Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace
ˆ= Kita Kita suda sudah h meng menget etah ahui ui meda medan n list listri rik k seba sebaga gaii grad gradie ien n dari dari pote potens nsia ial: l: E
∇. E = r
Demi Demiki kian an juga juga Huku Hukum m Gaus Gauss s dalam dalam bent bentuk uk dife difere rens nsia ial: l: Jadi:
∇. (− ∇V ) =
ε o
→ ∇ 2V = −
ρ ε o
ρ
−∇V
ε o
Ini disebut persamaan Poisson
Jika tidak ada muatan dan permitivitasnya serba sama atau ρ=0, =0, mak maka a per per samaan Poisson Poisson berubah berubah menjadi: menjadi: Ini dis disebut ebut persamaan 2 V 0 Laplace
∇
=
∇ × E = 0 r
Kita ita sudah udah meng mengen enal al juga uga sifa sifatt dari dari kons onserv ervati atif medan edan lis listrik trik:: Maka:
∇ × (− ∇V ) = 0 →
Sebe Sebena narn rnya ya,, seca secara ra vekt vektor or sela selalu lu berl berlak aku u sifa sifatt curl curl dari gradie gradient= nt=0: 0: ∇ × ∇f = 0
31
Contoh 01: Persamaan Laplace dalam koordinat Cartesian Pada bidang (x,y), potensial di y=0 adalah 100 volt, sedangkan di x=0, x=10 cm dan y=∞, potensial 0 volt. Tentukanlah Tentukanlah potensial di daerah 00 y
∂ 2V ∂ 2V 2 ∇ V = 0 → 2 + 2 = 0 ∂ x ∂ y Pemis Pemisaha ahan n variab variabel, el, misalk misalkan an V(x,y) V(x,y)=A( =A(x) x) B(y) B(y)
∂ A ∂ B + =0 B A ∂ x 2 ∂ y 2 2
2
Bagi dengan AB:
V=0
V=0 10 cm
∂ 2 A 1 ∂ 2 B + =0 2 2 A ∂ x B ∂ y 1
∂ 2 A 1 ∂ 2 B 2 = − = konstanta = − ; k 2 2 A ∂ x B ∂ y 1
V=0
x V=100 volt
k ≥ 0
∂ 2 A ∂ 2 A 2 2 = −k A → 2 + k A = 0 → A = sin kx atau cos kx 2 ∂ x ∂ x ∂ 2 B 2 ∂ 2 B 2 −ky ky 0 atau k B k B B e e = → − = → = ∂ y 2 ∂ y 2
32
⎧e ky sin kx ⎪ − ky e sin kx ⎪ V ( x , y ) = ⎨ ky e ⎪ cos kx ⎪e − ky cos kx ⎩ Gunakan syarat batas untuk menentukan V(x,y) yang betul.
y → ∞, V = 0 → e ky x = 0 → V = 0 → cos kx Solusi sementara: V ( x , y )
}
tak bisa dipakai.
= e − ky sin kx
x = 10 → V = 0 → sin 10k = 0 → k =
V ( x , y )
nπ
10
, n = 1,2,....
= e − nπ y / 10 sin( n π x / 10 )
33
V ( x , y )
= e − nπ y / 10 sin( n π x / 10 )
y = 0 → V = 100 Ini tak dapat dipenuhi oleh persamaan di atas. Jadi, harus diambil kombinasi liniernya: ∞
V ( x , y )
= ∑ bn e − nπ y / 10 sin( n π x / 10 ) n =1
Dengan
y = 0 → V = 100
V ( x ,0 ) =
∞
∑b
n
sin( n π x / 10 ) = 100
n =1
Tentukan bn 34
Deret Fourier untuk sinus:
bn
=
2 L
L
∫
f ( x ) sin kx dx
0
=
2 10
10
∫
100 sin
0
⎛ n π x ⎞ ⎜ ⎟ 10 ⎝ ⎠
dx
10
10 ⎡ ⎛ n π x ⎞ ⎤ = − 200 [( − 1) n − 1] = 20 × − cos ⎜ ⎟⎥ ⎢ 10 n π ⎣ n π ⎝ ⎠ ⎦ 0 ⎧ 400 utk n ganjil ⎪ = ⎨ n π ⎪⎩ 0 utk n genap
V ( x , y ) =
∞
400
∑ nπ
e−
n π y / 10
sin( n π x / 10 )
Utk n ganjil
n =1
=
400 π
[e −
π y / 10
sin( π x / 10 ) +
1
− e 2
2 π y / 10
sin( 2π x / 10 ) + .......
] 35
(a) n=1 (b) n=5 (c) Jumlah hingga n=10 (d) Jumlah hingga n=100
0
5
10
x
36
Contoh 02: Persamaan Laplace dalam koordinat silinder. Suatu silinder berjari r=1 cm, memanjang pada sumbu-z. Potensial di dasarnya V=100 volt; di dinding dan ujung lainnya (z→∞) V= 0 volt. Tentukanlah potensial di dalam silinder.
V ≡ V (r ,θ , z )
∂ ⎛ ∂V ⎞ 1 ∂ 2V ∂ 2V ∇ V = 0 → + =0 ⎜ r ⎟ + r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂θ 2 ∂ z 2 1
2
V=0
Pemisahan variabel, misalkan V(r,θ,z)=R(r) Θ(θ)Z(z)
1 d Θ Z r dr
⎛ r dR ⎞ + RZ 1 ⎜ ⎟ dr r 2 ⎝ ⎠
d
2
Θ
d θ 2
+ R Θ
2
d Z dz
2
Rr
⎛ r dR ⎞ + 1 ⎜ ⎟ dr ⎝ dr ⎠ Θ r 2 d
y x
Bagi dengan RΘZ:
1
=0
d 2 Θ d θ 2
V=100 volt
∂ 2 Z + =0 2 Z ∂ z Tdk tercampur dg lainnya. 37
d 2 Z Zdz
2
= k 2 →
d 2 Z dz
2
kz ⎧ e ⎪ − Zk 2 = 0 → Z = ⎨ −kz ⎪⎩e
Sarat batas z→∞, V=0→ pilih Z
=
e
k ≥ 0
− kz
∂ ⎛ ∂ R ⎞ 1 ∂ 2Θ 2 ∴ + =0 k ⎜ r ⎟ + 2 2 Rr ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ Θ r ∂ θ 2 r ∂ ⎛ ∂ R ⎞ 1 ∂ Θ 2 2 + k r = 0 ⎜ r ⎟ + 2 R ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ Θ ∂ θ Tdk tercampur dg lainnya. 1
⎧sin n θ ∂ 2Θ ∂ 2Θ 2 2 0 = −n → 2 + n Θ = → Θ = ⎨ Θ ∂θ 2 ∂θ ⎩cos n θ 1
Gunakan syarat batas untuk:
n=bil bulat
⎧sin nθ Θ=⎨ ⎩cos nθ
Kalau silinder diputar terhadap sb-z, tidak akan mengubah potensial; maka solusi ini tak bergantung pada sudut θ, dan boleh diambil n = 0 → Θ = 1 38
∂ ⎛ ∂ R ⎞ 2 2 2 ∴ ⎜ r ⎟ − n + k r = 0 R ∂r ⎝ ∂r ⎠ r
∂ ⎛ ∂ R ⎞ ∴ r ⎜ r ⎟ + (k 2 r 2 − n 2 )R = 0 ∂r ⎝ ∂r ⎠ Ini adalah persamaan Bessel; solusinya adalah J n(kr) dan Nn(kr). Karena dasar silinder di pusat koordinat, maka dipilih J n(kr) sedangkan Nn(kr) tak bisa dipakai karena titik pusatnya di ∞. Jadi ∞
(−1)
⎛ kr ⎞ ⎜ ⎟ ∑ p =1 Γ ( p + 1) Γ ( p + n + 1) ⎝ 2 ⎠ r = 1 → V = 0 atau R = 0 → J 0 (k ) = 0
R (r ) = J n (kr ) =
Misalkan harga k=km, m=1,2,3,…..
p
2 p + n
Γ ( n ) = ( n − 1)!
J 0 (k m ) = 0
Jadi, ada banyak solusi; oleh sebab itu V adalah superposisi: 39
V =
Solusi:
∞
∑
cm J 0 (k m r ) e
− k m z
m =1
∞
Untuk z=0, V=100
→ V = ∑ cm J 0 (k m r ) = 100 m =1
Kalikan dengan rJ0(k jr), j=1,2,3… lalu integral suku per suku antara 0 dan 1 1
∞
1
∑ c ∫ rJ (k r ) J (k r )dr = ∫100 rJ (k r ) dr 0
j
m =1
j
0
0
m
0
j
0
Sifat ortogonal 1
∫ [
]
c j r J 0 ( k j r ) dr = 100 0
2
1
∫ rJ
0
( k j r ) dr
0
40
Setiap harga j memberikan satu harga koefisien c j. Jadi j boleh diganti dengan m. 1
∫ r [ J ( k r ) ] dr = 2
0
m
1
2
2 1
J
Sifat fungsi Bessel
(k m )
0
xJ 0 ( x ) =
d dx
[ xJ 1 ( x ) ] → k m rJ 0 ( k m r ) =
1
∫
rJ 0 (k m r ) dr =
0
1
2 J 1 (k m )c m
V =
2
=
100 k m
1 k m
J 1 (k m ) → cm
∞
∑
1
rJ 1 (k m r ) 0
cm J 0 (k m r ) e
− k m z
m =1
= =
1 k m
1 d k m dr
[k m rJ 1 ( k m r )]
J 1 ( k m )
200 k m J 1 (k m ) ∞
= 200∑
m =1
J 0 (k m r ) k m J 1 (k m )
e
− k m z
km diperoleh dari Jo(km)=0 J0 dan J1 dapat dilihat dalam tabel fungsi Bessel.
41
Contoh 03: Persamaan Laplace dalam koordinat bola
Misalkan V tidak bergantung sudut azimut φ z
θ
Tidak tercampur
r
φ
y
x
42
Pl adalah polinomial Legendre:
43
Solusi umum:
Ini masih memerlukan syarat batas untuk r dan θ. Misalkan V( ) tertentu di permukaan bola berlubang, berjari-jari R. Tentukanlah potensial dalam bola. Untuk itu Bl = 0 untuk semua l. Jadi Di r=R (kulit):
V ( R,θ ) =
∞
∑
Al R l Pl (cosθ ) = V 0 (θ )
l =0
44
=
π
∞
∑ A R ∫ P (cos θ )P (cos θ ) sin θ d θ l
l'
l
l=0
l
0
Sifat polinom Legendre:
2
=
Jadi
A l
=
2l
2 l '+ 1
A l ' R
l'
+ 1 π
2 R
l
∫ V (θ ) P (cos θ ) sin θ d θ 0
0
l
45
Misalkan:
A l
=
k= konstanta
2l
+ 1 π
2 R
l
∫ V (θ ) P (cos θ ) sin θ d θ 0
l
0
Bagaimana potensial di l uar bola? Al=0
46
r=R:
Kalikan dengan
lalu diintegral =
Jadi:
B0 V (r ,θ ) =
= 1 4 Rk ; B0 r
B1
= − 3 4 R 2 k
P0 (cosθ ) +
B1 2
r
P1 (cosθ ) =
Rk r
−
3 R 2 k 2
4r
cosθ 47
Contoh 04: Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatan uniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola. Persamaan Poisson:
∇ 2V = −
ρ ε o
∇ 2V =
R
Karena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial bersimetri bola:
1 d ⎛ 2 dV ⎞ ρ (r ) r = − ⎜ ⎟ r 2 dr ⎝ dr ⎠ ε o
1 d ⎛ 2 dV ⎞ ⎜ r ⎟ = 0 → V o (r ) = Ao Di luar bola ρ=0: 2 r dr ⎝ dr ⎠ 2
Di dalam bola:
ρ r d ⎛ 2 dV ⎞ ⎜ r ⎟=− dr ⎝ dr ⎠ ε o
Andaikan syarat batas: r → ∞, V o
V 0 (r ) =
→ V i (r ) = Ai +
→0
+
Bo r
Bi r
−
ρ r 2
6ε o
sehingga A0=0
Bo r
48
Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0.
V i (r ) = Ai
−
ρ r 2 ε o
V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)
Ai
−
ρ R 2
6ε o
V i (r ) =
Bo
= +
B o R
ρ ( R 2
→ Ai =
B o R
+
ρ R 2
V 0 (r ) =
Bo r
6ε o
− r 2 )
R 6ε o Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola harus sama:
⎛ − ∂V 0 ⎞ = ⎛ − ∂V i ⎞ → Bo = ρ R → B = ρ R 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ o 2 ∂ ∂ 3ε o r r ⎝ ⎠ r = R ⎝ ⎠ r = R R 3ε o Vi(r)
Akhirnya:
V o (r ) =
ρ R 3
3ε o r
;
V i (r ) =
ρ (3 R 2
− r 2 )
6ε o
Vo(r) 0
R
r
49
Metoda Bayangan Tinjau muatan +q di sumbu-z sejauh d dari plat logam yang dibumikan (V=0). Bagaimana menentukan potensial di atas plat. Potensial tak bisa ditentukan hanya dengan muatan q saja, tetapi juga dengan muatan negatif yang terinduksi pada plat itu. Masalahnya, berapa besar dan agaimana distribusi muatan terinduksi itu. Yang jelas berlaku: z
V = 0 di z = 0, V → 0 di titik yang jauh dari q, x
2
+ y + z >> d 2
2
2
Secara matematik, persoalan di atas dipandang sebagai berikut. Lupakan plat, dan misalkan V=0 di z=0 dengan mengandaikan ada muatan -q di z=-d. Potensial di suatau titik adalah
+q d -d
z=0, V=0 -q
V = 0 di z = 0, V → 0 jika x 2
+ y 2 + z 2 >> d 2
50
Misalkan
σ
adalah rapat muatan induksi
Jadi, dengan metoda bayangan dapat ditentukan rapat muatan pada plat logam.
51
Contoh berikutnya 05: Suatu muatan q ditempatkan sejauh a dari pusat bola logam berjari-jari R yang dibumikan. Tentukan potensial di luar bola.
Sementara lupakan bola, dan misalkan ada muatan q’ sejauh b (
Agar V=0, misalkan q’= -αq
52
Dengan rumus cosinus, maka
⎡ V (r ,θ ) = ⎢ 4πε o ⎣ 1
⎤ − 2 2 ⎥ 2 2 r + a − 2ra cosθ r + b − 2rb cosθ ⎦ α q
q
Agar V=0 jika r=R (dipermukaan bola).
R
2
+ a − 2 Ra cosθ = 2
b=
R
2
a
; α =
⎡ ⎢ V (r ,θ ) = 4πε o ⎢ ⎣ 1
R a
R
2
+ b 2 − 2 Rb cosθ
→ q' = −
α 2 R a
q
⎤ ⎥ − 2 2 2 2 r + a − 2ra cosθ R + (ra / R ) − 2ra cosθ ⎥⎦ q
q
53
Misalkan
σ
adalah rapat muatan induksi
σ = −ε o
∂V ∂ r r = R
2 ⎤ (r − a cosθ ) ∂V q ⎡ r (a / R ) − a cosθ = − ⎢− 2 2 + σ = −ε o ⎥ ∂ r r = R 4π ⎢ (r + a − 2ra cosθ )3 / 2 ( R 2 + (ra / R )2 − 2ra cosθ )3 / 2 ⎥ ⎣ ⎦ r = R 2 q a / R − R ) ( =− 4π ( R 2 + a 2 − 2 Ra cosθ )3 / 2 q a 2 / R 2 − 1) ( =− 3/ 2 4π R 2 ⎡ a ⎤ 2 ⎢⎣1 + (a / R ) − 2 R cosθ ⎥⎦
54