Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (i) serta !ika memenuhi
=
Contoh : y dx + x dy = 0
misal " M(x, y) = y
N(x, y) = x
karena
=#
=#
=
, maka PD diatas merupakan PD eksak$
(%xy + ln x) dx + x % dy = 0
misal " M(x, y) = %xy + ln x
N(x, y) = x %
karena
= %x
= %x
=
, maka PD diatas merupakan PD eksak$
(x & y) dx + (x + y) dy = 0
misal " M(x, y) = x & y
= '#
N(x, y) = x + y
=#
karena
, maka PD diatas bukan merupakan PD eksak$
ika adalah suatu fungsi fungsi dua peubah yang mempunyai deri*ati*e deri*ati*e parsial tingkat satu yang kntinyu dalam suatu dmain D, maka diferensial ttal fungsi yaitu d didenisikan leh
d(x) =
dx +
dy,
(x, y)
D
Misal penyelesain umum PD (i) adalah (x, y) = - dengan - adalah knstanta sebarang, maka d(x, y) = 0, sedemikian sehingga
dx +
dy = 0 (ii)
dari PD (i) dan pers (ii), diperleh
(a)
= M(x, y)
(b)
= N(x, y)
.ehingga slusi PD Eksak berbentuk (x, y) = -$ /erdasarkan hal tersebut, dapat diari slusi PD sebagai berikut beri kut "
(a)
(x, y) =
= M(x, y)
M(x, y) dx + g(y)
adalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai NOTE " bentuk knstanta dan g(y) knstanta integral yang harus diari$
=
1
4arena
M(x, y) dx2 + g3(y)
= N(x, y) maka
=
1
g3(y) = N(x, y) &
M(x, y) dx2 + g3(y) = N(x, y)
1
M(x, y) dx2
karena g3(y) merupakan fungsi dengan peubah y sa!a maka setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau knstanta$ Dengan kata lain g(y) dapat diari
(b)
= N(x, y)
5ntegralkan kedua ruas terhadap *ariabel y, diperleh
(x, y) =
N(x, y) dy + f(x)
turunkan kedua ruas dengan turunan parsial terhadap x
=
1
karena
N(x, y) dy2 + f3(x)
= M(x, y) maka
=
1
f3(x) = M(x, y) &
Contoh :
N(x, y) dy2 + f3(x) = M(x, y)
1
N(x, y) dy2
