BAB I PENDAHULUAN I.
Sebuah hubungan antara dua perubah x dan y dan turunan-turunan dari y ke x, yang berbentuk
dy d 2 y d n y f(x, y, , 2 ,..... ) 0 n dx dx dx disebut persamaan diferensial antara perubah x dan dan y. Jika turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke-n, maka persamaan diferensial disebut berordo n. Jika persamaan diferensial itu bulat dan rasional dalam turunan-turunan dari y ke x, maka tingkat tertinggi yang terdapat dalam turunan tertinggi disebut derajat persamaan diferensial. Contoh : 1) xy (
dx dy
)5 – 2xy2 (
dy dx
)6 + y2 (
dx dy
)3 – (
d 2 y dx
2
)2 – 4x = 0
adalah persamaan diferensial ordo 2 derajat dua. 2) (
d 3 y 3
)4 – 2xy2 (
dy
)6 + x3
d 2 y 2
= 0
dx dx dx adalah persamaan direfensial ordo tiga derajat empat. Jika dalam suatu persamaan diferensal terdapat tiga perubah x, y, z dan turunan-turunan parsial dari z ke x dan z ke y, maka persamaan diferensial disebut persamaan diferensial parsial. parsial. dz dz d 2 z d 2 z d 2 z F(x,y,z, , , 2, 2, ,...) 0 dx dy dx dx dxdy
1
Jika dalam suatu persamaan diferensial hanya terdapat dua perubah dan , dan turunan-turunan dari ke , maka persamaan diferensial disebut persamaan deferensial biasa. biasa.
II.
Kesamaan Diferensial suatu berkas kurva Jika C suatu parameter, maka persamaan grafiknya berupa suatu berkas kurva. Misalnya : 2
(,,) = 0 1) + – = 0 menyatakan berkas lingkaran berpusat dititik asal 0. 2) – 2 = 0 menyatakan berkas parabola yang sumbu simetrinya adalah sumbu . (, ,) , ) = 0 Jika kedua rumus persamaan (, f f dy diturunkan ke , didapat . = 0, yang pada x y dx umumnya masih memuat parameter C. Jika parameter C dihilangkan dari persamaan ini dan persamaan , maka persamaan hasil berbentuk
(, (, ,) , ) = 0 ,, = 0, yang disebut persamaan diferensial berkas
kurva itu. Ternyata bahwa suatu berkas kurva yang memuat satu parameter C, persamaan diferensialnya berordo satu. Contoh : Tentukan persamaan diferensial berkas parabola
= 2, jika suatu parameter.
Jawab : Jika kedua ruas persamaan
, diperoleh 2 = 2.
= 2 diturunkan ke
2
Jika parameter p dihilangkan, didapat 2x
dy dx
y2 =
2xy
dy dx
atau y =
, yaitu persamaan diferensial yang diminta.
Diketahui berkas kurva f (x, y, c1, c 2) = 0 dengan dua buah parameter C1 dan C2. Bagaimana cara menentukan persamaan diferensialnya ? Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat
f f dy . x y dx
= 0,
yang pada umumnya memuat parameter C1 dan C2. Dengan menurunkan sekali lagi ke x, kita peroleh
2 f 2 f dy 2 f dy f d 2 y 2 . 2 ( ) . 2 0. 2 x x y dx y dx y y Jika parameter C1 dan C2 dihilangkan dari ketiga persamaan
dy d 2 y itu, maka persamaan hasil berbentuk F (x, y, , 2 )0 dx dx Ternyata bahwa suatu berkas kurva yang memuat dua parameter C1 dan C2, persamaan diferensialnya berordo dua. Pada umumnya : suatu berkas kurva yang memuat n buah parameter, persamaan diferensialnya berordo n. n. Contoh : Tentukan persamaan diferensial berkas parabola y2 = 2px + q, jika p dan q adalah parameter. Jawab : Jika kedua ruas y2 = 2px + q diturunkan ke x, didapat 2y
dy dx
= 2p.
Jika diturunkan sekali lagi ke x, didapat 2 (
dy dx
)
2
2 y
d 2 y dx
2
= 0.
3
Karena persamaan terakhir ini tidak memuat p dan q maka jika p dan q dihilangkan dari ketiga persamaan itu, persamaan hasil adalah (
dy
)2 + y =
dx diferensial yang diminta. III.
d 2 y dx
2
= 0, yaitu persamaan
Penyelesaian suatu persamaan diferensial Persamaan diferensial suatu berkas kurva dapat diperoleh dengan menurunkan kedua ruas persamaan berkas kurva itu, dan menghilangkan parameter. Sebaliknya bila diketahui suatu persamaan diferensial, maka dapat ditanyakan persamaan berkas kurva mula-mula, yang disebut persamaan pokok. Persamaan pokok pokok dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan diferensial yang diketahui. Menentukan persamaan pokok disebut menyelesaikan persamaan diferensial. Dalam penyelesaian umum suatu persamaan diferensial ordo n, terdapat n buah paramater. Jika parameter – parameter itu diberi nilai tertentu, maka diperoleh penyelesaian khusus (penyelesaian partikuler) persamaan diferensial itu . Contoh : Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial x + y
dy dx
= 0.
Tentukan pula penyelesaian khusus, yang memenuhi syarat : untuk x = 2
dy dx
= 1.
Jawab : x+y
dy dx
= 0 x dx + y dy = 0. 4
Jika kedua ruas diintegrasikan didapat x dx + y dy = C1 atau ½ x2 + ½ y2 = C1. Penyelesaian umum : X2 + Y2 = C, yang menyatakan berkas lingkaran berpusat di titik asal 0. Jika dalam dalam persamaan x + y
dy dx
= 0 dimasukkan x = 2,
dy dx
1, maka y = -2. Jika dalam persamaan x2 + y2 = C dimasukkan x = 2, y = -2, maka C = 8. Penyelesaian khusus : x2 + y2 = 8, yang menyatakan lingkaran berpusat 0, berjari-jari 2V2.
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATU 5
=
Dalam persamaan diferensial ordo satu derajat satu F (x, y,
dy dx
) = 0, setiap pasang nilai x dan y menentukan satu nilai
dy dx
.
Dalam geometri berarti bahwa persamaan itu pada setiap titik P (x, y) pada bidang koordinat menentukan satu arah
dy dx
.
Menyelesaikan persamaan diferensail itu berarti menentukan kurva pada bidang koordinat yang gradien singgung disetiap titiknya memenuhi persamaan yang diketahui. Bentuk umum persamaan diferensial ordo satu derajat satu ialah f (x, y)
dy
+ (x, y) = 0 atau f (x, y) dy + (x, y) dx = 0.
dx Dalam beberapa diselesaikan. I.
kejadian
khusus,
persamaan
ini
mudah
Persamaan diferensial dengan peubah terpisah Persamaan yang dapat diubah ke dalam bentuk f (x) dx + (y) dy = 0, yaitu koefisien dx merupakan fungsi x saja dan koefisien dy merupakan fungsi y saja, disebut persamaan diferensial dengan perubah terpisah. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengintegrasikan kedua ruas, sehingga diperoleh f (x) dx + (y) dy = C. Contoh 1 Selesaikan persamaan diferensial x (y2 – 1) dx – y (x2 -1) dy = 0
Jawab :
6
Persamaan diubah menjadi
x x
2
1
dx
− 1 − − 1 = 1 ln( −1 1 1 ln 2 − 1) − 2 ln( − 1) = 2 ln atau
x 2 1
y
2
1
y y
2
1
dy= 0
= C
Penyelesaian umum : x2 – 1 = C (y2 – 1) Contoh 2 Selesaikan x
dy dx
+ (2x2 -1) cotg y = 0.
Jawab : Persamaan diubah menjadi
2 x 2 1 x
dx + tg y dy = 0
si s i n 2 − − + cos = 0 −l −ln − ln cos = ln ln ln = lnln + ln cos + ln ln ln = ln(cos) cos Penyelesaian umum : = Soal-soal Selesaikan persamaan diferensial 1.
1 y 2 dx + 1 x 2 dy = 0
2. (x2 – x) dy = (y2 + y) dx
7
3. 2xy (x + 1) 4.
dy dx
dy dx
= y2 + 1
+ (1 – y2) tg x = 0
5. x (1 – x2) dx = (x2 – x + 1) y dx II.
Persamaan diferensial homogen Persamaan berbentuk f(
y x
) dx +
(
y x
) dy = 0 disebut
persamaan diferensial homogen. Persamaan itu dapat diselesaikan dengan substitusi u =
y x
atau y = ux, jadi dy = u dx + x du. Persamaan menjadi f (u) dx + (u) . (udx + x du) = 0 atau [f(u) + u. (u)] dx + x . (u) du = 0 atau
dx x
(u ) f (u ) u. (u )
du = 0, yaitu persamaan diferensial dengan persamaan terpisah. Contoh 3. Selesaikan (x – u) dx + x du = 0 Jawab : Persamaan diubah menjadi (1 -
u x
) dx + du = 0, yaitu
persamaan diferensial homogen. Substitusi v =
u x
atau u = vx . du = v dx + x dv
Persamaan menjadi : (1 – v) dx + v dx + x dv = 0
8
dx
dx + x dv = 0.
dx x
x
+ dv = 0
+ dv = In C, In x + In e v = In C
xev = C . Penyelesaian umum x eu/x = C Contoh 4
dy
Selesaikan x
= y – x cos 2
dx
y x
Jawab : Persamaan diubah menjadi
y
x dy = (y – x cos2 dy = (
y x
x
- cos2
y
Substitusi u =
x
y x
) dx ) dx = 0
atau y = ux
Persamaan menjadi u dx + x du = (u – cos2 u) dx = 0 x du +
dx x
cos2 u
+
dx = 0,
du 2
cos u
dx x
+
du 2
cos u
= 0
= In C, In x + tg u + In C, In x + In e
tg u =
In
C, x e tg u = C. Penyelesaian umum : x e rg y/x = C.
9
SOAL-SOAL Selesaikan persamaan diferensial
III.
dy
1.
(2y e y/x – x)
2.
(x2 – 2xy – y )
3.
x (x2 – 6 y2) dy = 4y (x2 + 3y2) dx
4.
y–x
5.
(x + y)
dy
dx dy 2
dx
dx
= x2 + 2 xy – y2
x 2 y 2
=
dx dy 2
+ 2x + y = 0
= x2 – 2xy + 5y2
Persamaan Diferensial berbentuk (ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 Persamaan ini dapat dijadikan homogen, dengan substitusi u = ax + by + c, v = px + qy + r du = a dx + b dy, dv = p dx + q dy Dengan aturan Cramer didapat
dx
q du b dv aq bp
, dy
a dv p du aq bp
Persamaan menjadi : u ( q du – b dv) + v (a dv – p du) = 0 (qu – pv) du + (av – bu) dv = 0 (q – p,
v u
) du + (a.
v u
- b) dv = 0
yaitu persamaan diferensial homogen.
10
Contoh 5 Selesaikan persamaan diferensial
dy dx
=
4 x y 7 2 x y 1
Jawab : Persamaan diubah menjadi (4x – y + 7) dx – (2x + y – 1) dy = 0 Substitusi u = 4x – y + 7, v = 2x + y – 1 Maka du = 4 dx – dy, dv = 2 dx + dy
1
Jadi dx =
6
(du + dv), dy =
1 6
(4 dv – 2 du)
Persamaan menjadi U (du + dv) – v(4 dv – 2 du) = atau (u + 2v) du + (u-4v) dv = 0 (1 +
2v u
) dv = 0
Substitusi t =
v u
atau v = tu, dv = t du + u dt
Persamaan menjadi (1 + 2t) du + (1 – 4t) (t du + u dt) = 0 (1 + 3t – 4t2) du + u (1 – 4t) 4 t) dt = 0
du u
4t 1 2
4t
3 t 1
dt = 0,
du d
8
3
5 dt 5 dt = 0 4t 1 t 1
8 3 + 5 4 + 1 + 5 − 1 = 0 In u +
2
5
In (4t + 1) +
3 5
In (t – 1) = ln C 1
5 In u + 2 In (4t + 1) + 3 In (t-1) = In C 2 u5 (4t + 1)2 (t-1)3 = C2
12 x 3 y 3 (4x – y + 7)5 . 4 x y 7
2
2 x 2 y 8 . 4 x y 7
3
= C2
11
Penyelesaian umum : (4x + y + 1)2 (-x + y – 4)3 = C Kejadian khusus : 1) Jika aq – bp = 0 atau memisalkan
p a
q b
p a
q
r
b
c
, maka dengan
= m, persamaan menjadi (ax + by +
c) dx + [ m (ax + by) + r] dy = 0 Dengan substitusi u = ax + by, persamaan menjadi (u + C) dx + (mu + r) dy = 0.
du adx b
= 0 yaitu persamaan diferensial dengan
perubah terpisah.
2) Jika
p a
q
r
b
c
(=m), maka persamaan dapat ditulis (ax
+ by + c) dx + m (ax + by + c) dy = 0 atau dx + m dy = 0 Penyelesaian umum : x my = C Perhatikan contoh berikut ini. Contoh 6 Selesaikan (2x - 4y + 5) dy + (x -2y + 3) dx = 0 Jawab : [2(x – 2y) + 5] dy + (x – 2y + 3) dx = 0 Misalkan u = x – 2y, du = dx – 2 dy, maka (2u + 5) dy + (u + 3) (du + 2 dy) = 0 (4u + 11) dy + (u + 3) du = 0 dy +
1 1 du = 0 du 0, dy 4u 11 4 4 (4u 11 u3
12
1
1
du
dy 4 du 4 4u 11 0 y+
1 4
u
1 16
In (4u + 11 = C1
Penyelesaian rumus : Y+
1 4
( x 2 y )
1 16
In (4x – 8y + 11) = C1
SOAL-SOAL Selesaikan persamaan diferensial 1. (x – 5y + 5) dy + (5 = y + 1) dy = 0 2.
(3y –x)
dy dx
= 3x – y + 4
3. (4x + 2y – 1) dx = (2x + y + 2) dy 4. (3x – y + 1) dx = (-6x + 2y – 2) dy IV. Persamaan Diferensial Linier Suatu persamaan direfensial disebut linier, jika persamaan itu berderajat satu dalam
dy dx
dan y, jadi berbentuk
f (x) . dy + (x) . y = (x) dx
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan dua cara yaitu : a) Cara Bernoulli b) Cara Lagrange (cara variasi parameter) c) Cara Bernoulli
13
Dengan substitusi y = u x v, maka
dy dx
= u
dv dx
+ v
du dx
Persamaan menjadi
u
dv
v
du
+ uv . (x) = (x) atau dx dx f ( x) dv v . ( x) + v.f (x) du = (x) dx dx
f(x) u
Karena y dimisalkan dimisalkan sebagai sebagai hasil kali dua perubah baru u dan v, maka antara u dan v (sebagai (sebagai fungsi x) boleh diambil sebarang hubungan lagi. Hubungan ini dapat dipilih sehingga f(x)
dy dx
( x )
In v +
dv
+ v. (x) = 0,
f ( x )
v
( x )
dx = 0
f ( x )
dx = In C, jadi v = Ce -
( x )
f ( x) dx
Terdapat tak hingga banyak nilai v sebagai fungsi x yang memenuhi. Jika diambil C = 1, maka : V = Ce -
( x )
f ( x) dx
Untuk nilai v ini, persamaan menjadi -
( x )
f ( x)
du dx u=
=
dx . f(x)
( x ) f ( xc )
( x )
.e
du dx
= (x) atau
( x )
f ( x) dx , jadi
( x )
f ( x) f ( x) dx + c .e
14
Dengan memasukkan nilai u dan v ini dalam y = u x v, diperoleh penyelesaian persamaan diferensial linier itu. Perhatikan contoh berikut ini. Contoh 7 Selesaikan x (1 –
dy
x2)
dx
+ (2x2 -1) y = ax3
Jawab : Misalkan y = uv, maka
dy dx
= u
dv dx
v
du dx
Persamaan menjadi X(a-x2) (u
dv dx
u x (1 x 2 )
v
du dx
) _ (2x2 -1) uv = ax3 atau
du v (2 x 2 1) + x (1 – x2 v = ax3 dx dx dv
Hubungan antara u dan v (sebagai fungsi x) dipilih sehingga. x(1 –
x2)
dv dx
+ v (2x2 – 1) = 0 atau
1 dv v
2 x 2
+
1
x (1 x 2 )
dx = 0,
dv v
+ (-
1 2
+
1
2 2 ) dx 1 x 1 x
=0
dv
v
v = Cx
dx x
1
dx
2 1 x
1 2
ln(1 + x) = ln C atau
1 x 2 x 1 x 2 (C diambil 1)
15
Persamaan diferensial menjadi X(a –
a x
x2
du
2
dx
=
ax3,
ax dx
du =
(a x 2 ) a x 2
atau u=a
x2) =
x dx
(a x
2
a a x
2
) 1 x
2
= -
1 2
a
(a x ) 2
3 / 2
d(1 –
+ C
Penyelesaian umum y = uv = ax + Cx
a x 2
a) Cara Lagrange (Cara variasi parameter) Untuk menyelesaikan persamaan diferensial f(x)
dy dx
+
(x) . y = (x), diselesaikan lebih dulu persamaan teredusir f(x)
dy dx
+
(x) . y = 0, yang merupakan persamaan
diferensial dengan perubah terpisah. Kita peroleh y+
dy y
+
( x ) f ( x )
dx = 0, In y +
( x )
f ( x) dx = 0, In
( x )
f ( x) dx = In C
Jadi y = Ce -
( x) f ( x )
dx, yang merupakan penyelesaian
umum persamaan teredusir dengan C sebagai parameter. Sekarang parameter C dipasang sebagai fungsi x, dan akan ditentukan fungsi ini sehingga memenuhi persaaan diferensial linier (tidak teredusir).
16
( x)
f ( x) dx = In C
Jika kedua ruas persamaan In y + diturunkan ke x didapat
1 y
.
dy dx
( x)
+
1 ( x )
=
1 c
.
dc dx
,
dimana ruas kiri identik dengan ruas kiri persamaan diferensial linier.
( x)
f ( x)
y = C1 e -
dx + e -
( x)
f ( x)
dx .
( x)
f ( x)
. e
( x)
f ( x) dx Perhatikan contoh berikut ini. Contoh 8 Selesaikan persamaan diferensial x(1 – x2)
dy dx
+ (2x2 – 1) y = ax3
Jawab : Diselesaikan persamaan teredusir x(1 – x2)
dy y
+
dC =
dy dx
2 x 2
+ (2x2 – 1) y = 0
1
x(1 x 2 )
=
1 dc . = ax3 atau c dx
ax dx (a x 2 ) 1 x 2
, jadi C =
a 1 x 2
C 1
Penyelesaian rumus : Y = Cx
1 x 2 = C1 x 1 x 2
17
SOAL-SOAL Selesaikan persamaan diferensial berikut ini 1) x 2) x 3)
dy dx dy dx
(x2 +
- y = x3 + 1 + y = x In x
3)
dy dx
= xy + 3 ?
V. Persamaan Bernoulli Persamaan diferensial berbentuk f (x)
dy dx
+ (x) . y = yn . (x)
Disebut persamaan Bernoulli Persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan diferensial linier, jika kedua ruas dibagi yn. Didapat f(x) .
1 dy n . ( x ) . y y . ( x ) n y dx 1
Misalkan z =
y n 1
dz 1 n dy dx
=
y n
.
dx
. Y 1-n, maka
, atau
1 y n
.
dy dx
=
1
.
dz
1 n dx
Persamaan menjadi :
f ( x ) dz . + (x) . z = (x), yaitu suatu persamaan p ersamaan diferensial 1 n dx linier.
18
Perhatikan contoh berikut ini. Contoh 9. Selesaikan persamaan Bernoulli y’ cos x + y sin x + y3= 0 Jawab :
dy
Cos x .
dx
+ y sin x = -y 3
Kedua ruas dibagi
y3,
cos x dy sin x . 2 1 didapat 3 dx y y
maka = − = , maka + sin = −1 Persamaan menjadi − cos + Substitusi
Atau cos x
dz
dx
- 2z sin x = 2
Substitusi z = uv, maka Cos x ( u
dv dx dv
u (cos x
dx
+v
du dx
) – 2 u v sin x = 2 atau
- 2 v sin x) + v cos x
du dx
= 2
Hubungan antara u dan v dipilih sehingga cos x 0,
dv v
-
c 2
cos x
2 sin x cos x
dv dx
- 2 v sin x =
dx = 0 atau In v + 2 In cos x = In c
untuk C = 1, maka v =
v=
1 cos 2 x
19
Persamaan menjadi
1
.
du
cos x dx
= 2, jadi u = 2
Maka z = u v =
cos x dx 2 sin x + C
2 sin x c 2
cos x
1 y 2
Penyelesaian umum : y2 =
cos 2 2 sin x C
SOAL-SOAL Selesaikan persamaan Bernoulli berikut ini. 1) xy1 = 4y – 4
y
2) xy1 = y + 2 xy 2 3) x3 y1 = 2 x2y + y3 4) y1 + 2y = 2 xy
y
VI. Persamaan Diferensial Eksak Persamaan diferensial ordo satu derajat satu f (x,y) dx + (x, y) dy = 0 disebut eksak, jika memenuhi syarat :
f y x Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial eksak, terlebih dulu kita perhatikan persoalan berikut ini. Jika C suatu parameter, maka persamaan F (x, y, c) = 0 grafiknya merupakan berkas kurva.
20
Untuk menentukan persamaan diferensial berkas kurva itu, kedua ruas persamaan F(x, y) = C diturunkan ke x, didapat :
F F dy . = 0 x y dx Jika parameter C dihilangkan dari kedua persamaan itu, maka persamaan hasil ialah :
F F dy F F = 0 atau dx dy 0 . x y dx x y yaitu persamaan diferensial berkas kurva itu. Ternyata merupakan persamaan diferensial memenuhi syarat :
eksak, sebab
F F ( ) ( ) y x x y Kesimpulan : Penyelesaian umum persamaan diferensial eksak f(x, y) dx + (x, y) dy = 0 berbentuk F (x, y) = C, dimana
F f(x, y) .... (1) x F = (x, y) .... (2) y Untuk memperoleh F (x, y), kedua ruas persamaan (1) diintegralkan ke x (berarti y tetap). Diperoleh F(x, y) = f(x, y) dx + (y) ... (3) Jika kedua ruas persamaan ini diturunkan persial ke y (berarti x tetap), maka didapat
F x y y
1 ( x, y ) dx ( y ) 21
Menurut persamaan (2) :
F x ( x, y ) f ( x, y ) dx + 1 (y) y y Dari persamaan ini dapat dicari
1 (y), kemudian dengan
mengintegrasikan ke y didapat (y). Jika nilai (y) ini dimasukkan dalam persamaan (3), terdapatlah F (x, y). Penyelesaian umumnya adalah F (x, y) = C. Untuk mendapatkan F(x, y), dapat juga kedua ruas persamaan (2) diintegrasikan ke y (berarti x tetap). Didapat F(x, y) = (x, y) dy + (x), dst nya. Contoh 10 Selesaikan persamaan diferensial eksak (cos x – x cos y) dy – (sin y + y sin x) dx = 0. Jawab : Penyelesaian umum berbentuk F (x, y) = C, dimana
F sin y – y sin x ... (1) x F cos x – x xos y .... (2) y Jika kedua ruas persamaan (1) diintegrasikan ke x (berarti y tetap), didapat F (x, y) – x sin y + y cos x - 1 (y)
22
Jika diturunan parsial ke y, maka
F -x cos y + cos x + 1 (y) y Menurut persamaan (2) maka -x cos y + cos x + 1 (y) = cos x – x cos y, sehingga 1 (y) = 0 atau (y) = C1. Penyelesaian umum –x sin y + y cos x = C Contoh 11 Tunjukkan bahwa persamaan diferensial (x arcsin x) dx +
y x
+ arcsin
x 2 y 2 dy = 0 adalah eksak, kemudian selesaikan
persamaan itu. Jawab :
y (x arcsin + arcsin x) = x . x x sedangkan
x
x 2 y 2 =
1 x a y / x 2
2 x 2 x 2 y 2
2
=
x
=
x 2 y 2 x
x 2 y 2
Jadi persamaan digerensial itu eksak. Penyelesaian umum adalah F (x, y) = C, dimana
dan
F y x arcsin + arcsin x … (1) x x F 2 2 = x y ..... (2) y 23
Jika kedua ruas persamaan (2) diintegrasikan ke y (berarti x tetap), didapat F (x, y) =
x 2 y 2 dy
Dengan substitusi y = x sin t diperoleh
F (x, y) = x cos t . x cos t dt
1 2
x2
(1 + cos 2t) dt
= ½ x2 (t + ½ sin 2t) = ½ x2 arcsin = ½ x2 arcsin
y
+ ½ x2 .
x y x
+ ½ y
y x
.
1
y
2
x
2
( x)
x 2 y 2 + (x)
Jika diturunkan parsial kex (berarti y tetao) didapat
F y = x arcsin + 1 (x) x x Menurut (1) : x arcsin x arcsin
y x
x y
+
1 (x) =
+ arcsin x, jadi 1 (x) = arcsin x
Maka (x) = arcsin x dx = x arcsin x - x . = x arcsin x +
dx 1 x2
a x +C1 2
Penyelesaian umum : ½ x2 arcsin
y x
+½y
x 2 y 2 + x arcsin x +
1 x 2 = C
24
SOAL-SOAL Selesaikan persamaan diferensial eksak 1) (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0 2) y (x2 y2 + 2) dx + x (2 + x2 y2 dy = 0 3)
4)
x 2 y
dy + 2x In y dx = 0
(1 y 2 ) dx (1 x 2 ) dy (1 xy )
2
= 0
5) ex (x2 + y2 + 2x) dx + 2ex y dy = 0 VII. Faktor Integrasi Jika persamaan diferensial ordo satu derajat satu f (x, y) dx +
(x, y) dy = 0 tidak eksak, berarti
f 7 . y x
Maka dapat
ditentukan sebuah fungsi v (x, y), sehingga v. F (x, y) dx + v. (x, y) dy = 0 menjadi eksak. Syaratnya ialah :
[v. f (x, y)] = [v . (x, y)] atau x y v v f v. +f. = v. + . x x x y Karena persamaan ini adalah persamaan diferensial parsial, maka pada umumnya fungsi v (x, y) tidak dapat dicari Hanya dalam kejadian-kejadian khusus saja fungsi v dapat dicari. 25
Fungsi v ini disebut faktor integrasi. Beberapa kejadian khusus : 1) Jika v merupakan fungsi x saja, maka v dapat dicari dari persamaan
f y v. . atau y x x f f dv y x y x
v.
v
=
dx, dimana
Jadi In v =
= f (x).
f ( x) dx atau v = e
Jika v merupakan fungsi y saja, maka dapat dicari dari persamaan v.
f v y f . v . atau y y x v f dv x y v
=
dx, dimana
f
f x y f
= g (x).
Jadi In v = g (y) atau v = e. Contoh 12 Selesaikan persamaan diferensial (x2 + y2 + x) dx + xy, dy = 0 Jawab : f(x, y3w) = x2 + y2 + x dan (x, y) = xy. Maka
f y x
2 y y xy
1 x
= f (x) 26
Jadi v = e
dx x
= e In x = x. Maka
X(x2 + y2 + x) dx + x 2y dy = 0 adalah persamaan diferensial eksak. Penyelesaian umum ialah F (x, y) = C, dimana
F x (x2 + y2 + x) .... (1) x F 2 dan = x y ............ (2) y Jika kedua ruas persamaan (2) diintegralkan ke y, diperoleh F(x, y) = x2 y dy = ½ x2 y2 + (x) Jika diturunkan parsial ke x, didapat
F xy2 + 1 (x) = x (x2 + y2 + x), jadi x (x) = x3 + x2 atau (x) = (x3 * x2) dx = ¼ x4 + 1/3 x3 + C1 Penyelesaian umum : ½ x2y2 + ¼ x4 + 1/3 x3 = C. Contoh 13 Selesaikan persamaan diferensial (2xy4ey + 2 xy3 + y) dx + (x2 y4 ey – x2 y2 – 3x) dy = 0 Jawab : Dalam soal ini f(x, y) = 2 xy4 ey + 2 xy3 + y dan
(x, y) x = x2y4ey – x2 y2 – 3x. Ternyata bahwa
f , jadi tidak eksak y x
27
f Dicoba diselidiki bentuk ( : f x y f x y 2 xy 4 e y 2 xy 2 3 (8 xy 3 e y 2 xy 4 e y 6 xy 2 1) f y (2 xy 3 e y 2 xy 2 1)
8 xy 2 4 4 g ( y ) 3 y 2 y (2 . xy e 2 xy 1) y 8 . xy 3 e y
=-4 Jadi v = e =
dy y
- 4 In y
1 y 4
Diperoleh persamaan diferensial eksak (2 xoy +
2 x y
1 3
) dx + (x2ey -
x 2 y
2
3 x y
4
) dy = 0
Penyelesaian umum berbentuk F (x, y) = C Dimana
Jadi
F 2 xyy + x
2 x y
+
1 y 3
F 2 y x 2 3 x x e - 2 4 , dan seterusnya x y y
Contoh 14 Persamaan diferensial y(2xy + 1) dx + x (1 + 2xy – x3 y3) dy = 0 mempunyai faktor integrasi yang merupakan fungsi xy. Carilah faktor integrasi itu, kemudian selesaikan persamaan itu.
28
Jawab : Misalkan v = f (u) dimana u = xy. Maka persamaan diferensial vy (2xy + 1) dx + xv (1 + 2 xy – x3 y3) dy = 0 harus eksak, Syaratnya adalah :
v (4 xy + 1) (2xy2 + y)
dv
v (1 + 4 xy + 4 u4
.
v . du x u u = x dan = y, maka x y
x2y – x4 y3) Karena
v = v (1+ 4 xy – 4 x3 y3) + (x + 2 du y dv
.
x3 y3)
+ (x + 2
x2 y
–
x 4 y3)
y.
v , atau 4 vu3 + u
v v = 0, 4 v + u = 0, In v + 4 In u = In C, v. v 4 = u u
Jika diambil C = 1, maka v =
1 u4
1 x 4 y 4
Persamaan diferensial eksak
2 xy 1 4
x y
3
dx +
1 2 xy x 3 y 3 3
x y
4
= dy = 0.
Penyelesaian umum ialah F (x, y) = C, dimana
F 2 xy 1 F 1 2 xy x 3 y 3 = 4 3 ..... (1) dan x x y y x 3 y 4
, . (2)
29
Jika kedua ruas persamaan 91) diintegralkan ke x, didapat F (x, y) =
2 y
1 y
3
( x
3
1 x
4
) dx = -
1 2
x y
2
1 3
3 x y
3
+ (y)
Jika diturunkan parsial ke y, didapat
1 2 xy x 3 y 3 2 1 F 1 = 2 2 3 4 ( y ) = y x y x y x 3 y 4 1
1 (y) = -
y
, jadi
, (y) = - In y + C1
Penyelesaian umum -
1 2
x y
2
1 3
3 x y
3
= In y + C
Contoh 15 Persamaan diferensial (x + x4 + 2 x2y2 + y4) dx + y dy = 0 menjadi faktor integrasi yang merupakan fungsi x2 + y2. Tentukan faktor integrasi itu. Jawab : Misalkan v = f (u), dimana u = x2 + y2 Maka persamaan v (x + x4 + 2 x2 y 2 + y4) dx + vy dy = 0 harus eksak. Syaratnya ialah v (4 =y
x2y
dv du
+4 .
y3)
+ (x +
x4 +
2
x2y2 +
y4)
u du y dv
.
u x 30
Karena v (4
x2y
u u = 2 y dan = 2x, maka x y +4
y3)
2 yu (2v + u
+ (x +
x4 +
v ) = 0, u
2
dv v
x2y2 +
y4)
dv
+ 2
u
. 2y
v = 0 u
= 0
In v +2 In u = In C atau vu 2 = C Jika diambil C = 1, maka v =
1)
2) 3)
4)
1 u
2
1 ( x 2 y 2 ) 2
SOAL-SOAL Tunjukkan bahwa v (x, y) = xy2 + 1 adalah faktor integrasi persamaan diferensial (y4 – 2y2) dx + (3 xy3 – 4 xy + y) dy = 0. Kemudian selesaikan persamaan itu. Persamaan (1 – xy) dx + (1 – x2) dy = 0 mempunyai factor integrasi yang merupakan fungsi x. Selesaikan persamaan itu. Persamaan dx + [1 + (x + y) tg y] dy = 0 mempunyai faktor integrasi yang merupakan fungsi x + y. Selesaikan persamaan itu. Persamaan (3 xy3 -4 xy + y) dy + y 2 (y2 – 2) dx = 0 mempunyai faktor integrasi yang merupakan fungsi xy2. Tentukan faktor integrasi itu.
5) Tunjukkan bahwa v (x, y) = (1 + x2 + y2 =
3 2
Faktor integrasi persamaan diferensial (1 * y2) y dx + (1 + x2) x dy = 0 Selesaikan persamaan itu.
31
BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO & DERAJAT SATU I.
Persamaan diferensial berbentuk n0
d n y n
a1
d n 1 y n 1
+ a2
d n 2 y n 2
+ ... + an-1
dy
+ any=
dx dx dx dx f(x) dimana koefisien a0, a1, a2, … an adalah fungsi x, diebut persamaan diferensial ordo n derajat satu. Persamaan yang diperoleh jika ruas kanan disamakan nol, disebut persamaan teredusir. Jika koefisien a0, a1, a2 … an adala suatu konstanta, maka persamaan disebut persamaan diferensial ordo n derajat satu dengan koefisien konstanta. II.
Penyelesaian umum persamaan teredusir Jika y = y1 sebuah penyelesaian khusus persamaan teredusir a0
d n y n
+ a1
d n
1
n 1
+ … + an-1 .
dy
+ any = 0
dx dx dx Maka y = C1y1 (c1 suatu parameter) juga merupakan penyelesaian khusus, sebab ini berarti bahwa setiap suku ruas kiri dikalikan dengan c1. Jika y = y2 penyelsaian khusus yang lain, maka y = c2y2 (c2 suatu parameter) juga merupakan penyelesaian khusus. Akibatnya y = c1y1 + c2y2 adalah penyelesaian khusus.
32
Umum jika diketahui n buah penyelesaian khusus y = y1, y = y2 y = y3 .... y = yn, maka penyelesaian umum persamaan teredusir adalah... Y = c1y1 + c2y2 + c3y3 + .... + cnyn, yang memuat n buah parameter. III.
Penyelesaian persamaan teredusir dengan koefisien konstanta Menurut metode Euler dimisalkan y = e tx dimana konstanta t akan ditentukan, sehingga memenuhi persamaan teredusir. Jika y = etx, maka = t3etx, ......
d n y n
dy dx
= t e tx,
d 2 y dx
2
= t2 etx,
d 3 y dx 3
= tn etx
dx Jika nilai-nilai ini dimasukan dalam persamaan teredusir te redusir
a0
d n y dx
n
+ a1 .
d n 1 y dx
n 1
+ .... + an-2
d 2 y dx
2
+ a n-1 .
dy dx
+ a n . y =
0 kita peroleh etx (aotn + a1 tn-1 + a2tn-2 + …. + an-2 t2 + an-1t + an) = 0 atau F (t) = ao tn + a1tn-1 + …. + an-2 t2 + an-1+ an = 0 Persamaan berderajat n dalam t ini disebut persamaan karakteristik. Misalkan akar-akar persamaan karakteristik ini t1, t2, t3 .... tn Berarti y = et1x, y = e t2x ...., y = e txx Adalah penyelesaian khusus. Maka penyelesaian umumnya adalah... Y = c1e t1x + c2e t2x + c3et3x + ..... + cn e tnx Contoh 16 33
Selesaikan persamaan diferensial y111 ... 2 y11 – 5 y1 + 6 y = 0 Jawab : Dengan substitusi y = e tx, diperoleh persamaan karakteristik F (t) = t3 – 2 t2 – 5t + 6 = 0 (t – 1) ( t – 3) (t + 2) = 0 Akar-akarnya t1 = 1, t2 = 3, t3 = -2. Penyelesaian umum y = c1 ex + c2 e 3x + c3 e-2x Beberapa kejadian khusus 1. Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar kompleks sekawan a + bi dan a – bi , maka penyelesaian umumnya : y = c1 e (a + bi) x + c 2 e (a – bi) x = eax (c1 ebxi + c2 e –bxi) = eax (c1 (cos bx + I sin x) + c2 (cos bx – i sin bx) = oax [(c1 + c2) cos bx + i (c1 – c2) sin bx] Misalkan c1 + c2) cos bx + i (c1 – c2) = c4 Penyelesaian umum menjadi y = oax (c3 cos bx + c4 sin bx) Contoh 17 Selesaikan persamaan diferensial y11 – 2 y1 + 5y = 0 Jawab : Persamaan karakteristik F (t) = t2 – 2t + 5 = 0 Akar-akarnya t1 = 1 + 2i, t 2 = 1 – 2i Penyelesaian umum y = 0x (c1 cos 2x + c2 sin 2x)
34
2.
Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar yang sama, misalnya t1 = t2, maka penyelesaian umum bukan b ukan y = c1 e t1x + c2 e t1x = (c1+ c2) e t1x , tetapi y = c1 e t1x + c2 xe t1x = (c1 + c2) e t1x Bukti : Persamaan karakteristik F(t) = ao (t – t1) (t – t2) = ao (t – t1)2 = 0. Maka F1 (t)= 2 ao (t-t1). Jadi F (t1) = 0 dan F1 (11) = 0 Persamaan a0y11 + a1y1 + a2y = 0 dapat ditulis secara lain, sebagai berikut : Jika operator ao Maka ao
d2y dx
2
d2 dx
+ a1
2
+ a1
dx dy
d dx
+ a2 disebut
+ a2 y dapat ditulis (y)
Sehingga (e t1x) = e t1x . F (t1) = 0 Jika diturunkan ke t1 didapat
(x e t1x) = e t1x . F-1 (t1) + x e . F (t1) = 0 Berarti y1 = e dan y2 = x e t1x adalah penyelesaian khusus. Penyelesaian umumnya Y = c1 e t1x + c2 xe t1x = (c1 + c2x) e t1x Catatan : Jika persamaan karakteristik mempunyai n buah akar yang sama, misalnya t1 = t2 = t3 = ... tn ( = t), maka penyelesaian umumnya Y = (c1 + c2 x + c3 x2 + ... + cn xn-1 . e tx Contoh 18 Selesaikan persamaan diferensial y111 – 6 y11 + 12 y1 – 8 y = 0 Jawab : 35
F (t) = t3 – 6 t2 + 12 t – 8 = (t – 2)3 = 0 Akar-akarnya t1 = t2 = t3 = 2 Penyelesaian umum y = (c1 + c2 x + c3 x2) e2x 3.
Jika persamaan karakteristik mempunyai dua pasang akar kompleks sekawan yang sama, misalnya a + bi, a – bi, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umumnya. y = eex [(c1 + c2x) cos bx + (c3 + c4x) sin bx]
Contoh 19 Selesaikan persamaan diferensial y111 + 8 y11 + 16 y = 0 Jawab : Dengan substitusi y = etx, kita peroleh F (t) = t4 + 8 t2 + 16 = (t2 + 4) 2 = 0 Akar-akarnya t1 = 2i, t2 = -2i, t2 = -2i Penyelesaian umum : y = (. C1 + c2 x) cos 2x + (c3 + c4 x) sin 2x. IV.
Penyelesaian persamaan teredusir dengan koefisien fungsi x. Jika koefisien persamaan teredusir berbentuk Ap = Ap (a + bx)n-p , dimana Ap suatu konstanta, sehingga persamaan berbentuk Ao (a + bx)n . An-1 (a + bx)
dn y dx
dy dx
n
+ A1 (a + bx)n-1 .
d n 1 y dx
n 1
+ ... +
+ Any = 0, maka persamaan itu dapat diubah
menjadi persamaan dengan koefisien konstanta, dengan substitusi a + bx = eu atau u = In (a + bx) 36
dy
Sebab
dy
=
dx
du
b
.
a bx
atau (a + bx)
dy dx
= b
dy du
Jika kedua ruas diturunkan kex, didapat Contoh 21 Selesaikan Persamaan x2y11 + 3 xy1 + y = 0 Jawab : Misalkan x = eu atau u = In x.
Maka
dy dx
=
dy du
.
1 x
atau x
dy dx
=
dy du
Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat : x
d 2 y
+
dy
=
d 2 y
dx dx 2 du 2 Persamaan menjadi : d 2 y 2
-
dy
+ 3
dy
.
1 x
atau x2
+ y = 0 atau
d 2 y dx 2
d 2 y 2
=
+ 2
d 2 y du 2
dy
-
dy du
+ y = 0
du du dx du du Dengan substitusi y = etu diperoleh persamaan karaktersitik F (t) = t2 + 2t + 1 = (t + 1) 2 = 0 Akar-akarnya t1 = t2 = -1
Penyelesaian Umum Y = (c1 + c2u) etu = (c + c2u) e- u =
1 x
(c1 + c2 In x)
Contoh 21 Selesaikan persamaan diferensial (1 + x)3 y111 + (1 + x)2 y11 + 3 (1 + x) y1 – 8 y = 0
37
Jawab : Misalkan 1 + x = eu atau u = In (1 + x)
dy
Maka
dx
=
dy du
.
1 1 x
dy
atau (1 + x)
dx
=
dy du
Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat (1 + x)
d 2 y 2
-
d 2 y dx
2
+
dy dx
=
d 2 y du
2
-
1 1 x
atau (1 + x)2
d 2 y dx
2
=
dy
dx du Jika diturunkan lagi ke x didapat (1 + x)2
d 3 y du
3
+ 2 (1 + x)
d 2 y dx
2
=
d 2 y du
3
-
dy dx
+ 3
dy du
-8y=
0 atau
d 3 y 3
- 2
d 2 y 2
+ 4
dy
- 8 y = 0
du du du Dengan substitusi y = e tu, diperoleh persamaan karakteristik t3 – 2 t2 + 4 t – 8 = 0 (t – 2) (t2 + 4) = 0 t = 2, t = 2i atau t = -2i Penyelesaian Umum y = c1 e2u + c2 cos 2u + c3 sin 2u = c1 (1 + x)2 + c2 cos In (1 + x)2 + c3 sin In (1 + x)2 V. Penyelesaian persamaan tak teredusir ter edusir Penyelesaian umum persamaan tak teredusir dapat diperoleh dari penyelesaian umum persamaan teredusir (yang disebut fungsi komplementer) dengan menambah sebuah fungsi x, yaitu yp = F (x) yang disebut penyelesaian partikulir. Penyelesaian umum berbentuk 38
y = c1y1 + c2y2 + …. + cnyn + f (x), dimana F (x) masih akan ditentukan sehingga memenuhi persamaan tak teredusir dan memuat n buah parameter. Penyelesaian partikulir F (x) dapat ditentukan ditentukan dengan cara koefisien tak tentu. Cara ini dipakai, jika ruas kanan dari persamaan tak teredusir merupakan fungsi x yang mudah, yaitu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai jumlah suku-suku berbentuk c xP e qx, C xp e ax cos bx dan Cxp eax sin bx, dimana p adalah bilangan cacah dan q, a, b dan c suatu konstanta. Contoh 22. Selesaikan persamaan y11 – 5y1 + 6 y = x2 + x – 2 Jawab : Persamaan teredusir : y11 – 5 y1 + 6 y = 0 Dengan substitusi y = etx, diperoleh persamaan karakteristik F (t) = t2 – 5t + 6 = 0, (t –2) (t-3) = 0, jadi t 1 = 2, t2 = 3.
Penyelesaian umum y = C1 e2x + C2 e3x + F (x) Maka y1 = 2c1 e2x + 3 c2 e3x + F1 (x) Y11 = 4 c1 e2x + 9 c2 e3x + F11 (x) Jika nilai y . y1 dan y11 dimasukkan dalam persamaan yang diketahui, didapat F11 (x) – 5 F1 (x) + 6 F (x) = x2 + x – 2. Misal F (x) = ax2 + bx + c Maka F1(x) = 2 ax + b dan F11 (x) = 2a. Diperoleh 6 (ax2 + bx + c) – 5 (2ax + b) + 2a = x2 + x – 2 Atau 6 ax2 + (6 b-10 a) x + 6c – 5b + 2a = x 2 + x – 2
39
Koefisien
x2 :
6a = 1 a +
Koefisien x : 6 h – 10 a = 1
1 6 b
=
4 9
Konstanta : 6c – 5b + 2a = -2 C = -
1 54
Penyelesaian umum : y = c1 e2x + c2 e3x +
1 6
x2 +
4 9
x-
1 54
Contoh 23 Tentukan penyelesaian umum persamaan y11 + y1 + y = cos x Jawab : Persamaan teredusir y11 + y1 + y = 0 Substitusi y = etx, maka F (t) = t2 + t + 1 = 0 Akar-akarnya t1 = - ½ + ½ i V3, t 2 = - ½ - ½ i V3 Penyelesaian Umum : Y = e1/2 x (c1 cos 1/2x V3 + c2 sin ½ x V3) + f (x) Karena ruas kanan memuat bentuk cos x Maka dimisalkan F (x) = a sin x + b cos x Jadi F1 (x) = a cos x – b sin x F11 (x) = -a sin x – b cos x Kita peroleh : -a sin x – b cos x + a cos x – b sin x + a sin x + b cos x = a cos x b sin x = cos x. Maka a = 1 , b = 0 Penyelesaian umum : Y = e-1/2x (c1 cos ½ x V3 + c 2 sin ½ x V3_ + sin x. 40
SOAL-SOAL Selesaikan persamaan berikut ini : 1) y11 + y1 – 6y = 8 e3x 2) y11 – 3 y1 – 4y = 10 cos 2x 3) y11 – 5 y1 + 6y = 4 x2+ ex 4) y11 – 2 y1 + y = x3 – 6 x2 5) (2 + 3x)2 y11 + 3 (2 + 3x) y1 – 9 y = 6 (2 + 3x) 2 6) Sebuah kurva memenuhi persamaan diferensial y11 – 2y1 + y = x2, melalui titik A (0,8), sedangkan garis singgungnya di titik A bersudut 45o dengan sumbu x positif. Tentukan persamaan kurva itu.
41
BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT n
I.
Penyelesaian ke p =
dy du
Jika persamaan diferensial ordo satu derajat n yang berbentuk f (x, y,
dy du
) = 0 dapat diselesaikan ke p, maka diperoleh n
buah penyelesaian untuk p, yang masing-masing merupakan fungsi x dan y. Misalkan penyelesaian p1 = f 1 (x, y), P2 = f 2 (x, y) …. Pn = f n (x, y) yang masing-masing berdejatar satu dalam p. Jika penyelesaian persaman-persamaan diferensial itu adalah F1 (x, y, c) x F2 (x, y, c) X … X Fn (x, y, c) = 0 Dimana parameter c1, c2 … cn boleh diambil sama. Contoh 24. Selesaikan persamaan x2 p2 + 3 xyp + 2 y 2 = 0 Jawab : Jika diselesaikan ke p, didapat did apat P=
3 xy xy 2
2 x dy
Dari p1 =
du
= -
, jadi P1 = -
y x
y x
diperoleh
2 y
, p2 = -
dy y
+
x
dx x
= 0
Jdi penyelesaiannya x2y – c = 0 Dari P2 =
dy du
= -
2 y x
diperoleh
dy y
+
2 dx x
= 0.
Jadi penyelesaian x2y – C = 0. Maka penyelesaian umum persamaan yang ditanyakan ialah (xy – C) (x2y – c = 0
42
Dari P2 =
dy dx
= -
2 y x
dy
diperoleh
y
+
2 dx x
= 0. Jadi
penyelesaiannya x2y – C = 0. Maka penyelesaian umum persamaan yang ditanyakan ialah (xy – C) (X2y – C) = 0 II.
Penyelesaian ke y Persamaan diferensial ordo satu derajat n dikatakan dapat diselesaikan y, jika dapat ditulis berbentuk y = f (x, p) Jika kedua ruas diturunkan ke x, didapat. P=
f f dp . x p dx
Jika penyelesain persamaan diferensial ini adlaah F (x, p, c) = 0, maka dengan menghilangkan p dari persamaan ini dan persamaan diferensial yang diketahui, diperoleh persamana yang diketahui. Contoh 25 Selesaikan persamaan xp2 – 2 yp = x Jawab : Jika diselesaikan ke y didapat dida pat
=
x ( p 2
2 yp x 2 p
p( p 2 1 xp dp ) x( p 2 1) dp 1 dx dx atau 2 p 2
=
3
p =
p3 –
p+
xp2
dp dx
-
xp2
dp dx
+ x
dp dx
43
(p2 +1)
dp x
dp dx
= p ( p
2
1)
x
dp dx
= p
= 0, in p – in c, jadi p = cx
parameter p dihilangkan dari persamaan p = cx dan xp2 – 2 yp = x dapat x (c2x2) – 2y. cx=x atau c2 x 2 - 2 cy -1=0, itu penyelesaian umum persamaan yang diketahui III.
Penyelesaian ke X Persamaan diferensial ordo satu derajat n dikatakan dapat dielesiakan ke x, jika dapat ditulis berbentuk x = f (y, p). Kedua ruas diturunkan ke y, didapat :
1 p
f f dp . y p dy
Penyelesaian persamaan ini adlaah F (y, p, c) = 0, maka dengan menghilangkan p dari persamana ini dan persamaan diferensial yang di lalui, diperoleh penyelesiaan umum yang ditanyakan. Contoh 26. Selesaikan persaman xp2 – 2 yp = x Jawab : Jika diselesaikan ke x, didapat dida pat
x=
2 yp p 2 1
Jika kedua ruas diturunkan ke y, maka
( p 2 1) ( y dp p yp . 2 p dp 1 dy dy 2 p ( p 2 1) 2
atau 44
(p2 –
1)2 =
2p
(p2 –
1) ( y
dp dy
= -2p (p2 + 1) y
+ p) – 3
dp dy
p2 –
1 = 2 py
dp dy
dp dy
+ 2 p2 (p2 – 1)
(p2 – 1) (p2 + 1) = -2p (p2 + 1) y
-
yp3
2 p dp 2
=
dp dy dp y
p 1 In (p2 – 1) = In y + In c p2 – 1 = cy. Jika parameter [ dihilangkan dari persamaan p2 – 1 = cy dan x =
2 yp 2 p 1
Didapat x2 c2 y2 = 4 y2 (cy + 1) atau C2 x2 – 4 cy – 4 = 0, yaitu penyelesaian umum yang ditanyakan. IV.
Persamaan Clairaut Persamaan diferensial berbentuk Y = px + f (p) Disebut persamaan Clairaut Jika diselesaikan ke y, didapat. P =p+x Jadi Dari
dp dx dp dx
dp dx
+
f 1 (p)
dp dx
atau [x +
f 1 (p)]
dp dx
= 0.
= 0 maka x + f 1 (p) = 0 = 0 diperoleh p = c 45
Jika p dihilangkan dari persamaan ini dan persaman Clairut diperoleh penyelesaian umum yaitu y = cx + f (c), yang merupakan bekas garis lurus. Jika p dihilangkan dari persamaan x + f 1 (p) = 0 dan persamaan Clairaut, maka hasil eliminasinya tidak memuat parameter, dan disebut penyelesaian singular dari persamaan C;airout (singular artinya tidak termasuk term asuk penyelesaian umum). Dalam geometri, penyelesaian singular ini merupakan selubung dari penyelesaian umum. Contoh 27.Selesaikan persamaan Clairout y = px + p – p2 Jawab : Jika diselesaikan ke y, didapat dida pat P=p+x Dari
dp dx
dp dx
+ (1 – 2p)
dp dx
atau
dp dx
(x + 1 – 2p) = 0.
= 0 didapat p – C.
Jika p dihilangkan diperoleh penyelsaian umum y = Cx Cx + C – C2. Penyelesaian singular diperoleh dengan menghilangkan p dari x + 1 – 2p = 0 dan y = px + p – p2. Hasil eliminasi adalah 4y = (x + 1)2, yang merupakan sebuah parabola. V.
Persamaan d’ Alembert. Persamaan diferensial berbentuk. y = x . f (p) + (p) disebut persamaan d’ Alembert Jika diselesaikan ke y diperoleh P = f (p) + [x. f 1 (p) + 1 (p) ]
dp dx
atau
46
[p – f (p)]
dp dx
- x. f 1 (p) = 1 (p) yang merupakan persamaan
diferensial linier, Substitusi x u, v, seterusnya. Contoh 28 Selesaikan persamaan d’ Alembert y + x (p2 – 4p + 2) = p2 – 4p + 3 Jawab : Y = (-p2 + 4p – 2) x + p2 + 3 Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka P = -p2 + 4p – 2 + x (-2p + 4) P2 – (p2 –
dp
3p + 2 = 3p + 2)
dx dp dx
(p – 2) [(p – 1)
dx
+ (2p – 4)
dp dx
atau
[x (-2p + 4) x (2p – 4)]
= -2p + 4) x + 2p – 4
dp
(-p – 2) (p – 1)
dp
dx dp dx
+ 2 (p-2) x – 2 (p-2) = 0 + 2x – 2] = 0
p – 2 = 0 atau (p – 1)
dp dx
+ 2x – 2 = 0
Jika p dihilangkan dari persamaan p – 2 = 0 dan persamaan yang diketahui, diperoleh penyelesaian singular 2x – y = 1.
Dari (p – 1)
dp dx
+ 2x – 2 = 0 atau
dp p 1
+
dx 2( x 1)
= 0
Didapat In (p – 1) + ½ In (x – 1) In C atau (p – 1) x 1 = C
47
Jika p dihilangkan dari persamaan ini dan persamaan yang diketahui, diperoleh penyelesaian umum yaitu : y=x+C=2
C ( x 1)
SOAL-SOAL Selesaikan persamaan berikut ini. 1) xp2 – 2 yp – x = 0 2) Cos x (1-p2) = 2p sin x 3) (p-x)2 = p-x 4) p2 (1-x2) = (y2 –1) arcsin x 5) y – 2px – yp2 = 0 6) y = x (p + 7) y =
p2 +
1 p1
1 p
48
BAB V PERSAMAAN DIFERENSIAL YANG KERAPKALI TERPAKAI
I.
Persamaan Diferensial
d n y n
= f (x)
dx Jika kedua ruas diintegrasikan ke x, kita peroleh d n 1 y n 1
f (x) dx = F1 (x) + C
dx Jika diintegrasikan lagi ke x, didapat
d n 2 y n2
=
F1 (x) dx + C1x = F2 (x) + C1x + C2
=
F2(x) dx +
dx Dengan mengintegralkan lagi ke x, didapat d n 3 y
c1
c1 2 2 x + C x = F (x) + x + C2 2 3 1 1 2 2
dx n 3 + C3 Jika proses ini dilanjutkan, maka setelah mengintegrasikan berturut-turut sampai n kali, kita peroleh penyelesaian umum. y = Fn (x) +
C 1 (n 1)
1
xn-1 +
C 2 (n 1)
2
xn-2 + … Cn
Contoh 29. Selesaikan persamaan diferensial
d 2 y 2 ( dx 2 ) 3 = 0
d 2 dx 2 Jawab :
d dx
d 2 y 2 ( dx 2 ) 3 = C1 49
Selanjutnya : (
d 2 y
d 2 y dx
2
= -
= (C1x + C2) -
2
= C1x + C2 atau
3
3
2 dx 2 Jika diintegralkan ke x, didapat dx dy
=
2
(C1 x + C2) –2/3 dx =
C 1
(C1x + C2) –1/2 + C3
Jika diintegralkan lagi ke x, didapat penyelesaian umum, yaitu y=-
II.
4 2 1
e
(C1 x + C2) ½ + C3 x + e4
Persamaan diferensial
d 2 y dx
dy
Jika kedua ruas dikalikan d 2
dy
2
= 2 f (y)
dx
dy
, kita peroleh
.
dx dx Jika kita integralkan ke x, maka (
dy dx
dx
.
d 2 y
= f (y)
2
dy dx
)2 = 2
f (y) dy = F (y) + C atau
= F ( y ) C , jadi
dy F ( y ) C
= x + C2
Contoh 30 Selesaikan persamaan differensial Jawab : d
dy dx
.
d 2 y dx
2
= 8 y
d 2 y dx
2
= 4y
dy dx 50
Jika kita integralkan ke x, maka (
dy dx
)2 =
4
y2 +
C1 atau
dy
4 y 2 C
dy dx
4 y 2 C , jadi
=
= x + C2
Penyelesaian umum :
1 y 2 C 1 ) = x + C2 2
½ In (y +
III.
d n y
Persamaan Differensial Dengan substitusi u = (u) atau
du f (u )
dx
=f(
n
d n 1 y dx
n 1
d n 1 y dx
n 1
)
, persamaan menjadi
du dx
= f
= dx, yaitu persamaan differensial dengan
perubah terpisah. Contoh 31. Selesaikan persamaan differensial y11 – (y1) 2 = 1 Jawab : Dengan substitusi u = y1, maka
du dx
-
u2 =
1 atau
du u
2
1
= dx
Jadi arctg u = x + C atau u = Kita peroleh y =
dy dx
= tg (x + C)
tg (x + c) dx = - In cos (x + C) + C1
Penyelesaian umum : Y = - In Cos (x + C) + C1 51
d n y
Persamaan differensial
= f (
n
dx
d n 2 y
Dengan substitusi u =
dx
n 2
d n 2 y dx
n2
)
d 2 u
, persamaan menjadi
dx
2
=
f (u) Yaitu persamaan (II)
Contoh 32 : Selesaikan
d 4 y dx
4
= a.
d 2 y dx 2
Jawab : Dengan substitusi u =
d 2 y dx
2
Jika kedua ruas dikalikan 2
du dx
atau (
du dx
2
C 1
In (u +
u2
au Jadi
u+
1 a
n2
C 1 a
du dx
, maka 2 .
)2 = au2 + C1, jadi
du
Terdapat
, persamaan menjadi
=e
= dx atau
c1 a
du dx
=
d 2 u dx
2
du d 2 u dx
au 2
,
dx
2
= su = 2 au
C 1
du au 2 C 1
= x + C2
a (x + C2) atau
n2
C 1 a
=e
a (x
+ C2) – u Jika kedua ruas dikuadratkan, maka : u2 +
C 1 a
e
a (x + C 2 )- 2 ue - a (x + C 2 ) + u2
52
2 ue u=
a (x + C 2 ) = 2
d 2 y dx
2
=½ e
C 1
a (x + C 2 ) -
a (x + C 2 ) +
u
C 1 aVa
.e-
a (x + C 2 ) +
C3 Penyelesaian umum y=½
IV.
1 a
e
C 1
a (x + C 2 )-
a
. e -
a (x + C 2 ) + C3 x + C4
dy d 2 y Persamaan differensial f (x, , )=0 dx dx dy
Dengan substitusi p =
dp dx
dx
, maka persamaan menjadi f (x, p,
=0
Dari persamaan ini p dinyatakan sebagai fungsi eksplisit dalam x. Jika kedua ruas diintegrasikan ke x, maka terdapatlah y. Contoh 33 : Selesaikan x2y11 = y1 (y1 – 2 x) + 2 x2
Jawab : Misalkan y1 = p, maka y11 = Persamaan menjadi
x2 (
dp dx
dp dx
- 2) = p (p –2x) atau
X2dp = (p2 – 2 px + 2 x2) dx, yaitu persamaan diferensial homogen dp =
p 2 x
2
- 2
p x
+ 2) dx
53
Substitusi z =
p x
maka dp = z d x + x dz
Persamaan menjadi z dx + x dz = (z2 – 2z + 2) dx, x dz = (z 2 – 3z + 2) dx.
dz
dz
dz
( z _ 1)( z 2) z 2 z 1 z=
p x
=
Cx 2 Cx 1
, maka p =
dy dx
dx
=
x
, In
z 2 z 1
= In Cx,
x (Cx 2) Cx 1
Penyelesaian Umum : y=
x
1
1
C C (Cx 1)
dx = ½ x2 -
x c
-
1 2
C
In (Cx-1) + C1
Contoh 34 : Selesaikan persamaan differensial (a + x2) y” + 1 + (y’)2 = 0 Jawab : Misalkan p = y’, maka
(1 +
x2)
dp
+ 1 +
dx
p2 =
0,
dp 1 p
2
dx
+
1 x
2
= 0, jadi arctg p +
arctg x = arctg C1 Menyatakan p sebagai fungsi eksplisit dari x Misalkan = arctg p, berarti p = tg
= arctg x, berarti x = tg , + = x tg C tg ( + ) =
Berarti
p x 1 px
p x 1 px
atau + = arctg
= C1 atau p =
dy dx
=
p x 1 px
C 1 x 1 C 2 x
= arctg C1
. 54
-
1 C 1
C 1 x
Jadi y =
1 C 2 x
C 1
dx
dx = -
1 C 1
Cx 1 1 C 1 C 1 x 1
, dx =
1 01
C x 1 dx 1
Penyelesaian umum y=-
x c1
1 C 12 2 1
C
In (C1x + 1) + C2
dy d 2 y VI. Persamaan differensial f (y, , 2 ) dx dx Misalkan p =
dy dx
, maka
d 2 y dx 2
Persamaan menjadi f (y, p, p
=
dp dy
dp dx
dp dy dp . p dy dx dy
)=0
Dari persamaan ini p dinatakan sebagai fungsi eksplisit dari y. Contoh 35. Selesaikan y y” = (y’)2 – (y’)3 Jawab : Misalkan p = y’, maka y” = p Persamaan menjadi yp
dp p p 2
dy y
dp dy
dp dy
p2 – p3 atau
= 0, In p – In (1 – P) – In y = In C 1
55
p 1 p
dy
C 1 y atau p =
=
dx
Penyelesaian umum y +
1
C 1 y 1 C 1 y
,
1 C 1 y C 1 y
dy = dx
In y = x + C2
C 1
Contoh 36 : Selesaikan y y” + 2 (y’)2 = 3 y y’
Jawab : Andaikan p = y’, maka y” = p
dp dy
+ 2 p = 3 y, yaitu
persamaan differensial linier. Substitusi p = uv, maka
dv
Y (u
du
v
dy
dy
) + 2 uv = 3 y atau u (y
dp dy
+ 2 v) + y v
du dy
=
3y Hubungan antara u dan v dapat dipilih sehingga y
dv dy
+ 2v = 0 atau
1
Maka v = Atau u = P=
dv dx
y
=
2
dv v
+
dv y
= 0
, persamaan menjadi
1 du y dy
= 3 y
3 y2 dy = y3 + C
y 3
C
y
2
Penyelesaian umum
atau
1 3
y 2 y 2 C
dy = dx
In (y3 + C) = x + C 1
56
Contoh 37. Selesaikan y (1 – In y) y” + (1 + In y) (y’)2 = 0 Jawab : Misalkan y’ = p maka y” = p
dp dy
Persamaan menjadi :
dp
Y (1 – In y) p
dy
+ (1 + In y) p2 = 0, y (1 – In y) dp + (1 + In y) p
dy = 0
dp p
1 In y
+
y (1 in y )
dy = 0, In p +
1 In y 1 in y
. d In y = In
C, p = Cy (I – In y)2,
dy y (1 In y )
2
= C dx,
Penyelesaian umum
d In y (1 In y ) 1
1 In y
2
= C x + C1 ,
= C x C1
VII. Persamaan diferensial y” + P . y’ + Qy = R, dimana P, Q Substitusi y = y1 u, dimana u adalah perubah baru dan y1 adalah fungsi x yang akan ditetukan. Maka y’ = y11 u + y1 u’ dan y” = y”1 u + 2 y’1 u’ + y1 u” Persamaan menjadi + y”1 u + 2 y’1 u’ + P (y’1 u + y1 u’) + Q y1 u = R atau y1 u” + (2 y’1 + P y1) u’ + (Y”1 + P y’1 ) + Q y1) u = R atau u” + (
2 y '1 y1
+ P ) u’ +
y"1 P y '1 Q y1 y1
u=
R y1
57
u” + P1 u’ + !1u = R1, dimana P1 =
Q1 =
y"1 P y '1 Q y1 y1
2 y '1 y1
dan R1 =
+ P,
R y1
a) Jika y1 adalah penyelesaian khusus dari persamaan teredusir y” + Py’ + Qy = 0, maka Q1 = 0, persamaan menjadi u” + P1u’ = R1 atau
du' du ' dx
+ P1 u’ = R, yaitu
persamaan differensial linier. b) Jika tidak diketahui penyelesaian khusus dari y” + Py’ + Qy = 0, maka kadang-kadang substitusi y = y1 u dapat digunakan untuk menjadikan P1 = 0 P1 = 0 P1 =
y '1 y1
y" y1
2 y '1 y1 =e–
y '1 y1
= - ½ P, y 1 = e – ½
P dx, jadi
1/2 P dx . ( - ½ P) = - ½ P y1, maka
= - ½ P’ y 1 – ½ P y’1 = - ½ p’ y1 + ½ P)2 y1,
Q1 =
+ P = 0,
1
1
P ' y1 ( P ) y1 2 2 y1
Q1 = Q -
d dx
2
1 2
P 2 y1 Qy atau
( ½ P) – ( ½ P)2
Substitusi ini berhasil, jika, Q1 = suatu bilangan tetap atau Q1 = bilangan tetap dibagi x2
58
Contoh 38 Selesaikan y” – 2y’ tg x – 5 sin x Jawab :
1
Q1 = -5 + y1 = e tg X dx = e y1 =
Cos 2 x
1
-In cos x =
2
cos x 3
cos x
, substitusi y =
cos x
cos x. u ' u sin x
2 sin 2 x
- tg2x = -4 (bilangan tetap)
,y” =
u" u cos x,
u cos x
2 sin x cos
2
. u’ +
.u
Persamaan menjadi u” – 4u = sin x cos cos x = ½ sin 2x Fungsi komplementer u = C1 e2x + C2 e –2x Penyelesaian partikulir up = b sin 2x = C cos 2x u’ = 2b cos 2x – 2C sin 2X u”p = - 4b sin 2x – 4C cos 2x Jadi –4 b sin 2x – 4 cos 2x – 4 (b sin 2x + C cos 2x) = ½ 2x Maka – 8b = ½ dan – bc = 0, jadi b = sec x
(C1e2x +
C2 e-2x)
-
1 8
1 16
sin 2x atau y =
sin x
Contoh 39. Selesaikan persamaan differensial X2y” – 2x (1 + x) y’ + 2 (1 + x) y = x 3 jika persamaan teredusir diketahui mempunyai penyelesaian khusus y = x.
59
Jawab : Substitusi y = xu, maka y’ = xu + u dan y” = xu” + 2 u’. Persamaan menjadi x2 (xu” + 2u’) – 2x (1 + x) (xu’ + u) + 2 (1 + x) xu = x3+, x3 u” – 2x3+ u’ = x3 atau u” – 2u’ = 1 Misalkan p = u’, persamaan menjadi
dp dx
- 2 p = 1 yaitu
persamaan diferensial linier. Dengan substitusi p = vw terdapat v
dw dx
+ w
dv dx
- 2 vw = 1 atau v (
dw dx
- 2 w) + w
dv dx
= 1
Hubungan antara v dan w dipilih, dipilih, sehingga
dw dx
- 2 w = 0,
dw w
- 2 dx = 0, w = e2x
Persamaan menjadi e2x
dv dx
= 1 atau dv = e –2 dx
Jadi v = - ½ e –2x + C, Terdapat P=
du dx
= e2x (- ½ e –2x + C) = - ½ + C1 e 2x
u = - ½ x + ½ C 1 e2x + C2 Penyelesaian umum y = - ½ x2 + ½ C1 x e 2x + C2 x Contoh 40 Selesaikan persamaan differensial X2y” – 2 x2 y’ + (x2 -6) y = x5 – 6 x4 Jawab : Y” – 2 y’ + (1 P = -2, Q = 1 -
6 2
) y = x3 – 6 x2
6 x x
2
) dan R = x3 – 6 x2
60
Q1 = Q -
d dx
P) 2 =
( ½ ) – ( ½
6
(1 -
x
2
)-1 = -
6 x
2
(bilangan
tetap di bagi x2) Substitusi y = ex u, maka y’ = ex (u’ + u) dan y” RP ex (u” + 2 u’ + u). Persamaan menjadi x e (u”
+ 2 u’ + u) – 2
atau ex u” -
6 x
2
ex (u’
+ u) + (1 -
6 x
2
) exu = x3 – 6 x2
. exu = x3 – 6 x2
atau x2 u” – 6 u = e-x (x5 – 6 x4) Substitusi x = et atau t = In x, maka u’ =
du dt
-
1 x
atau xu’ =
du dt Selanjutnya xu” + u’ = X2 u” + x u’ =
d 2 u 2
d 2 u 2
dt
-
1 x
atau
.
dt Persamaan teredusir x2 u” – 6 u = 0 Menjadi
d 2 u 2
-
du
- 6 u = 0
dt dt Persamaan karakteristik t2 – t – 6 = (t + 2) (t – 3) = 0, Fungsi komplementer u = C1 e3t + C2 e-2t = C1 x3 + C2 x-2 Penyelesaian partikuler up dicari dengan variasi parameter. U’ = 3
x2 C1 –
2
C2 x-3 +
x3
dc1 dx
-
2x-3
dc 2 dx
61
dc1
Persamaan menjadi : x2 (3 x2
- 2x-3
dx
dc 2 dx
) = e-x (x5 – 6 x4) .
(2) Dari persamaan (1) dan (2) dapat dicari
dc 2
Terdapat
dx
= -
x5 e-x d x =
1 5 1 5
e-x (x6 –
6
(x6 e-x –6
dc1 dx
dc 2
dan
x5)
atau C2 = -
x5 e-e dx) +
dx
1
x6e-x dx
x5 e-x dx =
5 6 5
+
6 5 1 5
x6 e –x Selanjutnya x dx
=-
Up = x3 (-
1 5
dc1 dx
1 5
=
1 5
(x e-x -
e-x (x-6) atau C1 =
e-x dx) -
x e-x + e –x) + x-2 .
1 5
6
5
1
5
x e-x dx -
e-x dx = -
1 5
6 5
e-
x c-x + o-x
x6 e-x = x3 e-x
Penyelesaian umum u = C1 x3 + C2 x-2 + x3 e -x atau y = ex (C1 X 3 + C2 x-2 + x3 e-x). SOAL-SOAL Selesaikan persamaan diferensial 1) y’ sin x + 2 y’cos x + 3 y sin x = o x 2) (1 – x) y” + xy’ – y = (1 – x) 2 3) xy” – (2x – 1) y’ + *x – 1) y = x2 – 2 4) xy” + 2y’ – xy = 2 e x 5) y” + (x – 2) . (y’)3 = 0 6) x2y” = (y’) – 2 xy’)2 = y’ 7) y” + cot y . *y’)2 = y’ 8) yy” – y2 = 3 (y’)2
62
BAB VI TRAYEKTORI ORTOGONAL I.
Trayektori ortoginal suatu berkas garis lengkung dengan persamaan f (x, y, suatu parameter, ialah kumpulan garis lengkungn yang memotong tegak lurus suatu anggota berkas garis lengkung itu. Jika kedua ruas persamaan f (x, y, ) = 0 diturunkan ke x, maka terdapat
f f y + . =0 x y x
Dengan menghilangkan dari persamaan ini dan persamaan bekas, maka hasil eliminasi berbentuk (x, y,
dy dx
) = 0, yaitu
persamaan differensial berkas garis lengkung itu, dan dipenuhi oleh koordinat x dan y dari tiap titik pada anggota berkas garis lengkung itu. Anggota trayektori orthogonal yang melalui titik P (x, y) harus memenuhi
1 1 dy ( ) tr = atau = tr dy dy dx dx ( ) dx dx dy
Jadi persamaan differensial dari trayektori orthogonal itu ialah (x, y, -
1 )=0 dy dx
Penyelesaian umum persamaan persamaan trayek tori yang dicari.
differensial
ini
adalah
63
Contoh 41. Tentukan persamaan trayek teori orthogonal dari berkas garis lengkung. Y2 (2 -x) = x3, dimana suatu parameter. Jawab : Jika kedua ruas diturunkan ke x terdapat 2 yy’ (2-x) – y2 = 3 x2 Jika parameter dihilangkan, maka
x 3
2yy’ .
y
2
- y2 = 3 x2 atau 2x3 y’ = 3x2 y + y3, yaitu
persamaan diferensial berkas garis lengkung itu.
2 y
Persamaan eksak
x 2
dy
y 2 x 2 4 x ( x 2)
2
dx = 0
Penyelesaian umum adalah F (x, y) = C, dimana
F = x
x 2 y 2 4 x ( x 2) 2 dan
F 2 y . y x 2
Maka F (x, y) =
F = x
-
x 2 4 x ( x 2) 2
2 y dy
y 2
x 2 x 2 + (x)
y 2 ( x 2)
2
atau (x)
+
(x) =
x 2 y 2 4 x ( x 2)
2
, jadi
’ (x)
4 4 1 dx = x + + C1 ( x 2) 2 x 2
64
Persamaan trayekteori orthogonal
y 2 x 2
+ x +
4 x 2
= C atau x2 + y2 – (2 + C) x + 4 + 2C = 0
yang merupakan berkas lingkaran pula. pu la. Contoh 42 : Jika C sebuah parameter, maka tentukanlah persamaan trayektori berkas garis lengkung.
y
X2 + y2 = C ( x
+ y)
Jawab : Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka
x yy '
2 (x + yy’) = C (
x 2 y 2
parameter C dihilangkan, terdapat : 2xy + (y2 – x2) y’ + (x + yy’)
x 2 y 2 = 0
Persamaan differensial trayektorimortogonal
x 2 y 2 = 0 atau (2 xy + x
2 xy y’ + x2 – y2 + (xy’ –y)
x 2 y 2 ) y’ Dengan substitusi u =
x
atau y = u x terdapat
1 u 2 ) (x du + u dx) + (1 – u2 – u
(2 u + atau
y
dx x
+
2 u 1 u 2 u
Persamaan eksak
2
1 2 y
x
2
1 u 2 dx = 0
d u = 0 jadi
dy
y 2 x 2 4 x ( x 2)
2
dx = 0
65
Penyelesaian umum adalah F (x, y) = C, dimana
y 2 4 x ( x 2) 2 F 2 y Dan = . Maka F (x, y) = x 2 x
F x
x 2
F x
=-
y 2 ( x 2)
2
+
’ (x) =
x 2
2 y dy x 2
+ (x)
y 2 4 x , jadi ’ (x) = 2 ( x 2)
x 2 4 x ( x 2) 2 atau (x) =
4 4 1 ( x 2) 2 dx = x + x 2 + C1
Persamaan trayektori orthogonal
2 y x 2
+ x
4 x 2
= C atau x2 + y2 – (2 + C) x + 4 + 2C = 0
yang merupakan berkas lingkaran pula. pu la. Contoh 43 : Jika C sebuah parameter, maka tentukanlah persamaan trayektori orthogonal berkas garis lengkung x2 + y2 = C ( x
2
y 2
+ y)
Jawab : Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka 2 (x + yy’) = C (
x yy ' x
2
y
2
y ' ) 66
Parameter C dihilangkan, terdapat 2xy + (y2 – x2) y’ + (x + yy’)
x 2 y 2 = 0
Persamaan diferensial trayektori orthogonal 2 xy + (y2 – x2) y’ + (x + yy’)
x 2 y 2 = 0 atau (2 xy + x
x 2 y 2 ) y’ + x2 –y2 –y x 2 y 2 = 0 Dengan substitusi u =
x
atau y = u x terdapat
1 u 2 ) (x du + u dx) + (1 – u2 – u
(2 u + atau
y
dx x
+
2u a u2 u
2
1
In x + In (u2 + 1) + In (u + X (u2 + 1) (u +
1 u 2 ) dx = 0
du = 0, jadi
1 u 2 ) = In C atau
1u2 ) = C
Persamaan trayektori orthogonal (x2 + y2) (y +
x 2 y 2 ) = C x2
Soal. Jika C suatu parameter, maka carilah persamaan trayektori orthogonal berkas garis lengkung di bawah ini. 1) y2 = 2x2 (1 – Cx) 2) x (x2 + y2) = 2 Cy 3) xy + C (x – 1) 2 = 0 4) (x2 + y2)2 = C (2 x2 + y2) 5) x3 – 3 xy2 = C 6) x (x2 + y2) + C (x2 – y2) = 0 7) y = x – 1 + C e –x 67
II.
8) ex2 + y2 = Cy Trayektori orthogonal dalam koordinat kutub Jika suatu parameter, maka F (r, , ,) = 0 menyatakan persamaan berkas garis lengkung dalam da lam koordinat kutub. Maka persamaan differensialnya berbentuk F (r, ,
dr d
)=0
Jika } (r , ) sebuah titik pada salah satu anggouta berkas garis lengkung itu, maka dapat dibuktikan bahwa : Tg =
r dr a
Dimana adalah sudut antara jari-jari arah 0} dengan garis singgung di titik } pada garis lengkung.
Q R
sumbu kutub 0 Gambar 1 Bukti : ditentukan dua titik l (r, ) dan Q (r + r, + ) pada garis lengkung itu.
68
Lihat gambar 1 Ditarik } R tegak lurus 0, maka } R = r sin dan RQ = r + r – r cos r, Tg R Q P =
r sin r (1 cos )
r sin = 2 1 ) r 2r sin 2 1 sin 12 r r . sin 12 1 2 Jadi tg = lim tg R Q P =
r sin
x
r dr a
Untuk trayektori orthogonal beerlaku 1 = + 90o, dimana 1 adalah sudut antara jari-jari arah OP dengan garis singgung di P pada trayektori orthogonal. Maka :
1 = + 90o, jadi tg = tg ( 1 - 90o) = - cotg
Jadi jika dalam persamaan differensial F (r, ,
dr d
r dr d
)=0
dr r Bentuk diganti dengan maka terdapat persamaan d dr a
r
diferensial trayektori orthogonal dalam koordinat kutub./ ku tub./
69
Contoh 44. Carilah persamaan trayektori orthogonal berkas garis lengkungn r = 2 n cos , jika a suatu parameter. Jawab : dr = -2 a sin d Parameter a dihilangkan, maka 2a = atau
r cos
, jadi dr – r tg d
r = - cotg d dr a
Persamaan differensial trayektori orthogonal -
dr = - cotg d r
Atau
dr r
= cotg d
, jadi in r = In sin + In C Persamaan trayektori orthogonal r = C sin III. Trayektori isogonal Trayektorim isogonal dengan sudut dari suatu berkas garis lengkung dengan perasaan f (x, y, ) = 0 ialah kumpulan garis lengkung yang memotong semua anggota berkas garis lengkung itu dengan sudut . Misalkan persamaan differensial berkas garis lengkung itu F (x, y,
dy dx
) = 0, dimana
dy dx
berarti tangens sudut antara
garis singgung disebuah titik P pada anggota berkas itu dengan sumbu x positif.
70
Lihat gambar 2 Y
P
0
Q
X
Untuk trayektori isogonal dengan sudut berlaku (
dy dx
) tr
= tg , dimana = + , jadi Tg =
tg tg 1 tg tg
tg (
=
dy
) tr
dx dy 1 tg . ( ) tr dx
Persamaan differensial differensial trayektori trayektori isogonal dengan dengan sudut ialah
dy Fn (x, y,
tg
dx dy
1
dx
0 . tg
Contoh 45. Jika Jika a sebuah parameter, tentukanlah tentukanlah persamaan trayektori isogonal dengan sudut 45o dari berkas hiperbola xy = a
71
Jawab : Persamaan diferensial berkas hiperbola ialah xy’ + y = 0 bersamaan differensial trayektori isogonal dengan sudut 45o ialah
dy 1 dx dy + y = 0 atau x ( - 1) + y (1 + ) = 0 dy dx 1 dx r + y) dy + (y – x) dx = 0, (1 : Institusi t =
y x
y x
) dy + (
(tx + ½ In
- 1) dx = 0
x
atau y = tx , maka m aka
(1 + t) (t dx + x dt) + ( t-1) dx = 0, (t2 +
y
2t – 1) = In C,
x2 )
dx x (t2 +
+
1 t 2
t
2t 1
2t –1) =
x2 (
dt 0
y 2 x
2
+
2 y x
- 1) = C
Persamaan trayektori isogonal y2 + 2 xy – x 2 = C Contoh 46 Tentukan trayektori isigonal dengan sudut 45o dari berkas lingkaran dari berkas lingkaran x2 + y 2 = 2 k (x + y) dimana k suatu parameter. Jawab : 2x + 2 yy’ = 2 k (a + y’) Parameter k dihilangkan, maka 2 k =
Jadi 2x + 2yy’ =
x 2 y 2 x y
x 2 y 2 x y
(1 + y’) atau
(2x + 2 yy’) (x + y) = (x ( x2 + y2) (1 + y’) 72
(2 xy + 2 y2 – x2 – y2) y’ + 2 x2 + 2 xy – x2 – y2 = 0 (y2 – x2 + 2 xy) y’ + (x 2 – y2 + 2 xy) = 0 Persamaan diferensial trayektori isogonal
(y2 – x2 + 2 xy)
dy 1 dx 2 2 dy + (x – y + 2 xy) = 0 1 dx
(y2 – x2 + 2 xy) (y’ – 1) + (x2 – y2 + xy) (1 + y’) = 0 2 xy . y’ + x 2 – y2 = 0, Substitusi u =
y x
2 y x
dy + (1 -
y x
2
) dx = 0
atau y = ux, maka
2 u (u dx + x du) + (1 – u2) dx = 0 atau (u2 + 1) dx + 2 xu = 0,
dx x
+
2 u du u
2
1
=0
In x + In (u2 + 1) = In C atau x(
y 2 2
1) = C jadi persamaan trayektori isogonal ialah
x x2 + y2 = Cx (berkas lingkaran).
SOAL : 1) Tentukan persamaan trayektori isogonal dengan sudut 45o dari berkas lingkaran (x – a)2 + y2 = a2, dimana a suatu para meter. Jika a suatu parameter, maka tentukan trayektori artogonal berkas garis lengkung dalam koordinat kutub. 2) R = a (1 – cos ) 3) R cos = sin 2 4) R = a (sec + tg ) 5) R2 sin 2 = a 73
BAB VII PERSAMAN DIFFERENSIAL SIMULTAN Jika x dan y masing-masing adalah fungsi dari arguimen t, maka persamaan persamaan differensial yang menyatakan hubungan antara x, y t dan turunan-turunan ke t, disebut persamaan differensial simultan, misalnya f (x, y, t, x’, y’, x”, y”, … ) = 0
(x, y, t, x’, y’, x”, y”, … ) = 0 dimana banyaknya persamaan persamaan sama dengan banyaknya banyaknya fungsi yang tidak diketahui. Menyelesaikan persamaan differensial simultan berarti menentukan fungsi-fungsi itu. Caranya ialah dengan menghilangkan salah satu fungsi (misalnya y) dari persamaan-persamaan itu beserta turunan-turunan dari y ke t. Untuk itu diambil prsamaan yang bertingkat terendah dalam y, misalnya bertingkat satu. Dari persamaan ini y’ dapat dicari, artinya artinya dinyatakan dalam y, x, t dan turunan-turunan dari x ke t. Dengan menurunkan ke t dapat diperoleh y”, Y”’ dst nya. Jika nilai-nilai ini dimasukkan dalam persamaan lainnya, maka dalam ersamaan itu tidak terdapat lagi turunan-turunan dari y ke t, sehingga y dapat dicari, artinya dinyatakan dalam x, t dan turunan-turunan dari x ke t. Jika kedua ruas persamaan ini diturunkan lagi ke t dan hasilnya dimasukkan dalam persamaan pertama, maka y dapat dihilangkan. Contoh 47. Selesaikan persamaan differensial simultan x’ – 4x – y = -36 t y’ + 2x – y = -2 e t
74
Jawab : x” – 4x’ – y’ = -36 X” – 4 x’ + 2x – y + 2 et + 36 = 0 -y = -x’ + 4x – 36 t Jadi x” – 5x’ + 6x = 36 (t – 1) –2 e t Persamaan teredusir x” – 5x’ + 6x = 0 Substitusi x = eut, maka u” – 5u + 6 = 0; (u – 2) (u – 3) = 0 Penyelesaian umum x = C1 e2t + C2 c3t + 6 t – 1 - et x1 = 2 C1 e 2t + 3 C2 e3t + 6 - et y = x’ – 4x + 36 t = 2 C1 e2t + 3 C2 ct3 + 6 – et – 4 (C1 e2t + C2e3t 6t – 1 – et) + 36 t atau y = -2 C1 – C2 e3t – 12 t + 10 + 3 et Contoh 48 : Selesaikan persamaan differensial simultan x” = 2x + 3y + e2t y” + 2y + x = 0 Tentukan pulapenyelesaian khusus yang memenuhi syarat : untuk t = 0 maka x = y = 1 dan x’ = y’ = 0 Jawab : x = -y” – 2y, jadi x” = -y (4) – 2 y” Terdapat – y(4) – 2 y” + 2y” + 4y – 3 = e2t atau Y(4) – y = - e2t, jadi y = C1 et + C2 e-t + C3 cos t + C4 sin t y” = x=
C1 et +
C2 e-t –
-3C1 et –
3
1 15
C3 cos t – C4 sin t -
C2 e-t –
e2t
4 15
C3 cos t – C4 sin t,
e2t, maka
2 5
e2t 75
2
Untuk t = 0 maka x = -3 C1 – 3 C2 – C3 + Y = C1 + C2 + C3 -
1 15
5
= 1,
2
= 1, y’ = C 1 – C2 + C4 -
Dan x’ = -3C1 + 3 C2 – C4 + Terdapat C1 = - ¼ , C2 = -
4 5 7
12
15
= 0
= 0 , C3 =
19 10
dan C4 = -
1 5
Penyelesaian khusus : X=
3 4
Y=¼
et + et -
7 4 1
12
e-t -
e –t +
19 10
cos t +
19 10
cos t -
1 15 1 5
sin : -
sin : -
1 15 1 15
sin : +
2 3
e2t
e2t
Contoh 49 : Selesaikan persamaan differensial simultan Y” + 2y – 3 z’ = 5 cosx – 5 sin x …. (1) Z’ – 8 z + 2 y’ = 15 cos x …. (2) Jawab : Akan dihilangkan fungsi y, jadi juga y’ dan y” Dari (2) didapat y’ = ½ (-2” + 8 z’ – 15 cos x) Maka y” = ½ (-z”’ + 8 z’ – 15 sin x) Jika nilai-nilai ini dimasukkan dalam (1) , terdapat -z”’ + 6z’ – 15 sin x + 4y – 6 z’ = 10 cos x + 10 sin x atau 4y = z”’ – 2 z’ + 10 cos x + 25 sin x Jika diturunkan ke x, terdapat 4y’ = z (4) – 2 z” = 10 sin x + 25 cos x Dimasukkan dalam (2) memberikan Z(4)+ - 2 z” – 10 sin x + 25 cos x = -2 z” + 16 z + 30 cos x Atau z (4) – 16 z = 5 cos x + 10 sin x Persamaan teredusir z(4) – 16 z = 0 mempunyai penyelesaian z = C1 e2x + C2 e-2x + C3 cos 2x + C4 sin 2x 76
Penyelesaian partikuler z = p cos x + q sin x, Dimana p = -
1 3
dan q = -
2 3
Penyelesaian umum : z=
C1 e2x +
C2 e-2x +
C3 cos 2x + C4 sin 2x -
1 3
cos x -
2 3
sin x
Jika nilai x ini dimasukkan dlaam (2) ( 2) terdapat 2 y’ = - z” + 8 z + 15 cos x atau y’ = 6 C3 cos 2x + 6 C4 sin 2x + 2C1 e2x, 2 C2 e-2x + 6 cos x – 3 sin x. Jadi penyelesaian umum y = C1 e2x – C2 e –2x + 3 C3 sin 2x – 3 C4 cos 2x + 6 sin x + 3 cos x + C 5 Soal : Tentukan penyelesaian umum persamaan differensial simultan berikut ini. 1) 2) 3) 4) 5)
x’ + x – 2y = sin t, y’ + x – y = 3t x” – 4x + y’ + 12 = 0, y” – y – 10 x’ + 7 = 0 y’ – z’ = x – y, y’ + z = x2 + y x” – 3 y’ + 2 z = 0, x – y’ = e2t, y – z’ = e-2t x’ + 5x + y = c t , y’ + 3y – x = e 2t
77
BAB VIII PEMAKAIAN DALAM GEOMETRI
Contoh 50. Tentukan persamaan garis lengkung yang mempunyai sifat bahwa setiap titik padanya, panjang normal, sama dengan jarak titik asal 0 ke titik potong normal itu dengan sumbu x. Jawab : Lihat gambar 3.
P
Y = f (x) n t
y R
Q
st
S
sn
Gambar 3 PQ PR QS SR
= tempat t = normal n = sub tangent st = sub normal sn
Panjang normal di titik P (x’ y) adalah PR = y
1 ( y' ) 2
78
Persamaan normal dititik p (x, y) ialah Y – y = -
1 y '
( X – x)
Titik potong dengan sumbu x : Y = 0, maka X = yy’ + x Persamaan differensial berkas garis lengkung yang dicari adalah
1 ( y ' ) 2 = yy’ + x atau (x2 – y2) dx + 2 xy dy = 0
Y 1-
y 2 2
dx +
2 y
dy = 0; substitusi u =
y
atau
x x x y = ux, maka (1 – u 2) dx + 2 u (u dx + x du) = 0 (1 +
u2)
dx + 2 xu du = 0,
dx x
+
2 u du 1 u
2
=0
In x + In (1 + u2) = In C Persamaan berkas garis lengkung x2 + y2 = Cx (berkas lingkaran). Contoh 51 Tentukan persamaan garis lengkungn yang mempunyai sifat bahwa s = a tg dimana s menyatakan panjang busur dari titik asal 0 dan menyatakan sudut antara garis singgung dengan sumbu x positif. Jawab Tg = y’, maka s = 1 y’ Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka
ds dx 1+
= a
d 2 y dx
dy dx
2
a (
atau
2
d y 2 dx 2
= a2
Misalkan p =
dy dx
, maka
dy dx
2
) =a
d 2 y dx
2
jadi
2
dp dx
=
d 2 y dx
2
jadi
79
1+
p2 =
dp dx
a2
atau
a d p 1 p
a p = e 2
Terdpat C (p + Jadi y = ½ a (a
2
x a
+ e -
x a
x a
= dx
2
-e
x a
) + C1
Karena untuk x = 0, y = 0, maka C1 = -a Persamaan garis lengkungn y = ½ a (ex/a + a –x/a) – a Contoh 52 Fungsi y = f (x) memenuhi persamaan differensial yy” = 1 + (y’)2 Grafik y = f (x) melalui titik P (0,5) dan menyinggung men yinggung garis y = 3. Tentukan f (x).
Jawab : Misalkan y’ = p, maka y’ = p Jadi py
dp dy
= p2 + 1 atau
dp p
2
1
dp dy
dy y
,
½ In (p2 + 1) = In y + ½ In C atau p 2 + 1 = Cy2 Karena f (x) menyinggung garis y = 3, berarti untuk y = 3, p = 0, maka 0 =
1 9
Terdapat p2 =
3dy y
2
9
1 9
(y2 – 9) atau p = y’ =
= dx, jadi 3 In (y +
y 2
1 3
y 2
9
9 ) = x + C1
Untuk x = 0, y = 5, maka C1 = 3 In 9 80
Persamaan garis lengkung ialah :
y 2
3 In y +
9 = x + 3 In 9
Contoh 53 Tentukan persamaan garis lengkungn melalui titik A (0, a) yang mempunyai sifat bahwa untuk semua titik P padanya, proyeksi ordinat titik P pada normal di titik P adalah tetap sama dengan a. Jawab : Lihat gambar 4 Y Y = f(x)
P
a y
X
0
cos = atau y = a 1 + (y’)2 = atau a y’ =
1 1 ( y ' ) 2
=
a y
1 ( y' ) 2 y 2 a2
, (y’)2 =
y 2 a 2 a2
y 2 a 2 81
a dy y 2 a 2 y 2 a 2 ) = x + C
a In ( y +
untuk x = 0, y = a, maka C = a In a
y Terdapat a Ln 1 y
+
y 2 c 2
y
y 2 a 2 = a e
x a
=x
= a cosh
x a
Contoh 54 Pada grafik y = f (x) terletak titik sebarang P. Garis singgung dan normal di titik P memotong sumbu y berturut turut di titik A dan B. Jika titik asal 0 adalah titik tengah AB, maka tentukanlah f (x). Jawab : Garis singgung di titik P (x, y) persamaannya Y – y = p (X – x) maka y A = y = px. Normal di titik P (x, y) persamaannya Y–y=-
1 p
(X – x), maka yB = y +
x p
Karena titik asal 0 adalah titik tengah AB, maka y A + yB = 0 atau y = ½ px -
x 2 p
, yaitu persamaan d’ Alembert
Jika kedua ruas diturunkan ke x, maka kita peroleh dp
P=½p+½x
dp dx
-½
p x p
2
dx
atau
82
½(
p 2 1 p
p=Cx
)= x ½ x.
dy dx
p 2 1 p
2
.
dp dx
. Jadi
dp p
=
dx x
,
atau dy = C x dx
Persamaan garis lengkungn y = ½ C x2 + C1
Contoh 55; Tentukan persamaan garis lengkungn yang mempunyai sifat bahwa di tiap titik padanya, proyeksi jari-jari kelengkungan pada sumbu x panjangnya tetap = a.
Jawab : Lihat gambar 5
M r
R
Q
Gambar 5
83
MP = r =
(1 y ' 2 ) 3 / 2 y"
R Q = P sin = a Persamaan diferensial garis lengkungn yang ditanyakan ialah :
(1 y ' 2 ) 3 / 2 y"
atau
y ' y"
1
x
1
1 y ' 2
(1 + y’2) = a, y’ (1 + y’2) = a y”
Misalkan y’ = p maka y” = P (1 + p2) = a
a
dp dx
atau
dp dx
, jadi
adp p (1 p ) 2
= dx
dp p dp = dx, jadi = 2 p 1 p
a In p – ½ a In (1 + P 2) = x + C 2
2 In p – In (1 + p2) =
2 a
(x + C) atau p2 =
e a ( x C ) 2
1 e
a
( x C )
,
2
dy dx
=
e a ( x C ) 2
1 e a
( x C )
jadi
84
x C
y=a
e
a
x C
d 2
1 e
a
a
( x C )
x C
a
de
a 2
ae
a
( x C )
x a C + C1 Persamaan garis lengkungn y =a arcsin e SOAL-SOAL 1) Titik P (x, y) adalah titik sebarang pada garis lengkungn y = f (x). Garis singgung di titik P pemotong sumbu y di titik Q. Jika OQ2 = ax )2 tetap), maka tentukanlah f (x) 2) Tentukan persamaan garis lengkungn melalui titik asal 0 yang mempunyai sifat di tiap titik P padanya, panjang garis singgung antara P dan titik potongnya dengan sumbu x = ½ busur OP. 3) Tentukan persamaan garis lengkungn yang di tiap titiknya, normalnya dibagi dua sama oleh sumbu y. 4) Tentukan persamaan garis lengkungn melalui titik A ( ½ a, 0) sehingga di tiap titik P (x, y) padanya, panjang busur AP sama dengan
1 a
. x2
5) Tentukan persamaan garis lengkungn yang di tiap titik padanya panjang jari-jari kelengkungannya sama dengan panjang normal di titik itu. 6) Tentukan persamaan garis lengkungn yang di tiap titik P padanya, luas trapezium yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis singgung di P dan ordinat titik P, nilai tetap = a2.
85