 5 negatif, 6 pozitif tamsayıdan rastgele 15. Bir çift zar atılıyor. üçü seçiliyor. B sa ıların ar ımlarının ma lasılığı ka tır 17 B) 33

27 C) 55

28 D) 55

st ze gelen sa ıların ar ımlarının ift sa ı gelme lasılığı ka tır

l-

A)

88 E) 165

1 6

B)

1 3

C)

1 2

D)

2 3

E)

3 4


16 A) 33

zitif

16. Bir torbada 6 siyah, 5 beyaz top vardır.

14. Bir çift zar atılıyor. st ze gelen sa ıların ar ımlarının lma lasılığı ka tır A)

1 24

B)

1 18

C)

1 9

D)

1 6

E)

1 4

T r a an rastgele en az ikisinin si a tır A)

114

3 4

B)

19 33

C)

14 33

ekilen t tan lma lasılığı ka D)

3 11

E)

1 2

1.

3.

ve B ağımsız iki la ır 3 2 P(A) = ve P(B) = 10 3 olduğuna göre, P(A 1 10

A)

B)

1 5

C)

2 5

B ka tır D)

23 30

E)

29 30

ve B a rık la lar ır 1 3 P(A) = , P(B) = 3 5 olduğuna göre, P(A ∪ B ka tır A)

14 15

B)

4 5

C)

11 15

D)

2 3

3 5

E)

2 4

TEST KODU : 21403

E)

4.

ve B ağımsız iki la ır 2 1 P(A) = ve P(B) = 5 4 olduğuna göre, P(A ∪ B ka tır A)

8 20

B)

1 2

C)

11 20

D)

3 5

E)

13 20

ve B ağımsız iki la ır 5 3 P(A) = ve P(A ∪ B) = 12 4 olduğuna göre, P(A B ka tır A)

115

2 21

B)

1 7

C)

4 21

D)

5 21

OLASILIK

2.

5.

ve B la ları E örnek za ına ait iki la ır 3 3 5 P(A) = , P(B) = ve P(A B) = 7 14 28 olduğuna göre, P(A ∪ B ka tır


A)

6.

1 2

B)

13 28

C)

3 7

D)

11 28

E)

7.

5 14

A)

nı örnek za aki ve B la ları i in, 2 1 1 P(Aı) = , P(B) = ve P(A B) = 3 4 6

8.

olduğuna göre, P(A ∪ B ka tır A)

11 12

B)

7 12

C)

1 2

D)

5 12

E)

ve B la ları E örnek za ının alt k meleri ir – 1 9 P(A ∪ B) = , P(B) = 2 10 olduğuna göre, P(A) – P(A B farkı ka tır

1 3

B)

1 5

C)

3 10

D)

2 5

E)

3 5

ve B, E örnek za ının iki la ı ls n P(Aı) =

5 , P(A 8

olduğuna göre, P(A A)

116

1 10

1 6

B)

5 1 C) 24 4

B) =

5 24

Bı ka tır D)

7 24

E)

1 3

9.

ve B, E örnek za ın a iki la 5 1 P(A ∪ B) = ve P(A) = 6 2 olduğuna göre, P(B 1 3

A)

B)

1 4

C)

5 12

ır

11. E örnek za ını l t ran , B ve a rık la P(Aı

Aı ka tır D)

1 2

E)

ır

Bı) =

2 5

olduğuna göre,

2 3

1 A) 5

2 B) 5

ka tır 3 C) 5

D)

4 5

E) 1

TEST KODU : 21403

10.

ve B, E örnek za ın a iki la 2 1 , P(B) = ve P(A 3 4

olduğuna göre, P(Aı A)

1 4

B)

1 3

C)

5 12

B) =

12. E örnek za ını l t ran , B ve a rık la

1 6

3 Sonucun A veya B olma olasılığı , 4 7 A veya C olma olasılığı l ğ na gö8 re, B ve a nin lma lasılığı ka tır

Bı ka tır D)

1 2

E)

ır

3 4

A)

117

7 8

B)

5 8

C)

1 2

D)

3 8

E)

1 8

OLASILIK

P(A) =

ır

13. alnız A, B ve C atlarının koştuğu bir 15. Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. yarışta A nın yarışı kazanma olasılığı, B nin 3 katı ve C ninkinin yarısıdır.

arın ten k k ve a gelmesi lasılığı ka tır

Buna göre, lasılığı ka tır

A)


A)

1 10

B)

1 5

arı ı

C)

3 10

nın kazanma

D)

1 2

E)

1 6

B)

1 3

C)

1 2

D)

aranın t ra 2 3

E)

5 6

3 5

14. Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. 16. Bir zar ile iki madeni para birlikte atılıyor. arın ten k k ve aranın t ra gelmesi lasılığı ka tır A)

1 6

B)

1 3

C)

1 2

D)

2 3

E)

5 6

arın asal sa ı ve araların farklı gelme lasılığı ka tır A)

118

1 6

B)

1 5

C)

1 4

D)

1 3

E)

1 2

1. Bir para arka arkaya 3 kez atılıyor. aranın kez azı, lasılığı ka tır A)

1 8

B)

1 4

C)

3 8

3. 5 madeni para birlikte atılıyor.

kez t ra gelme

e sinin t ra gelme lasılığı ka tır A)

D)

1 2

E)

5 8

1 32

B)

1 5 C) 16 32

D)

1 5

E)

1 2

TEST KODU : 21404 OLASILIK

2. Bir madeni para arka arkaya 7 kez atılıyor. aranın kez azı, lasılığı ka tır A)

1 128

B) D)

21 128

kez t ra gelme


1 64

C) E)

araların arısının t ra gelme lasılığı ka tır

7 128

35 128

A)

119

1 64

B)

1 4

C)

5 16

D)

21 64

E)

15 32

5. 6 madeni para birlikte atılıyor. araların sırası la azı, t ra e gelme lasılığı ka tır


A)

1 64

B)

1 4

C)

5 16

D)

21 24

7. 4 madeni para birlikte atılıyor. i iminE)

15 32

6. D zg n ir ara

A)

efa atıl ığın a en az ir kez t ra gelme lasılığı ka tır A)

7 8

B)

1 3

C)

1 8

D)

5 6

E)

aralar an en lasılığı ka tır 1 4

B)

3 8

k ikisinin azı gelme

C)

5 8

D)

11 16

E)

3 4

8. Hileli bir paranın tura gelme olasılığı

1 4

2 tür. Bu para arka arkaya üç kez 3 atılıyor. İki t ra, ir azı gelme lasılığı ka tır

(ÖYS - 1987)

A)

120

2 5

B)

1 2

C)

2 3

D)

4 27

E)

4 9

9. Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralan- 11. İki zar birlikte atılıyor. dırılmış 10 top bulunmaktadır. B

t r a an rastgele ekilen iki t n n maralarının t lamının lğ ilin iğine göre, n maralı t n ekilmi lma lasılığı ka tır C)

2 7

D)

1 2

E)

arların st z ne gelen sa ıların lamının lma lasılığı ka tır

A)

1 3

B)

1 4

C)

1 6

D)

5 18

E)

1 9

1 3 TEST KODU : 21404

2 2 B) 3 5 (YGS - 2013) A)

t

10. Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri 12. İki zar birlikte atılıyor. B zg n ört zl ir kez atıl ığına an zlerin e, sırasına ve ön ne akılmaksızın , T, arflerinin gör lme lasılığı ka tır 1 1 B) 2 3 (ÖSS - 1999) A)

C)

2 3

D)

1 4

E)

3 4

121

arların st z ne gelen sa ıların t lamının en az lma lasılığı ka tır A)

1 3

B)

1 4

C)

1 6

D)

5 18

E)

1 9

OLASILIK

eş kenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfi vardır.

13. Bir zarın iki yüzü kırmızı, iki yüzü sarı, 15. Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. diğer yüzleri de mavi renktedir. Bu zar iki kez atılıyor.

arın en k k ve a gelmesi lasılığı ka tır

İki atı s n n a zarın ir kez kırmızı, ir kez mavi z zerine mesi lasılığı ne ir

A)


A)

1 9

B)

2 9

C)

1 3

D)

4 9

E)

1 6

B)

1 3

C)

1 2

D)

aranın t ra 2 3

E)

5 6

2 3

14. Bir zarın 2 yüzü mor, 1 yüzü lila ve 16. Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. 3 yüzü de pembedir. Bu zar ard arda 3 kez atılıyor.

B atı ların ikisin e m r, irin e em e gelmesi lasılığı ka tır A)

5 6

B)

2 3

C)

1 2

D)

1 3

E)

1 6

122

arın ve a ten k k ve t ra gelmesi lasılığı ne ir 1 1 B) 3 4 (ÖYS - 1982) A)

C)

1 5

D)

1 6

aranın

E)

2 5

1.

3. A = {–2, –1, 0, 1}

A = {1, 2, 3, 4 ,5, 6} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor. e ilen alt k me e elemanının l nma lasılığı ka tır A)

1 2

1 3

C)

2 3

D)

1 4

E)

B kartez en ir elemanın a, a sılığı ka tır

1 5

1 1 B) 4 6 (ÖSS - 2007) A)

e ilen k menin elemanları t lamı tek sa ı lan ir k me lma lasılığı ka tır B)

2 3

C)

3 4

D)

4 5

1 8

D)

1 12

E)

5 24

E)

1 2

123

tam sayı arasından 3 sayı seçiliyor. B sa ıların ar ımının ı lma lasılığı ka tır A)

3 5

B)

4 5

C)

13 20

D)

zitif tam sa10 21

E)

11 21

OLASILIK

kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden rastgele biri seçiliyor.

1 3

C)

ar ımın an alınan i imin e lma la-

4. Birbirinden farklı 5 pozitif ve 4 negatif

A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2}

A)

1, 0, 1, 2, 3, 4 kümeleri veriliyor.

TEST KODU : 21405

2.

B)

B

5.

evli ift arasın an rastgele se ilen iki ki inin ir irinin e i lma lasılığı ka tır 1 A) 9

1 B) 8

1 C) 6

1 D) 3

7.

#

"

1 E) 2

!

an areket e i , n ktasına en kısa l an gi e ek lan ir ki inin B n ktasın an ge me lasılığı ka tır


A)

1 2

B)

1 5

C)

3 7

D)

7 10

E)

18 35

6. Birbirinden farklı üç çift çorap arasından 8. Bir kitaplıkta yanyana sırasıyla dizilmiş rastgele iki çorap seçiliyor.

10 kitap vardır.

e ilen ra ların ir irinin e i lma lasılığı ka tır A)

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

1 6

B kita lıktan rastgele iki kita se iliğin e, kita ların ve kita lar lma lasılığı ka tır A)

124

1 90

B)

1 1 C) 50 45

D)

1 40

E)

1 35

9.

11. 6 kişilik bir aile yuvarlak masa etrafında rastgele oturuyorlar. nne ile Ba a nın lasılığı ka tır

ukarıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üzerinde bulunmaktadır.

A)

3 5

B)

2 5

C)

1 6

an ana

D)

1 4

t rma

E)

1 3

A)

32 35

B)

27 24 C) 35 35

D)

5 7

E)

TEST KODU : 21405

B e i n kta an rastgele se ilen n ktanın ir gen l t rma lasılığı ka tır 3 7

(ÖSS - 2008/I)

duğu 5 kişilik bir grup sinemaya gidiyor.

rastgele oturuyorlar.

nı sıra an ilet al ıkları ilin iğine göre, Be l l ve Bi ter in yanyana t rmama lasılığı ka tır

Buna göre, kızın lasılığı ka tır

1 A) 5

A)

2 B) 5

3 C) 5

4 D) 5

9 E) 10

125

1 14

B)

9 5 C) 14 14

an

D)

ana 3 7

t rma

E)

1 7

OLASILIK

10. Aralarında Behlül ve Bihter’in de bulun- 12. 4 erkek ve 3 kız düz bir sırada yanyana

13. Bir

ğal sa ının karesi alın ığın a irler asamağın aki rakamın lma lasılığı ka tır

A)

1 4

B)

1 5

C)

1 6

D)

1 8

E)

15. 1 den 12 ye kadar (12 dahil) olan sayılar birer karta yazılarak bir kutuya atılıyor ve bu kutudan 2 kart seçiliyor. Buna göre, se ilen kartların zerin eki sa ıların ar ı ık lma lasılığı ka tır

1 10


A)

14. Rakamları sıfırdan ve birbirinden fark- 16. lı olan üç basamaklı tek sayılar bir karta yazılıyor.

astgele ekilen ir kartın zerin e rakamının l nma lasılığı ka tır A)

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

1 6

B)

8 13 C) 33 66

D)

1 6

E)

1 11

A = {1, 2, 3, ... , 100} kümesinin elemanlarından rastgele 2 tanesi seçiliyor. B na göre, öl n ğ n e lasılığı ka tır A)

126

2 11

k sa ı k k sa ı ile öl mlerinin lma

1 1 3 1 1 B) C) D) E) 200 150 200 100 50

1.

3.

A = {1, 2, 3, 4} k mesin en rastgele se ilen iki farklı elemanın t lamının ten k lmama lasılığı ka tır A)

1 6

B)

2 3

C)

1 3

D)

1 2

E)

5 6

mavi, e il ve sarı il e arasın an rastgele se ilen il e en en az ikisinin a nı renkte lma lasılığı ka tır A)

8 11

B)

#

D)

43 55

E)

2 3

TEST KODU : 21406

4.

17 12 C) 22 55

%

$

" ! & '

2. İki madeni para ile iki zar birlikte atılıyor. araların farklı ve zarların a nı gelme lasılığı ka tır A)

1 3

B)

2 3

C)

1 4

D)

1 6

E)

1 12

B genler arasın an rastgele se ilen ir genin ir kö esinin B, iğer kö esinin D lma lasılığı ka tır A)

127

1 17

B)

2 5 C) 15 34

D)

1 7

E)

1 8

OLASILIK

ukarıdaki 7 noktadan herhangi üçünün birleştirilmesiyle üçgenler oluşturuluyor.

5.

7. (1 + x)6 a ılımın an rastgele se ilen

1, 2, 3, 4, 5

iki terimin katsa ılar t lamının ten k k lma lasılığı ka tır

rakamları kullanılarak beş basamaklı rakamları farklı doğal sayılar yazılıyor. Bu beş basamaklı sayılardan biri seçiliyor.

16 15 14 B) C) 21 21 21 (ÖYS - 1989) A)

e ilen sa ı a rakamının, rakamının s l n a l nma lasılığı ka tır


A)

1 2

6.

B)

1 3

C)

1 4

D)

7 24

E)

8. f N+

kümesinin elemanlarından aynı anda farklı iki tanesi seçiliyor. e ilen iki sa ının ar ımı sa ı l ğ na göre , ikisinin e sa ı lma lasılığı ka tır 1 4

B)

3 4

C)

1 3

D)

2 3

E)

12 21

E)

9 21

1 6

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A)

D)

ift ift 1 2

zere,

f ( x) =

2

,

3

,

4

ve i2

lmak

x

∑ in

n =1

f nksi n n n gör nt k mesin en rastgele se ilen ir elemanın lma lasılığı ka tır A)

128

{Z1,

1 5

B)

1 4

C)

1 3

D)

1 2

E) 1

9. Bir madeni para ard arda dört kez hava- 11. Bir sınıfta 20 yaşında 2 kız 3 erkek, ya atılıyor. st ze er seferin e ir ön ekin en farklı gelme lasılığı ka tır A)

1 2

B)

1 4

C)

3 4

D)

1 8

E)

1 16

21 yaşında 3 kız 3 erkek, 22 yaşında 1 kız 3 erkek vardır. ınıftan rastgele se ilen iki ğ n a rtalaması l ğ na göre, ikisinin e kız lma lasılığı ka tır A)

1 7

B)

2 7

C)

1 6

D)

1 5

E)

2 5 TEST KODU : 21406

10. Bir anahtarlıktaki 5 farklı anahtardan sa- 12. İki evli çiftin bulunduğu 8 kişi arasından 5 kişi seçilecektir.

a ı ı a ma an ana tar tekrar enenme iğine göre, ka ının n eneme e a ılma lasılığı ka tır

e ilenler arasın a sa e e tin l nma lasılığı ka tır

16 64 1 A) B) C) 125 125 25

A)

8 D) 25

1 E) 5

129

1 7

B)

2 7

C)

3 7

D)

4 7

evli if-

E)

5 7

OLASILIK

dece biri kapıyı açmaktadır.

13. 16 kişinin bulunduğu bir sınıftaki tüm öğ- 15. Nazlı’nın matematik sınavında başarırenciler fizik veya kimya dersinden geçmiştir. Bu sınıfta sadece fizik dersinden geçen 6 öğrenci, sadece kimya dersinden geçen 8 öğrenci vardır. ınıftan rastgele se ilen ir öğren inin fizik ersin en ge tiği ilin iğine göre, öğren inin kim a ersin en e ge mi lma lasılığı ka tır


A)

1 9

B)

2 9

C)

1 3

D)

1 4

E)

1 3 2 , ve tir. 3 4 5

Buna göre, öğren i en en az irinin sınıfı ge me lasılığı ka tır A)

1 10

B)

7 9 C) 10 10

D)

8 9

E)

A)

2 5

B)

3 5

C)

4 5

D)

7 10

E)

9 10

1 6

14. Ali, Can ve Efe’nin sınıflarını geçme ola- 16. sılıkları sırasıyla

2 , Can’ın aynı sınavda 3 2 başarılı olma olasılığı tir. 5 Buna göre, Nazlı ve an an en az irisinin sınav a a arılı lma lasılığı ka tır lı olma olasılığı

7 9

ASALAK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılan 6 harfli kelimelerden bir tanesi rastgele seçiliyor. e ilen kelimenin ile a la an ir kelime lma lasılığı ka tır A)

130

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 5

E)

1 6

1. A kutusunda 4 kırmızı, 3 sarı bilye; 3. A torbasında 4 mavi, 3 kırmızı ve B kutusunda 5 kırmızı, 4 sarı bilye vardır. Aynı anda her iki kutudan birer bilye çekiliyor. ekilen il elerin farklı renkte lasılığı ka tır A)

15 63

B)

16 31 C) 63 63

D)

32 63

E)

lma

B torbasında 3 mavi, 6 kırmızı bilye vardır. Aynı anda her iki torbadan birer bilye alınıyor ve A dan alınan B’ye, B den alınan A ya atılıyor. B i lemin s n n a t r a aki il elerin renk akımın an a langı taki ile a nı lma lasılığı ka tır

35 63

2 7

B)

4 10 C) 21 21

D)

13 63

E)

35 63

TEST KODU : 21407

A)

2. İçinde top bulunan iki torbadan birin- 4. A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında 5 beyaz, 2 kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya atılıyor.

B n an s nra ikin i t r a an rastgele ir t ekil iğin e n n e az lma lasılığı ka tır

B i lemin s n n a t r a aki kırmızı ve e az t sa ılarının a langı taki le a nı lma lasılığı ka tır

1 3 3 B) C) 10 10 20 (ÖYS - 1985)

A)

A)

D)

7 10

E)

2 5

18 19 20 B) C) 49 49 48 (ÖYS - 1997)

131

D)

22 49

E)

23 49

OLASILIK

cisinde 4 beyaz, 6 siyah ve ikincisinde 2 beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.

5. İki

asamaklı ğal sa ılar arasınan rastgele se ilen ir sa ının ile öl n ğ ilin iğine göre, ile öl ne ilme lasılığı ka tır


A)

1 9

B)

2 9

C)

1 4

D)

1 3

E)

7.

4 9

ve B, E örnek za ının iki la ı ır P(A ∪ B) =

olduğuna göre, 1 6

A)

6. İçinde 4 pembe, 3 beyaz bilye bulunan 8.

1 A) 3

2 B) 3

1 C) 9

4 D) 9

P(A

132

1 4

C)

B) =

1 12

ka tır

1 3

D)

1 2

E)

2 3

1 4 ve P(B) = 4 5

olduğuna göre, A)

2 E) 5

B)

B

B) =

ve B, E örnek za ının iki la ı ır

bir torbadan 2 bilye çekiliyor. ekilen il eler en irinin em e lğ ilin iğine göre, iğerinin e az lma lasılığı ka tır

3 1 , P(B) = ve P(A 4 2

1 5

B)

1 4

B ka tır C)

2 5

D)

5 16

E)

1 2

9. İçinde 3 pembe, 5 mor top bulunan bir 11. Hileli bir zar atıldığında üst yüze herhantorbadan bir top rastgele çekilip alındıktan sonra, yine rastgele bir top çekiliyor. ekilen ikin i t ğı ka tır A)

1 8

B)

3 8

C)

gi bir sayının gelme olasılığı bu sayı ile doğru orantılıdır. st yüze çift sayı gelirse içinde 4 sarı, 2 yeşil top bulunan A torbasından; tek sayı gelirse içinde 3 sarı, 3 yeşil top bulunan B torbasından bir top çekilecektir.

n m r lma lasılı5 8

D)

1 4

E)

3 4

10. Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde

A)

alışveriş yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır.

25 42

B)

1 2

C)

17 42

D)

5 21

E)

3 7

TEST KODU : 21407

Buna göre, zar atıl ıktan s nra a a B t r asın an rastgele ekilen ir t n e il renkte lma lasılığı ka tır

324 6

7

8

!"#"$%& '"()*+,)

-"./+ '"()*+,)

12. Bir zarın bir yüzü mavi, üç yüzü

324

324 01,2 '"()*+,)

kırmızı ve diğer yüzleri de beyazdır. Bu zar 3 kez atılıyor.

B na göre, irin i arkı evirme i ak e en ir m terinin ama ır makinesi kazanma lasılığı ka tır

atı ta a farklı renk gelme lasılığı ka tır

1 1 5 A) B) C) 14 16 24 (ÖSS - 2009)

A)

3 D) 28

5 E) 32

133

1 72

B)

1 1 C) 36 18

D)

1 12

E)

1 6

OLASILIK

5

15.

13.

en k k iki asamaklı ğal sa ılar an iri rastgele se il iğine, se ilen sa ının zitif tam sa ı ölenlerinin sa ısının tane lma lasılığı ka tır A)


Şekildeki hedef tahtasında bulunan dairelerin yarıçapları içten dışa doğru sırasıyla 1, 2 ve 3 rakamları ile orantılıdır.

1 10

B)

1 3 C) 20 40

D)

7 40

E)

1 5

Berksan ın attığı k e ef ta tasına isa et ettir iği ilin iğine göre, taralı ölge e isa et ettirmi lma lasılığı ka tır A)

1 9

B)

2 9

C)

1 3

D)

4 9

E)

2 3

16. 1 den 12 ye kadar numaralandırılmış 14. Bir sınıfta 4 kız, 8 erkek öğrenci vardır. Kızların 2 si, erkeklerin 4 ü gözlüklüdür. B sınıftan rastgele se ilen öğren inin gözl kl ve a a nı insi etten lma lasılığı ka tır A)

5 13

B)

7 11

C)

4 5

D)

5 6

E)

1 2

12 kartın bulunduğu bir torbadan çekilen kart torbaya geri atılmamak şartıyla ard arda iki kart rastgele çekiliyor. Birin i karttaki sa ı an k k lin iğine göre, n katı lma A)

134

1 2

B)

1 3

sa ının, ikin i karttaki ir ift sa ı l ğ iikin i karttaki sa ının lasılığı ka tır C)

2 5

D)

3 5

E)

3 10

(x + 2y – z)9

1.

3. Bir kenarı 6 birim olan kare biçimindeki bir parkın içinden seçilen bir noktaya elektrik direği dikilecektir.

ifadesinin açılımındaki terimlerden biri rastgele seçiliyor. Buna göre, se ilen terimin i in e l nma lasılığı ka tır A)

1 11

B)

7 9 C) 55 55

D)

1 5

E)

3

Buna göre, ireğin arkın er angi ir kö esine en fazla irim zaklıkta lma lasılığı ka tır

n

13 55

A)

B)

6

C)

2 3

4. A = {x: |x – 1| < 2, x

4

E)

3

Z} Z}

kümeleri veriliyor.

2. 5 tane 1 ¨ üç çocuğa rastgele dağıtılıyor. Buna göre, er ğ n en az 1 ¨ almı lma lasılığı ka tır A)

2 21

B)

1 7

C)

4 21

D)

5 21

E)

2 7

B k mesi i erisin en rastgele se ilen ir elemanın k mesinin e elemanı lma lasılığı ka tır A)

135

3 4

B)

1 2

C)

1 4

D)

2 5

E)

3 5

OLASILIK

B = {y: |2y + 1| < 4, y

D)

TEST KODU : 21408

9

7.

( 5 + 3 5)12

5.

açılımındaki her bir terim birer karta yazılıp torbaya atılıyor. B t r a an rastgele ir kart ekil iğin e kartın zerin eki terimin tam sa ı lma lasılığı ka tır


A) 1

B)

12 3 C) 13 13

D)

2 13

E)

ukarıdaki şekil 15 adet birim kareden oluşmuştur.

1 13

ekil eki ik örtgenler en rastgele iri se il iğin e n n kare lma lasılığı ka tır A)

6.

A = {x: 3 < x

118, x

1 5

B)

11 13 C) 45 45

D)

1 3

E)

4 9

N}

kümesi veriliyor. A kümesinin elemanlarından rastgele biri seçiliyor. e ilen elemanın ve a ile öl ne ilen ir sa ı lma lasılığı ka tır A)

68 115

B) D)

9 115

39 115

C) E)

8.

azarları farklı 3 geometri, 4 matematik kitabı yanyana diziliyor. er angi iki ge metri kita ının yana lmama lasılığı ka tır

13 115

3 23

A)

136

2 7

B)

3 7

C)

4 7

D)

5 7

E)

an 6 7

9.


! "

aralar an ikisinin t ra gel iği iliniğine göre, n n t ra irinin azı gelme lasılığı ka tır A)

B)

1 2

C)

4 11

D)

1 3

E)

1 4

TEST KODU : 21408

$

5 6

#

Şekildeki kavşağa A noktasından giren araç bu pistte tek tur atıyor. Buna göre, B n ktasın an ıkma lasılığı ka tır A)

1 4

B)

5 3 C) 16 8

D)

1 2

E)

5 8

11. Ayrıtları 6 cm olan bir küpün tüm yüzey-

e ilen k n en az ir alı lma lasılığı ka tır A)

19 27

B) D)

137

1 37

ze inin

125 216

C) E)

8 27

91 216

-

OLASILIK

leri boyanıyor. Daha sonra bu küp ayrıtları 1 cm olan küçük küplere bölünüp içlerinden biri rastgele seçiliyor.

12. İki arkadaş bir zar atma oyunu oynuyor- 14. Şekildeki kürsüye çıkmak isteyen Ceylin lar. Çift atan bu oyunu kazanacaktır. B na göre, na a la an arka aın kazanma lasılığı ka tır A)

1 8

B)

1 4

C)

1 3

D)

1 2

E)

eşit olasılıklarla ya bir basamak ya da iki basamak çıkarak ilerliyor.

2 3

123,2 4()*+,+-+. 0()*+,+-+. /()*+,+-+. !"#$%&

'()*+,+-+.


B na göre, e lin in asamağa asma an k rs e ıkma lasılığı ka tır A)

13. İki arkadaş bir zar atma oyunu oynuyorlar. Çift atan bu oyunu kazanacaktır. B na göre, na a la an arka aın kazanma lasılığı ka tır A)

1 8

B)

1 4

C)

1 3

D)

1 2

E)

2 3

138

1 2

B)

1 3

C)

1 4

D)

2 5

E)

2 3

MATEMATİK

İ TATİ TİK


İ T Tİ Tİ Belirli bir amaç için veri toplama, tablo ve grafiklerle özetleme, son ları r mlama, s n ların g ven ere elerini a ıklama, örnekler en el e e ilen s n ları kitle i in genelleme özellikler arasın aki ili ki i ara tırma, e itli k n lara gele eğe ili kin ta min a maa ara an ir ilim alı ır ısa ası ilimsel fal ılık a i e iliriz

erkezi Eğilim

l

i

Bir veri gr n a en k tekrar e en sa ı alnız ir tane ise, o saı gr nm r

ii

Bir veri gr n a en k tekrar e en sa ı ir en fazla ve ar ı ıksa sa ıların aritmetik rtalaması gr nm r

iii

Bir veri gr n a en k tekrar e en sa ı, ir en fazla ve ar ı ık eğilse, sa ıların er iri gr n m r

⇒

Belirli gr lara a rılmı ağılımlarda mod, en çok tekrar eden grubun rta n ktası ır

Bir anketörün uyguladığı ankete katılan kişilerin yaşları aşağıda verilmiştir. 17, 23, 45, 21, 17, 32, 21, 28, 21, 18 B na göre, gr nm ka tır

leri

D TE E DE E ⇒

Bir veri grubunda en çok tekrar e en sa ı a gr n MODu (tepe eğeri enir B l nması i in a ağıaki öntemler izlenir

17, 23, 45, 21, 17, 32, 21, 28, 21, 18

En çok tekrar eden 21 grubun modu140

dur.

2, 2, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 1, 3, 4, 5 Y karı a verilen gr nm te e eğeri ka tır ⇒

Müdür Sayısı

ve ardışık sayılar olduğu için, MODu → 2 + 3 = 2,5 dir. 2

10 - 18

3

19 - 27

2

28 - 36

5

37 - 45

11

46 - 54

4

4

13, 16, 17, 18 (4 er kez) 14243 Ardışık oldukları için 16 + 17 + 18 = 17 bu üçünün yerine 3 kullanılabilir. ⇒ 13 ve 17 bu grubun modu olur. EDY N T N Bir sa ı izisinin terimleri k kten ğe ve a kten k ğe ğr sıralan ığın a rta aki terim EDY N ır

Tabloda bir filmi izleyen kişilerin yaş aralığı ve sayıları verilmiştir. Buna göre, bu grubun modu (tepe eğeri ka tır

B l n i

En çok (11 kişi) tekrar eden 37 - 45 grubudur. MODu → 37 + 45 = 41 dir. 2

4

141

ii

Terim sa ısı n ve n tek ir sa ı ise, n + 1 terim me an ır 2 Terim sa ısı n ve n ift ir sa ı ise, n ve n terimlerinin aritmetik 2 2 rtalaması me an ır

İSTATİSTİK

7

4

Tabloda en çok tekrar eden değerler,

i i a ısı

1-9

2

Tabloda bir kurumdaki müdür sayısı ve bu müdürlerin her birine bağlı personel sayısı verilmiştir. B na göre, gr nm ka tır

2, üç kere ve 3, üç kere tekrarlandığı

ralığı

3

Müdüre bağlı 13 14 15 16 17 18 ersonel sayısı

2, 2, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 1, 3, 4, 5

Ya

4

B 23° 12° 17° 13° 23° 15° 24° 9° 15° 10° 18° 14°

İT ETİ

Yandaki tabloda A ve B kentlerinin bir haftalık hava sıcaklık değerleri verilmiştir.

T L

a1, a 2, , an gi i n tane sa ısının aritmetik rtalaması a1 + a2 an eklin e l n r n

21° 15°


EDY N

X

Buna göre,

Y t

lamı ka tır

⇒ A: 15 , 17 , 18 , 21 , 23 , 23 , 24 ⇒ B: 9 , 10 , 12 , 13 , 14 , 15 , 15 ⇒ 21 + 13 = 34 dür.

ukarıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin tarih dersinden almış oldukları notlar gösterilmiştir. Buna göre, erste sınıfın n t rtalaması ka tır

86, 65, 76, 82, 91, 93, 75, 101 Y karı a veri gr n n rtan a e an eğeri ka tır ⇒

Terim sayısı çift olduğundan; ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması medyandır. 65, 75, 76, 82, 86, 91, 93, 101 82 + 86 = 84 dür. 2

2 kişi 100 3 kişi 60 4 kişi 20 5 kişi 80 + 6 kişi 40

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒+

200 180 80 400 240

20 kişi toplam 1100 puan almıştır. Not Ortalaması 142

1100 = 55 dir. 20

erkezi Dağılım L

l

leri

LT

N

eriler k kten ğe ğr sıralan ığın a en k k eğer ile rtan a eğerin rtasın aki eğere LT EY E enir

Bir sa ı izisinin en k eğeri ile en k k eğeri arasın aki farka izinin a ıklığı ran ı enir ıklığın k lması g r n m en lma ığını gösterir Ya ılan test a ırt e i i ir

ii

ıklığın k k lması gr n m en l ğ n gösterir Ya ılan test a ırt e i i eğil ir

⇒

rta a iki eğer varsa, aritmetik rtalamaları alt e rektir

T

EY E

eriler k kten ğe ğr sıralan ığın a rtan a eğer ile en k eğerin rtasın aki eğere T EY E enir ⇒

21, 18, 15, 24, x, 42, 33 Y karı a verilen sa ı izisinin a ıklığı l ğ na göre, in ala ile eği eğerlerin t lamı ka tır

rta a iki eğer varsa, aritmetik rtalamaları alt e rektir

EY E LE ⇒

bu dizideki en küçük sayı olursa,

x, 15, 18, 21, 24, 33, 42 42 ⇒

35 ve

15, 18, 21, 24, 33, 42, x ⇒

35 ve

50 + 7 = 57 dir.

e rek

farkına nir

7 bulunur.

bu dizideki en büyük sayı olursa, 15

st

50 bulunur. 143

L lt

EY E LE

e rek L

de-

İSTATİSTİK

i

EY E

erileri küçükten-büyüğe doğru sırala-

Aşağıdaki veri gruplarındaki medyan, açıklık, alt çeyrek ve üst çeyrek değerlerini bulunuz. a , , , , , , , , , , , , , , ,

a

yalım; 1 En küçük değer

erileri küçükten-büyüğe doğru sırala-


yalım; 7

9

9

1

2

3

4

6

8 En büyük değer

e

an Veri grubunun ortasındaki iki değe3+4 rin aritmetik ortalamasıdır. = 3,5 dur. 2

10 11 13 14 15 16 ıklık En büyük değer

En küçük değer

4

3+4 = 3,5 2 st Alt çeyrek çeyrek Medyan (Ortanca)

Alt çeyrek

Medyan (Ortanca)

st En büyük çeyrek değer

e an eri grubunun tam ortasındaki değer 11 dir. ıklık En büyük değer

En küçük değer

En küçük değer

8 – 1 = 7 dir.

lt e rek 1 ile 3,5 sayıları arasında kalan 1 2 3 sayılarının ortancasıdır.

16 – 7 = 9 dur. st e rek 3,5 ile 8 sayıları arasında kalan lt e rek En küçük değerle medyanı ka4; 4 ; 6 sayılarının ortancasıdır. patın; kalan terimlerin ortasındaki terim alt çeyrek yani 9 olur. st e rek En büyük değerle medyanı kapatın; kalan terimlerin ortasındaki sayı üst çeyrek yani 14 olur. e rekler a ıklığı

st Çeyrek

Alt Çeyrek

14 – 9 = 5 dir. 144

e rekler a ıklığı 4 – 2 = 2 dir.

st Çeyrek

Alt Çeyrek

T

G

T ND

İ İ

T

Bir veri gr n aki eğerler gr n aritmetik rtalamasın an zak ise stan art sa ma k, aritmetik rtalama a akın ise stan art sa ma k k l r 1, 1, 5, 2, 3, 9, 2, 5, 4, 5 eri gr na ait k t grafiğini iziniz 1

1

2

2

3

4

5

5

5

tan art sa ma, k k ise, veri gr m en ağılmı tır ve İ az ır

9

r

Alt çeyrek

st En büyük 3+4 = 3,5 çeyrek değer 2

an art a ma

145

k ise veri g ağılmamı tır ve

esa lanırken

i

eri grubunun aritmetik ortalaması hesaplanır.

ii

Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.

iii

Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır.

iv

Bu toplam, veri sayısının 1 eksiği ile bölünür.

v

Bulunan değerlerin karekökü standart sapma değerini verir.

İSTATİSTİK

Medyan En küçük değer

tan art sa ma m en İ fazla ır

Örneğin;

Makine

x1, x2, ... , xn ⇒ grubu için x + x + ... + x

i

x=

ii

talama) – (x1 – ); (

1

2


T1 T1

n

(Aritmetik or-

n

– – ); ... ; ( 2 T2

2

ukarıdaki tabloda bir fabrikada üretim yapan A, B, C, D ve E makinelerinin aylara göre ürettikleri malların fire yüzdeleri verilmiştir. Buna göre, angi makine e retilen r n n fireli ıkma riski en az ır

– – ) n

T2 2

Tn

iii

T

... Tn

iv

Standart Sapma

=

2

T n −1

9, 10, 10, 11, 14, 15, 15, 15, 15, 16 veri gr n n stan art sa masını esa la ınız i)

9+10+10+11+14+15+15+15+15+16 = 13 10

ii)

(9 (15

⇒

13)2

(10

13)2

13)2

(10

13)2 + ... +

(16 - 13)2

16 + 9 + 9 + 4 + 1 + 4 + 4 + 4 + 4 + 9 = 64

Standart Sapma

A B C D E

Aylar Ocak Şubat Mart Nisan 15 14 12 15 12 10 12 10 8 5 11 4 7 7 6 8 10 6 6 6

Makineler

ritmetik Ortalama

A

14

B

11

C

7

D

7

E

7

tan art a ma 11 3 2 3 10 2 3 2

Aritmetik ortalaması en küçük olan makinenin fire riski en azdır.

64 8 = bulunur. 10 − 1 3

Aritmetik ortalamaları eşitse, standart sapması küçük olan makinenin fire riski en azdır. Doğru cevap D makinesidir. 146

T ND

T

NL

i inin am x

eri gr

Edebiyat Matematik Fizik Tarih Biyoloji

anı

n n aritmetik rtalaması

tan art sa ma x x Z= ile esa lanır S T T

ğrencinin Sınıf Standart uanı Ortalaması Sapma

Ders

anı

74 60 45 60 52

5 10 3 2 0,5

Bir öğrencinin beş dersten almış olduğu notlar, bu beş dersin ortalamaları ve standart sapmaları verilmiştir. Buna göre, öğren inin en a arılı l ğ ers angisi ir

anı ile

84 85 54 72 56

l n r

84 – 74 =2 5

puanı;

Matematik

puanı;

85 – 60 = 2,5 10

Fizik

puanı;

54 – 45 =3 3

Tarih

puanı;

72 – 60 =6 2

Biyolo i

puanı;

56 – 52 =8 0,5

puanı en yüksek olan Biyolo i bu öğrencinin en başarılı olduğu derstir.

puanı en düşük olan Edebiyat bu öğrencinin en başarısız olduğu derstir.

147

İSTATİSTİK

Edebiyat

Ali nin not ortalamasının 64 ve standart sapmanın 5 olduğu Fizik dersindeki standart puanı 1,4 dür. Buna göre, li nin fizik ersin en alığı n t ka tır ⇒

–1,4 =

⇒

57 dir.


7

x – 64 5 64 ve

12 kişilik bir grubun bir günde kaç saat çalıştıkları aşağıdaki dairesel grafikte verilmiştir.

Buna göre, veri gr nı ve m ka tır 360 30

12 kişi ise kişidir. 30°.12 = 1 dir. x= 360° Aritmetik ortalaması 48 ve standart sapması 8 olan bir sınavdan Kemal 72 almıştır. Buna göre, emal in ersteki T anı ka tır Z= T

⇒

n n me

a-

1 kişi, 5 saat 2 kişi; 7 saat 4 kişi; 10 saat 5 kişi; 8 saat

erileri küçükten - büyüğe doğru sıralayalım. 5 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 8 - 10 - 10 - 10 - 10 Medyan ⇒ 8 Mod ⇒ 8

72 – 48 = 3 bulunur. 8 10. 50

= 10.3 + 50 = 80 dir. 148

1.

2. Aşağıdaki tabloda Rize de üretilen çayların yıllara göre miktarları verilmiştir. Yıllar 2008 2010 2012 retim miktarı 42 000 48 000 36 000 (ton) B verilere g n s t n grafiği a ağıakiler en angisi ir

Buna göre, B hammadesinin ihraç miktarı t m amma elerin i ra miktarının z e ka ına e ittir A) 12

B) 15

C) 18

D) 21

TEST KODU : 21409

ukarıdaki grafikte bir fabrikanın ihraç ettiği hammaddelerin ihraç miktarları gösterilmiştir.

E) 24

İSTATİSTİK

149

3. Ekim ayının başında bir toptancının elin- 4. de 1000 paket fındık bulunmaktadır. Bu fındıkların 300 paketi ilk ay, 500 paketi ilk iki ay ve 800 paketi de ilk üç ay içinde satılıyor. Buna göre, a a ların a t tanının elin e l nan fın ık miktarını gösteren grafik a ağı akiler en angisi ir


ukarıdaki grafikte, bir araba firmasının Sedan, Hatchback ve Coupe arabalarını alan müşterilerin cinsiyetlerine göre dağılımı verilmiştir. Buna göre, m terilerin

firma an ara a alan z e ka ı ka ın ır

A) 37,5

B) 40 D) 45

150

C) 42,5 E) 47,5

5.

6.

ukarıdaki sütun grafikte, bir memurun beş günde incelediği dosya sayıları gösterilmiştir.

Buna göre, a ağı akiler en anlı tır

Buna göre, mem r n er em e g n in ele iği s a sa ısı e g n e in ele iği s a sa ısının z e ka ına e ittir

angisi

B)

rünlerin bir adetlerinin etiket fiyatları toplamı 130 T dir.

C) En yüksek k r yüzdesi tokadan elde edilmiştir. D) Bir adet kemerin satışından elde edilmiştir. E)

60 k r

rünlerden birer adet satıldığında 35 T k r elde edilir.

151

A) 60

B) 40

C) 30

D) 20

E) 10

İSTATİSTİK

A) Bir adedinin maliyet fiyatı en yüksek olan ürün çantadır.

TEST KODU : 21409

ukarıdaki grafik üç farklı ürünün bir adetlerinin maliyet ve etiket fiyatlarını göstermektedir.

ve s r ları a ağı aki ilgilere göre ir irin en ağımsız larak eva la ınız

7.

r n n kt r

A) A

B) B

ılın aki i ra atı C) C

D) D

E) E


Aşağıdaki grafiklerin birincisinde bir ülkedeki A, B, C, D ve E ürünlerinin 2010 yılındaki ihracat miktarları ikincisinde ise bu ürünlerin 2011 yılındaki ihracatının 2010 yılına göre artış ve azalış miktarları verilmiştir.

angi en

8. D

r n n n ılına göre

A) 50

152

B) 75

ılın aki i ra atı z e ka artmı tır

C) 100 D) 125 E) 150

1.

2.

Buna göre, t m ilin l l k a rtalama ızı saatte ka km ir B) 70

C) 80

D) 84

E) 96

k

reti

1 - 10 kw

8T

11 - 20 kw

12 T

21 - 30 kw

15 T

Buna göre, ailenin a lık elektrik gi eri t lam ka TL ir A) 480

B) 542 D) 715

153

C) 663 E) 827

İSTATİSTİK

A) 60

n-

llanım miktarı

TEST KODU : 21410

ukarıdaki grafikte, bir otomobilin katettiği yolun süreye göre değişimi gösterilmiştir.

ukarıdaki grafikte, bir ailenin aylık elektrik tüketim miktarları verilmiştir. Aşağıdaki tabloda ise, elektrik dağıtım firmasının ücretlendirme tarifesi verilmiştir.


3.

4.

ukarıdaki grafikte bir kutudaki topların sayısının renklere göre dağılımı verilmiştir.

ukarıdaki grafikte, bir öğrencinin 7 gün boyunca çözdüğü toplam soru sayıları gösterilmiştir.

B na göre,

Buna göre, öğren i t lam ka s r özm

II. Siyah toplar kutudaki topların sidir.

A) 1360

B) 1400 D) 1540

g n t r

n a

I. Kutuda toplam 40 top vardır. 20

III. Mavi topların sayısı, sarı topların sayısının 2 katıdır.

C) 1470 E) 1680

argıların an angileri A) alnız I

B) alnız II

D) I ve III

154

ğr

r C) I ve II

E) II ve III

5.

6.

ukarıdaki dairesel grafikte bir otobüsteki kadın ve erkek yolcuların dağılımı gösterilmiştir. steki erkek l lar ka ın llar an fazla l ğ na göre, t ste ka l var ır

A) 54

B) 52

C) 48

D) 44

E) 40

ukarıdaki grafik, bir ilin Temmuz ayının son haftasına ait sıcaklık değerlerini göstermektedir. Buna göre, Temm z a ının s n aftasın a il eki rtalama sı aklık ka ere e ir B) 29

C) 30

D) 31

7. Aşağıdaki dairesel grafikte, bir çiftlikte üretilen tavuk eti miktarının yılın ilk 5 ayındaki dağılımı gösterilmiştir. İSTATİSTİK

A) 28

TEST KODU : 21410

t

E) 32

155

Nisan a ın aki retim t n na göre, ılın ilk a ın a ka t n tav k eti retilmi tir

l ğ iftlikte

A) 27

E) 60

B) 36

C) 40

D) 48

ve s r ları a ağı aki ilgilere göre ir irin en ağımsız larak eva la ınız

8. T tan ı

mal an a et ir en alırsa ve tamamını l k aketler lin e satarsa z e ka k r el e e er


Bir toptancıya yapmış olduğu belirli sayıdaki mal alımları için özel bir fiyat listesi belirlenmiştir. Benzer şekilde toptancı da kendi belirlediği adetlerdeki mal satışları için bir fiyat listesi oluşturmuştur. Malın adetlerine göre fiyat listelerindeki birim alış ve satış fiyatları aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir.

A) 10

B) 12,5 D) 20

C) 15 E) 25

9. Toptancı bu maldan 30 adet birden alıp hepsini birden satıyor.

rneğin 400 adet birden alındığında malın birim alış fiyatı 16 T dir. 150 adet birden satıldığında ise malın birim satış fiyatı 18 T dir. Sınır değerlerindeki adetlerde, malın birim alış ve satış fiyatı düşük olan fiyattır. rneğin 500 adet birden alındığında malın birim alış fiyatı 15 T dir. 156

T tan ının ir A) 270

satı tan k rı ka B) 240

D) 120

C) 180 E) 90

TL

1. Beş sayının aritmetik ortalaması 90 dır.

3.

2, 1, 0, 2, 3, 1, 5, 1, 3, 2, 0, 1

B sa ılar an t lamları lan iki tanesi ıkarılırsa kalan sa ıların aritmetik rtalaması ka l r

ukarıdaki veriler bir futbol takımının yapmış olduğu 12 maçtaki yediği gol sayılarını göstermektedir.

A) 100 B) 110 C) 115 D) 120 E) 125

Buna göre, ğeri ka tır

gr

A) 0

C) 2

B) 1

nm

te e e-

D) 3

E) 5

40 personelin bir ay boyunca kullandıkları izin sayıları verilmiştir.

2.

G n a ısı ı aklık

12

8

6

4

15

12

18

9

ers nel a ısı i i

Buna göre, kentin Nisan a ı sı aklık rtalaması ka ir A) 13,6

B) 13,8 D) 14,2

llanılan İzin G n

7

2

9

1

12

3

4

5

8

4

Buna göre, veri gr te e eğeri ka tır

C) 14 E) 14,4

A) 1

157

B) 2

C) 3

İSTATİSTİK

ukarıdaki tabloda bir kentin Nisan ayı boyunca hava sıcaklığının gün sayılarına göre dağılımı verilmiştir.

TEST KODU : 21411

4. Aşağıdaki tabloda bir firmada çalışan

n n m

D) 4

E) 5

5.

7. Aşağıdaki tabloda bir manavın gün so-

10, 14, 12, 11, 16, 19, 18

nunda satmış olduğu meyve miktarları verilmiştir.

ukarıda bir öğrencinin yedi gün boyunca çözdüğü test sayıları verilmiştir. Buna göre, öz len test sa ılarının me an rtan a eğeri ka tır


A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

atılan

e ve

E) 19

iktar g

züm

42

Kiraz

31

İncir

22

Erik

33

Nektarin

43

Kayısı

20

Buna göre, satılan me ve miktarlarının me an rtan a eğeri ka tır A) 20

B) 31

C) 32

D) 33

E) 43

6. Aşağıdaki tabloda sınıftaki öğrencilerin Matematik sınavından aldıkları puanların dağılımı gösterilmiştir. Puan ğren i a ısı

1

2

3

4

5

2

3

3

4

5

Buna göre, veri gr me an eğeri ka tır A) 1

B) 2

C) 3

8.

n n rtan a D) 4

E) 5

5, 3, 8, 2, 6, 13, 4, 3, 11 Y karı aki sa ı izisinin a ıklığı ka tır A) 13

158

B) 11

C) 10

D) 8

E) 7

9.

11. Aşağıdaki tabloda bir hastanenin acil

15, 24, 18, , 20, 36 Y karı aki sa ı izisinin a ıklığı lğ na göre, in ala ile eği eğerler t lamı ka tır

servisine birer saat arayla gelen hasta sayıları verilmiştir.

A) 40

B verilere g n k t grafiği a ağıakiler en angisi ir

B) 43

C) 46

D) 48

E) 51

10, 12, 10, 6, 4, 13, 5

TEST KODU : 21411 İSTATİSTİK

10.

5, 7, 3, 2, 10, 18, 2, 11, 6, 15, 1 Y karı aki sa ı a ıklığı ka tır A) 8

B) 9

izisinin

C) 10

D) 11

e rekler E) 12

159

13. B kasa ın an el e e ilen veri gr

s r ları a ağı aki ilgilere göre ir irin en ağımsız larak eva la ınız

A) 28


-

n n a ıklığı ka tır B) 27

C) 26

D) 25

E) 24

ukarıdaki şekilde, A ve B kasaplarında satılan haftalık et miktarlarından oluşan veri grubunun kutu grafikleri çizilmiştir.

14. 12.

kasa ın an el e e ilen veri gr n n me anı ka tır A) 38

B) 31

C) 30

D) 25

-

E) 17

kasa ın an el e e ilen veri gr n n e rekler a ıklığı ile B kasa ınan el e e ilen veri gr n n e rekler a ıklığının t lamı ka tır A) 15

160

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

1.

A ğırlık kg

B

D

3. Ali nin 72 puan aldığı bir sınavın ortala-

E

ması 62 puandır.

41 48 45 52 44

B l

sınavın stan art sa ması , ğ na göre, li nin sınav aki stan art anı ka tır

ukarıdaki tabloda 5 kentte yapılan bir aylık organizasyon sayıları verilmiştir. Buna göre, ması ka tır 70 2

B) 15 D)

10 2

E) 2 3

B) D) 2 5

E) 2

C) 14

r ı ık e tek sa ının stan art sa ması ka tır A)

D) 2,5

2 10 5

4. Bi l i ersin eki

C) 10

E) 2 10

161

stan art anı , lan ir öğren inin ersteki T stan art anı ka tır A) 84

B) 88

C) 92

D) 94

E) 96

İSTATİSTİK

2.

5 2 2

B) 3,5 C) 3

TEST KODU : 21412

A)

A) 4

eğerlerin stan art sa -

5.

im a ersin eki T stan art anı lan ir öğren inin ersteki stan art anı ka tır A) 1,8

B) 1,5 D) 1

7. Bir otelin günlük müşteri sayılarıyla ilgi-

C) 1,2

li bir veri grubu hazırlanıyor ve bu veriler kullanılarak aşağıdaki kutu grafiği çiziliyor.

E) 0,9


B veri gr ile ilgili a ağı akiler en angisi anlı tır A) En küçük değeri 20 dir. B) Alt çeyrek değeri 60 dır. C) Ortanca değeri 120 dir. D) Çeyrekler açıklığı 80 dir. E) En büyük değeri 220 dir.

6. Kemal in, not ortalamasının 64 ve standart sapmanın 8 olduğu İngilizce sınavındaki standart puanı 1,75 dir. Buna göre, emal in İngiliz e sınavınan al ığı n t ka tır A) 50

B) 52

C) 54

D) 56

E) 57

162

9.


eneme e net a an stan art anı ka tır A) 1,6 D) 1,2

Bir dershanede, 80 soruluk 5 S-1 denemesinden elde edilen istatistiksel bilgiler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Gr n Standart a ması

1. deneme

34

4

2. deneme

45

5

3. deneme

64

6

4. deneme

48

2

5. deneme

52

1,5

8. Gir iği

t n enemeler en a an eli in en a arılı eneme angisi ir

A) 1.

B) 2.

C) 3.

D) 4.

l

E) 1,6

net ğ

10.

E) 5.

eneme eki lan atma nın ti var ır A) 55

B) 56 D) 57

163

stan art anı , eneme e ka neC) 56,5 E) 57,5

İSTATİSTİK

Gr n net rtalamaları

C) 1

TEST KODU : 21412

Denemeler

B) 1,2

e nin

12.


ıl aki anketteki l ml eva ların rtalaması l ğ na göre, anketin stan art sa ması ka tır A) 5

Bir fabrika, çalışanlarının iş performanslarını izlemek amacıyla 100 er maddelik üç memnuniyet anketini üç yıl boyunca uygulamıştır.

B) 6

C) 6,5

D) 7

E) 7,5


ağı aki ta l a, eren in anketler eki l ml eva sa ıları ve T stan art anları verilmi tir ıl l ml

eva

T tan art

11.

a ısı anı

ıl

ıl

84

82

78

62

66

65

ıl aki anketin stan art sa ması l ğ na göre, anketteki l ml eva ların rtalaması ka tır A) 80

B) 78

C) 76

D) 74

13.

E) 72

ıl aki anketin stan art sa ması l ğ na göre, anketteki s r a l ml eva veren Nevin in T stan art anı ka tır A) 25

164

B) 30

C) 35

D) 40

E) 45

cevap anahtarı 21201 - PERMÜTASYON 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

B

C

D

E

E

C

B

E

C

A

B

E

A

B

C

21202 - PERMÜTASYON 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

E

A

B

B

D

B

C

E

C

E

E

B

D

A

D


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

E

B

D

C

D

E

E

D

D

B?

B

E

D

D

B

CEVAP ANAHTARI

1.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

A

B

C

D

E

B

E

E

C

B

C

A

D

E

A

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

B

C

B

C

A

D

E

E

D

A

D

C

D

A

D


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

B

D

E

D

C

E

B

E

B

D

B

C

B

C

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

E

D

A

D

B

A

D

A


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

E

D

A

C

D

B

A

A 165

OLASILIK

21205 - PERMÜTASYON


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

D

E

A

B

E

D

A

C

B

B

B

B

D

E

C

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

C

D

D

C

C

A

C

B

C

E

D

C

D

E

B

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

C

E

A

E

B

D

D

B

D

A

D

E

C

B

B

BİN


BİN

BİN

Y N

Y N

Y N

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

D

A

C

B

D

E

C

E

C

B

A

B

A

A

D

BİN

Y N

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

D

C

A

A

B

B

B

E

C

D

B

A

A

C

D

BİN

Y N

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

A

E

D

D

B

A

A

C

E

C

B

C

D

D

C

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

A

E

D

D

D

C

E

D

A

C

A

E

E

A

E

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

E

B

A

C

C

C

A

B

B

C

D

B

C

B

A

C

BİN

BİN

166

BİN

Y N

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

E

A

E

B

B

A

A

B

C

D

D

C

C

E

D

A

21401 - OLASILIK 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

D

E

E

A

B

C

E

C

E

B

B

D

A

D

A

C

21402 - OLASILIK 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

E

A

B

A

C

D

E

C

A

D

A

D

A

C

E

B

21403 - OLASILIK 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

C

A

D

B

D

D

A

A

A

B

D

C

B

E

C

CEVAP ANAHTARI

1.

21404 - OLASILIK 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

D

A

C

A

A

D

E

E

A

E

D

B

E

D

A

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A

E

C

D

A

D

E

C

A

C

B

E

B

C

D

B

21406 - OLASILIK 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

B

E

D

C

A

C

A

B

D

E

A

D

D

C

C

A

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

C

B

C

E

C

B

B

C

21407 - OLASILIK 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

C

B

C

E

B

B

B

D 167

OLASILIK

21405 - OLASILIK

21408 - OLASILIK 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

B

E

D

B

C

B

C

A

B

C

A

E

C

C

İ T Tİ Tİ 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

B

C

C

C

E

D

E

E

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

B

C

E

D

D

A

C

B

D

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

E

C

B

C

B

D

C

B

E

A

A

D

B

E


İ T Tİ Tİ

İ T Tİ Tİ

İ T Tİ Tİ 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

A

C

A

C

E

A

D

E

A

E

B

E

A

168

Permütasyon & Kombinasyon & Olasılık & İstatistik

Recommend Documents